lý thuyết và các ví dụ cơ bản về vecto
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (923.41 KB, 26 trang )
CHƯƠNG I: VECTƠ
§1 CÁC ĐỊNH NGHĨA
A. TĨM TẮT LÝ THUYẾT
1. Định nghĩa vectơ:
Vectơ là đoạn thẳng có hướng, nghĩa là trong hai điểm mút
của đoạn thẳng đã chỉ rõ điểm nào là điểm đầu, điểm nào là
điểm cuối.
a
B
A
Vectơ có điểm đầu là A, điểm cuối là B ta kí hiệu : AB
x
Hình 1.1
Vectơ cịn được kí hiệu là: a , b , x , y ,...
Vectơ – khơng là vectơ có điểm đầu trùng điểm cuối. Kí hiệu là 0
2. Hai vectơ cùng phương, cùng hướng.
- Đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của vectơ gọi là giá của vectơ
- Hai vectơ có giá song song hoặc trùng nhau gọi là hai vectơ cùng phương
- Hai vectơ cùng phương thì hoặc cùng hướng hoặc ngược hướng.
A
F
B
C
D
Hình 1.2
E
H
G
Ví dụ: Ở hình vẽ trên trên (hình 2) thì hai vectơ AB và CD cùng hướng cịn EF và HG ngược
hướng.
Đặc biệt: vectơ – không cùng hướng với mọi véc tơ.
3. Hai vectơ bằng nhau
- Độ dài đoạn thẳng AB gọi là độ dài véc tơ AB ,
Vậy AB AB .
A
C
B
Hình 1.3
- Hai vectơ bằng nhau nếu chúng cùng hướng và cùng độ dài.
Ví dụ: (hình 1.3) Cho hình bình hành ABCD khi đó AB CD
D
kí hiệu AB .
B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.
DẠNG 1: Xác định một vectơ; phương, hướng của vectơ; độ dài của vectơ
1. Phương pháp giải.
Xác định một vectơ và xác định sự cùng phương, cùng hướng của hai vectơ theo định
nghĩa
Dựa vào các tình chất hình học của các hình đã cho biết để tính độ dài của một vectơ
2. Các ví dụ.
Ví dụ 1: Cho tứ giác ABCDE . Có bao nhiêu vectơ khác vectơ-khơng có điểm đầu và điểm cuối
là đỉnh của ngũ giác.
A.12
B.13
C.14
D.16
Lời giải:
Hai điểm phân biệt, chẳng hạn A , B ta xác định được hai vectơ khác vectơ-không là AB , BA .
Mà từ bốn đỉnh A , B, C , D của ngũ giác ta có 6 cặp điểm phân biệt do đó có 12 vectơ thỏa mãn
u cầu bài tốn.
Ví dụ 2: Chứng minh rằng ba điểm A , B, C phân biệt thẳng hàng khi và chỉ khi AB , AC cùng
phương.
Lời giải
Nếu A , B, C thẳng hàng suy ra giá của AB , AC đều là đường thẳng đi qua ba điểm A , B, C nên
AB , AC cùng phương.
Ngược lại nếu AB , AC cùng phương khi đó đường thẳng AB và AC song song hoặc trùng
nhau. Nhưng hai đường thẳng này cùng đi qua điểm A nên hai đường thẳng AB và AC trùng
nhau hay ba điểm A , B, C thẳng hàng.
Ví dụ 3: Cho tam giác ABC . Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm của BC , CA , AB .
a) Có bao nhiêu vectơ khác vectơ - không cùng phương với MN có điểm đầu và điểm cuối lấy
trong điểm đã cho.
A.5
B.6
C.7
D.8
b) Có bao nhiêu vectơ khác vectơ - khơng cùng hướng với AB có điểm đầu và điểm cuối lấy
trong điểm đã cho.
A.3
B.4
C.6
D.5
c) Vẽ các vectơ bằng vectơ NP mà có điểm đầu A , B .
Lời giải:
(Hình 1.4)
A'
A
a) Các vectơ khác vectơ không cùng phương
với MN là NM , AB , BA , AP , PA , BP , PB .
b) Các vectơ khác vectơ - không cùng hướng
với AB là AP , PB , NM .
