Khóa luận một số dạng bài tập về các nguyên lý trong cơ học

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA VẬT LÝ

LÊ NGỌC DƯƠNG

MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP
VỀ CÁC NGUYÊN LÝ TRONG CƠ HỌC
Chun ngành: Vật lí lý thuyết

KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Người hướng dẫn khoa học

ThS. NGUYỄN THỊ PHƯƠNG LAN

HÀ NỘI, 2018


LỜI CẢM ƠN
Với tấm lòng tri ân và biết ơn chân thành, em xin được bày tỏ lời cảm
ơn sâu sắc tới ThS. Nguyễn Thị Phương Lan đã trực tiếp hướng dẫn tận tình
và tạo điều kiện thuận lợi để em có thể hồn thành khóa luận tốt nghiệp này.
Em xin chân thành cảm ơn các Thầy (Cô) giáo trong khoa Vật Lý
Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp em
hoàn thành khóa luận này.
Cuối cùng, em xin được bày tỏ lịng biết ơn tới gia đình, bạn bè đã ln
động viên, khích lệ và tạo mọi điều kiện vật chất và tinh thần để em hồn
thiện được khóa luận của mình.
Mặc dù bản thân đã cố gắng rất nhiều để thực hiện đề tài một cách hồn
chỉnh nhất, song khơng thể tránh khỏi những thiếu sót. Vì vậy, em rất mong

nhận được sự góp ý của q thầy cơ và các bạn để khóa luận của em được
hồn thiện hơn.
Em xin trân trọng cảm ơn!
Sinh viên

Lê Ngọc Dương

i


LỜI CAM ĐOAN

Tơi xin cam đoan khóa luận là kết quả của sự cố gắng và nỗ lực nghiên
cứu của bản thân dưới sự hướng dẫn tận tình của Th.S Nguyễn Thị Phương
Lan khơng trùng khớp với bất kì tài liệu nào. Nếu sai em xin hoàn toàn chịu
trách nhiệm.

Hà Nội, ngày tháng năm 2018
Sinh viên

Lê Ngọc Dương

ii


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU ........................................................................................................... 1
1. Lý do chọn đề tài ........................................................................................... 1
2. Mục đích nghiên cứu ..................................................................................... 1
3. Đối tượng nghiên cứu.................................................................................... 2

4. Nhiệm vụ nghiên cứu .................................................................................... 2
5. Phương pháp nghiên cứu............................................................................... 2
6. Cấu trúc của luận văn .................................................................................... 2
NỘI DUNG ....................................................................................................... 3
Chương 1: Nguyên lý di chuyển khả dĩ. ........................................................... 3
1.1 Cơ sở lý thuyết. ........................................................................................... 3
1.1.1 Di chuyển khả dĩ – Số bậc tự do .............................................................. 3
1.1.1.1 Di chuyển khả dĩ ................................................................................... 3
1.1.1.2 Số bậc tự do ........................................................................................... 4
1.1.2 Tọa độ suy rộng – Lực suy rộng. ............................................................. 4
1.1.2.1 Tọa độ suy rộng ..................................................................................... 4
1.1.2.2 Lực suy rộng.......................................................................................... 4
1.1.3 Nguyên lý di chuyển khả dĩ. .................................................................... 5
1.1.3.1 Liên kết lý tưởng. .................................................................................. 5
1.1.3.2 Nguyên lý di chuyển khả dĩ. ................................................................. 5
1.1.3.3 Điều kiện cân bằng tổng quát của cơ hệ không tự do. .......................... 7
1.2 Các dạng bài tập về nguyên lý di chuyển khả dĩ......................................... 7
Chương 2: Nguyên lý Đalămbe ...................................................................... 14
2.1 Cơ sở lý thuyết. ......................................................................................... 14
2.1.1 Nguyên lý Đalămbe................................................................................ 14
2.1.1.1 Nguyên lý Đalămbe đối với chất điểm. .............................................. 14
2.1.1.2 Nguyên lý Đalămbe đối với cơ hệ. ..................................................... 14
iii


2.1.2 Thu gọn hệ các quán tính của vật rắn. ................................................... 16
2.1.2.1 Vật rắn chuyển động tịnh tiến. ............................................................ 16
2.1.2.2 Vật rắn đồng chất chuyển động song phẳng. ...................................... 17
2.1.2.3 Vật rắn đồng chất chuyển động quanh một trục cố định. ................... 18
2.2 Các dạng bài tập về nguyên lý Đalămbe ................................................... 18

