ĐỀ vào 10 hà nội 2019 và đáp án HƯỚNG dẫn CHẤM

GV: Phạm Đình Khởi

Tài liệu ơn thi vào lớp 10

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO
TẠO HÀ NỘI

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT
Ngày thi
02/6/2019 Mơn
thi: TỐN
Thời gian làm bài: 120
phút
(Khơng kể thời gian phát
đề)

ĐỀ CHÍNH THỨC
(Đề thi gồm có 02 trang)

Câu 1. ( 2,0 điểm )
A=

Cho hai biểu thức
x ≥ 0; x ≠ 25
.

4

(

)

x +1

25 − x

1) Tìm giá trị của biểu thức
B
2) Rút gọn biểu thức .

và

A

khi

 15 − x
2  x +1
B = 
+
÷:
x +5÷
 x − 25
 x −5

x=9

với

.

x
P = A.B
3) Tìm tất cả các giá trị nguyên của để biểu thức
đạt giá trị
nguyên lớn nhât.
Câu 2. (2,5 điểm).
1) Giải bài tốn bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình :
15
Hai đội cơng nhân cùng làm chung một cơng việc thì sau
ngày làm
3
xong. Nếu đội thứ nhất làm riêng trong ngày rồi dừng lại và đội thứ hai
5
25%
làm tiếp cơng việc đó trong ngày thì cả hai đội hồn thành được
cơng việc. Hỏi mỗi đội làm riêng thì bao nhiêu ngày mới hồn thành xong
cơng việc trên?
2) Một bồn nước inox có dạng một hình trụ với chiều cao
0,32 m

1,75 m

và diện tích

2

đáy là
. Hỏi bồn nước này đựng đầy được bao nhiêu mét khối nước ?
(Bỏ qua bề dày của bồn nước).
Câu 3. (2,0 điểm)

x 4 − 7 x 2 − 18 = 0.
1) Giải phương trình:
Oxy
(d ) : y = 2mx − m 2 + 1
2) Trong mặt phẳng tọa độ
, cho đường thẳng
và
parabol

( P) : y = x 2

a) Chứng minh

(d )

luôn cắt

Website: dayhoctructuyenmontoan.tk

(P)

tại hai điểm phân biệt

Page 1 of 10


GV: Phạm Đình Khởi

Tài liệu ơn thi vào lớp 10

b) Tìm tất cả giá trị của m để
hồnh độ

thỏa mãn
Câu 4. (3,0 điểm)

(d )

cắt

(P)

tại hai điểm phân biệt có

x1 , x2
1 1
−2
+ =
+1
x1 x2 x1x2

ABC

.
AB < AC

( O)

Cho tam giác
có ba góc nhọn (

) nội tiếp đường trịn
. Hai
BE
đường cao
và
CF
ABC
H
của tam giác
cắt nhau tại điểm .
B C E F
1) Chứng minh bốn điểm , , ,
cùng thuộc một đường tròn.
OA
EF
2) Chứng minh đường thẳng
vng góc với đường thẳng
.
BC
AO
K
3) Gọi
là trung điểm của đoạn thẳng
. Đường thẳng
cắt đường
BC
I
thẳng
tại điểm ,
EF

P
AH
đường thẳng
cắt đường thẳng
tại điểm . Chứng minh tam giác
APE
AIB
KH
đồng dạng với tam giác
và đường thẳng
song song với
IP
đường thẳng
.
Câu 5. ( 0,5 điểm)
a, b
P = a 4 + b 4 − ab
a 2 + b 2 + ab = 3
Cho biểu thức
với
là các số thực thỏa mãn
.
P
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của .
__________Hết___________
Số báo danh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Phòng thi:. . . . . . .

Website: dayhoctructuyenmontoan.tk

Page 2 of 10

GV: Phạm Đình Khởi

Tài liệu ơn thi vào lớp 10

HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1. ( 2,0 điểm )
A=

4

(

)

x +1

25 − x

Cho hai biểu thức
x ≥ 0; x ≠ 25
.

1) Tìm giá trị của biểu thức
B
2) Rút gọn biểu thức .

và

A

 15 − x
2  x +1
B = 
+
÷
÷: x − 5
x
−
25
x
+
5



x=9

khi

với

.

x
P = A.B
3) Tìm tất cả các giá trị nguyên của để biểu thức
đạt giá trị
nguyên lớn nhât.

Lời giải
x=9
1) Với
A

Thay vào

A=

x≥0

,

x ≠ 25

B

, ta có

(

) = 4(

x +1

25 − x

ta có :

2) Rút gọn biểu thức

Với

4

) = 4.( 3 + 1) = 1

9 +1

25 − 9

16

.

.
 15 − x
2  x +1
B = 
+
÷:
x +5÷
 x − 25
 x −5


B=



(

.