N
P
B'
B
C
M
Hình 1.4
c) Trên tia CB lấy điểm B ' sao cho BB ' NP
Khi đó ta có BB ' là vectơ có điểm đầu là B và bằng vectơ NP .
Qua A dựng đường thẳng song song với đường thẳng NP . Trên đường thẳng đó lấy điểm A '
sao cho AA ' cùng hướng với NP và AA ' NP .
Khi đó ta có AA ' là vectơ có điểm đầu là A và bằng vectơ NP .
Ví dụ 4: Cho hình vng ABCD tâm O cạnh a . Gọi M là trung điểm của AB , N là điểm đối
xứng với C qua D . Hãy tính độ dài của vectơ sau MD .
a 15
A. MD
2
a 5
B. MD
3
a 5
C. MD
2
a 5
D. MD
4
Lời giải:
(hình 1.5)
N
D
Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vng MAD ta
có
a
5a 2
a 5
DM AM AD a 2
DM
4
2
2
C
O
2
2
2
2
a 5
Suy ra MD MD
.
2
P
A
Hình 1.5
M
B
Qua N kẻ đường thẳng song song với AD cắt AB tại
P.
a 3a
Khi đó tứ giác ADNP là hình vng và PM PA AM a .
2
2
Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông NPM ta có
3a
13a 2
a 13
MN NP PM a
DM
2
4
2
2
2
2
2
2
a 13
Suy ra MN MN
.
2
3. Bài tập luyện tập.
Bài 1.1: Cho ngũ giác ABCDE . Có bao nhiêu vectơ khác vectơ-khơng có điểm đầu và điểm
cuối là đỉnh của ngũ giác.
A.20
B.12
C.14
D.16
Lời giải:
Bài 1.1 Hai điểm phân biệt, chẳng hạn A , B ta xác định được hai vectơ khác vectơ-không là
AB , BA . Mà từ năm đỉnh A , B, C , D , E của ngũ giác ta có 10 cặp điểm phân biệt do đó có 20
vectơ thỏa mãn u cầu bài tốn.
Bài 1.2: Cho hình bình hành ABCD có tâm là O. Tìm các vectơ từ 5 điểm A, B, C, D, O
a) Bằng vectơ AB ; OB
A. AB AC , OB AO
B. AB OC , OB DO
C. AB DC , OB AO
D. AB DC , OB DO
b) Có độ dài bằng OB
A. BC , DO , OD
B. BO , DC , OD
C. BO , DO , OD
Lời giải:
Bài 1.2: a) AB DC , OB DO
D. BO , DO , AD
b) BO , DO , OD
Bài 1.3: Cho ba điểm A, B, C phân biệt thẳng hàng.
a) Khi nào thì hai vectơ AB và AC cùng hướng ?
A. A nằm trong đoạn BC
B. Nằm chính giữa BC
C. A nằm ngồi đoạn BC
D. Khơng tồn tại
b) Khi nào thì hai vectơ AB và AC ngược hướng ?
A. A nằm trong đoạn BC
B. Nằm chính giữa BC
C. A nằm ngồi đoạn BC
D. Không tồn tại
Lời giải:
Bài 1.3: a) A nằm ngoài đoạn BC
b) A nằm trong đoạn BC
Bài 1.4: Cho bốn điểm A, B, C, D phân biệt.
a) Nếu AB BC thì có nhận xét gì về ba điểm A, B, C
A. B là trung điểm của AC
B. B nằm ngồi của
AC
C. B nằm trên của AC
D. Khơng tồn tại
b) Nếu AB DC thì có nhận xét gì về bốn điểm A, B, C, D
A. A, B, C, D thẳng hàng
B. ABCD là hình bình
hành
C.A, B đều đúng
D.A, B đều sai
Lời giải:
Bài 1.4 a) B là trung điểm của AC
b) A, B, C, D thẳng hàng hoặc ABCD là hình bình hành
Bài 1.5: Cho hình thoi ABCD có tâm O . Hãy cho biết số khẳng định đúng ?
