PHƯƠNG PHÁP GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

GIẢI TỐN PHỔ THƠNG
CHỦ ĐỀ 1: LƯỢNG GIÁC
I. Bất

phương trình lượng giác

1. Để giải một bất phương trình loại này, ta thường dùng hai phương
pháp:
1.1 Phương pháp 1: Đưa bất phương trình về các dạng cơ bản như:
;Thơng thường ta dùng đường trịn lượng giác để tìm các họ nghiệm
tương ứng.
1. 2

Phương pháp 2: Viết bất phương trình về tích hoặc thương các hàm số
lượng giác cơ bản. Xét dấu các thừa số từ đó chọn nghiệm thích hợp.

2. Sau

khi đưa các bất phương trình trên về một số dạng hàm số lượng

giác cơ bản, ta cần nắm các bất phương trình cơ bản bằng cách ghi
nhớ một số cơng thức dưới đây:
a)

Bất phương trình chứa hàm cosin:




Nếu Bất phương trình vơ nghiệm



Nếu Bất phương trình có nghiệm là:




Nếu



Nếu

b)

Bất phương trình chứa hàm sin




Nếu Bất phương trình vơ nghiệm



Nếu Bất phương trình có nghiệm là:





Nếu



Nếu

c)

Bất phương trình chứa hàm tan





d)

Bất phương trình chứa hàm cot




3. Bài

tập áp dụng

Nhận biết

Thơng hiểu

Bài tập 1: Tính , c

Bài tập 2: Giải bất phương Bài tập 3: Giải bất phương

Bài

Vận dụng

trình sau

trình dưới đây

Giải: Ta có

Giải Ta có :

tập
Các

Giải: Ta có

h
giải

Ta có c
Bất phượng trình sau tượng
đương với
5+


Phư

Bước

1:

Áp dụng Bước 1: Chuyển vế, rút gọn Bước 1: Chuyển vế, rút gọn

ơng

phương pháp giải bất phương trình

phá

phương

p

giác vào giải bài tập tìm nghiệm

( xem có thõa điều kiện

giải

nào

khơng)

trình

phương trình

lượng Bước 2: Giải phương trình, Bước 2: Giải phương trình

Bước 3: Tìm nghiệm
II.

Cơng thức lượng giác
1. Cơng
a)

b) Bài

thức lượng giác cơ bản

Công thức

tập

Nhận biết

Thông hiểu

Bài tập 1: Cho , với Tính

Bài tập 2: Cho

Vận dụng
với Bài tập 3: Cho

Tính

Chứng minh rằng

Bài tập

Cách

Giải:

Giải:

Giải

giải

Ta có , do đó

Cách 1: Ta có

Ta có

Vì nên điểm cuối của cung

vì

thuộc cung phần tư thứ II,

Nên , ta có

do đó cos <0

Suy ra

Vậy

Vì nên điểm cuối của


cung nằm ở cung phần .
tư thứ IV, do đó

=

Vậy

Cách 2: Tìm tương tự
cách 1
=1
Vậy ( vì

nằm ở góc

phần tư thứ IV nên
Phươn

mang dấu
Bước 1: Tính ( )

Bước 1: Tính ( )

Bước 1: Xem 2 vế của

g pháp Bước 2: Xét dấu của chúng Bước 2: Xét dấu của biểu thức có nghĩa hay
giải

dựa vào chúng góc phần tư chúng dựa vào chúng khơng
nào

góc phần tư nào

Bước 2: Áp dụng công

Bước 3: Áp dụng công thức lượng giác cơ bản để
thức lượng giác cơ bản chứng minh
để tính

Bảng xét dấu của giá trị lượng giác
Góc phần tư I

II

III

IV

+
-

+
+

+
-

Giá trị lượng giác
+
+
+
+
2. Công

thức cộng

a) Công

thức


b) Bài

Bài

tập

Nhận biết

Thơng hiểu

Vận dụng

Bài tập 1:

Bài tập 2: Tính

Bài tập 3: Chứng minh
biểu thức sau

tập
Giải:

Giải:

Giải

Ta có

Ta có

Ta có

Các

Vế trái

h

=

giải

Vậy

Chia cả tử lẫn mẫu 2 vế
cho cos a.cos b ta được

Phư

biểu thức cần chứng minh
Bước 1: Áp dụng công thức Bước 1: Rút gọn biểu thức Bước 1: Khai triển biểu

ơng

cộng biểu thức để tính

cần tính

thức, đưa về dạng quen

phá

Bước 2: Áp dụng công thuộc rồi rút gọn

p

thức cộng biểu thức để tính

giải

Bảng giá trị lượng giác của một cung đặc biệt
0
0

1
1
Không xác định
3. Công

thức nhân

3.1 Công

thức nhân đôi

3.2 Công

thức nhân ba

1
1

1
0
Không xác định
0


3.3 Bài

tập

Nhận biết

Thông hiểu

Vận dụng

Bài tập 1: Cho , . Tính cos Bài tập 3: Tính giá trị của Bài tập 4: Chứng minh
Bài
tập

