Chuyen de 3 BDT AM GM cauchy SChwarz lop 8

BẤT ĐẲNG THỨC AM-GM

I. LÝ THUYẾT
1. Tên gọi:
Bất đẳng thức AM- GM (Cauchy) hay cịn gọi là BĐT Trung bình cộng và Trung bình
nhân. Ngồi ra cịn 1 số sách và 1 số giáo viên thường gọi là Cô si.
2. Định nghĩa:
Trung bình cộng của n số thực khơng âm ln lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân của
chúng và trung bình cộng chỉ bằng trung bình nhân khi và chỉ khi n số đó bằng nhau.
3. Tổng quát:
Ở cấp THCS, Tài liệu xin phép chỉ đưa ra hai công thức tổng quát sau:
a b
� ab , Dấu “ = “ khi và chỉ khi a  b
2
a b c
�33 abc , Dấu “ = “ khi và chỉ khi a  b  c
Với a,b,c �0 thì
3

Với a,b�0 thì

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: ÁP DỤNG TRỰC TIẾP CÔNG THỨC
Bài 1: Cho x, y , z �0 , CMR :  x  y   y  z   z  x  �8 xyz
HD:
Áp dụng Cô si cho hai số x, y �0 , ta có: x  y �2 xy ,
�
�y  z �2 yz

Làm tương tự ta sẽ có : �

�z  x �2 zx

 x  y   y  z   z  x  �8xyz

, Nhân theo vế ta được:

�x  y
�
Dấu “ = “ khi và chỉ khi: �y  z  x  y  z
�z  x
�

Bài 2: Cho a,b, c  0 và abc  1 , CMR:  a  1  b  1  c  1 �8
HD :
Áp dụng Cô si cho hai số khơng âm a,1 , ta có : a  1 �2 a
�
b  1 �2 b
�

  a  1  b  1  c  1 �8 abc  8
c  1 �2 c
�
Dấu “ = “ khi và chỉ khi: a  b  c  1
Bài 3: Cho a,b không âm. CMR:  a  b   ab  1 �4ab

Tương tự ta sẽ có : �

HD :
Áp dụng Cơ si cho hai số khơng âm a,b , ta có : a  b �2 ab
Tương tự : ab  1 �2 ab , nhân theo vế ta được :  a  b   ab  1 �4ab

�a  b

Dấu “ = “ khi và chỉ khi �

�ab  1

 a  b  1

Trang 1


Bài 4: Cho 3 số x,y,z >0, CMR:

x y z
  �3
y z x

HD:
�x 2  yz
�2
x y z
x y z
x y z
Ta có:   �3 3 . .  3 , Dấu bằng khi    �y  xz  x  y  z
y z x
y z x
y z x
�z 2  xy
�
4

4
4
4
Bài 5: CMR: a  b  c  d �4abcd , Với mọi a,b,c,d

HD :
4
Vì a 4 , b 4 , c 4 , d 4 là 4 số dương => a 4  b4  c 4  d 4 �4 4  abcd   4abcd

Dấu “ = “ khi và chỉ khi a  b  c  d
Bài 6: Cho a,b,c, d  0; abcd  1. CMR: a 2  b2  c 2  d 2  ab  cd �6
HD :
a 2  b 2 �2ab
�
 a 2  b 2  c 2  d 2  ab  cd �3  ab  cd  �3.2 abcd  6
Ta có : �2
2
c  d �2cd
�

Dấu “ = “ khi và chỉ khi a=b=c=1.
a2 b2 c2 c b a
Bài 7: CMR: 2  2  2 �  
b c a
b a c
HD:
a2 b2
a
a2 b2
;

,
ta
có
:
 2 �2. ,
2
2
2
b c
b c
c
2
2
2
2
b c
b
c a
c
Tương tự : 2  2 �2. , và 2  2 �2.
c a
a
a b
b
2
2
2
�a b c � �a b c �
Cộng theo vế ta được : 2� 2  2  2 ��2�   � VT �VP
�b c a � �c a b �

Dấu “ = “ xảy ra khi: a  b  c
bc ca ab
 
�a  b  c
Bài 8: Cho a,b,c > 0. CMR:
a b
c

Áp dụng Cô si cho hai số không âm

HD :
bc ca
�b a �
  c �  ��2c ,
a b
�a b �
ca ab
�c b �

 a �  ��2a
Tương tự:
b
c
�b c �
ab bc
�a c �
  b �  ��2b
c
a
�c a �

Cộng theo vế ta được: 2VT �2VP
a
b
c
1 �1 1 1 �
Bài 9: Cho a,b,c  0 . CMR : 2 2  2 2  2 2 � �   �
a b b c c a
2 �a b c �

Ta có:

HD:
Áp dụng Cơ si cho hai số a2,b2  0, ta có: a2  b2 �2ab
Làm tương tự ta sẽ có
�
b 2  c 2 �2bc
a
b
c
1
1
1 1 �1 1 1 �
�
 VT �





 �  �

�2
2
2ab 2bc 2ca 2b 2c 2a 2 �a b c �
c  a �2ca
�
Trang 2


�a  b
�
Dấu “ = “ khi và chỉ khi: �b  c  a  b  c
�
c a
�

�1
�

1 1�

Bài 10: CMR: Với mọi a,b,c  0 , thì P   a  b  c  �   ��9
a b c
�

HD:
Áp dụng Cô si cho ba số dương, ta có:
a  b  c �3 3 abc
1 1 1
1
  �3 3

a b c
abc
�1 1 1 �
�
�
�a  b  c
�
Dấu “ = “ khi và chỉ khi: �1 1 1  a  b  c
 
�
�a b c

Nhân theo vế ta được:  a  b  c  �   ��9
a b c

Chú ý: Với A, B, C dương ta có:

1 1 1
9
  �
A B C A B C

Bài 11: Cho a,b,c �0 và a  b  c �3
CMR :
HD:

a
b
c
3

1
1
1


� �


2
2
2
1 a 1 b 1 c
2 1 a 1 b 1 c

1
�a
�
2
�
1 a
2
�
1 a 2 �2a �
� 2
1
�b
1 �
b  2b
�
� 2

1 b
2
�
2
* Ta có: �
1

c
�
2
c
�
1
�c
�
2
�
1 c
2
�
a
b
c
1 1 1 3



�   
2
2

2
1 a 1 b 1 c
2 2 2 2

1 a  x
�
1
�
1  b  y  x  y  z  a  b  c  3 �6 
�6
* Đặt �
x yz
�
1 c  z
�

1 1 1 3
Cần chứng minh: B    �
x y z 2
�1

1

1�

1

1

1

9

9

3

� 
Ta có:  x  y  z  �   ��9    �
x y z x yz 6 2
�x y z �
1 1 1 3
Suy ra B    �
x y z 2

