Dạy thêm toán 8 bài 1 hình

HÌNH HỌC 8 – CHƯƠNG III

BÀI 1. ĐỊNH LÝ TA – LÉT TRONG TAM GIÁC
I. Tóm tắt lý thuyết
1. Đoạn thẳng tỉ lệ
Hai đoạn thẳng AB và CD gọi là tỉ lệ với hai đoạn thẳng A 'B' và C'D' nếu
(hoặc

AB A 'B'

CD C'D'

AB
CD

).
A 'B' C'D'

2. Định lý Ta – lét
Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh cịn lại thì
đường thẳng định ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.

GT

ABC : DE PBC
 D �AB,E �AC 

KL

AD AE


AB AC
AD AE

DB EC
DB EC

AB AC

II. Các dạng bài tập
Dạng 1. Chứng minh đoạn thẳng tỉ lệ, tính độ dài đoạn thẳng hoặc tính tỉ số của hai đoạn
thẳng
Phương pháp giải: Sử dụng định nghĩa đoạn thẳng tỉ lệ và các tính chất của tỉ lệ thức.
Bài 1: Trên tia Ax lấy các điểm B, C, D theo thứ tự đó sao cho: AB  2cm,BC  4cm và
CD  8cm.
AB
BC
a) Tính các tỉ số
và
.
BC
CD
b) Chứng minh BC2  AB.CD.
Hướng Dẫn:
AB 1
BC 1
 và

BC 2
CD 2
b) Ta có BC 2  AB.CD  16cm 2

a) Ta có

Bài 2: Trên đường thẳng d lấy 4 điểm A, B, C, D theo thứ tự đó sao cho
a) Tính tỉ số

AB 3
BC 5
 và
 .
BC 5
CD 6

AB
.
CD
Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !!

Trang 1


HÌNH HỌC 8 – CHƯƠNG III

b) Cho biết AD  28cm. Tính độ dài các đoạn thẳng AB, BC và CD.
Hướng Dẫn:
a) Ta có

AB 1

CD 2

b) Ta tính được AB  6cm, BC  10cm và CD  12cm
Bài 3:Cho tam giác ABC và các điểm D, E lần lượt nằm trên hai cạnh AB, AC sao cho

AD AE

.
AB AC

AD AE

.
BD EC
b) Cho biết AD  2cm,BD  1cm và AE  4cm . Tính AC.
Hướng Dẫn:

a) Chứng minh

a) Theo tính chất của tỉ lệ thức, ta có:

AD AE

AB AC

AD
AE

AB  AD AC  AE
AD AF
�


(ĐPCM)
BD EC
AD AE

b) Ta có
. Thay số ta tính được EC  2cm
BD EC
Từ đó tìm được AC  6cm
�

Bài 4: Cho hình vẽ bên:

Biết

BD CE

AB AC

AD AE

AB AC
b) Cho biết AD=2cm, BD=1cm và AC  4cm . Tính EC.
Hướng Dẫn:

a) Chứng minh

a) HS tự làm

4

3

b) Tìm được EC  cm

Dạng 2. Sử dụng định lý Ta – lét để tính tỉ số đoạn thẳng, tính độ dài đoạn thẳng
Phương pháp giải: Thực hiện theo các bước:
Bước 1. Xác định cặp đoạn thẳng tỉ lệ có được nhờ định lý Ta – lét .
Bước 2. Sử dụng độ dài đoạn thẳng đã có và vận dụng các tính chất của tỉ lệ thức để tìm độ
dài đoạn thẳng cần tính.
Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !!

Trang 2


HÌNH HỌC 8 – CHƯƠNG III

Bài 1: Cho tam giác ACE có AC  11cm. Lấy điểm B trên cạnh AC sao cho BC  6cm. Lấy điểm
D trên cạnh AE sao cho DB PEC . Giả sử AE  ED  25,5cm . Hãy tính:
DE
;
a) Tỉ số
AE
b) Độ dài các đoạn thẳng AE,DE và AD.
Hướng Dẫn:
a) Theo định lý Ta-lét trong ACE , ta có: DE  BC � DE  6
AE

.

