Chương I. §7. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của một số hàm phân thức hữu tỉ

<span class='text_page_counter'>(1)</span>

<span class='text_page_counter'>(2)</span> ax+b (c 0, ad  bc 0) Hàm số y  cx+d -x+2 Ví dụ 1: Khảo sát hàm số: y  2x+1  1 Giải:i) Tập xác định:  \    2. 2) sự biến thiên: 5 y '  a) Chiều biến thiên: (2 x  1) 2 •Y’ không xác định tại x=-1/2 •Y’<0 ,x  -1/2 .Vậy hàm số nghịch biến trên các Khoảng (-;-1/2) và (-1/2;+). b) Cực trị : hàm số không có cực trị. c) Giới hạn:.

<span class='text_page_counter'>(3)</span>  x2 lim  y  lim     1  1  2x 1 x    x     2.  2.  x2 lim  y  lim    1  1  2x 1 x    x     2.  2. Vậy :đường thẳng :x=-1/2 là tiệm cận đứng.  x2 1 lim y  lim  x  x  2 x  1 2 Vậy :đường thẳng :y=-1/2 là tiệm cận ngang d) Bảng biến thiên.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> X. -. Y’ y. -1/2. +. -. +. -1/2 -. -1/2. 3) Đồ thị: Đồ thị cắt trục tung tại A(0;2), cắt trục hoành Tại B(2;0). Chú ý: Đồ thị nhận giao điểm hai tiệm cận I (-1/2;-1/2) làm tâm đối xứng.Tịnh tiến hệ trục toạ độ theo véctơ OI thì ta có phương trình: Y  5 4X.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> a = -1.00 b = 2.00 c = 2.00 d = 1.00 ax+b fx =  c x+d. 8. 6.  x2 y 2x 1. 4. 2. 2. O -10. -5. I -2. -4. -6. -8. 5. 10.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> Ví dụ 2) Khảo sát hàm số: y  2 x  1 x 1. Giải: 1) Tập xác định: R\{-1} 2) Sự biến thiên: a) Chiều biến thiên: 3 y’>0 trên (-;-1) và (-1; +) y'  2 ( x  1). b) Cực trị: hàm số không có cực trị.. 3 )   c) Giới hạn: lim y  lim (2  x  1 x  1 x 1 3 lim y  lim (2  )   x  1 x  1 x 1.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> •Đồ thị có tiệm cận đứng : x = -1 1 2 x 2 lim y lim x  x  1 1 x. •Đồ thị có tiệm cận ngang: y = 2 d) Bảng biến thiên: x - y’. -1. +. +. y. + +. 2. 2 -.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> 3) Đồ thị: giao điểm của đồ thị với trục tung: (0;-1). Giao điểm của đồ thị với trục hoành: (1/2;0). a = 2.00 b = -1.00 c = 1.00 d = 1.00 ax+b   f x =  c x+d. 8. 6. 4. 2. I 2. O -10. -5. 5. -1 -2. -4. -6. -8. 10.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> Tóm tắt: y  ax+b c  0 cx+d TXĐ:.  d  \  \ \  c. ad-bc y'  (cx+d) 2. •Nếu ad –bc= 0 thì y = a /c •Nếu ad-bc  0 thì đồ thị có tiệm cận đứng: x = -d/c. Tiệm cận ngang: y = a/c •Giao điểm của hai tiệm cận ( -d/c;a/c) là tâm đối xứng Đồ thị có hai dạng sau:.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> ax+b fx =  c x+d. 8. 8. 6. 6. ax+b fx =  c x+d. 4. M. 2. 2. I 2. O -10. -5. 4. O 5. 10. -10. -5. I 2 5. 10. -1. ad-bc>0. -2. -2. -4. -4. -6. ad-bc<0. -8. Ta có:. ax+b a ad  bc ad  bc    d cx  d c c(cx  d ) c2 ( x  ) c a ad  bc hay y   d c c2 ( x  ) c. -6. -8. y. x  d / c X   y  a / c Y. Tịnh tiến hệ trục toạ độ theo OI=(-d/c;a/c) ad  bc Là hàm số lẻ , đồ thị .Ta có hàm số Y  2 c X Có tâm đối xứng là I(-d/c;a/c).