Trang 3


Bài 12: Cho a,b,c là ba số dương, CMR:
HD:

a
b
c
3


�
bc ca ab 2
�1

1

1�

Ta có: Áp dụng bất đẳng thức :  x  y  z  �   ��9
x y z
�

�

�x  a  b
1
1 �
�
�1


Đặt �y  b  c  2  a  b  c  �
��9
a

b
b

c
c

a
�

�
�z  c  a
�
abc abc abc 9
a
b
c
9
3



� 


� 3 
ab
bc
ca
2
bc ca ab 2
2
a
b
1
3


�
Bài 13: Cho a,b > 0, CMR:

b 1 a 1 a  b 2

HD :

1
1 �
�a
� �b
��1
�
�1
VT  �  1� �
 1� �
 1� 3   a  b  1 � 

� 3
�b  1 � �a  1 � �a  b �
�b  1 a  1 a  b �
1
1
1 �
9
3
�1
 �


 a  1   b  1   a  b  �
�
� 3 �  3 

�
�
2
2
2
�a  1 b  1 a  b �
a
b
c


�3
Bài 14: Với a, b, c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác CMR:
bca cab abc

HD :

Ta có : VT �3 3

abc
 b  c  a  c  a  b  a  b  c

Lại có :  b  c  a    c  a  b  �2  b  c  a   c  a  b 

 b  c  a   c  a  b  , Tương tự ta có :
a �  c  a  b   a  b  c  và b �  b  c  a   a  b  c 
=> abc � b  c  a   c  a  b   a  b  c  =>
 2c �2

abc

�1  VT �3 3 1  3
 b  c  a  c  a  b  a  b  c
1
1
1
abc
 2
 2
�
Bài 15: Cho a,b,c > 0, CMR: 2
a  bc b  ac c  ab
2abc

HD :

Co si cho hai số : a 2 , bc , Ta được:
a 2  bc �2a bc 

1
1
2
1 �1 1 �
�
 2
� �  �
a  bc 2a bc
a  bc 2 �ab bc �
2

Tương tự ta có :

2
1 �1
1 �
2
1 �1 1 �
� �  �và 2
� �  �
b  ac 2 �ab bc � c  ab 2 �ca cb �
1
1 1 a bc
abc
 VT �
Cộng theo vế ta được : 2VT �   
ab bc ca
abc
2abc
2

Dạng 2: TÌM ĐIỂM RƠI CỦA BĐT AM- GM
Trang 4


1. Nhận dạng xử lý:
- Với bài tốn có điều kiện của ẩn, thì điểm rơi thường là điểm biên của ẩn
- Với các ẩn có vai trị như nhau trong biểu thức thì điểm rơi là các ẩn đó có giá trị bằng
nhau.
2. Phương pháp :
- Thay giá trị điểm rơi vào 1 biểu thức muốn AM – GM, để tách biểu thức đó sao cho
Cơ si xảy ra
dấu bằng.

- Ta có thể hạ bậc hoặc nâng bậc của biểu thức để Cô si để biểu thức sau khi Cô si được
như ý.
Dạng 2.1: Điểm rơi cho Cô - si hai số
1
a

5
2

Bài 1: Cho a �2, CMR : a  �
HD :

1
a

1
1
 k .a  k .2  k 
2
4
1 1 a 3a
a 3a
3a
3 5

 1
�1  
Khi đó ta có : a     �2
a a 4 4
4a 4

4
2 2
�1 a
� 
Dấu bằng khi �a 4  a  2
�
�a  2
1
Bài 2: Cho a �3 , Tìm GTNN của: S  a 
a

Dự đốn dấu bằng khi : a = 2 => 

HD :
1 1
1
  k .3  k 
a 3
9
2 8.3 2 8 10
�1 a � 8a
  
Khi đó ta có : S  �  � � 
9 9 3 3 3
�a 9 � 9
10
Vậy Min S 
3
1
Bài 3: Cho x �1 , Tìm GTNN của: A  3x 

2x

Dự đốn dấu bằng khi : a  3 

HD :
1 1
1
  k .3  k 
2x 2
6
2 5.1
5 7
�1 3 x � 5 x
 1 
Khi đó : A  �  � � 
2 2
4 2
�2 x 6 � 2
1 1
Bài 4: Cho a,b > 0, a  b �1, CMR : a  b   �5
a b

Dự đoán dấu bằng khi x  1 

HD :
a b 1
�
1
1
1

 a  b    2  k .  k  4
ab
2
a
2
�

Dự đoán dấu bằng khi �

�1
� �1
� �1
� �1
�
�
��
��
��
�
�2 4  2 4  3  a  b  , Mà a  b �1  3  a  b  �3

Khi đó : VT  �  a � �  b � �  4a � �  4b � 3  a  b 
a
b
a
b

Trang 5

 VT �4  4  3  5

Bài 5: Cho hai số thực x, y thỏa mãn : x �3; y �3 .
�

1� �

1�

�

� �

�

Tìm GTNN của biểu thức : A  21�x  � 3�y  �
y
x
HD :
� 1� � 1�
A  21�x  � 3�y  �
� y� � x�
�21 7 � �3 x � 2
62
A  �  y� �  � y 
x
3
�y 3 � �x 3 � 3
2
62

A �2.7 2.1 .3 .3  80
3
3

Dấu = có khi x = y =3.
Bài 6: Cho x  2 y  0, Tìm GTNN của: P 

x2  y 2
xy

HD :
x y
x
1
 , đặt  a  a �2  P  a 
y x
y
a
1 1
1
�1 a � 3a
Dự đoán dấu bằng khi : a  2    k .2  k   P  �  �
a 2
4
�a 4 � 4
2 3.2
3 5
P� 
 1 
2 2

