Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác

LÊ MINH TÂM

CHƯƠNG 01

HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ


HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

§1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC .................................................................................................................... 4
I. ÔN TẬP ........................................................................................................................................................ 4
1.1. Các hệ thức cơ bản. ............................................................................................................................... 4
1.2. Cung liên kết. ......................................................................................................................................... 4
1.3. Công thức cộng. ..................................................................................................................................... 4
1.4. Công thức nhân và hạ bậc. .................................................................................................................. 4
1.5. Công thức biến đổi tổng thành tích.................................................................................................... 5
1.6. Cơng thức biến đổi tích thành tổng.................................................................................................... 5
1.7. Bảng giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt. ............................................................................. 5
II. HÀM SỐ y = sinx VÀ HÀM SỐ y = cosx............................................................................................... 5
III. HÀM SỐ y = tanx Và HÀM SỐ y = cotx.............................................................................................. 8
IV. BÀI TẬP................................................................................................................................................... 10
Dạng 01. TẬP XÁC ĐỊNH. ...................................................................................................................... 10
Dạng 02. TÍNH CHẴN LẺ. ...................................................................................................................... 13
Dạng 03. CHU KỲ HÀM SỐ. .................................................................................................................. 15
Dạng 04. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT.................................................................. 17

§2. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN ....................................................................................... 21
I. PHƯƠNG TRÌNH SinX = a VÀ PHƯƠNG TRÌNH CosX = a.......................................................... 21
II. PHƯƠNG TRÌNH TanX = a VÀ PHƯƠNG TRÌNH CotX = a ....................................................... 23

III. BÀI TẬP................................................................................................................................................... 26

§3. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI THEO HÀM LƯỢNG GIÁC ................................................................... 32
I. DẠNG CƠ BẢN. ....................................................................................................................................... 32
II. BÀI TẬP. ................................................................................................................................................... 33

§4. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VỚI HÀM SIN - COS ....................................................................... 43
I. DẠNG CƠ BẢN. ....................................................................................................................................... 43
II. BÀI TẬP. ................................................................................................................................................... 44

§4. PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP ........................................................................................................ 54
I. DẠNG CƠ BẢN. ....................................................................................................................................... 54
II. BÀI TẬP. ................................................................................................................................................... 55
LÊ MINH TÂM

Trang 2


HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
§5. PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG ........................................................................................................ 62
I. DẠNG CƠ BẢN. ....................................................................................................................................... 62
II. BÀI TẬP. ................................................................................................................................................... 62

§6. CÁC LOẠI PHƯƠNG TRÌNH KHÁC ................................................................................................ 68
I. BIẾN ĐỔI TÍCH THÀNH TỔNG. ........................................................................................................ 68
1.1. Ví dụ minh họa. ................................................................................................................................... 68
1.2. Bài tập rèn luyện................................................................................................................................. 68
II. BIẾN ĐỔI TỔNG THÀNH TÍCH. ....................................................................................................... 70
2.1. Ví dụ minh họa. ................................................................................................................................... 70
2.2. Bài tập rèn luyện................................................................................................................................. 70

III. TỔNG HỢP CÁC PHƯƠNG PHÁP. ................................................................................................. 73
3.1. Ví dụ minh họa. ................................................................................................................................... 73
3.2. Bài tập rèn luyện................................................................................................................................. 74
IV. PHƯƠNG TRÌNH CĨ ĐIỀU KIỆN. .................................................................................................. 75
4.1. Ví dụ minh họa. ................................................................................................................................... 76
4.2. Bài tập rèn luyện................................................................................................................................. 77

§7. TỔNG ƠN CHƯƠNG .......................................................................................................................91
Dạng 01. TẬP XÁC ĐỊNH. ...................................................................................................................... 91
Dạng 02. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT.................................................................. 93
Dạng 03. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC. ...................................................................................... 96
Dạng 04. TỔNG HỢP PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC. ............................................................ 113

Trang 3

LÊ MINH TÂM


HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

CHƯƠNG

§1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
I. ƠN TẬP
1.1. Các hệ thức cơ bản.

tan .cot  1

sin2

 cos2

1

1  tan 2



1
cos2

1  cot 2



1
sin 2

1.2. Cung liên kết.
Cung đối nhau

cos  

  cos
sin      sin
tan      tan
cot      cot

Cung bù nhau

sin  

cos  

tan  

cot  

  sin
   cos
   tan
   cot

Cung phụ nhau

sin  
2

cos  
2


  cos


  sin



tan     cot

2



cot     tan
2


1.3. Công thức cộng.
sin  a  b   sin a cos b  sin b cos a

tan  a  b  

tan a  tan b
1  tan a.tan b

Cung hơn kém

sin  

cos  

tan  

cot  

   sin
   cos
  tan
  cot

cos  a  b   cos a cos b

tan  a  b  

Cung hơn kém

2


sin  
2

cos  
2


  cos


   sin



tan      cot
2



cot      tan

2


sin a sin b

tan a  tan b
1  tan a.tan b


 1  tan x

 1  tan x
Hệ quả: tan   x  
và tan   x  
.
4
 1  tan x
4
 1  tan x
1.4. Công thức nhân và hạ bậc.
Nhân đôi
Hạ bậc
1  cos 2
sin 2 
sin 2  2 sin cos
2
2
2
1  cos 2
cos 2  cos  sin

