phương pháp giải phương trình lượng giác 4

CHƯƠNG VIII
PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC KHÔNG MẪU MỰC

Trường hợp 1: TỔNG HAI SỐ KHÔNG ÂM

Áp dụng Nếu
A
0B0
AB0
≥∧ ≥
⎧
⎨
+=
⎩
thì A = B = 0

Bài 156 Giải phương trình:

22
4cos x 3tg x 4 3cosx 2 3tgx 4 0 (*)+− + +=

Ta có:
()
(
)
⇔−++
⎧
=
⎪
⎪
⇔

⎨
⎪
=−
⎪
⎩
π
⎧
=± + π ∈
⎪
⎪
⇔
⎨
⎪
=−
⎪
⎩
π
⇔=−+ π ∈


22
(*) 2 cos x 3 3tgx 1 0
3
cos x
2
1
tgx
3
xk2,k
6

1
tgx
3
xk2,k
6
=


Bài 157
Giải phương trình:

(
)
2
8cos4x.cos 2x 1 cos3x 1 0 *+− +=

Ta có:
() ( )
⇔
+++−* 4cos4x 1 cos4x 1 1 cos3x 0=
()
()
⇔+++−
⇔++−=
⎧⎧
=− =−
⎪⎪
⇔⇔
⎨⎨
⎪⎪

==π∈
⎩⎩

2
2
4cos 4x 4cos4x 1 1 cos3x 0
2cos4x 1 1 cos3x 0
11
cos 4x cos 4x
22
cos 3x 1 3x k2 , k
=

⎧
=−
⎪
⎪
⇔
⎨
π
⎪
=∈
⎪
⎩

1
cos 4x
2
k2
x , k (có 3 đầu ngọn cung)

3


=






= = = +



= +


1
cos 4x
2
22
x +m2hay xm2hayxm2,m
33
2
xm2,m
3

(ta nhaọn
=
k1 vaứ loaùi k = 0 )

Baứi 158 Giaỷi phửụng trỡnh:

()
()
2
233
sin 3x
sin x cos 3xsin x sin 3x cos x sin x sin 3x *
3sin4x
++=
2

Ta coự:
33
cos 3x.sin 3x sin 3x.cos x+
()
(
)
()
= +
= + =
==
33 33
33 2
4cosx 3cosxsinx 3sinx 4sinxcosx
3cos x sin x 3sin x cos x 3sin x cos x cos x sin x
33
sin 2x.cos 2x sin 4x
24

2

()
()
+ =

+=



+ =


22 2
2
242
2
222
1
Vaọy: * sin x sin 3x sin x sin 3x vaứ sin 4x 0
4
111
sin 3x sin x sin 3x sin 3x 0 vaứ sin 4x 0
244
11
sin 3x sin x sin 3x 1 sin 3x 0 vaứ sin 4x 0
24

+=






=


= =


2
22
2
11
sin 3x sin x sin 6x 0 vaứ sin 4x 0
216
sin 4x 0
1
sin 3x sin x
2
sin3x0cos3x0

==


=

=



sin 4x 0
sin 4x 0
1
sin 3x 0 sin x
2
sin x 0 (VN)
sin 3x 1





=



=

3
sin 4x 0
1
sin x
2
3sinx 4sin x 1


≠
⎧
⎪
⇔
⎨
=
⎪
⎩
≠
⎧
⎪
⇔
ππ
⎨
=+ π∨ + π∈
⎪
⎩
ππ
⇔=+π∨= +π∈


sin 4x 0

1
sin x
2
sin 4x 0
5
xk2 k2,k
66
5
xk2x k2,k
66


Trường hợp 2 Phương pháp đối lập
Nếu
A
MB
AB
≤≤
⎧
⎨
=
⎩
thì
A
BM
=
=

Bài 159 Giải phương trình:
−=+

44
sin x cos x sin x cos x (*)


Ta có: (*)
⇔−=+
22
sin x cos x sin x cos x


⇔− = +
≤
⎧
⎪
⇔
⎨
=+
⎪
⎩
≤
⎧
≤
⎧
⎪
⇔⇔
⎨⎨
=
=±
−=
⎪

⎩
⎩
⇔=−
π
⇔=+π∈
2
2
cos 2x sin x cos x
cos 2x 0
cos 2x 1 2 sin x cos x
cos 2x 0
cos 2x 0
sin 2x 0 (cos 2x 1)
sin 2x 2 sin 2x
cos 2x 1
xk,k
2