4 4
1
1
1
Bài 7: Cho a �10, b �100, c �1000, Tìm GTNN của: A  a   b   c 
a
b
c
HD :
1 1
1
Dự đoán dấu bằng khi : a  10    k .10  k 
, Tương tự với b và c,
a 10
100
Khi đó ta có :
2
99.10 101
�1 a � 99a
B� 
�


, Tương tự với b và c
�
10
100 100
�a 100 � 100
Bài 8: Cho a,b,c là ba số thực dương thỏa mãn: a  b  c �1 ,
1 1 1

Tìm GTNN của: P  a  b  c   
a b c
HD :
1
�1
� �1
� �1
�
Dấu bằng khi a  b  c  , Khi đó P  �  9a � �  9b � �  9c � 8  a  b  c 
3
�a
� �b
� �c
�
P �2 9  2 9  2 9  8  a  b  c  Mà a  b  c �1  8  a  b  c  �8

Ta có : P 

Vậy P �6  6  6  8  10
3
2

Bài 9: Cho a,b,c là ba số thực dương thỏa mãn: a  b  c � ,
1
a

1
b

Tìm GTNN của: P  a  b  c   

1
c

HD :
Dự đoán dấu bằng khi : a  b  c 

1
�1
� �1
� �1
�
 P  �  4a � �  4b � �  4c � 3  a  b  c 
2
�a
� �b
� �c
�

Trang 6


3 15
P �4  4  4  3. 
2 2

Bài 10: Cho a,b,c là ba số thực dương thỏa mãn: a  b  c �1 ,
�1
�

1

1�

Tìm GTNN của: P  a  b  c  2 �   �
a b c
�

HD :
1
3
2� �
2� �
2�
�
18a  � �
18b  � �
18c  � 17  a  b  c   P �19
Khi đó: P  �
a��
b� �
c�
�

Dự đoán dấu bằng khi a  b  c 

Bài 11: Cho a,b là các số thực dương thỏa mãn: a  b �1 , Tìm GTNN của: S  ab 

1
ab

HD :
Dự đoán dấu bằng khi : a  b 
�
�

1
1

 4  16ab
2
ab

1 �
�

16ab  � 15ab �2 16  15ab
Khi đó ta có : S  �
ab
15
4

1
4

mà a  b �2 ab  1 �2 ab  ab �  15ab �
Vậy S �2.4 

15
15 17

 8 
4
4
4

2
2
Bài 12: Cho x,y dương thỏa mãn: x  y  4 , Tìm GTNN của: P  x  y 

33
xy

HD :
33
k
, nên 2 xy  8   k  32 khi đó:
xy
4
1
4
1
1
32 1
1
�
  P �2.8 
P  2 xy   �2 64  , Mà:
2
xy  x  y 
4

4
xy xy
xy
1 1
Bài 13: Cho a,b 0,a b  1 , Tìm GTNN của P  a2  b2  2  2
a b
HD:
1
Dấu = khi a  b 
2
�1 1 �
2
1
15
1
15
2
2

�2.

Ta có: P  a  b  � 2  2 ��2ab   2ab 
ab
8ab 8ab
4 8ab
�a b �
1
1
15 15
�4 

� , Thay vào P ta được:
Mà 1  a  b �2 ab  ab � 
4
ab
8ab 2
15 17
P �1 
2 2
ab
ab

Bài 14: Cho a,b  0 . Tìm GTNN của: P 
ab a  b
HD :
�a  b
ab

�
Dự đoán dấu bằng khi : �m ab a  b  m  4
�a  b
�

Dự đoán dấu = khi: x  y  2 khi đó: P �2 xy 





Trang 7

ab
ab 3 a  b
1 3.2 ab
3.2 5

 .
�2

 1

4 4 ab
4
2
4 ab a  b 4 ab
1
Bài 15: Cho x  0 , Tìm GTNN của A  4x2  3x   2019
4x

Khi đó ta có : P 

HD :
Bấm máy, Cho x chạy từ 0 đến 5, Tìm ra điểm rơi x 
Biến đổi A   4x2  4x  1  x 
Bài 16: Cho a,b  0, a  b 

1
2

2

1
1
 2018 � 2x  1  2
 2018  2019
4x
4

5
4 1
, Tìm GTNN của A  
4
a 4b

HD :
Bấm máy tính, Tìm điểm rơi là : a  1;b 
�

4� �

1�

�

��

�

1
4

5

Khi đó : A  �4a  � �4b  � 4 a  b �2 16  2 1  4.  5
a
4b
4
6 8
a b

Bài 17: Cho a  b  0,a  b �6 , Tìm GTNN của A  3a  2b  
HD :

Bấm máy, tìm điểm rơi là : a  2;b  4
Khi đó ta có :

� 6� �
8 � �6 3a � �8 b � 3
3
A �
3a  � �
2b  � �  � �  �  a  b �2 9  2 4  .6  19
b � �a 2 � �b 2� 2
2
� a� �
Bài 18: Cho x,y là các số thực dương thỏa mãn: x  y �6 , Tìm GTNN của:
10 8
P  5x  3 y  
x y

HD :

Dấu bằng khi : x �y , Bấm máy , Tìm điểm rơi là x  2, y  4
10
1 8
1
 5  k.5.2  k  ,,  2  3.4.h  h 
x
2 4
6
10 5 x � �8 3 y � 5 x 5 y
5
�
=> P  �  � �  �  �2.5  2.2  .6  29
2
2
�x 2 � �y 6 � 2

Khi đó ta có : x  2 

2 3
x y

2
2
Bài 19: Cho x, y  0 và x  2y �2 , Tìm GTNN của A  2x  16y  

HD :
1
2
2 3

2 3 �
2� �
3�
2
2
16y  �
Khi đó : A  2 x  1  4 4y  1    6 �4x  16y    �4x  � �
x y
x y �
x� �
y�
Bài 20: Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn : a  2b  3c �20,
3 9 4
Tìm GTNN của: P  a  b  c   
a 2b c

Dự đoán điểm rơi : x  2y  2  x  2  2y Thay vào A, bấm máy cho ta x  1; y 



HD :

 



