Luật mạnh số lớn cho hàm tiềm năng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

VÕ THỊ THANH HÒA

LUẬT MẠNH SỐ LỚN
CHO HÀM TIỀM NĂNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Nghệ An - 2019


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

VÕ THỊ THANH HÒA

LUẬT MẠNH SỐ LỚN
CHO HÀM TIỀM NĂNG

Chuyên ngành: LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN HỌC
Mã số: 8.46.01.06

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Cán bộ hướng dẫn khoa học
TS. DƯƠNG XUÂN GIÁP

Nghệ An - 2019

3

LỜI CẢM ƠN

Luận văn được thực hiện tại Trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn
của Thầy giáo TS. Dương Xuân Giáp. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu
sắc đến Thầy - người đã định hướng, giúp đỡ và hướng dẫn tận tình, chu
đáo trong suốt thời gian tác giả thực hiện luận văn.
Tác giả xin được gửi lời cảm ơn tới các thầy cô giáo trong Viện Sư phạm
tự nhiên, đặc biệt là các thầy cô trong bộ mơn Xác suất-Thống kê và Tốn
ứng dụng đã giảng dạy và chỉ bảo tận tình cho tác giả trong quá trình học
tập tại Trường.
Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn tới Viện Sư phạm Tự nhiên và Phòng
Đào tạo Sau đại học đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả hồn thành
chương trình học cao học Thạc sĩ của mình.
Tác giả xin cảm ơn tập thể lớp cao học khóa 25 chuyên ngành Lý thuyết
xác suất và thống kê toán học đã đồng hành cùng tác giả trong suốt quá
trình học tập và nghiên cứu.
Cuối cùng, tác giả xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, người thân, bạn bè,
đồng nghiệp đã luôn động viên, giúp đỡ và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho
tác giả trong suốt thời gian học tập và hoàn thành luận văn.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng luận văn khơng tránh khỏi thiếu
sót. Tác giả rất mong nhận được những lời góp ý q báu từ các thầy cơ
và bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn.
Nghệ An, tháng 7 năm 2019
Tác giả


MỤC LỤC

Lời cảm ơn

3

Mục lục

4

Một số ký hiệu thường dùng trong luận văn

5

Mở đầu

6

1 Một số kiến thức cơ bản về xác suất khơng cộng tính

9

1.1. Hàm tiềm năng

9

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2. Biến ngẫu nhiên trên không gian với hàm tiềm năng . . . . . . 12
1.3. Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên ứng với hàm tiềm năng . . . . . . 13
2 Luật mạnh số lớn cho hàm tiềm năng

17

2.1. Một số khái niệm và tính chất về xác suất đa trị . . . . . . . . 17
2.2. Luật mạnh số lớn cho hàm tiềm năng
Tài liệu tham khảo

. . . . . . . . . . . . . 20
26

4


5

MỘT SỐ KÝ HIỆU
THƯỜNG DÙNG TRONG LUẬN VĂN

tập hợp các số nguyên dương
tập hợp các số thực
σ -đại số các tập Borel trên R
họ tất cả các tập con compact khác rỗng của R
không gian Polish (không gian metric đầy đủ, khả ly) ứng với
metric d
B(Ω)
σ -đại số các tập Borel trên Ω
KΩ
họ tất cả các tập con compact khác rỗng của Ω
GΩ
họ tất cả các tập con mở của Ω

dH (A, B) khoảng cách Hausdorff giữa 2 tập A, B
B(KΩ )
σ -đại số các tập Borel trên không gian metric (KΩ , dH )
(I, C, λ) không gian xác suất
Eν (X)
kỳ vọng của biến ngẫu nhiên X : Ω → R ứng với hàm tiềm
năng ν
h.c.c.
hầu chắc chắn
tr. i
trang thứ i trong tài liệu được trích dẫn
✷
kết thúc chứng minh

N
R
B(R)
KR
Ω


6

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Ta bắt gặp trong thực tiễn những không gian đo với độ đo không có
tính cộng tính (xem các tài liệu [6], [8], [13]). Từ đó, khái niệm khơng
gian đo với hàm tiềm năng (capacity) được giới thiệu và được rất nhiều
nhà toán học trong và ngoài nước quan tâm nghiên cứu. Một trong những