Cách khác
Ta có
−≤ ≤≤+
44 4
x cos x sin x sin x sin x cos xsin

Do đó
=
⎧
⎪
⇔⇔=
⎨

=
⎪
⎩
4
cos x 0
(*) cos x 0
sin x sin x
π
=+π∈xk,k
2

⇔

Bài 160: Giải phương trình:
()

2
cos 2x cos 4x 6 2sin 3x (*)−=+

Ta có: (*)
22
4 sin 3x.sin x 6 2sin 3x⇔=+
• Do: và
2
sin 3x 1≤
2
sin x 1
≤

nên

22
4sin 3xsin x 4
≤

• Do nên
62≥−sin 3x 1 sin3x4
+
≥

Vậy
22
4 sin 3x sin x 4 6 2sin 3x≤≤+
Dấu = của phương trình (*) đúng khi và chỉ khi
⎧
=
⎧
⎪
=
=⇔
⎨⎨
=
−
⎩
⎪
=−
⎩
2
2
2
sin 3x 1

sin x 1
sin x 1
sin 3x 1
sin 3x 1


π
⎧
=± + π ∈
π
⎪
⇔⇔=+
⎨
⎪
=−
⎩

π∈

xk2,k
xk2,k
2
2
sin 3x 1


Bài 161 Giải phương trình:
33
cos x sin x
2cos2x(*)

sin x cos x
−
=
+

Điều kiện:
si

n x 0 cos x 0≥∧ ≥
Ta có: (*)
()( )
(
)
(
)
22
cos x sin x 1 sin x cos x 2 cos x sin x sin x cos x⇔− + = − +

()
()
−=
⎡
⎢
⇔
+=+ +
⎢
⎣
cos x sin x 0 (1)
1 sin x cos x 2 cos x sin x sin x cos x (2)

Ta có:

(1)
π
⇔=⇔=+π∈

tgx 1 x k , k
4



Xét (2)
Ta có: khi
si
thì
n x 0≥
≥≥
2
sin x sin x sin x
Tương tự ≥≥
2
cos x cos x cos x
Vậy
si
và
n x cos x 1+≥
sin x cos x 1
+
≥
Suy ra vế phải của (2) thì 2≥

Mà vế trái của (2):
13
1sin2x
22
+≤

Do đó (2) vô nghiệm
Vậy: (*)
π
⇔=+π∈

xk,k
4


Bài 162: Giải phương trình:
3 cos x cos x 1 2(*)−− +=


Ta có: (*) 3cosx 2 cosx1⇔− =+ +

()
3cosx 5cosx4cosx1
2cosx 1 4 cosx 1
⇔− =+ + +
⇔− + = +

Ta có:
(
)

2cosx 1 0 x−+≤∀

mà 4cosx 1 0x+≥∀
Do đó dấu = của (*) xảy ra
cos x 1
⇔
=−


⇔
=π+ π ∈

xk2,k




Bài 163: Giải phương trình:

(
)
22
cos3x 2 cos 3x 2 1 sin 2x (*)+− = +

Do bất đẳng thức Bunhiacốpski:

222 2
A
XBY A B.X Y+≤ + +

nên:
(
)
222
1cos3x 1 2 cos 3x 2. cos 3x 2 cos 3x 2+− ≤ +− =

Dấu = xảy ra
2
cos3x 2 cos 3x⇔=−


22
cos3x 0
cos 3x 2 cos 3x
cos3x 0
cos3x 1
cos3x 1
≥
⎧
⇔
⎨
=−
⎩
≥
⎧
⇔⇔
⎨
=±
⎩
=

Mặt khác:
()
2
21 sin 2x 2+≥
dấu = xảy ra
sin 2x 0⇔=
Vậy:
(
)
22
cos3x 2 cos 3x 2 2 1 sin 2x+− ≤≤ +
dấu = của (*) chỉ xảy ra khi:

=∧ =
=
⎧
⎪
⇔
⎨
π
=∈
⎪
⎩
⇔= π ∈


cos 3x 1 sin 2x 0
cos 3x 1
k
x,k(có4đầungọncun

2
x2m,m
g)


