Bài tập nâng cao giới hạn của dãy số (Tài liệu ôn tập chương 3 môn Toán lớp 11)

Bài tập nâng cao giới hạn của dãy số

Giới hạn của dãy số

NỘI DUNG
I) Phương pháp sử dụng định nghĩa giới hạn dãy số
1. Kiến thức sử dụng:
Định nghĩa: lim un  L    0, N  N * : n  N  un  L  
Sử dụng:
- Tiêu chuẩn Cơ-si: Dãy {xn} có giới hạn hữu hạn khi và chỉ khi với mọi  > 0,
tồn tại số tự nhiên N sao cho với mọi m, n  N ta có |xm – xn| < .
- Nguyên lý ánh xạ co: Nếu với mọi x, y ta có |f(x) – f(y)|  q|x-y| với q là
hằng số 0 < q < 1 và {xn} bị chặn thì {xn} hội tụ. Đặc biệt nếu |f’(x)|  q < 1 thì ta
ln có điều này.
Ý tưởng chính: Đánh giá un  L  q un1  L ; q  1 và un1  un  q un  un1 ; q  1
Phương pháp này thường được dùng khi ta thấy dãy số không tăng, không giảm.
2. Các ví dụ:
1
3

1
Bài 1: (Đề thi HSG Quảng Bình) Cho dãy số u1  và un1  un2  1 . Tìm giới hạn dãy

số?
HD:

2

Chứng minh: 1  un  0
1
2

Giải phương trình x  x 2  1  x  1  3  a
Xét un  a 

 a2  1
un2
3
 1    1   u n  a un  a 
un  a
2
2
2
2



Suy ra lim un  1  3
Bài 2: (Đề dự bị VMO 2008) Cho số thực a và dãy số thực (u n ) xác định bởi:

u1  a và un+1 = ln(3+cosun + sinun) – 2008 với mọi n = 1, 2, 3, …
Chứng minh rằng dãy số (un )có giới hạn hữu hạn.
HD:

Đặt f(x) = ln(3+sinx+cosx) – 2008 thì f '( x ) 

cos x  sin x
3  sin x  cos x

Từ đó, sử dụng đánh giá | cos x  sin x | 2, | sin x  cos x | 2 ta suy ra

| f ' ( x) |

2

 q  1.
3 2
Áp dụng định lý Lagrange với m > n  N, ta có
|um – un| = |f(um-1) – f(un-1)|  q|um-1-un-1|  … qn-1|um-n+1 – u1|.
Do dãy (un) bị chặn và q < 1 nên dãy (xn) thoả mãn điều kiện Cauchy nên có giới hạn
hữu hạn.
Nguyễn Minh Tuấn - GV trường THPT Chuyên QB


Giới hạn của dãy số

1
Bài 3: (Đề thi vô địch Nga 1982) Cho dãy số u1 1 và un1 
. Tìm giới hạn dãy
1  un

số?
HD: Chứng minh: 0  un  1
1
5 1
x
a
1 x
2
1
1

2 un  a
2
Xét un1  a 



un  a
1  un 1  a 1  5 1  u n 1  5

Giải phương trình x 

Suy ra lim un 

5 1
a
2

Bài 4: Cho dãy số (un) định bởi u1  (1, 2) và un+1 = 1 + un – un2/2. Chứng minh
rằng (un) có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.
HD: Chứng minh: rằng 1 < un < 3/2
1
2

Giải phương trình x  1  x  x 2  x  2  a
Xét un1  a | un 1  2 ||1  un 

un2
2  un  1 2 2  1
 2 || un  2 ||
||

|| un  2 |
2
2
4

Suy ra lim un  2
3. Bài tập tự giải:
1
. Tìm giới hạn dãy số?
4  3un
2012
Bài 2: Cho dãy số u1 a và un1 
ln  un2  20122   20122 .Chứng minh dã số có giới
3

Bài 1: Cho dãy số u1 2012 và un1 

hạn.
II) Phương pháp sử dụng cơng thức, tính chất của các dãy số đặc biệt
1. Kiến thức sử dụng:
- Tính chất của các dãy số là cấp số cộng, cấp số nhân
- Các công thức đối với các dãy số quen thuộc:
1
1
1
 
n(n  1) n n  1
1
1  2  3  ...  n  n(n  1)
2

1
12  22  32  ...  n 2  n(n  1)(2n  1)
6
2
 n(n  1) 
3
3
3
3
1  2  3  ...  n  

 2 

Ý tưởng chính: Đưa các dãy số về các dãy số quen thuộc
2. Các ví dụ:
Nguyễn Minh Tuấn - GV trường THPT Chuyên QB


