Tính ổn định của phương trình vi phân ngẫu nhiên với bước chuyển markov

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

PHAN THỊ HUYỀN TRANG

TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
NGẪU NHIÊN VỚI BƯỚC CHUYỂN MARKOV

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Nghệ An - 2019


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

PHAN THỊ HUYỀN TRANG

TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
NGẪU NHIÊN VỚI BƯỚC CHUYỂN MARKOV
Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học
Mã số: 8460106

Người hướng dẫn khoa học: TS. Nguyễn Thanh Diệu

Nghệ An - 2019


Mục lục
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 Các kiến thức chuẩn bị

2
4

1.1

Quá trình Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2

Phương trình vi phân ngẫu nhiên với bước chuyển Markov

7

2 Tính ổn định của phương trình vi phân ngẫu nhiên với bước
chuyển Markov

14

2.1

Ổn định mũ theo moment . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

2.2

Ổn định theo xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

2.3

Một số kết quả mở rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

Tài liệu tham khảo

36

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3


BẢNG MỘT SỐ KÝ HIỆU
THƯỜNG DÙNG TRONG LUẬN VĂN

Ký hiệu

Ý nghĩa

h.c.c

Hầu chắc chắn

P

Độ đo xác suất

E

Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên

F

σ-đại số các biến cố

{Ft }
(Ω, F, P)
L1 ([t0 , T ]; Rn )

Dãy lọc các σ- đại số con của F
Không gian xác suất
Không gian các hàm f xác định trên [t0 , T ]
nhận giá trị trên Rn khả tích cấp 1

L2 ([t0 , T ]; Rn×m )

Khơng gian các hàm f xác định trên [t0 , T ]
nhận giá trị trên Rn×m khả tích cấp 2

M2 ([t0 , T ]; Rn )

Khơng gian các qt trình ngẫu nhiên f xác
định trên [t0 , T ] nhận giá trị trên Rn thoả
mãn E

T
t0

|f (s)|2 ds < ∞

C 2,1 (Rn × R+ × S; R+ ) Họ các hàm khơng âm V xác định trên Rn ×
R+ × S

1


MỞ ĐẦU
Lý thuyết ổn định của phương trình động lực ngẫu nhiên được đưa
ra năm 1965 bởi Bucy với khái niệm ổn định theo xác suất. Sau đó năm
1967, Hasminskii đã cơng bố kết quả về tính ổn định mũ hầu chắc chắn
của phương trình vi phân tuyến tính ngẫu nhiên. Từ đó lý thuyết ổn định
của phương trình động lực ngẫu nhiên thu hút được sự quan tâm nghiên
cứu của nhiều nhà tốn học trên thế giới và có nhiều ứng dụng trong các
ngành khoa học khác nhau. Trong lý thuyết xác suất, có 4 loại hội tụ cơ
bản đó là hội tụ theo xác suất, hội tụ hầu chắc chắn, hội tụ theo trung
bình cấp p và hội tụ theo phân phối. Trên cơ sở 4 loại hội tụ này người ta
nghiên cứu 4 loại ổn định của phương trình vi phân ngẫu nhiên đó là: Ổn
định theo xác suất, ổn định tiệm cận theo xác suất, ổn định moment cấp
p, ổn định theo phân phối. Cho đến nay, các điều kiện ổn định cho các hệ
khác nhau với các khái niệm ổn định khác nhau đã và đang được các nhà

toán học quan tâm nghiên cứu. Chúng ta có thể kể đến các nhà tốn học có
nhiều đóng góp trong lĩnh vực này như Arnold, Baxendal, Chow, Curtain,
Elworthy, Friedman, Ichikawa, Kliemann, Kolmanovskii, Kushner, Ladde,
Lakshmikantham, Mohammed, Pardoux, Pinsky, Pritchard, Xuerong Mao
và nhiều nhà toán học khác. Đi theo hướng nghiên cứu này chúng tơi chọn
đề tài "Tính ổn định của phương trình vi phân ngẫu nhiên với
bước chuyển Markov " nhằm mục đích tìm hiểu các điều kiện để nghiệm
của phương trình vi phân ngẫu nhiên có bước chuyển Markov ổn định mũ
moment cấp p và ổn định tiệm cận ngẫu nhiên. Các kết quả nghiên cứu
về vấn đề này đã được nghiên cứu, trình bày trong [1, 3] và một số tài
liệu khác. Trong luận văn này, chúng tơi chủ yếu trình bày một cách có hệ
thống, chỉ ra ví dụ minh họa cho một số kết quả lý thuyết được trình bày
trong luận văn. Với mục đích đó luận văn được trình bày thành 2 chương.

