Lý thuyết về sự lượng tử hoá lần thứ hai

Luận văn tốt nghiệp: Lý thuyết về sự l-ợng tử hoá lần thứ hai

Tr-ờng đại học vinh

khoa vật lý
----------------

phạm thị vân

Lý thuyết về sự l-ợng tử hoá
lần thứ hai

khoá luận tốt nghiệp
Chuyên nghành : vật lý chất rắn

Vinh, 2006

1


Luận văn tốt nghiệp: Lý thuyết về sự l-ợng tử hoá lần thứ hai

Phần Mở đầu
Một trong những ph-ơng pháp quan trọng th-ờng đ-ợc ứng dụng trong cơ
học l-ợng tử của hệ nhiều hạt là ph-ơng pháp l-ợng tử hoá lần thứ hai. Trong
ph-ơng pháp này, ng-ời ta dùng sự mô tả tr-ờng đối với các hạt, tức là các hạt
của hệ đ-ợc coi nh- các l-ợng tử của một tr-ờng nào đó. T-ơng tác giữa các hạt
trong hệ đ-ợc thực hiện thông qua các tr-ờng khác, mà các l-ợng tử của những
tr-ờng này là những hạt khác. Các tr-ờng của những hạt t-ơng ứng đ-ợc ví nhlà những biến số động lực. Chúng là các hàm của toạ độ không gian và thời
gian. Các toạ độ này đặc tr-ng cho các điểm của không gian nh-ng chúng
không phải là toạ độ của các hạt vì ở trong ph-ơng pháp này các hạt đ-ợc coi ví

nh- các l-ợng tử của tr-ờng. Chính vì vậy ph-ơng pháp l-ợng tử hoá lần thứ hai
rất tiện lợi khi nghiên cứu các hệ có số hạt thay đổi. Nghĩa là các hệ trong đó
xẩy ra sự biến đổi lẫn nhau giữa các hạt. Các véctơ trạng thái của tr-ờng l-ợng
tử là các véctơ trạng thái của các hệ nhiều hạt đồng nhất tuân theo thống kê
BoseEinstein hoặc Fermi-Đirac. Và đối với hệ hạt đồng nhất thì duy nhất chỉ
có ph-ơng pháp này giải quyết trọn vẹn. Trong các hệ hạt đồng nhất, sự mô tả
trạng thái không phụ thuộc vào việc đánh số các hạt. Tính chất này đ-ợc phản
ánh trong tính đối xứng của các hàm đối với phép hoán vị một cặp hạt bất kỳ.
Mặt khác các trạng thái của hệ Bôzôn-các hạt có spin nguyên-chỉ đ-ợc mô tả
bởi các hạt đối xứng đối với phép hoán vị này. Việc nghiên cứu các trạng thái
nh- thế một cách tiện lợi nhất có thể đ-ợc tiến hành trong phép biểu diễn các số
l-ợng tử lấp đầy, hay nh- ng-ơi ta nói, trong phép biểu diễn l-ợng tử hoá lần
thứ hai, phép biểu diễn này chọn các hàm có tính đối xứng cần thiết.
Trong biểu diễn toạ độ thông th-ờng các hàm sóng của hệ N hạt với bậc
tự do phụ thuộc và N biến. Trong biểu diễn l-ợng tử hoá lần thứ hai, tất cả các

2


Luận văn tốt nghiệp: Lý thuyết về sự l-ợng tử hoá lần thứ hai

toán tử đều đ-ợc biểu diễn qua các toán tử sinh và huỷ các hạt trong các trạng
thái một hạt với số bậc tự do chỉ của một hạt, còn trạng thái của toàn bộ hệ đ-ợc
mô tả bằng các hàm phụ thuộc vào các số nêu lên số hạt trong mỗi trạng thái
một hạt. Do đó, ph-ơng pháp l-ợng tử hoá lần thứ hai làm dễ dàng rất nhiều cho
việc nghiên cứu hệ có số hạt thay ®ỉi.
Trong lý thut cỉ ®iĨn ng-êi ta quan niƯm tr-ờng điện từ mang tính chất
sóng. Để diễn tả đ-ợc tính chất hạt của ánh sáng ta phải tiến hành l-ợng tử hoá
tr-ờng điện từ. Cũng giống nh- phép chuyển từ các đại l-ợng của cơ học cổ
điển sang các toán tử t-ơng ứng trong cơ học l-ợng tử.

Năm 1920, lần đầu tiên Đirac sử dụng ph-ơng pháp l-ợng tử hoá lần thứ hai
để khảo sát các hệ hạt Bose và năm 1928 đ-ợc phát triển bởi Fermi, Wigner và
Jordan. Ngày nay, ng-ời ta dùng ph-ơng pháp này làm công cụ tốt để nghiên
cứu các hệ nhiều hạt mà ở đó số hạt có thể thay đổi.
Ph-ơng pháp l-ợng tử hoá lần thứ hai có rất nhiều ứng dụng nh- trong lý
thuyết t-ơng tác tr-ờng, trong quang học l-ợng tử vv... Ngoài ra, ng-ời ta còn
sử dụng ph-ơng pháp l-ợng tử hoá lần thứ hai để khảo sát dao động nhỏ của các
nguyên tử đối với vị trí cân bằng của chúng trong các vật rắn.
Vì những lý do trên nên Tôi đà chọn đề tài: Lý thuyết về sự l-ợng tử hoá
lần thứ hai. Đề tài này đ-ợc nghiên cứu dựa trên các mục đích sau:
1. Khảo sát sự l-ợng tử hoá các dao động nhỏ của các nguyên tử trong các vật
rắn và sự l-ợng tử hoá tr-ờng điện từ bằng cách đ-a Hamitonian l-ợng tử của
các hệ dao động tử không t-ơng tác với sự chuyển tiếp theo của các toán tử sinh
và toán tử huỷ các hạt Bose.
2. Nghiên cứu sự l-ợng tử hoá lần thứ hai để giải đáp vấn đề trạng thái của hệ
các hạt đồng nhất đ-ợc xác định bởi cái gi? Có thể xác định trạng thái của hệ
nếu chỉ rỏ có bao nhiêu hạt ở trạng thái khác nhau hay không?