AC

AE

11

b) Cách 1. Theo tính chất của tỉ lệ thức ta có: DE  AE  17
AE

11

Từ đó tính được AE  16,5cm ; DE  9cm và AD  7,5cm .
Cách 2. Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau
Cách 3. Thay DE  25,5  AE vào

DE 6

AE 11

Bài 2: Cho tam giác ABC có AB  11cm. Lấy điểm D trên cạnh AB sao cho AD  4cm. Lấy điểm
E trên cạnh AC sao cho DE PBC . Giả sử EC  AE  1,5cm. Hãy tính:
AE
;
a) Tỉ số
EC
b) Độ dài các đoạn thẳng AE,EC và AC.
Hướng Dẫn:
HS tự làm
Đáp số: AE  2cm; EC  3,5cm và AC  5,5cm
Bài 3: Cho tam giác ABC và điểm D trên cạnh BC sao cho

BD 3
 , điểm E trên đoạn AD sao cho
BC 4

AE 1
AK
 . Gọi K là giao điểm của BE và AC. Tính tỉ số
.
AD 3
KC
Hướng Dẫn:

Kẻ DM / / BK  M �AC 
Áp dụng định lý Ta-lét trong CBK , ta có:
KM BD
KM 3

�

KC BC
KC 4

(1)

AK 1

KM 2
AK 3

Từ (1) và (2), tìm được:

KC 8

Tương tự với ADM , ta có:

(2)

Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !!

Trang 3


HÌNH HỌC 8 – CHƯƠNG III
Bài 4: Cho hình bình hành ABCD có điểm G thuộc cạnh CD sao cho DG 
điểm của AG và BD. Tính tỉ số

1
DC. Gọi E là giao
4

DE
.
DB

Hướng Dẫn:

Chú ý DC  AB nên

DG ED 1
DE 1


 �

AB EB 4
DB 5

Dạng 3. Sử dụng định lý Ta – lét để chứng minh hệ thức cho trước
Phương pháp giải: Thực hiện theo các bước:
Bước 1: Xác định các cặp đoạn thẳng tỉ lệ có được nhờ định lý Ta – lét.
Bước 2: Vận dụng các tính chất của tỉ lệ thức và các kiến thức cần thiết khác để chứng minh
được hệ thức đề bài yêu cầu.
Bài 1: Cho hình thang ABCD có hai đáy là AB và CD. Một đường thẳng song song với AB cắt các
ED BF

 1.
cạnh bên AD, BC theo thứ tự ở E và F. Chứng minh
AD BC
Hướng Dẫn:
Ta có:

ED FC
ED BF FC BF




1
nên
AD BC
AD BC BC BC

Bài 2: Cho hình thang ABCD có hai đáy là AB và CD, các đường chéo cắt nhau tại O. Chứng minh
OA.OD  OB.OC.
Hướng Dẫn:
Vì AB//CD, áp dụng định lý Ta-lét, ta có:

OA OB

OC OD

Từ đó suy ra ĐPCM
Bài 3: Cho tam giác ABC có AM là trung tuyến và điểm E thuộc đoạn thẳng MC. Qua E kẻ đường
thẳng song song với AC, cắt AB ở D và cắt AM ở K. Qua E kẻ đường thẳng song song với AB, cắt
AC ở F. Chứng minh CF  DK.
Hướng Dẫn:

Chứng minh được ADEF là hình bình hành, từ đó: EF=AD (1)
Kẻ MG//AC (G AB), ta được G là trung điểm của AB. Áp dụng định lý Ta-lét trong
CF AC

(2)
EF AB
Tương tự với AGM và ABC , ta có:

ABC , ta có:

Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !!

