Chủ đề hình học không gian

MỤC LỤC
CHƯƠNG II- ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN,
QUAN HỆ SONG SONG
BÀI 2. Hai đường thẳng chéo nhau và hai đường thẳng song song
I. Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong khơng gian
II. Tính chất
BÀI 3. Đường thẳng và mặt phẳng song song
I. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng
II. Tính chất
BÀI 4. Hai mặt phẳng song song
I. Định nghĩa
II. Tính chất
III. Định lí TA-LÉT
IV. Hình lăng trụ và hình chóp
V.Hình chóp cụt
BÀI 5. Phép chiếu song song hình biểu diễn của một hình khơng gian
I. Phép chiếu song song
II. Các tính chất
III. Hình biễu diễn

BÀI 2- HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU VÀ HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG
SONG
I. Vị trí tương đối cuarhai đường thẳng trong không gian.
+ Cho hai đường thẳng a, b, ta có các trường hợp sau:
a). Có một mặt phẳng chứa a và b (a,b đồng phẳng)
* a  b = M
* a // b
1


* ab

b). Khơng có mặt phẳng chứa a và b (a,b không đồng phẳng ) gọi là a, b chéo nhau.
* Định nghĩa: Hai đường thẳng song song là hai đường thẳng cùng năm trong một
mặt phẳng và khơng có điểm chung

II. Tính chất
Định lý 1: Trong khơng gian, qua một điểm không nằm trên đường trên đường thẳng
cho trước, có một và chỉ một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho

Định lý 2: (Về giao tuyến của ba mặt phẳng)
Nếu ba mặt phẳng phân biệt đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giáo
tuyến ấy hoặc đồng quy hoặc đôi một song song với nhau.
( ) �(  )  a �
�
( ) �( )  b �� a / /b / / c hay a, b,c
( ) �(  )  c �
�

đồng qui.

Hệ quả: Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thắng song song thì giao
tuyến cảu chúng (nếu có) cũng song song vớ hai đường thẳng đó hoặc trùng với một
trong hai đường thẳng đó.
( )  (  ) d 

a  ( )

  d // a // b hay d a
b  ( )



a // b

Định lý 3: Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song
song với nhau.

BÀI 3-ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG


I. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng.
-d//(  ) � d �(  )= �
- d �(  ) � Có 2 điểm trở lên của d thuộc (  ).
- d cắt (  ) � d và (  ) có 1 điểm chung.

II. Tính chất
+ Định lý 1:

�
d �(), d ' �()
� d / /()
�
d / /d '
�

Muốn chứng minh một đường thẳng song song với một mặt phẳng ta chứng minh
đường thẳng đó song song với một đường thẳng bất kỳ nằm trong mặt phẳng.
Định lí 2:
�
a / /( )
� a / /b
�

() �a,() �()  b
�

3


Phương pháp tìm giao tuyến của 2 mp
Tìm giao tuyến hai mặt phẳng () và () chứa đường thẳng d// ()
• Tìm một điểm chung của hai mặt phẳng.
• Giao tuyến đi qua điểm chung và song song với d.
Hệ quả:
�
( ) �()  a
� a / /d
�
()/ / d,()/ / d
�

Phương pháp tìm giao tuyến của 2 mp
 Tìm một điểm M chung của hai mặt phẳng.
 Tìm đường thẳng d song song với hai mp
Giao tuyến sẽ là đường thẳng qua điểm chungM và song song với đường thẳng d.
Định lí 3: cho hai đường thẳng chéo nhau. Có duy nhất một mặt phẳng chứa đường
thẳng nay và song song với đường thằng kia.

BÀI 4: HAI MẶT PHẲNG SONG SONG
I. Định nghĩa:
Hai mặt phẳng    ,    được gọi là song song với nhau nếu chúng khơng có điểm
chung.

II. Tính chất

Định lý 1: Nếu mặt phẳng   chứa hai đường thẳng cắt nhau a, b và a, b cùng song



song với mặt phẳng   thì   song song với   .

Định lý 2. Qua một điểm nằm ngồi một mặt phẳng cho trước có một và chỉ một mặt
phẳng song song với mặt phẳng đã cho.