2x

biểu thức sau

Bài tập 2: Tính sin 2a biết

biểu thức sau khơng phụ
thuộc vào x

Giải:

Giải: Ta có

Giải

Bài tập 1

Sin 2x = 2 sin x cos x

Ta có

Ta có

Các

Áp dụng cơng thức như

h

trên ta nhận 2 vế cho

=

=

=

giải

Bài tập 2
Ta có
a

Phư

Bước 1: Đưa bài tốn về Bước 1: Chuyển biểu thức Bước 1: Khai triển biểu

ơng

dạng quen thuộc( sin 2x, cos về dạng quen thuộc

phá

3x,…)

p

Bước 2: Áp dụng cơng thức thức nhân và tính chất của thức nhân để rút gọn

giải

nhân để tính

4. Cơng

Bước 2: áp dụng cơng Bước 2: Áp dụng cơng
các cung để tính

Bước 3: Tính biểu thức

Thông hiểu

Vận dụng

thức hạ bậc

a) Công

b) Bài

thức về dạng quen thuộc

thức

tập

Nhận biết


Bài

Bài tập 1: Cho

Bài tập 3: Giải phương Bài tập 3: Giải phương

Tính cos 2a

trình sau

trình sau

+ 2a+3a =

4a - 6a =

Giải:

Giải: Ta có

Giải

Bài tập 1

+ 2a+3a =

Ta có:

Ta có

+

4a - 6a =

tập

Các
h

1)=0

giải

Phư
ơng

a

Bước 1: Áp dụng công thức Bước 1: Khai triển

Bước 1: Khai triển phương

hạ bậc để tính

trình

phương trình

Bước 2: Rút gọn và đưa Bước 2: Rút gọn và đưa về

phá

về dạng thường gặp

p

dạng thường gặp

Bước 3: Giải phương trình Bước 3: Giải phương trình

giải

và tìm nghiệm
5. Cơng

và tìm nghiệm

thức biến đổi tích thành tổng

a) Cơng

b) Bài

10a. cos

thức

tập

Nhận biết

Thơng hiểu

Vận dụng

Bài

Bài tập 1: Tính giá trị Bài tập 2: Biến đổi thành Bài tập 3:

tập

của biểu thức

tổng:

Cho , .


A = 2sin x.sin 2x.sin 3x

Tính P = sin a.cos 3a +
cos2a

Các

Giải:

Giải: Ta có

Giải

Bài tập 1 Ta có

A = 2sin x.sin 2x.sin 3x

Vì si co

=

Do a

=

Ta có

h
giải

P = sin a.cos 3a + cos2a

=

sin 4x- sin 6x

=
=

=
=

Bước 1: Áp dụng công Bước 1: Khai triển biểu thức
Phư
ơng
phá

Bước 1: Khai triển biểu

thức tích thành tổng để Bước 2: Rút gọn và đưa về thức về dạng quen thuộc
tính

dạng thường gặp

Bước 2: Áp dụng cơng
thức tích thành tổng để

p

rút gọn

giải

Bước 3: Tính biểu thức
6. Cơng

thức biến đổi tổng thành tích

a) Cơng

b) Bài

thức

tập

Nhận biết

Thơng hiểu

Vận dụng

Bài

Bài tập 1: Tính giá trị của Bài tập 2 : Thực hiện Bài tập 3: Rút gọn biểu

tập

biểu thức

phép tính

thức


Các

A=

A=

Giải:

Giải: Ta có

Giải

Ta có A =

A=

Ta có

=

=(

=2

=2sin

h

=2sin.

giải

== 0 ( 2 cung bù nhau )

Phư
ơng

=-cot(

Bước 1: Áp dụng công thức Bước 1: Khai triển biểu

Bước 1: Khai triển biểu

tổng thành tích để tính

thức về dạng quen thuộc

thức

Bước 2: Rút gọn và đưa Bước 2: Áp dụng công

phá
p
giải

về dạng thường gặp

thức tổng thành tích để rút

Bước 3: Tính biểu thức

gọn
Bước 3: Rút gọn biểu thức

III.