Trang 4

HÌNH HỌC 8 – CHƯƠNG III

DK MG MG AC



AD AG BG AB

(3)

Từ (1), (2), (3) ta suy ra CF = DK
Bài 4: Cho tam giác ABC nhọn, M là trung điểm của BC và H là trực tâm. Đường thẳng qua H và
vng góc với MH cắt AB và AC theo thứ tự ở I và K. Qua C kẻ đường thẳng song song với IK,
cắt AH và AB theo thứ tự ở N và D. Chứng minh:
a) NC  ND .
b) HI  HK.
Hướng Dẫn:

a) Chứng minh được M là trực tâm HNC nên: MN  HC , từ đó suy ra MN / / AB hay
MN / / DB . Theo tính chất đường trung bình ta có N là trung điểm của CD.
b) Ta có IH / / DN và HK / / NC nên chứng minh được

HI HK

. Từ đó suy ra HI = HK.
DN NC

Bài tập tự luyện
Bài 1: Cho đoạn thẳng AB  10cm . Lấy điểm C thuộc đoạn AB sao cho

CA 3

CB 2

a) Tính độ dài CB
b) Lấy D thuộc tia đối cuả tia BA sao cho

DA 3
 .Trong ba điểm A; B; D điểm nào nằm giữa
DB 2

hai điểm còn lại? tính độ dài DB
c) Tính dộ dài CD
Hướng Dẫn:

a)Cách 1:
�

CA 3
CA  CB 3  2
AB 5
 �

�
 (vì C nằm giữa A và B )
CB 2
CB
2
CB 2
10 5

 � CB  4(cm)
CB 2

Cách 2: Đăt CB  x thì CA  10  x Ta có:

CA 3
10  x 3
 nên
 � 3 x  20  2 x � x  4(cm)
CB 2
CB
2

b) Nếu điểm D nằm giữa hai điểm cịn lại thì trái với giả thiết D thuộc tia đối của tia BA
Nếu điểm A nằm giữa hai điểm cịn lại thì DA  AB  DB � DA  DB , trái với

DA 3

DB 2

Vậy B nằm giữa hai điểm A và D
Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !!

Trang 5


HÌNH HỌC 8 – CHƯƠNG III

DA 3
DA  DB 3  2

AB 1
 �

�
 (vì B nằm giữa A và D )
Ta có:
DB 2
DB
2
DB 2
�

10 1
 � DB  20(cm)
DB 2

c) B nằm giữa C và D � CD  CB  BD  4  20  24(cm)
Bài 2: Cho đoạn thẳng AB  5cm .Trên tia đối của tia AB lấy điểm C sao cho CA : CB  3 : 4 . Tính
độ dài AC .
Hướng Dẫn:

Cách 1. Đặt AC  x . Giải
Cách 2.

x
3
 được x  15 .
x5 4

CA CB CB  CA BA




 5 nên CA  15cm
3
4
4 3
1

Bài 3: Cho đoạn thẳng AB  12cm . Điểm C chia trong đoạn thẳng AB theo tỉ số 1: 3 , điểm D chia
trong đoạn thẳng BA theo tỉ số 1: 3 .
a) Giải thích vì sao điểm C nằm giữa A và D
b) Tính độ dài CD
Hướng Dẫn:

a) Tính độ dài AC được 3 cm, Tính độ dài AD được 9cm . Trên tia AB ta có các điểm C
và D mà AC  AD nên C nằm giữa A và D .
b) Theo câu a ta có AC  CD  AD � 3  CD  9 � CD  6cm
Bài 4: Cho tam giác ABC. Một đường thẳng song song với BC cắt các cạnh AB và AC theo thứ tự
ở D và E.
a) Biết

AE 3
 , BC  28cm . Tính độ dài DE.
EC 4

b) Biết

AD EC


Chứng minh rằng D, E thứ tự là trung điểm của AB, AC.
DB AE

Hướng Dẫn:

Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !!

