Về đại số lie của một số nhóm lie cổ điển

Mục lục

Trang

Đ1

Đại số Lie

2

Đ2

Nhóm Lie

10

Đ3

Đại số Lie của nhóm Lie

20

Đ4

Đại sè Lie cđa mét sè nhãm Lie cỉ ®iĨn

28

1

Mở đầu

Lý thuyết về đại số Lie và nhóm Lie là một bộ phận quan trọng
của Toán học, đặc biệt đối với hai chuyên ngành Hình học - tôpô và Giải
tích. Trong đó việc tính đại số Lie của một sè nhãm Lie cỉ ®iĨn (nhãm
GL(n, R); nhãm Sp(2n, R); nhóm SL2(R); nhóm O(n, R)) chỉ đ-ợc in rải
rác ở một số tài liệu. Do đó, chúng tôi đặt cho mình nhiệm vụ là tập hợp lại
việc tính đại số Lie của các nhóm Lie cổ điển nêu trên và chứng minh một
số tính chất mà các tài liệu ch-a có điều kiện trình bày hết.
Luận văn đ-ợc mang tên là: "Đại số Lie của một số nhóm Lie cổ
điển", với 4 mục 35 trang.
Luận văn gồm các phần:
1. Các kiến thức cơ bản về "Đại số Lie".
2. Các kiến thức cơ bản về "Nhóm Lie".
3. Các kiến thức cơ bản về "Đại số Lie của nhóm Lie".
4. Cách tính "Đại số Lie của một số nhóm Lie cổ điển".
Các kết quả chính mà chúng tôi có đ-ợc là nhờ sù h-íng dÉn
khoa häc tËn t×nh cđa TiÕn sü Ngun Hữu Quang, sự chỉ bảo quí báu của
các thầy cô ở khoa Toán, sự giúp đỡ nhiệt tình của khoa Sau đại học tr-ờng
Đại học Vinh. Qua đây cho tôi đ-ợc bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới các
thầy cô, những ng-ời đà giúp đỡ tác giả hoàn thành luận văn!
Vinh, ngày 30 tháng 11 năm 2002

Tác giả

2


Đ1. Đại số Lie
Trong mục này chúng tôi nhắc lại khái niệm đại số Lie, các tính chất của

nó cùng với một số đại số Lie đặc biệt nh-: đại số Lie luỹ linh, đại số Lie giải
đ-ợc, đại số Lie đơn,...
1.1. Định nghĩa: Một không gian vectơ L trên tr-ờng K đ-ợc gọi là một
đại số Lie trên K nÕu trong L cã phÐp to¸n thø ba:
[ , ]: LxL

L

(x, y) [x , y]
thoả mÃn các điều kiện sau đây:
i). Song tuyến tính;
ii). Phản đối xứng: [x , x] = 0 ;  x  L
iii). §ång nhÊt thøc Jacobi:
[[x , y] , z]] + [[y , z] , x]] + [[z , x] , y]] = 0 ;  x, y, z  L
1.2. Chó ý: Điều kiện ii) ở trên có thể thay bởi điều kiÖn:
[x , y ] = - [y , x ] ; x, y L.
Đại số Lie L đ-ợc gọi là giao hoán nếu:
[x , y] = 0 ; x, y L
Ví dụ:
L ta định nghĩa:

Giả sử A là một đại số kết hợp trên tr-ờng K, víi mäi x, y
[x, y] = xy - yx.

Khi đó A là một đại số Lie trên K.
1.3. Định nghĩa: Giả sử A là một đại số trên tr-ờng K. Một vi phân của A
là ánh xạ tuyến tính:
D: A A
thoả mÃn điều kiện:
D(x, y) = D(x)y + xD(y);  x, y  A.

Ký hiƯu Der(A) lµ tËp hợp các đạo hàm của A.

3


1.4. Mệnh đề: Der(A) là đại số Lie với tích:
[D , D'] = DD' - D'D

 D, D'  Der(A)

Chøng minh:
Tõ tÝnh tun tÝnh cđa D vµ D' ta suy ra [D, D'] cũng là một tự đồng cấu
tuyến tính cđa A. Ngoµi ra víi mäi x , y  A ta cã:
[D , D' ] ([x y]) =
= (DD' - D'D) (xy)
= DD'(x y) - D'D (x y)
= D(D'(x).y + x.D'(y)) - D'(D(x).y + x.D(y))
= D(D'(x)).y + D'(x).D(y) + D(x). D'(y) + x. D(D'(y)) - D'(D(x)).y - D(x).D'(y) - D'(x).D(y) - x.D'(D(y))
= DD'(x).y + x.DD'(y) - D'D(x).y - x.D'D(y)
= [D , D'](x). y + x . [D , D'](y).
Nh- vËy [D, D']  Der(A);  D, D'  Der(A)
H¬n nữa từ tính tuyến tính của D và từ tính chÊt c¸c phÐp to¸n cđa A, ta
suy ra tÝnh song tuyến tính của phép toán [ , ] và từ định nghĩa phép toán [ , ] ta
suy ra [D, D] = 0 ;  D  Der(A).
* Ngoµi ra ta cã:
 [[D , D'], D"]] =
= [DD' - D'D, D"]
= DD'D" - D'DD" - D"DD' + D"D'D
 [[D' , D"], D] = D'D''D - D"D'D - DD'D" + DD"D'
 [[D" , D] , D] = D"DD' - DD"D' - D'D"D + D'DD".

