Chuyên đề thể tích khối đa diện có yếu tố góc ôn thi tốt nghiệp THPT có đáp án và lời giải

thuvienhoclieu.com
CHUN ĐỀ: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN CĨ YẾU TỐ GĨC
I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
1. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
 Định nghĩa:
d ⊥ ( P ) ⇒ (·d ; ( P ) ) = 900
Nếu

Nếu

d ⊥ ( P ) ⇒ (·d ; ( P ) ) = (·d ; d ' ) = (· AIH )

(

)

với

d'

là hình chiếu của d lên

( P)

00 ≤ d· ; ( P ) ≤ 900

Chú ý:
2. Góc giữa hai mặt phẳng
 Định nghĩa:
a b
Cách 1: Dùng định nghĩa: Tìm hai đường thẳng ,

lần lượt vng góc với hai mặt
( P)
( Q)
( P)
( Q)
phẳng
và
. Khi đó, góc giữa hai mặt phẳng
và
chính là góc giữa hai
đường thẳng a và b
b
a

α

ϕ

c

β

Cách 2: Ta thực hiện theo 2 bước
Bước 1: Tìm giao tuyến d của hai mặt phẳng (P) và (Q).
Bước 2: Tìm 1 điểm I thuộc d sao cho trong mp (P) ta dễ dàng tìm được một
đường thẳng a đi qua I và vng góc với đường thẳng d và trong mp(Q) ta tìm được
một đường thẳng b cũng đi qua I và vng góc với đường thẳng d.
Khi đó: Góc giữa hai mp(P) và mp(Q) chính bằng góc giữa a và b

5. Thể tích khối đa diện

a. Cơng thức tính thể tích khối chóp
1
V = S.h
3

h

B

thuvienhoclieu.com

Trang


thuvienhoclieu.com
h
S
Trong đó:
là diện tích đáy,
là chiều cao khối chóp.
Chú ý: Cho khối chóp S.ABC và A ' , B ' , C ' là các điểm tùy ý lần lượt thuộc SA , SB ,
SC ta có

VS.A 'B'C ' SA ' SB ' SC '
=
.
.
VS.ABC
SA SB SC
b. Công thức thể tích khối lăng trụ :

V = B.h

(

B

.

là diện tích đáy,

h

là chiều cao)

XÁC ĐỊNH CHIỀU CAO THƯỜNG GẶP
a) Hình chóp có một cạnh bên
S.ABC
có
vng góc với đáy: Chiều cao của Ví dụ: Hình chóp
SA
hình chóp là độ dài cạnh bên vng
cạnh bên
vng góc với mặt
góc với đáy.
SA ^ (ABC )
phẳng đáy, tức
thì
SA.
chiều cao của hình chóp là

b) Hình chóp có 1 mặt bên
S.ABCD
Ví
dụ:
Hình
chóp
có
vng góc với mặt đáy: Chiều cao
(
SAB
)
của hình chóp là chiều cao của tam
mặt bên
vng góc với
giác chứa trong mặt bên vng góc
(ABCD)
với đáy.
mặt phẳng đáy
thì
chiều cao của hình chóp là
SH
D SAB .
là chiều cao của
c) Hình chóp có 2 mặt bên
S.ABCD
Ví
dụ:
Hình
chóp
có

vng góc với mặt đáy: Chiều cao
(
SAB
)
(
SAD
)
của hình chóp là giao tuyến của hai
hai mặt bên
và
mặt bên cùng vng góc với mặt
cùng
vng
góc
với
mặt đáy
phẳng đáy.
(ABCD)
thì chiều cao của
SA.
hình chóp là
d) Hình chóp đều:
Chiều cao của hình chóp là đoạn
thẳng nối đỉnh và tâm của đáy. Đối
với hình chóp đều đáy là tam giác
thì tâm là trọng tâm G của tam giác
đều.

Ví dụ: Hình chóp đều
S.ABCD

có tâm đa
giác đáy là giao điểm
của hai đường chéo
ABCD
hình vng
thì
SO.
có đường cao là

thuvienhoclieu.com

Trang


thuvienhoclieu.com
XÁC ĐỊNH DIỆN TÍCH ĐÁY HAY GẶP
1. Diện tích tam giác vng.
S= nửa tích 2 cạnh góc vng.
 Pitago:

AB 2 + AC 2 = AC 2

2. Diện tích tam giác đều.
 S= (cạnh)2.
 h= (cạnh).
3. Diện tích hình vng:
. S= (cạnh)2
AB 2 + AD 2 = BD 2
. Pitago:
.Đường chéo hình vng bằng cạnh.