3


Luận văn tốt nghiệp: Lý thuyết về sự l-ợng tử hoá lần thứ hai

3. Sử dụng ph-ơng pháp l-ợng tử hoá lần thứ hai để khảo sát tr-ờng t-ơng ứng
với các hạt Bose từ đó xác định các hàm sóng trạng thái.
Với mục đích và lý do đà trình bày ở trên, luận văn này ngoài phần mở đầu
và kết luận còn có các ch-ơng sau:
Ch-ơng I : Lý thuyết về sự l-ợng tử hoá lần thứ hai
Tr-ớc hết giúp chúng ta hiểu đ-ợc lý thuyết về sự l-ợng tử hoá. Chúng ta
sử dụng ph-ơng pháp l-ợng tử hoá để khảo sát sự l-ợng tử hoá các dao động

nhỏ của các nguyên tử trong các vật rắn và sự l-ợng tử hoá tr-ờng điện từ bằng
cách đ-a Hamiltonian cổ điển về Hamiltonian của các hệ dao động tử không
t-ơng tác với sự chuyển tiếp theo các toán tử sinh và toán tử huỷ các hạt bose.
Nghiên cứu phép biểu diễn các số lấp đầy hay là phép biểu diễn l-ợng tử hoá
lần thứ hai đ-ợc sử dụng nh- một công cụ nh- thế nào trong ph-ơng pháp l-ợng
tử hoá các tr-ờng.
Ch-ơng II: Sự l-ợng tử hoá lần thứ hai tr-ờng t-ơng ứng với các hạt
Bose
Trong ch-ơng này chúng ta đi khảo sát ph-ơng pháp tổng quát l-ợng tử
hoá tr-ờng t-ơng ứng với các hạt phôtôn có khối l-ợng 0, spin 1 hay các hạt
Bose. Từ đó đi xác định hàm sóng trạng thái của các hạt.
Ch-ơng III: Ph-ơng pháp L-ợng tử hóa lần thứ hai cho hệ các hạt Bose
đồng nhất.
Trong phần này chúng tôi sử dụng ph-ơng pháp l-ợng tử hoá lần thứ hai
nghiên cứu hệ có những đặc tr-ng giống nhau nh- khối l-ợng, điện tích, spin ...
hay còn gọi là các hạt đồng nhất.
Nội dung của luận văn đà trình bày đ-ợc một số kiến thức cơ bản về l-ợng tử
hoá lần thứ hai nh-: l-ợng tử hoá các tr-ờng, l-ợng tử hoá các hạt ...Hy vọng
các kết quả đó sẽ là một tài liệu tham khảo cho các sinh viên khoa Vật lý khi

4


Luận văn tốt nghiệp: Lý thuyết về sự l-ợng tử hoá lần thứ hai

học các môn học: vật lý lý thuyết nói chung và vật lý chất rắn nói riêng. Qua
luận văn, tác giả luận văn đà b-ớc đầu thực tập nghiên cứu, thu thập kiến thức
và trình bày một vấn đề khoa học. Nếu có điều kiện thì có thể phát triển thêm
các nội dung nh-: sự l-ợng tử hoá lần thứ hai cho tr-ờng vô h-ớng, tr-ờng điện
từ và các ứng dụng của ph-ơng pháp l-ợng tử hoá lần thứ hai cho hệ hạt Bôzôn

(t-ơng tác) và hệ các hạt fermion (vật chất)...

5


Luận văn tốt nghiệp: Lý thuyết về sự l-ợng tử hoá lần thứ hai

CHƯƠNG I
Lý thuyết về sự l-ợng tử hoá lần thứ hai
Một trong những ph-ơng pháp quan trọng th-ờng đ-ợc ứng dụng trong cơ
học l-ợng tử của hệ nhiều hạt là ph-ơng pháp l-ợng tử hoá lần thứ hai. Trong
ph-ơng pháp này, ng-ời ta dùng sự mô tả tr-ờng đối với các hạt, tức là các hạt
của hệ đ-ợc coi nh- các l-ợng tử của một tr-ờng nào đó. T-ơng tác giữa các hạt
trong hệ đ-ợc thực hiện thông qua các tr-ờng khác, mà các l-ợng tử của những
tr-ờng này là những hạt khác. Các tr-ờng của những hạt t-ơng ứng đ-ợc ví nhlà những biến số động lực. Chúng là các hàm của toạ độ không gian và thời
gian. Các toạ độ này đặc tr-ng cho các điểm của không gian nh-ng chúng
không phải là toạ độ của các hạt vì ở trong ph-ơng pháp này các hạt đ-ợc coi ví
nh- các l-ợng tử của tr-ờng. Chính vì vậy ph-ơng pháp l-ợng tử hoá lần thứ hai
rất tiện lợi khi nghiên cứu các hệ có số hạt thay đổi. Nghĩa là các hệ trong đó
xẩy ra sự biến đổi lẫn nhau giữa các hạt. Các véctơ trạng thái của tr-ờng l-ợng
tử là các véctơ trạng thái của các hệ nhiều hạt đồng nhất tuân theo thống kê
BoseEinstein hoặc Fermi-Đirac. Và đối với hệ hạt đồng nhất thì duy nhất chỉ
có ph-ơng pháp này giải quyết trọn vẹn.
1.1 Biểu diễn các số lấp đầy cho dao động tử điều hoà

Công cụ quan trọng đ-ợc áp dụng trong ph-ơng pháp l-ợng tử hoá các
tr-ờng là phép biểu diễn các số lấp đầy hay là phép biểu diễn l-ợng tử hoá lần
thứ hai. Chúng ta bắt đầu làm quen với các số lấp đầy từ việc nghiên cứu nhiều
khái niệm mới đ-ợc dùng trong phép biểu diễn các số lấp đầy đối với các
tr-ờng khác. Ta biết, Hamiltonian của giao động tử điều hoà có thể viết d-ới

dạng:
H()=

2 d 2

( - 2 ) =
2
2
d

6

( 2 + 2 )