Hệ quả 1. Nếu đường thẳng d song song với mp 


phẳng   song song với mp   .



thì qua d có duy nhất một mặt

5


Hệ quả 2. Nếu 2 mặt phẳng phân biệt cùng song song với mp thứ 3 thì chúng song
song với nhau.
mp   
Hệ quả 3. Cho điểm A không nằm trong
thì với mọi đường thẳng d đi qua A và


mp   

song song với mp   thì đều nằm trong một
song song với mp  

Định lý 3.
Cho 2 mp    / / mp    ,
�
a     �  
�
�
b  �
Nếu �     thì a / /b

III. Định lý Ta-lét.
Định lý 4 (talet).

Ba mặt phẳng đôi một song song chắn trên hai cát tuyến bất kỳ những đoạn thẳng tương
ứng tỉ lệ.
AB
BC
AC


A' B ' B 'C ' A'C '

IV. Hình lăng trụ - hình hộp – hình chóp cụt:


 Hình lăng trụ A1A2…An.A'1A'2…A'n

– Hai đáy: A1A2…An và A'1A'2…A'n
là hai đa giác bằng nhau.
– Các cạnh bên: A1A'1, A2A'2…
song song và bằng nhau.
– Các mặt bên: A1A'1 A'2A2, … là các hình bình hành.
– Các đỉnh: A1, A2, …, A'1, A'2.
V - Hình chóp cụt.

Hình chóp cụt A1A2…An.A'1A'2…A'n
– Đáy lớn: A1A2…An
– Đáy nhỏ: A'1A'2…A'n
– Các mặt bên: A1A'1A'2A2, …
– Các cạnh bên: A1A'1, …
 Tính chất
– Hai đáy là hai đa giác có các cạnh tương ứng song song và các tỉ số các cặp cạnh
tương ứng bằng nhau.
– Các mặt bên là những hình thang.
– Các đường thẳng chứa các cạnh bên đồng qui tại một điểm
BÀI 5: PHÉP CHIẾU SONG SONG. HÌNH BIỂU DIỄN
7


CỦA MỘT HÌNH KHƠNG GIAN

LÊ THÁNH
TƠNG

II.

Các tính chất của phép chiếu song song

III. Hình biểu diễn của một hình khơng gian trên mặt phẳng

Hình biểu diễn của các hình thường gặp
Tam giác. Một tam giác bất kì bao giờ cũng có thể coi là hình biểu diễn của một tam
giác có dạng tùy ý cho trước (có thể là tam giác đều, ,tam giác cân, tam giác vuông,…)

9


Hình bình hành. Một hình bình hành bất kì bao giờ cũng có thể coi là hình biểu diễn
của một hình bình hành tùy ý cho trước (có thể là hình bình hành, hình vng, hình
thoi, hình chữ nhật

Hình trịn. Người ta thường dùng hình elip để
biểu diễn cho hình

Đặc biệt: Hình biểu diễn của một hình trịn là một đường elip hoặc một đường trịn,
hoặc đặc biệt có thể là một đoạn thẳng

MỤC LỤC CHƯƠNG III. VEC TƠ TRONG KHƠNG GIAN
QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN
TÊN BÀI

TĨM TẮT SÁCH GIÁO
KHOA

CÁC DẠNG BÀI TẬP

Bài 1: Vecto

1.Định nghĩa, quy tắc

Dạng 1: Chứng minh đẳng thức

trong không

2. Ba véctơ đồng phẳng

vecto

nếu giá của chúng song

Dạng 2: Chứng minh ba vecto đồng

song với một mặt phẳng.

phẳng và bốn điểm đồng phẳng.

gian

Dạng 3: Tính độ dài của đoạn thẳng
Dạng 4: Sử dụng điều kiện của bốn
điểm đồng phẳng để giải bài tốn
hình học khơng gian.
Bài 2: Hai