hướng nghiên cứu đối với lớp không gian này là các định lý giới hạn và
ứng dụng của chúng. Năm 1999, M. Marinacci [11] thiết lập luật số lớn
cho hàm tiềm năng (capacity) đối với dãy các biến ngẫu nhiên độc lập
cùng phân phối và mơ hình hóa cho lý thuyết quyết định kinh tế (bài
báo được đăng trên tạp chí Journal of Economic Theory). Sau đó, năm
2005, F. Maccheroni và M. Marinacci [10] mở rộng kết quả trên cho dãy
các biến ngẫu nhiên độc lập đôi một cùng phân phối và một số giả thiết
khác đối với hàm tiềm năng (bài báo được đăng trên tạp chí The Annals
of Probability). Đến năm 2014, P. Terán [18] thiết lập luật số lớn cho hàm
tiềm năng đối với dãy các biến ngẫu nhiên độc lập đôi một cùng phân phối
với một số giả thiết yếu hơn (bài báo được đăng trên tạp chí Transactions
of the American Mathematical Society). Dưới các tên gọi khác nhau, hàm
tiềm năng đã được nghiên cứu rộng rãi trong cả toán học thuần túy và
ứng dụng.
Chúng ta biết rằng, luật số lớn là một trong những định lý giới hạn
quan trọng của lý thuyết xác suất. Luật số lớn chỉ ra rằng, khi kích thước
mẫu càng lớn thì trung bình của các biến ngẫu nhiên càng gần với giá
trị kỳ vọng. Vậy, luật số lớn phát biểu cho hàm tiềm năng thì như thế
nào? Theo hướng nghiên cứu này, để tập dượt nghiên cứu cũng như để
làm phong phú thêm các tài liệu về xác suất không cộng tính, trên cơ sở
bài báo “A strong law of large numbers for capacities” của các tác giả F.


7

Maccheroni và M. Marinacci đăng trên tạp chí The Annals of Probability
năm 2005, chúng tôi lựa chọn đề tài: “Luật mạnh số lớn cho hàm tiềm
năng”.
2. Mục đích nghiên cứu
Nắm được một số khái niệm và tính chất của lý thuyết xác suất khơng

cộng tính.
Nắm được luật mạnh số lớn cho dãy các biến ngẫu nhiên ứng với hàm
tiềm năng.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Luận văn này thực hiện các nhiệm vụ chính sau đây:
- Đọc hiểu một số tài liệu liên quan đến khái niệm về hàm tiềm năng,
biến ngẫu nhiên xác định trên không gian với hàm tiềm năng và các tính
chất của chúng.
- Phát biểu và chứng minh luật mạnh số lớn cho hàm tiềm năng.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu là hàm tiềm năng, biến ngẫu nhiên xác định trên
không gian với hàm tiềm năng.
Phạm vi nghiên cứu là các tính chất của biến ngẫu nhiên và kỳ vọng
của biến ngẫu nhiên xác định trên không gian với hàm tiềm năng; luật
mạnh số lớn cho dãy các biến ngẫu nhiên xác định trên không gian với
hàm tiềm năng.
5. Phương pháp nghiên cứu
Sử dụng phối hợp các phương pháp nghiên cứu lý thuyết thuộc các
chuyên ngành lý thuyết xác suất và giải tích.
6. Những đóng góp mới của đề tài
Trình bày và chứng minh chi tiết các tính chất kỳ vọng của biến ngẫu
nhiên ứng với hàm tiềm năng.
Trình bày chứng minh chi tiết luật mạnh số lớn cho dãy các biến ngẫu
nhiên ứng với hàm tiềm năng.


8

7. Cấu trúc luận văn
Ngoài phần Lời cảm ơn, Mục lục, Một số ký hiệu thường dùng trong

luận văn, Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, luận văn được chia
thành hai chương.
Chương 1. Một số kiến thức cơ bản về xác suất khơng cộng tính
Trong chương này, chúng tôi giới thiệu một số kiến thức làm cơ sở cho
việc trình bày nội dung chính của luận văn ở chương sau. Chúng tôi chia
chương này thành các mục sau:
1.1. Hàm tiềm năng
1.2 Biến ngẫu nhiên trên không gian với hàm tiềm năng
1.3 Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên ứng với hàm tiềm năng.
Chương 2. Luật mạnh số lớn cho hàm tiềm năng
Chương 2 là nội dung chính của luận văn. Trong chương này, chúng tôi
nghiên cứu về luật mạnh số lớn cho dãy các biến ngẫu nhiên với hàm tiềm
năng. Cụ thể, chúng tôi chia chương 2 thành các mục sau:
2.1. Một số khái niệm và tính chất về xác suất đa trị
2.2. Luật mạnh số lớn cho hàm tiềm năng.


9

CHƯƠNG 1
MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN
VỀ XÁC SUẤT KHÔNG CỘNG TÍNH

Trong chương này, chúng tơi trình bày khái niệm về hàm tiềm năng;
biến ngẫu nhiên, kỳ vọng của biến ngẫu nhiên ứng với hàm tiềm năng và
các tính chất của chúng.
Trong tồn bộ luận văn, nếu khơng nói gì thêm thì chúng tơi ln giả
sử rằng Ω là một không gian Polish ứng với metric d (không gian metric
đầy đủ, khả ly) và B(Ω) là σ -đại số Borel của nó; ký hiệu R (tương ứng,
N) là tập tất cả các số thực (tương ứng, tập tất cả các số nguyên dương).