Chương 3: Nguyên lý Đalămbe – Lagrăng ..................................................... 24
3.1 Cơ sở lý thuyết. ......................................................................................... 24
3.2 Các dạng bài tập về nguyên lý Đalămbe – Lagrăng ................................. 25
Chương 4: Nguyên lý tác dụng tối thiểu ......................................................... 30
4.1 Cơ sở lý thuyết. ......................................................................................... 30
4.1.1 Nguyên lý tác dụng tối thiểu .................................................................. 30
4.1.2 Ứng dụng của nguyên lý tác dụng tối thiểu ........................................... 31
4.2 Một số bài tập về nguyên lý tác dụng tối thiểu. ........................................ 33
KẾT LUẬN ..................................................................................................... 37
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................... 38

iv


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Vật lý học là bộ môn khoa học tự nhiên, tập trung nghiên cứu vật chất
và chuyển động của nó trong khơng gian và thời gian. Vật lý học phát triển
không ngừng với nhiều chuyên ngành vật lý khác nhau, trong đó có chuyên
ngành “Vật lý lý thuyết” – diễn tả các quy luật, những học thuyết, suy luận
logic để tìm ra những nguyên lý mới chưa tìm được bằng thực nghiệm.
Để nghiên cứu các quy luật tổng quát của chuyển động và cân bằng của
các vật và sự tác dụng tương hỗ giữa chúng – bộ môn Cơ học lý thuyết ra đời.
Trong cơ học lý thuyết chúng ta cần chú ý bốn nguyên lý quan trọng. Đó là
“Nguyên lý di chuyển khả dĩ”; “Nguyên lý tác dụng tối thiểu”; “Nguyên lý
Đalămbe”; “Nguyên lý Đalămbe – Lagrăng”. Các nguyên lý trong cơ học cho
phép ta thành lập được các phương trình vi phân chuyển động và điều kiện
cân bằng của cơ hệ. Và việc vận dụng các kiến thức đã học vào giải các bài
tập Cơ học lý thuyết là yêu cầu hàng đầu đối với chúng ta, qua đó giúp hiểu
sâu về lý thuyết đồng thời nâng cao tư duy và kỹ năng học tập. Chính vì vậy

tơi lựa chọn đề tài: “Một số dạng bài tập về các nguyên lý trong cơ học” để
hiểu rõ hơn về các nguyên lý và áp dụng các nguyên lý đó vào giải các dạng
bài tập.
2. Mục đích nghiên cứu
- Tìm hiểu về một số nguyên lý trong cơ học:
+ Nguyên lý di chuyển khả dĩ.
+ Nguyên lý Đalămbe.
+ Nguyên lý Đalămbe – Lagrăng.
+ Nguyên lý tác dụng tối thiểu.
- Áp dụng cơ sở lý thuyết của các nguyên lý trên vào việc giải các bài
toán cơ học.

1


3. Đối tượng nghiên cứu
- Các nguyên lý:
+ Nguyên lý di chuyển khả dĩ.
+ Nguyên lý Đalămbe.
+ Nguyên lý Đalămbe – Lagrăng.
+ Nguyên lý tác dụng tối thiểu.
- Dạng bài tập về các nguyên lý.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu về các nguyên lý trong cơ học.
- Nghiên cứu dạng bài tập về các nguyên lý đó.
5. Phương pháp nghiên cứu
- Đọc và nghiên cứu tài liệu tham khảo.
- Thống kê, lập luận, diễn giải.
6. Cấu trúc của luận văn
Chương 1: Nguyên lý di chuyển khả dĩ.

1.1 Cơ sở lý thuyết
1.2 Các dạng bài tập
Chương 2: Nguyên lý Đalămbe.
2.1. Cơ sở lý thuyết
2.2. Các dạng bài tập
Chương 3: Nguyên lý Đalămbe – Lagrăng.
3.1. Cơ sở lý thuyết
3.2. Các dạng bài tập
Chương 4: Nguyên lý tác dụng tối thiểu.
4.1 Cơ sở lý thuyết
4.2 Một số bài tập