1.Tích vơ hướng giữa hai

Dạng 1: Tính góc giữa hai đường

đường thẳng

vecto trong khơng gian

thẳng

vng góc

2.Vecto chỉ phương của

Dạng 2: Dùng tích vơ hướng để

đường thẳng

chứng minh hai đường thẳng vng

3.Góc giữa hai đường thẳng góc
Bài 3: Đường

trong khơng gian
1.Định nghĩa

Dạng 1: Chứng minh đường thẳng

thẳng và mặt

2.Điều kiện để đường thẳng

vng góc mặt phẳng

phẳng vng

và mặt phẳng vng góc

Dạng 2: Thiết diện đi qua một điểm

3.Tính chất

và vng góc với một đường thẳng

4.Sự liên quan giữa quan hệ

Dạng 3: Tính góc giữa đường thẳng

góc

song song và quan hệ vng và mặt phẳng

Bài 4: Hai mặt
phẳng vng
góc

góc

Dạng 4: Tìm tập hợp hình chiếu của

5.Phép chiếu vng góc và

một điểm trên một đường thẳng hay

ba đường thẳng vng góc
1.Góc giữa hai mặt phẳng

một mặt phẳng di động
Dạng 1: Tính góc giữa hai mặt

2.Xác định góc giữa hai mặt phẳng
phẳng cắt nhau

Dạng 2: Chứng minh hai mặt phẳng

3.Diện tích hình chiếu

vng góc

4. Hai mặt phẳng vng góc Dạng 3: Ứng dụng cơng thức hình
chiếu
11


Dạng 4: Bài tập liên quan đến hình
hộp chữ nhật, hình lăng trụ đứng,
hình chóp đều và hình chóp cụt đều
Bài 5: Khoảng
cách

1.Khoảng cách từ 1 điểm

Dạng 1: Khoảng cách từ 1 điểm đến

đến một đường thẳng

một đường thẳng

2.Khoảng cách từ 1 điểm

Dạng 2: Khoảng cách từ 1 điểm đến

đến một đường thẳng

một đường thẳng

3.Khoảng cách từ một

Dạng 3: Khoảng cách từ một đường

đường thẳng đến mặt phẳng

thẳng đến mặt phẳng song song

song song

Dạng 4: Khoảng cách hai mặt

4.Khoảng cách hai mặt

phẳng song song

phẳng song song

Dạng 5: Khoảng cách hai đường

5.Khoảng cách hai đường

thẳng chéo nhau

thẳng chéo nhau

Dạng 6: Ứng dụng phép chiếu

6.Đường vng góc chung

vng góc để tính khoảng cách giữa

của hai đường thẳng chéo

hai đường thẳng chéo nhau

nhau

CHƯƠNG III. VEC TƠ TRONG KHƠNG GIAN
QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN
BÀI 1. VECTƠ TRONG KHƠNG GIAN
A.TĨM TẮT SÁCH GIÁO KHOA.
1. Định nghĩa, quy tắc
Cho đoạn thẳng AB trong không gian. Nếu ta chọn điểm đầu là A, điểm cuối là B ta có
một vectơ, được kí hiệu là

Định nghĩa
Vectơ trong khơng gian là một đoạn thẳng có hướng. Kí hiệu chỉ vectơ có điểm đầu là
A, điểm cuối B. Vectơ cịn được kí hiệu là
Các khái niệm có liên quan đến vectơ như giá của vectơ, độ dài của vectơ, sự cùng
phương, cùng hướng của hai vectơ, vectơ – không, sự bằng nhau của hai vectơ, …
được định nghĩa tương tự như trong mặt phẳng.
Các quy tắc:
 Quy tắc hình bình hành: Nếu
ABCD là hình bình hành thì

 Quy tắc 3 điểm đối với tổng hai vecto:
 Quy tắc 3 điểm đối với hiệu hai vecto:

Ngoài ra ta cần nhớ thêm:
 Qui tắc hình hộp :

B
a

C
b

A

D

Nếu ABCD.A'B'C'D' là hình hộp thì:
c

A'

B'

C'
D'

 Qui tắc trọng tâm tứ diện.
G là trọng tâm tứ diện ABCD khi và chỉ khi một trong hai
điều kiện sau xảy ra:


2.Ba véctơ đồng phẳng nếu giá của chúng song song với một mặt phẳng.
13


 Điều kiện cần và đủ để ba véc tơ đồng phẳng là có các số m,n,p khơng đồng
thời bằng 0 sao cho +

 Cho hai vec tơ không cùng phương khi đó điều kiện cần và đủ để ba vec tơ
đồng phẳng là có các số m,n sao cho
 Nếu ba véc tơ khơng đồng phẳng thì mỗi vec tơ đều có thể phân tích một cách
duy nhất dưới dạng: +
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP.
Dạng 1: Chứng minh đẳng thức vecto
Dạng 2: Chứng minh ba vecto đồng phẳng và bốn điểm đồng phẳng.
Dạng 3: Tính độ dài của đoạn thẳng
Dạng 4: Sử dụng điều kiện của bốn điểm đồng phẳng để giải bài tốn hình học khơng
gian.