1.1. Hàm tiềm năng
1.1.1 Định nghĩa. Một hàm tập ν : B(Ω) → [0, 1] gọi là một hàm tiềm
năng hoàn toàn đơn điệu (totally monotone capacity) nếu thỏa mãn 5 điều
kiện sau:
(1). ν(∅) = 0 và ν(Ω) = 1;
(2). ν(A) ≤ ν(B) với mọi tập Borel A ⊂ B ;
(3). ν(Bn ) ↓ ν(B) với mọi dãy các tập Borel Bn ↓ B ;
(4). ν(Gn ) ↑ ν(G) với mọi dãy các tập mở Gn ↑ G;
(5). ν(∪nj=1 Bj ) ≥

|J|+1
ν(∩j∈J Bj )
∅=J⊆{1,2,...,n} (−1)

với mọi họ B1 , ..., Bn

các tập Borel.
Một hàm tập ν : B(Ω) → [0, 1] được gọi là liên tục nếu thỏa mãn điều
kiện:
(6). ν(Bn ) ↑ ν(Ω) với mọi dãy các tập Borel Bn ↑ Ω.


10

1.1.2 Nhận xét. Một hàm tập liên tục ν : B(Ω) → [0, 1] là hàm tiềm
năng hoàn toàn đơn điệu khi và chỉ khi nó thỏa mãn các điều kiện (1), (2)
và (5) (Chi tiết xem trong tài liệu [16]).
1.1.3 Ví dụ. (1). Độ đo xác suất thơng thường là một hàm tiềm năng
hoàn toàn đơn điệu.

(2). Cho M là một tập con đóng khác rỗng của Ω. Ta định nghĩa hàm

ν : B(Ω) → [0, 1] như sau
ν(A) =

1 nếu M ⊆ A,
0 nếu M A

với mỗi A ∈ B(Ω). Khi đó, ν là hàm tiềm năng hồn tồn đơn điệu, nhưng
khơng phải là độ đo xác suất.
Thật vậy, xét điều kiện (1), do M

∅ và M ⊆ Ω nên ν(∅) = 0 và

ν(Ω) = 1. Từ đó ta suy ra điều kiện (1) trong Định nghĩa 1.1.1 đúng.
Xét điều kiện (2), với mọi tập Borel A ⊆ B , nếu M ⊆ A thì M ⊆ B
và do đó ν(A) = ν(B) = 1; cịn nếu M

A thì ν(A) = 0. Từ đó, ta ln

có ν(A) ≤ ν(B). Điều kiện (2) trong Định nghĩa 1.1.1 được thỏa mãn.
Xét điều kiện (3), với mọi dãy các tập Borel Bn ↓ B , theo điều kiện (2)
ta có ν(Bn ) ↓. Lưu ý rằng

∞

B=

Bn .
n=1

Nếu M ⊆ B thì rõ ràng M ⊆ Bn với mọi n và do đó ν(Bn ) = ν(B) = 1 với
mọi n. Nếu M

B thì bằng phương pháp phản chứng ta suy ra M

Bn

với n đủ lớn và do đó ν(Bn ) = ν(B) = 0 với n đủ lớn. Tóm lại, điều kiện
(3) được thỏa mãn.
Xét điều kiện (4), tương tự như xét điều kiện (3), với mọi dãy các tập
mở Gn ↑ G, theo điều kiện (2) ta có ν(Gn ) ↑. Lưu ý rằng
∞

G=

Gn .
n=1


11

Nếu M

G thì rõ ràng M

Gn với mọi n và do đó ν(Gn ) = ν(G) = 0 với

mọi n. Nếu M ⊆ G thì bằng phương pháp phản chứng ta suy ra M ⊆ Gn
với n đủ lớn và do đó ν(Gn ) = ν(G) = 1 với n đủ lớn. Tóm lại, điều kiện

(4) được thỏa mãn.
Cuối cùng, xét điều kiện (5), với mọi họ các tập Borel B1 , B2 , ..., Bn

(n ≥ 1), ta cần chứng minh
(−1)|J|+1 ν(∩j∈J Bj ).

ν(∪nj=1 Bj ) ≥

(1.1.1)

∅=J⊆{1,2,...,n}

Nếu M

∪nj=1 Bj thì M

∩j∈J Bj với mọi ∅ = J ⊆ {1, 2, ..., n} và khi đó

tất cả các số hạng trong hai vế của (1.1.1) đều bằng 0. Khi đó, ta thu được
điều kiện (5). Còn nếu M ⊆ ∪nj=1 Bj thì vế trái của (1.1.1) bằng 1. Giả sử
trong họ các tập Borel B1 , B2 , ..., Bn , có k tập Bi thỏa mãn M ⊆ Bi và

n − k tập Bj còn lại thỏa mãn M

Bj . Ta cũng chỉ cần xét cho k ≥ 1 vì

nếu k = 0 thì vế phải của (1.1.1) bằng 0 và do đó điều kiện (5) được thỏa
mãn. Ta nhận xét rằng M ⊆ Bi với mọi i ∈ I khi và chỉ khi M ⊆

Bi .

i∈I

Điều này suy ra số hạng (−1)|J|+1 ν(∩j∈J Bj ) khác 0 (cụ thể là bằng ±1)
khi và chỉ khi M ⊆ Bj với mọi j ∈ J . Từ đó, sử dụng kiến thức về giải
tích tổ hợp, ta tính được giá trị vế phải của (1.1.1) như sau
VP(1.1.1) = Ck1 − Ck2 + ... + (−1)i+1 Cki + ... + (−1)k+1 Ckk
k

(−1)i+1 Cki .

