LÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP CÓ LỜI GIẢI XÁC SUẤT THỐNG KÊ TOÁN

•

Phần I : Xác suất
Câu 1. (2 điểm) Hãy trình bày theo sự hiểu biết của bạn về các nội dung sau.
- Biến ngẫu nhiên rời rạc và các đặc trưng của nó.
- Phân phối nhị thức.
- Phân phối chuẩn.
Câu 2.(3 điểm) Hãy cho 10 bài tập cho các nội dung ở câu 1, có tính tốn và giải

chi tiết.
•

Phần II : Thống Kê
Câu 3. (2 điểm) Hãy trình bày theo sự hiểu biết của bạn về các nội dung sau.
-

Kiểm định giả thuyết về giá trị trung bình.
So sánh 2 giá trị trung bình.
Kiểm định giả thuyết về tỷ lệ.

Câu 4. (3 điểm) Hãy cho 10 bài tập cho các nội dung ở câu 3, có tính tốn và giải
chi tiết.

1


MỤC LỤC

PHẦN I..........................................................................................................5

Câu 1.....................................................................................................5

1.1 Biến ngẫu nhiên rời rạc và đặc trưng của nó................................5

1.2 Phân phối nhị thức.......................................................................7

1.3 Phân phối chuẩn...........................................................................7

Câu 2.....................................................................................................9

PHẦN II.........................................................................................................19

Câu 3.....................................................................................................19

3.1 Kiểm định giả thuyết về giá trị trung bình ..................................19

3.2 So sánh 2 giá trị trung bình..........................................................20

3.3 Kiểm định giả thuyết về tỷ lệ.......................................................21

Câu 4.....................................................................................................22

2


BÀI LÀM
•

Phần I : Xác suất

Câu 1. (2 điểm) Hãy trình bày theo sự hiểu biết của bạn về các nội dung sau

1.1 Biến ngẫu nhiên rời rạc và đặc trưng của nó:
1.1.1 Khái niệm

Hàm số X xác định trên khơng gian mẫu của một phép thử thì được gọi là biến ngẫu
nhiên nếu mọi số thực x thì (X ≤ x) sẽ là một biến cố của phép thử.
Lúc này, ta cũng gọi (X ≤ x) là một biến cố ngẫu nhiên X.
Tóm lại, khi nói cho một biến cố ngẫu nhiên ta có thể hiểu nó là hàm gắn với một
không gian mẫu của một phép thử nào đó. Biến ngẫu nhiên sẽ thường được kí hiệu bằng
các chữ cái như X, Y, Z,…
Gọi X ( Ω ) là tập giá trị của biến ngẫu nhiên X. Lúc này, căn cứ vào tập X(Ω) người
ta chia biến ngẫu nhiên X thành 2 loại là: Biến ngẫu nhiên liên tục và biến ngẫu nhiên rời
rạc rời rạc
 Biến ngẫu nhiên rời rạc nếu X(Ω) là hữu hạn: X(Ω) = hay là vô hạn đếm được:

X(Ω) =
Đặc trưng của biến ngẫu nhiên rời rạc
Phân phối xác suất ( còn được gọi là phân bố hay hàm tập trung xác suất của
1.1.2

biến ngẫu nhiên rời rạc X là X(Ω) và Pi = P(X = xi ) với xi X(Ω) thỏa mãn được các tính
chất sau:
1) Pi ≥ 0 với xi X(Ω),
2) = 1,

Với X(Ω) = hoặc X(Ω) =
Chú ý:
-Người ta có thể mở rộng Tính chất 1 của định nghĩa cho mọi x ∈ R như sau:

Pi = P ( X = xi) với xi ∈ X(Ω) và p(x) = 0 với x ∉ X(Ω).

3


-Phân phối xác suất của X thường được cho dưới dạng bảng phân phối xác suất như

sau:

-

X

x1

x2

…

xn

P

P1

P2

…

pn

Với Pi ≥ 0 và

Họ các biến cố , xi ϵ X(Ω) là nhóm đầy đủ. Khi có bảng phân phối xác suất, ta
tính được :
P = ; xi ϵ X(Ω).

Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc X khi có bảng phân phối
xác suất như sau:
Ngược lại, cho hàm xác suất, ta tìm được phân phối xác suất như sau với biến ngẫu
nhiên rời rạc:
pi = F(xi) – F (xi-1)
Kỳ vọng toán của biến ngẫu nhiên rời rạc:
Cho X là biến ngẫu nhiên rời rạc với tập giá trị là {x 1,x2,...,xn}. Kỳ vọng của X, kí
hiệu là E(X), là một số được tính theo cơng thức
E(X) = x1p1+x2p2+...+xnpn =
Ở đó pi=P(X=xi) với (i=1,2,...,n)
Ý nghĩa: E(X) là một số cho ta một ý niệm về độ trung bình của X. Vì thế kỳ vọng
E(X) cịn được gọi là giá trị trung bình của X. Kỳ vọng của X khơng nhất thiết thuộc tập
giá trị của X.
Phương sai:
Cho X là biến ngẫu nhiên rời rạc với tập giá trị là {x1,x2,...,xn}
Phương sai của X, kí hiệu là V(X), là một số được tính theo cơng thức:
V(X) =
Ý nghĩa: Phương sai là số không âm biểu thị mức độ phân tán các giá trị của X xung
quanh giá trị trung bình. Phương sai càng lớn thì độ phân tán này càng lớn.
Độ lệch chuẩn:

4


Căn bậc hai của phương sai, kí hiệu là σ(X), được gọi là độ lệch chuẩn của X, nghĩa
là:

σ(X) =
1.2 Phân phối nhị thức
1.2.1 khái niệm, định nghĩa
Biến ngẫu nhiên rời rạc X được gọi là phân phối nhị thức với tham số n, p, kí hiệu X

B (n,p), nếu tập giá trị của nó X(Ω) = và
P.
Chú ý: Phân phối nhị thức theo tỉ lệ: là phân phối xác suất của
F=
1.2.2 Các số đặc trưng
X B (n,p)
Trung bình µ= EX = np
Phương sai VX = npq
ModX = x0 với np – q ≤ x0 ≤ np + p, x0 là số tự nhiên. Do đó:
EF = E = p ; VF = V .
1.3 Phân phối chuẩn
1.3.1 Định nghĩa
Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối chuẩn với tham số µ và σ2 (σ > 0, kí hiệu
Xnếu hàm mật độ xác suất của nó có dạng:

Nếu X ~ N(μ, σ2 ) thì hàm phân phối của X có dạng:

5


1.3.2

Công thức
P( a < X < b ) = F(b) – F(a)

-

Nếu biến ngẫu nhiên liên tục U~ N(0, 1). Ta có các cơng thức tính xác suất cho U~
N(0, 1 ) như sau:
P ( a < U < b) = P(UP(aCho X~ N(μ,σ2)

-

Đặt U = thì U có phân phối chuẩn: U~ N(0,1).
Ta có cơng thức tính xác suất cho X~ N(μ,σ2) như sau:

-

Đặc biệt, ta có:
Trong đó, được tính sẵn trong bảng hàm Laplace.
1.3.3 Tính chất
Hàm (u) đối xứng qua gốc tọa độ, do đó:
(-u) = - (u)
6


Giá trị được gọi là giá trị tới hạn chuẩn mức α (0 ≤ α ≤ 1) của biến ngẫu nhiên U
nếu:
Tính chất:
Câu 2.(3 điểm) Hãy cho 10 bài tập cho các nội dung ở câu 1, có tính tốn và giải chi
tiết.
2.1 Một hộp gồm 10 sản phẩm gồm phế phẩm và chính phẩm, trong đó có 4 phế

phẩm. Lấy ngẫu nhiên 2 sản phẩm từ hộp để kiểm tra thử. Gọi X là số phế phẩm lấy ra
được. Tìm phân phối xác suất của X.
Và tính
Bài làm
Ta có, tập giá trị của X : X(Ω) =
P
Từ đó lập được bảng phân phối xác suất X là:
X