2


NỘI DUNG
Chương 1: Nguyên lý di chuyển khả dĩ.
1.1 Cơ sở lý thuyết.
1.1.1 Di chuyển khả dĩ – Số bậc tự do
1.1.1.1 Di chuyển khả dĩ.
Cơ hệ không tự do là cơ hệ tập hợp nhiều chất điểm mà chuyển động của
chúng không những phụ thuộc vào các lực tác động mà còn phụ thuộc vào
một số điều kiện ràng buộc về hình học và động học. Ngược lại thì ta có cơ hệ
tự do.
Di chuyển khả dĩ của cơ hệ không tự do là tập hợp di chuyển vô cùng
nhỏ của các chất điểm tại vị trí đang xét sang vị trí lân cận mà cơ hệ có thể
thực hiện phù hợp với liên kết đặt lên hệ. Ký hiệu di chuyển khả dĩ của chất
điểm là  r ( x,  y,  z) (với r là vectơ định vị của chất điểm), để phân biệt
được với di chuyển thật dr (dx, dy, dz ) .
Xét cơ hệ gồm N chất điểm, điều kiện để  rk

dĩ nếu thỏa mãn

( k = 1, N ) là di chuyển khả

f

 r  r = 0 hay trong dạng:

f
f
f
 xk +
 yk +
 zk = 0
xk
yk
zk

(1.1)

Ta có thể dễ dàng nhận thấy di chuyển thực là một trong những di chuyển khả
dĩ. Do vậy di chuyển khả dĩ là di chuyển do ta tưởng tượng ở một thời điểm
cố định cịn di chuyển thực thì được thực hiện theo thời gian.
Di chuyển thực dr phụ thuộc vào lực tác dụng và điều kiện đầu và liên kết đặt
lên hệ còn đối với di chuyển khả dĩ thì nó chỉ phụ thuộc vào liên kết đặt lên
nó do vậy di chuyển thực chỉ có một cịn di chuyển khả dĩ có một hoặc nhiều
di chuyển.

3

1.1.1.2 Số bậc tự do
Số bậc tự do của cơ hệ là số tối đa các di chuyển khả dĩ độc lập tuyến
tính của cơ hệ, nghĩa là bằng số biến phân độc lập của các toạ độ.
Cách xác định số bậc tự do: Giả sử cơ hệ có n chất điểm và chịu m
phương trình liên kết độc lập với nhau trong cơ hệ thì số bậc tự do của hệ sẽ
là S = 3n − m
Phương trình liên kết: là các phương trình hay bất phương trình biểu thị
về mặt tốn học mối ràng buộc về mặt hình học và động học đối với chất
điểm thuộc cơ hệ. Dạng của phương trình liên kết là:
f (t, x1, y1, z1,..., xn , yn , zn , x1, y1, z1,..., xn , yn , zn )  0 ( = 1,m ) (1.2)

1.1.2 Tọa độ suy rộng – Lực suy rộng.
1.1.2.1 Tọa độ suy rộng
Tọa độ suy rộng là các tham số có thứ nguyên nào đó xác định một cách
đơn trị vị trí của cơ hệ tại một thời điểm đó. Số các tọa độ suy rộng bằng số
bậc tự do của cơ hệ.
Tọa độ suy rộng thường được kí hiệu là qi (i=1,2,…), có thể đại diện cho
đơn vị độ dài, góc quay, diện tích, điện lượng…
Tọa độ suy rộng đủ là số các tọa độ suy rộng đủ để xác định vị trí của hệ.
Tọa độ dư thừa là vượt quá số tọa độ cần thiết để xác định vị trí của hệ.
1.1.2.2 Lực suy rộng
Xét cơ hệ gồm N chất điểm và chịu tác dụng của lực Fk (k = 1  N ) tác
dụng vào chất điểm M k ( xk , yk , zk ) , từ biểu thức tính cơng ngun tố của công
khả dĩ ta được:
N

N

k =1

k =1

 Ak =  Fk rk

(1.3)

rk
 qi : di chuyển khả dĩ  rk trong tọa độ suy rộng.
i =1 qi
s

Trong đó:  rk = 

4


Thế vào biểu thức trên ta được:
N

N

k =1

k =1

s
rk
 N


 qi =    Fk rk  qi
qi 
i =1  k =1
i =1 qi

s

 Ak =  Fk 

N

Ta gọi đại lượng Q j =  Fk
k =1

(1.4)

rk
là lực suy rộng tương ứng với tọa độ
qi

suy rộng qi.
Vậy lực suy rộng Qi ứng với tọa độ suy rộng qi là đại lượng vô hướng
biểu thị bằng hệ số của biến phân tương ứng trong biểu thức tổng công của
các hoạt lực tác dụng lên cơ hệ trong di chuyển khả dĩ bất kì nào của cơ hệ đó.
1.1.3 Nguyên lý di chuyển khả dĩ.
1.1.3.1 Liên kết lý tưởng.
Định nghĩa: Liên kết của cơ hệ được gọi là liên kết lý tưởng nếu tổng
công nguyên tố của phản lực liên kết tác dụng lên cơ hệ trên mọi di chuyển
khả dĩ đều bằng không.
Biểu thức:

