Các dạng toán hình học 7 HKII (2019 2020)

Phương pháp giải tốn Hình học 7
PHẦN LÝ THUYẾT
1. Hai góc đối đỉnh : Là góc có cạnh của góc này là tia đối một cạnh của góc kia, hai góc đối đỉnh thì bằng
nhau.
GT

và

là hai góc đối đỉnh

KL

Chú ý:
- Với n đường thẳng phân biệt giao nhau tại một điểm có 2n tia chung gốc. Số góc tạo bởi hai tia chung gốc
là: 2n(2n-1) : 2 = n( 2n – 1). Trong đó có n góc bẹt. Số góc cịn lại là 2n(n – 1). Số cặp góc đối đỉnh là: n(n
– 1).
- Hai góc bù nhau là hai góc có tổng bằng 180 0, hai góc phụ nhau là hai góc có tổng bằng 90 0, góc bẹt là góc
có số đo bằng 1800, góc tù là góc có số đo nằm trong khoảng từ 90 0 đến 1800, góc vng = 900, góc nhọn có
số đo nằm trong khoảng 00 đến 900.
2. Đường trung trực của đoạn thẳng: Là đường thẳng vng góc với đoạn thẳng tại trung điểm của đoạn
thẳng.

d  AB t�
iI
�
IA =IB
�

- d là trung trực của AB � �

-Tính chất:

Mọi điểm nằm trên đường trung trực của
đoạn thẳng luôn cách đều hai đầu đoạn thẳng
M �d � MA = MB.

3. Góc tạo bởi một đường thẳng cắt hai đường thẳng:
- Khi một đường thẳng cắt hai đường thẳng sẽ tạo ra các cặp góc sole trong, sole ngồi, đồng vị, trong cùng phía.
- Các cặp góc sole trong: A1 và B3; A4 và B2.
- Các cặp góc sole ngồi: A3 và B1; A2 và B4.
- Các cặp góc đồng vị: A2 và B2; A1 và B1;A3 và B3; A4 và B4.
- Các cặp góc trong cùng phía : A1 và B2; A4 và B3.
- Các cặp góc ngồi cùng phía: A2 và B1; A3 và B4.


Phương pháp giải tốn Hình học 7

3. Hai đường thẳng song song: Hai đường thẳng song song thì các cặp góc sole trong bằng nhau, các cặp góc
sole ngồi bằng nhau, các cặp góc đồng vị bằng nhau, các cặp góc trong cùng phía, ngồi cùng phía bù nhau.
- Có a // b ; c � a = {A}; c � b = {B}
M

A2

3
4

3

* Dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song

- C�

p so le trong; so le ngo�
i;

�
�
trong �
�
ng v�
b�
ng nhau
�
�� a // b
- C�
p g�
c trong c�
ng ph�
a; ngo�
i�
�
c�
ng ph�
a b�nhau
�

a

1

2
1

B4

b

4. Tiên đề Ơclit : Qua một điểm nằm ngoài đường thẳng tồn tại duy nhất một đường thẳng song song với
đường thẳng đã cho.

A�a

�
�
b qua A �� b là duy nhất
b // a �
�
5. Từ vuông góc đến song song:
GT
KL

Cho a ; b phân biệt ; a // b ; b // c
a // c

GT
KL

Cho a ; b phân biệt ; a // b ; b
a c

GT
KL

Cho a ; b phân biệt ; a
a // b



c;b





c

c


Phương pháp giải tốn Hình học 7

6. Tổng 3 góc trong một tam giác: Trong một tam giác, tổng ba góc
1800
GT
ΔABC

trong bằng

KL
Trong tam giác vng, tổng hai góc ở đáy bằng 900
GT

ΔABC;

KL
Trong tam giác, tổng hai góc trong
ΔABC;
GT
Cx là góc ngoài tại C
KL

7. Các trường hợp bằng nhau của tam giác
*Trường hợp 1 : Cạnh – cạnh – cạnh
- Nếu 3 cạnh của tam giác này bằng 3 cạnh của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.
*Trường hợp 2 : Cạnh – góc – canh
- Nếu hai cạnh và góc xen giữa của tam giác này bằng hai cạnh và góc xen giữa của tam giác kia thì hai tam
giác đó bằng nhau.
*Trường hợp 3 : Góc – cạnh – góc
Nếu một cạnh và hia góc kề của tam giác này bằng một cạnh và hai góc kề của tam giác kia thì hai tam giác
đó bằng nhau.
8. Các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông.
*Trường hợp 1 : Hai cạnh góc vng
- Nếu hai cạnh góc vng của tam giác vng này bằng hai cạnh góc vng của tam giác vng kia thì hai
tam giác vng đó bằng nhau.
*Trường hợp 2 : Cạnh góc vng và góc nhọn kề
- Nếu một cạnh góc vng và góc nhọn kề cạnh ấy của tam giác vng này bằng một cạnh góc vng và góc
nhọn kề cạnh ấy của tam giác vng kia thì hai tam giác vng đó bằng nhau.
*Trường hợp 3 : Cạnh huyền và góc nhọn
M

A2

3

4

a

1
3

2
1
B4

b


Phương pháp giải tốn Hình học 7
- Nếu cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vng này bằng cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác
vng kia thì hai tam giác vng đó bằng nhau.
*Trường hợp 4 : Cạnh huyền và cạnh góc vng
- Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vng của tam giác vng này bằng cạnh huyền và một cạnh góc vng
của tam giác vng kia thì hai tam giác vng đó bằng nhau.
9. Tam giác cân
- Định nghĩa: ΔABC cân tại A � AB = AC

- Tính chất: ΔABC cân tại A

- Tính chất các đường: Đường cao từ đỉnh là phân giác, đường trung trực cạnh đáy…
10. Tam giác đều
- Định nghĩa: ΔABC đều � AB = BC = AC
- Tính chất: ΔABC đều tại A 

- Tính chất các đường: Đường cao từ các đỉnh sẽ đồng thời là đường phân giác, đường trung trực cạnh đáy……
11. Tam giác vuông:
Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH:
AC2=BC.HC ; AB2=BC.HB ; AB.AC=BC.AH ;
Định lí Pi-ta-go : Trong tam giác vng, tổng bình phương hai cạnh góc vng bằng bình phương cạnh
huyền.
- Thuận:
GT

ΔABC có

KL

BC =AB +AC

2

2

2

- Đảo:

GT
ΔABC có BC2=AB2+AC2
KL
12. Quan hệ giữa cạnh và góc trong tam giác
Trong tam giác, góc đối diện với cạnh lớn hơn thì lớn hơn và ngược lại.

Phương pháp giải tốn Hình học 7
GT
KL

ΔABC; AB < AC

GT

ΔABC;

KL AB < AC
13. Bất đẳng thức tam giác
Trong tam giác, độ dài một cạnh lớn hơn hiệu hai cạnh và nhỏ hơn tổng hai cạnh còn lại.
|AC – AB| < BC < AC + AB
14. Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên
Đường xiên lớn hơn đường vng góc, đường xiên nào lớn hơn thì
hình chiếu tương ứng lớn hơn và ngược lại.