0

1

2

P

15/45

24/45

6/45

Ta có:
(Vì là biến cố không thể)
2.2 Lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm từ hộp gồm có 8 sản phẩm loại A và 2 sản phẩm loại
B để trưng bày. Có một khách hàng mua ngẫu nhiên 1 sản phẩm trong các sản phẩm cịn
lại. Tìm phân phối xác suất của X – số sản phẩm loại A mà khách mua được.
Bài làm
Ta có tập giá trị của X : X(Ω) =

Gọi A = “sản phẩm lấy trưng bày là loại A”
A và là nhóm đầy đủ của P(A) = 8/10, P(= 2/10.
Xác suất mà khách hàng mua được sản phẩm loại B sau khi lấy 1 sản phẩm loại A để
trưng bày:
;
Áp dụng công thức đầy đủ ta được:

7


Từ đó suy ra bảng phân phối xác suất của X:

X

0

1

P

0,2

0,8

2.3 Cho năng suất của hai máy tương ứng là các biến ngẫu nhiên X,Y (đơn vị: sản
phẩm/ phút) ta có bảng phân phối xác suất sau:
X

1

2

3

4

P

0,3

0,1

0,5

0,1

Y

2

3

4

5

P

0,1

0,4

0,4

0,1

Nếu phải chọn mua một trong hai máy trên ta nên chọn máy nào.
Bài làm
Ta tính được:
EX = 2,4
EY = 3,5
E(X2)= 12.0,3+ 22.0,1+32.0,5+42.0,1=6,8
VX=E(X2) – (EX)2 = 1,04
E(Y2)=22.0,1+32.0,4+42.0,4+52.0,1=12,9
V(Y) = E(Y2) – (EY)2 = 0,65
So sánh ta có:
EY > EX : năng suất trung bình của Y cao hơn X.
V(Y) < V(X) : năng suất của Y ổn định hơn X.
Vậy nên chọn mua Y.
2.4 Một doanh nghiệp cần mua một loại trục máy có đường kính từ 1,18cm đến
1,22cm. Có hai nhà máy bán trục máy này và đường kính của các loại trục máy được sản
xuất ra là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với các loại số đặc trưng cho trong bảng:
Đường kính trung bình (cm)

8

Độ
lệch

Giá bán

chuẩn
Nhà máy 1

1,2

0,01

3 triệu/ 1 hộp/ 100 chiếc

Nhà máy 2

1,2

0,015

2,7 triệu/ 1 hộp/ 100 chiếc

Vậy doanh nghiệp nên mua trục của nhà máy nào?
Bài làm
Gọi Xi là đường kính trục máy do nhà máy i sản xuất với i=1,2
Tỉ lệ trục máy của nhà máy sản xuất ra đúng với yêu cầu của doanh nghiệp là:

Như vậy số trục máy sử dụng được khi mua của nhà máy và số tiền chi cho 1 trục
máy được sử dụng là:
-

Nhà máy 1: 100.0,9544=95,44 chiếc với giá là: 3/95,44=31,433 (nghìn

-

đồng)
Nhà máy 2: 100.0,8177=81,74 chiếc với giá là: 2,7/81,74=33,032 (nghìn
đồng)

Như vậy, khi tính toán, ta thấy được nên mua nhà máy 1.
2.5 Một công ty bán 3 loại hàng là A,B,C với giá bán tương ứng là 21,2 ; 21,35 ; 21,5
(USD) trên mỗi đơn vị sản phẩm. Gọi X1,X2,X3 tương ứng là số hàng hóa A,B,C bán
trong 1 tuần và là biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn với trung bình µ 1 = 1000, µ2=500,
µ3=300 và độ lệch chuẩn lần lượt là 100,80,50.
Tính xác suất doanh thu Y của cơng ty trong 1 tuần vượt 45000USD.
Bài làm
Gọi số doanh thu là Y
Ta có Y= 21,2X1+21,35X2+21,5X3
Với E(Y)=21,2 µ1+21,35 µ2+21,5 µ3=21,2.1000+21,35.500+21,5.300=38325
Với V(Y)=
2.6 Thời gian X được tính bằng phút của một khách hàng được chờ để phục vụ món
ăn là biến ngẫu nhiên X có phân phối chuẩn với trung bình 4,5 và phương sai 1,21.