Trang 6


HÌNH HỌC 8 – CHƯƠNG III

a) Từ

AE 3
AE
3
AE 3
 suy ra


tức là
EC 4
AE  EC 3  4
AC 7

Áp dụng định lí Talet trong ABC với DE//BC , ta có:
DE AE
DE 3


�
 � DE  12 (cm)
BC AC
28 7

b) Áp dụng định lí Talet trong ABC với DE//BC , ta có:
AD AE
AD EC
AE EC



mà
(giả thiết) nên
, do đó EC 2  AE 2 .
DB EC
DB AE
EC AE

Vậy EC  AE .
Suy ra DB  AD
Bài 5: Cho hình thang ABCD có AB//CD (ABgiao điểm của AD và BC. Đường thẳng KO cắt AB, CD thứ tự ở M, N. Chứng minh rằng:
a)

MA MB

ND NC

b)

MA MB

NC ND

c) MA  MB, NC  ND
Hướng Dẫn:

a)Áp dụng định lí Talet vào các tam giác KDN, KNC với AB//CD
Ta có:

MA KM MB KM
MA MB

,


, suy ra
(1)
ND KN NC KN
ND NC
Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !!

Trang 7


HÌNH HỌC 8 – CHƯƠNG III

b)Áp dụng định lí định lí Talet vào các tam giác ONC, OND với AB//CD , ta có:
MA OM MB OM

MA MB

,


, suy ra
NC ON ND ON
NC ND

(2)

c) Nhân từng vế (1) với (2) ta được:
MA 2
MB2

� MA 2  MB2 � MA  MB
NC.ND NC.ND

Do đó : NC  ND
Bài 6: Cho AB  8cm . Trên tia đối của tia BA lấy các điểm C và D . Biết

AB
CD 2
 2;
 .Tính độ
CD
BD 3

dài AD
Hướng Dẫn: AD = 14 cm

Bài 7: Cho đoạn thẳng AB  42cm và điểm C thuộc đoạn thẳng đó sao cho

CA 2
 . Tính độ dài
CB 5

các đoạn CA, CB và khoảng cách từ C đến trung điểm O của AB.
Hướng Dẫn:
Tính được CA  12cm, CB  30cm, CO  9cm .
Bài 8: Cho tam giác ABC, điểm M bất kỳ trên cạnh AB. Qua M kẻ đường thẳng song song với
BC cắt AC ở N. Biết AM  11cm,MB  8cm,AC  38cm. Tính độ dài các đoạn AN, NC.
Hướng Dẫn:
Tương tự 2A. Tính được AN = 22cm, NC = 16cm.
� , trên tia Ax lấy hai điểm D và E, trên tia Ay lấy hai điểm F và G sao cho
Bài 9: Cho xAy
FD PEG. Đường thẳng kẻ qua G song song với FE cắt tia Ax ở H. Chứng minh AE2  AD.AH.
Hướng Dẫn:

Chứng minh được
AE AD � FA �


�
�
AH AE � AG �

Từ đó suy ra ĐPCM
Bài 10: Cho hình bình hành ABCD. Gọi E là một điểm bất kỳ trên cạnh AB. Qua E kẻ đường
thẳng song song với AC cắt BC ở F và kẻ đường thẳng song song với BD cắt AD ở H. Đường
thẳng kẻ qua F song song với BD cắt CD ở G. Chứng minh AH.CD  AD.CG.

Hướng Dẫn:

Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !!

Trang 8


HÌNH HỌC 8 – CHƯƠNG III

Áp dụng định lý Ta-lét trong các
ADB, ABC và BCD ta có:
AH AE CF CG



AD AB CB CD

Từ đó � AH .CD  AD.CG
�

Bài 11: Cho tam giác ABC vng cân có C  900 . Từ C kẻ 1 tia vng góc với trung tuyến AM
cắt AB ở D. Hãy tính tỉ số
Hướng Dẫn:

BD
DA

Kẻ CH  AB tại H vì tam giác ABC vng cân tại C nên đường cao CH đồng thời là đường
trung tuyến.
Gọi G là giao điểm AH và AM