(1.1.1)


Luận văn tốt nghiệp: Lý thuyết về sự l-ợng tử hoá lần thứ hai

Trong đó là biến không thứ nguyên =

m


Với m là khối l-ợng của hạt, là tần số, x là toạ độ


Các toán tử toạ độ = và toán tử xung l-ợng p = -
có thể đ-ợc

biểu diễn qua hai toán tử không ecmit khác
â=


1
1
( ) =
( +  p  )

2
2

(1.1.2 )

©+ =


1
1 
(  ) =
( - p )

2
2

(1.1.3 )

Các toán tử này thoả mÃn các hệ thức giao hoán

[â, â+] = (â ©+ - ©+ ©) = 1

(1.1.4)

Khi ®ã Hamiltonian (1.1.1) cã dạng:
H=

1

(ââ+ + â+â ) = (â â+ + )
2
2

(1.1.5)

Tất cả các toán tử khác thuộc về giao động tử điều hoà đều là các hàm
của và -


, do ®ã dùa vµo (1.1.2) vµ (1.1.3) ta cã thĨ biĨu diễn chúng qua


các toán tử â và â+.


Đặc biệt: =


1
1

(â + â+) và
=
( â - â +)


2
2

(1.1.6)

Ta đà biết tác dụng của các toán tử â và â+ lên các hàm sóng n đ-ợc xác
định bởi các hệ thức:
ân = n n – 1 ;

©+ n = n  1 n +1

(1.1.7)

Các toán tử â và â+ là các toán tử không ecmitic chúng tác động lên tập
hợp các hàm ( ) đ-ợc chuẩn hoá bởi điều kiÖn:


  *( )  ( ) d  = 1


7

(1.1.8)

Luận văn tốt nghiệp: Lý thuyết về sự l-ợng tử hoá lần thứ hai

Các đẳng thức (1.1.7) cho phép ta xác định đ-ợc tác dụng của chúng lên
các hàm riêng của toán tử năng l-ợng. Việc nêu lên số l-ợng tử n hoàn toàn đặc
tr-ng cho trạng thái dừng của dao động tử sẽ đ-ợc gọi là một fônôn. Khi đó số
l-ợng tử n sẽ xác định các số fônôn trong trạng thái t-ơng ứng. Tất cả các fônôn
đều có trạng thái nh- nhau. Trạng thái dừng hoàn toàn xác định bởi sự nêu lên
số các fônôn, do đó thay cho hàm n ( ) ng-ời ta có thể đặc tr-ng trạng thái đó
bằng một hàm, trong đó biến độc lập là các fônôn. Mỗi fônôn có năng l-ợng
.

Trạng thái n t-ơng ứng với sự có mặt của n fônôn với năng l-ợng n và

hàm này đ-ợc ký hiệu là |n>. Tác dụng của các toán tử â và â+ tác dụng lên
các số lấp đầy n. Toán tử â giảm số fônôn giảm đi một đơn vị đ-ợc gọi là toán
tử huỷ các fônôn. Toán tử â+ tăng số fônôn lên một đơn vị đ-ợc gọi là toán tử
sinh số fônôn.
Nếu hàm riêng của trạng thái cơ bản (trạng thái không có các fônôn )
trong phép biểu diễn các số lấp đầy có dạng | 0 > gọi là véc tơ trọng tr-ởng thì
khi ứng dụng liên tiếp n lần toán tử sinh â+, ta có thể thu đ-ợc trạng thái với n
fônôn:

n > =

1
( â+ )
n

n

0 >

(1.1.9)

Trong biểu diễn các số lấp đầy, th-ờng ng-ời ta đặt 0> = 1, khi đó hàm

n> xác định bởi (1.1.9) sẽ đ-ợc chuẩn hoá về 1, tức là tích v« h-íng:
(<1, 1>) = 1 hay

 *n n dx = 1

Trạng thái cơ bản của hệ, mô tả bởi hàm 0 >, th-ờng đ-ợc gọi là trạng
thái vacum. Trạng thái vacum có thể đ-ợc xác định từ điều kiện : â 0> = 0
Nghĩa là toán tử huỷ các fôtôn, tác động lên các trạng thái vacum, cho ta
giá trị không. Năng l-ợng của trạng thái vacum là E0 =

8

1

2


Luận văn tốt nghiệp: Lý thuyết về sự l-ợng tử hoá lần thứ hai

Vậy, phép biểu diễn các số lấp đầy t-ơng ứng với sự mô tả các dao động
của giao động tử trong ngôn ngữ các fônôn. Tất cả các fônôn trong tr-ờng hợp
này đều là nh- nhau, và trạng thái đ-ợc xác định đơn trị bằng cách nêu số
fônôn. Do đó hàm sóng trong biểu diễn các số lấp đầy chỉ phụ thuộc vào một
biến đó là số fônôn trong một trạng thái.

Nếu trong toán tử Hamilton (1.1.1) ta thay các toán tử và p bằng các

đại l-ợng cổ điển, thì chúng ta thu đ-ợc Hamiltonian của cơ học cổ điển.

(2 + p2)
2

Hcđ =

Trong đó và p là các biến thực, chúng ta chuyển các biến thực này
sang các biến phức:
a=

1
2

( - P);

a* =

1
2

( +  P)

( 1.1.10 )

Khi ®ã Hamiltonian biÕn ®ỉi vỊ dạng
Hcđ = a*a

Sự chuyển từ Hamiltonian cổ điển sang toán tử Hamilton l-ợng tử, t-ơng ứng
sự thay thế trong Hamiltonian đà đối xứng hoá
Hcđ =


( a a + a a )
2

(1.1.11)

Các đại l-ợng phức a và a* bằng các toán tử a và a thoả mÃn các hệ thức
giao hoán (1.1.4). Bằng biện pháp nh- thế chúng ta thu đ-ợc toán tử Hamilton
trong biểu diễn các số lấp đầy. Sự chuyển này từ Hamiltonian cổ điển sang
Hamiltonian l-ợng tử đ-ợc gọi là sự l-ợng tử hoá lần thứ hai.
Đó là l-ợng tử hoá xẩy ra khi chuyển các toạ độ và các xung l-ợng liên hợp
với chúng sang các toán tử t-ơng ứng.
Các toán tử của dao động tử điều hoà trong biểu diễn các số lấp đầy cũng có
thể đ-ợc viết d-ới dạng các ma trận vô hạn.