 AkN =  Nk rk = 0

Trong đó N k là phản lực liên kết tác dụng lên chất điểm Mk,  rk là véc tơ
di chuyển khả dĩ của chất điểm đó.
Nếu các liên kết không phụ thuộc vào thời gian, các lực ma sát trượt và
ngẫu lực ma sát lăn không sinh cơng trong di chuyển có thể của hệ thì cơ hệ
đó chịu liên kết lý tưởng.
1.1.3.2 Nguyên lý di chuyển khả dĩ.
Phát biểu nguyên lý: khi cơ hệ chịu liên kết dừng và lý tưởng thì điều
kiện cần và đủ để nó cân bằng tại vị trí đang xét là tổng công của lực chủ
động tác dụng lên hệ trong mọi di chuyển khả dĩ của hệ tại vị trí đang xét
bằng không.
N

 Ak =  Fk rk = 0

k =1

5

(k=1…N)

(1.5)


Chứng minh: Giả sử chất điểm thứ k của hệ chịu tác dụng của hợp lực
của các lực chủ động

Fk và của hợp lực của các phản lực liên kết

Nk

+ Điều kiện cần: Hệ ở trạng thái cân bằng thì các phản lực phải thỏa mãn
điều kiện:

Fk + N k = 0 (k=1…N)
Ta cho cơ hệ một di chuyển khả dĩ thì chất điểm thứ k có di chuyển khả dĩ
là  rk
Do đó: Fk rk + N k rk = 0
N

N

k =1

k =1

 Fk rk +  Nk rk = 0

Viết cho cơ hệ ta sẽ thu được:

Do cơ hệ chịu liên kết lý tưởng nên

N

N

Nk rk = 0 nên  F  r


k =1
k =1
k

k

0

+ Điều kiện đủ: Giả sử hệ thỏa mãn (1.5) ta phải đi chứng minh rằng điều
kiện này đủ để cho hệ tự cân bằng ở vị trí đang xét. Nếu hệ khơng cân bằng
nghĩa là hệ di chuyển suy ra dT >0
N

N

k =1

k =1

Theo định lý động năng dT =  Fk rk +  N k rk  0
N

Mà

 Nk rk = 0 do hệ chịu liên kết lý tưởng nên
k =1

N

Fr


k =1
k

k

 0 điều này trái

với giả thiết. Vậy hệ cơ hệ không thể di chuyển được hay hệ cân bằng mãi
mãi.
Ý nghĩa: Ý nghĩa của nguyên lý di chuyển khả dĩ là ở chỗ nó cho ta điều
kiện cân bằng của mọi cơ hệ dưới dạng tổng quát, trong khi đó các phương
pháp tĩnh học yêu cầu xét sự cân bằng của từng vật thể trong hệ.
Lưu ý:
Nếu hệ có liên kết lý tưởng thì chỉ cần tính đến các lực chủ động cịn các
phản lực liên kết có thể bỏ qua.

6


Hệ có bao nhiêu bậc tự do phải có bấy nhiêu điều kiện cân bằng thỏa
mãn hệ thức (1.5)
1.1.3.3 Điều kiện cân bằng tổng quát của cơ hệ không tự do.
+ Trong tọa độ Đề các
Gọi X k , Yk , Z k là hình chiếu của các lực chủ động Fk và  xk ,  yk ,  zk là
hình chiếu của di chuyển có thể  rk của chất điểm thứ k xuống các trục tọa
độ.

(

N

)

Theo (1.5) ta có:  Ak =  Fk rk = X k xk + Yk yk + Z k zk = 0 (1.6)
k =1

Đây là điều kiện cân bằng của hệ trong hệ tọa độ Đề các.
+ Trong tọa độ suy rộng q1,…,qm
Theo (1.5) ta có

N

N

k =1

k =1

 Ak =  Fks rk =  Q j q j = 0 . Do  q j biến thiên

một cách độc lập nên ta sẽ có điều kiện cân bằng sau:
Q1 = 0, Q2 = 0,...., QM = 0 . Đây chính là điều kiện cân bằng của hệ trong

tọa độ suy rộng.
1.2 Các dạng bài tập về nguyên lý di chuyển khả dĩ.
Từ những cơ sở lý thuyết được nêu trên ta có thể phân chia một số dạng
bài tập áp dụng nguyên lý di chuyển khả dĩ như sau:
Dạng 1: Bài toán liên hệ giữa các lực chủ động để hệ cân bằng.
Dạng 2: Bài toán xác định phản lực liên kết khi hệ đã cân bằng.