9


a) Tính xác suất khách hàng phải chờ để được phục vụ từ 3,5 đến 6 phút ; không quá
3,5 phút và không quá 6 phút.
b) Thời gian phải chờ tối thiểu là bao nhiêu, nếu tỉ lệ khách hàng phải chờ phục vụ
vượt q thời gian đó khơng q 5%?
Bài làm
Ta có X~N(4,5 ; 1,21)
μ = 4,5

σ = 1,1
a)

b) Gọi x0 là lượng thời gian cần tìm, ta có:

Do đồng biến nên
Vậy x0= 6,315 phút.
2.7 Lợi nhuận X thu được khi đầu tư số tiền là 500 triệu đồng vào một dự án có bảng
phân phối xác suất như sau:
X

-30

-15

0

10

20

30

P

0,1

0,15

0,2

0,2

0,25

0,1

a) Tính xác suất để đầu tư khơng bị lỗ
b) Đầu tư trên có hiệu quả khơng? Vì sao?

Bài làm
a) Đầu tư không lỗ suy ra X

10


b) E(X) =

Vì E(X) > 0 dự án trên đầu tư có lãi, có hiệu quả.
2.8 Một cơ sở sản xuất các bao kẹo. Số kẹo trong mỗi bao là một biến ngẫu nhiên có
phân phối xác suất như sau:
Số kẹo trong bao

18

19

20

21

22

Xác suất

0,14

0,24

0,32

0,21

0,09

a) Tìm trung bình và phương sai của số viên kẹo trong mỗi bao.
b) Chi phí sản xuất của mỗi bao kẹo là 3X + 16, trong đó X là biến ngẫu

nhiên chỉ số kẹo trong bao. Tiền bán mỗi bao kẹo là 100$. Không phân biệt số kẹo
trong bao. Tìm lợi nhuận trung bình và độ lệch chuẩn của lợi nhuận cho mỗi bao
kẹo.

Bài làm.
a) Gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ số kẹo trong bao
E(X2)=182.0,14+192.0,24+202.0,32+212.0,21+222.0,09= 396,17
Phương sai
b) Gọi Y là biến ngẫu nhiên lợi nhuận cho mỗi bao kẹo

Ta có: Y=100 –(3X+16)= 84 – (3X)
Lợi nhuận trung bình là

.
Độ lệch chuẩn là :
2.9 Số lượng xe ô tô mà một đại lý bán được trong một tuần là một BNN có phân
phối xác suất như sau:
Số xe bán (X)

0

1

2

3

4

5

Xác suất (P)

0,1

0,1

0,2

0,2

0,3

0,1

a) Xác suất đại lý bán được nhiều nhất 3 xe trong một tuần.
b) Kỳ vọng và phương sai đại lý bán được trong 1 năm
11


c) Nếu chi phí cho hoạt động của đại lý bằng căn bậc hai số xe bán được với 5

triệu đồng. Tính chi phí hoạt động trung bình của đại lý trong vịng một tuần.
Bài làm
Ta có X là số xe bán được trong một tuần
a) Xác suất để bán được nhiều nhất 3 xe trong tuần
b) Kỳ vọng :

Phương sai:
c) Đặt Y là chi phí trong 1 tuần. ta có:

Chi phí hoạt động trung bình
1,55

2.10 Từ kết quả phân tích các số liệu thống kê trong tháng về doanh số bán hàng (D)
và chi phí cho quảng cáo (Q) (đơn vị triệu đồng) của một công ty, thu được bảng phân
phối xác suất đồng thời như sau:
D
Q