2


Chương 1. Các kiến thức chuẩn bị. Trong chương này chúng tơi
trình bày một số kiến thức cơ bản về quá trình Markov, phương trình vi
phân ngẫu nghiên với bước chuyển Markov làm cơ sở để trình bày các kết
quả của chương sau.
Chương 2. Tính ổn định của phương trình vi phân ngẫu nhiên
với bước chuyển Markov. Trong chương này chúng tơi chia làm 3 mục
nhỏ. Mục 2.1, trình bày định nghĩa về ổn định mũ moment cấp p, ổn định
mũ hầu chắc chắn, các điều kiện đủ để nghiệm của phương trình ổn định
mũ moment cấp p và mối liên hệ giữa ổn định moment cấp p và ổn định
mũ hầu chắc chắn. Mục 2.2, chúng tơi trình bày định nghĩa và các định lý
về điều kiện đủ cho tính ổn định ngẫu nhiên (hay ổn định với xác suất 1),
ổn định tiệm cận ngẫu nhiên và ổn định tiệm cận ngẫu nhiên theo nghĩa
rộng. Mục 2.3, chúng tôi trình bày một kết quả về tính ổn định tiệm cận

ngẫu nhiên được tham khảo từ [1]. Đây là một kết quả mở rộng của kết quả
trong Mục 2.2, bằng cách làm giảm nhẹ điều kiện đặt lên hàm Liapunov.
Luận văn được hoàn thiện tại Trường Đại học Vinh, dưới sự hướng dẫn
của TS. Nguyễn Thanh Diệu. Mặc dù học viên đã cố gắng, tuy nhiên vì
hạn chế về kiến thức và thời gian nên luận văn không tránh khỏi thiếu sót.
Rất mong được sự góp ý nhận xét của q Thầy cơ và người đọc để luận
văn được hồn thiện hơn.
Nghệ An, ngày..... tháng .... năm 2019
Học viên

Phan Thị Huyền Trang

3


Chương 1

Các kiến thức chuẩn bị
1.1

Quá trình Markov

Định nghĩa 1.1.1. Một quá trình Ft -phù hợp n chiều X = {X(t), t

0}

được gọi là q trình Markov nếu tính Markov được thỏa mãn. Tức là, với
mọi 0

s

t < ∞ và A ∈ B(Rn ), P(X(t) ∈ A|Fs ) = P(X(t) ∈ A|X(s)).

Điều này tương đương với tính chất sau:
Với mọi hàm Borel bị chặn ϕ : Rn → R và 0

s

t < ∞,

E ϕ(X(t))|Fs = E(ϕ(X(t))|X(s)).
Định nghĩa 1.1.2. Xác suất chuyển của quá trình Markov là hàm P (s, x; t, A)
được xác định với 0

s

t < ∞, x ∈ Rn và A ∈ B(Rn ) với những điều

kiện sau:
1) Với mỗi 0

s

t < ∞ và A ∈ B(Rn ),
P (s, X(s); t, A) = P(X(t) ∈ A|X(s)).

2) P (s, x; t, ·) là một độ đo xác suất trên B(Rn ) với mọi 0
và x ∈ Rn .
4

s

t<∞


3) P (s, ·, t, A) là hàm Borel với mọi 0

s

t < ∞ và A ∈ B(Rn ).

4) Phương trình Kolmogorov-Chapman
P (s, x; t, A) =

P (u, y; t, A)P (s, x; u, dy)
Rn

đúng với mọi 0

s

Như vậy, với {X(t), t

u

t < ∞, x ∈ Rn và A ∈ B(Rn ).

0} là q trình Markov, tính Markov trở thành

P(X(t) ∈ A|Fs ) = P (s, X(s); t, A).

Chúng ta ký hiệu
P (X(t) ∈ A|X(s) = x) = P (s, x, t, A)
và
Es,x ϕ(X(t)) =

ϕ(y)P (s, x, t, dy).
Rn

Định nghĩa 1.1.3. Một quá trình Markov X = {X(t), t

0} được gọi là

quá trình Markov thuần nhất nếu xác suất chuyển của nó P (s, x; t, A) ổn
định, tức là
P (s + u, x; t + u, A) = P (s, x; t, A)
với mọi 0

s

t < ∞, u

0, x ∈ Rn và A ∈ B(Rn ).

Trong trường hợp này, xác suất chuyển P (s, x; t, A) chỉ phụ thuộc vào
t − s và nó có thể được viết một cách đơn giản là P (0, x; t, A) = P(t, x, A).
Khi đó, phương trình Kolmogorov-Chapman được viết lại
P (t + s, x, A) =

P (s, y, A)P (t, x, dy).
Rn

Hơn nữa, với ký hiệu
Ex (ϕ(X(t))) =

ϕ(y)P (t, x, dy),
Rn

5


tính Markov được viết là
E(ϕ(X(t))|Fs ) = EX(s) ϕ(X(t − s)).
Định nghĩa 1.1.4. Một quá trình Markov X = {X(t), t

0} được gọi là

q trình Markov mạnh nếu tính Markov mạnh sau đây được thỏa mãn:
Với mỗi hàm Borel, bị chặn ϕ : Rn → R, mỗi thời điểm dừng hữu hạn τ
và t

0,
E ϕ(X(t + τ )|Fτ = E ϕ(X(t + τ )|X(τ ) .