cos2 
2
2
2
 2 cos 1  1  2 sin
2 tan
1  cos 2
tan 2 
tan 2 
2
1  cos 2
1  tan

LÊ MINH TÂM

Trang 4


HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
cot 2  1
2 cot
1.5. Công thức biến đổi tổng thành tích.
ab
ab
cos a  cos b  2 cos
.cos
2
2
ab
ab

sin a  sin b  2 sin
.cos
2
2
sin  a  b 
tan a  tan b 
cos a.cos b
sin  a  b 
cot a  cot b 
sin a.sin b
cot 2 



cot 2

1  cos 2
1  cos 2

ab
ab
.sin
2
2
ab
ab
sin a  sin b  2 cos
.sin
2
2

sin  a  b 
tan a  tan b 
cos a.cos b
sin  b  a 
cot a  cot b 
sin a.sin b

cos a  cos b  2 sin

Đặc biệt








sin x  cos x  2 sin  x    2 cos  x  
sin x  cos x  2 sin  x     2 cos  x  
4
4
4
4




1.6. Công thức biến đổi tích thành tổng.
1

cos a.cos b  cos  a  b   cos  a  b 
2
1
sin a.sin b  cos  a  b   cos  a  b 
2
1
sin a.cos b  sin  a  b   sin  a  b 
2
1.7. Bảng giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt.
Đơn vị
30o
45o
60o
90o
120o
150o
180o
360o
0o
135o
độ
2
3
5
Đơn vị
0
2
radian
3
4

6
6
4
3
2
1
1
2
3
3
2
0
0
0
sin
1
2
2
2
2
2
2

1
2

cos

1

3
2

2
2

tan

0

3
3

1

3

KXĐ

cot

KXĐ

3

1

3
3

0

0



1
2



2
2



3
2

1

1

3
3

0

0

KXĐ

KXĐ

 3

1



3
3

1

 3



II. Hàm Số y = sinx Và Hàm Số y = cosx.
Hàm số y  sin x
1. Định
nghĩa:

Trang 5

Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x
với sin của góc lượng giác có số đo x
rađian được gọi là hàm số sin , kí hiệu
y  sin x .

Hàm số y  cos x
Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x
với cos của góc lượng giác có số đo x
rađian được gọi là hàm số cos , kí hiệu
y  cos x .

LÊ MINH TÂM


HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
2. Tập
xác định:
3. Tập
giá trị:
4. Tính
chất hàm
5. Chu kỳ

6. Đơn
điệu

D

D

 1;1

 1;1

Là hàm số lẻ.

Là hàm số chẵn.

Chu kì 2 .

Chu kì 2 .

Hàm số
+ Đồng biến trên mỗi khoảng


   k2 ;  k2  .
2
 2

+ Nghịch biến trên mỗi khoảng


3
 k2  .
  k2 ;
2
2


Hàm số
+ Đồng biến trên mỗi khoảng
   k2 ; k2  .
+ Nghịch biến trên mỗi khoảng

 k2 ;  k2  .

7. Đồ thị

sin x  1  x  

8. Giá trị
đặc biệt

2
sin x  0  x  k .
sin x  1  x 

2

LÊ MINH TÂM

 k2 .

 k2 .

cos x  1  x   k2 .
cos x  0  x 

k .
2
cos x  1  x  k2 .

Trang 6

HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
Chú ý:

+) Hàm số y  sin u  x   , y  cos u  x   xác định  u  x  có nghĩa.
+) 1  sin x,cos x  1 ; 0  sin 2 x ,cos 2 x  1 ; 0  sin x , cos x  1.

Ví dụ 01.
Tìm tập xác định của các hàm số sau:
a. y  sin 4x .

b. y  sin

3x  1
.
x2  1
Lời giải

c. y  cos x  2 .

a. y  sin 4x .
Hàm số xác định với mọi số thực x nên hàm số có tập xác định D 
3x  1
b. y  sin 2
.
x 1
Hàm số xác định khi x2 1  0  x  1 .
Tập xác định D  \1 .

.

c. y  cos x  2 .
Hàm số xác định khi x  2  0  x  2 .
Tập xác định D  2;   .
Ví dụ 02.
Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau:
a. y  3cos x  sin 2 x .

b. y 

1  sin 2 2 x
.
1  cos 3x

Lời giải
a. y  3cos x  sin x .
2

Hàm số có tập xác định D  .
Lấy x ta có x  và y  x   3 cos  x   sin2  x   3 cos x  sin2 x  y  x  .
Do đó hàm số là hàm chẵn .
1  sin 2 2 x
b. y 
1  cos 3x
Hàm số xác định khi cos 3x  1  3x   k 2  x 
Tập xác định D 


k2
\ 

3
3

3



k2
3

k   .



 k   .