Cộng từng vế của 3 đẳng thức trên ta có đồng nhất thức Jacobi.
Mệnh đề đà đ-ợc chứng minh.
1.5. Hệ quả: VectM các tr-ờng véctơ khả vi trên đa tạp nhẵn M là một đại
số Lie trên R với phép toán lấy tích Lie các tr-ờng véctơ.
1.6. Định nghĩa: Một đồng cấu giữa các đại số Lie L1 , L2 là ánh xạ tuyến
tính f: L1 L2 tho¶ m·n tÝnh chÊt:
f([x , y]) = [f(x) - f(y)];

4

 x, y  L1


Khi đó tập các đại số Lie trên tr-ờng K là một phạm trù với các cấu xạ là
các đồng cấu đại số Lie.

G

1.7. Định nghĩa: Giả sử
là một đại số Lie, với mỗi x
nghĩa toán tử adx trên
bởi công thức:

G

y

adx(y) = [x , y]

G ta định

G.

1.8. Mệnh đề:
i.) adx là ánh xạ đạo hàm.
ii.) ánh xạ x adx là đồng cấu đại số Lie

G vào Der(G).

Chứng minh:
i.) Ta cã:
adx([y , z]) = [x , [y , z]]
= [ y , [z , x ]] - [z , [x , y ]]
= [[x , y] , z ] + [y , [ x , z ]]
= [adx (y) , z ] + [ y , adx (z)]
Nh- vËy adx là ánh xạ đạo hàm.
ii.) ad [x, y](z) =
= [[x, y], z]
= - [[y, z], z] - [[z, x], y]
= adx . ady(z) - ady. ad(z)
= [adx, ady](z).

 x, y, z 

G

Do ®ã ad[x , y] = [adx , ady]
Và nh- vậy ánh xạ x adx là đồng cấu đại số Lie. Mệnh đề đà đ-ợc
chứng minh.
1.9. Mệnh ®Ị:

Ký hiƯu Mat (n , R) = {A = (ai j)n là ma trận vuông
cấp n, ai j R}. Khi đó, Mat (n , R) cùng với phép toán cộng ma trận, nhân một
số thực với ma trận và phÐp to¸n thø ba:
[A, B] = A.B - B.A,

;  A, B  Mat (n , R)

Mat (n , R) trở thành một đại số Lie trên R.

5


Chứng minh:
Mat (n , R) là một đại số trên R. Thật vậy, trên Mat (n , R) với phép
toán céng hai ma trËn, nh©n mét sè thùc víi ma trận và phép toán [ , ] định
nghĩa nh- trên ta cã:
 [A + B , C] =
= (A + B).C - C(A + B)
= A.C + B.C - C.A - C.B
= A.C - C.A + B.C - C.B
= [A , C] + [B , C]
 [C , A + B] =
= C. (A + B) - (A + B).C
= C.A + C.B - A.C - B.C
= C.A - A.C + C.B - B.C
= [C , A] + [C, B].
 [A , B] =
= (.A).B - B(.A)
= (A.B) - (B.A)
= [A, B].

Do đó Mn thoả mÃn các tiên đề về đại số. Ta chứng minh Mat(n , R)
là đại số Lie. Víi mäi A, B, C  Mn , ta cã:
 [ A, A] = A.A - A.A = 0
 [A , [B, C]] + [B, [C, A]] + [C, [A, B]] =
= [A , BC - CB] + [B , CA - AC] + [C, AB -BA]
= A.(BC - CB) - (BC - CB).A + B(CA - AC) - (CA - AC).B +
+ C(AB - BA) - (AB - BA).C
= ABC - ACB - BCA + CBA + BCA - BCA - CAB +
+ ACB + CAB - CBA - ABC + BCA.
=0
Mệnh đề đà đ-ợc chứng minh.
1.10. Mệnh đề:

Tích của hai đại số Lie trên K là một đại số Lie trên

K.

6


Chứng minh:
Giả sử A và B là các đại số Lie trên K
và C = A.B = {(a , b), a  A, b  B}.
Trªn C = A.B xÐt c¸c phÐp to¸n:
 (a1 , b1) + (a2 , b2) = (a1 + a2 , b1 + b2)
 (a1 , b1) = (a1 , b1).
 [(a1 , b1) , (a1 , b1)] = ([a1 , b1] , [a1 , b1]).
ViÖc định nghĩa các phép toán nh- trên là hợp lý v× :
NÕu

a1 , a2  A ;   K th× a1 + a2   A, a1  A, [a1 , a2]  A
b1 , b2  B ;   K th× b1 + b2   A, b1  B, [b1 , b2]  B