BÀI 2.HAI ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC
A. TĨM TẮT SÁCH GIÁO KHOA.


. 1. Tích vơ hướng của hai vectơ trong khơng gian.
- Góc giữa hai véctơ trong khơng gian:
Góc giữa hai vectơ (khác véctơ khơng) và là với

- Tích vơ hướng của hai vectơ trong không gian:
Cho hai vectơ khác vectơ khơng :
Biểu thức được gọi là tích vơ hướng của hai vectơ :
Nếu hoặc thì ta quy ước =
2. Vectơ chỉ phương của đường thẳng.
- Vectơ khác vectơ- không, được gọi là véctơ chỉ phương của đường thẳng d nếu giá
của song song hoặc trùng với d.
- Nếu là vectơ chỉ phương của đường thẳng d thì k (k≠0) cũng là vectơ chỉ phương
của d.
- Một đường thẳng d trong khơng gian hồn tồn xác định khi biết một điểm và vectơ
chỉ phương của nó.
- Hai đường thẳng phân biệt song song với nhau khi và chỉ khi chúng có vectơ chỉ
phương cùng phương với nhau.
3. Góc giữa hai đường thẳng trong khơng gian.
1. Định nghĩa: Góc giữa hai đường thẳng a và b là góc giữa hai đường thẳng a’ và b’
cùng đi qua một điểm và lần lượt song song hoặc trùng với a và b

15


Chú ý:
- Điểm O có thể lấy trên một trong hai đường thẳng a và b.

- Góc giữa hai đường thẳng không vượt quá 900.
- Nếu và lần lượt là vec tơ chỉ phương của a và b và (, )= thì
góc (a;b)=α nếu 0<α≤900 và bằng 1800 −α nếu α>900
B.CÁC DẠNG BÀI TẬP.
Dạng 1: Tính góc giữa hai đường thẳng
Dạng 2: Dùng tích vơ hướng để chứng minh hai đường thẳng vng góc
BÀI 3. ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
VNG GÓC
A.TÓM TẮT GIÁO KHOA.
1.Định nghĩa.
Đường thẳng d được gọi là vng góc với mặt phẳng nếu nó vng góc với mọi
đường thẳng nằm trong .
Vậy 
2.Điều kiện để đường thẳng vng góc với mặt phẳng.
Định lí: Đường thẳng d vng góc với mặt phẳng nếu nó vng góc với hai đường
thẳng cắt nhau trong  => a.
3.Tính chất.
• Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vng góc với một đường
thẳng cho trước.
• Có duy nhất một đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vng góc với một mặt
phẳng cho trước.
4.Sự liên quan giữa quan hệ song song và quan hệ vng góc.


=>
3.=>

2. => a//b (h2)
4. => (h4)

17


5.Phép chiếu vng góc và ba đường thẳng vng góc:
5.1 Định nghĩa :
Cho đường thẳng d .Phép chiếu song song theo phương d lên
mặt phẳng được gọi là phép chiếu vng góc lên mặt phẳng .

d

M

M'
α

5.2 Định lí ba đường vng góc.
Cho đường thẳng a nằm trong mặt phẳng và b là đường thẳng khơng thuộc đồng
thời khơng vng góc với . Gọi b' là hình chiếu của b trên
Khi đó: 
5.3 Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.
Cho đường thẳng d và mặt phẳng
• Nếu d vng góc với và mặt phẳng thì ta nói góc giữa đường thẳng d và mặt
phẳng bẳng 900 .
• Nếu d khơng vng góc với và mặt phẳng thì góc giữa d với hình chiếu d' của nó
trên được gọi là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng .
Chú ý: Nếu là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng thì ta ln có:
0
B.CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Chứng minh đường thẳng vng góc mặt phẳng
Dạng 2: Thiết diện đi qua một điểm và vng góc với một đường thẳng

Dạng 3: Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Dạng 4: Tìm tập hợp hình chiếu của một điểm trên một đường thẳng hay một mặt
phẳng di động
BÀI 4.HAI MẶT PHẲNG VNG GĨC
A. TĨM TẮT SÁCH GIÁO KHOA.
1.Góc giữa hai mặt phẳng.
Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt với hai mặt phẳng đó.
=> ((P), (Q))= (a,b)
Nếu hai mặt phẳng song song hoặc trùng nhau thì ta nói góc giữa hai mặt phẳng đó
bằng 00 .