Bài 164: Giải phương trình:
22 5
tg x cotg x 2sin x (*)
4
π
⎛⎞
+= +
⎜⎟
⎝⎠


Điều kiện:
sin 2x 0
≠

• Do bất đẳng thức Cauchy:
22
tg x cotg x 2
+
≥
dấu = xảy ra khi tgx cotgx
=

• Mặt khác:
sin x 1

4
π
⎛⎞
+
≤
⎜⎟
⎝⎠

nên
5
2sin x 2
4
π
⎛⎞
+≤
⎜⎟
⎝⎠

dấu = xảy ra khi
sin x 1
4
π
⎛⎞
+
=
⎜⎟
⎝⎠

Do đó:
22 5

tg x cotg x 2 2sin x
4
π
⎛⎞
+≥≥ +
⎜⎟
⎝⎠

Dấu = của (*) xảy ra
tgx cotgx
sin x 1
4
=
⎧
⎪
⇔
π
⎨
⎛⎞
+
=
⎜⎟
⎪
⎝⎠
⎩


⎧
=
⎪

⇔
⎨
π
=
+π∈
⎪
⎩
π
⇔=+ π∈


2
tg x 1
xk2,k
4
xk2,k
4


Trường hợp 3:
Áp dụng: Nếu
A
MvàB M A M
thì
A
BMN BN
≤≤
⎧⎧
⎨⎨
+= + =

⎩⎩
=


=
⎧
+=⇔
⎨
=
⎩
sin u 1
sin u sin v 2
sin v 1


=
⎧
−=⇔
⎨
=
−
⎩
sin u 1
sin u sin v 2
sin v 1


=
−
⎧

+=−⇔
⎨
=
−
⎩
sin u 1
sin u sin v 2
sin v 1

Tương tự cho các trường hợp sau

±=± ±=±sin u cos v 2 ; cos u cos v 2

Bài 165: Giải phương trình:
()
3x
cos 2x cos 2 0 *
4
+−=

Ta có:
()
3x
*cos2xcos
4
⇔+ 2=

3x
Do cos 2x 1 và cos 1
4

≤
≤

nên dấu = của (*) chỉ xảy ra
()
=π ∈
=
⎧
⎧
⎪⎪
⇔⇔ ⇔=π
π
⎨⎨
=∈
=
⎪⎪
⎩
⎩
π
π= ⇔ =
=∈Ζ =

∈


xk,k
cos 2x 1
x8m,m
8h
3x

x,h
cos 1
3
4
8h 8h
Do : k k
33
để k nguyên ta chọn h 3m m ( thì k 8m )

Cách khác
==π∈
⎧⎧
⎪⎪
⇔⇔=π∈
⎨⎨
π
==
⎪⎪
⎩⎩


cos 2x 1 x k , k
x8m,m
3x 3k
cos 1 cos 1
44


Bài 166:
Giải phương trình:

()
cos2x cos4x cos6x cosx.cos2x.cos3x 2 *++= +


()
2
cos2x cos 4x cos6x 2cos 3x cos x 2 cos 3x 1
2cos3x cosx cos3x 1
4 cos 3x.cos 2x.cos x 1
++ = + −
=
+−
=−

Vậy:
()
1
cos3x.cos2x.cos x cos2x 6cos4x cos6x 1
4
=
+++

Do đó:
() ()
()
⇔++= ++
⇔++=
19
* cos 2x cos 4x cos 6x cos2x cos 4x cos6x
44

39
cos2x cos4x cos6x
44
+


⇔
++=
==π∈
⎧⎧
⎪⎪
⇔=⇔=
⎨⎨
⎪⎪
==
⎩⎩

cos2x cos4x cos6x 3
cos 2x 1 2x k2 , k (1)
cos 4x 1 cos4x 1 (2)
cos 6x 1 cos 6x 1 (3)

⇔ = π∈⇔=π∈

2x k2 ,k x k ,k

( Thế (1) vào (2) và (3) ta thấy hiển nhiên thỏa)
Bài 167:
Giải phương trình:
(

)
cos2x3sin2x3sinxcosx40*−−−+=

Ta có:
()
⎛⎞⎛
⇔=− + + +
⎜⎟⎜
⎜⎟⎜
⎝⎠⎝
13 31
* 2 cos2x sin 2x sin x cos x
22 22
⎞
⎟
⎟
⎠


ππ
⎛⎞⎛
⇔= − + +
⎜⎟⎜
⎝⎠⎝
2sin2x sinx
66
⎞
⎟
⎠

⎧π
⎛⎞
ππ
⎧
−=
−
=+ π∈
⎜⎟
⎪
⎪
⎪⎝ ⎠ ⎪
⇔⇔
⎨⎨
ππ
π
⎛⎞
⎪⎪
+=+ π∈
+=
⎜⎟
⎪
⎪
⎩
⎝⎠
⎩
π
⎧
=+π∈
⎪
π