Chøng minh C là một đại số Lie trên K:
[((a1 , b1) + (a2 , b2)) , (a3 , b3)]
= [ (a1 + a2), (b1 + b2) , (a3 , b3)]
= ([a1 , a3] + [a2 , a3] , (b1 , b3] + [b2 , b3])
= ([(a1 , a3] , [b1 , b3] + ([a2 , a3] , [b2 , b3])
= [(a1 , b1) , (a3 , b3)] + [ (a2 , b2) , (a3 , b3)].
 [(a3 , b3] , ((a1 , b1) + (a2 , b2))]
= [(a3 , b3) , (a1 + a2 , b1 + b2)]
= ([a3 , (a1 + a2)] , [b3 , (b1 + b2)])
= ([a3 , a1] + [a3 , a2]) , ([b3 , b1] + [b3 , b2])
= ([a3 , a1], [b3 , b1] + ([a3 , a2] , [b3 , b2])
= [(a3 , b3) , (a1 , b1)] + [(a3 , b3) , (a2 , b2)]
 [(a1 , b1)] = [(a1 , b1) , (a2 , b2)]
= ([a1 , a2] , [b1 , b2])
= ([a1 , a2] , [b1 , b2]
= [(a1 , b1) , (a2 , b2)]
vậy C là một đại số trên K.
Chứng minh C là một đại số Lie trên K; thËt vËy:
 [(a1 , b1) , (a1 , b1)] = ([a1 , a1) , (b1 , b1)] = (0, 0) = 0
Bằng cách t-ơng tự ta dễ chứng minh đ-ợc C thoả mÃn đồng nhất
thức Jacobi.

7


Mệnh đề đà đ-ợc chứng minh.

G là tập hợp các ma trận X Mat(n, R) sao
k
G là đại số Lie con cña Mat (n , R).
Chøng minh: Ta chøng minh r»ng x, y  G vµ  ,  k thì X +
Y G và XY - YX  G.
Ta cã: P (1 + X) = 0 x G .
1.11. Định lý: Giả sử
cho 1 + X G( []), khi đó



Vì  = 0: P(1 + X) = P(1) + d P(1) X (ở đây dP là đạo hàm
bậc nhất cđa P ;
2

k

Do 1  G( ) nªn P (1) = 0, do ®ã P(1 + X)= = d P(1) X.
Do đó

G là mô đun con của Mat (n , R).

Bây giờ ta cần đại số bổ trợ k" cho bëi:

k " = [, ', '], 

2

= '2 vµ ' = ' , tøc

k " = k ()  k (').

Víi mäi X, Y thuéc g ta cã:

G = 1 + X  G(k [])  G(k ")
G ' = 1 + 'Y  G(k ['])  G(k ")

G G ' = (1 + X) (1 + 'Y) = 1 + X + 'Y + 'XY.
G 'G = (1 + 'Y) (1 + X) = 1 + X + 'Y + 'XY.
Đặt z = [X , Y]; G G ' = G ' G (1 + 'Z).
V× G G ' ; G ' G  G (k ")  1 + 'Z G (k ").
Nh-ng đại số con k ['] có thể đồng nhất với k []. Từ đây suy ra r»ng 1
+ Z  G (k[]), do ®ã z G.
1.12. Định nghĩa:
Không gian con k của đại số Lie G đ-ợc gọi
là đại số con (t-ơng ứng, iđêan) của G nếu [k, k '] k (t-ơng ứng, [G, k]
k).
Giả sử G là một đại số Lie, ta định nghĩa hai dÃy không gian con của G
nh- sau:
];...
n

G1 = [ G , G ] ;

G2 = [ G , G1 ] ;

..... ;

Gn+1 = [ G , Gn

G1 = [ G , G ] ;

G2 = [ G , G1 ] ;

..... ;

G n+1 = [ G , G

];...

8


G gọi là giải đ-ợc nếu tồn tại n N sao cho G = { 0 }.
1.13. MƯnh ®Ị:
NÕu G là đại số Lie giải đ-ợc thì đại số con
[G , G ] là luỹ linh.
1.14. Mệnh đề (Định lý Engel): Đại số Lie G là luỹ linh nếu vµ chØ
nÕu adx lµ l linh víi mäi x  G (tøc lµ  n  N sao cho (adx) = 0).
1.15. Định nghĩa: Giả sử G là đại số, A G là idean và B là đại số
con của G. Khi đó G đ-ợc gọi là tích nữa trực tiếp của B với A nếu ánh xạ tự
nhiên G G / A cảm sinh đẳng cấu B G /A.
1.16. Định nghĩa: Idean giải đ-ợc lớn nhất của đại số G đ-ợc gọi là
radican của G , ký hiệu là r.
1.17. Định nghĩa: Đại số Lie G đ-ợc gọi là nửa đơn nếu radican r của
G bằng 0.
1.18. Nhận xét: G nửa đơn nó không ch-a idean aben khác 0.
Đại số Lie

n

n

Chứng minh: Thật vậy, nếu r 0 thì đại số đạo hàm của r khác 0 cuối
cùng sẽ là idean aben khác 0 của .