15 − x
2  x +1
+
:
x + 5 x − 5
x +5
x −5


Website: dayhoctructuyenmontoan.tk

)(

)

.

Page 3 of 10


GV: Phạm Đình Khởi
B=

B=

B=

15 − x + 2

(

x +5

(

x +5

Ta có
Để

P

(

)×

x +1

25 − x

)

x −5

)(

x −5

x +5

(

x +5
1
x +1

x

3) Tìm tất cả giá trị nguyên của
lớn nhất.
4

x −5

15 − x + 2 x − 10

B=

P = A.B =

)(

(

)(

x −5

×

):

x +1
x −5
.

:

x +1
x −5
.

x −5
x +1
.

.
để biểu thức

1
4
=
x + 1 25 − x

nhận giá trị nguyên khi

)

)

Tài liệu ôn thi vào lớp 10

x∈Z

.

thì

4M( 25 − x )

P = A.B

đạt giá giá trị nguyên

hay

25 − x ∈U ( 4) = { −4; − 2; − 1; 1; 2; 4}

.
Khi đó, ta có bảng giá trị sau:
25 − x

−4

−2

−1

1

2

4

x

29

27

26

24

23

21

P = A.B

−1

−2

−4

4

2

1

Đánh giá
Thỏa mãn
Thỏa mãn
Thỏa mãn Thỏa mãn Thỏa mãn
P
P=4
Do
đạt giá trị nguyên lớn nhất nên ta có
. Khi đó giá trị cần tìm của
x
x = 24
là
.
Câu 2. (2,5 điểm).
1) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình :
15
Hai đội cơng nhân cùng làm chung một cơng việc thì sau
ngày làm
3
xong. Nếu đội thứ nhất làm riêng trong ngày rồi dừng lại và đội thứ hai
5
25%
làm tiếp cơng việc đó trong ngày thì cả hai đội hồn thành được
cơng việc. Hỏi mỗi đội làm riêng thì bao nhiêu ngày mới hồn thành xong

cơng việc trên.

Website: dayhoctructuyenmontoan.tk

Page 4 of 10

Thỏa m


GV: Phạm Đình Khởi

Tài liệu ơn thi vào lớp 10

2) Một bồn nước inox có dạng một hình trụ với chiều cao

1,75 m

và diện tích

0,32 m 2

đáy là
. Hỏi bồn nước này đựng đầy được bao nhiêu mét khối nước ?
(Bỏ qua bề dày của bồn nước).
Lời giải
1) Giải bài tốn bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình :
- Gọi thời gian để đội thứ nhất và đội thứ hai làm riêng một mình hồn
thành xong cơng việc lần lượt là
Một ngày đội thứ nhất làm được

x

1
x

y

và

( x > 15, y > 15)

, đơn vị (ngày).

(công việc).

1
y

-

Một ngày đội thứ hai làm được
(cơng việc).
15
Vì hai đội cùng làm trong
ngày thì hồn thành xong cơng việc. Như vậy

trong một ngày cả hai đội làm được

trình :
-

1 1 1
+ =
x y 15

1
15

(cơng việc). Suy ra, ta có phương

(1).

Ba ngày đội đội thứ nhất làm được

3
x

(công việc).

5
y

Năm ngày đội thứ hai làm được
(cơng việc).
3
5
Vì đội thứ nhất làm trong ngày rồi dừng lại đội thứ hai làm tiếp trong
25% =

ngày thì cả hai đội hồn thành xong

phương trình :

-

3 5 1
+ =
x y 4

1
4

(cơng việc). Suy ra, ta có

(2).
1
x +


3 +
 x

1 1
1 1
=
 x = 24
y 15
 x = 24
⇔
⇔

.
1 1
5 1
y = 40


=
=
y 4
 y 40

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình :
(TMĐK).
Vậy thời gian để đội thứ nhất làm riêng một mình hồn thành xong cơng
việc là

24

(ngày) và thời gian để đội thứ hai làm riêng một mình hồn
40
thành xong cơng việc là
(ngày).

Website: dayhoctructuyenmontoan.tk

Page 5 of 10


GV: Phạm Đình Khởi

Tài liệu ơn thi vào lớp 10

2) Số mét khối nước đựng được của bồn chính là thể tích của bồn chứa. Như
V = 0,32.1,75 = 0,56 ( m 3 ) .

vậy số mét khối đựng được của bồn sẽ là :
Câu 3. (2,0 điểm)
x 4 − 7 x 2 − 18 = 0.
1) Giải phương trình:
Oxy
(d ) : y = 2mx − m 2 + 1
2) Trong mặt phẳng tọa độ
, cho đường thẳng
và