9


Luận văn tốt nghiệp: Lý thuyết về sự l-ợng tử hoá lần thứ hai

Giả sử toán tử â và â+ đ-ợc biểu diễn qua ma trận có dạng
a 00

 a10
a 
a

 20
 .


a01
a11
a 21
.

...

...
;
...

...

a02
a12
a 22
.


a

 a  00
 
 a 10
 
 a 20

 .


a  01
a  11
a 21
.

a 02
a 12
a 22
.

...

...
...
...

Trong năng l-ợng biểu diễn các dao động tử điều hoà, ta cã:
©| n > = n |n-1>
©+| n > = n  1 |n+1>
(<m|, |n>) = m n
©mn =(<m|, ©|n >) = (<m|, n |n-1>) = n (<m|, |n-1>) = n m n-1
T-ơng tự:

â+mn =

n 1

m n+1

áp dụng vào cho các phần tử của ma trận â và â+ ta có:
0

0
a 
0
.


1
0
0
.

0
2
0
.

...

...
;
...
...


a









0
1
0
.

0 0 ...

0 0 ...
2 0 ...

.
. ...

Trong biÓu diễn này ta thấy đ-ợc rõ tính liên hợp ecmitic của các toán tử â và


â+. Toán tử số fônôn đ-ợc biểu diễn bằng ma trận chéo N = â+ ©


 
N 





0
1
0
.

0 0 ...  0

0 0 ...  0
2 0 ...  0

.
. ...  .

1
0
0
.

0
2
0
.

...

...

=
...
...

 0 0 0 ...


 0 1 0 ...
 0 0 2 ...


 . . . ...



Các hàm sóng của các trạng thái dừng đ-ợc biểu diễn bằng các ma trận một
cột

10


Luận văn tốt nghiệp: Lý thuyết về sự l-ợng tử hoá lần thứ hai

1

0> = 0 ,
0
 

0

0
 
 
1> = 1  , 2> =  0 
0
1 
 
 

Trong c¸c biĨu thøc (1.1.6) nếu ta chia cả 2 vế cho

x

=(

m
thì ta đ-ợc


1/2
m 1/2
) ( ©+ + ©), p x = - (
) (â - â+)
2 m
2

Khi đó giá trị trung bình trong các trạng thái | n > của các hàm bất kỳ của
toạ độ và xung l-ợng đ-ợc tính nh- sau:
<n x n> = <n x n> = (

 1/2
 1/2
) (© + ©)n> = (
) {<n©+ + ©n>}
2 m
2 m

 1/2
 1/2
) {<n ©+n> + <n ©n>} = (
) {<n n n+1>
2 m
2 m

+<n n n-1>}
=


( n  1 nn+1 n nn-1) = 0
2 m

T-¬ng tù ta cã: <n p x n> = 0
<n x 2n> = =


(©+2 +©+© + © ©+ + ©2)n>
2 m


{<n ©+2n> + <n©+©n> + <n© ©+n> + <n ©2n>}
2 m

=



[<n©+© + © ©+n>} =
{<n2©+© + 1n>}
2 m
2 m

=



1

<n2n+1n> =
(2n+1) =
(n + )
2 m
2 m
2
m

<n p 2 n> =


m
1
<n©+© + © ©+n> = m (n + ) = mEn
2
2

T-¬ng tù <n x 4n> = 3 (

 2
) (1+2n(n+1))
2 m

11


Luận văn tốt nghiệp: Lý thuyết về sự l-ợng tử hoá lần thứ hai
1.2 Sự l-ợng tử hoá các dao động nhỏ của các nguyên tử trong
các vật rắn Fônôn

Ta nghiên cứu dao động nhỏ của các nguyên tử đối với vị trí cân bằng của
chúng trong các tinh thể. Chúng ta khảo sát tinh thể mà mỗi ô nguyên tố của nó
chứa nguyên tử và đ-ợc xác định bởi ba véc tơ cơ sở không đồng phẳng a1, a2,
a3 . Điều kiện tuần hoàn với các chu kỳ lớn là N1 a1, N2 a2, N3 a3 làm điều kiện
biên. Các vị trí cân bằng của nguyên tử trong tinh thể cơ bản của tinh thể đ-ợc
3

ghi bằng véc tơ mạng tinh thể n = ni ai là véc tơ xác định vị trí của ô nguyên
i 1

tố , là số nêu lên vị trí của nguyên tử trong ô nguyên tố, ni lấy các trị số

nguyên nên thoả mÃn các bất đẳng thức:
-

Ni
N
< ni < i ; víi i = 1, 2, 3
2
2

vµ N = N1 N2 N3 là tổng các hạt nhân trong tinh thể.
Giả sử n là thành phần dịch chuyển thứ x của nguyên tử khỏi VTCB (vị trí
cân bằng) của nó. Khai triển thế năng theo luỹ thừa của độ dịch chuyển và giới
hạn ở các số hạng bậc hai thì năng l-ợng các dao động nhỏ của các nguyên tử
tại các VTCB là:
Hcđ =

.
1
x
x
xx '
{m ( xn)2 +
' ( n – n–) n

n––}
2 n x
n ' ' x '

(1.2.1)

C¸c ph-ơng trình cổ điển có dạng:

..

M x n +




x
x–
xx '

' (n – n–) n
n––}

= 0

n' ' x'

Víi M là khối l-ợng nguyên tử chiếm vị trí thứ trong «.