Đặc biệt, trong trường hợp thuần nhất, ta có
E ϕ(X(t + τ )|Fτ = EX(τ ) ϕ(X(t) .
Định nghĩa 1.1.5. Một quá trình ngẫu nhiên X = {X(t), t

0} xác định

trên không gian xác suất (Ω, F, P), với tập giá trị là một tập đếm được Ξ

(cịn được gọi là khơng gian trạng thái của q trình ngẫu nhiên), được
gọi là một xích Markov với thời gian liên tục nếu với mỗi tập hữu hạn
0

t1

...

tn

tn+1 và tập i1 , i2 , . . . , in−1 , i, j là các phần tử trong Ξ

sao cho P{X(tn ) = i, X(tn−1 ) = in−1 , . . . , X(t1 ) = i1 } > 0, ta có
P{X(tn+1 ) = j|X(tn ) = i, X(tn−1 ) = in−1 , . . . , X(t1 ) = i1 }
= P{X(tn+1 ) = j|X(tn ) = i}.
Nếu với mọi s, t sao cho 0

t < ∞ và mọi i, j ∈ Ξ, xác suất có

s

điều kiện P{X(t) = j|X(s) = i} chỉ phụ thuộc vào t − s, ta nói rằng q
trình X = {X(t), t

0} là thuần nhất. Trong trường hợp này, P{X(t) =

j|X(s) = i} = P{X(t − s) = j|X(0) = i} và hàm
Pij (t) := P{X(t) = j|X(0) = i}, i, j ∈ Ξ, t

0

được gọi là hàm chuyển hay xác suất chuyển của quá trình. Hàm Pij được
gọi là chuẩn nếu lim Pii (t) = 1, ∀i ∈ Ξ.
t→0

6


Định lý 1.1.6 (Anderson (1991)). Cho Pij (t) là hàm chuyển chuẩn. Khi
đó, γi := lim 1−Ptii (t) tồn tại (có thể bằng ∞) với mọi i ∈ Ξ.
t→0

Một trạng thái i ∈ Ξ được gọi là ổn định nếu γi < ∞.
Định lý 1.1.7 (Anderson (1991)). Cho Pij (t) là một hàm chuyển và lấy
j là trạng thái ổn định. Khi đó, γij = Pij (0) tồn tại và hữu hạn với mọi
i ∈ Ξ.
Đặt γii = −γi và Γ = (γij )i,j∈Ξ , Γ được gọi là toán tử sinh của xích
Markov. Nếu khơng gian trạng thái là hữu hạn thì q trình được gọi là
xích Markov hữu hạn trạng thái với thời gian liên tục. Trong toàn bộ luận
văn này, chúng ta giả sử rằng mọi xích Markov hữu hạn trạng thái và mọi
trạng thái là ổn định. Với mỗi xích Markov, hầu hết các quỹ đạo là hàm
bậc thang liên tục phải.
Định lý 1.1.8 (Anderson (1991)). Cho P (t) = Pij
suất chuyển và Γ = Γij

N ×N

N ×N

là ma trận xác

là tốn tử sinh của xích Markov hữu hạn.

Khi đó, P (t) = etΓ .

1.2

Phương trình vi phân ngẫu nhiên với
bước chuyển Markov

Trong mục này chúng ta sẽ trình bày các kiến thức cơ bản về phương
trình vi phân ngẫu nhiên với bước chuyển Markov. Cụ thể là chúng tơi
trình bày về định nghĩa nghiệm của phương trình vi phân ngẫu nhiên với
bước chuyển Markov, các điều kiện để phương trình có nghiệm duy nhất.
Lấy {r(t) : t

t0 } là xích Markov liên tục phải, xác định trên không

gian xác suất (Ω, F, P), nhận giá trị trên không gian trạng thái S =
7


{1, 2, 3, ..., N } với toán tử sinh Γ = (γij )N ×N được cho bởi


γij ∆ + o(∆)
nếu i = j,
P{r(t + ∆) = j|r(t) = i} =

1 + γii ∆ + o(∆) nếu i = j,

khi ∆ > 0. Trong đó, γij cường độ chuyển từ trạng thái i đến trạng thái j
và γij

0 nếu i = j. Ta có
γii = −

γij .
i=j

Giả sử rằng r(t) Ft -phù hợp, độc lập với quá trình Brown B(t). Xét phương
trình vi phân ngẫu nhiên với bước chuyển Markov có dạng
dx(t) = f (x(t), t, r(t))dt + g(x(t), t, r(t))dB(t),
với giá trị ban đầu x(t0 ) = x0 và r(t0 ) = r0 ,(0

t0
t0

t

T

(1.1)

T ), trong đó

x0 ∈ L2Ft (Ω, Rn ) là biến ngẫu nhiên Ft0 đo được nhận giá trị trong Rn thỏa
0

mãn E|x0 |2 < ∞ còn r0 là biến ngẫu nhiên Ft0 đo được nhận giá trị trong
S. Các hàm

f : Rn × R+ × S → Rn , g : Rn × R+ × S → Rn×m
là các Borel đo được, B(t) = (B1 (t), B2 (t), ..., Bm (t))T , t

0 là quá trình

Brown m chiều.
Định nghĩa 1.2.1. Quá trình ngẫu nhiên {x(t)}t∈[t0 ,T ] nhận giá trị trong
Rn được gọi là một nghiệm của phương trình (1.1) nếu thỏa mãn các điều
kiện sau:
(1) {x(t)}t∈[t0 ,T ] liên tục, Ft -phù hợp;
(2) {f (x(t), t, r(t))}t∈[t0 ,T ] ∈ L1 ([t0 , T ]; Rn ) và {g(x(t), t, r(t))}t∈[t0 ,T ]
∈ L2 ([t0 , T ]; Rn×m );
8


(3) Với bất kỳ t ∈ [t0 , T ], phương trình tích phân sau thỏa mãn với xác
suất 1
t

x(t) = x(t0 ) +

t

f (x(s), s, r(s))ds +
t0

Nghiệm của phương trình {x(t)}t0
nghiệm khác {x(t)}t0

t T

g(x(s), s, r(s))dB(s). (1.2)
t0

được gọi là duy nhất nếu có một

t T

thì chúng tương đương, nghĩa là

P{x(t) = x(t) với mọi t0

t

T } = 1.