GT

A�d;B,C �d; AH  d   H

KL
Có

AH là ngắn nhất
AC > AB � HC > HB
AB = AM � HB = HM
15. Các đường trong tam giác
a) Đường cao: Là đường kẻ từ đỉnh vng góc với cạnh đối diện, 3 đường cao trong tam giác đồng quy tại một điểm

gọi là trực tâm tam giác.

b) Đường phân giác trong tam giác: Là đường chia góc trong tam giác thành 2 phần bằng nhau. Ba đường phân
giác cắt nhau tại một điểm là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ( đường tròn tiếp xúc trong với 3 cạnh của tam giác).
Tâm đường tròn nội tiếp tam giác cách đều 3 cạnh tam giác.
- Một điểm nằm trên đường phân giác của một góc ln có khoảng cách tới hai cạnh bằng nhau.
- Phân giác trong và phân giác ngồi của một góc vng góc với nhau.
- Trong một tam giác, hai đường phân giác ngoài của hai góc đồng quy với đường phân giác trong của góc cịn lại.


Phương pháp giải tốn Hình học 7

Tính chất: Điểm nằm trên tia phân giác của một góc thì cách đều hai cạnh của góc đó. Nếu một điểm nằm bên trong
một góc và cách đều hai cạnh của góc đó thì nó nằm trên tia phân giác của góc đó.
c) Đường trung tuyến trong tam giác: Là đường kẻ từ đỉnh đến trung điểm cạnh đối diện. Ba đường trung tuyến
đồng quy tại một điểm là trọng tâm tam giác.

Nếu O là trọng tâm tam giác thì 2OE=OA; 2OD=OC; 2OF=OB
d)Đường trung trực trong tam giác: Là đường đi qua trung điểm của đoạn thẳng và vng góc với đoạn thẳng đó.
Ba đường trung trực trong tam giác đồng quy tại 1 điểm là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ( Đường tròn đi qua 3
đỉnh của tam giác).
- Một điểm bất kì nằm trên trung trực ln cách đều hai đầu mút của đoạng thẳng.

e) Đường trung bình trong tam giác: Là đường đi qua trung điểm của 2 cạnh bên tam giác. Đường trung bình song
song và bằng một nửa cạnh đáy.


Phương pháp giải tốn Hình học 7

-

CÁC CHÚ Ý ĐẶC BIỆT
Trong tam giác cân, đường cao, đường trung tuyến, trung trực, phân giác của đỉnh cân là một.
Trong tam giác đều, tất cả các đường từ một đỉnh là một.
Trong tam giác vuông: đường trung tuyến bằng một nửa cạnh huyền, cạnh đối diện với góc 30 0 cũng có độ
lớn bằng nửa cạnh huyền.
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP HAY DÙNG TRONG HÌNH HỌC 7

1. Các phương pháp chứng minh định lý :
Muốn chứng minh định lý " Nếu A thì B " ( ký hiệu A  B) ta có thể dùng một trong những phương pháp
sau đây :
1. Chứng minh rằng từ A ta suy ra C rồi từ C ta suy ra B .
Phương pháp này gọi là phương pháp: chứng minh trực tiếp .
2. Giả sử A ta suy ra B ( B có nội dung trái ngược với B ) ta dẫn đến một điều vô lý . Vậy giả sử trên là sai,
nghĩa là từ A suy ra B là đúng .
Phương pháp này gọi là phương pháp: chứng minh phản chứng .
2. Các phương pháp chứng minh hai góc là đối đỉnh :
Muốn chứng minh hai góc xOy và x'Oy' là hai góc đối đỉnh ta có thể dùng một trong những phương pháp sau
đây :
1. Chứng minh rằng tia Ox là tia đối của tia Ox' ( hoặc Oy' ) và tia Oy là tia đối của tia Oy' ( hoặc Ox' ), tức là
hai cạnh của một góc là tia đối của hai cạnh của góc kia ( định nghĩa ).
2. Chứng minh rằng  xOy =  x'Oy' ; tia Ox và tia Ox' đối nhau còn hai tia Oy và tia Oy' nằm trên hai nửa
mặt phẳng đối nhau có bờ là đường thẳng xx'
(hệ quả của định nghĩa ).
3. Các phương pháp chứng minh một điểm là trung điểm của một đoạn thẳng.
Muốn chứng minh rằng điểm B là trung điểm của đoạn thẳng AC ta có thể dùng một trong những phương
pháp sau đây:
1.Chứng minh rằng: AB + BC = AC và AB = BC (định nghĩa ).
2.Chứng minh rằng: Điểm B nằm giữa hai điểm A, C và AB = AC (hệ quả của định nghĩa ).
3.Chứng minh rằng: Ba điểm A, B, C thẳng hàng và AB = BC (hệ quả của định nghĩa ).

Phương pháp giải tốn Hình học 7
4.Chứng minh rằng: Ba điểm A, B, C thẳng hàng và AB, BC là hai cạnh tương ứng của hai tam giác bằng
nhau.
4. Các phương pháp chứng minh một đường thẳng là đường trực của một đoạn thẳng :
Muốn chứng minh rằng đường thẳng a là đường trung trực của đọan thẳng AB ta có thể dùng một trong
những phương pháp sau đây :
1.Chứng minh rằng a vng góc với AB tại trung điểm I của AB ( định nghĩa )
2. Lấy một điểm M tùy ý trên đường thẳng a rồi chứng minh MA = MB.
5. Các phương pháp chứng minh hai góc bằng nhau:
Muốn chứng minh hai góc bằng nhau ta có thể dùng một trong những phương pháp sau đây :
1.Chứng minh hai góc có cùng số đo.
2.Chứng minh hai góc cùng bằng một góc thứ ba,chứng minh hai góc cùng phụ với một góc ,chứng minh hai
góc cùng bù với một góc .
3.Chứng minh hai góc cùng bằng tổng ,hiệu của hai góc tương ứng bằng nhau.
4.Chứng minh hai góc đó đối đỉnh.
5.Chứng minh hai góc cùng nhọn hoặc cùng tù có cạnh tương ứng song song hoặc vng góc.
6.Chứng minh hai góc đó là hai góc tương ứng của hai tam giác bằng nhau.
7.Chứng minh hai góc đó là hai góc đáy của một tam giác cân.
8.Chứng minh hai góc đó là hai góc của một tam giác đều.
9.Chứng minh dựa vào định nghĩa tia phân giác của một góc.
10.Chứng minh dựa vào tính chất của hai đường thẳng song song (đồng vị, so le)
6. Các phương pháp chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau :
Muốn chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau ta có thể dùng một trong những phương pháp sau đây :
1.Chứng minh hai đoạn thẳng có cùng số đo.
2.Chứng minh hai đoạn thẳng cùng bằng một đoạn thẳng thứ ba.
3.Chứng minh hai đoạn thẳng cùng bằng tổng, hiệu, ... của hai đoạn thẳng bằng nhau đôi một.
4.Chứng minh hai đoạn thẳng là hai cạnh tương ứng của hai tam giác bằng nhau.
5.Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau được suy ra từ tính chất của tam giác cân, tam giác đều, tam giác

vuông, v.v...
6.Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau dựa vào định nghĩa trung điểm của đoạn thẳng ,định nghĩa trung
tuyến của tam giác,định nghĩa trung trực của đoạn thẳng,định nghĩa phân giác của một góc .
7.Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau dựa vào tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền.
8.Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau dựa vào tính chất giao điểm ba đường phân giác trong tam giác,tính
chất giao điểm ba đường trung trực trong tam giác.
9.Chứng minh dựa vào định lí Pitago.
7. Các phương pháp chứng minh hai đường thẳng song song :
Muốn chứng minh rằng a // b ta có thể dùng một trong những phương pháp sau đây :
1. Chứng minh hai góc so le trong bằng nhau :
a
4A 3
hoặc