Dạng 3: Tìm vị trí cân bằng khi đã biết các lực tác dụng lên hệ.
Bài tập tương ứng
Bài 1.1: Cho 2 tải trọng A và B trên các mặt nghiêng với những góc 𝛼 và β so
với phương nằm ngang, được giữ cân bằng nhờ tải trọng C như hình 1.1.

7


Tìm trọng lượng PA và PB của 2 tải trọng A,

O1

B, bỏ qua ma sát, khối lượng ròng rọc và dây
A

cáp.

B

O2

C

Cơ hệ chịu liên kết holonom lý tưởng.
Dễ dàng nhận thấy cơ hệ có 2 bậc tự do.
Chọn

hệ





Bài giải:

tọa

độ

suy

rộng

H×nh1.

đủ

O

q1 = x, q2 = y và xác định vị trí các vật
O1

A, B trên mặt nghiêng.
Chọn trục 0x1 x2 như hình vẽ, chiều

x1

x2

A

dương hướng xuống dưới.

xc

B

O2





Do dây không giãn nên chiều dài
dây

khơng

đổi

nên

ta

có

P

x1 + x2 + 2xc = const
Suy ra:  x1 +  x2 + 2 xc = 0 hay  xc = −

Để

tìm

lực

suy

rộng

ta

1
 x +  x2 )
2( 1

cho

hệ

di

chuyển

khả

 x1  0; x2 = 0   xc = − 1  x1
2

Tổng công khả dĩ của các lực chủ động trong di chuyển khả dĩ trên là:



1 

 Ax (Fk ) = PA sin  x1 + P xc   Ax (Fk ) =  PA sin  − 2 P  x1
1

= Qx1 = 

1

 Ax1 ( Fk )
P
= PA sin  −
 x1
2


Tương tự ta có: Qx2 =

 Ax2 ( Fk )
P
= PB sin  −
2
 x2

8

dĩ


P
PA =


0
=
Q
x
2sin 

Theo điều kiện cân bằng ta có:  1

P

Qx 2 = 0  PB =
2sin 



Bài 1.2 Cho cơ hệ được biểu
diễn trên hình vẽ. Dây mềm

A

E

C

x

Q

mảnh, nhẹ và khơng giãn được
buộc vào vật A, vịng qua rịng

B

rọc cố định C, ròng rọc động D

y

và ròng rọc cố định E, cuối cùng
buộc vào vật nặng B. Tại trục

K

ròng rọc động D có treo vật K có

Hinh 1.2

trọng lượng Q. Cho biết hai vật
A, B có cùng trọng lượng P. Xác định P theo Q và xác định hệ số ma sát trượt
giữa vật A và mặt phẳng ngang để hệ cân bằng.
Bài giải:
Cơ hệ chịu liên kết holonom lý tưởng. Cơ hệ có 2 bậc tự do.
Chọn hệ tọa độ suy rộng đủ q1 = x, q2 = y . Chọn trục tọa độ như hình vẽ.
Các lực chủ động tác động lên cơ hệ Fms , Q, P
Cho hệ một di chuyển khả dĩ  x, y, y1  0

Khi đó ta có:
Suy ra

 A(Fk ) = −Fms x + P y + Q y1

 A(F ) = − P x + P y + Q(−

Với  y1 = −

 y − x

k

 y − x
2

2

)

di chuyển khả dĩ của vật K;  là hệ số ma sát.

Khai triển phương trình trên ta thu được:


Q



Q

 A(Fk ) =  − P + 2  x +  P − 2  y
9


Kết hợp với điều kiện cân bằng của công khả dĩ

 A(Fk ) =0


Q

Q
−  P + 2 = 0
P =
hay 
Suy ra 
2
P − Q = 0
 = 1


2

Bài 1.3 Hai thanh đồng chất OA, AB, có cùng độ dài 21 trọng lượng bằng
nhau P1 = P2 = P được nối với nhau bằng khớp tại A và gắn vào trần bằng khớp
ở O (hình 1.3). Tại B tác dụng lực Q nằm ngang. Bỏ qua ma sát ở các khớp
nối. Tìm các góc 1,2 lập giữa OA, AB với phương thẳng đứng khi hệ cân
bằng.
Bài giải

Xét cơ hệ gồm 2 thanh OA, OB. Với giả
thiết bỏ qua ma sát hệ chịu liên kết lý tưởng.
Hệ có 2 bậc tự do được xác định bằng 2
tọa độ đủ: q1 = 1, q2 = 2 .
Các lực hoạt động tác dụng lên cơ hệ gồm
trọng lượng P1 , P2 và lực Q .