<span class='text_page_counter'>(11)</span> ax 2 +bx+c Hàm số: y  a'x+b'. aa’0. x 2 -3x+6 Ví dụ1: Khảo sát hàm số: y  x-1. 1) Tập xác định: R\{1}. 2) Sự biến thiên x 2 -2x-3 a) Chiều biến thiên: y '  (x-1)2. y’ =0 x = -1, x = 3.Dấu y’ là dấu của x2-2x-3. Y’> 0 nếu x<-1 hoặc x> 3 và y’<0 nếu -1< x < 3. Vậy hàm số tăng trên các khoảng(-;-1) và (3;+) hàm số giảm trên các khoảng(-1;1) và (1;3) b) Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x=-1 và yCĐ=y(-1)=5 Hàm số đạt cực tiểu tại x=3 và yCT=y(3)=3.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> c) Giới hạn: lim y  lim( x 2 . x 1. x 1. 4 4 )   , lim y  lim( x  2  )   x 1 x 1 x 1 x 1. Vậy đường thẳng: x = 1 là tiệm cận đứng. 4 4 )   , lim y  lim ( x  2  )  x   x   x   x   x 1 x 1 4 lim( y  ( x  2))  lim 0 Đường thẳng y = x -2 là tiệm x  x  x  1 lim y  lim ( x  2 . Cận xiên. d)Bảng biến thiên: x - Y’ y -. +. -1 0 -5. 1 -. +. 3 0. + + +. 3.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> 3) Đồ thị: Đồ thị cắt trục tung tại (0;-6) , đồ thị không cắt trục hoành Gọi I(1;-1) là giao điểm hai tiệm cận. Tịnh tiến hệ trục toạ độ theo véc tơ OI,ta có:  x 1  X 4 4 , y x  2   Y X   x 1 X y  1Y. Hàm số lẻ trên R\{0} ,vậy I là tâm đối xứng của đồ thị.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> yy 8. 6. 4. 3. y= x-2. 2. -10. -5. -1. O. 1. 3. 5. 10. -2. x=1. -4. -5 -6. hamhuuti.gsp -8. x.

<span class='text_page_counter'>(15)</span> Ví dụ 2) Khảo sát hàm số: 1)Tập xác định: R\{-2} 2) Sự biến thiên: a) Chiều biến thiên.  2 x 2  3x  5 y x2. y  2 x  1 . 3 x2. y’=-2-3/(x+2)2<0 x-2,hàm số nghịch biến trên hai khoảng (-; -2) và (-2; +) b) Cực trị: hàm số không có cực trị c) Giới hạn:. 3 )  x  2 x  2 x2 3 lim y  lim ( 2 x  1  )   x  2 x  2 x2 lim y  lim ( 2 x  1 . •Đường thẳng : x= -2 là tiệm cận đứng.

<span class='text_page_counter'>(16)</span> 3 lim y  lim ( 2 x  1  )   x   x   x2 3 lim y  lim ( 2 x  1  )  x   x   x2 3 lim( y  ( 2 x  1)) lim 0 x  x  x  2. •Đường thẳng y=-2x+1 là tiệm cận xiên d) Bảng biến thiên x - y’ + y. -2 -. + +. -. -. -.

<span class='text_page_counter'>(17)</span> 8. 6. 4. 2. -10. -5. 5. -2. -4. -6. -8. 10.

<span class='text_page_counter'>(18)</span> Tóm tắt:. ax 2 +bx+c C y Ax+B+ a'x b' a'x b' Ca ' y ' A(a ' x  b ') 2. •Nếu ACa’>0 hàm số có cực trị •Nếu ACa’<0 hàm số đơn điệu trên hai khoảng xác định. •Nếu C = 0 hàm số trở thành y =Ax+B ,x-b’/a’ •Tiệm cận đứng: x= -b’/a’ •Tiệm cận xiên: y =Ax+B •Giao điểm hai tiệm cận là tâm đối xứng.

<span class='text_page_counter'>(19)</span> Đồ thị có các dạng sau:. -10. 8. 8. 6. 6. 4. 4. 2. 2. -5. 5. Hàm số giảm. 10. -10. -5. 5. -2. -2. -4. -4. -6. -6. -8. -8. 10. Hàm số tăng. 8. Hàm số Có CĐ CT -10. -5. 8. 6 6. 4 4. 3 2. 2. -1. O. 1. 3. 5. 10 -10. -5. 5. -2 -2. -4. -4. -5 -6. -8. Hàm số Có CĐ CT. -6. -8. 10.

<span class='text_page_counter'>(20)</span> Bài tập: 1) Bài tập SGK 2) Các bài tập ôn tập chương 3) Chứng minh rằng đồ thị hàm số:. ax+b y (c 0, ad  bc 0) cx  d ax 2 +bx+c y (a ' 0) và ax2+bx+c không chia hết cho a'x b' a’x+b’. Có một tâm đối xứng và hai trục đối xứng.

<span class='text_page_counter'>(21)</span>