G

1.19. Định nghĩa: Đại số Lie

S đ-ợc gọi là đơn nếu:

S không aben.
ii) S không có idean khác 0 và S.
1.20. Nhận xét: Nếu A là đại số Lie đơn thì A là đại số Lie nửa đơn;
nếu A là đại số Lie nữa đơn thì [A , A] = A.
i)

VÝ dơ: R3 víi phÐp to¸n tÝch cã h-íng () là đại số Lie đơn. Thật vậy,
theo ví dụ trên ta đà có (R3 , ) là một đại số Lie. Bây giờ ta chỉ ra rằng (R3 , )
không giao hoán và không có iđêan thực sự nào. Thật vËy:
Theo tÝnh chÊt cđa tÝch cã h-íng trong R3 th×:
x  y = - y  x,  x, y R3
do đó R3 không giao hoán.

9


Mặt khác nếu M là iđêan của R3 , M {0} , M R3 thì hoặc
= 1 hoặc dim M = 2.

dimM

NÕu dim M = 1 víi  x  R1 , y  R1 ta cã [x , y]  R1
NÕu dim M = 2 víi  x  R2 , y  R2 ta cã [x , y] R2
Vậy M không là iđêan của R3, do đó (R , ) là đại số Lie đơn.
1.21. Hệ quả: Một đại số Lie nửa đơn đẳng cấu với tích trực tiếp của các
đại số Lie đơn.

10


Đ2. Nhóm Lie

Trong mục này chúng tôi hệ thống lại các khái niệm về nhóm Lie đÃ
đ-ợc trình bày trong [ 4 ] ; [ 5 ] ®Ĩ tiƯn cho việc sử dụng trong các mục tiếp theo,
mà tr-ớc hết là một số khái niệm về đa tạp khả vi.
2.1. Định nghĩa: Một giả nhóm các phép biến đổi của không gian
tôpô S là tập hợp các phép biến đổi thoả mÃn các điều kiện:
i). Mỗi phần tử f là đồng cấu của một tập mở U  S vµo tËp më V
 S.
ii). NÕu f : U V là một phần tử của và U1 là tập con mở của U thì f
U1  .
iii). NÕu { Ui; i  I} lµ hä c¸c tËp më cđa S, U = U Ui ,
V
iI

më  S vµ f : U  V lµ mét phần tử của thì f Ui .
iv). IdU: U U là phần tử của , đối với mäi tËp con më U  S.
v). NÕu f   th× f - 1  .

vi). NÕu f : U  V , f' : U'  V' lµ các phần tử của và nếu
U'
V th× f'. f  .
2.2. Chó ý: Xem Rn nh- là không gian tôpô với tôpô tự nhiên và ký
hiệu r(Rn) là giả nhóm các phép biến đổi lớp C r của Rn, 0r(Rn) là giả nhóm
con của r(Rn) gồm các phép biến đổi có định thức Jacobi d-ơng.
2.3. Định nghĩa: Một tập bản đồ của không gian tôpô M t-ơng thích
với giả nhóm các phép biến đổi của không gian tôpô S là họ các cặp (Ui , i); i
I, sao cho:
i). Ui là các tËp con më cđa M vµ M = U {Ui ; i I}
ii). i là đồng phôi từ Ui vµo mét tËp më cđa S;

11


iii). Nếu Ui Uj thì ánh xạ:
i 0 j : i (Ui  Uj )   j(Ui Uj )
là một phần tử của .
Một tập bản đồ của M t-ơng thích với đ-ợc gọi là tập bản đồ đầy đủ
của M t-ơng thích với nếu nó không chứa trong tập bản đồ nào khác của M
t-ơng thích với .
2.4. Định nghĩa: Một đa tạp khả vi lớp Cr là một không gian tôpô
Hausdorff cùng với một tập bản đồ đầy đủ cố định t-ơng thích với r(Rn). Số n
đ-ợc gọi là số chiều của đa tạp.
Một đa tạp định h-ớng lớp C r là không gian tôpô Hausdorff cùng với
một tập bản đồ đầy đủ cố định t-ơng thích với 0 r(Rn).
Giả sử M là một đa tạp khả vi n - chiều, (U, ) là một bản đồ trên M.
Khi đó các hàm số xi. ; i = 1,2,... , n; xác định trên U đ-ợc gọi là hệ toạ độ địa
ph-ơng trong U.
2.5. Định nghĩa: Cho M, N là các đa tạp khả vi lớp C r với số chiều

t-ơng ứng là n ,m . ánh xạ f : M N gọi là ánh xạ khả vi lớp Ck (k r) nếu f
liên tục và với mọi bản đồ địa ph-ơng (U , x) của M; (V , y) cđa N mµ W = U  f
-1
(V) thì ánh xạ:
y0 f0 x - 1: x(W) y(V)
x(y)

y(f(p))

là ánh xạ khả vi lớp Ck .
Với p M, ký hiệu F(p) là tập các hàm khả vi xác định trong một lân
cận của p, x(t) là đ-ờng cong khả vi trong M sao cho x(t0) = p.
2.6. Định nghĩa: Véctơ tiếp xúc với đ-ờng cong x(t) tại điểm p là ánh
xạ F(p) R xác ®Þnh bëi:
f=

df ( x(t ))
t  t 0 ;
dt

12

 f  F(p)


Véctơ tiếp xúc với đ-ờng cong x(t) tại p cũng gọi là véctơ tiếp xúc của
M tại p.
2.7. Nhận xét: Véctơ v thoả mÃn 2 điều kiện sau:
i).