Hình 1.3

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Ta cho hệ
một di chuyển khả dĩ OA quay góc 1 , AB quay góc  2 .
Theo (1.6) tổng công của các lực tác dụng lên cơ hệ trên một di chuyển
khả dĩ là:

 A =  F  r = ( X  xk + Y  yk + Z  zk ) = Q x

k =1
N

k

k

k

k

k

k

B

+ P1 y1 + P2 y2 = 0

(

)

(

)

 x = 2l sin  + 2l sin    x = 2l cos   + cos  
B
1
2
1
1
2
2
 B

Trong đó:  y1 = l cos 1   y1 = −l sin 11

y = 2l cos 1 + l cos 2   y2 = −l 2sin 11 + sin 22

 2

10

N

   Ak = l ( 2Q cos 1 − 3P sin 1 ) 1 + l ( 2Q cos 2 − P sin 2 ) 2 = 0
k =1

Các di chuyển góc 1,2 độc lập với nhau thì để phương trình trên thỏa
mãn với mọi 1,2 thì các hệ số của các di chuyển phải đồng thời bằng 0.

(
(

)
)

l 2Q cos  − 3P sin  = 0
1
1


l 2Q cos2 − P sin 2 = 0




2Q
tg1 = 3P
Giải hệ phương trình trên ta thu được: 
tg = 2Q

2

P

Bài 1.4 Trên hình 1.4 ta có sơ đồ cơ cấu culic của máy bào ngang. Tay quay
OA có chiều dài là a, cần lắc CB có chiều dài là l, còn khoảng cách giữa hai
trục O và C là d. Ở vị trí đang xét OA tạo với phương thẳng đứng một góc
quay . Tay quay OA chịu tác dụng một ngẫu lực có mơmen M, cịn cần lắc


chịu tác dụng của lực ngang F tại B hướng từ trái sang phải. Bỏ qua ma sát
và trọng lượng bản thân của các khâu. Tìm điều kiện cân bằng của cơ cấu tại
vị trí đó.
Bài giải
Khảo sát cơ hệ là cơ cấu culic của máy bào
ngang.

B

Cơ hệ chịu liên kết hôlônôm, giữ, dừng và
lý tưởng. Cơ hệ có 1 bậc tự do.

O

A

 M

Các lực chủ động gồm F và ngẫu lực có
mơmen M. Chọn hệ toạ độ suy rộng đủ q =  là

l1


góc quay của tay quay OA
Cho cơ hệ một di chuyển khả dĩ   0 ngược

C

chiều kim đồng hồ. Khi đó CB quay quanh C một góc  .

11

Hình 1.4


Gọi V A là vận tốc tuyệt đối của A.

Vt là vận tốc tương đối do A chạy trên CB.
Vk là vận tốc kéo theo do CB quay quanh C.
Khi đó VA = Vk + Vt được biểu diễn như hình vẽ.
Ta có

VA = OA,Vk =  CB với  và  lần lượt là vận tốc quay của OA và

vận tốc góc của CB.
Mà VK = VA cos( −  ) suy ra  =

CB
 cos( −  )

OA

a
Hay  =  cos( −  )
l1
Tổng công khả dĩ của các lực chủ động là:

a

 A(Fk ) = M  − Fa cos = M  − Fl cos l1 cos( − )
Vậy lực suy rộng Q ứng với toạ độ suy rộng :

Q = 

 A ( Fk )
a
= M − Fl cos  .cos( −  ).
l1


Để hệ cân bằng thì Q = 0 tức là M = Fl cos( −  )cos . a
l1
Từ các bài tập ở trên ta có thể khái quát được tiến trình giải một bài tập áp
dụng nguyên lý di chuyển khả dĩ như sau:
Bước 1: Xác định số bậc tự do của hệ, kiểm tra điều kiện liên kết lý tưởng.
Bước 2: Chọn các toạ độ suy rộng đủ thông qua bậc tự do
Đặt các lực chủ động lên cơ hệ.
Đối với loại bài toán xác định phản lực liên kết: giải phóng liên kết
và thay thế phản lực cần tìm – coi nó như một lực hoạt động.