Ta thấy nếu x  D  cos 3x  1 mà cos  3x   cos 3x  cos  3x   1  x  D

Khi đó y   x  

1  sin 2  2x 
1  cos  3x 



1  sin 2 2x
 y  x .
1  cos 3x

Do đó hàm số là hàm chẵn .
Ví dụ 03.
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

Trang 7

LÊ MINH TÂM


HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
a. y  4  3 sin 5x .

b. y  2 sin 2 x  cos 2 x  1 .



c. y  sin x , x    ;  .
 4 4

Lời giải
a. y  4  3 sin 5x .
Hàm số có tập xác định D  .
Ta có 1  sin x  1  3  3 sin x  3  3  4  4  3 sin x  3  4  1  y  7 .
Do đó: max y  7  sin x  1  x  

min y  1  sin x  1  x 

2

 k2

2

 k2

k   .

k  

 2

1
b. y  2 sin 2x  cos 2x  1  3 
sin 2x 
cos 2x   1
 3

3


Đặt sin



1
3

; cos 

2

3

   0;  ta có

y  3  cos sin 2x  sin cos 2x   1  3 sin  2x 
Ta có:

1  sin  2x 

 1 

3  3 sin  2x 



Do đó: max y  1  3 đạt được khi sin  2x 
min y  1  3 đạt được khi sin  2x 

 1

3   3  1  3 sin  2x 

 1 

3 1

 1

  1 .



c. y  sin x , x    ; 
 4 4
Hàm số y  sin x đồng biến trên khoảng   ;

 nên





 
2
2
y
Với x    ;   sin     sin x  sin    
.
2
2
 4 4
 4
4

Do đó max y 

2
2
đạt được khi x  ; min y 
đạt được khi x   .

2
2
4
4

III. Hàm Số y = tanx Và Hàm Số y = cotx.

1. Định
nghĩa:
2. Tập
xác
định:
3. Tập
giá trị:

Hàm số y  tan x

Hàm số y  cot x

Hàm số tang là hàm số được xác định bởi
sin x
công thức y 
 cos x  0 , ký hiệu
cos x
y  tan x .

Hàm số côtang là hàm số được xác định
cos x
bởi công thức y 
 sin x  0 , ký

sin x
hiệu y  cot x .

D



\  k , k  
2


 1;1

LÊ MINH TÂM

D

\k , k 



 1;1

Trang 8


HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
4. Tính
chất
hàm

5. Chu
kỳ
6. Đơn
điệu

Là hàm số lẻ.
Chu kì

Là hàm số lẻ.

.

Chu kì

.

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng


3
k ;  k  .
k  .
 k ;
2
2


7. Đồ
thị

 Chú ý:
- Hàm số y  tan u  x   xác định khi và chỉ khi cosu  x   0 .
- Hàm số y  cot u  x   xác định khi và chỉ khi sin u  x   0 .
Ví dụ 04.
Tìm tập xác định của các hàm số sau:


a. y  tan  x   .
4




b. y  cot  x   .
3


Lời giải

Trang 9

LÊ MINH TÂM


HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC


a. y  tan  x   .
4




Hàm số xác định khi cos  x    0  x    k  x   k
4
4 2
4



Do đó hàm số có tập xác định D  \   k  k    .
4


k  



b. y  cot  x  
3



Hàm số xác định khi sin  x    0  x   k  x   k
3
3
3



Do đó hàm số có tập xác định D  \   k  k    .

3


k  

IV. BÀI TẬP.
Dạng 01. TẬP XÁC ĐỊNH.
Phương pháp giải:
1.

f  x  xác định  f  x   0 ;

1
xác định  f  x   0 .
f  x

 
3. y  cos  f  x   xác định  f  x  xác định.
4. y  tan  f  x   xác định  f  x    k  k   .
2
5. y  cot  f  x   xác định  f  x   k  k   .
2. y  sin f  x  xác định  f  x  xác định.

Bài 01.
Tìm tập xác định của các hàm số sau:
1
1. y 
2 cos x  3
3. y 

2. y  1  sin x

4  cos x
4 sin 2 x  1

4. y 

1  cos x
cos 2 x

Lời giải
1. y 

1
2 cos x  3

3
 x    k2 , k 
2
6


Tập xác định của hàm số là D  \   k 2 , k   .
 6

Điều kiện: cos x 

2. y  1  sin x
Điều kiện: 1  sin x  0  sin x  1 x 
LÊ MINH TÂM


Trang 10


HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
Tập xác định của hàm số là D 
4  cos x
3. y 
4 sin 2 x  1

.