v là ánh xạ tuyến tính từ

F(p)

vào R.

ii). v(fg)p = (vf).g(p) + f(p).(vg); f, g F(p).
Ký hiệu TpM là tập các véctơ tiếp xúc với M tại p, khi đó TpM là một
không gian véctơ thực, gọi là không gian tiếp xúc với M tại p và ta có dim T pM =
dim M.
Ký hiệu TM =
ánh xạ

X:

{ TpM ; p  M}
M  TM
p  Xp  TpM

gäi lµ một tr-ờng véctơ trên M.
Nếu f F M thì Xf là một hàm số trên M xác định bởi:
(Xf)(p) = Xp f ;  p  M.
Tr-êng vÐct¬ X đ-ợc gọi là tr-ờng véctơ khả vi trên M nếu Xf là hàm khả
vi trên M.
Ký hiệu Vect M là tập các tr-ờng véctơ khả vi trên M, khi đó VectM là
một không gian véctơ thực.
Nếu X, Y VectM ta định nghĩa tích Lie của X và Y, ký hiệu
Y] ; xác định bởi công thức:

[X ,

[X , Y]f = X(Yf) - Y(Xf) ; f FM.
2.8. Định nghĩa: Giả sử f : M N là ánh xạ khả vi, p M. Khi đó f
cảm sinh ánh xạ f*p : TpM Tf (p)N bởi công thøc:
[f*p (v)](g) = v(gf);  g  FN
f*p gäi lµ ánh xạ tiếp xúc tại p.
2.9. Định nghĩa: Tập G đ-ợc gọi là một nhóm Lie nếu các điều kiện
sau thoả mÃn:
i)

G là một nhóm

ii)

G là đa tạp khả vi líp C

13


iii)

C¸c phÐp to¸n trong G:
: G x G 

G

(a , b)   (a, b) = ab
vµ
: G  G
a (a) = a-1

là các ánh xạ khả vi.
2.10. Nhận xét: Điều kiện iii) t-ơng đ-ơng với điều kiện sau:
Phép toán :
: GxG G
(x, y) xy-1
là ánh xạ khả vi lớp C.
Ví dụ: Tập số thực khác không R* với cấu trúc khả vi thông th-ờng là một
nhóm đối với phép nhân thông th-ờng và là một nhóm Lie Aben.
Chứng minh:
+) (R*, x) là nhóm giao hoán.
+) R* là C đa tạp.
+) Các phép toán:
f:
g:

R*

R*

(x, y)

x+y

R*



x

R*

x-1

đều là các C - ánh xạ.
Ví dụ: Đ-ờng tròn đơn vị S1 là nhóm Lie.
Chứng minh:
S1 = { z  C ,  z  = 1 }
lµ nhãm con cđa C* - nhãm c¸c sè phøc kh¸c 0.
S1 là C đa tạp.

14


PhÐp to¸n:
:

S1x S1  S1
(z, z')  z.z' = (x + iy)(x' + iy')
= xx' - yy' + i(xy' + x'y);  x, x', y, y'  R

:

S

1

z

 S

1



z-1 = (x + iy)-1  x, x', y, y'  R

lµ các C - ánh xạ.
Ví dụ:
GL(n , R) là tập các ma trận vuông thực, cấp n, không suy
biến xem nh- một nhóm đối với phép nhân các ma trận và xem nh- một đa tạp
con mở trong đa tạp Rn2 cũng là một nhóm Lie (giao hoán khi n = 1 và không
giao hoán khi n 1).
Chứng minh:
+) GL(n , R) lµ mét nhãm: LÊy A, B  GL(n , R), ta cã:
det (A.B-1) = det A. det B-1 = det A.

1
 0.
det B

Do ®ã A.B-1  GL(n , R) nên GL(n , R) là nhóm con của Mat(n, R).
+) GL(n , R) là một đa tạp khả vi:
Xét ánh xạ

det:

Mat(n, R)
X

R

det X =


i

(trong đó là tích của n phần tử thuộc n dòng và n cột khác nhau của X).
Do đó ánh xạ xác định nh- trên là ánh xạ liên tục.
Ta lại có det (Mat (n , R)\GL(n , R)) = { 0 } là tập đóng trong R với tôpô
tự nhiên, suy ra det - 1({ 0 }) = Mat(n , R) \ GL(n , R) là tập đóng trong Mat(n ,
R) (do det là ánh xạ liên tục). Vậy GL(n , R) là tập mở trong Mat(n , R).
Ta đồng nhất Mat(n , R) với Rn2 là một đa tạp khả vi, suy ra GL(n , R)
là một đa tạp khả vi.

15


+) Các ánh xạ:
f: (GL(n , R), GL(n , R))  GL(n , R)
 A.B

(A, B)
vµ:
g:

GL(n , R)  GL(n , R)

A

A-1

là các ánh xạ khả vi .
Từ các điều trên suy ra GL(n , R) là một nhóm Lie.
2.11. Tính chất: Giả sử a là một phần tử cố định của nhóm Lie G. Các
ánh xạ sau đây là các đồng phôi, hơn nữa là các vi phôi:
i).