=1+
i=0

Theo công thức khai triển nhị thức Newtơn, ta có
k
k

Cki xi .

(x + 1) =
i=0

Thay x = −1 ta được

k
i
i
i=0 Ck (−1)

= 0 và do đó

k
i+1 i
Ck
i=0 (−1)

= 0.

Điều này suy ra VP(1.1.1) = 1. Từ đó, ta suy ra điều kiện (5) được thỏa
mãn.


12

Tóm lại, ν là hàm tiềm năng hồn tồn đơn điệu.
Tiếp theo, chúng tơi chỉ ra ví dụ chứng tỏ ν không là độ đo xác suất.
Ta chọn A, B ∈ B(Ω) sao cho M

A, M

B và M ⊆ A ∪ B (chẳng hạn

Ω = R, M = [1, 3], A = [0, 2], B = [2, 4]). Khi đó
ν(A ∪ B) = 1;
ν(A) = 0;
ν(B) = 0;
ν(A ∩ B) = 0.
và do đó ν(A ∪ B) = ν(A) + ν(B) − ν(A ∩ B), nghĩa là hàm ν không có
tính cộng tính. Điều này chứng tỏ rằng ν khơng là độ đo xác suất.
1.1.4 Tính chất. Giả sử ν : B(Ω) → [0, 1] là hàm tiềm năng hoàn tồn

đơn điệu và A ∈ B(Ω). Khi đó

¯ ≤ 1 − ν(A).
ν(A)
Đặc biệt, nếu ν(A) = 1 thì với mọi B ∈ B(Ω), B ⊂ A, ta có ν(B) = 0.

¯ ≥ ν(A) + ν(A)
¯ − ν(A ∩ A)
¯ (từ
Chứng minh. Do 1 = ν(Ω) = ν(A ∪ A)
¯ = ν(∅) = 0 (từ Định nghĩa 1.1.1(1))
Định nghĩa 1.1.1(5)) và do ν(A ∩ A)
¯ ≤ 1 − ν(A).
nên ν(A)
¯ ≤ 0. Do B ⊂ A và
Từ đó, nếu ν(A) = 1 thì theo trên, ta suy ra ν(A)
theo tính đơn điệu (Định nghĩa 1.1.1(2)) nên ta thu được ν(B) ≤ 0. Điều
này dẫn tới ν(B) = 0.

1.2. Biến ngẫu nhiên trên không gian với hàm tiềm năng
1.2.1 Định nghĩa. Một ánh xạ X : Ω → R được gọi là một biến ngẫu
nhiên nếu nó là một hàm đo được, nghĩa là với mỗi B ∈ B(R), ta ln có

X −1 (B) ∈ B(Ω).


13

Các khái niệm độc lập đôi một và cùng phân phối của dãy các biến
ngẫu nhiên (ứng với hàm tiềm năng ν ) trình bày sau đây được tham khảo

trong tài liệu [10].
1.2.2 Định nghĩa. (xem [10, tr. 1172]) Giả sử ν là một hàm tiềm năng
hoàn toàn đơn điệu trên B(Ω). Dãy các biến ngẫu nhiên {Xn : n ≥ 1}
được gọi là độc lập đôi một (ứng với ν ) nếu với mọi n1 , n2 ∈ N và mọi tập
con mở G1 , G2 của R, ta có

ν(Xn1 ∈ G1 , Xn2 ∈ G2 ) = ν(Xn1 ∈ G1 ).ν(Xn2 ∈ G2 ).
1.2.3 Định nghĩa. (xem [10, tr. 1172]) Giả sử ν là một hàm tiềm năng
hoàn toàn đơn điệu trên B(Ω). Dãy các biến ngẫu nhiên {Xn : n ≥ 1}
được gọi là cùng phân phối (ứng với ν ) nếu với mọi m, n ∈ N và mọi tập
con mở G của R ta đều có

ν(Xm ∈ G) = ν(Xn ∈ G).
1.3. Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên ứng với hàm tiềm năng
Sau đây, kỳ vọng của biến ngẫu nhiên ứng với hàm tiềm năng được định
nghĩa thơng qua tích phân Choquet.
1.3.1 Định nghĩa. (xem [10]) Giả sử ν là một hàm tiềm năng hoàn toàn
đơn điệu trên B(Ω) và X : Ω → R là một biến ngẫu nhiên bị chặn. Khi
đó, kỳ vọng của biến ngẫu nhiên X , ký hiệu là Eν (X), được xác định bởi
+∞

Eν (X) :=

0

[ν(X > t) − 1]dt

ν(X > t)dt +
0

−∞

trong đó các tích phân ở vế phải đều là tích phân Riemann và chúng hồn
tồn được xác định do ν(X > t) là hàm đơn điệu khơng tăng theo biến t.
1.3.2 Tính chất. Giả sử X, Y là biến ngẫu nhiên, C là hằng số và α là
số thực dương. Khi đó


14

(1). Eν (C) = C ;
(2). Eν (X + C) = Eν (X) + C ;
(3). Eν (αX) = αEν (X);
(4). Eν (X) ≤ −Eν (−X);
(5). Nếu X ≤ Y thì Eν (X) ≤ Eν (Y ).
Chứng minh. (1). Ta có:
+∞

Eν (C) =

0

[ν(C > t) − 1]dt.