12

(1.2.2)


Luận văn tốt nghiệp: Lý thuyết về sự l-ợng tử hoá lần thứ hai
xx '
Các hệ số

(n n) chỉ phụ thuộc vào hiệu n n, nh-ng không
'

phụ thuộc vào n và nxét riêng lẻ. Các hệ số này lập thành 1 ma trận đối với n
và n
Do tính đối xứng tịnh tiến của tinh thể, các nghiệm (1.2.2) đ-ợc tìm d-ới
dạng

n(q) = e(q) exp{i(qn qt)}

(1.2 3)

Để thoả mÃn các điều kiện về tính tuần hoàn với các chu kỳ lớn, ta cần đặt

3 ni
q = 2 
bi
i1 N i
a  a 
 j
k i
víi bi =
là véc tơ cơ sở của mạng đảo
V

i = 1, 2, 3
j = 1, 2, 3
k = 1, 2, 3
Do đó véctơ sóng q lấy N giá trị khác nhau nằm trong vùng Brillouin thứ
nhất, các véctơ ea(q) trong (1.2. 3) đặc tr-ng cho các ph-ơng dao động với giá

trị đà cho của véc tơ sóng q
Thay (1.2.3) vào (1.2.2) ta thu đ-ợc thành phần đề các của véc tơ ea(q) nh- là
các nghiệm của hệ ph-ơng trình:
xx '
L
'

(q) ex '' - q2 M ex = 0

x' '

xx ' (q) 
C¸c hƯ sè: L
'

xx ' (n – n–) exp {iq(n - n)}


'

'

lập thành một ma trận emitic.
Các q2 đ-ợc xác định từ điều kiện giải đ-ợc hệ ph-ơng tr×nh (1.2.4)

13

(1.2.4)

Luận văn tốt nghiệp: Lý thuyết về sự l-ợng tử hoá lần thứ hai

Điều kiện này rút về ph-ơng trình cấp 3 trong đó 3 là bậc số tự do ở trong
mỗi ô nguyên tố
xx ' (q) - 2M 
 L
 xx–   = 0
q
'
xx ' lµ ma trận ecmitic và các vị trí cân bằng ứng với cực tiểu
Do ma trận L
'

năng l-ợng của q nên tất cả 3 nghiệm của ph-ơng trình này đều là các hàm
thực và d-ơng của q. Trong số tất cả 3 tÇn sè j (j = 1, 2, 3) ba tÇn số bằng 0
khi q = 0. Các nghiệm này đ-ợc gọi là các nhánh âm học của các giao động
chúng t-ơng ứng với sự dịch chuyển ở trong pha của tất cả các nguyên tử tham
gia tạo thành một ô nguyên tố, 3( - 1) tần số còn lại khác không khi q = 0. Các
nghiệm này đ-ợc gọi là các nhánh quang học của các dao động. Nếu trong «
nguyªn tè chØ cã mét nguyªn tư ( = 1) thì tất cả 3 nghiệm đều t-ơng ứng với
nhánh âm häc. NÕu trong sè 3 tÇn sè, mét sè tÇn số có giá trị nh- nhau thì
ng-ời ta nói rằng có sự suy biến.
ứng với mỗi tần số j ( q) có một tập hợp các véctơ thực ej , là các nghiệm
của những ph-ơng trình thuần nhất (1.2.4). Các véctơ này đ-ợc đánh dấu bằng
những chỉ số j lấy 3 giá trị. Chúng lập thành một hệ trực giao mà chúng ta
chuẩn hoá một cách tiện lợi bằng các ®¼ng thøc.





1

e  j e  l = j l

(1.2.5)

Nh- vậy các độ dịch chuyển nguyên tố của nguyên tử ở trong ô n, t-ơng
ứng các nhánh thứ j của các dao động với giá trị của véctơ sóng q có thể đ-ợc
viết d-ới dạng:

ja(q) = ej (q) exp { i(qn  j (q) t}

14


Luận văn tốt nghiệp: Lý thuyết về sự l-ợng tử hoá lần thứ hai

Các độ dịch chuyển này đ-ợc viết d-ới dạng phức. Các độ dịch chuyển tuỳ ý
của nguyên tử có thể đ-ợc biểu diễn d-ới dạng chồng chất các độ dịch chuyển
nguyên tố t-ơng ứng với tất cả các nhánh dao động và tất cả các giá trị khả dĩ
của véc tơ sóng q. Các độ dịch chuyển này đ-ợc viết d-ới dạng:
n =


jq


1/2

iqn

*
-iqn

ej (q) [aqje + a qj e ]
 2M  N j (q)

(1.2.6)

Các độ dịch chuyển khỏi vị trí cân bằng đ-ợc thể hiện trong các hệ số aqj ,
khi đó:
daqj
dt

= - i j (q) aqj

(1.2.7)

Víi N ®đ lín cã thĨ xẩy ra đẳng thức:



exp [i (q-q) n] = N qq

(1.2.8)

n

Thay (1.2.6) vào (1.2.1) và kết hợp với (1.2.4) ta tìm đ-ợc giá trị năng l-ợng
dao động toàn phần của các nguyên tử trong mạng.
Hcđ =

1
j (q) [aqj a*qj + a*qj aqj ]

2 jq

(1.2.9)

Ph-ơng trình (1.2.9) có thể đ-ợc ví nh- tổng các Hamiltonian cổ điển của các
dao động tử độc lập đối với giá trị của j và q. Tổng số dao động tử này bằng
3N. Thay các biên độ aqj và a*qj bằng các toán tử âqj và â+qj thoả mÃn các hệ
thức giao hoán:
[âqj , âqj ] = [©qj +, ©+q–j–] = 0;

[©qj, ©+q–j–] =  qq– jj

Khi đó Hamiton l-ợng tử trong biểu diễn các số lấp đầy
H=

1
j (q) [2â+qj âqj + 1]
2 jq

Hay

15

(1.2.10)

Luận văn tốt nghiệp: Lý thuyết về sự l-ợng tử hoá lần thứ hai

H=



j (q) 2â+qj âqj + E0

(1.2.11)

qj

Với :