2

4. Diện tích hình chữ nhật:
. S= dài x rộng.

5. Diện tích hình thoi:
1
S = .AC .BD
2
.
. S= 2.SABC=2.SADC
6. Diện tích hình thang:
. S= nửa chiều cao x (đáy lớn+bé)
1
S = AH .( AB +CD )
2
.
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
 Thể tích khối đa diện
 Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
 Góc giữa hai mặt phẳng
 Cơng thức tỉ số thể tích
 Khoảng cách từ 1 điểm tới mặt phẳng
 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
BÀI TẬP MẪU
(ĐỀ MINH HỌA-BDG 2020-2021) Cho hình chóp

S . ABC

ABC

là tam giác
( SBC )
a
SA
SA
đều cạnh , cạnh bên
vng góc với đáy, góc giữa
và mặt phẳng
bằng
45°
S . ABC
( tham khảo hình bên). Thể tích của khối chóp
bằng:
thuvienhoclieu.com

có đáy

Trang


thuvienhoclieu.com

A.

a3
8

B.

a3
4

.
C.
.
D.
.
Phân tích hướng dẫn giải
1. DẠNG TOÁN: Đây là dạng tốn tính thể tích biết chiều cao khối đa diện biết góc
giữa mặt bên và mặt đáy.
2. HƯỚNG GIẢI:
B1: Tính diện tích đáy
V = S .h
B2: tính thể tích khối lăng trụ
Từ đó, ta có thể giải bài tốn cụ thể như sau:
Lời giải
Chọn A
BC ⊥ ( SAM )
BC
AM ⊥ BC
SA ⊥ BC
M
Gọi
là trung điểm
thì
và
nên
.

α = ·ASM = 45°
Từ đây dễ thấy góc cần tìm là
.
a 3
SA = AM =
SAM
2
A
Do đó tam giác
vng cân tại
và
.
2
3
1 a 3 a 3 a
VS . ABC = .
.
=
3 2
4
8
Suy ra
Bài tập tương tự và phát triển:
 Mức độ 1
3a 2
2a
Câu 1. Cho hình chóp có diện tích mặt đáy là
và chiều cao bằng
. Thể tích
của khối chóp bằng

6a 3
2a 3
3a 3
a3
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Lời giải
Chọn B
1
1
V = S đ .h = 3a 2 .2a = 2a 3
3
3
Ta có
.
Câu 2.

.

3a 3
12

3a 3
8

h
3B
của khối chóp có chiều cao bằng và diện tích đáy bằng
là
1
1
V = Bh
V = Bh
V = 3Bh
V = Bh
3
6
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Lời giải
Chọn D
Thể tích

V

thuvienhoclieu.com

Trang

thuvienhoclieu.com
Ta có
Câu 3.

1
V = .3B.h = Bh
3

.

2
Khi tăng độ dài các cạnh của một khối chóp lên
lần thì thể tích của khối
chóp thay đổi như thà nào?
8
4
2
A. Tăng lần. .
B. Tăng lần..
C. Tăng lần.
D. Khơng thay đổi.
Lời giải
Chọn B

Thể tích khối chóp là:

Câu 4.

Câu 5.

Câu 6.

1
V = B.h
3

.

2
22 = 4
Độ dài cạnh đáy tăng lên lần thì diện tích mặt đáy tăng
lần.
2
2
Cạnh bên tăng lên lần thì chiều cao của hình chóp tăng lên lần.
2
Vậy khi tăng độ dài các cạnh của một khối chóp lên
lần thì thể tích của
8
khối chóp tăng lên lần.
h
B
Cơng thức tính thể tích của khối chóp có diện tích đáy
và chiều cao là
4
1
1
V = Bh

V = Bh
V = Bh
V = Bh
3
3
2
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Lời giải
Chọn B
h
B
Cơng thức tính thể tích của khối chóp có diện tích đáy
và chiều cao
là
1
V = Bh
3
.
S . ABCD
S
A B C D
Khối chóp
có , , ,

cố định và
chạy trên đường thẳng song
AC
S . ABCD
song với
. Khi đó thể tích khối chóp
sẽ:
A. Giảm phân nửa.. B. Tăng gấp đôi.. C. Tăng gấp bốn. D. Giữ nguyên..
Lời giải.
Chọn D
S
AC
∆
Gọi
là đường thẳng qua
và song song
.
1
V = B.h
3
Ta có:
∆ P( ABCD ) ⇒ d ( S , ( ABCD ) ) = d ( ∆, ( ABCD ) ) = h
AC
∆
+ song song
nên
không đổi.
ABCD
A B C D
+ , , ,

cố định nên diện tích tứ giác
cũng khơng đổi.
S . ABCD
Vì vậy thể tích khối chóp
sẽ giữ ngun.
( H)
2a 3
a 2
Cho khối chóp
có thể tích là
, đáy là hình vng cạnh
. Độ dài
(H)
chiều cao khối chóp
bằng.

thuvienhoclieu.com

Trang


A.

3a

.

B.

a

thuvienhoclieu.com
4a
.
C.
.
Lời giải

D.

2a

.

Chọn A
1
1
6a 3
V = B.h = ( 2a ) 2 = 2a 3 ⇒ h = 2 = 3a
3
3
2a
Câu 7.

Câu 8.

S . ABCD

.
ABCD

a
Cho hình chóp
có đáy
là hình vng cạnh
và thể tích bằng
3
h
a
.Tính chiều cao của hình chóp đã cho.
h = 3a.
h = a.
h = 2a.
h = 3a.
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Lời giải
Chọn C
1
3V 3a3
V = S .h ⇒ h =
= 2 = 3a.
3
S

a
Ta có:
.
S . ABC
2a
3a 3
Cho hình chóp
có đáy là tam giác đều cạnh
và thể tích bằng
.
h
Tính chiều cao của hình chóp đã cho.
3a
3a
3a
h=
h=
h=
h = 3a
3
2
6
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.