( dấu hiệu song song )

1 2


Phương pháp giải tốn Hình học 7
2. Chứng minh hai góc đồng vị bằng nhau :
hoặc

hoặc

hoặc

b

2

(Dẫn tới dấu hiệu song song ).
3. Chứng minh hai góc trong cùng phía bù nhau :
hoặc

1

3 B4
c

( Dẫn tới dấu hiệu song song ).
4. Chứng minh hai góc sole ngồi bằng nhau
(Dẫn tới dấu hiệu song song ).
5.Chứng minh hai góc ngồi cùng phía bù nhau
(Dẫn tới dấu hiệu song song ).
c
6.Chứng minh a và b cùng vng góc
a
với một đường thẳng c nào đó.
7.Chứng minh a và b cùng song song
với một đường thẳng c nào đó.
b
8. Để chứng minh a//b . Ta giả sử a và b có điểm chung rồi dẫn đến một điều vô lý ( chứng minh bằng phản
chứng )
8. Các phương pháp chứng minh hai đường thẳng vuông góc :
Muốn chứng minh hai đường thẳng vng góc với nhau ta có thể dùng một trong những phương pháp sau
đây :
1.Chứng minh rằng một trong những góc tạo thành bởi hai đường thẳng ấy là góc vng (định nghĩa ) .
2.Chứng minh dựa vào tính chất hai tia phân giác của hai góc kề bù.
3.Chứng minh dựa vào tính chất tổng các góc trong một tam giác bằng 180 0 , ta chứng minh cho tam giác có

hai góc phụ nhau suy ra góc thứ ba bằng 90 0 .
4.Chứng minh dựa vào định lí "đường thẳng vng góc với một trong hai đường thẳng song song thì vng
góc với đường thẳng kia ".
5.Chứng minh dựa vào định nghĩa ba đường cao của tam giác, định nghĩa đường trung trực của đoạn thẳng.
6.Chứng minh dựa vào tính chất của tam giác cân , tam giác đều.
7.Chứng minh dựa vào tính chất ba đường cao của tam giác.
8.Chứng minh dựa vào định lí Pitago
9.Chứng minh dựa vào định lí nhận biết một tam giác vuông khi biết tam giác này có trung tuyến thuộc một
cạnh bằng nửa cạnh ấy.
9. Các phương pháp chứng minh một tam giác là tam giác cân, tam giác đều, tam giác vuông :
*Muốn chứng minh ABC là tam giác cân ta có thể dùng một trong những phương pháp sau :
1.Chứng minh hai cạnh bằng nhau : AB = AC hoặc BA = BC hoặc CA = CB ( định nghĩa ).
2.Chứng minh hai góc bằng nhau : Bˆ Cˆ hoặc Aˆ Cˆ hoặc Bˆ  Aˆ .
3.Chứng minh:Một đỉnh nằm trên đường trung trực của cạnh đối diện ( để dẫn tới định nghĩa ).


Phương pháp giải tốn Hình học 7
4.Chứng minh : Đường trung tuyến xuất phát từ một đỉnh trùng với đường cao phát xuất từ đỉnh ấy (để dẫn
tới định nghĩa ).
5. Chứng minh hai đường trung tuyến, hai đường cao…bằng nhau.
*Muốn chứng minh ABC là tam giác đều ta có thể dùng một trong những phương pháp sau đây :
1.Chứng minh ba cạnh bằng nhau : AB = BC = CA ( định nghĩa ).
2.Chứng minh ba góc bằng 600 : Aˆ Bˆ 60 0 hoặc Bˆ Cˆ 60 0 hoặc

ˆ Cˆ 60 0 .
A

3.Chứng minh : Tam giác ABC là tam giác cân có một góc bằng 60 0 (để dẫn tới định nghĩa ).
*Muốn chứng minh ABC là tam giác vng ta có thể dùng một trong những phương pháp sau đây :
1. Chứng minh tam giác có 1 góc vng.

2.Dùng định lý Pytago đảo.
3.Dùng tính chất: “đường trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh ấy thì tam giác đó là tam giác vng”.

TAM GIÁC CÂN

TAN GIÁC ĐỀU

A

A

HÌNH VẼ

 ABC cân tại A
<=> AB = AC
+ B = C
Tính chất

Dấu hiệu nhận
biết

B

C
B

Định nghĩa

TAM GIÁC VNG
CÂN

1800  A
=
2
- Tam giác có hai cạnh
bằng nhau(ĐN).
- Tam giác có hai góc
bằng nhau(TC)

B

C
 CBC đều

A

C

 ABC vng cân tại A

<=> AB = BC = CA

<=> A = 900 và
AB = AC

 A=  B=  C
= 600

 B =  C = 450

- Tam giác có 3 cạnh
bằng nhau.
- Tam giác có 3 góc bằng
nhau.
- Tam giác cân có 1 góc
bằng 600

- Tam giác vng có hai
cạnh góc vng bằng
nhau.
- Tam giác cân có góc ở
đỉnh bằng 900

11. Các phương pháp chứng minh đường vng góc :


Phương pháp giải tốn Hình học 7
Muốn chứng minh AH là đường vng góc kẻ từ điểm A đến đường thẳng a ta có thể dùng một trong những
phương pháp sau đây:
1.Chứng minh : AH  a (định nghĩa).
2.Lấy một điểm B tùy ý trên a . Chứng minh AH < AB .
(Dễ chứng minh AH  a bằng phản chứng ).
12. Các phương pháp chứng minh 3 điểm thẳng hàng:
Muốn chứng minh 3 điểm thẳng hàng ta có thể dùng một trong những phương pháp sau:
1.Sử dụng hai góc kề bù có ba điểm cùng nằm trên hai cạnh là hai tia đối nhau.
x
Ta có  BAx +  xAC = 180 0
 B, A, C thẳng hàng.

B

A
C
2.Chứng minh ba điểm cùng thuộc một tia hoặc cùng thuộc một đường thẳng.
3.Chứng minh trong ba đoạn nối hai trong ba điểm có một đoạn thẳng bằng tổng của hai đoạn thẳng kia.
A

C

B

AB = AC + CB
4.Chứng minh hai đường thẳng đi qua hai trong ba điểm ấy cùng song song với đường thẳng thứ ba
AB, AC cùng song song với a
hoặc BA, BC cùng song song với a

 A, B, C thẳng hàng .

hoặc CA, CB cùng song song với a
5.Sử dụng vị trí của hai góc đối đỉnh.
Đường thẳng a đi qua A, nếu ta chứng minh được Aˆ1  Aˆ 2 thì ba điểm B, A, C thẳng hàng.
6.Chứng minh hai đường thẳng đi qua hai trong ba điểm ấy cùng vng góc với đường thẳng thứ ba
AB, AC cùng vng góc với a
 A, B, C thẳng hàng.
hoặc BA, BC cùng vng góc với a
hoặc CA, CB cùng vng góc với a
7.Đường thẳng đi qua hai trong ba điểm có chứa điểm thứ ba.
8.Sử dụng tính chất đường phân giác của một góc, tính chất đường trung trực của đoạn thẳng, tính chất ba
đường cao, ... trong tam giác.
13.Các phương pháp chứng minh 3 đường thẳng đồng quy:
Muốn chứng minh 3 đường thẳng đồng quy ta có thể dùng một trong những phương pháp sau:

1.Tìm giao của hai đường thẳng, sau đó chứng minh đường thẳng thứ ba đi qua giao của hai đường thẳng
trên.