1
j (q)
2 jq

E0 =

Là năng l-ợng của trạng thái cơ bản hay trạng thái vacum. Th-ờng năng
l-ợng của hệ đ-ợc tính từ năng l-ợng trạng thái vacum.
Nếu 0 > là hàm sóng của trạng thái vacum thì hàm sóng

1qj > = â+qj 0>
Sẽ đặc tr-ng cho trạng thái của hệ có 1 fônônmột l-ợng tử kích thích
của các dao động của nhánh thứ j với véc tơ sóng q năng l-ợng fônôn bằng j
(q). Mỗi kích thích nh- thế fônôn t-ơng ứng với các dao động của tất cả các
nguyên tử của tinh thể.
Trạng thái của hệ có 2 fônôn thì hàm sóng sẽ là:

2qj > = 2 (©+)2 0> = 2 ©+©+0> = 2 ©+1 >
 (<2qj , 2qj> ) = (<1 ©+2, 2 ©+1>) = 2* 2 (<1©+, ©+/1>
= 22 (<1, a a+1>) = 22 (<1, (1+a a+) 1>)
= 22{<1, 1> + <1, a+a 1>}= 22(1 + 1) = 222 = 1  2 =
Hay 2qj > =

1
2!

(â+)20>

Trạng thái có 3 fônôn thì hàm sóng sẽ là:

3 qj> =3 (â+)3 0> =
T-ơng tự: 3 =
Hay 3qj > =

1
3!

2 +

© 2(©+)2 0> = 2 a+2>
3
3

1
3!

(©+)30>

16

1
2!


Luận văn tốt nghiệp: Lý thuyết về sự l-ợng tử hoá lần thứ hai

Với trạng thái có n fônôn cùng loại, thì đ-ợc xác định bằng hàm sóng:

nqj > = (nqj!)-1/2 (â+)n 0>
Trạng thái này t-ơng ứng với năng l-ợng nqj j(q) của các fônôn. Hàm sóng
của trạng thái n fônôn đồng nhất chỉ phụ thuộc vào các fônôn, nên nó không
thay đổi khi hoán vị các fônôn. Các hàm đối xứng với các hạt đồng nhất mô tả
các trạng thái của các hạt bôzơ, do đó các kích thích dao động l-ợng tử nguyên
tố của các nguyên tử trong vật rắn các fônôn là các hạt bôzơ - các bôzôn.
Các fônôn phải thoả mÃn thống kê BoseEinstein. Trong mỗi một trạng thái
l-ợng tử có thể có số fônôn tuỳ ý.
Trong tr-ờng hợp tổng quát, trạng thái dao động của các nguyên tử trong
tinh thể đ-ợc xác định bởi cách nêu số fônôn các loại khác nhau trong trạng
thái đó. Hàm sóng của một trạng thái nh- thế sẽ đ-ợc biểu diễn d-ới dạng

...nq...>.
Trong tr-ờng hợp của các vật rắn có chứa một nguyên tử ở trong ô
nguyên tố, các kích thích fônôn chỉ t-ơng ứng với ba nhánh âm học của các dao
động (j = 1,2,3), các nhánh này đ-ợc đặc tr-ng cho mỗi véc tơ q bằng ba véctơ
phân cực đơn vị e1, e2, e3 vuông góc với nhau. Trong vật đẳng h-ớng một trong
các véc tơ này h-ớng dọc theo véctơ sóng và t-ơng ứng với các sóng âm dọc.

Hai véctơ phân cực khác h-ớng vuông góc với véctơ q và t-ơng ứng với hai
sóng âm ngang.
1. 3 Sự l-ợng tử hoá tr-ờng điện từ không có các điện tích

Trong điện động lực học cổ điển, tr-ờng điện từ trong chân không đ-ợc


mô tả bằng thế véc tơ A thoả mÃn ph-ơng trình tr-ờng:


A = 0
và điều kiện định cỡ Lorentz:

17

(1.3.1)


Luận văn tốt nghiệp: Lý thuyết về sự l-ợng tử hoá lần thứ hai



div A = 0

(1.3.2)

Là điều kiện bảo đảm cho sóng điện từ là sóng ngang. Dựa vào thế véctơ

A , ta xác định đ-ợc c-ờng độ điện tr-ờng và từ tr-ờng.

1 A
=,
H = rot A
c t

(1.3.3)

Năng l-ợng của tr-ờng đ-ợc biễu diễn qua các bình ph-ơng c-ờng ®é cđa
tr-êng
Hc® =

1
8







(  2  H 2 ) d

(1.3.4)



Chóng ta biễu diễn thế véc tơ A d-ới dạng chồng chất các sóng phẳng thực:

A=





eq ( Aqe iqr + A* qe-iqr)

(1.3.5)

q

Điều kiện (1.3.2) đ-ợc thực hiện nếu qe q= 0 nghĩa là véctơ phân cực đơn
vị phải trực giao với véc tơ sóng q. ứng với mỗi véc tơ q ta có thể chọn hai véctơ
vuông góc nhau thoả mÃn ®iỊu kiƯn nµy, do ®ã chØ sè  trong (1.3.5) lấy hai giá
trị. Để có những giá trị gián đoạn, th-ờng th-ờng ng-ời ta đ-a vào các điều kiện
biên tuần hoàn với miền cơ bản d-ới dạng hình lập ph-ơng có cạnh L. Trong
tr-ờng hợp này:
Qi =

2
i
L

(1.3.6)

Trong đó i : = 0 , 1, 2, ... i = 1, 2, 3
Ph-ơng trình sóng (1.3.1) đ-ợc thoả mÃn nếu sự phụ thuộc của các hệ số
Aq vào thời gian đ-ợc xác định bởi ph-ơng trình
q

t

= -i q Aq ;

18

q = CQ

(1.3.7)


Luận văn tốt nghiệp: Lý thuyết về sự l-ợng tử hoá lần thứ hai

Khi chọn sự phụ thuộc (1.4.7) mỗi số hạng trong tổng số biểu diễn sóng
điện từ phẳng lan truyền theo ph-ơng của véc tơ q

Từ các công thức (1.3.3), (1.3.5) và (1.3.7) ta tìm đ-ợc các c-ờng ®é ®iƯn
tr-êng vµ tõ tr-êng.

