SKKN chuyên đề sự biến thiên của hàm số bậc hai

Tóm
Tóm tắt
tắt về
về sự
sự biến
biến thiên
thiên và
và đồ
đồ thị
thị của
của hàm
hàm số
số
22
bậc
hai
y=
ax
bậc hai y= ax ++ bx+c
bx+c (a≠
(a≠ o)
o)
Bảng biến thiên
x
y
(a >o)

x
y
(a

-∞

−b
2a

+∞

Đồ thị
+∞
+∞

−∆
4a
-∞

−b
2a

−b
2a

−∆
4a

x
y
−∆
4a

+∞

−∆
4a

-∞

y

-∞

−b
2a

x


y sè
=sè
Bµi
sè
1:
Cho
hµm
sè
yf =( x)f =( x−)3=x −+32xx ++12 x + 1
Bài
Cho
hàm
Bài

sốsố
1:1:
Cho
hàm
số
Bài
số
1:
Cho
hàm
fhàm
(x) số
1.
biến
thiên
hàm
Lập
bảng
biến
thiên
fthiên
(xsố
) của
1. Lập
Lậpbảng
bảng1.
biến
thiên
của
hàm

số
1.
Lập
bảngcủa
biến
củahàm
số
2.
nghịch
trên
fm
(x
(m
;2 m )
2. Tìm
Tìmnhững
nhữnggiá
giátrị
trịcủa
của
m)để
để
nghịchbiến
biến
trên
[0;3]
f (x)
khoảng
khoảng
3.

trịgiải
nhỏ
trên
3. Tìm
Tìmgiá
giátrị
trịlớn
lớnnhất,
nhất,giá
giá
nhỏnhất
nhấtcủa
của
trên
Bài
2 trị

3
x
+
2
x
+
m
=
0
on
on
1. f(x) làtheo
hàm số bậcsố

hai,
có:
4.
m
số
của
ph
ơng
4. Biện
Biệnluận
luận theotham
tham
số
m
sốnghiệm
nghiệm
của
ph
ơngtrình
trình
b
b
'
1


'
4
sau:

= = ;

= =
sau: a = 3 < 0;
2

2a

Suy ra Bảng biến
thiên:

x



y


a

3

2

4a

1
3
4
3

a

3

+





x

−∞

y

1
3

+∞

4
3

−∞

−∞

f (x
2.
m
2. Tìm
Tìmnhững
nhữnggiá
giátrị
trịcủa
của
m) để
để
khoảng
khoảng
Hàm số y = f ( x) = −3 x 2 + 2 x + 1
 1 khoảng

nghịch biến trên
;+
3

f (x) nghịch biến
trên khoảng(m;2 m)

1

⇔ (m;2 − m) ⊂  ;+∞ 
3

m < 2 − m


⇔
1
m
≥

3

1
≤ m <1
3
1 
(hay m ∈  ;1)
3 

⇔

( mtrên
;2 m )
nghịch
nghịchbiến
biến
trên

1

đồng biến trên khoảng
;
3

. Do ®ã:

x

−∞

1
3

,

+∞

4
3

y
−∞

−∞


[0;3]

fnhất
(x) của
3.
3. Tìm
Tìmgiá
giátrị
trịlớn

lớnnhất,
nhất,giá
giátrị
trịnhỏ
nhỏnhất
của
trên
trênon
on
Vì f (0) = 1; f (3) = 20
biến thiên

f (x)

của

x

, ta có bảng

trên đoạn [0;3] nh sau:

∞x

0

y

y

−∞
Vậy:

1
0 3

0

1
1

4
1
max y = = f  ;
3
[ 0; 3 ]
3
min y = −20 = f (3).
[ 0;3 ]

1
3
44
33

33

+∞

-20
-20

−∞


4.
4.Biện
Biệnluận
luậntheo
theotham
thamsố
sốm
msố
sốnghiệm
nghiệmcủa
củaph
phơng
ơng
trình
2
trìnhsau:
sau:

3x + 2 x + m = 0

ã Phơng trình trên tơng đơng với phơng trình:
3x 2 + 2 x + 1 = 1 m
ã Do đó, số nghiệm của phơng trình là số giao điểm của
hai

y = 1 m
y = đồ
f ( x)thị:
= 3x 2 + 2 x + 1
và
(Đường thẳng cùng phương
4 Oy tại điểm có tung độ 1- m)
với trục Ox, cắt trục
• TH1: Nếu 1 − m >
1
3
1
x
+∞
−
∞
⇔ m < − thì phương
3
3
trình vơ nghiệm.
4
• TH2: Nếu 1 − m =
4
3
1
⇔ m = − thì phương y=f(x)
3
3
trình có đúng một
nghiệm.