ν(C > t)dt +
−∞

0

Xét hai trường hợp:

Trường hợp 1: C ≥ 0:
+∞

Eν (C) =

0

[1 − 1]dt

ν(C > t)dt +
0

−∞

+∞

=

ν(C > t)dt
0

C

+∞

=

ν(C > t)dt +
0

ν(C > t)dt
C

+∞

C

0dt

1dt +

=

C

0

= C.

Trường hợp 2: C < 0:
0

+∞

Eν (C) =

[ν(C > t) − 1]dt

0dt +
0

−∞

0

[ν(C > t) − 1]dt

=
−∞
C

0

[ν(C > t) − 1]dt +

=
−∞
C

0

[1 − 1]dt +

=
−∞

= C.

[0 − 1]dt
C

0

=−

[ν(C > t) − 1]dt
C

dt
C

(2). Ta có:
+∞

Eν (X + C) =

0

[ν(X + C > t) − 1]dt

ν(X + C > t)dt +
0

−∞


15
+∞

0

ν(X > t − C)dt +

=

[ν(X > t − C) − 1]dt.
−∞

0

Áp dụng phương pháp đổi biến số, đặt t − C = u, ta được:
−C

+∞

Eν (X + C) =

[ν(X > u) − 1]du

ν(X > u)du +
−C
0

−∞
+∞

=

ν(X > u)du +

ν(X > u)du

−C
0

0

−C

[ν(X > u) − 1]du +

+
−∞

+∞

=

[ν(X > u) − 1]du
0
0

[ν(X > u) − 1]du

ν(X > u)du +
−∞
−C

0
0

+

−C

ν(X > u)du −

ν(X > u)du +
−C

0

du
0

= Eν (X) + C .
(3). Ta có:
+∞

Eν (αX) =

0

[ν(αX > t) − 1]dt

ν(αX > t)dt +
0

+∞

=

ν(X >
0

t
)dt +
α

−∞
0

[ν(X >
−∞

Áp dụng phương pháp đổi biến số, đặt
được:

+∞

Eν (αX) = α

t
= u ⇒ t = αu ; dt = αdu ta
α

0

[ν(X > u) − 1]du

ν(X > u)du + α
0

t
) − 1]dt.
α

−∞
0

+∞

[ν(X > u) − 1]du

ν(X > u)du +

=α

−∞

0

= αEν (X).
(4). Điều phải chứng minh Eν (X) ≤ −Eν (−X) tương đương với
Eν (−X) ≤ −Eν (X).
Từ Tính chất 1.1.4 ta suy ra
+∞

Eν (−X) =

0

[ν(−X > t) − 1]dt

ν(−X > t)dt +
0

−∞
0

+∞

ν(X < −t)dt +

=
0

+∞

≤

[ν(X < −t) − 1]dt
−∞

0

(1 − ν(X ≥ −t))dt +
0

[−ν(X ≥ −t)]dt.

−∞


16

Tiếp tục, áp dụng phương pháp đổi biến số, đặt −t = u; dt = −du ta
được:

0

Eν (−X) ≤ −

+∞

−(1 − ν(X ≥ u))du −
−∞
+∞

≤−

ν(X ≥ u)du
0

0

ν(X ≥ u)du+

[ν(X ≥ u)−1]du = −Eν (X).
−∞

0

Vậy: Eν (X) ≤ −Eν (−X).

(5). Vì X ≤ Y nên (X > t) ⊂ (Y > t). Theo Định nghĩa 1.1.1(2), ta
suy ra

ν(X > t) ≤ ν(Y > t).
Từ đó,
+∞

0

[ν(X > t) − 1]dt

ν(X > t)dt +
−∞

0
+∞

≤

0

[ν(Y > t) − 1]dt

ν(Y > t)dt +
0

−∞

hay Eν (X) ≤ Eν (Y ).
1.3.3 Chú ý. Theo [10, tr. 1173], dấu bằng trong ý (4) của Tính chất
1.3.2 xảy ra với mọi biến ngẫu nhiên X , nghĩa là Eν (X) = −Eν (−X) với
mọi biến ngẫu nhiên X , khi và chỉ khi ν có tính cộng tính.