AG
2
Suy ra G là trong tâm tam giác ABC �
GM
CH  AD �
Trong tam giác ACD có
�� H là trực tâm tam giác ADC
AG  CD �
Suy ra DG  AC
Ta lại có BC  AC nên BC//DG
AG AD

Hay DG//BM �
(định lí Talet)
MG BD
AG
AD
 2 do đó
2
Mà
GM
BD
BD 1

Vậy
DA 2
Bài 12: Cho tam giác ABC, G là trọng tâm. Qua G vẽ đường thẳng song song với cạnh AC, cắt
các cạnh AB, BC lần lượt ở D và E. Tính độ dài đoạn thẳng DE, biết DA+EC=16cm và chu vi tam
giác ABC bằng 75cm.
Hướng Dẫn:

Vẽ DN // BC  DNCE là hbh  DE = NC. Và DB=2DA, DE = 18 cm.

Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !!

Trang 9


HÌNH HỌC 8 – CHƯƠNG III

Bài 13: Cho hình thang ABCD (AB // CD). Đường thẳng song song hai đáy cắt cạnh AD tại M,
cắt cạnh BC tại N sao cho MD = 3MA.
a) Tính tỉ số

NB
.
NC

b) Cho AB = 8cm, CD = 20cm. Tính MN.
Hướng Dẫn:
a) Vẽ AQ // BC, cắt MN tại P  ABNP, PNCQ là các hbh 

NB 1
 .
NC 3

b) Vẽ PE // AD  MPED là hbh  MN = 11 cm.
Bài 14: Cho tam giác ABC. Trên các cạnh AB, AC lần lượt lấy các điểm B, C sao cho
AB� AC�

. Qua B vẽ đường thẳng a song song với BC, cắt cạnh AC tại C.

AB AC

a) So sánh độ dài các đoạn thẳng AC và AC.
b) Chứng minh BC // BC.
Hướng Dẫn:
a) AC = AC
b) C trùng với C  BC // BC.
Bài 15: Cho tam giác ABC, đường cao AH. Đường thẳng a song song với BC cắt các cạnh AB,
AC và đường cao AH lần lượt tại B, C, H.
a) Chứng minh

AH � B��
C

.
AH
BC

1
3

 AH và diện tích tam giác ABC là 67,5cm2 . Tính diện tích tam giác ABC.
b) Cho AH �

Hướng Dẫn:
1
9

2
b) SAB��

C  SABC  7,5cm .

Bài 16: Cho tam giác ABC. Gọi D là điểm chia cạnh AB thành hai đoạn thẳng có độ dài AD =
13,5cm, DB = 4,5cm. Tính tỉ số các khoảng cách từ các điểm D và B đến cạnh AC.
Hướng Dẫn:
Vẽ BM  AC, DN  AC 

DN
 0,75.
BM

Bài 17: Cho tam giác ABC có BC = 15cm. Trên đường cao AH lấy các điểm I, K sao cho AK = KI
= IH. Qua I và K vẽ các đường thẳng EF // BC, MN // BC (E, M  AB; F, N  AC).
a) Tính độ dài các đoạn thẳng MN và EF.
b) Tính diện tích tứ giác MNFE, biết rằng diện tích của tam giác ABC là 270cm2 .
Hướng Dẫn:
a) EF = 10 cm, MN = 5cm

1
3

b) SMNFE  SABC  90cm2 .

Bài 18: Cho tứ giác ABCD, O là giao điểm của hai đường chéo. Qua điểm I thuộc đoạn OB, vẽ
đường thẳng song song với đường chéo AC, cắt các cạnh AB, BC và các tia DA, DC theo thứ tự tại
các điểm M, N, P, Q.
IM IB
IM IB OD



.
và
.
OA OB
IP ID OB
IM IN

b) Chứng minh:
.
IP IQ

a) Chứng minh:

Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !!