Phương pháp giải tốn Hình học 7
2.Chứng minh một điểm thuộc ba đường thẳng.
3.Chứng minh dựa vào tính chất đồng quy trong tam giác: Ba đường thẳng chứa các đường trung tuyến, các
đường phân giác, các đường trung trực, các đường cao của tam giác.

PHẦN BÀI TẬP
CHƯƠNG 2
BÀI TẬP HAI TAM GIÁC BẰNG NHAU
Chú ý: Có 3 TH bằng nhau của tam giác, trong chương này để chứng minh hai cạnh, hai góc bằng nhau
ta thường đưa về hai tam giác bằng nhau, hoặc chứng minh qua cạnh, góc trung gian.
I.
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Các câu sau đúng hay sai?
1. Tam giác có 2 góc bằng 45 là tam giác vng cân.
2. Hai tam giác có 2 cặp góc tương ứng bằng nhau thì cặp góc cịn lại tương ứng cũng bằng nhau.
3. Hai tam giác có hai cặp cạnh tương ứng bằng nhau thì cặp cạnh tương ứng cịn lại cũng bằng nhau.
4. Nếu một cạnh góc vng và góc nhọn của tam giác vng này bằng một cạnh góc vng và góc nhọn của
tam giác vng kia thì hai tam giác bằng nhau.
5. Tam giác cân có một góc bằng 60 là tam giác đều.
6. Tam giác cân có 1 góc bằng 45 là tam giác vng cân.
7. Nếu tam giác có độ dài 3 cạnh là 3,4,5 thì tam giác đó là tam giác vng.
8. Hai tam giác đều thì bằng nhau.
9. Góc ngồi của tam giác ln lớn hơn mỗi góc trong của tam giác đó.
10. Nếu cạnh huyền của tam giác vuông cân này bằng cạnh huyền của tam giác vng kia thì hai tam giác đó
bằng nhau.
11. Trong tam giác cân , đường phân giác của góc ở đỉnh đồng thời là đương trung trực của cạnh đáy.

12. Tam giác ABC vuông A, M là trung điểm BC, nếu B=30 0, AM=6cm thì AC=6cm.
13. Tam giác ABC vuông tại A, M là trung điểm BC, AB=2cm, AC=1cm thì AM= .
14. Nếu hai tam giác cân có hai cặp cạnh bên bằng nhau thì hai tam giác đó bằng nhau.
15. Nếu cạnh bên và cạnh đáy của tam giác cân này bằng cạnh bên và cạnh đáy của tam giác cân kia thì hai tam
giác đó bằng nhau.
16. Nếu hai tam giác cân có trung góc ở đỉnh thì hai cạnh đáy song song nhau.
17. Nếu hai cạnh và một góc của tam giác này lần lượt bằng hai cạnh và một góc của tam giác kia thì hai tam
giác đó bằng nhau.
18. Nếu 3 tam giác cân ANM, BNM, CNM cùng trung cạnh đáy MN thì A,B,C thẳng hàng.
19. Nếu hai tam giác vng cân có một cặp cạnh góc vng bằng nhau thì hai tam giác bằng nhau.
20. Trong tam giác cân các góc có thể là góc nhọn hoặc tù.
HD:
1Đ
2Đ
3S
4S

5Đ
6S
7Đ
8S

9S
10Đ
11Đ
12Đ

13Đ
14S
15Đ

16Đ

17S
18Đ
19Đ
20S


Phương pháp giải tốn Hình học 7
II. BÀI TẬP TỰ LUẬN
Bài 1. Cho tam giác ABC có =40, AB = AC. Gọi M là trung điểm của BC. Tính các góc của tam giác AMB
và tam giác AMC.
HD: ABC cân tại A

Bài 2. Cho tam giác ABC có AB = AC. D, E thuộc cạnh BC sao cho BD = DE = EC. Biết AD = AE.
a. Chứng minh

=

b. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh AM là phân giác của
c. Giả sử

. Tính các góc cịn lại của tam giác DAE.

HD: DAE cân tại A
Bài 3. Cho ABC có AB = AC. Kẻ AE là phân giác của góc

(E thuộc BC). Chứng minh rằng:

a. ABE = ACE

b. AE là đường trung trực của đoạn thẳng BC.
Bài 4. Cho ABC có AB < AC. Kẻ tia phân giác AD của

( D thuộc BC). Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AE

= AB, trên tia AB lấy điểm F sao cho AF = AC. Chứng minh rằng:
a. BDF = EDC.
b. BF = EC.
c. F, D, E thẳng hàng.
d. AD  FC
Bài 5. Cho góc nhọn xOy. Trên tia Ox, lấy 2 điểm A và C. Trên tia Oy lấy 2 điểm B và D sao cho
OA = OB ; OC = OD. (A nằm giữa O và C; B nằm giữa O và D).
a. Chứng minh OAD = OBC
b. So sánh 2 góc

và

.

Bài 6. Cho ABC vng ở A. TRên tia đối của tia AC lấy điểm D sao cho AD = AC.
a. Chứng minh ABC = ABD
b. Trên tia đối của tia AB, lấy điểm M. Chứng minh MBD =  MBC.
Bài 7. Cho góc nhọn xOy và tia phân giác Oz của góc đó. Trên Ox, lấy điểm A, trên Oy lấy điểm B sao cho OA =
OB. Trên tia Oz, lấy điểm I bất kì. Chứng minh:
a.  AOI =  BOI.
b. AB  OI.
Bài 8. Cho ABC, M là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia MA, lấy điểm E sao cho
ME = MA.
a. Chứng minh AC // BE.

Phương pháp giải tốn Hình học 7
b. Gọi I là một điểm trên AC, K là một điểm trên EB sao cho AI = EK. Chứng minh 3 điểm I, M, K thẳng
hàng.
Bài 9. Cho MNP , E, F là trung điểm MN và MP. Vữ Q sao cho F là trung điểm EQ. CM:
b. NEP=QPE

a. NE=PQ

c. EF//=1/2NP

Bài 10. Cho ABC có góc A=900. Đường cao AH, trên BC lấy M sao cho CM=CA, trên AB lấy N sao cho AN=AH,
a. Góc CAM=góc CMA

b. AM là phân giác BAH,

c. MN vng AB

Bài 11. Cho ABC có A=1200, phân giác AD, kẻ DE vuông AB, AF vuông AC. CM:
a. DE=DF và góc EDF=600
b. lấy K nằm giữa EB, I nằm giữa FC sao cho EK=FI. CMR: DK=DI
c. Từ C kẻ đường thẳng //AD cắt AB tại M. tính các góc AMC.
d. Tính AF cho AD=4cm.
Bài 12. Cho ABC vng A. phân giác BE, kẻ EH vuông BC, AB giao HE tại K. CMR:
a. ABE=HBE

b. BE là trung trực AH

c. EK=EC

d. AH//KC

HD: a, ABE=HBE (ch-gn) c, HEC=AEK (cgv-gnk) d, KC vuông BE
Bài 13. Cho góc xOy nhọn, trên Ox lấy A, Oy lấy B sao cho OA=OB, tại A kẻ đt vuông góc Ox cắt Oy tại D, tại B kẻ
đt vng Oy cắt Ox tại C. DA giao BC tại E
a. CMR: OE là phân giác xOy
b. EC=ED
c. OE giao CD tại H, CMR: OE vng CD
d. Cho

, CD=18cm, tính OH?