Bấm máy, tìm điểm rơi là : a  2; b  3;c  4

Trang 8

�3

3a � �9

b � �4

c� a

b

3c

Khi đó : P  �  � �  � �  �  
�a 4 � �2b 2 � �c 4 � 4 2 4
P �3  3  2 

1
1
 a  2b  3c  �8  .20
4
4

a2  b2
Bài 21: Cho a,b  0 thỏa mãn : a �2b , Tìm GTNN của biểu thức A 
ab

HD :
a b
a

1
 , Đặt  t, t �2 , Khi đó A  t 
b a
b
t
�t 1� 3t
2 3.2 5

Dấu bằng xảy ra khi t  2 , Nên A  �  � � 
4 4 2
�4 t � 4

Ta chia xuống, được : A 

Bài 22: Cho x, y  0 thỏa mãn: xy  4 �2y , Tìm GTNN của A 

x2  2y2
xy

HD:
Từ 2y �xy  4 �4 xy  y �2 x 

x 1
�
y 4

x 2y
� 1�
x


, Đặt  t,�t � �
y
y x
� 4�
2
1
Khi đó A  t  , Dấu = khi t 
t
4
2a2  b2  2ab
Bài 23: Cho a,b  0 thỏa mãn: a �2b . Tìm GTNN của P 
ab

Từ A chia xuống ta được: A 

HD:
2.a b
a
1
  2 , Đặt  t, t �2 , Khi đó P  2t   2
b a
b
t
�
1 t � 7t
2 7.2
5
 2
Dấu bằng xảy ra khi t  2  P  �  �  2 � 
2

4 4
�t 4 � 4
1 1
2
�3
Bài 24: CMR với mọi a,b > 0 thỏa mãn: ab=1, ta có BĐT:  
a b a b

Ta chia xuống, được: P 

HD :

ab
2
2
a  b �a  b
2 � 2 ab

 a b

�

 2  1 2  3
��
ab a  b
ab
2
ab� 2
�2
a 2 b2 c 2

Bài 25: CMR: với a,b,c > 0 thì :
  �a  b  c
b c a

Ta có : 

HD:
�a 2
� �b 2
� �c 2
�

b


c
Ta có: �
��
� �  a �  a  b  c  �2a  2b  2c   a  b  c   a  b  c  VP
�b
� �c
� �a
�
a b c 1 1 1
Bài 26: Cho a,b,c>0, CMR: 2  2  2 �  
b c a
a b c

HD :

Trang 9


�a 1 2
�b 2  a �b
�
1 1 1
�b 1 2
�1 1 1 �
Ta có : � 2  �  VT    �2 �   �=> ĐPCM
a b c
�a b c �
�c b c
�c 1 2
�a 2  c �a
�

Bài 27: Cho a,b,c > 0, CMR:
HD :

a2
b2
c2
abc


�
bc ca ab
2

�a 2
bc �
b2
ca
c2
ab

�
a
Ta có : �

�b và

�c
� , Tương tự ta có :
4 �
ca
4
ab
4
�b  c

Cộng theo vế ta được :

abc
abc
�a  b  c  VT �
2
2
a2

b2
c2
a b c
Bài 28: Cho a,b,c  0 , Chứng minh rằng:


�
b  2c c  2a a  2b
3
VT 

HD:

Dự đoán dấu = khi a  b  c , Khi đó:

a2
a2 a
1

  k. b  2c  k.3a  k 
b  2c 3a 3
9

a2
b  2c
a2 2a
, làm tương tự và cộng theo vế ta được:

�2.


b  2c
9
9
3
3 a  b  c 2 a  b  c
2 a  b  c  a  b  c a  b  c
VT 
�
 VT �


9
3
3
3
3
2
2
2
x
y
z


Bài 29: Cho x,y,z > 0, x+y+z = 2, tìm GTNN của: P 
yz xz x y

Ta biến đổi:

HD :

Dự đoán dấu bằng khi x  y  z 
Nên :

2
x2
1 yz
 
 k  4
, Khi đó :
3
yz 3
k

x2
yz
x yz
x y z

�x , Tương tự ta có : P 
�x  y  z  P �
1
yz
4
2
2

Bài 30: Cho x,y > 1, CMR :

x2
y2


�8
y 1 x 1

HD :
x2
x2

 8  x  y  2
Dự đoán dấu bằng khi x  y , Thay vào ta được :
x 1

2

x
y
 4  y  1 �4 x và
 4  x  1 �4 y
y 1
x 1
VT �4  x  y   4  y  1  4  x  1  8
2

Khi đó :

a 3 b3 c 3
Bài 31: Cho a,b,c > 0, CMR :
  �ab  bc  ca
b c a
HD:

�a 3
b3
c3
2��
2��
2�
2
2
2
Ta có: �  b � �  c � �  a �  a  b  c 
b
c
a
�
��
��
�

Trang 10

x 1


a3  b3 ab  a  b 
Mà:
�
 a  a  b   a 2  ab
b
b
3

b
c3
Tương tự =>  c 2 �b 2  bc,  a 2 �c 2  ca
c
a
2
2
2
2
2
2
Khi đó VT � a  b  c    ab  bc  ca    a  b  c   ab  bc  ca

Bài 32: Cho a,b,c  0 , Chứng minh rằng : P 
HD:

a3
b3
c3
a2  b2  c2


�
b  2c c  2a a  2b
3

Dấu bằng khi a  b  c , và để sau khi Cơ si vẫn cịn a2 thì ta làm như sau:

a b  2c 2.a2
a2

, Làm tương tự và cộng theo vế ta được:

�
b  2c
9
3
3 ab  bc  ca 2 2 2 2
2
ab  bc  ca
P
� a  b  c  P � a2  b2  c2 
9
3
3
3
2 a2  b2  c2 a2  b2  c2
2
2
2
2
2
2
a  b  c �ab  bc  ca    ab  bc  ca � a  b  c  P �

3
3
2
2
2
a b c

P�
3
Bài 33: Cho x, y  0, xy �6, y �3 , Tìm GTNN của P  x  y  2019

Xét











HD :



Dự đoán điểm rơi tại y  3, x  2 , Khi đó y  x  1 ,
Cô si cho hai số x  1; y  0 , ta được :





P   x  1  y  2018 �2 y x  1  2018  2. xy  y  2018 �2 6  3  2018  2024

Bài 34: Cho x, y �0, x  y  1 , Tìm GTLN và GTNN của A  x2  y2

HD:
2
�
�x �x
 A �x  y  1
Ta có: 0 �x, y �1  � 2
�y �y
1
Mặt khác, dự đoán dấu “=” khi x  y  ,
2
�2 1
x  �x
�
1
1
� 4
 A  �x  y  1  A �
Khi đó: �
2
2
�y2  1 �y
� 4