2.Xác định góc giữa hai mặt phẳng (α) và (β) cắt nhau, tính góc giữa hai mặt
phẳng (α) và (β).
Ta áp dụng một trong các phương pháp sau đây:
Phương pháp 1
Dựng hai đường thẳng a, b lần lượt vng góc với hai mặt phẳng (α) và (β). Khi đó, góc
giữa hai mặt phẳng (α) và (β) là ((α),(β)^)=(a,b^). Tính góc (a,b^).
Phương pháp 2
+ Xác định giao tuyến c của hai mặt phẳng (α) và (β).
+ Dựng hai đường thẳng a, b lần lượt nằm trong hai mặt phẳng và cùng vng góc với
giao tuyến c tại một điểm trên c. Khi đó: ((α),(β)^)=(a,b^).

Hiểu cách khác: Ta xác định mặt phẳng phụ (γ) vng góc với giao
tuyến c mà (α)∩(γ)=a, (β)∩(γ)=b. Suy ra ((α),(β)^)=(a,b^).
Phương pháp 3 (trường hợp đặc biệt)

Nếu có một đoạn thẳng nối hai điểm A, B (A∈(α),B∈(β)) mà AB⊥(β) thì
qua A hoặc B ta dựng đường thẳng vng góc với giao tuyến c của hai mặt phẳng
tại H. Khi đó

3. Diện tích hình chiếu:
Diện tích hình chiếu: S’=S.cosφ φ
Trong đó S là diện tích đa giác nằm trong (P) , S' là diện tích đa giác nằm trong (Q) cịn
φ là góc giữa (P) và (Q).
4.Hai mặt phẳng vng góc.
19


4.1 Định nghĩa.

Q

P

Hai mặt phẳng vng góc với nhau nếu góc giữa
chúng bằng 900 .
(P) (Q)  ((P), (Q))= 900
4.2 Tính chất.

R

• Hai mặt phẳng vng góc với nhau khi và chỉ khi trong mặt phẳng này có một
đường thẳng vng góc với mặt phẳng kia.
=> (P) (Q)
• Nếu hai mặt phẳng vng góc với nhau thì bất cứ đường thẳng nào nằm trong
mặt phẳng và vng góc với giao tyến cũng vng góc với mặt phẳng kia.
=> a

P
a

• Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) vng góc với nhau.
một điểm thuộc mặt phẳng (P) dựng một đường thẳng Q
góc với mặt phẳng (Q) thì đường thẳng này nằm trong (P).

b

Nếu từ
vng

=>a
• Nếu hai mặt phẳng cắt nhau cùng vng góc với một mặt phẳng thì giao tuyến
của chúng cũng vng góc với mặt phẳng đó
=>)
5. Hình lăng trụ đứng, hình hộp chữ nhật.
a) Hình lăng trụ đứng là hình lăng trụ có các cạnh bên vng góc với
hai mặt đáy.
- Các mặt bên là các hình chữ nhật.
- Các mặt bên vng góc với hai đáy
- Lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều được gọi là lăng trụ đều
b) Hình hộp chữ nhật là hình lăng trụ đứng có đáy là hình chữ nhật.
- Tất cả các mặt đều là hình chữ nhật.
- Đường chéo với d= với a,b,c là ba kích thước.


c) Hình lập phương là hình hộp chữ nhật có đáy và các mặt bên
đều là hình vng.