17

CHƯƠNG 2
LUẬT MẠNH SỐ LỚN CHO HÀM TIỀM NĂNG

2.1. Một số khái niệm và tính chất về xác suất đa trị
Các khái niệm và tính chất của mục này được tham khảo trong tài liệu
[10].
Trong suốt phần này trở về sau, ta luôn giả sử (I, C, λ) là một khơng
gian xác suất đầy đủ và khơng có ngun tử. Ký hiệu KΩ (tương ứng, GΩ )
là họ tất cả các tập con compact khác rỗng (tương ứng, tập con mở) của

Ω. Ký hiệu KR là họ tất cả các tập con compact khác rỗng của R.
2.1.1 Mệnh đề. (xem [10, tr. 1174]) KΩ là một không gian metric đầy
đủ, khả ly ứng với khoảng cách Hausdorff

dH (A, B) := max{max min d(a, b), max min d(b, a)}.
a∈A b∈B

b∈B a∈A

Hơn nữa, σ -đại số Borel trên không gian metric (KΩ , dH ), ký hiệu B(KΩ ),

còn được sinh bởi lớp {K ∈ KΩ : K ⊆ G}G∈GΩ .
Cho ánh xạ đa trị F : I → KΩ . Với mỗi A ⊂ Ω, ký hiệu

F−1 (A) := {s ∈ I : F (s) ⊂ A}.
2.1.2 Định nghĩa. (xem [10, tr. 1174]) Ánh xạ đa trị F : I → KΩ được
gọi là đo được nếu F−1 (G) ∈ C với mọi G ∈ GΩ .
Một ánh xạ đa trị đo được còn được gọi là biến ngẫu nhiên đa trị.


18

Tiếp theo, ta có mệnh đề sau về các điều kiện tương đương để một ánh
xạ đa trị là một biến ngẫu nhiên đa trị.
2.1.3 Mệnh đề. (xem [10, tr. 1174] và còn xem [9]) Cho ánh xạ đa trị

F : I → KΩ . Khi đó, các phát biểu sau là tương đương.
(i). F đo được;
(ii). F−1 (B) ∈ C với mọi B ∈ B(Ω);
(iii). F −1 (B) ∈ C với mỗi B ∈ B(KΩ ).
Với mỗi biến ngẫu nhiên đa trị F : I → KΩ , σ -đại số sinh bởi F , ký
hiệu σ(F ), được xác định bởi

σ(F ) := {F −1 (D) : D ∈ B(KΩ )}.
Để chứng minh luật mạnh số lớn, chúng ta cần bổ đề sau.
2.1.4 Bổ đề. (xem [10, Bổ đề 2]) Giả sử F : I → KΩ là một biến ngẫu
nhiên đa trị. Khi đó,

σ(F ) = σ {F−1 (G) : G ∈ GΩ }
và {F−1 (G) : G ∈ GΩ } là một π -lớp chứa I .
2.1.5 Định nghĩa. (xem [10, tr. 1175]) Giả sử F : I → KΩ là biến ngẫu

nhiên đa trị. Phân phối dưới νF : B(Ω) → [0, 1] được xác định bởi νF (B) =

λ(F−1 (B)) với mọi B ∈ B(Ω).
Sau đây là mối liên hệ giữa hàm tiềm năng hoàn toàn đơn điệu và phân
phối dưới. Kết quả này sẽ được dùng chứng minh luật mạnh số lớn.
2.1.6 Bổ đề. (xem [10, Bổ đề 3] và còn xem trong [3, 4, 13, 14]) Hàm

ν : B(Ω) → [0; 1] là hàm tiềm năng hoàn toàn đơn điệu khi và chỉ khi tồn
tại một biến ngẫu nhiên đa trị F : I → KΩ sao cho ν = νF .


19

2.1.7 Định nghĩa. Hàm đo được f : I → Ω được gọi là hàm chọn của
biến ngẫu nhiên đa trị F : I → KΩ nếu f (s) ∈ F (s) h.c.c. Tập tất cả các
hàm chọn khả tích của F được ký hiệu là SF1 .
2.1.8 Định nghĩa. (xem [2]) Giả sử F : I → KR là biến ngẫu nhiên đa
trị. Kỳ vọng của F , ký hiệu EF , là tích phân Aumann ứng với λ, được xác
định bởi
EF = {Ef : f ∈ SF1 }.
2.1.9 Nhận xét. (1). Nếu X : Ω → R là hàm liên tục hoặc là biến ngẫu
nhiên đơn giản và F : I → KΩ là ánh xạ đa trị, thì phép tương ứng

(X ◦ F )(s) := X(F (s)) cũng là ánh xạ đa trị nhận giá trị compact, nghĩa
là X(F (s)) ∈ KR với mọi s ∈ I .
(2). Từ tính đo được của X , F và do

(X ◦ F )−1 (A) = F−1 (X −1 (A))
với mọi A ⊂ R, ta suy ra X ◦ F đo được.
Sau đây là một hệ quả của [3, Định lý 4.1].

2.1.10 Bổ đề. (xem [10, Bổ đề 4]) Giả sử F : I → KΩ là biến ngẫu nhiên
đa trị và X : Ω → R là biến ngẫu nhiên bị chặn và liên tục (hoặc biến
ngẫu nhiên đơn giản). Khi đó:
E(X ◦ F ) =

(X ◦ F )dλ = [EνF (X), −EνF (−X)]

trong đó X ◦ F là biến ngẫu nhiên đa trị xác định trên không gian xác suất

(I, C, λ).
Tiếp theo là một kết quả quan trọng để chứng minh kết quả chính.
2.1.11 Bổ đề. (xem [10, tr. 1177]) Giả sử {Kn : n ≥ 1} là một dãy nhận
giá trị trên KR thỏa mãn Kn → [α, β] theo khoảng cách Hausdorff. Khi
đó,