Trang 11


Dạng 2.2 : Điểm rơi cho Cô- si 3 số
Bài 1: Cho a �2, Tìm Min của: S  a 

1

a2

HD :
1 1
1
  h.2  h  , Khi đó ta có :
2
a
4
8
1 3.2 3 6 9
�a a 1 � 3a
S �   2 �

�3 3

  
64 4
4 4 4
�8 8 a � 4
3
Bài 2: Cho a �2 , Tìm GTNN của : P  x  3
x

Dự đoán dấu bằng khi a = 2 =>

HD :
3 3
3
  k.x  2k  k 

2
4
8
x
3 �3x 3x x � �3 3x 3x � x
1 2 9 2 11
   
Khi đó : P  2  �   � � 2   � �3.3.3
8 8�4
64 4 4 4 4
x �8 8 4 � �x
1
1
Bài 3: Cho 0  a � , Tìm Min của: S  2a  2
2
a

Dự đoán dấu = khi x  2 , Khi đó :

HD ;
1
1
1
 2  4  k .2.  k  4 , Khi đó ta có :
2
a
2
1
�1
�

S  � 2  8a  8a � 14a �3 3 64  14a , mà a �  14a �7  S �3.4  7  5
2
�a
�
1 1
Bài 4: Cho a,b là các số thực thỏa mãn: a  b �1 , Tìm min của A  a  b  2  2
a b

Dự đoán dấu bằng khi a 

HD :
Dự đoán dấu bằng khi a  b 
 S �3.4  3.4  15.1  9

1 ��
1�
1
�
 A  �
8a  8a  2 � �
8b  9b  2 � 15  a  b 
a ��
b �
2
�
3
2

Bài 5: Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn: a  b  c � , Tìm Min
P  abc

1 1 1
 
a 2 b2 c 2

HD :
1
2
1 ��
1 ��
1�
�
8a  8a  2 � �
8b  8b  2 � �
8c  8c  2 � 15  a  b  c 
Khi đoa : P  �
a ��
b ��
c �
�
3
45 27
P �3.4  3.4  3.4  15.  36 

2
2
2
3
Bài 6: Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn: a  b  c � , Tìm Min:
2

1
1
1
A  a2  b2  c2   
a b c

Dấu bằng khi a  b  c 

HD :
Dấu bằng khi : a  b  c 

1
2
Trang 12


1 � �2 1 1 � �2 1 1 � 3 �1 1 1 �
�2 1
 P  �
a   � �
b   � �
c   � �   �
� 8a 8a � � 8b 8b � � 8c 8c � 4 �a b c �
3 3 3 3� 9
� 27
P�    �
�
4 4 4 4 �a  b  c � 4
3 4
Bài 7: Cho x �2 , Tìm GTNN của : P  2x   2

x x

HD :
4
1
 1  k.x  k.2  k  , Vậy ta tách :
2
2
x
�x x
� 3 4 �4 x x � � 3 �
P  �   x�  2  � 2   � �x  �, lại nhẩm tiếp :
�2 2
� x x �x 2 2 � � x �
3 3
3
  k.x  k.2  k 
x 2
4

Dự đoán dấu = khi x  2 , Khi đó :

�4
�x

x x � �3 3x � x
9 2
1 13
 � �  � �3 2
  3 3 

2 2 � �x 4 � 4
4 4
2 2
Bài 8: Cho a,b,c là ba số thực dương thỏa mãn: a  b  c  1 ,
a3
b3
c3
A



Tìm Min của:
2
2
 1  a   1  b  1  c2

Nên P  � 2 





HD :
Dấu bằng khi a  b  c 
a3

1 a

2

c3

 1 c

2

1
Khi đó :
3

1 a 1 a 3
b3
1 b 1 b 3


� a , Tương tự ta cũng có :


� b
2
8
8
4
8
8
4
 1 b


1 c 1 c 3


� c
8
8
4

Bài 9: Cho a,b,c  0 , thỏa mãn : ab  bc  ca  3 ,
Tìm GTNN của P 
HD :

a3
b3
c3


 1 b  1 c  1 c  1 a  1 a  1 b

Dự đoán dấu bằng khi a  b  c  1
a3
1 b 1 c
a3 3a
3


�3.

Xét
, Làm tương tự và cộng theo vế ta được :
64 4
 1 b  1 c 8 8

3 a  b  c a  b  c 3 a  b  c 3
 P �

 

4
4
4
4
4
2
4
2
3 3 3
Mà  a  b  c �3 ab  bc  ca  9  a  b  c �3 , Thay vào P ta được : P �  
2 4 4
3
3
x
y
z3


Bài 10: Cho x, y, z  0 thỏa mãn : xy  yz  zx �3 , Tìm GTNN của : P 
y 1 z  1 x  1
P

HD :

 a  1   b  1   c  1 �3 a  b  c

Dự đoán dấu bằng khi x  y  z  1
x3
y  1 1 3.x

 �
Xét
y 1
4
2 2

, Làm tương tự và cộng theo vế ta được :

Trang 13


P

5 x  y  z 9
x  y  z 3 3 3 x  y  z
  �
 P �

4
4 2
2
4
4

Mà  x  y  z �3 xy  yz  zx �3.3  9  x  y  z �3 ,
2

5.3 9 3
 
4 4 2

Thay vào P ta được : P �

Bài 11: Cho x, y, z  0 thỏa mãn: x  y  z  11 , Tìm GTNN của P  x3  4y3  9z3
HD:
Các thầy cơ có thể bấm máy tính để tìm điểm rơi. Hoặc phân tích theo cách như sau:
Dự đoán x  a, y  b, z  c  a  b  c  11 và P �k  x  y  z
Áp dụng cô si cho 3 số x3,a3, a3 ta được: x3  a3  a3 �3xa2
Tương tự ta cũng có : y3  b3  b3 �3yb2
Và z3  c3  c3 �3zc2
Để có được biểu thức P ta cộng (1)  4.(2)  9(3) ta được :

(1)
(2)
(3)

 x  2a   4 y  2b   9 z  2c  �3 a x  b y c z
 P  2 a  4b  9c  �3 a x  4b y  9c z , đồng nhất với k  x  y  z
3