Lời giải
Chọn C
S∆ABC

( 2a )
=

Do đáy là tam giác đều nên
1
3V
3a 3
V = S∆ABC .h ⇒ h =
=
= 3a
3
S ∆ABC a 2 3
Mà
.
Câu 9.

2

3

4

= a2 3
.

5

Nếu độ dài chiều cao của khối chóp tăng lên
lần, diện tích đáy khơng đổi
thì thể tích của khối chóp sẽ tăng lên
5
20
15
10
A. lần.
B.
lần.
C.
lần.
D.
lần.
Lời giải
Chọn A
5
Thể tích khối chóp sẽ tăng lên lần.

a
S . ABC
4a
Câu 10. Cho hình chóp
có đáy là tam giác đều cạnh
và chiều cao
. Tính
thể tích của hình chóp đã cho.
2a 3 3
4a 3 3
a3 3

a3 3
V=
V=
V=
V=
3
3
3
4
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Lời giải
Chọn C
a2 3
S ∆ABC =
4
Do đáy là tam giác đều nên
.
thuvienhoclieu.com

Trang


thuvienhoclieu.com

1
1 a 3
a3 3
V = S∆ABC .h = .
.4a =
3
3 4
3
Mà
.
S . ABC
ABC
A AB = a
Câu 11. Cho hình chóp tam giác
có đáy
là tam giác vng tại ,
,
AC = 2a
SA
SA = a
, cạnh bên
vng góc với mặt đáy và
. Tính thể tích V của
S . ABC
khối chóp
.
a3
a3
a3
V=

V=
V=
V = a3
2
3
4
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Lời giải
Chọn B
2

B = S ABC =

1
a.2a = a 2
2

Diện tích đáy
h=a
Chiều cao:
1
1
a3

VABCA ' B 'C ' = B.h = a 2 .a =
3
3
3

S . ABC
ABC
Câu 12. Cho hình chóp tam giác
có đáy
là tam giác đều cạnh a , cạnh
SA
SA = a
bên
vuông góc với mặt đáy và
. Tính thể tích V của khối chóp
S . ABC
.
2a 3
a3 3
a3 3
a3 3
V=
V=
V=
V=
12
3
4
3
A.

B.
C.
D.
.
Lời giải
Chọn B

thuvienhoclieu.com

Trang


B = S ABC

thuvienhoclieu.com
a 3
=
4
2

Diện tích đáy
h=a
Chiều cao:
1
1 a2 3
a3 3
VABCA ' B ' C ' = B.h =
.a =
3
3 4

12

( ABC )

ABC
vng góc với
, đáy
là tam giác
( ABC )
SB
30°
A BC = 2a
vng cân tại ,
, góc giữa
và
là
. Tính thể tích khối
S . ABC
chóp
.
3
a 6
a3 6
a3 3
a3 2
9
3
3
4
A.

.
B.
.
C.
.
D.
.
Lời giải
Chọn A

Câu 13. Cho khối chóp

AB

S . ABC

có

SA

SB

( ABC )

SB

( ABC )

Ta có
là hình chiếu của

lên
suy ra góc giữa
và
là
·
SBA
= 30°
góc
.
ABC
A BC = 2 a ⇒ AB = AC = a 2
Tam giác
vuông cân tại ,
.
3 a 6
SA = AB.tan 30° = a 2.
=
∆SAB
3
3
A
Xét
vng tại
có
.
1
1
1 a 6 2 a3 6
S ABC = AB 2 = a 2
VS . ABC = .SA.S ABC = .

.a =
2
3
3 3
9
Ta có
. Vậy
.
S . ABCD
ABCD
AB = a AD = a 3 SA
Câu 14. Cho khối chóp
có đáy
là hình chữ nhật,
,
,
( SBC )
60o
vng góc với mặt phẳng đáy và mặt phẳng
tạo với đáy một góc
.
V
S . ABCD
Tính thể tích
của khối chóp
.

thuvienhoclieu.com

Trang

A.

V = 3a 3

.

thuvienhoclieu.com
3a 3
V=
V = a3
3
B.
.
C.
.
Lời giải

V=
D.

a3
3

.

Chọn C

Ta có

S ABCD = AB. AD = a.a 3 = 3a 2

Dễ thấy

.
·
BC ⊥ AB; BC ⊥ SB ⇒ SBA = 60o

(

SAB µA = 1v

)

.

tan 60o =

SA
⇒ SA = AB tan 60o = a 3
AB

Xét tam giác vng
có:
1
1
VS . ABCD = S ABCD .SA = a 2 3.a 3 = a 3
3
3

Vậy
.
S . ABC
SA = a
ABC
Câu 15. Cho hình chóp
có
và vng góc với đáy
. Biết rằng tam
( SBC )
( ABC )
ABC
30°
giác
đều và mặt phẳng
hợp với đáy
một góc
. Tính
V
S . ABC
thể tích của khối chóp
.
3
3
2a
a3
a 3
a3 3
V=
V=

V=
V=
3
12
3
3
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Lời giải:
Chọn A