x  6  k2

x  5  k2
1 
6
,k .
Điều kiện: 4 sin 2 x  1  0  sin x    
2 
x    k2

6

7
x 
 k2
6




5
7
 k2 , k   .
Tập xác định của hàm số là D  \   k 2 ,  k 2 ,   k 2 ,
6
6
6
6


4. y 

1  cos x
cos 2 x

Điều kiện:

1  cos x  0
1  cos x
0
 x   k ,k
2
cos
x

0
2

cos x


Tập xác định của hàm số là D 



\  k , k   .
2


Bài 02.
Tìm tập xác định của các hàm số sau:
1  cos x
1. y 
cot x  3


3. y  cot   2 x 
3


2. y 

2 sin x

3 tan x  1


4. y  tan  2 x  

4

6. y  1  tan2 x

5. y  tan x  cot x
Lời giải
1. y 

2. y 

1  cos x
cot x  3

cot x   3

x    k
Điều kiện: 

,k
6
sin x  0
x  k




Tập xác định của hàm số là D  \   k , k , k   .
 6

2 sin x

3 tan x  1


1
 x  6  k
tan x 
,k
Điều kiện: 
3
cos x  0
x   k


2

Trang 11

LÊ MINH TÂM


HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
Tập xác định của hàm số là D 



\  k ,  k , k   .
2
6




3. y  cot   2 x 
3



k
,k
Điều kiện: sin   2 x   0   2x  k  x  
3
6 2
3



k
,k  .
Tập xác định của hàm số là D  \  
6 2



4. y  tan  2 x  
4



k

,k
Điều kiện: cos  2 x    0  2 x    k  x  
4
4 2
8 2



k
,k  .
Tập xác định của hàm số là D  \  
8 2


5. y  tan x  cot x
cos x  0
k
 sin 2x  0  2x  k  x 
,k
Điều kiện: 
2
sin x  0
k

Tập xác định của hàm số là D  \  , k   .
 2


6. y  1  tan2 x
Điều kiện: cos x  0  x 

2

 k ,k

Tập xác định của hàm số là D 

LÊ MINH TÂM

.



\  k , k   .
2


Trang 12


HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
Dạng 02. TÍNH CHẴN LẺ.
Phương pháp giải:
1. Tập xác định D : x  D  x  D ..
2. Xét f  x  và f   x  .

– Nếu f  x   f  x  , x  D thì hàm số chẵn trên D .

– Nếu f  x    f  x  , x  D thì hàm số lẻ trên D .
Bài tập.

Xét tính chẵn, lẻ của hàm số:
1. y  sin4 x ;

sin x.cos x
;
tan x  cot x


5. y  cos  x   ;
4

2. y 

cos 4 x  1
4. y 
;
sin 3 x
7. y  sin x  2 tan x ;

3. y 

sin x  tan x
;
sin x  cot x

6. y  tan x ;
8. y 

cos x
.

1  sin 2 x

Lời giải
1. y  sin x
4

Tập xác định D  , x  D  x  D .
Đặt y  f  x   sin4 x .
Ta có: f  x   sin 4  x     sin x   sin 4 x  f  x  .
4

Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn.
sin x.cos x
2. y 
tan x  cot x


Tập xác định D  \  k , k   , x  D   x  D .
 2

Đặt y  f  x  
Ta có: f   x  

sin x.cos x
.
tan x  cot x
sin   x  .cos   x 

tan   x   cot   x 



 sin x.cos x
sin x.cos x

 f  x .
 tan x  cot x tan x  cot x

Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn.
sin x  tan x
3. y 
sin x  cot x

 1 5 

Tập xác định D  \  k ,  arccos 
  m2 , k , m   , x  D   x  D .
 2 
 2



sin x  tan x
Đặt y  f  x  
.
sin x  cot x
sin   x   tan   x   sin x  tan x sin x  tan x
Ta có: f   x  



 f  x .
sin   x   cot   x   sin x  cot x sin x  cot x
Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn.

Trang 13

LÊ MINH TÂM


HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
4. y 

cos 4 x  1
sin 3 x
Tập xác định D 
Đặt y  f  x  
Ta có: f   x  

\k , k 

cos 4 x  1
.
sin3 x
cos4   x   1
sin3   x 

 , x  D  x  D .

cos4 x  1


  f  x .
 sin3 x

Vậy hàm số đã cho là hàm số lẻ.


5. y  cos  x  
4

Tập xác định D 

, x  D  x  D .


Đặt y  f  x   cos  x   .
4





Ta có: f   x   cos   x    cos  x   .
4
4


Ta thấy f  x   f  x  , f  x    f  x  .

Vậy hàm số đã cho là hàm số không chẵn, không lẻ.
6. y  tan x



\   k  , x  D   x  D .
2

Đặt y  f  x   tan x .

Tập xác định D 

Ta có: f  x   tan x  tan x  f  x  .
Ta thấy f  x   f  x  , f  x    f  x  .
Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn.
7. y  sin x  2 tan x


\   k  , x  D   x  D .
2

Đặt y  f  x   sin x  2 tan x .