Giới hạn của dãy số

Bài 1: Cho dãy số un 
HD:

1 1
1
 ...
.Tìm giới hạn dãy số?
1.2 2.3
n(n1)

1 1 1 1
1
1
1
un      ...  
 1
1 2 2 3
n n 1
n 1
Suy ra lim un  1

Bài 2: Cho dãy số u n 

un  1 

2 2  4 2  6 2  ....   2 n 

1  2  3  ....   2n 
2

HD:

12  32  5 2  ....   2 n  1

2

2

2

22  42  62  ....   2 n 

2

2

2

.Tìm giới hạn dãy số?

2n(2n  1)(4n  1)
(4n  1)
6


n(n  1)(2n  1) 2(n  1)
4.
6

Suy ra lim un  1 .
Bài 3: Cho dãy số u1 5 và un1 

5un  4
. Tìm giới hạn dãy số?
un  2

HD: Chứng minh: un  4
un  4
1
6


 1
un  2
un 1  4
un  4
1
1
5
Xét xn 
  un  4  n
un  4 5
6 1

Ta có: un1  4 

Suy ra lim un  4
2
3

n
un
. Tìm giới hạn dãy số xn   un ?
2(2n  1)un  1
i 1
1
(2n  1)(2n  1)
1
1
HD: Đặt vn   vn 
 un 


un
2
2n  1 2n  1

Bài 4: Cho dãy số u1  và un1 

Suy ra lim xn  1
Bài 5: Cho dãy số u1 1 và un1  un2  a n (0  a  1) . Tìm giới hạn dãy số?
HD: Chứng minh: u12  1; u22  1  a; u32  1  a  a 2 ;...; un2  1  a  a 2  ...a n1
1  an
Suy ra: un 
1 a
1
Vậy lim un 
1 a

Bài 6: Cho dãy số u1 2011 và un1  n 2  un 1  un  . Tìm giới hạn dãy số?
HD: Ta có:

0  un

n


2



 1 un 1

 un 1
n
(n  1)(n  1)
(n  1)(n  1)(n  2)n
n 1
n 1
un1 
un 2  ... 
u1 
2011
Mặt khác: un 
2
2
2
n
n (n  1)
2n
2n
2011
Vậy lim un 
2
2

Nguyễn Minh Tuấn - GV trường THPT Chuyên QB


Giới hạn của dãy số

3. Bài tập tự giải:

Bài 1: Cho dãy số un 

1
1
1

 ... 
. Tìm giới hạn dãy số?
1.2.3 2.3.4
n(n  1)(n  2)
3

13  33  53  ....   2 n  1

Bài 2: Cho dãy số u n 

2 3  4 3  6 2  ....   2 n 

Bài 3: Cho dãy số un  1 


3

.Tìm giới hạn dãy số?

1 
1 
1 
1 
1  2  1  2  1  2  . Tìm giới hạn dãy số?

2 
2  3  4  n 

Bài 4: Cho dãy số u1 1 và un1  n unn  a n (0  a  1) . Tìm giới hạn dãy số?
III) Phương pháp sử dụng định lí kẹp
1. Kiến thức sử dụng:
- Định lí kẹp
vn  un  wnn  N * : lim vn  lim wn  a  lim un  a

Ý tưởng chính: Đánh giá dãy số qua hai dãy số tính được giới hạn
2. Các ví dụ:
3
11 22 3...
nn
Bài 1: Cho dãy số un 
.Tìm giới hạn dãy số?
nn2
3
11 22 3...
nn nn
.n 1
 n2  0
HD: 0un 
nn2
n
n

Suy ra lim un  0
1.3.5.7...(2 n  1)
.Tìm giới hạn dãy số?

2.4.6.8...(2 n )
1.3.5.7...(2 n  1)
1.3.5.7...(2 n  1)
0  un 


2.4.6.8...(2 n )
1.3 3.5 5.7... (2 n  1)(2 n  1)
Suy ra lim un  0 .