a) AB BC
b) AB DC
c) OA OC
d) OB OA
e) AB BC
f) 2 OA BD
A.3
B.4
C.5
D.6
Lời giải:
Bài 1.5: a) Sai
d) Sai
b) Đúng
e) Sai
c) Đúng
f) đúng
Bài 1.6: Cho lục giác đều ABCDEF tâm O . Hãy tìm các vectơ khác vectơ-khơng có điểm đầu,
điểm cuối là đỉnh của lục giác và tâm O sao cho
a) Bằng với AB
A. FO , OC , FD
B. FO , AC , ED
C. BO , OC , ED
D. FO , OC , ED
B. CO , AF , BA , DE
C. CO , OF , BA , DE D. BO , OF , BA , DE
b) Ngược hướng với OC
A. AO , OF , BA , DE
Lời giải:
Bài 1.6: a) FO , OC , ED
b) CO , OF , BA , DE
Bài 1.7: Cho hình vng ABCD cạnh a , tâm O và M là trung điểm AB.
Tính độ dài của các vectơ OA OB .
A. a
B. 3a
C.
a
2
D. 2a
Lời giải:
Bài 1.7: (hình 1.40) Ta có AB AB a ;
AC AC AB2 BC 2 a 2
E
B
A
1
a 2
a
OA OA AC
, OM OM
2
2
2
O
D
Gọi E là điểm sao cho tứ giác OBEA là hình bình hành khi
đó nó cũng là hình vng
C
Hình 1.40
Ta có OA OB OE OA OB OE AB a
Bài 1.8: Cho tam giác ABC đều cạnh a và G là trọng tâm. Gọi I là trung điểm của AG .
Tính độ dài của các vectơ BI .
A.
a 21
3
B.
a 21
6
C.
a 2
6
D.
a
6
Lời giải:
Bài 1.8: (Hình 1.41)Ta có AB AB a
A
Gọi M là trung điểm của BC
I
G
Ta có
2
2
2
2 2 a
a 3
AG AG AM
AB 2 BM 2
a
3
3
3
4
3
B
M
C
Hình 1.41
a2 a2
a 21
2
2
BI BI BM MI
4
3
6
Bài 1.9: Cho trước hai điểm A , B phân biệt . Tìm tập hợp các điểm M thoả mãn MA MB .
A. đường thẳng song song đoạn thẳng AB
B. đường trung trực của đoạn thẳng AB
C. đường vng góc của đoạn thẳng AB
D.Khơng tồn tại
Lời giải:
Bài 1,9: MA MB MA MB Tập hợp điểm M là đường trung trực của đoạn thẳng
AB
DẠNG 2: Chứng minh hai vectơ bằng nhau.
1. Phương pháp giải.
Để chứng minh hai vectơ bằng nhau ta chứng minh chúng có cùng độ dài và cùng hướng
hoặc dựa vào nhận xét nếu tứ giác ABCD là hình bình hành thì AB DC và AD BC
2. Các ví dụ.
Ví dụ 1: Cho tứ giác ABCD . Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm AB, BC, CD, DA. Khảng
định nào sau đây đúng
A. MN QP
B. MN 2 QP
C. MN 3QP
D. 3MN QP
Lời giải:
(hình 1.6)
Do M, N lần lượt là trung điểm của AB và BC nên MN
là đường trung bình của tam giác ABC suy ra
1
MN / / AC và MN AC (1).
2
A
Q
D
P
M
B
N
C
Hình 1.6
Tương tự QP là đường trung bình của tam giác ADC suy ra QP / / AC và QP
1
AC (2).
2
Từ (1) và (2) suy ra MN / /QP và MN QP do đó tứ giác MNPQ là hình bình hành
Vậy ta có MN QP
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có trọng tâm G . Gọi I là trung điểm của BC . Dựng điểm B ' sao
cho B ' B AG .Khẳng định nào sau đây đúng
a)
A. BI IC
B. 3 BI 2 IC
C. BI 2 IC
D. 2BI IC
b) Gọi J là trung điểm của BB ' . Khẳng định nào sau đây là đúng
A. 3 BJ 2 IG .
B. BJ IG
C. BJ 2 IG
D. 2BJ IG
Lời giải:
A
(hình 1.7)
B'
a) Vì I là trung điểm của BC nên BI CI và BI
cùng hướng với IC do đó hai vectơ BI , IC bằng
nhau hay BI IC .
G
J
B
C
I
Hình 1.7
b) Ta có B ' B AG suy ra B ' B AG và BB '/ / AG .
Do đó BJ , IG cùng hướng (1).
Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên IG
1
1
AG , J là trung điểm BB ' suy ra BJ BB '
2
2
Vì vậy BJ IG (2)
Từ (1) và (2) ta có BJ IG .
Ví dụ 3: Cho hình bình hành ABCD . Trên các đoạn thẳng DC , AB theo thứ tự lấy các điểm
M , N sao cho DM BN . Gọi P là giao điểm của AM , DB và Q là giao điểm của
CN , DB . Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. AM NC
B. DB QB
C.Cả A, B đúng
D.Cả A, B sai
Lời giải:
(hình 1.8)
Suy ra AM NC .
N
A
Ta có DM BN AN MC , mặt khác
AN song song với MC do đó tứ giác
ANCM là hình bình hành
B
Q
P
D
M
C
Hình 1.8
QBN
(so le trong)
Xét tam giác DMP và BNQ ta có DM NB (giả thiết), PDM
NQB
(hai góc đồng vị) suy ra DMP
BNQ
.
APB
(đối đỉnh) và APQ
Mặt khác DMP
Do đó DMP BNQ (c.g.c) suy ra DB QB .
Dễ thấy DB , QB cùng hướng vì vậy DB QB .
3. Bài tập luyện tập.
Bài 1.10: Cho tứ giác ABCD . Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm AB, BC, CD, DA. Khăng
định nào sau đây đúng
A. 3MQ NP
B. MQ NP
C. 2MQ NP
D. MQ 2 NP
Lời giải:
Bài 1.10: (Hình 1.42) Do M, Q lần lượt là trung điểm của AB
và AD nên MQ là đường trung bình của tam giác ABD suy
1
ra MQ / / BD và MQ BD (1).
2
D
Q
A
P
M
Tương tự NP là đường trung bình của tam giác CBD suy ra
1
NP / / BD và NP BD (2).
2
B
C
N
Hình 1.42
Từ (1) và (2) suy ra MQ / / NP và NP MQ do đó tứ giác
MNPQ là hình bình hành
Vậy ta có MQ NP .
Bài 1.11: Cho hình bình hành ABCD . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của DC , AB ; P là
giao điểm của AM , DB và Q là giao điểm của CN , DB .Khẳng định nào sau đây là đúng nhất.
A. DM NB
B. DP PQ QB C.Cả A, B đều đúng D.Cả A, B đều sai
Lời giải:
Bài 1.11: (Hình 1.43)
Ta có tứ giác DMBN là hình bình hành vì
1
DM NB AB , DM / / NB .
2
Suy ra DM NB .
Xét tam giác CDQ có M là trung điểm của
DC và MP / /QC do đó P là trung điểm của
DQ . Tương tự xét tam giác ABP suy ra được
Q là trung điểm của PB
N
A
B
Q
P
D
M
Hình 1.43
C
Vì vậy DP PQ QB từ đó suy ra
DP PQ QB
Bài 1.12: Cho hình thang ABCD có hai đáy là AB và CD với AB 2CD . Từ C vẽ CI DA .
Khẳng định nào sau đây là đúng nhất?
a)
A. AD IC
B. DI CB
b)
C.Cả A, B đều đúng
D.Cả A, B đều sai
A. AI IB DC
B. AI 2 IB DC
C. 2AI IB DC
D. AI IB 2 DC
Lời giải:
D
Bài 1.12: (Hình 1.44)
a) Ta có CI DA suy ra AICD là hình bình
hành
AD IC
Ta có DC AI mà AB 2CD do đó
1
AI AB I là trung điểm AB
2
Ta có DC IB và DC / / IB tứ giác BCDI
là hình bình hành
Suy ra DI CB
A
C
B
I
Hình 1.44
b) I là trung điểm của AB AI IB và tứ giác BCDI là hình bình hành IB DC suy ra
AI IB DC
Bài 1.13: Cho tam giác ABC có trực tâm H và O tâm là đường tròn ngoại tiếp . Gọi B' là điểm
đối xứng B qua OKhẳng định nào sau đây là đúng?
A. AH B ' C
B. 3 AH B ' C
C. 2 AH B ' C
D. AH 2 B ' C
Lời giải:
Bài 1.13: Ta có B ' C BC , AH BC B ' C / / AH , B ' A BA , CH AB B ' A / /CH
Suy ra AHCB ' là hình bình hành do đó AH B ' C .