 ==-


t

1
c

=-



(
t 

1
c

1
c







eq (Aq eiqr + A*q e –iqr)

q

eq  (

Aq

q





t

eiqr +

A *q
t

e –iqr)

eq(- iCQ Aq eiqr + iCQ A*q e –iqr)

q

=i





Q eq( Aq eiqr - A*q e –iqr)

q

T-¬ng tù:
H = i






[ q  e q] (Aq eiqr - A*q e –iqr)

(1.3.8)

q



Thay  vµ H vµo (1. 3. 4) và lấy tích phân theo thể tích cơ bản L3
Hcđ =

1
8





Q2(Aq eiqr - A*q e iqr) (Aq– eiq–r - A*q– e –iq–r) d3r-

q

1
8


 


[q  eq] [q  eq ] (Aq eiqr - A*q e –iqr)

q

(Aq– eiq–r-A*q– e –iq–r)d3r
Chó ý:



ei(q-q–)r d3r = L3 qq–



ei(q+q–)r d3r = 0

[q eq] [q eq] = Q2 *
Ta đ-ợc:

19


Luận văn tốt nghiệp: Lý thuyết về sự l-ợng tử hoá lần thứ hai




2d 3r = -

Q2 (Aq Aq– ei(q+q–)r - Aq A*q– ei(q-q–)r - A*q– Aq–

q

ei(q-q–)r + A*q A*q– e -i(q+q–)r) d3r =





Q2(Aq A*q L3 + A*q Aq L3)

q

Vậy ta đ-ợc hàm năng l-ợng toàn phần cđa tr-êng
L3
Hc® =
4

víi

A q = (





Q2 (Aq A*q + A*q Aq)

( 1.3.9)

q

2c 1/2
) aq
QL3

(1.3.10)

Khi đó Hcđ và A đ-ợc viết d-ới dạng




Hcđ =

q

=
Hcđ =
A=(

1
2

1
2

L3 2c
( 3 ) Q2 (aq a*q + a*q aq)

4
QL




 QC (aq a*q + a*q aq)

q

 q (aq a*q + a*q aq)



(1.3.11)

q

2c 1/2
)
QL3



eq (aq eiqr + a*q e-iqr)

(1.3.12)

q

Từ (1.3.11) ta suy ra rằng, năng l-ợng toàn phần của tr-ờng điện từ đ-ợc
biểu diễn d-ới dạng tổng vô hạn các phần đóng góp độc lập, mỗi phần này biễu
diễn năng l-ợng của một dao động tử điều hoà t-ơng ứng với sóng phẳng có độ
phân cực và véc tơ sóng q.
Ta chuyển Hamiltonian cổ điển sang toán tử Hamiton l-ợng tử khi mô tả
l-ợng tử tr-ờng điện từ đ-ợc thực hiện bằng phép biến đổi
aq âq;

a*q â+q

(1.3.13)

Trong đó các toán tử âq và â+q lần l-ợt là toán tử huỷ và toán tử sinh các
l-ợng tử bức xạ điện từ, thoả mÃn các hệ thức giao hoán
[âq , âq] = [â+q , â+q] = 0, [©q , ©+q––] = –  q q–
20

(1.3.14)


Luận văn tốt nghiệp: Lý thuyết về sự l-ợng tử hoá lần thứ hai

Dựa vào (1.3.13) và (1.3.14) ta thu đ-ợc từ (1.3.11) và (1.3.12) các toán tử
1
2

H=
1
2

=




q ( aq a  q + a  q aq





 q(1+ a  q aq



+ a  q aq )

q

1
2

=





 q(1+2 a  q aq

eq



Q

q

1
2

+ )

q

2c 1/2
]
L3

)

q



 q( a  q aq



=

¢=[

)

q

( aq eiqr + a  q e-iqr )

(1.3.15)
(1.3.16)

Ta biết mật độ xung l-ợng đ-ợc tính theo công thức




p2
=
g=
c2
c2

do đó, xung l-ợng toàn phần trong một đơn vÞ thĨ tÝch

p = (4cL3)-1




 

[  H ] dt



Thay và H ở (1.3.8) vào ta đ-ợc
P=

1
2c
(aq a*q + a*q aq)
Qq
3
4c
QL

p=

1
2


q

q
(aq a*q + a*q aq)
L3

Xét đến các biểu thức (1.3.13) và (1.3.14) ta đ-ợc:

1

P =
2

p =


q


q

q
(âq â+q + â+q ©q + 1)
3
L

q
1
(©q ©+q +
)
3
L
2

21

(1.3.17)


Luận văn tốt nghiệp: Lý thuyết về sự l-ợng tử hoá lần thứ hai

Do tính chất đối xứng với mỗi véc tơ q có cả véctơ - q nên

q0

q


p =

do đó:




q â +q â q

(1.3.18)

q

Các toán tử năng l-ợng (1.3.15) và toán tử xung l-ợng (1.3.18) chỉ chứa các
toán tử có số l-ợng tử nq = â+q âq nên chúng là các toán tử chéo trong biểu
diễn các số lấp đầy. Do đó, trong các trạng thái với số hạt xác định ... nq>.
Năng l-ợng và xung l-ợng đ-ợc xác định bằng biểu thức
E=

q

P=




1
2

(nq + )

q

qnq

q

Nh- vậy mỗi kích thích l-ợng tử của tr-ờng điện từ fônôn có năng
và xung l-ợng q. Năng l-ợng trạng thái vacum

l-ợng

E0 =

1
2

q

= , vì số các trạng thái khả dĩ vô cùng lớn

q

Toán tử thế véc tơ (1.3.16) và các toán tử c-ờng độ điện tr-ờng và từ
tr-ờng

=i


q


H =i


q

(

(

2CQ 1/2
) eq ( ©q eiqr - ©+q e
3
L

2CQ 1/2
) [q
QL3

-iqr

)

(1.3.20)

 eq]( ©q eiqr - â+q e -iqr )

(1.3.21)

Thu đ-ợc từ (1.3.8) bằng sự thay thế (1.3.10) và chuyển tiếp sang các
toán tử sinh và huỷ theo quy tắc (1.3.13), chứa các toán tử â và â+ ở bậc nhất.