Tập xác định D 

Ta có: f  x   sin  x   2 tan  x    sin x  2 tan x    sin x  2 tan x    f  x  .
Vậy hàm số đã cho là hàm số lẻ.
cos x
8. y 
1  sin 2 x
Tập xác định D  , x  D  x  D .
cos x
Đặt y  f  x  

. Ta có:
1  sin 2 x
cos   x 
cos x
f  x  

 f  x  . Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn.
2
1  sin   x  1  sin 2 x

LÊ MINH TÂM

Trang 14


HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
Dạng 03. CHU KỲ HÀM SỐ.
Phương pháp giải:

Định nghĩa: Hàm số y  f  x  xác định trên tập D được gọi là hàm số tuần hồn nếu có số T  0 sao
cho với mọi x  D ta có x  T  D và f  x  T   f  x  .
Nếu có số T dương nhỏ nhất thỏa mãn các điều kiện trên thì hàm số đó được gọi là hàm số tuần hồn
với chu kì T .
 Lưu ý:
. Hàm số f  x   a sin ux  b cos vx  c ( với u, v  ) là hàm số tuần hoàn với chu kì T  2
( u , v
u , v 
là ước chung lớn nhất).

 Hàm số f  x   a.tan ux  b.cot vx  c



(với u, v  ) là hàm tuần hoàn với chu kì T 

u , v 

.

y  f1  x  có chu kỳ T1 ; y  f2  x  có chu kỳ T2

Thì hàm số y  f1  x   f2  x  có chu kỳ T là bội chung nhỏ nhất của T1 và T2 .

 y  sin x : Tập xác định

D  R ; tập giá trị T  1;1 ; hàm lẻ, chu kỳ T0  2 .
2
y  sin  ax  b  có chu kỳ T0 
a





y  sin f  x  xác định  f  x  xác định.

 y  cos x : Tập xác định

D  R ; Tập giá trị T   1, 1 ; hàm chẵn, chu kỳ T0  2 .
2
y  cos x có chu kỳ T0 

a





y  cos f  x  xác định  f  x  xác định.



y  tan x : Tập xác định D 

y  tan  ax  b  có chu kỳ T0 







\   k , k  Z  ; tập giá trị T 
2


, hàm lẻ, chu kỳ T0 

.

a

y  tan f  x  xác định  f  x  



y  cot x : Tập xác định D 

y  cot  ax  b  có chu kỳ T0 





 k k  
2
\k , k  Z ; tập giá trị T 

, hàm lẻ, chu kỳ T0 

.

a

y  cot f  x  xác định  f  x   k

k   .

 Phương pháp chứng minh.
x  T  D
Tập xác định hàm số D , x  D  
.

x  T  D
1 Chứng minh: f  x  T   f  x  , x  D .

Trang 15

LÊ MINH TÂM


HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
x  T  D

thỏa 
 vô lý.

f
x

T

f
x
,

x

D







Vậy hàm số f  x  là hàm tuần hoàn với chu kỳ T .

 2  Giả sử có số T  sao cho 0  T  T

Bài 01.
Chứng minh rằng y  sin 2x tuần hoàn có chu kỳ

.

Lời giải
Hàm số y  f  x   sin 2x có tập xác định . Chọn số L   0
Ta có: x 

 x 

và f  x  L   sin  2  x 

Vậy hàm số f  x  là hàm số tuần hoàn.

  sin  2x  2   sin 2x  f  x  .

Ta sẽ chứng minh chu kỳ của nó là .
Thật vậy, giả sử hàm số f  x   sin 2x có chu kỳ A mà 0  A  , khi đó ta có:
sin  2  x  A    sin 2 x , x 

 




thì sin  2   A    sin  sin   2 A   1
2
4

2

 4
 cos 2A  1 : vơ lý, vì 0  2A  2
Vậy chu kì tuần hồn của hàm số y  sin 2x là .

Cho x 

Bài 02.


Chứng minh rằng y  tan  x   tuần hồn có chu kỳ .
4

Lời giải


Hàm số y  f  x   tan  x   có tập xác định D 
4




\  k , k   .
4



Chọn số L   0




và f  x  L   tan  x     tan  x    f  x  .
4
4


Vậy hàm số f  x  là hàm số tuần hồn.

Ta có: x 

 x 

Ta sẽ chứng minh chu kỳ của nó là .


Thật vậy, giả sử hàm số y  tan  x   có chu kỳ A mà 0  A  , khi đó ta có:
4





tan  x     tan  x   , x  D
4

4




Cho x  0 thì tan  A    1 vơ lý vì 0  A  .
4



Vậy chu kì tuần hoàn của hàm số y  tan  x   là
4


LÊ MINH TÂM

.

