Bài giảng Toán rời rạc: Đồ thị có hướng - Trần Vĩnh Đức

CuuDuongThanCong.com

Đồ thị có hướng
Trần Vĩnh Đức

Ngày 24 tháng 7 năm 2018

/>
1 / 34


Tài liệu tham khảo

▶ Eric Lehman, F Thomson Leighton & Albert R Meyer,
Mathematics for Computer Science, 2013 (Miễn phí)
▶ Ngơ Đắc Tân, Lý thuyết Tổ hợp và Đồ thị, NXB ĐHQG Hà
Nội, 2004.
▶ Douglas B. West. Introduction to Graph Theory. 2nd Edition,
2000.

CuuDuongThanCong.com

/>
2 / 34


Nội dung

Định nghĩa và ví dụ

Đồ thị thi đấu

CuuDuongThanCong.com

/>

Định nghĩa
Một đồ thị có hướng là một cặp có thứ tự G = (V, E), ở đây V là
một tập, cịn E là một tập con của tích đề các V × V, tức E là
một quan hệ hai ngôi trên V.
▶ Các phần tử của V thường được gọi là các đỉnh.
▶ Các phần của E gọi là các cung.
▶ Cụ thể hơn, nếu (a, b) ∈ E thì (a, b) được gọi là cung của G
với đỉnh đầu là a và đỉnh cuối là b,
▶ và ta viết a → b

CuuDuongThanCong.com

/>
4 / 34


Đồ thị có hướng

v2

V = {v1 , v2 , v3 }

v1

CuuDuongThanCong.com

Đồ thị có hướng G =
(V, E):

E = {v1 → v1 , v1 → v2 , v1 → v3 ,
v2 → v3 , v3 → v2 }
v3

/>
5 / 34


Bậc vào & bậc ra

v2
Đỉnh
v1
v2
v3

v1

CuuDuongThanCong.com

indeg
1
2
2
5

outdeg
3
1
1
5

v3

/>
6 / 34


v2

Mệnh đề
∑

indeg(v) =

v∈V

CuuDuongThanCong.com

∑

outdeg(v) = |E|

v1

v∈V

v3

/>
7 / 34


Hành trình có hướng và đường đi có hướng

Hành trình
Lặp cạnh
Lặp đỉnh

CuuDuongThanCong.com

✓
✓

Hành trình đơn

/>
✗
✓

Đường đi

✗
✗

8 / 34

Định nghĩa
Xét G = (V, E) là đồ thị có hướng với V = {v1 , v2 , . . . , vn }.
Ma trận kề A = (aij ) của G định nghĩa bởi
{
1 nếu vi → vj
aij =
0 ngược lại.

Ví dụ

CuuDuongThanCong.com

v2


1 1 1
A = 0 0 1
0 1 0

v1

v3
/>
9 / 34


Định lý
Xét G = (V, E) là đồ thị có hướng với n đỉnh

V = {v1 , v2 , . . . , vn }.
(k)

và A = (aij ) là ma trận kề của G. Xét (pij ) là số hành trình có
hướng từ vi tới vj . Khi đó

CuuDuongThanCong.com

(k)

Ak = (pij ).

/>
10 / 34


Ví dụ
v2

v1

CuuDuongThanCong.com

v3


1

A= 0
0


1
A2 = 0
0


1 1
0 1
1 0

2 2
1 0
0 1

/>


A3


1 3 3
= 0 0 1 
0 1 0

11 / 34


Chứng minh

▶ Bằng quy nạp theo độ dài hành trình.

▶ Ta ký hiệu aij(k) là phần tử ở hàng i cột j của ma trận Ak .
▶ Ta đặt
(k)
(k)
P(k) := ∀i, j aij = pij
▶ Bước cơ sở: k = 1.

CuuDuongThanCong.com

✓

Tại sao?

/>
12 / 34


Chứng minh: Bước quy nạp

▶ Giả sử P(k) ✓
▶ Hành trình độ dài k + 1 từ vi đến vj có thể tách thành
vi

k

vh → vj

▶ với vi k vh là một hành trình độ dài k từ vi tới vh
▶ và h : vh → vj là một cạnh trong G.

CuuDuongThanCong.com

/>
13 / 34


Chứng minh: Bước quy nạp (tiếp)

(k+1)
pij

CuuDuongThanCong.com

=

∑

(k)
pih

=

h: vh →vj

n
∑

(k)

pih · ahj

h=1

=
=

n
∑

(k)

aih · ahj

h=1
(k+1)
aij

(giả thiết quy nạp)
(quy tắc nhân ma trận)

✓

/>
14 / 34


Định nghĩa
Một đồ thị có hướng G = (V, E) là liên thông mạnh nếu với mọi
u, v ∈ V, tồn tại một đường đi có hướng từ u tới v trong G.

CuuDuongThanCong.com

/>
15 / 34


Định nghĩa
Một đồ thị có hướng được là phi chu trình (DAG) nếu nó khơng
chứa chu trình có hướng.

CuuDuongThanCong.com

v2

v1

v4

v5

v3

/>
16 / 34


Nội dung

Định nghĩa và ví dụ

Đồ thị thi đấu

CuuDuongThanCong.com

/>

Định nghĩa
▶ Một đồ thị định hướng của một đồ thị (vô hướng)
G = (V, E) là một đồ thị có hướng thu được từ G bằng cách
chọn một hướng
x→y

hoặc y → x

cho mỗi cạnh xy ∈ E.
▶ Đồ thị thi đấu là một đồ thị định hướng của một đồ thị đầy
đủ nào đó.

CuuDuongThanCong.com

/>
18 / 34


Ví dụ
▶ Đồ thị định hướng của đồ thị đầy đủ cho phép mơ hình hóa
các giải đấu thể thao kiểu “round-robin”.
▶ Giải đấu gồm n đội và mỗi đội thi đấu với tất cả các đội khác.
▶ Với mỗi cặp u, v, ta có cạnh u → v nếu u thắng v.
▶ Cuối giải ta có một đồ thị định hướng của Kn .

▶ “Điểm số” của mỗi đội chính là bậc ra của đội đó, là số lần
thắng.

CuuDuongThanCong.com

/>
19 / 34


Đội nào vô địch?

CuuDuongThanCong.com

/>
20 / 34


Định nghĩa
Một đường đi Hamilton có hướng là hành trình đi qua mỗi đỉnh
của G đúng một lần.

CuuDuongThanCong.com

/>
21 / 34


Có phải mọi đồ thị thi đấu đều có đường Hamilton?

CuuDuongThanCong.com

/>
22 / 34


Định lý
Mọi đồ thị thi đấu đều chứa một đường đi Hamilton.

CuuDuongThanCong.com

/>
23 / 34


Chứng minh
▶ Bằng quy nạp theo số đỉnh n của đồ thị. Đặt

P(n) := “Mọi đồ thị thi đấu với n đỉnh đều chứa đường đi Hamilton
▶ Bước cơ sở: n = 1 ✓
▶ Bước quy nạp: Giả sử P(n) đúng.
▶ Xét đồ thị thi đấu n + 1 đỉnh.
▶ Bỏ đi một đỉnh v bất kỳ, ta còn đồ thị thi đấu n đỉnh:
{v1 , v2 , . . . , vn }.
▶ Theo quy nạp ta có đường đi

CuuDuongThanCong.com

v1 → v2 → · · · → vn .

/>

24 / 34


Trường hợp 1

Nếu v → v1 , vậy ta có đường Hamilton

CuuDuongThanCong.com

v → v1 → v2 → · · · → vn

/>
25 / 34