§2 TỔNG VÀ HIỆU HAI VECTƠ
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Tổng hai vectơ
a) Định nghĩa: Cho hai vectơ a ; b . Từ điểm A
tùy ý vẽ AB a rồi từ B
vẽ BC b khi đó vectơ AC được gọi là tổng
của hai vectơ a ; b .
Kí hiệu AC a b (Hình 1.9)
a
A
B
b
a
b
a b
C
Hình 1.9
b) Tính chất :
+ Giao hoán : a b b a
+ Kết hợp : ( a b) c a (b c )
+ Tính chất vectơ – khơng: a 0 a , a
2. Hiệu hai vectơ
a) Vectơ đối của một vectơ.
Vectơ đối của vectơ a là vectơ ngược hướng và cúng độ dài với vectơ a
Kí hiệu a
Như vậy a a 0, a và AB BA
b) Định nghĩa hiệu hai vectơ:
Hiệu của hai vectơ a và b là tổng của vectơ a và vectơ đối của vectơ b . Kí hiệu là
a b a b
3. Các quy tắc:
Quy tắc ba điểm : Cho A, B ,C tùy ý, ta có : AB BC AC
Quy tắc hình bình hành : Nếu ABCD là hình bình hành thì AB AD AC
Quy tắc về hiệu vectơ : Cho O , A , B tùy ý ta có : OB OA AB
Chú ý: Ta có thể mở rộng quy tắc ba điểm cho n điểm A1 , A2 ,..., An thì
A1 A2 A2 A3 ... An1 An A1 An
B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.
DẠNG 1: Xác định độ dài tổng, hiệu của các vectơ.
1. Phương pháp giải.
Để xác định độ dài tổng hiệu của các vectơ
Trước tiên sử dụng định nghĩa về tổng, hiệu hai vectơ và các tính chất, quy tắc để xác định
định phép tốn vectơ đó.
Dựa vào tính chất của hình, sử dụng định lí Pitago, hệ thức lượng trong tam giác vng để
xác định độ dài vectơ đó.
2. Các ví dụ.
30 0 và BC a 5 .
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vng tại A có ABC
Tính độ dài của các vectơ AB AC .
A. a 2
C. a 7
B. a 5
D. a 3
Lời giải:
(hình 1.10)
B
D
A
C
Theo quy tắc ba điểm ta có
AB BC AC
AC
Mà sin ABC
BC
a 5.sin 30 0 a 5
AC BC.sin ABC
2
Hình 1.10
a 5
Do đó AB BC AC AC
2
AC BC AC CB AB
Ta có AC 2 AB2 BC 2 AB BC 2 AC 2 5a2
5a 2
a 15
4
2
a 15
Vì vậy AC BC AB AB
2
Gọi D là điểm sao cho tứ giác ABDC là hình bình hành.
Khi đó theo quy tắc hình bình hành ta có AB AC AD
Vì tam giác ABC vng ở A nên tứ giác ABDC là hình chữ nhật suy ra AD BC a 5
Vậy AB AC AD AD a 5
Ví dụ 2: Cho hình vng ABCD có tâm là O và cạnh a . M là một điểm bất kỳ.
a) Tính AB AD , OA CB , CD DA
A. AB AD a 2
B. OA CB a
C. CD DA a 2
D.Cả A, B, C đều đúng
b) Chứng minh rằng u MA MB MC MD khơng phụ thuộc vị trí điểm M . Tính độ dài
vectơ u
A.2a
B.3a
C.a
D.4a
Lời giải:
(hình 1.11)
a) + Theo quy tắc hình bình hành ta có AB AD AC
Suy ra AB AD AC AC .
Áp dụng định lí Pitago ta có AC 2 AB2 BC 2 2a 2 AC 2a
C'
Vậy AB AD a 2
+ Vì O là tâm của hình vng nên OA CO suy ra
OA CB CO CB BC
A
Vậy OA CB BC a
B
O
D
C
Hình 1.11
+ Do ABCD là hình vuông nên CD BA suy ra CD DA BA AD BD
Mà BD BD AB2 AD 2 a 2 suy ra CD DA a 2
b) Theo quy tắc phép trừ ta có
u MA MC MB MD CA DB
Suy ra u khơng phụ thuộc vị trí điểm M .