Cung và góc lượng giác
1.
1.1

Cung lượng giác

Hai cung đối nhau:

1.2 Hai cung bù nhau:


1.3 Cung hơn kém :

1.4 Cung phụ nhau:

*Chú ý


, (




Tan xác định với mọi




Cot xác định với mọi

1.5 Bài tập
Nhận biết

Thông hiểu

Vận dụng

Bài

Bài tập 1: Xác định dấu của Bài tập 2 : Rút gọn biểu Bài tập 3: Tính biểu thức

tập

các giá trị lượng giác

thức sau

a)

A = cos (900-x). sin(1800-

b)

x)- sin(900-x). cos(1800-x)

c)

A = Co


Giải: Ta có
Các

a) =

Giải Ta có

A = cos (900-x). sin(1800- A = Co
x)- sin(900-x). cos(1800-x)

b)

h

Giải: Ta có

=CoCo

= sin x. sin x - cos x.(- cos =-

giảic)

x) =1
Phư
ơng

Bước 1: Áp dụng công thức Bước 1: Khai triển biểu

Bước 1: Khai triển biểu

cung lượng giác để tính

thức về dạng quen thuộc

thức

Bước 2: Rút gọn và đưa Bước 2: Áp dụng công

phá
p
giải

về dạng thường gặp

thức cung lượng giác để

Bước 3: Tính biểu thức

tính
Bước 3: Tính biểu thức

2.

Góc lượng giác
2.1

Khái niệm góc lượng giác

D

- Trên đường tròn định hướng cho một cung lượng
giác CD .
- Một điểm M chuyển động trên đường tròn từ C đến
D tạo nên cung CD nói trên .

O

M

- Khi tia OM quay xung quanh gốc O từ vị trí OC tới
vị trí OD tạo ra một góc lượng giác có tia đầu là OC

C

tia cuối là OD .

2.2 Số đo của một cung lượng giác
Số đo của góc lượng giác (OA,OC) là số đo của cung lượng giác AC tương ứng
Ví dụ : Ta đã biết sđ AB =
Vậy số đo cung lượng giác (OA,OB) là
3.

Độ và radian
Độ
Chia đường trịn thành 360 phần bằng nhau thì mỗi cung trịn có độ dài

bằng:

a)


b)

Radian

Cung có độ dài bằng bán kính gọi là cung có số đo 1 rađian, gọi tắt là cung 1 rađian.
Góc ở tâm chắn cung 1 rađian gọi là góc có số đo 1 rađian, gọi tắt là góc 1 rađian.
1 rađian
cịnhệviết
tắt là
rad.Radian
c)
Quan
giữa
độ1 và

Bảng chuyển đổi thơng dụng

Độ

300

Rad

π

π

6

4

450 600

900

1200

π

π

3

2

2π
3

1350

1500

1800

3π

4

5π
6

π

Độ dài cung
Cung có số đo rad của đường trịn bán kính R có độ dài là:
d)

e)

Bài tập

Nhận biết

Thơng hiểu

Vận dụng

Bài tập 1: Đổi các số đo sau Bài tập 2 : Cho đường Bài tập 3: Bánh xe của A
sang đơn vị độ

trịn có bán kính

π
4
5π
f,

6

R=20 cm .Hãy tính độ dài vịng trong 5 giây

e,
Bài
tập

cung có số đo :

π
15
Bài tập 2 : Đổi các số đo b)1,5
c)37

Tính góc mà bánh xe
quay được trong 1 giây

b)

Tính quãng đường xe
đi được trong 1 phút

0

biết đường kính bánh

a,300

xe là 68 cm

d,1800
Các

Giải:

h

Bài tập 1: Ta có

Giải: Ta có
0

e,

a)

a)

sau ra rad:

giải

đi xe đạp quay được 11

π 180
= ì ữ = 450
4 4 π 

a)l =

Giải Ta có

π
.20 ≈ 4,19cm
15

b)l = 1,5.20 = 30cm
c)37 0 = 37.

a) 11

X
( vòng)

π
37π
=
rad 1 vòng
180 180

vòng
1 giây


0

5 5 180
f,
=

ì ữ = 1500
6 6 π 

l=

37π
.20 ≈ 12,91cm
180

Bài tập 2 Ta có
a,300 = 30.

rad
b) 1

π
π
=
180 6

d,1800 = 180.

vòng
giây
60 giây

π
=π
180

S= 60.34. =8976
Phư

Bước 1: Áp dụng mối quan Bước 1:

ơng

hệ giữa độ và rad để tính

phá

Áp dụng mối Bước 1:

Áp dụng công

quan hệ giữa độ và rad để thức độ dài cung để tính
tính

p
giải

Bài tốn thực tế: Trong 20s bánh xe của xe gắn máy quay được 60 vịng.
Tính độ dài qng đường xe gắn máy đi được trong vịng 3 phút, biết
đường kính bánh xe là 11cm
Bài giải:
Theo cơng thức độ dài cung trịn
Trong vịng 3 phút bánh xe quay được
Vậy S=l= 540.( cm)
Các dạng bài tập
Dạng 1: Tính giá trị lượng giác của một góc khi cho trước 1 số giá trị

Dạng 2: Chứng minh đẳng thức lượng giác
Dạng 3: Rút gọn biểu thức lượng giác
Dạng 4: Tính giá trị của biểu thức lượng giác