Gọi

I

là trung điểm

BC ,

ta có

¶ = 30°
SIA

thuvienhoclieu.com

Trang


thuvienhoclieu.com
SA = a ⇒ AI = a 3
SIA
A
Xét tam giác
vuông tại
ta có
3
AI = AB
⇒ AB = 2a.
2
Ta có
3
S ABC = AB 2
= a2 3
4
Diện tích
1
a3 3
V = .SA.S ABC =
3
3
Thể tích
( ABC )
S . ABC

SA
ABC
Câu 16. Cho khối chóp
có
vng góc với
, đáy
là tam giác
( ABC )
SB
30°
A BC = 2a
vuông cân tại ,
, góc giữa
và
là
. Tính thể tích khối
S . ABC
chóp
.
3
a 6
a3 6
a3 3
a3 2
9
3
3
4
A.
.

B.
.
C.
.
D.
.
Lời giải:
Chọn A

AB

SB

( ABC )

SB

( ABC )

là hình chiếu của
lên
suy ra góc giữa
và
là góc
·
SBA
= 30°
.
ABC
A BC = 2a ⇒ AB = AC = a 2

Tam giác
vuông cân tại ,
.
3 a 6
SA = AB.tan 30° = a 2.
=
3
3
.
1
S ABC = AB 2 = a 2
2
.
1
1 a 6 2 a3 6
VS . ABC = .SA.S ABC = .
.a =
3
3 3
9
.
S . ABC
ABC
2a
SAB
Câu 17. Cho hình chóp
có đáy
là tam giác đều cạnh
, tam giác
là

tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vng góc với mặt đáy. Tính thể tích
S . ABC
khối chóp
.
thuvienhoclieu.com

Trang


thuvienhoclieu.com
3

A.

a
V=
2

.

B.

V = a3

.

C.

3a 3
V=

2

.

D.

V = 3a 3

.

Lời giải:
Chọn B

H
AB
Gọi
là trung điểm của
.

( SAB ) ⊥ ( ABC )

( SAB ) ∩ ( ABC ) = AB 
 ⇒ SH ⊥ ( ABC )
SH ⊥ AB


SH ⊂ ( SAB )


AB 3

AB 2 3
= a 3 S ABC =
= a2 3
2
4
,
.
1
VS . ABC = SH .S ABC = a 3
3
.
S . ABCD
ABCD
SAB
Câu 18. Cho hình chóp
có đáy
là hình chữ nhật. Tam giác
đều và
( ABCD )
SD = 2a 3
nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy
. Biết
( ABCD )
SC
300
và góc tạo bởi đường thẳng
và mặt phẳng
bằng
. Tính thể
V

S . ABCD
tích của khối chóp
.
3
3
2a 3
a 3
a3 3
4a 3 6
V=
V=
V=
V=
7
13
4
3
A.
.
B.
.
C.
D.
Lời giải
Chọn D.
SH =

…
thuvienhoclieu.com

Trang


thuvienhoclieu.com
·
SI = SC.sin SCI
= 2a 3.sin 300 = a 3

SC = SD = 2a 3
Ta có
,
·
CI = SC.cos SCI = 2a 3.cos300 = 3a
SI =

AB 3
⇒ AB = 2a
2

Từ đó:

Vậy

S ABCD

,

.

BC = CI 2 − BI 2 =

.
= AB.BC = 2a.2a 2 = 4a 2 2

( 3a )

1
1
4a 3 6
VS . ABCD = .S ABCD .SI = .4a 2 2.a 3 =
3
3
3

2

− a 2 = 2a 2

.

A
B AB = BC = a
có đáy là hình thang vng tại
và ,
,
ABCD
(
)
AD = 2a
S

. Hình chiếu của
lên mặt phẳng
trùng với trung điểm cạnh
SC = a 5
V
S . ABCD
a
AB
. Biết rằng
. Tính theo
thể tích
của khối chóp
.
3
3
3
3
a 5
a 15
a 15
2a 5
V=
V=
V=
V=
4
3
4
3
A.

B.
.
C.
.
D.
.
Lời giải
Chọn C.

Câu 19. Cho hình chóp

Gọi

Nên

M

S . ABCD

MC = BC 2 + MB 2 =

AB
là trung điểm
. Ta có:
1 a 15 ( a + 2a ) a a 3 15
VS . ABCD =
.
=
3 2
2

4

.
S . ABC

a 5
2

Câu 20. Cho khối chóp tam giác đều
có cạnh đáy bằng
2a
V
S . ABC
. Tính thể tích
của khối chóp
13a 3
11a 3
11a 3
V=
V=
V=
12
12
6
A.
.
B.
.
C.
.

Lời giải
Chọn B.

thuvienhoclieu.com

SM =

suy ra

a

a 15
2

.

và cạnh bên bằng

V=

D.

11a 3
4

.

Trang

thuvienhoclieu.com

Do đáy là tam giác đều nên gọi

I

là trung điểm cạnh

BC

, khi đó

AI = a 2 −
đường cao của tam giác đáy. Theo định lý Pitago ta có
2
2a 3 a 3
AO = AI =
=
3
3.2
3
.