Qua A kẻ đường thẳng song song với DB cắt BC tại C ' .
Khi đó tứ giác ADBC ' là hình bình hành (vì có cặp cạnh đối song song) suy ra DB AC '
Do đó u CA AC ' CC '
Vì vậy u CC ' BC BC ' a a 2 a
3. Bài tập luyện tập.
Bài 1.14: Cho tam giác ABC đều cạnh a . Tính độ dài của các vectơ sau AB AC , AB AC .
A. AB AC a
B. AB AC a 3
C.Cả A, B đều đúng
D.Cả A, B đều sai
Lời giải:
C
Bài 1.14: (Hình 1.45)Theo quy tắc trừ ta có
AB AC CB AB AC BC a
Gọi A ' là đỉnh của hình bình hành ABA ' C và O là tâm
hình nình hành đó. Khi đó ta có AB AC AA ' .
Ta có AO AB2 OB 2 a 2
a2
a 3
4
2
Suy ra AB AC AA ' 2 AO a 3
A'
O
A
B
Hình 1.45
Bài 1.15: Cho hình vng ABCD có tâm là O và cạnh a . M là một điểm bất kỳ.
a) Tính AB OD , AB OC OD
a 2
A. AB OD
2
B. AB OC OD a
C.Cả A, B đều đúng
D.Cả A, B đều sai
b) Tính độ dài vectơ MA MB MC MD
A. MA MB MC MD a
B. MA MB MC MD 3a
C. MA MB MC MD 2 a
3a
D. MA MB MC MD
2
Lời giải:
Bài 1.15. (Hình 1.46)
B'
a) Ta có OD BO AB OD AB BO AO
A
B
O
AC a 2
AB OD AO
2
2
D
Ta có OC AO suy ra
Hình 1.46
AB OC OD AB AO OD OB OD 0
AB OC OD 0
b) Áp dụng quy tắc trừ ta có
MA MB MC MD MA MB MC MD BA DC BA DC
Lấy B ' là điểm đối xứng của B qua A
Khi đó DC AB ' BA DC BA AB ' BB '
Suy ra MA MB MC MD BB ' BB ' 2 a
C
60 0 . Gọi O là tâm hình thoi.
Bài 1.16: Cho hình thoi ABCD cạnh a và BCD
Tính AB AD , OB DC .
a 3
A. AB AD a 3 , B. OB DC
2
C.Cả A, B đều đúng
D.Cả A, B đều sai
Lời giải:
Bài 1.16: Ta có AB AD AD 2 a cos 30 0 a 3 ,
a 3
OB DC CO a cos 60 0
2
Bài 1.17: Cho bốn điểm A, B, C, O phân biệt có độ dài ba vectơ OA , OB , OC cùng bằng a và
OA OB OC 0
a) Tính các góc AOB, BOC , COA
120 0
A. AOB
60 0
B. BOC
BOC
COA
120 0
C. AOB
30 0
D. COA
b) Tính OB AC OA
A. OB AC OA a 3
B. OB AC OA 2a 3
C. OB AC OA 3a 3
D. OB AC OA a
Lời giải:
Bài 1.17: a) Từ giả thiết suy ra ba điểm A, B, C tạo thành tam giác đều nhận O làm trọng tâm do
BOC
COA
120 0
đó AOB
b) Gọi I là trung điểm BC. Theo câu a) ABC đều nên AI
3
a
2
OB AC OA a 3
Bài 1.18: Cho góc Oxy . Trên Ox, Oy lấy hai điểm A, B . Tìm điều kiện của A,B sao cho
OA OB nằm trên phân giác của góc Oxy .
A. OA OB
B.
1
OA OB
2
C. 2OA OB
D. OA 2OB
Lời giải:
Bài 1.18: Dựng hình bình hành OACB. Khi đó: OA OB OD
Vậy OD nằm trên phân giác góc xOy OACB là hình thoi OA OB .
DẠNG 2: Chứng minh đẳng thức vectơ.
1. Phương pháp giải.
Để chứng minh đẳng thức vectơ ta có các cách biển đổi: vế này thành vế kia, biến đổi
tương đương, biến đổi hai vế cùng bằng một đại lương trung gian. Trong quá trình biến
đổi ta cần sử dụng linh hoạt ba quy tắc tính vectơ.