Phép tịnh tiÕn ph¶i theo a:
Ra : G  G
x  Ra(x) = xa; x G

ii).

Phép tịnh tiến trái theo a:
La : G  G
x  La(x) = ax;  x G

iii).

Phép lấy nghịch đảo:
:G G
x (x) = x-1;  x  G

Chøng minh:
Ra lµ mét song ¸nh. Ta chøng minh Ra liªn tơc. Cho bÊt kú lân cận W của
xa, ta chứng minh tồn tại lân cËn U cđa x ®Ĩ Ra (U)  W. ThËt vậy, từ tính liên
tục của phép toán nhóm trong G, tồn tại lân cận U của x và lân cËn V cđa a ®Ĩ

UV  W.
Nh-ng Ra (U) = Ua  UV. Do vËy Ra (U)  W, tøc U chính là lân cận
cần thiết.
Mặt khác (Ra)-1 là liên tơc. Ta l-u ý r»ng:
(Ra)-1: xa  x vµ x = (xa)-1a-1.
Do vËy, nÕu ký hiƯu xa = y th×:
(Ra)-1 = y

 ya-1

16


nghĩa là (Ra)-1 = Ra-1.
Do vậy Rb liên tục đối với b G. Vậy là (Ra)-1 liên tục, tức Ra-1 liên
tục. Bây giờ chứng minh Ra là vi phôi:
- Chứng minh Ra khả vi:
Ký hiệu là phép toán nhóm trong G và ký hiệu:
f : G GxG
x  f(x) = (x , a); víi mäi x  G
thÕ th×:


f

G  GxG  G
x 

(x, a)  xa

Ra = 0 f
ánh xạ đà cho là khả vi.
Theo định nghĩa ánh xạ khả vi từ đa tạp tới đa tạp và theo định nghĩa đa
tạp tích dƠ kiĨm tra r»ng f kh¶ vi;  Ra = 0f khả vi.
- Chứng minh (Ra)-1 khả vi: vì (Ra)-1 = Ra-1 và Rb khả vi đối với mọi b G
nên (Ra)-1 khả vi.
Chứng minh cho tr-ờng hợp La và t-ơng tự.
2.12. Tính chất: Giả sử G là nhóm Lie, a G , F là tập đóng trong G, khi
đó Fa, aF, F-1 đều là các tập đóng trong G.
Chứng minh:
Fa đóng; thật vậy, theo trên thì Ra : G  G ; x  Ra(x) = xa là đồng phôi,
mặt khác Ra biến tập đóng F thành tập đóng Ra(F) = Fa Fa đóng.
Chứng minh t-ơng tự đối với aF và F-1.
2.13. Tính chất: Giả sư G lµ nhãm Lie, V lµ tËp më trong G và P là tập
bất kỳ trong G. Khi đó VP, PV, V-1 đều là các tập mở trong G.

17


Chøng minh:
VP më trong G; lÊy a  P; ph-¬ng pháp t-ơng tự ta có Va mở trong G
VP = Va mở trong G. T-ơng tự đối với PV, V-1.
2.14. Tính chất: Đối với bất kỳ hai phần tử p, q thuộc nhóm Lie G đều
tồn tại phần tư a  G sao cho qua phÐp tÞnh tiÕn phải Ra thì p biến thành q.
Chứng minh:
Thật vậy, đặt a = p-1q thì khi đó
Ra :

G G
X Ra (x) = xa = x(p-1q)

Do ®ã Ra (p) = p(p-1q) = q.
Mặt khác, tồn tại duy nhất Ra(p) = q, bëi v× nÕu cã R· (p) = q th× pà = q
à = p-1q = a.
2.15.Tính chất: Mỗi nhóm Lie G đều là không gian tôpô chính quy.
Chứng minh:
Ta chøng minh ®èi víi bÊt kú tËp F ®ãng trong G và x G nh-ng x F
đều tồn tại lân cận V của x và lân cận U cđa F mµ V  U = Ø . Theo tính chất
trên ta chỉ cần chứng minh điều này cho tr-ờng hợp x là e (đơn vị của G). Thật
vậy:
Vì phép toán nhóm là khả vi nên phải liên tục, lại vì ee-1 = e và G\F là lân
cận của e, nên tồn tại lân cận mở V của e ®Ĩ V-1  G\F.
Do yV më  U =

 yV mở.

Ta chứng minh U là một lân cận của F và là lân cận muốn tìm. Do: Vì
V chứa e nªn yV chøa y  U chøa F
; víi y  f th× V  yV = Ø
2.16. TÝnh chất: Mỗi nhóm Lie liên thông G đ-ợc sinh ra bởi lân cận
mở tuỳ ý V của đơn vị e cña nã.