3

3

3

3

3

3

3

3

2

2

2

2

2

2

ta được :

a2  4b2  9c2  a  2b  3c , mà a  b  c  11 a  6  x,b  3  y,c  2  z

Giờ ta quay lại làm hồn thiện bài tốn như sau :
3

3
3
x3  63  63 �3.36x (4) , y  3  3 �3.9y (5) và z3  23  23 �3.4z (6)





3
3
3
3
3
3
Cộng (4)  4.(5)  9.(6)  x  4y  9z  2.6  8.3  18.2 �108 x  y  z  11.108

P �396

Trang 14


Dạng 3: CÔ SI NGƯỢC DẤU

Bài 1: Cho a,b  0; a  b  4ab . Tìm GTNN của A 
HD:
Dấu bằng xảy ra khi a  b 

a
b
 2

4b  1 4a  1
2

1
2
1
1
� , Như vậy ta khơng thể tìm được
4b  1 4b

Nếu cơ si mẫu thì ta được: 4b2  1 �4b 

2

GTNN
Khi đó ta biến đổi:

� 4ab2 � � 4a2b � � 4ab2 � � 4a2b �
A �
a  2 � �
b  2 ���
a
b
� �
�  a  b  2ab  4ab  2ab  2ab
� 4b  1� � 4a  1� � 4b � � 4a �

Mà a  b  4ab � a  b   a  b   a  b �0  a  b �1 Vì a,b  0  a  b  0
2

2

1
2

1
2

Khi đó : 4ab  a  b �1  2ab �  A �

Bài 2 : Cho x, y,z  0 và x  y  z  3 , Tìm GTNN của : P 
HD :

1
1
1
 2
 2
x 1 y 1 z 1
2

Dự đoán dấu bằng khi x  y  z  1
Nếu Cô si dưới mẫu thì ta được : x2  1�2x 

GTNN.

1
1
� thì ta đều khơng tìm ra được
x  1 2x

2

1
x2  1 x2
x2


1

, Rồi mới Cô si dưới mẫu :
x2  1
x2  1
x2  1
x2
x2
x2
x
2
Khi đó ta có : x  1�2x  2 �  1 2 �1
, làm tương tự và cộng theo
2
x  1 2x
x 1

Ta biến đổi :

vế :

�x  y  z �
3 3

P �3 �
 3 
�
2 2
� 2 �

Bài 3 : Cho x, y, z  0 và x  y  z  3 , Tìm GTNN của P 
HD :

Dự đốn dấu = khi x  y  z  1



x2
y2
z2


x  2y3 y  2z3 z  2x3



x x  2y3  2xy3
x2
x.x
2xy3
Xét
, Vì dấu = khi x  y  z




x

x  2y3 x  2y3
x  2y3
x  2y3

Nên dưới mẫu ta phải Cô si cho 3 số :
x  y3  y3 �3.3 xy6  3.y2 3 x  x 

2xy3
2y.3 x2
�
x

3
x  2y3

Làm tương tự và cộng theo vế ta được : P � x  y  z 

Trang 15



2 3 2
y x  z3 y2  x3 z2
3



2xy  y
, Làm tương tự và công theo vế ta
3

Mà 3y3 x2  3.3 x2y3 �xy  xy  y  y3 x2 �
có :
P �3

2 xy  yz  zx x  y  z�
3�

�
�,
2�
3
3 �

Và x2  y2  z2 �xy  yz  zx   x  y  z �3 xy  yz  zx  xy  yz  zx �3
2

Thay vào P ta được : P �3

2
 2  1  1
3

Trang 16

Dạng 4: KỸ THUẬT DỒN BIẾN

2
2
2
Bài 1: Cho x, y, z  0 và x  y  z �3 , Tìm GTNN của: P  x  y  z 

HD:
người.

20
x  y z

Ta sẽ dồn x2  y2  z2 về x  y  z hoặc ngược lại, tùy vào cách nhìn nhật của mỗi
Dự đốn dấu = khi x  y  z  1
Cách 1: Áp dụng bất đẳng thức phụ về mối quan hệ của biến trong bài:





3 x2  y2  z2 � x  y  z

2

rồi đặt ẩn, dùng điểm rơi

Cách 2: Ta có x2  1�2x , y2  1�2y và z2  1�2z , Cộng theo vế ta được:
20
, đặt x  y  z  t, 0  t �3

x  y z
20
18 2
2
29
Dấu = khi t  3  P  2t   3  2t    3 �2. 36   3 
t
t t
3
3
� a
b
c � 1 1 1
 
Bài 2: Cho a,b,c �1 , Tìm GTLN của: P  � 2 2  2 2  2 2 �
�a  b b  c c  a � a b c
x2  y2  z2  3 �2 x  y  z  P �2 x  y  z  3

HD:
1 1 1
 
, Dự đoán dấu = khi a  b  c  1
a b c
a
a
1

Ta có: a2  b2 �2ab  2 2 �
, Làm tương tự và cộng theo vế ta được:
a  b 2ab 2b

1 �1 1 1 � 1 1 1
1 1 1
P � �   �
 
, Đặt t    , Dự đoán điểm rơi 0  t �3
2 �a b c � a b c
a b c

Ta sẽ dồn về biến

t
2

3
2

Và P �  t �  3
b2 c2 a 2
9
9
  
�
Bài 3: Cho a,b,c dương thỏa mãn: abc = 1, CMR:
a b
c 2 a  b  c 2

HD :
a2
b2
c2

Ta có :
 c �2a ,
 a �2b,  b �2c
c
a
b
9
a  b  c �a  b  c
9

�

Ki đó VT �a  b  c 
�
2 a  b  c
2
2 a  b  c
� 2
3 3 abc 2.3 3
9
VT �

 3
2
2
2
2

Trang 17

�9
�
��2
�


Dạng 5: BIẾN ĐỔI ĐỂ ĐƯA VỀ CÔ SI ĐÚNG
Bài 1: Tìm min của biểu thức: A 
HD:

2
1
  0  x  1
1 x x

2  2x  2x 1 x  x
2x 1 x
2x 1 x

 3

�3  2
.
 3 2 2
1 x
x
1 x
x
1 x x
2x 1  x


 x  2  1
Dấu ‘’ = ’’ khi
1 x
x
x
5
 với 0 < x < 1
Bài 2: Tìm min của: B 
1 x x

Tách A 

HD:

5 1 x
5 1 x
x
5  5x  5x
x
x



 5 �2 5  5 , dấu bằng khi

1 x
x
1 x
x

1 x
x
x
2
Bài 3: Tìm min của: C  
(x > 1)
2 x 1
HD:
x 11
2
x 1
2
1
1
x 1
2
C



 �2  , Dấu bằng khi

2
x 1
2
x 1 2
2
2
x 1
x

4

Bài 4: Cho 01 x x
HD:
4  1 x
4 1 x
x
4  4x  4x
x
x
Ta có: B 

 4

�4  4 , dấu bằng khi

1 x
x
1 x
x
1 x
x

Ta có: B 

Bài 5: Tìm min của biểu thức: B 
HD:

x2  1

với x �0
x2

x2  4  5
5
5
Tách A 
 x2
 x 2
 4 �2 5  4
x2
x2
x2
5
 x  2  � 5
Dấu ‘’=’’ khi x  2 
x2
x2
Bài 6: Tìm min của: C 
với x >1
x 1
HD:
x2 1  1
1
1
Ta có: C 
 x 1
 x 1
 2 �2  2 .
x 1

x 1
x 1
1
 x  2
Dấu bằng khi x  1 
x 1
x2  x  1
Bài 7: Tìm min của: A  2
với x > 0
x  x 1
HD:
1
2
2
x2  x  1  2 x
2x
2
x

�
2

�
A

1


1


1
Tách
1 , mà
x
x2  x  1
x2  x  1
x  1 3
x 1
x
x
2
x  4x  4
Bài 8: Tìm min của: B 
với x  0
x
Trang 18


HD:
4
x

Ta có: B  x  4  �4  4  8 , dấu bằng xảy ra khi x 

4
 x  2
x

� 1�
� �

1  �với x > 0
Bài 9: Tìm min của: B   x  1 �
x

HD:
1
x

Tách B  x  1  1  �2  2 , dấu bằng xảy ra khi x 

1
 x  1
x

2

�x 2
�
Bài 10: Tìm min của: A   x  1  �  2 � với x �1
�x  1 �
2

HD:
2

�
1 �
1
2

�2 2  2
 x  1 
Tách A   x  1  �
�  2  x  1  2 
2
 x  1 �
 x  1
�
2

Dấu bằng khi 2  x  1 
2

1

 x  1

  x  1 
4

2

1
1
 x  1  �4
2
2

2

�x y � �x y �
Bài 11: Cho x,y >0, Tìm min của: P  �  � �  � 2
�y x � �y x �
HD:
2
2
x y
� 1� 9
� 1� 9
2
t  � , mà t �2  P ��
2  �  0
Đặt   t  P  t  t  2  �
y x
� 2� 4
� 2� 4
 x  a   x  b  với x > 0
Bài 12: Cho a, b > 0. Tìm min của: A 
x
HD:
2
x 2  ax  bx  ab
� ab �
 a  b  �x  ��a  b  2 ab  a  b
Ta có: B 
x
� x �
a b
Bài 13: Cho trước hai số dương a, b, các số dương x,y thay đổi sao cho   1 ,
x y

Tìm x,y để S  x  y đạt min. Tìm min S theo a,b
HD:
2
�a b �
bx ay
Ta có S   x  y  �  � a  b   �a  b  2 ab , min S  a  b
y
x
�x y �
ay bx
a b

Dấu bằng khi
mà   1  x  a  ab , y  b  ab
x
y
x y







Bài 14: Cho x,y>0, 4xy=1 và x+y=1, Tìm min của: A 

2  x 2  y 2   12 xy
x y

HD:

2
2�
 12 xy 2  x  y  2  8 xy
�x  y   2 xy �
�
1 �,
�
Ta có : A 

 2�
x y
x y
x y
x y�
�
�
1
�x  y  1
1
�2 => A �4 dấu bằng khi �
 x  y 
Co si x  y 
4 xy  1
2
x y
�

Trang 19



BẤT ĐẲNG THỨC SCHAWRZ
A. LÝ THUYẾT
1. Tên gọi:
Bất đẳng thức Schawzr hay còn gọi là bất đẳng thức cộng mẫu số được hiểu là hệ quả
của bất đẳng thức Bunyakovsky. Còn hay gọi tắt là Svac – Xơ.
2. Tổng quát:
Ở chương trình THCS. Tài liệu chỉ xin phép đưa ra công thức tổng quát và áp dụng cho
2 hoặc 3 số.
-

a2  a  a  ...  an 
a2 a2
Với các số b1,b2,...bn  0 , ta có: 1  2  ...  n � 1 2
b1 b2
bn  b1  b2  ...  bn 

Dấu “ = “ khi và chỉ khi:
-

2

a1 a2
a

 ...  n
b1 b2
bn

1 1
4
1 1
 �
, Dấu “ = “ khi và chỉ khi:   a  b
a b  a  b
a b
1 1 1
9
Với ba số a,b, c  0 thì ta có :   �
, Dấu “ = “ khi và chỉ khi: a  b  c
a b c a b c
Với hai số a, b 0 ta có :

B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ ỨNG DỤNG
Dạng 1 : ÁP DỤNG CÔNG THỨC THÔNG THƯỜNG
Bài 1: Cho x, y > 0. Chứng minh BĐT :

1 1
4
 �
x y x y

HD :

x y
4
2
2
�

  x  y  �4 xy   x  y  �0
xy
x y
Dấu ‘ = ‘ khi x=y
Bài 2: Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác, CMR:
1
1
1
1 1 1


�  
abc bc a c a b a b c
HD :
Vì a, b, c là ba cạnh của 1 tam giác nên các mẫu đều dương
1
1
4 2

� 
Áp dụng BĐT schawzr ta có :
a  b  c b  c  a 2b b
1
1
2
1
1
2

� và


�
Tương tự ta cũng có :
bc a c ab c
c  a b a bc a
Cộng theo vế ta được điều phải chứng minh
1
1
 2
�4
Bài 3: Cho x  0, y  0, x  y �1 , CMR: 2
x  xy y  xy
HD :
Áp dụng BĐT schawzr ta có :
1
1
4
1
2
 2
�
�4 , Vì x  y �1   x  y  �1 
�1
2
2
2
x  xy y  xy  x  y 
 x  y