12


Bước 3: Cho cơ hệ một di chuyển khả dĩ hợp lý rồi biểu diễn những di
chuyển khả dĩ các điểm đặt các lực hoạt động theo di chuyển khả dĩ độc lập tự
chọn phù hợp với bậc tự do.
Viết biểu thức tính cơng khả dĩ. Từ điều kiện cân bằng ta tìm được các giá
trị cần xác định. Nếu hệ có nhiều bậc tự do thì các tính tốn được áp dụng là
các di chuyển khả dĩ độc lập với nhau.

13


Chương 2: Nguyên lý Đalămbe
2.1 Cơ sở lý thuyết.
2.1.1 Nguyên lý Đalămbe.
2.1.1.1 Nguyên lý Đalămbe đối với chất điểm.
Xét chất điểm có khối lượng m chuyển động với gia tốc w dưới tác dụng
của các lực F1, F2 , ..., Fn và lực quán tính của chất điểm là F qt = −mw

Phương trình cơ bản của động lực học viết cho chất điểm:
N

mw = F1 + F2 + ... + Fn =  Fi
i =1

N

Hay

 Fi + ( −mw ) = 0 suy ra
i =1

N

Các lực

Fi và F

i =1

qt

N

Fi + F qt = 0

i =1

đồng quy tại chất điểm nên có thể viết lại

( F , F ,..., F , F ) = 0
qt

1

2

n

(1.6)

Đây là biểu thức nguyên lý Đalămbe đối với chất điểm và được phát biểu
như sau: Tại mỗi thời điểm các lực tác dụng lên chất điểm và lực qn tính
của nó lập thành một hệ cân bằng.
2.1.1.2 Nguyên lý Đalămbe đối với cơ hệ.

14


Xét cơ hệ có n chất điểm, chất điểm thứ k có khối lượng mk, chịu tác
dụng của tổng các nội lực

Fki và tổng các ngoại lực Fke (k=1,…,n). Nếu chất

điểm chuyển động với gia tốc w thì lực quán tính tác dụng lên chất điểm là

Fkqt = −mw và chất điểm chịu tác dụng của hệ lực cân bằng:

Fki + Fke + Fkqt = 0

(k=1,…,n) (1.7)

Biểu thức (1.7) là biểu thức nguyên lý Đalămbe đối với cơ hệ và được
phát biểu như sau: Khi hệ chuyển động, tại mỗi điểm chịu tác dụng của các
lực (gồm cả nội lực và ngoại lực) cùng với lực quán tính tương ứng thì hệ sẽ
tạo thành một hệ lực cân bằng.
Điều kiện cân bằng của hệ thức (1.7) được viết như sau

Fki + Fke + Fkqt ) = 0

(

k ,i =1
n



(1.8)

n

 m ( F i ) + m ( F e ) + m ( F qt )  = 0

0
0
k
k 
 0 k

k ,i =1
n

Theo tính chất của nội lực ta có

Biểu thức (1.8) tương đương

Đặt R =
qt

M 0qt =

 Fki = 0 và

k ,i =1

(

n

m0 ( Fki ) = 0

k ,i =1

)

 n
Fke + Fkqt = 0

k ,i =1
 n

 m ( F e ) + m ( F qt )  = 0
0
k 
k ,i =1  0 k





n

Fkqt : véctơ chính của các lực quán tính

k ,i =1

n

m0 ( Fkqt ) : véctơ mơmen chính của các lực quán tính.

k ,i =1

15


Ta thu được

 n
Fke + R qt = 0

k ,i =1
 n

m ( F e ) + M 0qt = 0
k ,i =1 0 k






(1.9)

Chiếu (1.9) lên tọa độ Đề các ta thu được các phương trình cân bằng tĩnh
học

 X ke + Rxqt = 0
 Yke + Ryqt = 0
 Zke + Rzqt = 0
 mx ( Fke ) + M xqt = 0
 my ( Fke ) + M yqt = 0
 mz ( Fke ) + M zqt = 0

(1.10)

Trong đó X ke ,Yke , Zke , Rxqt , Ryqt , Rzqt là thành phần hình chiếu của các ngoại
lực F ek và véc tơ chính của lực quán tính Rqt lên các trục tọa độ Đề các.