HD: a, OEB=OEA(ch-cgv) suy ra CEA=DEB(cgv-gnk) suy ra OEC=OED
c,OHC=OHD(ch-gn)

d, OCD đều

Bài 14. Cho ABC vuông A. AH vuông BC, HP vuông AB, kéo dài để PE=PH, kẻ HQ vuông AC kéo dài để
QF=QH. CNR:
a. APE=APH

; AQH=AQF

b. A là trung điểm EF

c. BE//CF

Bài 15. Cho ABC có AB>AC, từ trung điểm M của BC vẽ đường thẳng vng góc với phân giác góc A, cắt phân
giác tại H, cắt AB , AC ở E và F. CMR:
a. BE=CF

b. AE=(AB+AC):2; BE=(AB-AC):2
c. góc

=(

- ):2

HD: a. F=E; Kẻ CD // AB=>BE=CD mà CDF cân=>CF=CD
b. AB+AC=AE+EB+AC=AE+AC+CF=2AE; AB-AC=AE+EB-AC=AF-AC+EB=2EB
c.

+

= ,

=180-

- , cộng 2 vế đẳng thức trên, chú ý

=

Bài 16. cho góc xAy, M thuộc Ax, N thuộc Ay sao cho AM=AN, At là phân giác xAy, lấy P thuộc At.


Phương pháp giải tốn Hình học 7
a. CMR: AMP=ANP
b. kẻ PH vuông Ax, PK vuông Ay, chứng minh MHP=NKP
c. lấy Q trong xAy, sao cho QM=QN, chứng minh A,P,Q thẳng hàng.
HD: b NP=MP và góc

=

(theo a) c. NAQ=MAQ nên AQ là phân giác MAN,

Bài 17. Cho ABC có AC>AB, trên CA lấy E sao cho CE=AB các đường trung trực của cạnh BE và AC cắt nhau tại
O. CMR:
a. AOB=COE

b. OA là phân giác góc A

HD:a. Gọi trung trực EB và AC là H và P, EOH=BOH; AOP=COP nên OA=OC; OE=OB
b. Góc

=

mà

=

Bài 18. Cho tam giác ABC có AB=AC, góc A<900, kẻ BD vuông AC, trên AB lấy E sao cho AE=AD. CMR:
a. ED//BC
b. CE vuông AB
HD:a. AED và ABC cân tại A nên góc B=gocE mà 2 góc này sole trong
b. Chứng minh BEC=CDB suy ra E=D=900
Bài 19. Cho xOy=900, vẽ cung trịn tâm O bán kính tùy ý cắt Ox tại A, Oy tại B. Từ 1 điểm C tùy ý trên cung AB kẻ
đường thẳng //AB cắt Ox tại A’, Oy tại B’. CMR: CA’ 2+CB’2 không đổi.
HD: Kẻ HC vuông OB, CP vuông OA, suy ra CA’2+CB’2=2HC2+2CP2=2CO2=2R2
TAM GIÁC VNG-CÂN-ĐỀU
Chú ý: Có 4 TH bằng nhau của tam giác vuông, Trong tam giác cân hoặc đều đường cao là phân giác,
trung trực….. Trong tam giác vuông, trung tuyến bằng nửa cạnh huyền, cạnh đối diện góc 30 0 cũng

bằng nửa cạnh huyền.
Bài 1:
Cho tam giác nhọn ABC. Kẻ AH  BC ( H BC ). Cho biết AB = 13cm; AH = 12cm; HC = 16cm. Tính các
độ dài các cạnh AC; BC. (HD: Dùng Pitago AC=20cm; BC=21cm)
Bài 2:
Cho tam giác ABC cân tại A. Trên tia đối của tia BC lấy điểm D, trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho
BD = CE.
a/ Chứng minh rằng tam giác ADE là tam giác cân.
b/ Kẻ BH  AD ( H  AD ), kẻ CK  AE ( K  AE). Chứng minh rằng BH = CK và HK//BC
c/ Gọi O là giao điểm của BH và CK. Tam giác OBC là tam giác gì? Vì sao?
d/ Gọi M là trung điểm BC. Chứng minh rằng AM,BH,CK đồng quy.
HD: a. ABD=ACE b. BDH=CKE (ch-gn) c. OBC cân tại O vì

d, Chỉ ra A,O,M thẳng hàng

Bài 3:
Cho tam giác ABC vng tại B có AB = 12cm, AC = 20cm. Tính độ dài cạnh BC . (HD:Pitago BC=16cm)
Bài 4:


Phương pháp giải tốn Hình học 7
Cho  ABC cân tại A . Vẽ BH  AC ( H  AC), CK  AB, ( K AB ).
a/ Vẽ hình
b/ Chứng minh rằng AH = AK
c/ Gọi I là giao điểm BH và CK. Chứng minh
d/ Đường thẳng AI cắt BC tại P. Chứng minh AI  BC tại P.
HD: b. AHB=AKC c. KAI=HAI

d. ABH=ACH

Bài 5:
Cho  ABC có Â = 90o , BC = 15, AC = 12. Tính AB (HD: Pitago suy ra AB=9cm)
Bài 6:
Cho  ABC cân tại A. Kẻ AH  BC ( H  BC ) .
a/ Chứng minh BH = HC
b/ Kẻ HE  AC ( E  AC), HF  AB ( F  AB ). Hỏi  HEF là tam giác gì? Vì sao?
HD: a. ABH=ACH b. HFB=HEC
Bài 7:
Cho tam giác ABC cân có AB = AC = 5cm, BC= 8cm . Kẻ AH vng góc với BC tại H.
a/ Chứng minh: HB = HC và

.

b/ Tính độ dài AH.
c/ Kẻ HD  AB ( D  AB ), Kẻ HE  AC (E  AC ). Chứng minh: HDE là tam giác cân
HD: a, ABH=ACH

b. Pitago AH=3cm

c. BHP=CHE

Bài 8:
a. Cho ABC có: AB = 4,5cm, BC = 6cm và AC = 7,5cm. Chứng tỏ ABC là tam giác vuông?

HD: chỉ ra AB2+BC2=AC2
b. Cho ABC vng tại A có AC=5cm, trung tuyến AM=3,5cm. Tính các cạnh của tam giác và hai đường
trung tuyến còn lại.
Bài 9:
Cho ABC cân tại A. Kẻ BD vng góc với AC và kẻ CE vng góc với AB. BD và CE cắt nhau tại I. Chứng
minh:

a) ABD  ACE
b)
c) AI là đường trung trực của BC.
HD:b. EAI=DAI c. Gọi H là giao AI và BC, ABH=ACH
Bài 10:
Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi D là trung điểm của cạnh BC. Qua A vẽ đường thẳng d // BC. Chứng minh
rằng:
a) ABD = ACD.