Trong tam giác

SOA

vuông tại

O

SO = 4a 2 −

AI

là

2

a
a 3
=
4
2

, và

a2
11a
=
3
3

ta có
1 1 a 3 11a
11a 3
V= . a
.
=
3 2

2
12
3

S . ABC
Vậy thể tích khối chóp
là
.
 Mức độ 2
S . ABCD
a SA
Câu 1. Cho khối chóp
có đáy là hình vng cạnh ,
vng góc với đáy
( SAB )
SC
300.
V
và
tạo với mặt phẳng
một góc
Tính thể tích
của khối chóp
đã cho.
2a 3
6a 3
2a 3
V=
V=
V=

V = 2a 3
3
3
3
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Lời giải
Chọn A

Ta có

·
CB ⊥ ( SAB ) ⇒  SC ; ( SAB )  = ( SC ; SB ) = CSB
= 300

Suy ra

SB = BC.cot 300 = a 3; SA = SB 2 − AB 2 = a 2

1
2a 3
V = S ABCD .SA =
3
3

Câu 2.

Thể tích khối chóp :
.
S . ABCD
ABCD
AB = a BC = 2a
Cho hình chóp
có đáy
là hình chữ nhật
,
,
thuvienhoclieu.com

Trang


thuvienhoclieu.com

SA = 2a

,
S . ABCD

A.

8a 3
3

( ABCD )
vng góc với mặt phẳng
. Tính thể tích khối chóp
a
tính theo .
4a 3
6a 3
4a 3
3
3
B.
C.
D.
Lời giải
SA

Chọn B

Ta có

S ABCD = AB.CD = 2a 2

.
1
4a 3
1
VS . ABCD = SA.S ABCD = 2a.2a 2 =
3
3
3

Câu 3.

S . ABCD
Thể tích khối chóp
là
.
S . ABC
ABC
C AB = a 5 AC = a
Cho hình chóp
có đáy là tam giác
vuông tại ,
,
.
( ABC )
SA = 3a
Cạnh bên
và vuông góc với mặt phẳng
. Tính thể tích khối
S . ABC
chóp
.
3
a 5
.
a3.
3a 3 .
2a 3 .
2

A.
B.
C.
D.
Lời giải
Chọn B.

ABC

Vì tam giác
vng tại
1
1
S ABC = AC.BC = .a.2a = a 2 .
2
2
1
1
VS . ABC = SA.S ABC = .3a.a 2 = a 3
3
3

Câu 4.

C

nên

(đvtt).

BC = AB 2 − AC 2 = 5a 2 − a 2 = 2a.

.
ABCD

AB = a BC = 2a
là hình chữ nhật,
,
,
( ABCD )
SA
SA = 3a
đường thẳng
vng góc với mặt phẳng
và
. Thể tích của
S . ABCD
khối chóp
bằng
3
2a
3a 3
6a 3
a3
A.
.
B.
.
C.
.

D.
.
Lời giải
Chọn A
Cho hình chóp

S . ABCD

có đáy

thuvienhoclieu.com

Trang


thuvienhoclieu.com

Áp dụng cơng thức tính thể tích khối chóp ta có
Câu 5.

S . ABC

1
VS . ABCD = .a.2a.3a
= 2a 3
3

SA

.

( ABC )

Cho hình chóp
có cạnh bên
vng góc với mặt phẳng đáy
.
SA = a
ABC
a
A AB = 2a
Biết
, tam giác
là tam giác vng cân tại ,
. Tính theo
V
S . ABC
thể tích
của khối chóp
.
3
a
a3
2a 3
V=
V
=
V
=
V = 2a 3

2
6
3
A.
B.
C.
D.
Lời giải

Chọn D
Ta có:
Câu 6.

1
1
1
1
2
2
V = .SA.S∆ABC = SA. . AB. AC = .a. ( 2a ) = a 3
3
3
2
6
3

SA ⊥ ( ABC )

ABC
3

, tam giác
có độ dài
( ABC )
AB = 5a BC = 8a AC = 7a
SB
45°
cạnh là
;
;
, góc giữa
và
là
. Tính thể tích
S . ABC
khối chóp
.
50 3 3
50 3
50 7 3
a
a
a
3
50 3a
3
3
3
A.
.
B.

.
C.
.
D.
.
Lời giải
Chọn B
Cho khối chóp tam giác

S . ABC

(dvtt).

có

thuvienhoclieu.com

Trang


thuvienhoclieu.com

Ta có nửa chu vi

Câu 7.

∆ABC

p=

AB + AC + BC
= 10a
2

là
S∆ABC = 10a.5a.3a.2a = 10 3a 2

.

∆ABC
Diện tích
là
.
SA ⊥ ( ABC )
∆SAB
SA = AB = 5
A
nên
vuông, cân tại
nên
.
1
1
50 3 3
VS . ABC = SA.S ∆ABC = 5a.10 3a 2 =
a
S . ABC
3
3
3

Thể tích khối chóp
là
.
( SAC )
( ABC )
S . ABC
Cho hình chóp
có mặt phẳng
vng góc với mặt phẳng
,
a 3 BC = a 3
SAB
SC
là tam giác đều cạnh
,
đường thẳng
tạo với mặt
( ABC )
60°
S . ABC
phẳng
góc
. Thể tích của khối chóp
bằng

A.

a3 3
3

.