( P) : y = x 2

parabol

a) Chứng minh

(d )

luôn cắt

(P)

tại hai điểm phân biệt
(d )
(P)

b) Tìm tất cả giá trị của m để
cắt
tại hai điểm phân biệt có

x1 , x2
hồnh độ
1 1
−2
+ =
+1
x1 x2 x1 x2
thỏa mãn
Lời giải

x − 7 x − 18 = 0 ( 1)
4

2

1) Giải phương trình:
 Cách 1 :
t = x 2 ( t ≥ 0 ) ( *)
Đặt
t 2 − 7t − 18 = 0 ( 2 )
( 1)
*Phương trình
trở thành :
2
∆ = ( −7 ) − 4.1. ( −18 ) = 121 = 112 ⇒ ∆ = 11
Ta có :

( 2)
Suy ra :Phương trình
có hai nghiệm phân biệt là:
7 + 11
7 − 11
t2 =
= −2 ( ktm )
t1 =
= 9 ( t / m)
2
2
và
( *)
x 2 = 9 ⇔ x = ±3
t =9
Thay
vào
ta có :
x = ±3
Vậy nghiệm của phương trình là :
 Cách 2 :
x 4 − 7 x 2 − 18 = 0
Ta có :
⇔ x 4 + 2 x 2 − 9 x 2 − 18 = 0

(

) (

)

⇔ x2 x2 + 2 − 9 x2 + 2 = 0

(

)(

)

⇔ x2 + 2 x2 − 9 = 0

Website: dayhoctructuyenmontoan.tk

Page 6 of 10


GV: Phạm Đình Khởi

Tài liệu ơn thi vào lớp 10

 x + 2 = 0 ( vô li )
⇔
2
 x − 9 = 0
2

⇔ x2 = 9
⇔ x = ±3
x = ±3
Vậy nghiệm của phương trình là :

Oxy
(d ) : y = 2mx − m 2 + 1
2) Trong mặt phẳng tọa độ
, cho đường thẳng
và

parabol

( P) : y = x 2

a) Xét phương trình hồnh độ giao điểm
Để

(d )

( 1)

( P)

tại hai điểm phân biệt thì phương trình
có hai
∀m
nghiệm phân biệt với

a = 1 ≠ 0
 '
' 2

∆ = ( b ) − ac > 0 ∀m
Ta có :

∆ ' = m2 − ( m 2 − 1) = m2 − m 2 + 1 = 1 > 0, ∀m
Xét
(d )
( P)
Vậy
luôn cắt
tại hai điểm phân biệt
(d )
( P)
b) Tìm tất cả giá trị của m để
cắt
tại hai điểm phân biệt có hồnh

độ
Ta có

ln cắt

x 2 − 2mx + m 2 − 1 ( 1)

x1 , x2

1 1
−2
+ =
+1
x1 x2 x1 x2

( 2)

thỏa mãn
x1 x2 ≠ 0 ⇒ m2 − 1 ≠ 0 ⇒ m ≠ ±1

Hai nghiệm của phương trình :
( 2)
Biến đổi biểu thức
ta có :

x1 = m − 1; x2 = m + 1

1 1
−2
x +x
−2 + x1 x2
+ =
+1⇒ 1 2 =
⇒ x1 + x2 = −2 + x1 x2
x1 x2 x1x2
x1x2
x1 x2

x1 = m − 1; x2 = m + 1

x1 + x2 = −2 + x1 x2

Thay
vào biểu thức
m -1 + m + 1 = -2 + ( m -1) ( m + 1) ⇒ m2 -1- 2 = 2m

ta có :

⇔ m 2 − 2m − 3 = 0 ⇔ ( m − 3) ( m + 1) = 0

Website: dayhoctructuyenmontoan.tk

Page 7 of 10


GV: Phạm Đình Khởi

Tài liệu ơn thi vào lớp 10

m = 3
m − 3 = 0
⇔
⇔
m + 1 = 0
 m = −1( L )
m=3
Kết Luận : Với
thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 4. (3,0 điểm)
AB < AC

ABC

( O)

Cho tam giác
có ba góc nhọn (

) nội tiếp đường trịn
. Hai
BE
đường cao
và
CF
ABC
H
của tam giác
cắt nhau tại điểm .
B C E F
1) Chứng minh bốn điểm , , ,
cùng thuộc một đường trịn.
OA
EF
2) Chứng minh đường thẳng
vng góc với đường thẳng
.
BC
AO
K
3) Gọi
là trung điểm của đoạn thẳng
. Đường thẳng
cắt đường
BC
I
thẳng
tại điểm ,
EF

AH
P
đường thẳng
cắt đường thẳng
tại điểm . Chứng minh tam giác
APE
AIB
KH
đồng dạng với tam giác
và đường thẳng
song song với
IP
đường thẳng
.
Lời giải

1) Chứng minh bốn điểm

B C E F
, , ,
cùng thuộc một đường tròn.