Phương pháp giải tốn Hình học 7
b) AD là tia phân giác của góc BAC.
c) AD  d.
HD: b. ADB=ADC c. AD vng BC, BC//d
Bài 11:
Cho ABC có góc A bằng 600. Tia phân giác của góc ABC cắt tia phân giác của góc ACB ở I.
a) Cho biết

. Tính số đo

b) Tính số đo

.

.

HD: a.
Bài 12:
Cho ABC, D là trung điểm cạnh BC. Trên tia đối của tia DA lấy điểm E sao cho DE = DA. Chứng minh
rằng:

a) ADB = EDC.
b) AB//CE.
c)

=
HD:b.

=

theo a

c. ACE=EBA

Bài 13:
Cho ABC vuông tại A. Tia phân giác của góc B cắt AC ở D; E là một điểm trên cạnh BC sao cho BE = BA.
a) Chứng minh rằng: ABD = EBD.
b) Chứng minh rằng: DE  BC.
c) Gọi F là giao điểm của DE và AB. Chứng minh rằng DC = DF.
HD:c. DEC=DAF (cgv-gn)
Bài 14:
Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) có góc A bằng 60 0. D là trung điểm của cạnh AC. Trên tia AB lấy điểm E
sao cho AE = AD. Chứng minh rằng:
a) ADE là tam giác đều.
b) DEC là tam giác cân.
c) CE  AB.
HD:b. DE=CD=AD c. Góc CED=30
Bài 15:
Cho ABC vng cân tại A. M là trung điểm cạnh BC. Điểm E nằm giữa M và C. Vẽ BH  AE tại H, CK  AE
tại K. Chứng minh rằng:
a) BH = AK.

b) HBM = KAM.
c) MHK vuông cân.


Phương pháp giải tốn Hình học 7
HD:a. ABH=ACK ch-gn c. MK=MH, góc MKH=MHK=MHB=45
Bài 16: Cho đoạn AB=7cm, trên AB lấy C sao cho AC=2cm, trên cùng nửa mặt phẳng bờ AB kẻ Ax và By cùng
vng góc với AB. Lấy D trên Ax, E trên By sao cho AD=10cm, BE=1cm.
a) Tính CD, CE.
b) Chứng minh CD vng góc CE
HD: b. Kẻ DH vuông By, suy ra ADHB là HCN, từ đó tính ED

ˆ = 300; AB = 29, AC = 40. Vẽ đường cao AH, tính BH.
Bài 17: Tam giác ABC có góc A tù, C
(HD: HA=1/2AC=20cm. Từ đó dung Pitago tính HB)
Bài 18: Tam giác ABC có AB = 25, AC = 26, đường cao AH = 24. Tính BC.
HD: Dùng Pitago tính HB và HC
Bài 19: Độ dài các cạnh góc vng của một tam giác vng tỉ lệ với 8 và 15, cạnh huyền dài 51cm. Tính độ dài hai
cạnh góc vng.
HD:

và AB2+AC2=512

Bài 20: Cho tam giác ABC vng tại A, đường cao AH, trên đó lấy điểm D. Trên tia đối của tia HA lấy một điểm E
sao cho HE = AD. Đường thẳng vng góc với AH tại D cắt AC tại F. Chứng minh rằng EB  EF.
HD:AD=HE nên AH=DE, BF2=AB2+AF2=BH2+AH2+AD2+DF2;
BF2=HB2+DE2+HE2+DF2=BH2+HE2+DE2+DF2=BE2+EF2
Bài 21: Cho  ABC, trung tuyến AM cũng là phân giác.
a/ Chứng minh rằng  ABC cân
b/ Cho biết AB = 37, AM = 35, tính BC.

HD:a. Kẻ MK vng AB, MP vng AC, suy ra MK=MP, vì dt(AMB)=dt(AMC) nên AC=AB
b. BC=2BM
Bài 22: Một tam giác có ba đường cao bằng nhau.
a/ Chứng minh rằng tam giác đó là tam giác đều.
b/ Biết mỗi đường cao có độ dài là

a 3
, tính độ dài mỗi cạnh của tam giác đó.
2

HD: a. Dùng cơng thức diện tích  ABC
Bài 23: Cho tam giác ABC vuông tại A,

b. Đặt MB=x, suy ra AB=2x

Cˆ = 150. Trên tia BA lấy điểm O sao cho BO = 2AC. Chứng minh rằng

tam giác OBC cân.
HD: Vẽ  đều BMC, góc

ˆ = 900
ˆ A
=150; gọi H là trung điểm OB => HMB =  ABC, H

Bài 24: Cho tam giác ABC cân tại A, Â = 80 0. Gọi O là một điểm ở trong tam giác sao cho góc
= 100. Chứng minh rằng  COA cân.
HD: vẽ tam giác đều BCM, OBC=AMC(g.c.g) nên CO=CA

= 300; góc

Phương pháp giải tốn Hình học 7
Bài 25: Cho  ABC cân tại A, Â = 1000. Gọi O là một điểm nằm trên tia phân giác của góc C sao cho góc
300. Tính góc

=

.

HD:Vẽ tam giác đều BCM, góc

=

+

Bài 26: Cho tam giác ABC cân tại A, Â = 300. Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa C vẽ tia Bx  BA. Trên tia Bx lấy
điểm N sao cho BN = BA. Tính góc
HD: kẻ By sao cho BC là phân giác

. Lấy D sao cho BD =

BA.
B=C=75,
^

AB  BN (gt) ABN 90o
^

^

 ABC CBN 90o
^

^

 CBN 90o  ABC 90o – 75o = 15o
^



^

DBN 2CBN 2
^

^



15o

30o

=



90o – 30o = 60o  ABD đều

^

ABD ABN  DBN 
^

^

^

^

 BAD 60o  CAD BAD BAC 60o – 30o = 30o 
^

^

BAC CAD

(= 30o)

BAC = DAC (c – g – c)  BC = CD
BDC = BNC (c – g – c) CD = CN  BC = CN
^
^
^
 ^

o
o
 BCN cân C  BCN 180   CBN CNB 180  2CBN 180o – 2  15o = 150o




Bài 27: Cho ABC cân tại A, Â = 1000. Trên tia AC lấy điểm D sao cho AD = BC. Tính góc
HD: Dựng tam giác đều ADE ;

.