100

200

300

1

0,15

0,1

0,04

1,5

0,05

0,2

0,15

2

0,01

0,05

0,25

a) Tính giá trị trung bình và phương sai của doanh số bán hàng.
b) Tính giá trị trung bình và phương sai của chi phí cho quảng cáo.
c) Nếu chỉ chi phí cho quảng cáo 1.5 triệu đồng thì doanh số trung bình là bao

nhiêu?
d) Nếu muốn doanh số là 300 triệu đồng thì trung bình phải chi phí cho quảng

cáo bao nhiêu?
Bài làm

12


a) Ta lập được bảng phân phối sau:

D

100

200

300

P

0,21

0,35

0,44

Giá trị trung bình và phương sai của doanh số bán hàng là:
E(D) = 100.0,21+ 200.0,35 + 300.0, 44 = 223

E(D2) = 1002.0,21+ 2002.0,35+3002.0,44 = 55700
V(D) = = 55700 – 2232 = 5971
b) Dựa vào đề bài, ta lập được bảng phân phối:

Q

1

1,5

2

P

0,29

0,4

0,31

Giá trị trung bình và phương sai của chi phí cho quảng cáo là:
E(Q) = 1.0,29+1,5.0,4+2.0,31 = 1,51
E(Q2) = 12.0,29+ 1,52.0,4+22.0,31 = 2,43
V(Q) =
c) Ta có:

P (D=100/ Q=1,5) =
P (D=200/ Q=1,5) =
P (D=300/ Q=1,5) =
Ta lập được bảng phân phối xác suất của X với điều kiện (Y= yj) là:

D/Q=1,5

100

200

300

P

0,125

0,5

0,375

Doanh số bán hàng trung bình khi chỉ phí cho quảng cáo 1,5 triệu đồng là:
E (D / Q = 1,5) = 100. 0,125 +200. 0,5+ 300. 0,375= 225 triệu đồng
d) Tương tự câu c, từ công thức trên ta lập được bảng phân phối xác suất của chi phí
cho quảng cáo trong trường hợp có doanh số 300 triệu đồng là:
D/Q=300

1

1,5

2

P

4/44

15/44

25/44

13


Nếu muốn doanh số là 300 triệu đồng thì trung bình phải chi phí cho quảng
cáo:
E (D / Q = 300) = 1. 4/44 +1,5. 15/44+ 2. 25/44= 1,738 triệu đồng.
•

Phần II : Thống Kê

Câu 3. (2 điểm) Hãy trình bày theo sự hiểu biết của bạn về các nội dung sau.
3.1 Kiểm định giả thuyết về giá trị trung bình
Để kiểm định một giả thuyết , ta lập giả thuyết H0: là một số đã biết và một trong các
đối thuyết của H1 theo yêu cầu đề bài.
X~ N(μ, σ2) với μ chưa biết. Kiểm định giả thiết về tham số μ.
Tìm giá trị của tiêu chuẩn kiểm định từ số liệu mẫu:
(trường hợp đã biết phương sai)
(trường hợp chưa biết phương sai)

Giả thuyết

Miền bác bỏ khi biết phương
sai

Miền bác bỏ khi chưa biết
phương sai

Với và là giá trị tới hạn chuẩn mức , được tra ở bảng Laplace
Với và là các giá trị tới hạn Student mức
3.2 So sánh 2 giá trị trung bình.
Để kiểm định một giả thuyết , ta lập giả thuyết H0: là một số đã biết và
14


một trong các đối thuyết H1 theo yêu cầu đề bài.
Giả sử, X1 ~ N(μ1,σ12), X2 ~ N(μ2,σ22). Các cặp giả thiết để so sánh μ1 và μ2
Với n1, n2 ≥ 30
Tìm giá trị của tiêu chuẩn kiểm định từ số liệu mẫu:
- Trường hợp đã biết phương sai:
(1.1)
- Trường hợp chưa biết phương sai:
(1.2)

Giả thuyết

Miền bác bỏ trường hợp đã
biết phương sai (1.1)

