Giái toán cao cấp

1. Ta có : y’ =
( )
2
'
'
x
arctan x
2
2
e tan x 1
 
 
+ +
 ÷
 
 
 
Xét
'
'
x x
arctan arctan
2 2
x
e e . arctan
2
   
 
=
 ÷  ÷
 ÷

 
   
Đặt: z =
x
arctan
2
 
 ÷
 
x
tan z x(z) 2.tan z
2
⇔ = ⇔ =
2
2
2
1 x
x '(z) 2. 2(1 tan z) 2. 1
cos z 2
 
= = + = +
 ÷
 
mặt khác : áp dụng Tính chất của hàm ngược: hs y = f(x) có hàm
ngược x = g(y) thì ta có: f '(x).g '(y) = 1
2
1 1
z '(x)
x '(z)
x

2. 1
2
= =
 
+
 ÷
 
Vậy ta có:
'
2
x 1
arctan
2
x
2. 1
2
 
=
 ÷
 
 
+
 ÷
 
Ta đi tính tiếp đạo hàm của hàm :
( )
2
x
2
z tan x 1= +

Lấy lôganêpe cả hai vế ta được:
( )
2 2
ln z x .ln tan x 1= +
, lấy đạo hàm hai vế ta có
( )
( )
( )
'
2 2 2 2
2
z ' x
x .ln tan x 1 2x.ln x 1 x .
z x 1
2
= + = + +
+
Vậy
( ) ( ) ( )
2
x
2 2 2 2 2
2 2
x x
z ' 2x.ln x 1 x . .z 2x.ln x 1 x . . tan x 1
x 1 x 1
2 2
   
= + + = + + +
   

+ +
   
Đến đây ta có đạo hàm bậc nhất là:
y’=
2
1
x
2. 1
2
 
+
 ÷
 
+
( ) ( )
2
x
2 2 2
2
x
2x.ln x 1 x . . tan x 1
x 1
2
 
+ + +
 
+
 
Em tiếp tục tính đạo hàm lần nữa nhé, làm tương tự như trên đối với hàm
( )

2
x
2
z tan x 1= +
và áp dụng các công thức tính đạo hàm đã được học.