⎪
⇔⇔=+π
⎨
π
⎪
=+ π∈
⎪
⎩
∈





sin 2x 1
2x k2 ,k
6
62
xh2,h
sin x 1
62
6
xk,k
3
xh,h
3
xh2,h
3

Cách khác

⎧π
⎛⎞
⎧π
⎛⎞
−=
−=
⎜⎟
⎪
⎜⎟
⎪
⎪⎝ ⎠ ⎪
⎝⎠
⇔⇔
⎨⎨
π
ππ
⎛⎞
⎪⎪
+=
+
=+ π∈
⎜⎟
⎪⎪
⎩
⎝⎠
⎩

sin 2x 1
sin 2x 1

6
6
(*)
sin x 1
xh2,h
6
62

⎧π
⎛⎞
−=
⎜⎟
⎪
π
⎪
⎝⎠
⇔⇔=+
⎨
π
⎪
=+ π∈
⎪
⎩
π∈


sin 2x 1
6
xh,h
3

xh2,h
3


Bài 168: Giải phương trình:
()
4cosx2cos2xcos4x1*−−=

Ta có:
()
(
)
(
)
⇔
−−−−
22
* 4 cos x 2 2cos x 1 1 2sin 2x 1=

⇔− + =
⇔= −+ =
222
2
4cosx 4 cos x 8sin x cos x 0
cos x 0 hay 1 cos x 2sin x cos x 0

(
)
⇔= + −=
⇔= − =

2
cos x 0 hay 1 cos x 2 sin x 1 0
cos x 0 hay 1 cos x cos 2x 0 ( * *)

()
⇔= − + =
⇔=∨ +=
1
cos x 0 hay 1 cos 3x cos x 0
2
cos x 0 cos 3x cos x 2

=
⎧
⇔=∨
⎨
=
⎩
cos 3x 1
cos x 0
cos x 1

=
⎧
⇔=⇔
⎨
−
=
⎩
⇔=∨=

π
⇔=+π∨= π∈
3
cos x 1
cos x 0
4cos x 3cosx 1
cos x 0 cos x 1
xkxk2,k
2

Cách khác
⇔= =( * *) cos x 0 hay cos x cos 2x 1
−


==
⎧⎧
⇔=∨ ∨
⎨⎨
=
=−
⎩⎩
cos x 1 cos x 1
cos x 0
cos2x 1 cos2x 1


=π∈ =π+ π∈
⎧⎧
π

⇔=+π∈∨ ∨
⎨⎨
==−
⎩⎩


xk2,k x k2,k (loại
xk,k
cos 2x 1 cos 2x 1
2
)


π
⇔=+π∨= π∈

xkxk2,k
2

Bài 169: Giải phương trình:

()
1
tg2x tg3x 0 *
sin x cos 2x cos 3x
++ =


Điều kiện:
sin 2x cos 2x cos 3x 0

≠

Lúc đó:
()
⇔++
sin 2x sin 3x 1
*0
cos2x cos 3x sin x.cos2x.cos 3x
=
+=
=



()
⇔+
⇔++
sin2xsinxcos3x sin3xsinx.cos2x 1 0
sin x sin 2x cos 3x sin 3x cos 2x 1 0

()
⇔=−
⇔− − =−
⇔−=
==
⎧⎧
=
⎧
⎪⎪
⇔⇔−=⇔−

⎨⎨ ⎨
=−
⎩
⎪⎪
=
−=−
⎩⎩
33
2
sin x.sin 5x 1
1
cos6x cos4x 1
2
cos 6x cos4x 2
tcos2x tcos2x
cos6x 1
4t 3t 1 4t 3t 1
cos4x 1
t0
2t 1 1
=

Do đó: (*) vô nghiệm.
Cách khác
=
=−
⎧⎧
⇔=−⇔
⎨⎨
=

−=
⎩⎩
sin x 1 sin x 1
sin x.sin 5x 1 hay
sin 5x 1 sin 5x 1

ππ
⎧⎧
=+ π∈ =−+ π∈
⎪⎪
⇔
⎨⎨
⎪⎪
=− =
⎩⎩
xk2,k x k2,k
hay
22
sin 5x 1 sin 5x 1

x⇔∈∅



Bài 170: Giải phương trình:
(
)
22
cos 3x.cos2x cos x 0 *−=

Ta có:
() () ()
⇔
+−+
11
* 1 cos 6x cos2x 1 cos 2x 0
22
=


()
⇔
=
⇔
+=
⇔+=
=
⎧
⇔
⎨
=
⎩
⎧
−=
⇔
⎨
=
⎩
⎧

=
⇔
⎨
=
⎩
⇔=
⇔=π∈
π
⇔= ∈


2
2
cos 6x cos 2x 1
1
cos 8x cos 4x 1
2
cos 8x cos 4x 2
cos 8x 1
cos 4x 1
2cos 4x 1 1
cos 4x 1
cos 4x 1
cos 4x 1
cos 4x 1
4x k2 ,k
k
x,k
2