Miền bác bỏ trường hợp
chưa biết phương sai (1.2)

Với và là giá trị tới hạn chuẩn mức , được tra ở bảng Laplace
Khi chưa biết phương sai nhưng biết với n1, n2 < 30
Khi phương sai chưa biết và có thể khác nhau ( với n1, n2 < 30)

Giá trị tới hạn Student với bậc tự do
3.3 Kiểm định giả thuyết về tỷ lệ
X~ A(p) với p chưa biết. Kiểm định giả thiết về tham số p.
Ta lập giả thuyết H0: là một số đã biết và một trong các đối thuyết H1 theo yêu cầu đề
bài.
Tìm giá trị của tiêu chuẩn kiểm định từ số liệu mẫu:
Ta có các trường hợp sau:
15


Giả thuyết

Miền bác bỏ

Với và là giá trị tới hạn chuẩn mức , được tra ở bảng Laplace
Câu 4. (3 điểm) Hãy cho 10 bài tập cho các nội dung ở câu 3, có tính tốn và giải chi
tiết.
4.1 Một công ty tuyên bố rằng 40% người tiêu dùng ưa thích sản phẩm cơng ty sản
xuất ra. Để kiểm nghiệm tuyên bố đó, người ta điều tra 400 người tiêu dùng sản phẩm đó
cho thấy rằng 120 người trong số đó ưa thích sản phẩm của cơng ty. Với mức ý nghĩa là
5%, hãy xem tỉ lệ trong tuyên bố của cơng ty có cao hơn thực tế hay khơng?
Bài làm
Gọi p là tỉ lệ người tiêu dùng ưa thích sản phẩm của công ty (p là tỉ lệ thực tế).
Với giả thuyết :
H0: p=0,4
H1: p<0,4

Miền bác bỏ:
Vì Uqs rơi vào miền bác bỏ nên ta Bác bỏ H0 , chấp nhận H1
Tỉ lệ tuyên bố của công ty là cao hơn so với thực tế.

4.2 Giám đốc một hãng sản xuất giày da muốn xác định xem có sự khác biệt về năng
suất giữa ca ngày và ca tối khơng. Ơng điều tra 100 cơng nhân của ca ngàysản xuất được
trung bình 74,3 (phần/1 giờ/người) với độ lệch chuẩn 16 và 100 công nhân ca tối sản xuất
được trung bình 69,7 với độ lệch chuẩn là 18. Với mức ý nghĩa 5% hãy xem có sự khác
biệt năng suất giữa hai ca hay không?
16


Bài làm
Gọi tương ứng là năng suất trung bình của mỗi công nhân làm việc ca sáng, ca tối
Giả thuyết:

Với
Miền bác bỏ:
Vì U nằm ngồi miền bác bỏ nên ta chấp nhận giả thuyết H0
Với mức ý nghĩa 5%, không có sự khác biệt về năng suất trung bình giữa hai ca.
4.3 Để khảo sát giá bán của hai cửa hiệu thực phẩm lớn A và B, người ta điều tra
ngẫu nhiên giá bán của 12 mặt hàng thông dụng nhất như sau:
Mặt hàng

Cửa hiệu A

Cửa hiệu B

Mặt hàng

Cửa hiệu A

Cửa hiệu B

1

0,89

0,95

7

0,99

0,99

2

0,59

0,55

8

1,99

1,79

3

1,29

1,49

9

2,25

2,39

4

1,50

1,69

10

0,50

0,59

5

2,49

2,39

11

1,99

2,19

6

0,65

0,79

12

1,79

1,99

Với mức ý nghĩa là 2% hãy xem có sự khác nhau về giá bán ở hai cửa hiệu hay
không?
Bài làm