6. Hình chóp đều và hình chóp cụt đều.
a) Hình chóp đều là hình chóp có đáy là một đa giác đều và chân

đường cao trùng với tâm của đa giác đáy.
- Các cạnh bên của hình chóp đều tạo với đáy các góc bằng nhau
- Các mặt bên của hình chóp đều là các tam giác cân bằng nhau.
- Các mặt bên của hình chóp đều tạo với đáy các góc bằng nhau.
b) Phần của hình chóp đều nằm giữa đáy và một thiết diện song
song với đáy cắt tất cả các cạnh bên của hình chóp được gọi là
hình chóp cụt đều.
-Hai đáy của hình chóp cụt đều là hai đa giác đồng dạng.
B.CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Tính góc giữa hai mặt phẳng
Dạng 2: Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc
Dạng 3: Ứng dụng cơng thức hình chiếu
Dạng 4: Bài tập liên quan đến hình hộp chữ nhật, hình lăng trụ đứng, hình chóp đều và
hình chóp cụt đều
BÀI 5. KHOẢNG CÁCH
A.TÓM TẮT SÁCH GIÁO KHOA.
1. Khoảng cách từ một điểm tới một đường thẳng.
Cho điểm M và một đường thẳng Δ . Trong mp (M,Δ) gọi H là

O

hình chiếu vng góc của M trên Δ . Khi đó khoảng cách MH
được gọi là khoảng cách từ điểm M đến Δ .
d (M,(Δ))= MH

M

H

Nhận xét: OH OM,M Δ

21


2.Khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng.
Cho mặt phẳng (α) và một điểm M , gọi H là hình chiếu của

O

điểm M trên mặt phẳng (α) . Khi đó khoảng cách MH được gọi
là khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (α)
d (M,(α))= MH

α

H

M

Nhận xét: OH OM,M α
3.Khoảng cách từ một đường thẳng tới một mặt phẳng
song song
Cho đường thẳng Δ và mặt phẳng (α) song song với nhau. Khi
đó khoảng cách từ một điểm bất kì trên Δ đến mặt phẳng (α)
được gọi là khoảng cách giữa đường thẳng Δ và mặt phẳng
(α) .

M

H

α

D(Δ,(α))=d (M, (α)), MΔ.
4.Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song

N

M
α

Cho hai mặt phẳng (α) và (β) song song với nhau, khoảng cách
từ một điểm bất kì trên mặt phẳng này đến mặt phẳng kia được
gọi là khoảng cách giữa hai mặt phẳng (α) và (β)

β

N'

M'

.d((α) ,(β))=d (M, (β))=d (N, (α)), Mα) ,Nβ) .
5.Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Cho hai đường thẳng chéo nhau a,b. Độ dài đoạn vng góc chung
MN của a và b được gọi là khoảng cách giữa hai đường thẳng a và

a

M

b.

b

6.Cách tìm đường vng góc chung của hai đường thẳng chéo
nhau
Trường hợp 1: Δ và Δ' vừa chéo nhau vừa vng góc với
nhau
+ Bước 1: Chọn mặt phẳng (α) chứa Δ' và vng góc với Δ
tại I .
+ Bước 2: Trong mặt phẳng (α) kẻ IJ ⊥ Δ'
Khi đó IJ là đoạn vng góc chung và d(Δ, Δ') = IJ.
Trường hợp 2: Δ và Δ' chéo nhau mà khơng vng góc với nhau
+Bước 1: Chọn mặt phẳng (α) chứa Δ' và song song với Δ.

N


+ Bước 2: Dựng d là hình chiếu vng góc của Δ xuống (α)
bằng cách lấy điểm M ∈ Δ dựng đoạn MN ⊥ (α), lúc đó d là
đường thẳng đi qua N và song song với Δ.
+ Bước 3: Gọi H = d ∩ Δ' , dựng HK // MN
Khi đó HK là đoạn vng góc chung và d(Δ, Δ') = HK = MN
Hoặc
+

Bước 1: Chọn mặt phẳng (α) ⊥ Δ tại I .

+Bước 2: Tìm hình chiếu d của Δ' xuống mặt phẳng (α).
+Bước 3: Trong mặt phẳng (α), dựng IJ ⊥ d, từ J dựng đường
thẳng song song với Δ cắt Δ' tại H , từ H dựng HM // IJ.
Khi đó HM là đoạn vng góc chung và d(Δ, Δ') = HM = IJ.

B.CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Dạng 2: Khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng.
Dạng 3: Khoảng cách từ một đường thẳng tới một mặt phẳng song song
Dạng 4: Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song
Dạng 5: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Dạng 6: Chứng minh vng góc.

SƠ ĐỒ HỆ THỐNG KIẾN THỨC

23