Cách khác

⇔=cos 6x cos 2x 1

=
=−
⎧⎧
⇔
⎨⎨
=
=−
⎩⎩
cos2x 1 cos2x 1
hay
cos6x 1 cos6x 1

=π∈ =π+π∈
⎧⎧
⇔
⎨⎨
==−
⎩⎩
2x k2 , k 2x k2 , k
hay
cos 6x 1 cos 6x 1

π
=∈

k

x,k
2

Cách khác
==
⎧⎧
⇔
⎨⎨
==π∈
⎩⎩
cos8x 1 cos8x 1
cos 4x 1 4x k2 , k


π
⇔= ∈

k
x,k
2


Trường hợp 4: DÙNG KHẢO SÁT HÀM SỐ
y = a
x
là hàm giảm khi 0< a <1.
Do đó ta có

sin sin , ,
cos s , ,

mn
mn
xxnmxkk
xcoxnmx kk
π
π
π
π
<⇔>∀≠+∈
<⇔>∀≠+
2
2
∈



sin sin ,
cos s ,
mn
mn
x
xnmx
x
co x n m x
≤⇔≥
≤⇔≥
∀
∀

Bài 171: Giải phương trình:
()
2
x
1cosx
2
−= *

Ta có:
()
2
x
*1 cos
2
⇔= + x

Xét
2
x
ycosxtrên
2
=+ R

Ta có:
y'

x sinx=−
và
y'' 1 cosx 0 x R
=

−≥∀∈

Do đó y’(x) là hàm đồng biến trên R
Vậy
()
(
)
(
)
x0,:x0nêny'xy'0∀∈ ∞ > > =0


()
(
)
(
)
x,0:x0nêny'xy'0∀∈−∞ < < =0

Do đó:

Vậy :
2
x
ycosx1x
2
=+ ≥∀∈R

Dấu = của (*) chỉ xảy ra tại x = 0
Do đó

()
*x0
⇔
=•


Bài 172: Giải phương trình

sin sin sin sin
x
xx+=+
46810
x
(*)
Ta có

sin sin
sin sin
2
2
và dấu=xảy ra khi và chỉ khi sin x = 1hay sinx = 0
và dấu=xảy ra khi và chỉ khi sin x = 1 hay sinx =0
xx
xx
⎧
≥
⎪
⎨
≥
⎪

⎩
48
610
⇔
sin
2
x = 1 sinx = 0 ∨
⇔
x =
±
,kxkk
π
ππ
+
∨= ∈22
2


Cách khác
(*)
sin sin sin sin
x
ha
y
xx x⇔= +=+
4246
01

sin sin
x

ha
y
x⇔=
2
01=


BÀI TẬP
Giải các phương trình sau
()
−+ =
π
⎛⎞
−=+ −
⎜⎟
⎝⎠
+=
23
22 2
1. lg sin x 1 sin x 0
2. sin 4x cos 4x 1 4 2 sin x
4
1
3. sin x sin 3x sin x.sin 3x
4

()
π=
+=+
−=+

sin x
2
4. cos x
5. 2cos x 2 sin10x 3 2 2cos 28x.sin x
6. cos 4x cos 2x 5 sin 3x

(
)
()(
() ()
+= −
−++−
+=−
=
a2
7. sin x cos x 2 2 sin 3x
8. sin 3x cos 2x 2sin 3x cos 3x 1 sin 2x 2cos 3x 0
9. tgx tg2x sin 3x cos 2x
10. 2 log cot gx log cos x
)
=

()
π
⎡⎤
=∈
⎢⎥
⎣⎦
+=
−+ +

sin x
13 14
11. 2 cos x với x 0,
2
12. cos x sin x 1
13. cos 2x cos 6x 4 sin 2x 1 0=

(
)
+= −
+=−
−− ++
33 4
22
14. sin x cos x 2 2 cos 3x
15. sin x cos x 2 sin x
16. cos x 4 cos x 2x sin x x 3 0=

+=+
+− −+
sin x
2
22
17. 2 sin x sin x cos x
18. 3 cot g x 4 cos x 2 3 cot gx 4 cos x 2 0=


Th.S Phạm Hồng Danh (TT luyện thi Vĩnh Viễn)