Website: dayhoctructuyenmontoan.tk

Page 8 of 10


GV: Phạm Đình Khởi

Tài liệu ơn thi vào lớp 10

BCEF

Xét tứ giác
ta có :
·
BEC
= 90° BE
(
là đường cao)
·
BFC
= 90° CF
(
là đường cao)
⇒ BCEF
BC
E F
là tứ giác nội tiếp (đỉnh ,
cùng nhìn cạnh
dưới một góc
vng).
OA
EF .
2) Chứng minh đường thẳng
vng góc với đường thẳng
·
⇒ BAF
= ·ACB
Ax

Vẽ tiếp tuyến
như hình vẽ
(tính chất giữa đường tiếp
tuyến và dây cung).
⇒ ·AFE = ·ACB.
BCEF
Do tứ giác
nội tiếp
·
BAF
= ·AFE ⇒ EF //Ax
Ta suy ra
(do hai góc so le trong)
Ax ⊥ OA ⇒ OA ⊥ EF
Lại có
(đpcm).
∆APE ∽ ∆ABI
3) Chứng minh
·AEB + EFC
·
·
·AEB = ·ABI
= ·ABI + EFC
= 180°
Ta có :
( Vì
)
·APE + PAI
·
= 90°

AI ⊥ PE
Mặt khác
(vì
)
·AIB + PAI
·
AH ⊥ BC ⇒ ·APE = ·AIB
= 90°
( Vì
)
∆APE ∽ ABI
Vậy
( g-g).
KH //PI
* Chứng minh
AO
AS
M
EF
Gọi
là giao điểm của
và
, dung đường kính
BE / / CS
AC
Ta có
cùng vng góc
BS / / CF
AB
cùng vng góc

H, K, S
⇒ BHCS
là hình bình hành nên
thẳng hàng
AE. AC = AH . AD
AE. AC = AM . AS
Ta có
và
AH AM
· ASD
AH . AD = AM . AS ⇒
=
⇒ ∆AHM : ∆ASD ⇒ ·AHM = ∆
⇒
AS
AD

⇒ HMSD
Kết hợp

Nội tiếp đường tròn

PMID

nội tiếp đường tròn

Website: dayhoctructuyenmontoan.tk

·
·

·
⇒ HS //PI
⇒ PIM
= PDM
= HSM

.

Page 9 of 10


GV: Phạm Đình Khởi

Tài liệu ơn thi vào lớp 10

Câu 5. ( 0,5 điểm)
Cho biểu thức

P = a 4 + b 4 − ab

với

a, b

là các số thực thỏa mãn
P
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của .
Lời giải
2
2

2
2
a + b + ab = 3 ⇔ a + b = 3 − ab
P
Ta có
thay vào
ta được.

a 2 + b 2 + ab = 3

.

P = a 4 + b 4 − ab = ( a 2 + b 2 ) − 2a 2b 2 − ab = ( 3 − ab ) − 2a 2b2 − ab
2

2

= 9 − 6ab + a 2b 2 − 2a 2b 2 − ab
2

7 49  49
7  85
2


=
−
ab
+
2.

ab
.
+
+
+
9
=
−
ab
+
(
)

÷ +

2 4  4
2
4

= 9 − 7ab − a 2b 2

Vì
Và

Từ

a 2 + b 2 = 3 − ab

( a − b)

( 1)

2

và

, mà

( a + b)

2

.

suy ra

( 2)

2

1 
7  81
81
7
1

≤  ab + ÷ ≤
⇔ − ≤ −  ab + ÷ ≤ −
4 
2

4
4
2
4

2

⇔−

Vậy

2

81 85
7  85
1 85
7  85


+ ≤ −  ab + ÷ + ≤ − +
⇔ 1 ≤ −  ab + ÷ + ≤ 21
4 4
2
4
4 4
2
4



Max P = 21

 a = 3 b = 3
ab = −3
⇔
v
 2 2
b
=
−
3
a
+
b
=
6

a = − 3



. Dấu = xảy ra khi
ab = 1
a = 1
⇔
 2 2
Min P = 1
a + b = 2
b = 1
. Dấu = xảy ra khi

hoặc

•
•

( 1)

.
7
7 7
1
7 9
−3 ≤ ab ≤ 1 ⇔ −3 + ≤ ab + ≤ + 1 ⇔ ≤ ab + ≤
2
2 2
2
2 2

2

⇔

2

≥ 0 ⇔ a 2 + b 2 ≥ 2ab ⇒ 3 − ab ≥ 2ab ⇔ ab ≤ 1

( 2)

.

≥ 0 ⇔ a + b ≥ −2ab ⇒ 3 − ab ≥ −2ab ⇔ ab ≥ −3
2

 a = −1

b = −1

.

.

Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa
Giám khảo họp thống nhất cách chấm trước khi chấm

Website: dayhoctructuyenmontoan.tk

Page 10 of 10