mx (Fke ), my (Fke ), mz (Fke ), M xqt , M yqt , M zqt là thành phần hình chiếu của mơ men
của ngoại lực F ek và mơ men chính của lực qn tính lên các trục tọa độ.
Lưu ý:
Nguyên lý Đalămbe chỉ áp dụng được trong hệ quy chiếu qn tính, các
lực qn tính được tìm qua các gia tốc tuyệt đối.
Nguyên lý Đalămbe cho ta phương pháp giải các bài toán động học một
cách đơn giản (phương pháp tĩnh học vật rắn).
2.1.2 Thu gọn hệ các quán tính của vật rắn.
Vật rắn là là tập hợp các chất điểm mà khoảng cách giữa 2 chất điểm bất
kì ln khơng đổi.
2.1.2.1 Vật rắn chuyển động tịnh tiến.

16


Xét vật chuyển động tịnh tiến ta có
gia tốc bằng với gia tốc khối tâm
Wk = Wc

Khi đưa các lực quán tính về khối
tâm C ta được:

 Fkqt =  −mk w c = −Mw c ;
 mc (Fkqt ) =  rk  mk w k = −Mrc  w c

 R qt =
 c
 qt
 M c =

Do vật rắn không quay quanh khối tâm C nên M cqt = 0
Vậy trong trường hợp vật chuyển động tịnh tiến hợp lực của lực quán
tính bằng véc tơ chính và đi qua khối tâm C.
2.1.2.2 Vật rắn đồng chất chuyển động song phẳng.
(Chuyển động song phẳng là chuyển động khi mỗi điểm thuộc vật luôn luôn
chuyển động trong một mặt phẳng cố định song song với mặt phẳng quy
chiếu đã chọn trước)

Xét vật rắn đồng chất chuyển động song phẳng.
Ta đưa các lực quán tính về khối tâm C ta thu được:

17

qt

 Rc = − Mw c ;
 qt

 M c = − J c

Trong đó J C là momen quán tính của vật đối với trục quay,  là gia tốc
góc.Dấu “ – “ chứng tỏ Rcqt và M cqt ngược chiều với Wc và  .
2.1.2.3 Vật rắn đồng chất chuyển động quanh một trục cố định.
Xét vật rắn đồng chất chuyển động quanh một trục cố định.

Ta có vécto chính của các lực quán tính và vecto momen chính của các
lực quán tính trong trường hợp này là:
Rcqt = Rqt + Rnqt = (−Mwc ) + (−Mw cn )

Và một ngẫu lực nằm trong mặt phẳng đối xứng và có momen bằng

M cqt = − Jc
Dấu “–“ cũng thể hiện rõ chiều của ngẫu lực ngược chiều với chiều của
gia tốc góc.
2.2 Các dạng bài tập về nguyên lý Đalămbe
Nguyên lý Đalămbe giúp ta đưa việc giải một bài tốn động lực về việc
thành lập các phương trình cân bằng tĩnh học. Đặc biệt nguyên lý này được sử

18

dụng rất thuận tiện trong việc xác định các phản lực liên kết nếu ta đã biết
chuyển động.
Việc sử dụng nguyên lý Đalămbe để giải các bài toán, cụ thể là áp dụng
phương pháp tĩnh hình học đưa ta đến hai loại bài toán:
Dạng 1: Khi đã biết chuyển động của cơ hệ, tìm các lực tác dụng lên cơ
hệ.
Dạng 2: Viết phương trình vi phân chuyển động của cơ hệ, đặc biệt là
các phương trình vi phân chuyển động của vật rắn.
Các bài tập tương ứng:
Bài 2.1 Hai vật A, B có trọng lượng P1, P2 liên kết với nhau bằng một sợi dây
khơng giãn có khối lượng khơng đáng kể (hình 2.1). Hai vật chuyển động trên
mặt phẳng nằm ngang có hệ số ma sát µ nhờ tác dụng lực Q vào vật B theo
phương ngang. Xác định gia tốc của hai vật và lực căng dây.
Bài giải
Xét cơ hệ gồm cả 2 vật, các lực tác dụng lên cơ hệ gồm có P, N , Fmst , Q

Hình 2.1
Gọi các lực qn tính đặt lên 2 vật A, B là F1qt , F2qt
Ta có: F1qt = −m1w1 = −

P1
P
w1 và F2qt = −m2 w 2 = − 2 w 2
g
g

Với gia tốc w1 = w 2 = w do dây không giãn và khối lượng không đáng kể.
Theo nguyên lý Đalambe: Fki + Fke + Fkqt = 0

19