Lưu ý: Khi biến đổi cần phải hướng đích , chẳng hạn biến đổi vế phải, ta cần xem vế trái có đại
lượng nào để từ đó liên tưởng đến kiến thức đã có để làm sao xuất hiện các đại lượng ở vế trái.
Và ta thường biến đổi vế phức tạp về vế đơn giản hơn.
2. Các ví dụ.
Ví dụ 1: Cho năm điểm A , B, C , D , E . Khẳng định nào đúng?
a)
A. AB CD EA 2 CB ED
3
C. AB CD EA CB ED
2
1
B. AB CD EA CB ED
2
D. AB CD EA CB ED
b)
A. AC CD EC 2 AE DB CB
B. AC CD EC 3 AE DB CB
AE DB CB
C. AC CD EC
4
D. AC CD EC AE DB CB
Lời giải:
a) Biến đổi vế trái ta có
VT AC CB CD ED DA
CB ED AC CD DA
CB ED AD DA
CB ED VP ĐPCM
b) Đẳng thức tương đương với
AC AE CD CB EC DB 0
EC BD EC DB 0
BD DB 0 (đúng) ĐPCM.
Ví dụ 2: Cho hình bình hành ABCD tâm O . M là một điểm bất kì trong mặt phẳng. Khẳng định
nào sau đây là đúng nhất?
a)
A. BA DA AC 0
B. BA DA AC AB
C. BA DA AC 2 AM
D. BA DA AC AM
A. OA OB OC OD OM
B. OA OB OC OD 3OM
b)
C. OA OB OC OD 0
D. OA OB OC OD 4OM
A. MA MC 2 MB 2 MD
MB MD
B. MA MC
2
c) .
C. MA MC MB MD
D. MA MC 3 MB MD
Lời giải:
(Hình 1.12)
a) Ta có BA DA AC AB AD AC
A
B
AB AD AC
O
D
Theo quy tắc hình bình hành ta có
AB AD AC suy ra
C
Hình 1.12
BA DA AC AC AC 0
b) Vì ABCD là hình bình hành nên ta có: OA CO OA OC OA AO 0
Tương tự: OB OD 0 OA OB OC OD 0 .
c) Cách 1: Vì ABCD là hình bình hành nên AB DC BA DC BA AB 0
MA MC MB BA MD DC
MB MD BA DC MB MD
Cách 2: Đẳng thức tương đương với
MA MB MD MC BA CD (đúng do ABCD là hình bình hành)
Ví dụ 3: Cho tam giác ABC . Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC , CA , AB .Khẳng định
nào sau đây là đúng nhất?
a)
A. BM CN AP AB
1
B. BM CN AP AB
2
C. BM CN AP 0
D. BM CN AP 2 AB
1AB
A. AP AN AC BM
2
BC
B. AP AN AC BM
2
b)
C. AP AN AC BM AM
D. AP AN AC BM 0
c) với O là điểm bất kì.
OM ON OP
A. OA OB OC
2
OM ON OP
C. OA OB OC
4
OM ON OP
B. OA OB OC
3
D. OA OB OC OM ON OP
Lời giải:
(Hình 1.13)
a) Vì PN , MN là đường trung bình của tam giác ABC nên
PN / / BM , MN / / BP suy ra tứ giác BMNP là hình bình hành
BM PN
A
N là trung điểm của AC CN NA
BM CN AP PN NA AP
PA AP 0
B
AP AN AC BM AM AC BM CM BM
Mà CM BM 0 do M là trung điểm của BC .
Vậy AP AN AC BM 0 .
c) Theo quy tắc ba điểm ta có
OA OB OC OP PA OM MB ON NC
OM ON OP PA MB NC
OM ON OP BM CN AP
M
Hình 1.13
b) Vì tứ giác APMN là hình bình hành nên theo quy tắc hình
bình hành ta có AP AN AM , kết hợp với quy tắc trừ
N
P
Do đó theo quy tắc ba điểm ta có
C
Theo câu a) ta có BM CN AP 0 suy ra OA OB OC OM ON OP .
3. Bài tập luyện tập.
Bài 1.19: Cho bốn điểm A , B, C , D . Tìm khẳng định đúng nhất?
a)
A. DA CA DB CB
DB CB
DA CA
2
B.