α ≤ lim inf kn ≤ lim sup kn ≤ β
n

n


20

với mỗi dãy {kn : n ≥ 1} ⊂ R sao cho kn ∈ Kn với mọi n ≥ 1.
Chứng minh. Theo định nghĩa của khoảng cách Hausdorff, Kn hội tụ tới

[α, β] khi và chỉ khi
max{ max min |tn − r|, max min |r − tn |} → 0.
tn ∈Kn r∈[α,β]

r∈[α,β] tn ∈Kn

Đặc biệt,

max min |tn − r| → 0.

tn ∈Kn r∈[α,β]

(2.1.1)

Giả sử {knj : j ≥ 1} là một dãy con của dãy {kn : n ≥ 1} sao cho

knj → ∈ [−∞, ∞]. Nếu ∈
/ [α, β] thì tồn tại ε > 0 sao cho |knj − r| > ε
với mọi r ∈ [α, β], kể từ số hạng nào đó trở đi. Từ đó, chúng ta có

min |knj − r| > ε

r∈[α,β]

kể từ số hạng nào đó trở đi. Điều này mâu thuẫn với (2.1.1).

2.2. Luật mạnh số lớn cho hàm tiềm năng
2.2.1 Định lý. Giả sử ν : B(Ω) → [0, 1] là hàm tiềm năng hoàn toàn đơn
điệu và giả sử {Xn : n ≥ 1} là một dãy các biến ngẫu nhiên bị chặn, độc
n
1
Xj . Khi đó:
lập đơi một và cùng phân phối. Đặt Sn =
n j=1

ν ({ω ∈ Ω : Eν (X1 ) ≤ lim inf Sn (ω) ≤ lim sup Sn (ω) ≤ −Eν (−X1 )}) = 1
nếu một trong hai điều kiện sau thỏa mãn:

(i) các biến ngẫu nhiên {Xn } liên tục hoặc là hàm đơn giản,
(ii) ν liên tục.


21

Chứng minh. Đầu tiên, ta chứng minh định lý khi điều kiện (i) thỏa mãn.
Theo Bổ đề 2.1.6, tồn tại một biến ngẫu nhiên đa trị F : I → KΩ sao cho

ν = νF .
Tiếp theo, xét dãy các biến ngẫu nhiên đa trị {Xn ◦ F : n ≥ 1} xác
định trên không gian xác suất (I, C, λ). Trước tiên, ta chứng minh các biến
ngẫu nhiên Xn ◦ F : I → KR độc lập đôi một và cùng phân phối.
Với m, n ≥ 1 và Gn , Gm ∈ GR ta có:

λ ((Xn ◦ F )−1 (Gn ) ∩ (Xm ◦ F )−1 (Gm ))
−1
= λ F−1 (Xn−1 (Gn )) ∩ F−1 (Xm
(Gm ))
−1
= λ F−1 (Xn−1 (Gn ) ∩ (Xm
(Gm ))
−1
= ν Xn−1 (Gn ) ∩ (Xm
(Gm )
−1

= ν Xn−1 (Gn )).ν(Xm
(Gm )
−1
= λ F−1 (Xn−1 (Gn )).λ(F−1 (Xm
(Gm ))

= λ (Xn ◦ F )−1 (Gn )).λ((Xm ◦ F )−1 (Gm )) .
Kết hợp điều này cùng với {(Xj ◦ F )−1 (G)}G∈GR , j = m, n, là π -lớp
chứa I và sinh ra σ -đại số σ(Xj ◦ F ), nên ta suy ra dãy {Xn ◦ F : n ≥ 1}
độc lập đôi một.
Hơn nữa, với mỗi m, n ≥ 1 và mỗi tập mở G ∈ GR , ta có

λ (Xn ◦ F )−1 ({K ∈ KR : K ⊂ G})
= λ ({Xn ◦ F ∈ {K ∈ KR : K ⊂ G}})
= λ ((Xn ◦ F )−1 (G))
= λ F−1 (Xn−1 (G))
= ν Xn−1 (G)
−1
= ν Xm
(G)

= λ (Xm ◦ F )−1 ({K ∈ KR : K ⊂ G}) .
Điều này cùng với {K ∈ KR : K ⊂ G}G∈GR là π -lớp chứa KR và sinh ra


22

B(KR ), nên ta suy ra dãy {Xn ◦ F : n ≥ 1} cùng phân phối.
1
Mặt khác, với mỗi n ≥ 1 và mỗi h ∈ SX

, ta có E(h) =
n ◦F

hdλ hữu

hạn (do h bị chặn). Hơn nữa, theo Bổ đề 2.1.10, ta suy ra
E(Xn ◦ F ) =

(Xn ◦ F )dλ ∈ KR .