=400; BAE=ABC (c.g.c) nên AB=BE=AC; ADB=DEB(c.c.c) nên

nên
Bài 28: Cho ABC cân tại A, Â = 108 0. Gọi O là một điểm nằm trên tia phân giác của góc C sao cho
tam giác đều BOM (M và A cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ BO). Chứng minh rằng:
a. Ba điểm C, A, M thẳng hàng
b. Tam giác AOB cân

= 120. Vẽ


Phương pháp giải tốn Hình học 7
HD: a,

=1500; BOC=MOC nên

=

mà

=

Bài 29: Cho ABC cân tại A, Â = 80 0. Trên cạnh BC lấy điểm I sao cho góc

= 500; trên cạnh AC lấy điểm K sao

= 300. Hai đoạn thẳng AI và BK cắt nhau tại H. Chứng minh rằng  HIK cân.

cho góc

Bài 30: Cho ABC vng cân ở A. Qua A vẽ đường thẳng d thay đổi. Vẽ BD và CE cùng vng góc với d (D, E 
d). Chứng minh rằng tổng BD2 + CE2 có giá trị không đổi.
HD: ADB=CEA(ch-gn)
Bài 31: Tam giác ABC vuông cân tại A, trung tuyến AM. Trên cạnh AB lấy điểm E, trên cạnh AC lấy điểm F sao cho
= 900.Chứng minh rằng AE= CF.

góc

HD: AEM=CFM (g.c.g)
Bài 32: Tam giác ABC có AB = 1 cm; Â = 750,

. Trên nửa mặt phẳng bờ BC có chứa A vẽ tia Bx sao cho

= 150. Từ A vẽ một đường thẳng vng góc với AB, cắt Bx tại D.
a. Chứng minh rằng: DC  BC.
b. Tính tổng BC2 + CD2.
HD: a, Lấy E thuộc BC sao cho AB=BE, BAE đều, BAD vuông cân, EAC=DAC (c.g.c)
b, CB2+CD2=BD2=2.
Bài 33: Cho  ABC cân tại A (AB > BC). Trên tia BC lấy điểm M sao cho
MA = MB. Vẽ tia Bx // AM (Bx và AM cùng nằm trong nửa mặt phẳng bờ AB). Trên tia Bx lấy điểm N sao cho BN
= CM. Chứng minh rằng:
a. ABN = ACM
b.  AMN cân.

HD: ABN = ACM (c.g.c)
Bài 34 :
Cho  ABC cân tại B (

), vẽ AD  BC và CE  AB. Gọi H là giao điểm của AD và CE.

a) Chứng minh :  ABD =  CBE
b) Chứng minh:  BED cân
c) Trên tia đối của tia DA lấy điểm M sao cho DM = DA. Chứng minh
d) Gọi N là trung điểm của AC. Chứng minh ba điểm B, H, N thẳng hàng.
Bài 35: Cho

có

, trên tia đối của BC lấy D sao cho BC=2DC. Tính

HD: Kẻ MB vng AC, BC=2DC=2CM, DM=MB=MA. Suy ra

=45.

?


Phương pháp giải tốn Hình học 7
Bài 36: Cho ABC cân A, cạnh đáy nhỏ hơn cạnh bên, trên tia đối BC lấy M sao cho MA=MC, trên tia đối AM lấy
N sao cho AN=BM.
.

a.

b.
c. Tìm điều kiện ABC để CM vng CN.

HD: a.
Bài 37: Cho ABC cân A có

,

b. ABC cân tại A có

, kẻ BD vng AC, CE vuông AB, BD giao CE tại K

a. BCE=CBD
b. BEK=CDK
c. AK là phân giác góc BAC.
d. Ba điểm A,K,I thẳng hàng. ( I là trung điểm BC).
Bài 38: Một cây tre cao 9m bị gãy ngang than, ngọn cây trạm đất cách gốc 3m. Hỏi tử chỗ gãy tới gốc là bao nhiêu?
HD: x2+32=(9-x)2
Bài 40: trong mặt phẳng tọa độ cho điểm A(5;4), B(2;3), C(6;1) Tính các góc của ABC
HD: ABC vuông cân.
Bài 41: Cho ABC trung tuyến AM cũng là phân giác,
a. Chứng minh ABC cân.
b. AB=37cm, AM=35cm, Tính BC?
HD: Vẽ MH vng AB và MK vng AC. Thì MHA=MKA (ch-gn)
Bài 42: Cho ABC, đường cao AH và trung tuyến AM chia góc A thành 3 phần bằng nhau.
a. CMR: ABC vuông
b. CMR: ABM là tam giác đều?
HD: Vẽ MI vuông AC suy ra BH=MH=MI=1/2BM=1/2MC nên
Bài 43: Cho ABC vuông tại A, trên BC lấy M,N sao cho BM=BA; CA=CN, Tính góc

?

HD:góc MAN=180-M1-N1=45.
Bài 44: Cho ABC nhọn có

, M và N là trung điểm AB,AC, đường cao BD.

a. BMD và AMD là tam giác gì?
b. Trên tia AB lấy E sao cho AE=AN. CMR: CE vuông AB.
HD: a, MD=MA=MB=AB:2 b, AEN đều nên EN=AC:2=NC,

nên

, suy ra

Bài 45: Cho ABC vuông tại A, vẽ miền ngoài tam giác các tam giác vuông cân ABD và ACF(AB=BD; AC=CF).
a. CMR: A,D,F thẳng hàng.


Phương pháp giải tốn Hình học 7
b. Từ D và F kẻ DD’, FF’ vuông BC. CMR: DD’+FF’=BC
HD: a, Chỉ ra

b, Kẻ AH vuông BC, HAC=F’CE (ch-gn) nên F’F=CH, HBA =D’DB (ch-

gn) nên DD’=HB,
Bài 46: Cho ABC có góc B=2C, kẻ AH vuông BC, trên tia đối BA lấy BE=BH, EH cắt AC tại F, CMR:
FH=FA=FC.
HD: HEB ,FHC, cân vì

FHA cân vì

mà
;

mà

=

.

Bài 47: Cho ABC có BC=2AB, M là trung điểm BC, D là trung điểm BM, CMR: AC=2AD.
HD: Trên tia đối AD lấy DE=DA suy ra ME=MC(cùng =AB)
Có: AB//EM nên

,

mà

nên

=

=>AME=AM nên AE=AC.
Bài 48: Cho ABC vuông tại A, vẽ ra phía ngồi ABC tam giác cân CBD(cân tại D). Gọi H là trung điểm BC.
Chứng minh rằng: CD2=DH2+AH2
HD: Gọi H là trung điểm BC thì AH=HC=HB(tính chất đường trung tuyến tam giác vng)
Vì CDB cân tại D nên DH vuông BC => CD2=DH2+CH2=DH2+AH2
Bài 49: Cho ABC vuông cân tại A, d là đường thẳng bất kì qua A (khơng cắt đoạn BC) . Từ B và C kẻ BD và CE
cùng vng góc với d.

a. CMR: BD//CE
b. ADB=CEA
c. BD+CE=DE
d. Gọi M là trung điểm BC. CMR: DAM=ECM và DME vuông cân
HD: b, ADB=CEA(ch-gn) d, DAM=ECM(c.g.c) do AM=MC,
;
Bài 50: Cho ABC cân tại A có A<450. Qua M thuộc BC (MBa.
b.
c.
d.

AIH=MHI
AI=HC
Vẽ N sao cho HI là trung trực MN, CMR: NI=IB
NH giao AB tại D, CMR: Chu vi AHD không đổi khi M thay đổi.
HD: a, AIH=MHI(g.c.g) b, AI=MH và HMC cân H, c, IN=IM và IMB cân I,
d, ND=DA nên Chu vi = AD+DH+HA=NH+HA=MH+HA=AC

Bài 51: Cho đoạn thẳng BC, trên cùng nửa mặt phẳng bờ BC vẽ tia Bx và Cy cắt nhau tại A sao cho
Kẻ AH vuông BC, trên tia đối Bx lấy E sao cho BE=BH, EH giao AC tại D. CMR:
a. HDC và ADH cân.
b. Trên BC lấy B’ sao cho H là trung điểm BB’, CMR: ABB’ cân.

,


Phương pháp giải tốn Hình học 7
c. AB’C cân.
d. AE=HC.

HD: a,

, c,

nên

d, AE=BE+BA=HB’+B’A=HC.