Chú ý 1.2.2. Ký hiệu nghiệm của phương trình (1.1) là x(t, t0 , x0 , r0 ) và
xích Markov r(t, t0 , r0 ). Khi đó,
t

x(t) = x(s) +

t

g(x(u), u, r(u))dB(u), ∀ t ∈ [s, T ],

f (x(u), u, r(u))du +
s

s

(1.3)
Ta thấy (1.3) là phương trình vi phân ngẫu nhiên trên [s, T ] với điều kiện
ban đầu x(s) = x(s, t0 , x0 , r0 ) và r(s) = r(s, t0 , r0 ). Nghiệm của nó là
x(t, s, x(s), r(s)). Do đó, cặp (x(t, t0 , x0 , r0 ), r(t, t0 , r0 )) có tính chất dịng
hay tính chất nửa nhóm. Tức là,
(x(t, t0 , x0 , r0 ), r(t, t0 , r0 )) = (x(t, s, x(s, t0 , x0 , r(s, t0 , r0 )), r(t, s, r(s, t0 , r0 ))
với mọi t0

s

t

T.

Định lý 1.2.3 ([3, Theorem 3. 13, p.89]). Giả sử tồn tại 2 hằng số dương
K, K sao cho
i) (Điều kiện Lipschitz). Với mọi x, y ∈ Rn , t ∈ [t0 , T ] và i ∈ S
|f (x, t, i) − f (y, t, i)|2 ∨ |g(x, t, i) − g(y, t, i)|2

K|x − y|2 ;

(1.4)

ii)(Điều kiện tăng tuyến tính). Với mọi (x, t, i) ∈ Rn × [t0 , T ] × S
|f (x, t, i)|2 ∨ |g(x, t, i)|2
9

K(1 + |x|2 ).

(1.5)


Khi đó phương trình (1.1) có nghiệm duy nhất x(t), đồng thời
E

sup |x(t)|2

(1 + 3E|x0 |2 )e3K(T −t0 )(T −t0 +4) .

(1.6)

t0 t T

Do vậy nghiệm x(t) của (1.1) thuộc M2 ([t0 , T ]; Rn ).
Điều kiện (1.4) khá chặt, định lý sau sẽ giảm nhẹ điều kiện Lipschitz
toàn cục bởi điều kiện Lipschitz địa phương.
Định lý 1.2.4 ([3, Theorem 3.15, p. 91]). Giả sử rằng với số nguyên dương
k

1, tồn tại hằng số dương hk sao cho với mọi t ∈ [t0 , T ], i ∈ S, x, y ∈ Rn

với |x| ∨ |y|

k, ta có

|f (x, t, i) − f (y, t, i)|2 ∨ |g(x, t, i) − g(y, t, i)|2

hk |x − y|2 .

(1.7)

Khi đó phương trình (1.1) có nghiệm duy nhất.
Chứng minh. Với mỗi k > 1, định nghĩa hàm cắt


f (x, t, i) nếu |x| k,
fk (x, t, i) =

f (kx/|x|, t, i) nếu |x| > k,
và gk (x, t, i) là hàm tương tự như thế. Khi đó fk và gk thoả mãn điều kiện
Lipschitz và điều kiện tăng tuyến tính. Do đó, theo Định lý 1.2.3 , có duy
nhất một nghiệm xk ∈ M2 ([t0 , T ], Rn ) của phương trình
dxk (t) = fk (xk (t), t, r(t))dt + gk (xk (t), t, r(t))dB(t), t ∈ [t0 , T ]

(1.8)

với điều kiện ban đầu xk (t0 ) = x0 , r(t0 ) = r0 . Xét thời điểm dừng
σk = T ∧ inf{t ∈ [t0 , T ] : |xk (t)|

k}.

Dễ thấy
xk (t) = xk+1 (t) nếu t ∈ [t0 , σk ].
10

(1.9)


Nghĩa là σk tăng dần đến σ∞ = limk→∞ σk . Định nghĩa {x(t) : t0

t < σ∞ }

bởi
x(t) = xk (t), t ∈ [[σk−1 , σk ]], k

1,

trong đó σ0 = t0 . Sử dụng (1.9), x(t ∧ σk ) = xk (t ∧ σk ). Do đó, theo (1.8)
có
t∧σk

x(t ∧ σk ) = x0 +

t∧σk

fk (x(s), s, r(s))ds +
t0
t∧σk

= x0 +

t0
t∧σk

f (x(s), s, r(s)) +
t0

với bất kỳ t ∈ [t0 , T ] và k
lim sup |x(t)|

t→σ∞

g(x(s), s, r(s))dB(s)
t0

1. Dễ thấy, nếu σ∞ < T thì
lim sup |x(σk )| = lim sup |xk (σk )| = ∞
k→∞

Do đó, {x(t) : t0

gk (x(s), s, r(s))dB(s)

k→∞

t < σ∞ } là một nghiệm địa phương cực đại. Để thấy

được sự duy nhất, lấy {x(t) : t0

t < σ ∞ } là một nghiệm địa phương cực

đại khác. Xét
σ k = σ ∞ ∧ inf{t ∈ [t0 , σ ∞ ] : |x(t)|

k}.