Trang 16


HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
Dạng 04. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT.
Phương pháp giải:
Sử dụng tính chất 1  sin x  1 và 1  cos x  1 .
Bài tập.
Tìm GTNN và GTLN của các hàm số:
2. y  cos2 x  6 sin x  3 ;

1. y  2 cos x  3  4 ;

3. y 

2
;
cos x  4 cos x  5

4. y  sin4 x  2 cos2 x  5 ;

2

5. y  sin 2 x  2 sin x  5 ;

1

6. y 

;
2 sin x  3
1
8. y 
;
2
sin x  2 cos x  5
10. y  sin 4 x  cos4 x .

7. y  cos4 x  2 sin 2 x  1 ;
9. y  2  cos 2 x ;
Lời giải
1. y  2 cos x  3  4 .
Điều kiện xác định: 2 cos x  3  0  cos x 

3
 x
2

.

Ta có: 1  cos x  1

 2  2 cos x  2  1  2 cos x  3  5  1  2 cos x  3  5  3  2 cos x  3  4  5  4
Vậy GTLN của hàm số là

GTNN của hàm số là 3 khi cos x  1  x   k 2
2. y  cos2 x  6 sin x  3 .

k   ,
k   .

5  4 khi cos x  1  x  k 2





Ta có: y  cos 2 x  6 sin x  3  1  sin 2 x  6 sin x  3   sin 2 x  6 sin x  4 .
Đặt t  sin x, t  1;1 . Khi đó: y  f  t   t 2  6t  4 xác định với t   1;1
Bảng biến thiên f  t  :

Vậy GTLN của hàm số là 9 khi t  sin x  1  x  
GTNN của hàm số là 3 khi t  sin x  1  x 

3. y 

2

 k2

2

 k2

k  ,

k  .

2
.
cos x  4 cos x  5
2

Trang 17

LÊ MINH TÂM


HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
Đặt t  cos x, t  1;1 . Khi đó: cos2 x  4 cos x  5  t 2  4t  5  f  t  xác định với t   1;1
Bảng biến thiên f  t  :

2
1


cos x  4 cos x  5 5
Vậy GTLN của hàm số là 1 khi f  t   2  t  1  cos x  1  x   k 2
Suy ra: 2  cos2 x  4 cos x  5  10  1 

GTNN của hàm số là
4. y  sin4 x  2 cos2 x  5 .

2

1
khi f  t   10  t  1  cos x  1  x  k 2
5



k   ,

k   .



Ta có: y  sin 4 x  2 cos 2 x  5  sin 4 x  2 1  sin 2 x  5  sin 4 x  2 sin 2 x  3 .
Đặt t  sin2 x , t  0;1 . Khi đó: y  f  t   t 2  2t  3 xác định với t  0;1 .
Bảng biến thiên f  t  :

 k k 
2
GTNN của hàm số là 3 khi sin2 x  0  sin x  0  x  k  k   .
Vậy GTLN của hàm số là 6 khi sin 2 x  1  cos x  0  x 

,

5. y  sin 2 x  2 sin x  5 .
Đặt t  sin x, t  1;1 . Khi đó: y  f  t   t 2  2t  5 xác định với t   1;1 .
Bảng biến thiên f  t  :

Vậy GTLN của hàm số là 8 khi sin x  1  x 
LÊ MINH TÂM

2

 k2

k   ,
Trang 18


HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
GTNN của hàm số là 4 khi sin x  1  x  

2

 k2

k  .

1

6. y 

.
2 sin x  3
Điều kiện xác định: sin x  3  0  sin x  3  x  .
Ta có: 1  sin x  1
1
1
1
1
1
1
 2  sin x  3  4  2  sin x  3  2 

 


2
sin x  3 2
2 2 2 sin x  3 4
1
Vậy GTLN của hàm số là
khi sin x  1  x    k 2  k   ,
2
2 2
1
GTNN của hàm số là
khi sin x  1  x   k 2  k   .
2
4
4

2
7. y  cos x  2 sin x  1 .





Ta có: y  cos 4 x  2 sin 2 x  1  cos 4 x  2 1  cos 2 x  1  cos 4 x  2 cos 2 x  1 .
Đặt t  cos2 x, t  0;1 . Khi đó: y  f  t   t 2  2t  1 xác định với t  0;1 .
Bảng biến thiên f  t  :

Vậy GTLN của hàm số là 2 khi cos2 x  1  sin x  0  x  k
GTNN của hàm số là 1 khi cos2 x  0  cos x  0  x 
8. y 

2

k   ,

k

k   .

1
.
sin x  2 cos x  5
Ta có: y  sin 2 x  2 cos x  5  1  cos 2 x  2 cos x  5   cos 2 x  2 cos x  6 .
2





Đặt t  cos x, t  1;1 . Khi đó: y  f  t   t 2  2t  6 xác định với t   1;1 .
Bảng biến thiên f  t  :

Suy ra: 3   cos2 x  2 cos x  6  7 

Trang 19

1
1
1


2
3  cos x  2 cos x  6 7
LÊ MINH TÂM


HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
Vậy GTLN của hàm số là
GTNN của hàm số là

k   ,

1
khi cos x  1  x   k 2
3

1
khi cos x  1  x  k 2
7

k   .