Chøng minh

18


a) Đặt W = V V-1
Nhận thấy W = W-1. ThËt vËy:
x V

x V
xG 

-1
x V
(x-1)-1V-1



x-1V-1
x-1V

 x-1W  (x-1)-1 W-1  x W-1
Còng nhËn thÊy W (  W-1) mở trong G.
Thật vậy, ánh xạ : G G
x

(x) = x-1 ; x G

đồng phôi. Thế mà V mở trong G, do ®ã (V) = V-1 më trong G  V  V-1 =
W më trong G.
b) Ký hiÖu H là nhóm con sinh bởi W thế thì H là hợp của tất cả các
phần tử có dạng Wi. (W-1)j, trong đó:
Wi

=

(W-1)j =

W.W... W

(i lần)

W-1.W-1...W-1

(j lần)

Nh-ng W-1 = W  H = U Wk

(1).

L¹i do W më trong G  Wk më trong G (2)
Tõ (1), (2)  H G là mở trong G H cũng đóng trong G
Vì H ỉ, vừa đóng, vừa mở trong G liên thông nên H = G, vậy W sinh
ra G.
c) Tõ W sinh ra G vµ W  V (vì W =V V-1) nên chính V sinh ra G
(điều phải chứng minh).
2.17.Định nghĩa: Nhóm con H (theo nghĩa đại số) của nhóm Lie G
gọi là nhóm Lie con của G nếu H là đa tạp con của G.
Ví dơ: (R+ , x) lµ nhãm Lie con cđa (R* , x). ThËt vËy:
(R+ , x) lµ nhãm con cđa nhóm (R* , x)
R+ là tập mở trong R* nên nó là đa tạp con.
2.18. Định lý (Elie Cartan): Cho G lµ nhãm Lie, nÕu H lµ nhãm Lie
con (theo nghĩa đại số) và là tập đóng trong G thì H lµ nhãm Lie con.

19


2.19. Định lý (Ado): Mọi nhóm Lie hữu hạn chiều ®Ịu lµ nhãm Lie
con cđa nhãm GL(n , R) víi một nhóm n nào đó.

Đ3. Đại số Lie của nhóm Lie.

20


3.1. Định nghĩa. Tr-ờng véctơ X đ-ợc gọi là tr-ờng vectơ bất biến
trái nếu:
(La)* X = X, a G.
Ta ký hiệu

G là tập các tr-ờng vectơ bất biến trái trên G.

3.2. Nhận xét. Mỗi tr-ờng vectơ bất biến trái hoàn toàn đ-ợc xác định
bởi giá trị của nó tại đơn vị.
Thật vậy, X g, a G, ta có: Xa =( La)* e Xe.
3.3. Định nghĩa. Giả sử f: M M' là ánh xạ khả vi từ đa tạp M đến đa
tạp M'. Tr-ờng vectơ X Vect M đ-ợc gọi là f - liên hƯ víi tr-êng vect¬ X' 
Vect M’ nÕu:
f*p (X(p)) =X'(f(p)),  p  M.
3.4. Bỉ ®Ị. Cho f: M  M' là ánh xạ khả vi từ đa tạp M đến đa tạp M',
tr-ờng vectơ X là f - liên hệ với tr-ờng vectơ X'. Khi đó, ta có:
X(gof) =(X'g)of, g 
Chøng minh:  p  M vµ  g

F M'.

FM' ta có:

((X'g)f)(p) = (X'g)(f(p)) = X'(f(p))(g)

(1)

Vì X là f - liªn hƯ víi X' nªn:
X'(f(p))(g) = f*p(X(p))(g)
= X(p)(gf)
= (X(gf))(p)

(2)

Tõ (1) vµ (2) suy ra X(gof) =(X'g) of, g

FM'.

3.5. Bổ đề. Cho X là f - liên hệ với X' và Y là f - liên hệ với Y'. Khi đó
ta có X,Y là f - liên hệ víi X',Y'.

21


Chøng minh:  pM vµ g 

FM', ta cã:

(f*p([X,Y (p))) (g) = ([X,Y](p))(gof)
= X(p)(Y(gof))-Y(p)(X)(gof))
= X(p)((Y'g) of))-Y(p)(X'g) of
= (X(Y'g) of))-Y((X'g) of))(p)
= (X((Y'g) of- Y((X'g) of))(p)
= ((X'(Y'g)) of - (Y'(X'g)) of)(p)

= (X'(Y'g)) of(p) -(Y'(X'g) of (p)
= (X'(Y'g)) (f(p)) - (Y'(X'g)(f(p))

(*)

Mặt khác ta cã:
([X',Y'](f(p)))(g)

= X'(f(p))(Y'g) - Y'(f(p))(X'g)
= (X'(Y'g))(f(p)) - (Y'(X'g)(f(p)) (**)

Tõ (*) vµ (**) suy ra:
(f*p([X,Y (p)))(g) = ([X',Y' (f(p)))(g),  p M và g

FM'.

Do đó, [X,Y] là f - liên hƯ víi [X',Y'].
3.6. MƯnh ®Ị. TÝch Lie cđa hai tr-êng véctơ bất biến trái trên nhóm
Lie G là một tr-ờng vectơ bất biến trái.
Chứng minh. Với mọi X, Y g ;  a  G, ta cã:
(La )* X = X suy ra (La)*p (Xp) = Xq

(q = La (p)).

Do đó X là La - liên hệ với X
T-ơng tự Y là La - liên hệ với Y.
Từ đó suy ra [X,Y] là La - liên hệ với [X,Y] do đó:
(La)*p [X,Y] p = [X,Y] q
Vậy [X,Y] là tr-ờng vectơ bất biến trái.