B.

a3 6
2

a3 6
6

.

C.
Lời giải

.

D.

2a 3 6

.

Chọn C

Ta thấy tam giác
BH ⊥ AC.
Do

( SAC ) ⊥ ( ABC )

ABC

nên

cân tại

B

, gọi

BH ⊥ ( SAC )

H

là trung điểm của

AB

suy ra

.

thuvienhoclieu.com

Trang


thuvienhoclieu.com
ABC

B
Ta lại có
nên
thuộc trục đường trịn ngoại tiếp tam giác
SAC ⇒ SA ⊥ SC
⇒H
là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
.
·
( ABC ) ⇒ SCA
AC
SC
= 600
Do
là hình chiếu của
lên mặt phẳng
.
SA
AC =
= 2a
2
2
SC = SA.cot 600 = a
⇒ HC = a ⇒ BH = BC − HC = a 2
sin 600
Ta có
,
.
3
1

1
a 6
VS . ABC = 3 BH .S SAC = 6 BH .SA.SC = 6
.
S . ABCD
ABCD
2a
SB
Cho hình chóp
có đáy
là hình vng cạnh
, cạnh
vng
°
( SAD )
60
góc với đáy và mặt phẳng
tạo với đáy một góc
. Tính thể tích khối
S . ABCD
chóp
.
3
3a 3
3a 3 3
8a 3 3
4a 3 3
V=
V=
V=

V=
4
8
3
3
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Lời giải
Chọn C

BA = BC = BS

Câu 8.

SB ⊥ ( ABCD ) 
 ⇒ SB ⊥ AD
AD ⊂ ( ABCD ) 

Ta có:
( SAD ) ∩ ( ABCD ) = AD 

AB ⊥ AD, AB ⊂ ( ABCD )  ⇒

SA ⊥ AD, SA ⊂ ( SAD ) 

Ta có:
Câu 9.

AD ⊥ AB ⇒ AD ⊥ SA

.

·
= 60
( ( SAD ) ; ( ABCD ) ) = ( SA; AB ) = SAB

SB = BD.tan 60° = 2a 3

S . ABCD

mà

. Vậy

°

1
1
8a 3 3
V = SB.S ABCD = 2a 3.4a 2 =
3
3
3

ABCD

.

a

Cho hình chóp
có đáy
là hình vng cạnh , hai mặt phẳng
( SAB )
( SAD )
( ABCD )
và
cùng vng góc với mặt phẳng
; góc giữa đường
( ABCD )
a
SC
60°
thẳng
và mặt phẳng
bằng
. Tính theo
thể tích khối chóp
S . ABCD
.
thuvienhoclieu.com

Trang

thuvienhoclieu.com
a 6
a3 6
9
3
B.
.
C.
.
Lời giải
3

3a 3

A.

.

D.

3 2a 3

.

Chọn C

Ta có

( SAB ) ⊥ ( ABCD )


( SAD ) ⊥ ( ABCD ) ⇒ SA ⊥ ( ABCD )

( SAB ) ∩ ( SAD ) = SA

⇒ AC

là hình chiếu vng góc của
·
·
⇒ SC , ( ABCD ) = SCA
= 60°

)

(

SC

lên mặt phẳng

( ABCD )

SA = AC.tan 60° = a 6
A
vng tại
có
.
3
1

1
a 6
VSABCD = .SA.S ABCD = .a 6.a 2 =
3
3
3
Khi đó
.
S . ABCD
ABCD
AB = a BC = a 3
Câu 10. Cho hình chóp
có đáy
là hình chữ nhật với
,
.
SA
SC
Cạnh bên
vng góc với đáy và đường thẳng
tạo với mặt phẳng
( SAB )
30°
V
S . ABCD
a
một góc
. Tính thể tích
của khối chóp
theo .

2 6a 3
2a 3
3a 3
V=
V=
V
=
V = 3a 3
3
3
3
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Lời giải
Chọn A
Tam giác

SAC

thuvienhoclieu.com

Trang

thuvienhoclieu.com
BC
⊥
SA

⇒ BC ⊥ ( SAB )

 BC ⊥ AB
⇒ SB
SC
Ta có:
là hình chiếu của
lên mặt phẳng
( SAB )
.
·
⇒ (·SC , ( SAB ) ) = (·SC , SB ) = CSB
= 30°
.

Xét tam giác

SBC
SAB

vuông tại

Xét tam giác
vuông tại
S ABCD = AB.BC = a 2 3

Mà
.
3
1
2a 6
V = S ABCD .SA =
3
3
Vậy
.

B
A

tan 30° =

có
có

BC
⇒ SB = 3a
SB

.

SA = SB 2 − AB 2 = 2a 2

.

S . ABCD

a
Câu 11. Cho hình chóp tứ giác đều
có cạnh đáy bằng
và cạnh bên tạo với
0
60
V
S . ABCD
mặt phẳng đáy một góc
. Tính thể tích của khối chóp
.
3
3
3
3
a 6
a 6
a 3
a 6
V=
V=
V=
V=
2
3
2
6
A.
.
B.