9. y  2  cos 2 x .
Ta có: 1  cos 2x  1  1  2  cos 2x  3  1  2  cos 2x  3
Vậy GTLN của hàm số là

3 khi cos 2x  1  2x  k 2

GTNN của hàm số là 1 khi cos 2x  1  2x   k 2

k    x  k k   ,

k    x  2  k k   .

10. y  sin 4 x  cos4 x .





2
1
 y  sin2 x  cos2 x  2 sin2 x.cos2 x  y  1  sin2 2x
2
1
1

1
1
Ta có: 0  sin 2 2x  1  0   sin 2 2x    1  1  sin 2 2x 
2
2
2
2

Vậy GTLN của hàm số là 1 khi sin 2 2x  0  sin 2x  0  2x  k  x  k
GTNN của hàm số là

2

,k 

,

1
khi sin 2 2x  1  cos 2x  0  2x   k  x   k ,  k 
2
4
2
2

.

------------------HẾT------------------

LÊ MINH TÂM

Trang 20


HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

§2. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
I. PHƯƠNG TRÌNH SinX = a VÀ PHƯƠNG TRÌNH CosX = a.
Phương trình SinX = m (1)

Phương trình CosX = a (2)

– Nếu m  1: Phương trình vơ nghiệm.

– Nếu m  1: phương trình vơ nghiệm.



– Nếu m  1     ;  thỏa mãn
 2 2
sin  m.
x   k2
1  sin x  sin   x    k 2  k 


– Nếu m  1    0;  thỏa mãn cos  m.
x   k2
 2   cos x  cos   x    k 2  k   .


 Chú ý: Nếu

.


  
 Chú ý: Nếu
thỏa mãn  2
2 thì ta
sin  m
 arccos m.


viết  arcsin m.
Các trường hợp đặc biệt:
 sin x  1  x 

2

 k2

Các trường hợp đặc biệt:
 cos x  1  x  k 2

k  .

 k2  k 
2
 sin x  0  x  k  k   .
 sin x  1  x  

0  
thỏa mãn 
thì ta viết
cos  m

.

 cos x  1  x 

 k  .
 k2  k   .

 cos x  0  x 

k

2

k  .

Ví dụ 01.
Giải các phương trình sau:
a. sin x 

3
.
2

b. sin x 

c. cos  x  60  

2
.
2




e. sin  x    sin  2 x   .
3
6



1
.
3

d. sin 2x  2 .


f. sin   2 x   cos 2 x .
4


Lời giải
a. sin x 

3

2


x  3  k2
 sin x  sin  
3
x  2  k2

3
1
b. sin x 
3

Trang 21

k   .

LÊ MINH TÂM


HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

1
 x  arcsin 3  k 2

 x   arcsin 1  k 2

3

c. cos  x  60  

k  .

2
2

 sin  90  x  60  

2
2

30  x  45  k360
 x  15  k360
 sin  30  x   sin 45  

k 
30  x  135  k360
 x  105  k360



d. sin 2x  2 (1)

2  1 nên phương trình (1) vơ nghiệm.




e. sin  x    sin  2 x  
3

6





 x  3  2x  6  k 2
x   2  k 2
x  2  k2



k 
 x    2x   k 2
3x  5  k 2
x  5  k 2
6
18
3
3
6





f. sin   2 x   cos 2 x
4

Vì







 sin   2 x   sin   2 x 
4

2



 4  2x  2  2x  k 2
0 x  4  k 2


 x    k ,k
16
2
  2x    2x  k 2
 4 x   k 2
 4

2
4
Ví dụ 02.
Giải các phương trình sau:

a. cos x  

3
.
2

c. cos  x  30  

b. cos x 

3
.
2

1
.
5

3
.
2
x 4 


f. cos  
  cos  x    0 .
3
2 3 

d. cos x 

2
x
 .
e. cos 2x  cos 
 3 5

Lời giải
a. cos x  

3
2

 cos x  cos
b. cos x 

5
5
x
 k2 , k  .
6
6

1
5
LÊ MINH TÂM

Trang 22

HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
1
 x   arccos  k 2 , k  .
5
c. cos  x  30  

3
2

 x  30  30  k360
 x  k360
 cos  x  30   cos 30  

k 
 x  30  30  k360
 x  60  k360
3
d. cos x  (2)
2
3
Vì  1 nên phương trình (2) vơ nghiệm.
2
2
x
 
e. cos 2x  cos 
 3 5

11


2
x
2
10
10
 2x  3  5  k 2
 5 x  3  k2
 x  33  k 11



 2x  x  2  k 2
 9 x   2  k2
 x   10  k 10

 5

5 3
3
27
9
x 4 


f. cos  
  cos  x    0
3
2 3 


.

k   .

x 4
x 4

x

x
2
3
3
2
3
3 0
 2 cos
 cos
2
2
 3x

 x 5 
 cos     cos   
0
 4 2
 4 6 


 3x



4
4
 3x
 3x
cos     0
x
k
  k
 k



 4 2
3
3

 4 2 2
 4


x
x
5
4

16
 x 5 
x 

 
 
 k
k
 k4
cos   
0


4
6
2
4
3
3



 4 6 


k  

II. PHƯƠNG TRÌNH TANX = a VÀ PHƯƠNG TRÌNH COTX = a
Phương trình TanX = m (3)


– Với m ,     ;  : tan  m.
 2 2
3  tan x  tan  x   k .