Dễ dàng thấy rằng σ k → σ ∞ h.c.c và
P{x(t) = x(t) ∀t ∈ [t0 , σk ∧ σ k ]} = 1 ∀ k

1.

Cho k → ∞, ta có
P{x(t) = x(t) ∀t ∈ [t0 , σ∞ ∧ σ ∞ ]} = 1.
Để hoàn thành chứng minh, chúng ta cần chứng minh σ∞ = σ ∞ h.c.c.
Thực tế, hầu như với bất kỳ ω ∈ {σ∞ < σ ∞ }, ta có
|x(σ∞ , ω)| = lim |x(σk , ω)| = lim |x(σk , ω)| = ∞
k→∞

k→∞

11


mà điều này mâu thuẫn với thực tế x(t, ω) liên tục trên t ∈ [t0 , σ ∞ (ω)).
Do đó, chúng ta có σ∞
σ∞

σ ∞ h.c.c. Tương tự, ta cũng chứng minh được

σ ∞ h.c.c. Như vậy, σ∞ = σ ∞ h.c.c.

Định lý 1.2.5. Giả sử điều kiện Lipschitz địa phương (1.7) và điều kiện
tăng tuyến tính (1.5) được thoả mãn. Khi đó, phương trình (1.1) có nghiệm
duy nhất x(t), đồng thời
sup |x(t)|2

E

(1 + 3E|x0 |2 )e3K(T −t0 )(T −t0 +4) .

t0 t T

Chứng minh. Chúng ta chứng minh tương tự như chứng minh định lý
(1.2.4). Bằng (1.5) và cách định nghĩa fk và gk , ta có
|fk (x, t, i)|2 ∨ |gk (x, t, i)|2

K(1 + |x|2 ) ∀(x, t, i) ∈ Rn × [t0 , T ] × S.

Do vậy, theo (1.2.3),
E( sup |xk (t)|2 )

(1 + 3E|x0 |2 )e3K(T −t0 )(T −t0 +4) .

t0 t T

Tức là,
E( sup |xk (t)|2 )

(1 + 3E|x0 |2 )e3K(T −t0 )(T −t0 +4) .

t0 t σk

Cho k → ∞ có
E( sup |x(t)|2 )

(1 + 3E|x0 |2 )e3K(T −t0 )(T −t0 +4) .

t0 t<σ∞

Điều này có nghĩa là σ∞ = T h.c.c và ta có khẳng định cần chứng minh.

Nhận xét 1. Điều kiện Lipschitz địa phương trong Định lý 1.2.4 cho chúng
ta lớp rộng các hệ số f và g của phương trình (1.1). Tuy nhiên, điều kiện
tăng tuyến tính vẫn khá ngặt vì các phương trình có hệ số là các hàm có
dạng f (x, t, i) = x(a(i) − b(i)x2 ) sẽ không thỏa mãn điều kiện tăng tuyến
tính. Do đó, định lý sau đây sẽ khắc phục điều này.
12


Định lý 1.2.6. Giả sử điều kiện Lipschitz địa phương được thoả mãn,
nhưng điều kiện tăng tuyến tính (1.5) được thay thế bởi điều kiện đơn điệu
sau đây: Tồn tại hằng số dương K sao cho ∀(x, t, i) ∈ Rn × [t0 , T ] × S
1
xT f (x, t, i) + |g(x, t, i)|2
2

K(1 + |x|2 ).

(1.10)

Khi đó tồn tại một nghiệm duy nhất x(t) của phương trình
dx(t) = f (x(t), t)dt + g(x(t), t)dB(t), t0
thuộc M2 ([t0 , T ]; Rn ).

13

t

T

(1.11)

Chương 2

Tính ổn định của phương
trình vi phân ngẫu nhiên
với bước chuyển Markov
Trong chương này chúng tơi sẽ trình bày về tính ổn định của phương
trình vi phân ngẫu nhiên với bước chuyển Markov. Kết quả trình bày trong
mục này được tham khảo trong [1, 3]. Xét phương trình vi phân ngẫu nhiên
với bước chuyển Markov
dx(t) = f x(t), t, r(t) dt + g x(t), t, r(t) dB(t)

(2.1)

trong đó f : Rn × R+ × S → Rn ; g : Rn × R+ × S → Rn × Rm ; B(t) =
(B1 (t), . . . , Bm (t))T là chuyển động Brown m- chiều, r(t) là xích Markov
nhận giá trị trên không gian hữu hạn trạng thái S = {1, 2, . . . , N } với tốn
tử sinh là Γ = (γij )N ×N , γij > 0 nếu i = j và với mỗi t

0, r(t) độc lập với

B(t). Ngoài ra, B(t) và r(t) là Ft -phù hợp. Ký hiệu C 2,1 (Rn × R+ × S; R+ )
là họ các hàm không âm V xác định trên Rn × R+ × S khả vi liên tục 2

14


lần đối với x và một lần đối với t. Với V ∈ C 2,1 (Rn × R+ × S; R+ ), đặt
n

LV (x, t, i) =Vt (x, t, i) +

γij V (x, t, j) + Vx (x, t, i)f (x, t, i)
j=1

1
+ trace[g T (x, t, i)Vxx (x, t, i)g(x, t, i)],
2
trong đó
Vt (x, t, i) =

∂V (x, t, i)
∂V (x, t, i)
,...,
,
∂x1
∂xn
∂ 2 V (x, t, i)
Vxx (x, t, i) =
.
(2.2)
∂xk ∂xj
n×n