17


Từ bảng suy ra
S2=0,0176
Giả thuyết:
N=12
Ta có . Hay nói H0 nằm ngoài miền bác bỏ, ta chấp nhận H0
Giá bán trung bình của hai cửa hiệu là như nhau.
4.4 Tiền lương hàng tuần trung bình của 30 cơng nhận ở xí nghiệp A là 180 nghìn
đồng với độ lệch chuẩn là 14 nghìn đồng.Ở xí nghiệp B, tiền lương trung bình hàng tuần
của 40 cơng nhân là 170 nghìn đồng với độ lệch chuẩn 10 nghìn đồng. Tiền lương trung
bình mỗi tuần của hai xí nghiệp trên có khác nhau không khi với mức ý nghĩa là 5%?
Cho biết là tiền lương mỗi tuần của hai xí nghiệp là biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn có

cùng phương sai.
Bài làm
Gọi X,Y là số tiền cơng nhân ở hai xí nghiệp A,B nhận được mỗi tuần
Giả thuyết:

Miền bác bỏ:
Ta thấy U thuộc vào miền bác bỏ. Nên ta bác bỏ H0, chấp nhận H1 .
Hay nói các khác là tiền lương hai xí nghiệp khác nhau.
4.5 Khối lượng một loại sản phẩm do nhà máy sản xuất là biến ngẫu nhiên phân phối
chuẩn . Sau một khoảng thời gian hoạt động, chủ nhà máy nghi ngờ rằng khối lượng sản
phẩm có xu hướng giảm, nên tiến hành cân thử 25 sản phẩm và thu được kết quả:
Khối lượng (g)
Số sản phẩm(n)
Cho biết mức ý nghĩa là 5%
18


Bài làm

Giả thuyết :
Với
Miền bác bỏ:
Ta bác bỏ H0.
Có thể nói là khối lượng sản phẩm đang giảm đi.
4.6 Một nông trại chăn nuôi gà đem cân ngẫu nhiên 15 con gà và thu được như sau:
Con thứ

1

Cân nặng (kg)

3,25

Biết khối lượng gà là biến ngẫu nhiên phân phối theo quy luật chuẩn với phương sai
0,04.
a) Khối lượng gà trung bình năm ngối là 3,3kg/con. Năm nay người ta thay thực phẩm mới

để cho gà ăn. Với mức ý nghĩa 5%, hãy cho kết luận về loại thức ăn mới.
b) Có nên báo cáo là khối lượng gà trung bình năm nay là 3,7kg/con hay không?
Bài làm
a) Gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ khối lượng gà khi xuất chuồng.

Nếu thức ăn có hiệu quả tức là khối lượng trung bình gà sẽ tăng lên.
Ta có giả thuyết:
Với
Vì H0 nằm trong miền bác bỏ. Nên ta chấp nhận H1.
19


Khối lượng gà năm nay cao hơn năm trước, thức ăn có tác dụng với gà.
b) Giả thuyết:

Với
Miền bác bỏ
Vì H0 nằm ngoài miền bác bỏ nên ta chấp nhận H0.
Báo cáo trên là đúng.
4.7 Trọng lượng của một hộp sản phẩm đóng gói bằng máy theo quy định là 6kg. Sau
một thời gian sản xuất, người ta tiến hành kiểm tra 121 hộp sản phẩm tính được trọng
lượng trung bình là 5,975kg và phương sai mẫu là 5,7596.
a) Với mức ý nghĩa là 5% hãy cho kết luận về sự hoạt động của máy đóng gói trên.

b) Giả sử giá trị đúng của , tìm xác suất sai lầm loại II và lực lượng của kiểm định.
Bài làm
a) H0: máy hoạt động bình thường và H1: máy hoạt động khơng bình thường

Giả thuyết:

Ta có n=121

Miền bác bỏ
Vì -0,1146 nằm ngoài miền bác bỏ nên chấp nhận H0
Máy vẫn hoạt động bình thường
b) Ta có: với

Lực lượng kiểm định:
4.8 Những người nộp hồ sơ xin hoàn thuế liên bang cho tới trước ngày 31 tháng 3
nhận được khoản hoàn thuế trung bình là 1056USD. Xét tổng thể gồm những người nộp