Bài 2: Cho dãy số u n 
HD:

1
0
2n  1

Bài 3: Cho dãy số un  n n . Tìm giới hạn dãy số?
HD: Ta có:
1  un  n n  n 1.1...1. n n 

1  1  ...  1  n n n  2  2 n
2

 1
1
n
n
n

Suy ra lim un  1
Bài 4: Cho dãy số un 

n
n
n
 2
 ...  2
. Tìm giới hạn dãy số?
n 1 n  2
n n
2

HD: Ta có:
n
n
n2
n2
n. 2
 un  n. 2
1 2
 un  2
1
n n
n 1
n n
n 1
Nguyễn Minh Tuấn - GV trường THPT Chuyên QB

Giới hạn của dãy số

Suy ra lim xn  1
Bài 5: Cho phương trình x 2n 1  x 2  x  1 . Chứng minh rằng phương trình có duy nhất
1 nghiệm dương xn . Tìm giới hạn dãy số xn ?
HD: Ta chứng minh phương trình có duy nhất nghiệm thuộc (1;2) bằng tính chất hàm
số liên tục và chứng minh dãy số xn là dãy số giảm.
Ta có:

1  1  ...  1  xn2  xn  1 2n  1  xn2  xn
1  xn 
x  xn  1 

2n  1
2n  1
2n  1  6
6

 1
1
2n  1
2n  1
2 n 1

2
n

Suy ra lim xn  1
3. Bài tập tự giải:
2n

Bài 1: Cho dãy số un  . Tìm giới hạn dãy số?
n!

Bài 2: Cho dãy số u n  n 1  a n .Tìm giới hạn dãy số?
1  2 2  ...  n n
Bài 2: Cho dãy số u n 
.Tìm giới hạn dãy số?
nn
IV) Phương pháp sử dụng tính đơn điệu và bị chặn
1. Kiến thức sử dụng:
- Định lí: Dãy số tăng bị chặn trên (giảm bị chặn dưới) thì tồn tại giới hạn
Ý tưởng chính: Chứng minh dãy số đơn điệu
Chứng minh dãy số bị chặn
Giải phương trình tìm giới hạn
2. Các ví dụ:
Bài 1: (Đề thi HSG lớp 11 Quảng Bình) Cho dãy số u1  2008 và
un1 

1 
2008 
 2007un  2007  (n  1)
2008 
un 

Tìm giới hạn dãy số?
HD:

Chứng minh:

1 

2008 
1 
2008  2008
2008
 2007un  2007  
 un  un +...+u n + 2007  
2008 
un  2008 
un 
1 
2008 
1  2008  un2008 
u

2007
u


u

Ta có n 1

 n

0
n
2008 
un2007 
2008 
un2007


un1 

Nguyễn Minh Tuấn - GV trường THPT Chuyên QB


Giới hạn của dãy số

Suy ra lim un  2008 2008
 x1  3

Bài 2: ( Đề thi HSG Quốc gia năm 2012) Cho dãy số 
n2
.Tìm giới
 xn  3n ( xn 1  2)
hạn dãy số?

HD:

Chứng minh: xn 1 

n2
(n  3) . Khi đó
n 1

2[(n  2)  ( n  1) xn 1 ]
n2
( xn 1  2)  xn 1 
.
3n

3n
Suy ra (xn) là dãy số giảm kể từ số hạng thứ hai. Ngoài ra, theo (1), nó bị chặn dưới
bởi 1. Theo tính chất của dãy đơn điệu, tồn tại giới hạn hữu hạn lim xn  a. Chuyển

Xét hiệu xn  xn 1 

n 

đẳng thức xn 

n2
1
( xn 1  2) sang giới hạn, ta được a  ( a  2)  a  1 .
3n
3

Vậy lim
xn  1.
n 
3

u  3u
Bài 3: Cho dãy số u1 2012 và un1  n 2 n . Tìm giới hạn dãy số?
3un  1

HD: Ta có:

un1  1 

Xét hiệu un1  un 

(un  1)3
0
3un2  1
2un3  2un
 0 . Do đó dãy số giảm và bị chặn dưới nên tồn tại
3un2  1

giới hạn. Suy ra lim un  1
Bài 4: Cho dãy số u1 1 và un1  un2  un  1  un2  un  1 . Tìm giới hạn dãy số?
HD: Ta có:

un1 

2un
un2  un  1  un2  un  1

0
2

Mặt khác:

2

1 3
1 3


u  un  1  u  un  1   un      un   
2 4

2 4


2
n

2
n

2

2
1
1  3
3

  un   un    

 2
2
2  2
2 


Do đó dãy số giảm và bị chặn dưới nên tồn tại giới hạn. Suy ra lim un  0
1
Bài 5: Cho dãy số 0un 1 và un1 (1  un )  . Tìm giới hạn dãy số?
4

1

4

HD: Ta có: un1 (1  un )   un (1  un )  un 1  un
Do đó dãy số giảm và bị chặn nên tồn tại giới hạn. Suy ra lim un 
Nguyễn Minh Tuấn - GV trường THPT Chuyên QB

1
2


Giới hạn của dãy số
un

Bài 6: Cho dãy số {xn} xác định bởi u1  2 và un1  2 . Chứng minh rằng dãy
{un} có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.
HD: Đặt f ( x )  ( 2 ) x thì dãy số có dạng x0  2 và xn+1 = f(xn). Ta thấy f(x) là hàm
n

2

số tăng và x1  2  2  x0 . Suy ra {xn} là dãy số tăng.
Chứng minh bằng quy nạp rằng xn < 2.
Vậy dãy {xn} tăng và bị chặn trên bởi 2 nên dãy có giới hạn hữu hạn. Gọi a là giới
x
a
hạn đó thì chuyển đẳng thức x n1  2 sang giới hạn, ta được a  2 . Ngồi ra ta
cũng có a  2.
n

x

Xét phương trình x  2 

ln x
 ln( 2)  x  2 . Suy ra lim un  2
x

3. Bài tập tự giải:




2

un 

1
2012
Bài 1: Cho dãy số u1 2012 và un1   un 
 . Tìm giới hạn dãy số?

Bài 2: Cho dãy số u1 2012 và un1 

un2  6
. Tìm giới hạn dãy số?
2un  1

2n
. Tìm giới hạn dãy số?
n!

2un  un ln 2  1  1
u

2012
Bài 3: Cho dãy số 1
và un1 
. Tìm giới hạn dãy số?
2un ln 2  1
n
1
Bài 4: Cho dãy số un1   1   . Tìm giới hạn dãy số?
 n

Cho dãy số un 

Bài 5: Cho dãy số u1 b và un1  un2  (1  2a)un  a 2 . Xác định a, b để dãy số có giới hạn
và tìm giới hạn dãy số?
Bài 6: Cho dãy số un1 

n  1  21 22
2n 


...


 . Tìm giới hạn dãy số?
2n1  1 2
n 

V) Phương pháp sử dụng sai phân
1. Kiến thức sử dụng:
n

n

- Sai phân:  k  xk 1  xk    k   xk 1  xk  xn1  x1
k 1

k 1

Ý tưởng chính: Biểu diễn tổng các số hạng qua sai phân
2. Các ví dụ:
u1 = 2008

Bài 1: 

2
2
u n+1 = u n - 4013u n + 2007 (n  1)
a) Chứng minh: u n  n + 2007 .
1
1
1
+
+ ... +
b) Đặt x n =
u1 - 2006
u 2 - 2006
u n - 2006

Tìm lim x n

Nguyễn Minh Tuấn - GV trường THPT Chuyên QB


Giới hạn của dãy số

HD: a) Bạn đọc tự giải. Câu b):
un 1  un2 - 4013un  2007 2
 (un 1  2007)  (un  2006)(un  2007)
1
1


un1  2007 (un  2006)(un  2007)
1
1
1



un1  2007 un  2007 un  2006

Suy ra
xn 


1
1
1


 ... 
u1 - 2006
u2 - 2006
un - 2006

1
1
1

 1
u1 - 2007 u n 1 - 2007
un 1 - 2007

Suy ra lim un  1

u1  1

Bài 2: Cho dãy số ( un ) xác định như sau:  un 1
2011
 u  1  un , n  N , n  1
 n
 u12011 u22011
un2011 
Tính lim 

 ... 

u
u

un 1 
3
 2
Ta có:

HD:
un1
1
1
un2011
2011
2012
2012
 1  un  un 1  un  un  un1  un  un  

un
un un 1 un1

u12011 u22011
un2011 1
1
1
Suy ra:

 ... 
 