∂V (x, t, i)
, Vx (x, t, i) =
∂t

Ký hiệu x(t, t0 , x0 , i) là nghiệm của phương trình (2.1) với điều kiện

ban đầu x(t0 ) = x0 và r(t0 ) = i. Với 2 thời điểm dừng 0

τ1

τ2 < ∞,

từ công thức Itô tổng quát ta có
EV (x(τ2 , t0 , x0 , i), τ2 , r(τ2 )) = EV (x(τ1 , t0 , x0 , i), τ1 , r(τ1 ))
τ2

+E

LV (x(s, t0 , x0 , i), s, r(s))ds (2.3)
τ1

khi các tích phân tồn tại và hữu hạn.
Trong phần này chúng ta giả thiết f (0, t, i) ≡ 0 và g(0, t, i) ≡ 0. Vì vậy,
phương trình (2.1) có nghiệm tầm thường x(t, t0 , 0, i) = 0 hoặc trạng thái
cân bằng 0. Ký hiệu Uδ = {x ∈ Rn : |x| < δ}; U δ = {x ∈ Rn : |x|

δ}. K

là tập hợp tất cả các hàm liên tục tăng κ : R+ → R+ sao cho κ(0) = 0 và
κ(u) > 0 với u > 0; K∞ là tập hợp tất cả các hàm κ ∈ K và κ(∞) = ∞.

2.1

Ổn định mũ theo moment

Trong mục này, chúng tơi sẽ trình bày tính ổn định mũ của phương

trình theo moment và tính ổn định mũ hầu chắc chắn của phương trình
(2.1). Ở đây, ý tưởng chính mà chúng tơi sử dụng là chỉ ra một q trình
15


nào đó tiệm cận về 0 với tốc độ mũ bằng cách chỉ ra số mũ Lyapunov
của nó bé thua 0. Áp dụng điều này với moment bậc p của nghiệm, chúng
ta có điều kiện cho ổn dịnh mũ moment bậc p. Trong trường hợp số mũ
Lyapunov của hầu hết các quỹ đạo của nghiệm âm ta có điều kiện cho tính
ổn định mũ hầu chắc chắn. Các tính ổn định mũ theo moment và ổn định
mũ hầu chắc chắn có vai trị quan trọng trong nhiều lĩnh vực ứng dụng.
Để có được điều kiện cho tính ổn định mũ moment cấp p, chúng ta áp đặt
một số giả thiết lên hệ số của phương trình.
Trước hết chúng tơi trình bày một số giả thiết cần cho việc phát biểu
ngắn gọn các kết quả chính.
Giả thiết 2.1.1 ([3, Assumption 5.6, pp.164]). Giả sử với mỗi k = 1, 2, . . . ,
tồn tại hk > 0 sao cho
|f (x, t, i)| ∨ |g(x, t, i)|
với mọi 0

t

k, i ∈ S và x ∈ Rn với |x|

hk |x|
k.

Chúng ta thấy rằng Giả thiết 2.1.1 suy ra
f (0, t, i) ≡ 0 và g(0, t, i) ≡ 0.
Do đó, dễ dàng thấy rằng nghiệm của phương trình (2.1) bằng 0 với điều

kiện ban đầu bằng 0, tức là x(t; t0 , 0, r0 ) ≡ 0. Nói cách khác, 0 là trạng
thái cân bằng hoặc trạng thái dừng. Nghiệm x(t; t0 , 0, r0 ) ≡ 0 được gọi là
nghiệm tầm thường.
Tuy nhiên, điều này chưa khẳng định được với điều kiện ban đầu khác
khơng thì nghiệm của phương trình (2.1) sẽ khác 0 hầu chắc chắn. Bổ đề
sau sẽ cho ta kết luận về vấn đề này.
Bổ đề 2.1.1 ([3, Lemma 5.1, pp.164]). Từ Giả thiết 2.1.1, với mọi điều
kiện ban đầu (t0 , x0 , r0 ) ∈ R+ × (Rn − {0}) × S ta có
P{x(t, t0 , x0 , r0 ) = 0 với t
16

t0 } = 1.


Tức là, hầu hết tất cả các quỹ đạo của bất kì nghiệm nào của phương trình
(2.1) bắt đầu từ trạng thái khác không sẽ không bao giờ bằng không.
Chứng minh. Ta sẽ chứng minh bổ đề bằng phương pháp phản chứng.
Giả sử kết luận của bổ đề trên là sai, khi đó, tồn tại t0

0, x0 =

0 và r0 ∈ S sao cho:
P{τ < ∞} > 0
trong đó τ là thời điểm đầu tiên bằng 0 của nghiệm tương ứng, cụ thể:
τ = inf{t

t0 : x(t, t0 , x0 , r0 ) = 0}.