20


hồ sơ cuối cùng trong vòng năm ngày cuối kỳ hoàn thuế (thường là từ ngày 10 tháng 4
đến 15 tháng 4).
a) Một nhà nghiên cứu cho rằng những người nộp hồ sơ trong năm ngày cuối

trung bình nhận được khoản hoàn thuế thấp hơn so những người nộp hồ sơ sớm.
Phát triển giả thuyết hợp lý sao cho khi bác bỏ H 0 sẽ ủng hộ cho lập luận nhà
nghiên cứu.
b) Với mẫu gồm 400 người nộp hồ sơ hoàn thuế từ ngày 10 tháng 4 đến 15
tháng 4, khoản tiền trung bình là 910USD. Dựa trên kinh nghiệm trước đây, có thể
giả định độ lệch chuẩn tổng thể là . Với mức ý nghĩa là 5%, ta kết luận được gì?

Thực hiện lại quy trình kiểm định theo phương pháp giá trị tới hạn
Bài làm
a) Ta có H0 sẽ là giả thuyết những người nộp hồ sơ trong những ngày cuối sẽ

nhận được khoản hoàn thuế cao hoặc bằng 1560USD. Và H 1 là giả thuyết của nhà
nghiên cứu.

b)
Miền bác bỏ:
Ta thấy U nằm trong miền bác bỏ, nên ra bác bỏ H0.
Khoản hoàn thuế của những người làm đơn vào ngày cuối ít hơn 1056 USD
4.9 Giám đốc của công ty thực phẩm muốn xác định liệu một kiểu đóng gói mới có
làm tăng lượng hàng bán được hay không. Chọn ngẫu nhiên 30 quầy tương đương nhau
gồm 15 quầy bán hàng được đóng theo gói mới và 15 quầy khác bán hàng được đóng
theo gói cũ, tính được trong thời gian nghiên cứu lượng hàng bán được tại mỗi quầy hàng
đóng gói mới có trung bình là 130 hộp với s 1=10 ; hàng đóng gói cũ có trung bình là 117
hộp với s2=12
Với mức ý nghĩa 5% hãy

21


a) Xem kiểu đóng gói mới có làm tăng lượng hàng bán ra hay không? Giả sử

lượng hàng bán được theo hai kiểu đóng gói có phân phối chuẩn và cùng phương
sai.
b) Kiểm định H0 :

Bài làm
a) Gọi lượng hàng trung bình bán ra theo kiểu mới và cũ lần lượt là

Giả thuyết:
Phương sai chưa biết nhưng ta biết chúng bằng nhau
Ta có
T > t . Ta thấy H0 thuộc vào miền bác bỏ. Nên ta chấp nhận H1.
Kết luận: với mức ý nghĩa 5% kiểu đóng gói mới làm tăng lượng hàng bán được ra
thị trường.
b) Ta có
Ta có
T > t . Ta thấy H0 thuộc vào miền bác bỏ. Nên ta chấp nhận H1.

4.10 Điều tra doanh số bán hàng tại cửa hàng ở hai vùng A và B của một công ty
trong khoảng thời gian T, với đơn vị là triệu đồng
Vùng A

Vùng B

Với mức ý nghĩa 10%

22


a) Hãy xem có sự khác nhua về doanh số bán hàng trung bình của mỗi cửa

hàng ở hai vùng hay không? Giả sử doanh số bán hàng của mỗi cửa hàng có phân
phối chuẩn
b) Với độ tin cậy 95% hãy ước lượng mức chênh lệch doanh thu trung bình
của mỗi cửa hàng ở hai vùng trong khoảng thời gian T
Bài làm
a) Gọi là doanh số bán hàng trung bình mỗi cửa hàng A,B

Gọi là phương sai tương ứng của hai vùng A,B
Với ta có

Ta thấy T thuộc miền bác bỏ nên ta bác bỏ H0, chấp nhận H1. Khi này
Kết luận: với mức ý nghĩa 10% doanh số bán hàng ở vùng A cao hơn vùng B.
b)

Khoảng tin cậy 95% của
(triệu đồng)

23