DB CB
C. DA CA
4
DB CB
DA CA
3
D.
b)
A. AC DA BD AD CD BA
AD CD BA
B. AC DA BD
2
AD CD BA
C. AC DA BD
3
AD CD BA
D. AC DA BD
4
Lời giải:
Bài 1.19: a) Áp dụng quy tắc trừ ta có
DA CA DB CB DA DB CA CB
BA BA (đúng)
b) Áp dụng quy tắc ba điểm ta có
AC DA BD AD CD BA DA AC BD BA AD CD
DC BD BD CD (đúng)
Bài 1.20: Cho các điểm A , B, C , D , E, F . Khẳng định nào đúng nhất?
AE BF CD
A. AD BE CF
2
AE BF CD
B. AD BE CF
4
AE BF CD
C. AD BE CF
3
D. AD BE CF AE BF CD
Lời giải:
Bài 1.20: Cách 1: Đẳng thức cần chứng minh tương đương với
AD AE BE BF CF CD 0
ED FE DF 0
EF FE 0 (đúng)
Cách 2: VT AD BE CF AE ED BF FE CD DF
AE BF CD ED FE DF
AE BF CD VP
Bài 1.21: Cho hình bình hành ABCD tâm O . M là một điểm bất kì trong mặt phẳng.Khẳng
định nào đúng
a)
AC
A. AB OD OC
2
B. AB OD OC 2 AC
C. AB OD OC AC
D. AB OD OC 3 AC
A. BA BC OB 3OD
B. BA BC OB OD
b) BA BC OB OD
C. BA BC OB 4OD
c) BA BC OB MO MB
MO MB
A. BA BC OB
2
D. BA BC OB 2OD
MO MB
B. BA BC OB
3
MO MB
D. BA BC OB
4
C. BA BC OB MO MB
Lời giải:
Bài 1.21 a) Ta có OD BO do đó
A
AB OD OC AB BO OC AO OC AC
B
O
b) Theo quy tắc hình bình hành ta có
D
BA BC OB BD OB OB BD OD
C
Hình 1.47
c) Theo câu b) ta có BA BC OB OD
Theo quy tắc trừ ta có MO MB BO
Mà OD BO suy ra BA BC OB MO MB
Bài 1.22: Cho tam giác ABC . Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC , CA , AB . Khẳng
định nào đúng?
a)
A. NA PB MC AB
B. NA PB MC BC
1
A. MC BP NC BC
2
B. MC BP NC 2 BC
C. MC BP NC 3BC
D. MC BP NC BC
C. NA PB MC AC
D. NA PB MC 0
b)
Lời giải:
Bài 1.22: (Hình 1.48)
a) Vì PB AP , MC PN nên
NA PB MC NA AP PN NP PN 0
A
N
P
B
M
Hình 1.48
C
b) Vì MC BM và kết hớp với quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành ta có
MC BP NC BM BP NC BN NC BC
Bài 1.23: Cho hai hình bình hành ABCD và AB ' C ' D ' có chung đỉnh A. Khẳng định nào đúng
A. B ' B CC ' D ' D AC
B. B ' B CC ' D ' D 0
BD
D. B ' B CC ' D ' D
2
C. B ' B CC ' D ' D BC
Lời giải:
Bài 1.23: Theo quy tắc trừ và quy tắc hình bình hành ta có
B ' B CC ' D ' D AB AB ' AC ' AC AD AD '
AB AD AC AB ' AD ' AC 0
Bài 1.24: Cho ngũ giác đều ABCDE tâm O. Chứng minh rằng OA OB OC OE OF 0
Lời giải:
Bài 1.24: Đặt u OA OB OC OE OF
Vì ngũ giác đều nên vectơ OA OB OC OE cùng phương với OF nên u cùng phương với
OF .
Tương tự u cùng phương với OE suy ra u 0 .
Bài 1.25: Cho hình bình hành ABCD . Dựng AM BA , MN DA , NP DC , PQ BC .
Chứng minh rằng: AQ 0 .
Lời giải:
Bài 1.25: Theo quy tắc ba điểm ta có AQ AM MN NP PQ BA DA DC BC
Mặt khác BA BC BD , DA DC DB suy ra AQ BD DB 0