Để đơn giản, ta đặt x(t, t0 , x0 , r0 ) = x(t). Do đó, tồn tại số nguyên k >
t0 ∨ (1 + |x0 |) đủ lớn sao cho P(G) > 0, trong đó

G = {τ

k và |x(t)|

k − 1, ∀ t0

τ }.

t

Mặt khác, từ Giả thiết 2.1.1, tồn tại một hằng số hk > 0 sao cho
|f (x, t, i)| ∨ |g(x, t, i)|

hk |x| nếu |x|

Lấy V (x, t, i) = |x|−1 . Khi đó, với 0 < |x|

k, t0

k, t0

t

t

k, i ∈ S.

k và i ∈ S,

1

LV (x, t, i) = −|x|−3 xT f (x, t, i) + (−|x|−3 |g(x, t, i)|2 + 3|x|−5 |xT g(x, t, i)|2 )
2
|x|−2 |f (x, t, i)| + |x|−3 |g(x, t, i)|2
hk (1 + hk )|x|−1 .
Với mọi ε ∈ (0, |x0 |), xét thời điểm dừng
τε = inf{t

t0 : |x(t)| ∈
/ (ε, k)}.

17


Bằng cơng thức (2.3), ta có:
E[e−hk (1+hk )(τε ∧k) |x(τε ∧ T )|−1 ] = |x0 |−1 e−hk (1+hk )t0
τε ∧k

e−hk (1+hk )s [−hk (1 + hk )|x(s)|−1 + LV (x(s), s, r(s))]ds

+E
t0

|x0 |−1 e−hk (hk +1)t0 .
Với ω ∈ G, ta có τε

k và |x(τε )| = ε. Khi đó, từ bất đẳng thức trên ta

thấy
E[e−hk (1+hk )k ε−1 IG ]

|x0 |−1 e−hk (1+hk )t0 .

Tức là,
P(G)

ε|x0 |−1 ehk (1+hk )(k−t0 ) .

Cho ε → 0, khi đó P(G) = 0, điều này mâu thuẫn với P(G) > 0. Vậy ta có
điều phải chứng minh.
Tiếp theo chúng ta sẽ trình bày các định lý về điều kiện đủ cho tính ổn
định mũ theo moment và ổn định mũ hầu chắc chắn đối với nghiệm tầm
thường của phương trình (2.1). Trước hết, ta có định nghĩa sau.
Định nghĩa 2.1.2 ([3, Definition 5.7, pp.166]). Với p > 0, nghiệm tầm
thường của phương trình (2.1), hay đơn giản, nghiệm của (2.1) được gọi
là ổn định mũ moment bậc p nếu số mũ Lyapunov của moment bậc p bé
thua 0, tức là
1
lim sup log(E|x(t, t0 , x0 , r0 )|p ) < 0
t→∞ t
với mọi (t0 , x0 , r0 ) ∈ R+ × Rn × S. Khi p = 2, nó được gọi là ổn định mũ
bình phương trung bình.
Nghiệm tầm thường của phương trình (2.1) được gọi là ổn định mũ hầu
chắc chắc nếu số mũ Lyaponov của nghiệm bé thua 0, tức là
1
lim sup log(|x(t, t0 , x0 , r0 )|) < 0 h.c.c
t→∞ t
18


với mọi (t0 , x0 , r0 ) ∈ R+ × Rn × S.

Các điều kiện cho tính ổn định sẽ được thiết lập dựa vào việc xây dựng
các hàm Lyapunov. Trong Bổ đề 2.1.1 cho thấy x(t, t0 , x0 , r0 ) không bao
giờ chạm 0 khi điều kiện ban đầu x0 = 0. Do vậy, trong phần tiếp theo,
chúng ta chỉ cần một hàm Lyapunov V (x, t, i) xác định trên Rn0 × R+ × S,
trong đó Rn0 = Rn − {0}, cụ thể V ∈ C 2,1 (Rn0 × R+ × S; R+ ).
Định lý sau là điều kiện đủ để nghiệm tầm thường của phương trình
(2.1) ổn định mũ moment bậc p dưới điều kiện được đặt ra đối với hàm
Lyapunov.
Định lý 2.1.3 ([3, Theorem 5.8, pp.166]). Giả sử Giả thiết 2.1.1 là đúng.
Lấy p, λ, c1 , c2 là các số dương. Giả sử tồn tại một hàm V ∈ C 2,1 (Rn0 ×
R+ × S; R+ ) sao cho
c1 |x|p

V (x, t, i)

c2 |x|p

(2.4)

và
LV (x, t, i)

−λ|x|p ,

(2.5)

với mọi (x, t, i) ∈ Rn0 × R+ × S. Khi đó,
1
lim sup log(E|x(t, t0 , x0 , r0 )|p )
t→∞ t

λ
− ,
c2

(2.6)

với mọi (t0 , x0 , r0 ) ∈ R+ × Rn × S. Nói cách khác, nghiệm tầm thường của
phương trình (2.1) là ổn định mũ moment cấp p và số mũ Lyapunov của
moment cấp p không lớn hơn − cλ2 .
Chứng minh. Rõ ràng (2.6) luôn đúng nếu x0 = 0. Do đó, chúng ta chỉ cần
chứng tỏ (2.6) đúng với x0 = 0. Cố định x0 và t0
x(t, t0 , x0 , r0 ) = x(t). Với mỗi số nguyên k
τk = inf{t

t0 : |x(t)|
19

0, r0 ∈ S tuỳ ý và đặt

1, xét thời điểm dừng
k}.