1
u2
u3
un 1 u1 un1

un 1
1
Chứng minh lim un    lim
0
un1
 u12011 u22011
un2011 
Vậy lim 

 ... 
 =1
u
u
u
3
n 1 
 2
u1  5

Bài 3: Cho dãy số: 
un2010  3un  16
u

 n1 u 2009  u  11
n
n

n
1
Tính lim  2009

7
i 1 ui
HD: Ta có:

Nguyễn Minh Tuấn - GV trường THPT Chuyên QB


Giới hạn của dãy số

u
4

2009
n

 7   un  4 

1
1
1


un2009  7  (un  4)
un 1  4 un  4 un2009  7
n
1
1
1
1
Suy ra:  2009



1
 7 u1  4 un 1  4
un1  4
i 1 ui
1
Chứng minh lim un    lim
0
un1  4
n
1
Vậy lim  2009
=1
u

7
i 1 i
1

u

1

2
Bài 4: Cho dãy số ( un ) xác định như sau: 
2
u  un  4un  un , n  N , n  1
 n1
2

n
1
Tính lim  2
i 1 ui
1
1
1
HD: Ta có: 2 

ui ui1 ui
n
1
1 1 1
1
Suy ra:  2  2    6 
u1 u1 un
un
i 1 ui
1
Chứng minh lim un    lim  0
un
n
1
Vậy lim  2 =6
i 1 ui
un1



lim xn  1

3. Bài tập tự giải:

u1  3

1 2
Bài 1: Cho dãy số: 
u

 n1 2 un  un  2
n
1
Tính nlim
?


i 1 ui

(n  1)

u1  1
Bài 2: Cho dãy số: 
un1  un (un  1)(un  2)(un  3)  1

Nguyễn Minh Tuấn - GV trường THPT Chuyên QB

(n  1)


Giới hạn của dãy số

n

1
?
i 1 ui  2
u1  a  1
Bài 3: Cho dãy số: 
2
 2010un 1  un  2009un (n  1)
n
ui
Tính nlim
?


i 1 ui 1  1
VI) Phương pháp lượng giác hóa
1. Kiến thức sử dụng:
- Biểu diễn số hạng tổng quát của dãy số bằng cơng thức lượng giác để tính
giới hạn: cơng thức nhân đôi, nhân ba, các hằng đẳng thức lượng giác.
- Ý tưởng chính: Nhận dạng và dùng cơng thức lượng giác phù hợp để biểu
diễn các số hạng của dãy số. Chú ý các số hạng đầu là các giác trị lượng giác đặc biệt
nào?
Tính nlim



2. Các ví dụ:
Bài 1: Cho dãy số u1 

u
1
và un1  2un2  1 . Tìm giới hạn dãy số n ?
2
n

1

 cos
2
3
2n 
 cos
3

HD: Ta có: u1 
Ta có un1
Suy ra lim

un
0
n

 x1  1

1  xn2  1 .Tìm giới hạn dãy số?
Bài 2: Cho dãy số 
 x n 1 
xn


HD: Chứng minh: xn  tan

Bài 3: Cho dãy số x1 


. Vậy
2 n 1

lim xn  0.
n 

1
1
1
và xn1   xn  xn2  n
2
2
4

HD: Chứng minh: xn 


 Tìm giới hạn dãy số?


1

1
cot

n
n 1 . Vậy lim xn  .
n

2
2
2

Bài 4: Cho dãy số u1 2 và un1 

un4
u
. Tìm giới hạn dãy số n ?
4
2
n
un  8un  8

Nguyễn Minh Tuấn - GV trường THPT Chuyên QB


Giới hạn của dãy số

HD: Ta có:

1
8 8
 1  2  4  an 1  1  8an2  8an4  2(2an2  1)2  1
un1
un un

Mặt khác: a1 
Suy ra lim

1

4n 
 cos . Ta có un1  cos
2
3
3

un
0
n

Bài 5: Cho dãy số un 

2  2  2...  2

. Tìm giới hạn dãy số un ?