Ta có: gt 

Trang 20


Dạng 2 : ĐIỂM RƠI CỦA SCHAWRZ
Bài 1: Cho a  b �1 và a,b 0 , Tìm min của: P 
HD :
Dấu bằng khi a  b 

1
1

2
a  b ab
2

1
2

1

1

1

4

1

�

�

Khi đó : P  �a 2  b2  2ab � 2ab �
2
�
�
 a  b  2ab
P�

4

 a  b

2



2
4
2
6
�


�6
2
2
2
4ab  a  b 
 a  b  a  b

1
1

2
a  b 2ab

Bài 2: Cho a,b  0; a  b �1 , Tìm GTNN của biểu thức : A 

2

HD:
Dự đoán dấu = khi a  b 

1
, Để ý hai biểu thức dưới mẫu, có thể nhóm chúng được
2

lại với nhau
1 1
4
 �
a b a b
1
1
4
4
�4
2
Khi đó: A  a2  b2  2ab �a2  b2  2ab �
a


b
 

Nên ta sử dụng BĐT phụ:

Bài 3: Cho a,b  0, a  b  1 , Tìm GTNN của: A 
HD:

3
2

2
a  b ab
2

1
, Biến đổi A thành:
2
� 1
3
4
3
3
1
1 � 1
4
2
A 2 2 
 2 2


 3� 2 2 

�3.

 14
�
2
2
a  b 2ab a  b 2ab 2ab
�a  b 2ab � 2ab
a

b
a

b
   

Dấu bằng khi a  b 

Bài 4: Cho a,b>0 và a  b �1 , Tìm GTNN của: P 
HD :
1
2

Dấu bằng khi : a  b  . Khi đó :

1
1 a  b

1

2



2



1
3.2ab

1
2ab

1 a  b
4
1
1
1
4
1
�
�
P
�

 P  � 2


� 2

�
2
=>
2
1  a  b 6ab � 3ab  a  b2  6ab  1 3ab
�
 a  b   4ab  1 3ab
2

2

1

1
4
1
8
a  b �2 ab  ab �  P �


1
Mặt khác :
4
2  1 3.
3
4
2

2
�
1  a  b  6ab
1
�
 a  b 
Dấu bằng khi �a  b
2
�
a b 1
�

Trang 21


Bài 5: Cho x, y  0, x  y �4 , Tìm GTNN của A 
HD :

2
35

 2xy
2
x  y xy
2

Dấu bằng xảy ra khi x  y  2
Biến đổi A 
A�

2.4

 x  y

2

� 1
2
2 34
1 ��
32 � 2


 2xy  2� 2

�
2xy 

�
2
2
xy �
x  y 2xy xy
� xy
�x  y 2xy � �
2

 16 

8

 x  y

2

�17

Bài 6: Cho a,b>0, a  b �1 , Tìm Min của: P 
HD :
Dấu bằng khi a  b 
� 1

1
1

 4ab
2
a  b ab
2

1
2
1 � �1

�

4

�

1 � 1

 �4ab 
�
Khi đó : P  �a 2  b 2  2ab � �2ab  4ab ��
2
4ab � 4ab
�
��
�  a  b �
�
a 2  b 2  2ab
�
4
4ab
1
1
�2 2 1
P�
 2.

�7
2
 a  b 
. Dấu bằng khi �a b 
4ab 4. 1
 a  b
16
2
�

4
a  b 1
�
�
1
25
Bài 7: Cho a,b  0, a  b �4 , Tìm GTNN của biểu thức: P  2 2   ab
a  b ab

HD:

Dấu = khi a  b  2 , và mẫu có thể ghép được lại với nhau. Nên ta biến đổi P thành:
� 1
� 16 � 17
1 � 49
4
4
34
P  �2 2 

 ab �
�
ab  �
�
 8
�
2
2
2
�a  b 2ab � 2ab

 a  b � ab � 2ab  a  b
 a  b

38
83
2
 8�  8
, Vì a  b �4   a  b �16
16
8
 a  b

P�

38

2

1
1
2
2
Bài 8: Cho x �2, x  y �3 , y > 0 , Tìm Min của P  x  y  
x x y
HD :
1 1
4
1
1
1

1 1
1

� 
 P �x 2  y 2  

Ta có :  �
x y x y
x  y 4x 4 y
x 4x 4 y
�x  2
5 � �2 1 �
�
P ��x 2 
, Điểm rơi cosi : �
� �y 
�
4y �
� 4x � �
�x  y  3
5
3
Bài 9: Cho x, y  0; x  y  3 , Tìm GTNN của A  2 2 
x  y xy

HD:
Dấu bằng khi x  y 

3
, để ý thì dưới mẫu có thể kết hợp lại được với nhau, ta biến

2

đổi:

Trang 22


A

� 1
5
6
5
5
1
1 � 1
4
1

 2


 5� 2

�5.

�
2
2
2

2
x  y 2xy x  y 2xy 2xy
�x  y 2xy � 2xy
 x  y 2xy
2

Mà  x  y �4xy 
2

A�

20

 x  y

Bài 10: Cho
HD :

2



1

1
1
2
�

�

2 , Thay vào A ta được:
 x  y 4xy 2xy  x  y
2

2

 x  y

2



22

 x  y

2



22
9

1 1 1
1
1
1
   4, CMR:



�1
a b c
2a  b  c a  2b  c a  b  2c

Áp dụng BĐT :

1 1
4
 �
x y x y

Dấu ’’=’’ xảy ra khi a  b  c 

3
 2a  b  c
4

Khi đó ta có :
1� 4
1 � 1 �1 1 �1 1 �
� 1 �2 1 1 �
� 1 �1
�
�� � 
�� �  �  �
� 16 �a  b  c �
4 �2a  b  c � 4 �2a b  c � 4 �2a 4 �b c �
�
� �

tương tự ta có :
1� 4
1 � 1 �1 1 �1 1 �
� 1 �2 1 1 �
� 1 �1
�
�� � 
�� �  �  �
� 16 �b  a  c �
4 �a  2b  c � 4 �2b a  c � 4 �
2b 4 �a c �
�
�
�

1 �4 4 4 �
1� 4
� 1 �2 1 1 �
�
�� �   �, Khi đó VT � �   � 1
4 �a  b  2c � 16 �c a b �
16 �a b c �

Trang 23