G

3.7. Hệ quả. Tập
các tr-ờng vectơ bất biến trái trên G là một đại
số con của đại số Lie VectG. Nó đ-ợc gọi là đại số Lie cña nhãm Lie G.

22


3.8. Nhận xét. Về ph-ơng diện không gian vectơ thì
TeG (và do đó đẳng cấu với TpG, với mọi p G) bởi đẳng cấu

G đẳng cấu với

GTG
e

X Xe
Do ®ã, ta cã thĨ ®ång nhÊt ®¹i sè Lie G với TeG, vì vậy
dim G = dim G.
Giả sử G lµ mét nhãm Lie; a, p  G, v TpG, ta ký hiÖu:
a.v = (La)*p(v) ;

v.a = (Ra)*p(v)

3.9. NhËn xÐt. Nếu v là vectơ tiếp xúc với đ-ờng cong (t) tại
t = to
và a G, khi đó a.v là vectơ tiếp xúc với đ-ờng cong a.(t) tại t = to và v.a là
vectơ tiếp xúc với đ-ờng cong (t).a tại t = to
Thật vậy, theo định nghĩa ta suy ra :

và:

d
(a.(t))to =
dt

d
( a. (t)) to
dt

d
((t).a)to =
dt

d
((t).a))to
dt

3.10. Bổ đề. Nếu (t) và h(t): I G (I G) là các ®-êng cong trong G
th×
d
((t).h(t))=
dt

d
(t). (h(t)) +
dt

d

((t)). h(t).
dt

3.11. NhËn xÐt. Víi e  G, ta cã:
0

=

d
e
dt

= ((t).

=

d
((t).[ (t)]-1)
dt

d
[(t)]-1 +
dt

Tõ ®ã suy ra:

23

d
( (t)).[((t))]-1.

dt


d
[((t)]-1 =
dt

d
d
-((t))-1.( (t)).( (t))-1.
dt
dt

3.12. MƯnh ®Ị. Cho  , v TeG và c R. Giả sử là vectơ tiếp xúc
với đ-ờng cong (t) tại t=0, v là vectơ tiếp xúc với đ-ờng cong h(t) tại t = 0.
Khi đó:
a)

+ v là vectơ tiếp xúc với (t).h(t) tại t = 0

b)

- là vectơ tiếp xúc với (t) tại t = 0

c)

c là vectơ tiếp xúc với (ct) tại t = 0

Chứng minh. Theo định nghĩa ta có:
=

d
((t))t0, v =
dt

d
(h(t))t0,
dt

(0) = h(0) = e
Do ®ã:
a)

d
d
d
(h)t0 = (0).
(h(t)) t0 +
((t)). h(0)t0 =  +v.
dt
dt
dt

b)

d
d
[((t)]-1t0 = -[(0)]-1.(
((t))t0). (0) = - .
dt

dt

c)

d
d
((ct))t0 = c.
((t))t0 = c.
dt
dt

3.13. MƯnh ®Ị. Cho : G K là đồng cấu giữa các nhóm Lie. Khi
đó: 0La = La0 .
Chøng minh.

Ta cã (0La)(p) = (a). (p), p  G.
Do ®ã oLa = La0 .

3.14. MƯnh ®Ị. Cho : G K là đồng cấu giữa các nhóm Lie, kí
hiệu
và
theo thứ tự là đại số Lie cđa nhãm Lie G vµ K, X  , Y 
, *e X e = Y e. Khi ®ã ta cã
*a(Xa) = Y(a) ; a  G.

K

G K

G

24


Chøng minh.
Ta cã Y(a)

= (L (a))*e .Ye'
= (L (a))* (e)(*e(Xe))
= (L(a))*(e)0*e(Xe)
= (L (a)0)*e(Xe)

Mặt khác *a(Xa)

Từ (1) và (2) suy ra:

=

*a((La)*e(Xe))

=

*a0(La)*e(Xe)

=

0(La)*e(Xe)

=

(L(a)0)*e(Xe)

(1)

(2)

*a(X) =Y (a)' aG.

3.15. Nhận xét. Từ mệnh đề trên suy ra X là - liên hệ với Y
3.16. Mệnh đề. Giả sử : G G là tự đẳng cÊu cđa nhãm Lie G. Khi
®ã * : BG  BG biến tr-ờng véc tơ bất biến trái thành tr-ờng vectơ bất biến trái.
Chứng minh.
Ta có 0 La = L(a) 0 (*) aG
Đặt a=-1(b), bG. Khi đó ta có (a) =b.
Thay vµo (1) ta cã 0L-1(b) = 0La = L(a)0 = Lb0.
Do ®ã (Lb)*( *A)

= (Lb)*0*(A), a g.
= (Lb0)*(A) =((0L-1(b))*(A)
= *((L-1(b))*(A))= *A (vì Ag)

Vậy *A là tr-ờng vectơ bất biến trái.

3.18. Định lý.
p,q G, p' =f(p), q' =f(q).

Cho f: G G' là đồng cấu giữa các nhóm Lie, víi

Khi ®ã:

25