.
C.
.
D.
Lời giải
Chọn.D.

Ta có:

S ABCD = a 2

Chiều cao

SO

:

.
a 2
a 6
·
SO = OB.tan SBO
=
. tan 600 =
2
2

.

3

Vậy

1
1
a 6 a 6
VS . ABCD = .S ABCD .SO = .a 2 .
=
3
3
2
6

.

S . ABCD

a
Câu 12. Cho hình chóp tứ giác đều
có cạnh đáy bằng
và mặt bên tạo với
0
V
S . ABCD
60
mặt phẳng đáy một góc
. Tính thể tích của khối chóp
.
3
3

3
3
a 6
a 6
a 3
a 6
V=
V=
V=
V=
2
3
2
6
A.
.
B.
.
C.
.
D.
thuvienhoclieu.com

Trang


thuvienhoclieu.com
Lời giải
Chọn D.

S ABCD = a 2

Ta có:
Gọi

M

Ta có

.

là trung điểm
1
a
OM = AB = .
2
2

Chiều cao

SO

:

BC

, góc giữa mặt bên

( SBC )

a
a 3
·
SO = OB.tan SBO
= .tan 600 =
2
2

và

( ABCD )

là

·
SMO

.

3

Vậy

1
1
a 3 a 3
VS . ABCD = .S ABCD .SO = .a 2 .
=
3
3

2
6

.
ABC.A¢B ¢C ¢
A AB = AC = 2a
Câu 13. Cho lăng trụ đứng
có đáy là tam giác cân tại
,
,
·
( ABC )
( A¢BC )
45°
CAB
= 120°
, góc giữa
và
là
. Tính thể tích lăng trụ đã cho.
3
3
a 6
a 3
a3 3
V=
V=
V=
V = a3 3
2

3
2
A.
.
B.
.
C.
.
D.
Lời giải
Chọn D.

Gọi
A
)

M

là trung điểm của

BC

. Ta có

( A¢BC )

AM ^ BC

( ABC )

và

·CAM = 60°

( do

D ABC

cân tại

·A¢MA = 45°

Ta xác định được góc giữa
và
là
1
1
2
·
= .( 2a ) sin120°
SD ABC = AB.AC.sinBAC
= a2 3
2
2
Ta có
và
thuvienhoclieu.com

Trang

thuvienhoclieu.com
·
AM = AC cos MAC = 2a.cos60° = a AA¢= AM .tan·A¢MA = a
;
3
VABC.A¢B¢C ¢= AA¢.SD ABC = a 3
Vậy
(đơn vị thể tích).
a
Câu 14. Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng
và cạnh bên tạo đáy góc
0
60
. Thể tích của khối chóp đó bằng:
a3 3
a3 3
a3 3
a3 3
12
6
36
18
A.
.
B.
.
C.
.
D.

.
Lời giải
Chọn A

S ABC =

Ta có:

a2 3
4

. Gọi

O

ABC

SO ⊥ ( ABC )

là trọng tâm của tam giác
, suy ra
.
( ABC )
AO
SA
Ta có
là hình chiếu của
lên mặt phẳng
.
0

·
( SA, ( ABC ) ) = ( SA, AO ) = SAO = 60
SAO
O
Suy ra
. Xét tam giác
vng tại , ta có:
SO
2
2
3
·
·
tan SAO
=
⇒ SO = AO. tan SAO
= AM .tan 600 = .a.
. 3=a
AO
3
3
2
.
2
3
1
1 a 3
a 3
VS . ABC = S ABC .SO = .
.a =

3
3 4
12
Vậy
.
( A¢BC )
ABC. A′B′C ′
Câu 15. Cho hình lăng trụ đều
. Mặt phẳng
tạo với mặt phẳng
( ABC )
30°
A¢BC
8a 2
một góc
và tam giác
có diện tích bằng
. Tính thể tích
ABC. A′B′C ′
khối lăng trụ
.
3
2a
8a 3
2a 3
V=
V
=
V
=

V = 8a 3 3
12
6
4
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Lời giải
Chọn B.

thuvienhoclieu.com

Trang


thuvienhoclieu.com

ABC
AM
M
Kẻ đường cao
của tam giác
. Khi đó
là trung điểm của
BC Þ BC ^ ( A¢AM )

A' AM

A ' MA
nên góc
là góc nhọn.
( A ' BC )
( ABC )
AM
A¢M
Góc giữa hai mặt phẳng
và
bằng góc giữa
và
và bằng
·A¢MA
30°
góc
, bằng
( ABC )
ABC
A¢BC
Tam giác
là hình chiếu vng góc của tam giác
trên
o
2
S ABC = S A ' BC .cos30 = 4a 3
Suy ra
.
x2 3

S ABC =
AB = x > 0
ABC
x
4
Đặt
. Diện tích tam giác đều
theo là
.
2
x 3
x 3
= 4a 2 3 Û x = 4a Þ AM =
= 2a 3
4
2
Vậy có
1
AA¢= AM .tan 30o = 2a 3.
= 2a
3
A¢MA
A
Tam giác
vng tại ,
.
2
V = AA¢.S ABC = 2a.4a 3 = 8a 3 3
ABC. A′B′C ′
Thể tích của lăng trụ

là
.
ABCD. A′B ′C ′D ′
Câu 16. Cho hình hộp chữ nhật
có đáy là hình vng, cạnh bên bằng
4a
5a
và đường chéo
.Tính thể tích hình hộp chữ nhật này.
3
V = 3a
V = 9a 3
V = a3
V = 6a 3
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Lời giải
Chọn B.