Bài 52: Cho điểm M nằm giữa B và A, trên cùng nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AB vẽ tam giác đều MAC và
MBD, AC cắt BD tại O, CMR:
a.
b.
c.
d.
e.

AOB đều.
MC=OD và MD=OC.
DA=BC.
Gọi I và K là trung điểm AD và BC, chứng minh MIK đều.
DA giao BC tại E, tính góc CEA?
HD: b, MOD=OMC (g.c.g) c, ODA=ACB (c.g.c) d, IDM=KBM(c.g.c) chú ý góc
, e, CEA=180-ECA-EAC=180-(ECM+60)-(60-EAM)=60

Bài 53: Cho tam giác ABC có góc A nhọn. Vẽ về phía ngồi tam giác các tam giác vng cân đỉnh A là ABD và

ACE.
a, CMR: BE = CD
b, Gọi I là trung điểm B, K là trung điểm CE, M là trung điểm BC
CMR: Tam giác IMK vuông cân.

HD:a, ADC=ABE (c.g.c) b, DC vuông BE và DC=BE, IM và MK là đường trung bình.
Bài 54: Cho tam giác vng ABC ( A = 1v), đường cao AH, trung tuyến AM. Trên tia đối tia MA lấy điểm D sao cho DM
= MA. Trên tia đối tia CD lấy điểm I sao cho CI = CA, qua I vẽ đường thẳng song song với AC cắt đường thẳng AH tại E.
Chứng minh: AE = BC.
HD: AB cắt EI tại F, BA//DC nên CAI=FIA, => AEF=CBA
Bài 55: Cho tam giác ABC cân có AB=AC=5cm, BC= 8cm.Kẻ AH vng góc với BC ( H thuộc BC).
a, Chứng minh HB=HC
b, Tính độ dài AH.
c, Kẻ HD vng góc với AB(D thuộc AB), kẻ HE vng góc với AC ( E thuộc AC).Chứng minh tam giác HDE cân.
d, So sánh HD và HC.
HD:
a, AHB=AHC(ch-cgv)

b, BH=4cm , áp dụng ĐL Pytago cho ABH để tính AH.
c, BDH=CEH(ch-gn) nên DH=HE.
d, HD=HEBài 56: Cho tam giác ABC cân tại A có đường cao AH.
a, Chứng minh ABH = ACH và AH là tia phân giác của góc BAC.
b, Cho BH= 8cm, AB= 10cm.Tính AH.
c, Gọi E là trung điểm của AC và G là giao điểm của BE và AH.Tính HG.


Phương pháp giải tốn Hình học 7
d, Vẽ Hx song song với AC, Hx cắt AB tại F. Chứng minh C, G, F thẳng hàng.
HD:
a, ABH=ACH(ch-cgv) nên

(hai góc tương ứng).

b, Áp dụng định lí Pytago cho ABH.

c, Vì H là trung điểm BC, E là trung điểm AC nên AH,BE là hai đường trung tuyến của ABC, suy ra G là trọng tâm

ABC nên HG=1/3.AH.
d,Vì H là trung điểm BC và HF//AC nên HF là đường trung bình =>F là trung điểm AB, mà G là trọng tâm ABC
nên C,G,F thẳng hàng.
Bài 57: Cho tam giác ABC có CA= CB= 10cm, AB= 12cm. Kẻ CI vng góc với AB. Kẻ IH vng góc với AC, IK
vng góc với BC.
a, Chứng minh IB= IC và tính độ dài CI
b, Chứng minh IH= IK.

c, HK// AB.
HD:
a,b, Tương tự bài 55,56.
c, AHI=BKI nên AH=BK => CH=CK =>CHK cân nên HK//AB.
Bài 58: Cho ABC cân tại A, vẽ AH vng góc với BC tại H. Biết AB= 10cm, BH= 6cm.
a.
b.
c.
d.

Tính AH.
 ABH=  ACH.
trên BA lấy D, CA lấy E sao cho BD= CE.Chứng minh HDE cân.
AH là trung trực của DE.

HD:
c, BDH=CEH(c.g.c) nên DH=HE
Bài 60: Cho ABC cân tại A có góc A < 900. kẻ BH vng góc với AC ,CK vng góc với AC.Gọi O là giao điểm của

BH và CK.

a. Chứng minh ABH=ACH.
b. OBK = OCK và OBC cân.
c. trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa điểm A lấy I sao cho IB=IC.Chứng minh 3 điểm A, O, I thẳng hàng.
HD:
a, ABH=ACH.(ch-gn)

b, Theo a =>BK=HC và

=>KOB=HOC(cgv-gnk) nên OB=OC.

c, Gọi M là trung điểm BC , Vì ABC, OBC, IBC nên AM vuông BC, OM vuông BC, IM vuông BC. suy ra O,I,M
thẳng hàng.
Bài 61: Cho tam giác ABC cân tại A. Kẻ BD vng góc với AC, CE vng góc với AB. BD và CE cắt nhau tại H.
a. ABD=ACE.
b.  BHC cân.

c. ED//BC


Phương pháp giải tốn Hình học 7
d. AH cắt BC tại K, trên HK lấy M sao cho K là trung điểm của HM.Chứng minh tam giác ACM vuông.
HD:
a, ABD=ACE (ch-gn)
b, Vì

và

nên

.

c, ABC cân, AED cân nên ED//BC
d,

,

Bài 62: Cho tam giác ABC cân tại A. Kẻ BD vng góc với AC, CE vng góc với AB. BD và CE cắt nhau tại H.
a. AH là trung trực của BC
b. Trên tia BD lấy K sao cho D là trung điểm của BK.So sánh góc ECB và góc DKC.
HD:
a, Theo bài 61, EHA=DHA nên
Bài 63: Cho ABC cân tại A.vẽ trung tuyến AM . Từ M kẻ ME vng góc với AB tại E.kẻ MF vng góc với AC tại

F.
a. chứng minh BEM= CFM.
b. AM là trung trực vủa EF.
c. Từ B kẻ đường thẳng vng góc với AB tại B, từ C kẻ đường thẳng vng góc với AC tại C, hai đường này cắt
nhau tại D.Chứng minh A,M,D thẳng hàng.
Bài 64: Cho ABC cân tại A. Gọi M là trung điểm của AC.Trên tia đối MB lấy D sao cho DM= BM.
a.
b.

Chứng minh Tam giác BMC= tam giác DMA.Suy ra AD//BC.

ACD cân.

c. Trên tia đối CA lấy E sao cho CA= CE.Chứng minh DC đi qua trung điểm I của BE.
Bài 65: Cho ABC cân tại A (AB = AC ), M là trung điểm của BC. Gọi D là điểm là điểm nằm giữa A và M. Chứng minh
rằng:
a. AM là tia phân giác của góc A?

b. ABD = ACD.
c. BCD là tam giác cân ?
Bài 66: Cho tam giác ABC vuông tại A , đường phân giác BD. Kẻ DE vng góc với BC (E  BC). Gọi F là giao điểm
của BA và ED. Chứng minh rằng:
a. ABD = EBD
b. ABE là tam giác cân ?
c. DF = DC.
Bài 67: Cho tam giác ABC có

= 900 , AB = 8cm, AC = 6cm .

a. Tính BC .
b. Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AE = 2cm; trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AB. Chứng minh