2  2  2...  2

HD: Chứng minh: xn  tan


. Vậy
2 n 1

lim xn  0.
n 

3. Bài tập tự giải:
2  2 1  un2
1
Bài 1: Cho dãy số u1  và un1 
. Tìm giới hạn dãy số 2n un ?
2
2
u
3  un
Bài 2: Cho dãy số u1  3 và un1 
. Tìm giới hạn dãy số n ?

n
1  3un
u v
Bài 3: Cho 2 dãy số u1 a 0 và un1  n n , v1 b 0; b a và vn1  un 1vn . Tìm giới
2

hạn hai dãy số?
VI) Phương pháp sử các tính chất của hàm sơ (dãy số cho bởi phương trình)
1. Kiến thức sử dụng:
- Tính chất của hàm số: tính liên tục và các định lí liên quan: định lí về giá trị
trung gian, chứng minh phương trình có nghiệm duy nhất; đạo hàm, ứng dụng của
đạo hàm và định lí Lagrange, ...
- Ý tưởng chính: Sử dụng các tính chất của hàm số để xác định số hạng dãy số
cho bởi phương trình.
2. Các ví dụ:

Bài 1: Cho xn là nghiệm của phương trình: x n 

x n1 x n 2
x
1
 2  ...  n1  n
2
2
2
2

Chứng minh rằng phương trình có duy nhất một nghiệm dương. Tính lim xn ?
HD: Phương trình tương đương f n ( x )  2n x n  2n1 x n1  ...  2 x  1  0
1
1
Ta có: f n (0)  0 và f n ( )  0 nên xn   0;  . Dãy số xn giảm, suy ra tồn tại giới hạn
2
 2
n
2 xn (1  (2 xn ) )
1
lim xn  a . Ta có:
 1 a 
1  2 xn
4

Bài 2: Ký hiệu xn là nghiệm của phương trình
thuộc khoảng (0, 1)
a) Chứng minh dãy {xn} có giới hạn.
Nguyễn Minh Tuấn - GV trường THPT Chuyên QB

1
1
1

 ... 
0
x x 1
xn


Giới hạn của dãy số

b) Hãy tìm giới hạn đó.
1
x

HD: xn được xác định duy nhất vì hàm số f n ( x )  
điệu trên (0, 1). Ta có: f n 1 ( x)  f n ( x ) 

1
1
 ... 
liên tục và đơn
x 1
xn

1
 f n 1 ( x )  0 có nghiệm xn1  (0; xn ) . Do
x  n 1

đó dãy số giảm. Giả sử lim xn  a . Ta có:
0=

1
1
1
1
1
1
1
1 1

 ... 



 ... 
  0
xn xn  1
xn  n xn  1  2
n a a

Vậy ta phải có lim xn = 0.
Bài 3: (VMO 2007) Cho số thực a > 2 và fn(x) = a10xn+10 + xn + …+x + 1.
a) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n, phương trình fn(x) = a ln có
đúng một nghiệm dương duy nhất.
b) Gọi nghiệm đó là xn, chứng minh rằng dãy {xn} có giới hạn hữu hạn khi n dần
đến vô cùng.
HD: a) Hàm số fn(x) tăng trên (0, +) và f (0)  0 và f (1)  0 nên 0 < xn < 1.

Chứng minh dãy xn tăng, tức là xn+1 > xn.
Xét fn+1(xn) = a10xnn+11 + xnn+1 + xnn + … + x + 1 = xnfn(xn) + 1 = axn + 1
Suy ra f (1)  a và f ( xn )  a , do đó xn < xn+1 < 1. Đặt c = (a-1)/a < 1
fn(c) – fn(xn) = kcn (với k = (a-1)((a-1)9 – 1) > 0)

Theo định lý Lagrange thì
fn(c) – fn(xn) = f’()(c – xn) với  thuộc (xn, c)
Nhưng f’() = (n+10)a10n+9 + nn-1 + …+ 1 > 1 nên từ đây suy ra kcn > c - xn
Từ đó ta có c – kcn < xn < c
Vậy lim xn = c.
3. Bài tập tự giải:
Bài 1: (VMO 2002) Cho n là một số nguyên dương. Chứng minh rằng phương trình
1
1
1
1

 ...  2
 có một nghiệm duy nhất xn > 1. Chứng minh rằng khi n
x  1 4x  1
n x 1 2

dần đến vô cùng, xn dần đến 4.
Bài 2: Cho n là một số nguyên dương > 1. Chứng minh rằng phương trình xn = x2 +
x + 1 có một nghiệm dương duy nhất, ký hiệu là xn. Hãy tìm số thực a sao cho giới
n a ( x n  xn 1 ) tồn tại, hữu hạn và khác 0.
hạn lim
n 

Nguyễn Minh Tuấn - GV trường THPT Chuyên QB