• TH3: NÕu1 − m <
m>

1
3

4
3

thì phơng
trình có hai nghiệm
phân biệt.



Kt lun:




Bài
Bàisố
số2:
2: Tìm
Tìmgiá
giátrị
trịlớn
lớnnhất
nhấtvà
vàgiá

giátrị
trịnhỏ
nhỏnhất
nhấtcủa
củahàm
hàm
số:
2
2
số:

y = f ( x) = 4 x + 2 4 x 3
Bài giải:

D = [ 2; 2]
ã Tập xác định:
ã Đặt t = 4 x 2 , 0 ≤ t ≤ 2
y = g (t ) = t 2 + 2t − 3, t [ 0;2]
ã Hàm số đà cho trở thành
ã Ta có bảng biến thiên của hàm số g(t) nh
sau:
Vậy:

max f ( x) = max g (t ) = 5
[ − 2; 2 ]

t

-1

0

2

+∞

5

+∞

[ 0; 2 ]

min f ( x) = min g (t ) = −3
[ − 2; 2 ]

−∞
+∞

[ 0; 2 ]

g(t)
-3
-4


Bài
Bàisố
số3:
3:Tìm
Tìmnhững

nhữnggiá
giátrị
trịcủa
củatham
thamsố
số m
msao
saocho
choph
phơng
ơng
( x + 1)(1 x ) 2m = 0
trình
trìnhsau
sau
có
biệt:
cóba
banghiệm
nghiệmphân
phân
biệt:
Bài
giải:
(1)
(1)

(1) ( x + 1)(1 x ) = 2m

 x 2 + 2 x + 1 víi x ≤ 0


XÐt hµm sốf ( x ) = ( x + 1)(1 − x ) =  2
− x + 1 víi x > 0

-1
0
x
−∞
f1 ( x) = x 2 + 2 x + 1

f 2 ( x) = x + 1
2

f(x)

+
+

+
0
1


+


1
0

Vậy: Phơng trình f(x)= 2m có ba nghiƯm

ph©n biƯt

−∞

⇔ 0 < 2m < 1 ⇔ 0 < m <

1
2


Kết
Kết luận:
luận: Ta
Ta có
có thể
thể sử
sử dụng
dụng bảng
bảng biến
biến thiên
thiên cđa
cđa hµm
hµm
sè
sè bËc
bËc hai
hai
2
yy =
= ax

ax2 +
+ bx
bx +
+ cc (a
(a o)
o) vào
vào các
các mục
mục đích:
đích:

1. Nhận biết sự biến thiên của hàm số bậc hai trên một
khoảng đà chỉ ra.
2. Giải bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm
số bậc hai trên một đoạn, một khoảng hay nửa khoảng đÃ
chỉ ra. (Mở rộng với những hàm số quy về hàm số bậc hai
sau khi đặt ẩn phụ).
3. Giải bài toán biện luận số nghiệm của phơng trình bậc hai
(hoặc quy về bậc hai) tùy theo giá trị của tham số (trong
trờng hợp có thể cô lập đợc tham số).


Bài tập
Bài 1: Tìm những giá trị của tham số m tháa m·n ®iỊu kiƯn:
2
a) f(x) =− x + ( m 1) x + 2
nghịch biến trên khoảng
( 1;2 )
2
1;2 )

b) f(x) =mx − ( m − 2 ) x + m 3
đồng biến trên (khoảng
2
1;+ )
c) f(x) = mx + ( m + 2 ) x + m
đồng biến trên (khoảng
Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số
sau:2 1
1

a ) y = x + 2 + 2  x + ÷+ 8
x
x

2

 2x 
 2x 
b ) y =  2 ÷ − 2  2 ÷− 1
 x +1 
 x +1 2
2
( x + 2 x + 2) − 4 ( x2 + 2 x + 2) + 6 = m
Bài 3: Cho phơng trình
Với giá trị nào của m, phơng trình đà cho:
a) Có nghiệm.
2
b) Có nghiÖm duy nhÊt.
x2 + 2 x − 4 x2 = m + 8x 5
Bài 4: Tìm những giá trị cđa tham sè m ®Ĩ pt:

( x − 2) 2 + x m 3
có đúng hai nghiệm.
Bài 5: Tìm những giá trị của m để với mọi x ta có:

(

)

Bài 6: Cho tam giác ABC vuông cân đỉnh A, AB = AC = a. Với
điểm M thuộc cạnh BC (không trùng B hoặc C), dựng hình
chữ nhật MNPQ sao cho N thuộc cạnh BC và P và Q thuéc hai