Tất cả các toán tử A, , H đều là các hàm của các tọa độ r và thời gian t
Quá trình chuyển từ các đại l-ợng cổ điển A, , H mô tả tr-ờng điện từ
sang các toán tử (1.3.16), (1.3.20) và (1.3.21) đ-ợc gọi là sự l-ợng tử hoá
tr-ờng và ta gọi là sự t-ợng tử hoá lần thứ hai.
22


Luận văn tốt nghiệp: Lý thuyết về sự l-ợng tử hoá lần thứ hai

Sự chuyển từ các đại l-ợng cổ điển sang các toán tử l-ợng tử chỉ xẩy ra

một lần. Các tọa độ mà Â, , H phụ thuộc, chứ không phải các tọa độ của các hạt
giữ vai trò thông số.
Sự l-ợng tử hoá tr-ờng điện từ t-ơng ứng với việc đ-a vào các kích thích
sơ cấp. Các l-ợng tử của tr-ờng, nghĩa là một số hạt cơ bản: các fônôn. Các
fônôn t-ơng ứng với trạng thái l-ợng tử xác định, hoàn toàn đồng nhất với nhau.
Hàm sóng biểu diễn trạng thái có n fônôn cùng một loại có dạng:

n> =

1
(â+)n 0>
n!

Hàm sóng này đối xứng với sự hoán vị các fônôn, do đó các fônôn là các
loại bose. Các fônôn bao giờ cũng chuyển động và vận tốc ánh sáng, do đó khối
l-ợng nghỉ bằng không.

23


Luận văn tốt nghiệp: Lý thuyết về sự l-ợng tử hoá lần thứ hai

Ch-ơng II
Sự l-ợng tử hoá lần thứ hai tr-ờng
t-ơng ứng với các hạt bose
Trong các mục tr-ớc chúng ta đà khảo sát l-ợng tử hoá các dao động nhỏ
của các nguyên tử trong các vật rắn và sự l-ợng tử hoá tr-ờng điện từ không
t-ơng tác với sự chuyển tiếp theo các toán tử sinh và toán tử huỷ các hạt bose.

Bây giờ chúng ta khảo sát ph-ơng pháp tổng quát l-ợng tử hoá tr-ờng t-ơng
ứng với các hạt nh- thế. Giả sử i (r,t) là các thành phần của một tr-ờng nào
đó, chẳng hạn có thể là các thành phần của tr-ờng (r,t) các dịch chuyển của
những nguyên tử khỏi các vị trí cân bằng trong vật rắn hay các thành phần của
thế véc tơ trong tr-êng ®iƯn tõ ...
Trong lý thut tr-êng cỉ ®iĨn, các hàm sóng (r,t) đ-ợc coi nh- các toạ
độ của tr-ờng (các biến động lực) đ-ợc cho tại mỗi điểm r trong không gian tại
một thời điểm xác định. Các toạ độ của tr-ờng i (r,t) thoả mÃn các ph-ơng
trình chuyển động xác định. Các ph-ơng trình chuyển động của các toạ độ
tr-ờng có thể đ-ợc viết d-ới hình thức Lagrangiên, nếu ta đ-a vào mật độ hàm
Lagrage L(i) là phiếm hàm của i (r,t) và các đạo hàm cấp 1 theo thời gian và
các toạ độ không gian. Hàm Lagrangiên của tr-ờng đ-ợc xác định bằng tích
phân lấy theo toàn bộ không gian của mật độ hàm Lagrange



L=

l ( i ) d 3 r

Từ nguyên lý biến phân


t2
t1

t2

Ldt =   t

l(i ) d3rdt = 0

1

24

(2.1.1)


Luận văn tốt nghiệp: Lý thuyết về sự l-ợng tử hoá lần thứ hai

Trong đó độ lấy biến phân đ-ợc tiến hành độc lập đối với mỗi thành phần
của tr-ờng với điều kiện cho các độ biến phân i bằng 0 tại các giá trị t = t1,
t2 và ở trên mặt bao thể tích trong đó ta xét tr-ờng. Các toạ độ của tr-ờng là các
hàm sóng i có thể là phức. Khi đó L phụ thuộc vào i và *i và sự lấy biến
phân ở trong (2.1.1) đ-ợc tiến hành một cách độc lập, vì tr-ờng phức t-ơng
đ-ơng với hai tr-ờng thực độc lập
Các ph-ơng trình chuyển động suy từ (2.1.1) có thể đ-ợc viết d-ới dạng
3
d L

L
L
=0

[
]

dt  ( i ) k 1 xk ( i ) i
t
xk

(2.1.2)

Với mỗi thành phần của tr-ờng i có thể đối ứng một xung l-ợng liên
hợp chính tắc:

i =

L
i
(
)
t

(2.1.3)

Khi đó mật độ Hamitonian đ-ợc xác định bởi biểu thức
H=


i

Còn Hamitonian toàn phần

i

i
-L
t

(2.1.4)

Hcđ = H d 3 r

Sự chuyển từ các đại l-ợng cổ điển, các toạ độ của tr-ờng, sang các đại
l-ợng l-ợng tử bao gồm ở sự thay thế i và các xung l-ợng liên hợp chính tắc i
bằng các toán tử t-ơng ứng thoả mÃn các hệ thức giao hoán xác định. Vì i và

i phụ thuộc vào thời gian nên các toán tử thu đ-ợc cũng phụ thuộc vào thời
gian, kết quả này t-ơng ứng với phép biểu diễn Heisenberg. Các hệ thức giao
hoán giữa các toạ độ và xung l-ợng của tr-ờng đ-ợc thiết lập t-ơng tự với các

25