Tóm lại, {Xn ◦ F : n ≥ 1} là dãy các biến ngẫu nhiên đa trị độc lập,
cùng phân phối thỏa mãn E(Xn ◦ F ) ∈ KR với mọi n ≥ 1. Áp dụng kết
quả của C. Hess [7] (xem thêm [5] và [15]) và cũng là một tổng quát kết
quả của Z. Artstein và R. A. Vitale [1], ta thu được luật mạnh số lớn

1
n

n
d

H
Xj ◦ F →
E(X1 ◦ F )

h.c.c.

j=1




1

⇔λ
s∈I:

n

n

j=1



dH
Xj (F (s)) → E(X1 ◦ F )  = 1.


Theo Bổ đề 2.1.10, ta có
E(X1 ◦ F ) = [Eν (X1 ), −Eν (−X1 )] .
Đặt an (ω) =

1 n
Xj (ω) và đặt
n j=1



1
S1 := s ∈ I :


n

n

j=1



dH
Xj (F (s)) → [Eν (X1 ), −Eν (−X1 )]


S2 := {s ∈ I : Eν (X1 ) ≤ lim inf an (ω)
≤ lim sup an (ω) ≤ −Eν (−X1 ), ∀ω ∈ F (s)}
Ω2 := {ω ∈ Ω : Eν (X1 ) ≤ lim inf an (ω) ≤ lim sup an (ω) ≤ −Eν (−X1 )} .
Ta cần chứng minh ν(Ω2 ) = 1. Ta có

ν(Ω2 ) = λ({s ∈ I : F (s) ⊂ Ω2 }) = λ(S2 ).
Từ đó ta cần chứng minh λ(S2 ) = 1.


23

Tiếp theo, ta sẽ chứng minh S1 ⊂ S2 . Ta có: nếu s ∈ S1 thì

1
n

n

d

H
Xj (F (s)) →
[Eν (X1 ), −Eν (−X1 )] .

j=1

Từ đó, với mọi ω ∈ F (s),

1
an (ω) =
n

n

1
Xj (ω) ∈
n
j=1

n

Xj (F (s)).
j=1

Do đó, theo Bổ đề 2.1.11, ta thu được
Eν (X1 ) ≤ lim inf an (ω) ≤ lim sup an (ω) ≤ −Eν (−X1 ).
Từ đó, S1 ⊂ S2 và vì vậy ν(Ω2 ) = λ(S2 ) ≥ λ(S1 ) = 1. Ta thu được điều
phải chứng minh cho trường hợp điều kiện (i) thỏa mãn.

Bước tiếp theo, ta chứng minh định lý cho trường hợp điều kiện (ii)
thỏa mãn. Với tôpô Polish trên Ω, ký hiệu τ , tồn tại một tôpô Polish

τ ∗ ⊃ τ trên Ω sao cho σ(τ ∗ ) = B(Ω) và thỏa mãn các biến ngẫu nhiên
Xn , n ≥ 1 liên tục theo τ ∗ (xem [17]). Từ ν liên tục, ta suy ra ν là hàm
tiềm năng hồn tồn đơn điệu ứng với tơpơ τ ∗ . Điều này cùng với kết luận
định lý khi điều kiện (i) thỏa mãn, ta thu được điều phải chứng minh cho
trường hợp điều kiện (ii) thỏa mãn.
2.2.2 Chú ý. (1). Với các giả thiết của Định lý 2.2.1, chúng ta cịn có

ν

ω ∈ Ω : lim inf Sn (ω) < Eν (X1 )

=0

và

ν

ω ∈ Ω : lim sup Sn (ω) > −Eν (−X1 )

(2). Khi ν là độ đo xác suất (ν có tính cộng tính) thì
Eν (X1 ) = −Eν (−X1 )

= 0.


24

nên từ Định lý 2.2.1 ta suy ra luật mạnh số lớn Kolmogorov

ν

ω ∈ Ω : lim Sn (ω) = Eν (X1 )

= 1.

(3). Trong [11], các tác giả đã chỉ ra một số trường hợp khi ν khơng có
tính cộng tính thì

ν

ω ∈ Ω : lim inf Sn (ω) < lim sup Sn (ω)

= 1.


25

KẾT LUẬN

I. Kết quả đạt được
Luận văn đã thu được một số kết quả như sau:
1) Trình bày có hệ thống các khái niệm và tính chất cơ bản của lý
thuyết xác suất khơng cộng tính như hàm tiềm năng; biến ngẫu nhiên và
kỳ vọng của biến ngẫu nhiên ứng với hàm tiềm năng.
2) Trình bày và chứng minh chi tiết các tính chất liên quan của lý
thuyết xác suất khơng cộng tính.
3) Trình bày và chứng minh chi tiết luật mạnh số lớn đối với dãy các

biến ngẫu nhiên cho hàm tiềm năng. Đây là các kết quả được công bố
trong bài báo của F. Maccheroni và M. Marinacci [10] đăng trên tạp chí
The Annals of Probability.

II. Hướng phát triển của luận văn
- Tiếp tục nghiên cứu luật mạnh số lớn đối với các biến ngẫu nhiên ứng
với hàm tiềm năng cho các giả thiết phụ thuộc khác nhau.
- Tiếp tục nghiên cứu luật mạnh số lớn đối với các biến ngẫu nhiên ứng
với hàm tiềm năng cho cấu trúc nhiều chỉ số.