Rõ ràng τk → ∞ hầu chắc chắn khi k → ∞. Ta có 0
t0

t

|x(t)|

τk , áp dụng cơng thức (2.3) có thể thấy rằng với bất kỳ t

k nếu
t0 ,

λ

E[e c2 (t∧τk ) V (x(t ∧ τk ), t ∧ τk , r(t ∧ τk ))]
λ

= V (x0 , t0 , r0 )e c2 t0
t∧τk
λ

e c2 s

+E

λ
V (x(s), s, r(s)) + LV (x(s), s, r(s)) ds
c2

t0
t∧τk

c2 |x0 |p e

λ
c 2 t0

λ
λ
e c2 s [ c2 |x(s)|p − λ|x(s)|p ]ds
c2

+E
0

λ

c2 |x0 |p e c2 t0 .
Do đó,
λ

c1 E[e c2 (t∧τk ) |x(t ∧ τk )|p ]

λ

c2 |x0 |p e 2 t0 .

Cho k → ∞, ta có
λ
c2
|x0 |p e− c2 (t−t0 ) .
c1
Lấy logarit cơ số e hai vế của (2.7) và chia hai vế cho t ta được

E|x(t)|p

1
log (E|x(t)|p )
t

(2.7)

1
c2
λ
log
|x0 |p −
(t − t0 ).
t
c1
c2 t

Lấy giới hạn hai vế khi cho t → ∞ ta được
1
lim sup log(E|x(t)|p )
t→∞ t

λ
− .
c2

Như vậy, ta có khẳng định (2.6).
Định lý 2.1.4 ([3, Theorem 5.9, pp.167]). Giả sử tồn tại hằng số dương
K sao cho
|f (x, t, i)| ∨ |g(x, t, i)|

K|x|, ∀ (x, t, i) ∈ Rn × R+ × S.

(2.8)

Lấy p > 0, λ > 0. Nếu với (t0 , x0 , r0 ) ∈ R+ × Rn × S có
1
lim sup log(E|x(t, t0 , x0 , r0 )|p )
t→∞ t
20

−λ

(2.9)


thì
1
lim sup log(|x(t, t0 , x0 , r0 )|)
t→∞ t

−

λ
h.c.c
p

(2.10)

Nói cách khác, nếu (2.8) thỏa mãn thì sự ổn định mũ moment cấp p kéo
ổn định mũ hầu chắc chắn của phương trình (2.1).

Chứng minh. Để đơn giản, chúng ta chỉ cần chứng minh cho trường hợp
t0 = 0, và có thể làm tương tự cho trường hợp t0 > 0. Cố định x0 ∈ Rn bất
kỳ và r0 ∈ S. Đặt x(t; 0, x0 , r0 ) = x(t, x0 , r0 ) = x(t). Lấy ε ∈ (0, 1) tuỳ ý.
Từ (2.9), tồn tại một hằng số dương M sao cho
E|x(t)|p

M e−(λ−ε)t , với t

0.

(2.11)

Lấy δ > 0 đủ nhỏ để
(3K)p (δ p + Cp δ p/2 ) <

1
2

(2.12)

trong đó Cp là hằng số được đưa ra bởi bất đẳng thức Burkholder-DavisGundy. Cho k = 1, 2, . . . . Với mọi a, b, c
(a + b + c)p

0,

[3(a ∨ b ∨ c)]p = 3p (ap ∨ bp ∨ cp )

3p (ap + bp + cp ),

ta có,


E

sup

|x(t)|p


3p E|x((k−1)δ)|p +3p E 

(k−1)δ t kδ

p

kδ


|f (x(s), s, r(s))|ds

(k−1)δ



+ 3p E 



t

sup


g(x(s), s, r(s))dB(s)|p  . (2.13)

|

(k−1)δ t kδ
(k−1)δ

Ta sẽ ước lượng từng số hạng trong vế phải của (2.13). Thật vậy, từ (2.11),
M e−(λ−ε)(k−1)δ .

E|x((k − 1)δ)|p

21

(2.14)


Ta có,


p

kδ

p


|f (x(s), s, r(s))|ds


E

E δ

|f (x(s), s, r(s))|

sup
(k−1)δ s kδ

(k−1)δ

(Kδ)p E

|x(s)|p . (2.15)

sup
(k−1)δ s kδ

Mặt khác,
t

kδ
p

E

sup

2

|g(x(s), s, r(s))| ds

Cp E

g(x(s), s, r(s))dB(s)

t∈[(k−1)δ,kδ]
(k−1)δ

(k−1)δ

Cp E δ

2

|g(x(s), s, r(s))|

sup

p
2

s∈[(k−1)δ,kδ]
p

Cp K p δ 2 E

sup

|x(s)|p .

s∈[(k−1)δ,kδ]

(2.16)
Thay (2.14)-(2.16) vào (2.13) ta có
M 3p e−(λ−ε)(k−1)δ

|x(t)|p

sup

E

(k−1)δ t kδ

+ (3K)p (δ p + Cp δ p/2 )E

sup

|x(t)|p .

(k−1)δ t kδ

Sử dụng (2.12) ta có
E

2M 3p e−(λ−ε)(k−1)δ .

|x(t)|p

sup

(2.17)

(k−1)δ t kδ

Do đó,
P ω:

|x(t)| > e−

sup

(λ−2ε)(k−1)δ
p

2M 3p e−ε(k−1)δ .

(k−1)δ t kδ

Theo bổ đề Borel-Cantelli, ta có thể thấy với hầu hết ω ∈ Ω,
sup

|x(t)|

(k−1)δ t kδ

22

e−

(λ−2ε)(k−1)δ
p

,

(2.18)

p
2