Tam giác

A

vuông tại

C'

D'
A'
B'
4a

5a
C

D
A

B

thuvienhoclieu.com

Trang


thuvienhoclieu.com
BD = BD ' − DD ' = 9a ⇒ BD = 3a
2

2

2

2

⇒ AB =

3a
2

B = S ABCD

9a 2
= 4

ABCD là hình vng
⇒
3
V = B.h = S ABCD . AA ' = 9a
Vậy
S . ABC
ABC
B AB = a AC = 2a
Câu 17. Cho hình chóp
có đáy là tam giác
vng tại ,
,
.
ABC
(
)
S
AC
M

Hình chiếu vng góc của
lên
là trung điểm
của
. Góc giữa
SB
60°
S . ABC
và đáy bằng
. Thể tích
là bao nhiêu?
3
3
a
a3
a 3
a3 2
2
12
2
4
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Lời giải

Chọn B.

S ∆ABC =

1
3 2
AB.BC =
a
2
2

Diện tích ABC :
·
* SBM
= 600 ⇒ SM = MB.tan 600 = a 3

Thể tích S.ABC :

1
a3
VS . ABC = SM .S ∆ABC =
3
2

.
ABCD

AB = 2a AD = a
là hình chữ nhật với
,

.
( ABCD )
S
H
AB
Hình chiếu của
lên mặt phẳng
là trung điểm
của cạnh
,
0
SC
45
V
đường thẳng
tạo với đáy một góc
. Tính thể tích
của khối chóp
S . ABCD
.
2 2a 3
a3
2a 3
3a 3
V=
V=
V=
V=
3
2

3
3
A.
.
B.
.
C.
.
D.
Lời giải
Chọn A.

Câu 18. Cho hình chóp

S . ABCD

có đáy

thuvienhoclieu.com

Trang


thuvienhoclieu.com

S ABCD = 2a.a = 2a 2

Ta có
.
SC

450
SH = HC
Do
tạo với đáy một góc
nên
.

Mà

HC = BH 2 + BC 2 = a 2 + a 2 = a 2

1
1
2a 3 2
VABCD = .S ABCD .SH = .2a 2 .a 2 =
3
3
3

. Vậy
.
ABCD
2a ∆SAD
S
Câu 19. Cho khối chóp
có đáy
là hình vng cạnh
,
cân tại
( SBC )

và nằm trong mặt phẳng vng góc với đáy. Góc giữa
và mặt đáy
o
60
S . ABCD
bằng
. Tính thể tích
bằng:
3
3
2a 3
8a 3
4a 3 3
2a 3 3
3
3
3
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Lời giải
Chọn B

S . ABCD

Gọi

H

Ta có:

ABCD

AD
là trung điểm
.
( SAD ) ⊥ ( ABCD )

( SAD ) ∩ ( ABCD ) = AD ⇒ SH ⊥ ( ABCD )
 SH ⊥ AD

2a

S ABCD

.
= AB 2 = 4a 2

là hình vng cạnh
nên
.
SBC
S ⇒ SM ⊥ BC
HM ⊥ BC ⇒
Tam giác

cân tại
, mà
góc giữa mặt phẳng
( SBC )
( ABCD )
HM SM
và mặt phẳng
là góc giữa hai đường thẳng
,
chính là
·SMH
·SMH = 60o
góc
. Theo bài ra có
.
thuvienhoclieu.com

Trang


thuvienhoclieu.com
⇒ SH = 2a.tan 60 = 2 a 3
o

.

1
1
8a 3 3
VSABCD = SH .S ABCD = .2a 3.4 a 2 =

S . ABCD
3
3
3
Vậy thể tích
:
.
a 3
S . ABC
Câu 20. Cho hình chóp tam giác đều
có cạnh đáy bằng
, cạnh bên bằng
2a
V
S . ABC
. Tính thể tích của khối chóp
.
3
3
a 3
3a 3
3a 3 3
3a 3
V=
V=
V=
V=
4
2
4

4
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Lời giải
Chọn D

B = S ABC

( a. 3 )
=

Diện tích đáy
AB a 3
AH =
=
=a
3
3

2

4

3

=

3a 2 3
4

;

h = SH = SA2 − AH 2 = 4a 2 − a 2 = a 3

Chiều cao:
1
1 3a 2 3
3a 3
VS . ABC = B.h =
.a 3 =
3
3 4
4
 Mức độ 3
Câu 1.

S . ABCD

a

SA ⊥ ( ABCD )

Cho hình chóp
có đáy là hình vng cạnh ,

,
G
SCD
G. ABCD
Gọi
là trọng tâm tam giác
. Tính thể tích khối chóp
.
1 3
1 3
2 3
1 3
a
a
a
a
6
12
17
9
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Lời giải
Chọn D

thuvienhoclieu.com

SA = a

.

Trang