Trang 10


HÌNH HỌC 8 – CHƯƠNG III

Hướng Dẫn:
Sử dụng định lí Ta-lét.
Bài 19: Cho hình bình hành ABCD. Gọi E là trung điểm của cạnh AB, F là trung điểm của cạnh
CD. Chứng minh rằng hai đoạn thẳng DE và BF chia đường chéo AC thành ba đoạn bằng nhau.
HD: Gọi M, N lần lượt là giao điểm của DE và BF với AC. Chứng minh: AM = MN = NC.
Bài 20: Cho hình thang ABCD (AB // CD). Vẽ đường thẳng song song với cạnh AB, cắt cạnh AD
ở M, cắt cạnh BC ở N. Biết rằng
Hướng Dẫn:

DM CN m

mAB  nCD

 . Chứng minh rằng: MN 
.
MA NB n
m n

Gọi E là giao điểm của MN với AC. Tính được EN 

m
n
AB, ME 
CD .
m n
m n

Bài 21: Cho tứ giác ABCD có các góc B và D là góc vng. Từ một điểm M trên đường chéo AC,
vẽ MN  BC, MP  AD. Chứng minh:

MN MP

 1.
AB CD

Hướng Dẫn:
Tính riêng từng tỉ số

MN MP
;
, rồi cộng lại.

AB CD

Bài 22: Cho hình bình hành ABCD. Một cát tuyến qua D, cắt đường chéo AC ở I và cắt cạnh BC
ở N, cắt đường thẳng AB ở M.
a) Chứng minh rằng tích AM.CN khơng phụ thuộc vào vị trí của cát tuyến qua D.
b) Chứng minh hệ thức: ID2  IM.IN .
Hướng Dẫn:
a)

AM AI AD


DC IC CN

b)

IC ID IN


IA IM IB

Bài 23: Cho tam giác ABC. Trên các cạnh AB, AC lần lượt lấy các điểm B, C.
Chứng minh:

SABC
AB AC

.
.
SAB��

AB�AC�
C

Hướng Dẫn:
Vẽ các đường cao CH và CH 

AC CH

.
AC� C��
H

Bài 24: Cho tam giác ABC. Trên các cạnh AB, BC, CD lấy lần lượt các điểm D, E, F sao cho
AD 

1
1
1
AB , BE  BC , CF  CA . Tính diện tích tam giác DEF, biết rằng diện tích tam giác ABC
4
4
4

bằng a2(cm2) .
Hướng Dẫn:
SBED  SCEF  SADF 

3
7
SABC  SDEF  a2(cm2) .

16
16

Bài 25: Cho tam giác ABC. Trên cạnh AB lấy điểm K sao cho
sao cho

AK 1
 . Trên cạnh BC lấy điểm L
BK 2

CL 2
 . Gọi Q là giao điểm của các đường thẳng AL và CK. Tính diện tích tam giác ABC,
BL 1

biết diện tích tam giác BQC bằng a2(cm2) .
Hướng Dẫn:
Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !!

Trang 11


HÌNH HỌC 8 – CHƯƠNG III
Vẽ LM // CK.

SBLQ
SBLA



SCLQ

SCLA



4
7
7
 SABC  SBQC  a2(cm2) .
7
4
4

Bài 26: Cho tam giác ABC. Trên các cạnh AB, BC, CA lấy lần lượt các điểm D, E, F sao cho:
AD BE CF 1



AB BC CA 3

Tính diện tích tam giác tạo thành bởi các đ/thẳng AE, BF, CD, biết diện tích tam giác ABC là S.
Hướng Dẫn:
Gọi M, P, T lần lượt là giao điểm của AE và CD, AE và BF, BF và CD.
DD� 7 CM 6
6
2
2
 �
  SCMA  SCAD  SABC  S .
ME 6 CD 7
7

7
7
1
 SABC  (SCMA  SAPB  SBTC )  S .
7

Qua D vẽ DD// AE. Tính được
SMPT

Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !!

Trang 12