Phương trình CotX = a (4)


– Với m ,     ;  : cot  m.
 2 2
 4  cot x  cot  x   k .


  
 Chú ý: Nếu thỏa mãn  2
2 thì ta  Chú ý: Nếu thỏa mãn
tan  m

viết  arctan m.
viết  arccot m.
Các trường hợp đặc biệt:
Các trường hợp đặc biệt:

 tan x  1  x 

4

k

 tan x  1  x  

Trang 23

4

k  .
k

k  .

 cot x  1  x 

4


  
2 thì ta
 2

cot  m

k

 cot x  1  x  

4

k  .
k

k  .

LÊ MINH TÂM

HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
 tan x  0  x  k

 k  .

 cot x  0  x 

2

k

 k  .

Chú ý:
 u  v  k2 ,
k
 sin u  sin v  
u   v  k 2 , k 



u   l  hay v   l   l 
2
2
 tan u  tan v  


u  v  k  k  


u  v  k 2 , k 
 cos u  cos v  
u   v  k 2 , k 




u  l  hay v  l
 cot u  cot v  

u  v  k  k  

 l  

CẦN NHỚ: Phương trình tan x  a , cot x  a ln có nghiệm với a  .
Ví dụ 03.
Giải các phương trình sau:
1
a. tan x  1 .
b. tan 2x   .
c. cot x  0 .
3
3

2

 x   tan 2 x  0 . f. tan 
 x   cot x .
d. cot 3x  2 .

e. tan 
 4

 3



g. cot  3x    cot 2 x .
3


Lời giải
a. tan x  1 .
Ta có: tan x  1  tan x  tan
b. tan 2x  

4

x

4

 k ,k .

1
3

 1
 1
1

1
Ta có: tan 2x    2x  arctan     k  x  arctan     k , k 
3
2
2
 3
 3
c. cot x  0 .

Ta có: cot x  0  cot x  cot

2

x

2

 k ,k

d. cot 3x  2 .

1
Ta có cot 3x  2  3x  arccot  2   k  x  arccot  2   k , k 
3
3
3

 x   tan 2 x  0 .
e. tan 
 4


Ta có:


2x   k
x k


3


3 


2
4
2 , k ,n
tan 
 x   tan 2x  0  tan 2 x  tan  x    

4 
 4


2x  x  3  n
x   3  n


4
4



Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

LÊ MINH TÂM

Trang 24


HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
Nhận xét: Việc giải dạng này theo chú ý ở trên cho kết quả nhanh, tuy nhiên nhiều bài học sinh sẽ khó
khăn trong việc nhìn nhận quan hệ bao hàm giữa các họ nghiệm. Nên sử dụng đường tròn lượng giác
để minh họa hoặc giải theo cách “dài” hơn như sau:

3

 x  0
cos 
Điều kiện: 
. Khi đó
 4

cos 2 x  0

3


3 
3
3

 x   tan 2x  0  tan 2 x  tan  x 
k  x
 k ,k
tan 
  2x  x 
4 
4
4
 4


Thay vào điều kiện ta thấy khơng thỏa mãn. Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
2

 x   cot x .
f. tan 
 3


 x  n
x  n

2

2



2


2
tan 
 x   cot x  tan 
 x   tan   x   

k , k ,n
 3

 3

2

2  x   x  k
 x   12  2

 3
2
k
Vậy nghiệm của phương trình là x   
,k .
12 2


g. cot  3x    cot 2 x .
3


Ta có:

2x  n

xn




2
cot  3x    cot 2x  

,k ,n
3

3x  3  2x  k
x   k


3

Vậy nghiệm của phương trình là x 

 Tóm tắt như sau:

3

 k ,k .

DẠNG CƠ BẢN:
 u  v  k2 ,
k
 sin u  sin v  
u   v  k 2 , k 




u   l  hay v   l   l 
2
2
 tan u  tan v  


u  v  k  k  

TRƯỜNG HỢP ĐẶC BIỆT:
 sin x  0  x  k  k 


sin x  1  x 



sin x  1  x  

Trang 25

2

 k2
2



 k2

u  v  k 2 , k 
 cos u  cos v  
u   v  k 2 , k 

  cot u  cot v  u  l  hay v  l  l  


u  v  k  k  


k  
k  



cos x  0  x 



2
cos x  1  x  k 2



cos x  1  x 

k  
k  

 k2  k  

k

LÊ MINH TÂM