TÀI LIỆU BDHSG PHẦN căn THỨC QUA đề các TỈNH đáp án
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (3.28 MB, 50 trang )
TRƯỜNG THCS NGUYỄN THÁI BÌNH – TUY AN – PHÚ YÊN. 09.05.37.8118
Bài 1: ( CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2010 – 2011)
x + 2 x −1 + x − 2 x −1
P=
x + 2x −1 − x − 2x −1
a) Rút gọn biểu thức:
P=
P=
P=
P=
P=
với x
≥2
2( x − 1 + 2 x − 1 + 1 + x − 1 − 2 x − 1 + 1)
2 x −1 + 2 2x −1 + 1 − 2x −1 − 2 2x −1 + 1
2
(
)
( x − 1 + 1) 2 + ( x − 1 − 1)2
( 2 x − 1 + 1) 2 − ( 2 x − 1 − 1)2
2
(
x −1 +1+
2x −1 +1 −
2
(
)
x −1 −1
2 x −1 −1
)
x −1 +1+ x −1 −1
2x −1 + 1 − 2x −1 + 1
( vì
x≥2
x −1 ≥ 1
nên
2 x − 1 ≥ 1)
và
2.2 x − 1
= 2x − 2
2
S n = ( 5 + 3) n + ( 5 − 3) n
b) Cho biểu thức
S2 n =
(
5+ 3
với n là số nguyên dương
) +(
2n
5− 3
)
2n
Ta có :
S2 n =
(
5+ 3
) (
n
+
)
2
n
5 − 3 −2
(
=
(
)
2
5+ 3 +
5+ 3
)(
n
)
(
5− 3
)
5− 3
n
2
n
S 2 n = S n 2 − 2.2n = S n 2 − 2n +1
( đpcm)
S1 = 2 5
Ta có :
S 2 = S12 − 22 = (2 5) 2 − 4 = 16
S 4 = S 2 2 − 23 = 162 − 8 = 248
S8 = S 4 2 − 25 = 2482 − 32 = 61472
Bài 2: ( CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2011 – 2012)
a) Rút gọn biểu thức:
P = 2 + 3. 2 + 2 + 3 . 2 + 2 + 2 + 3 . 2 − 2 + 2 + 3
Ta có:
Hãy ln chiến thắng chính mình. 1
TRƯỜNG THCS NGUYỄN THÁI BÌNH – TUY AN – PHÚ YÊN. 09.05.37.8118
2 + 2 + 2 + 3 . 2 − 2 + 2 + 3 = 2 + 2 + 2 + 3 ÷ 2 − 2 + 2 + 3 ÷
= 4−2− 2+ 3 = 2− 2+ 3
Do đó:
P = 2 + 3. 2 + 2 + 3 . 2 − 2 + 3
= 2 + 3. 4 − 2 − 3 = 2 + 3. 2 − 3
= 4 − 3 = 1.
(a + b)(a − b) = a 2 − b 2
Cách khác: Áp dụng hằng đẳng thức
, ta có:
P 2 = 2 + 3 2 + 2 + 3 2 + 2 + 2 + 3 ÷ 2 − 2 + 2 2 + 3 ÷
(
)(
)
(
)(
)( 2 −
(
)(
= 2+ 3 2+ 2+ 3
= 2+ 3 2− 3
2+ 3
)
)
=4–2=1
Vì P > 0 nên P = 1
Q = x3 + 12 x + 2009
b) Tính
x3 =
Ta có :
(
x = 3 1 + 65 − 3 65 − 1
, với
3
1 + 65 − 3 65 − 1
(
) (
= 1 + 65 −
= 2 − 12
(
3
)
)
:
3
(
65 − 1 − 33 1 + 65
)
)(
) ( 3 1+
65 − 1
65 − 3 65 − 1
)
1 + 65 − 3 65 − 1 = 2 − 12x
.
Do đó: Q = 2-12x +12x + 2009 = 2011.
Bài 3: ( HSG TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2011 – 2012)
Ta có:
P=
=
5 + 10 + 17 - 5 + 10 + 17 5 2
2
(
)
2
10 + 17 - 52 52 4
(
10 -
17
)
10 + 17 5 + 10 2
2
17
2
4
Hãy ln chiến thắng chính mình. 2
TRƯỜNG THCS NGUYỄN THÁI BÌNH – TUY AN – PHÚ YÊN. 09.05.37.8118
=
2 + 2 170 - 2 + 2 170
4
4
=
169 13
=
4
2
Bài 4: ( CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2012 – 2013)
1
P=
x - 5 x +6
x- 3
x- 2
+
x- 2
x- 3
-
Cho biểu thức
a) Tìm điều kiện xác định biểu thức P
ìï x ³ 0
ïï
ïï x - 5 x + 6 ¹ 0
Û ïí
ïï x - 2 ¹ 0
ïï
ïï x - 3 ạ 0
ợ
P xỏc nh
ùỡù x 0
ù
ïí x - 2 ¹ 0
ïï
ïï x - 3 ¹ 0 Û x ³ 0, x ¹ 4, x ¹ 9
ợ
x 0, x ạ 4, x ạ 9
Vy vi
(*) thì biểu thức P xác định.
b) Rút gọn P
P=
=
=
1
(
x- 2
)(
1-
(
) ( x - 2)
2)( x - 3)
2
x- 3 +
(
2
(
)
x- 3
x- 3
x- 2
+
x- 2
x- 3
-
x-
(
x- 2
x- 2
)(
)
)
x- 3
2
=
(
) (
2)( x - 3)
1- x - 6 x + 9 + x - 4 x + 4
(
x-
)
2
x- 3
=
.
c) Tìm các số nguyên x để P nguyên:
P=
2
x- 3
Theo b)
2
x −3
. Do đó, nếu
⇔
(
2
x −3
nguyên thì P nguyên.
)
x − 3 2 ⇔ x − 3 = ±1; ±2
nguyên
.
x − 3 = 1 ⇔ x = 16;
Với
Hãy ln chiến thắng chính mình. 3
TRƯỜNG THCS NGUYỄN THÁI BÌNH – TUY AN – PHÚ YÊN. 09.05.37.8118
x − 3 = −1 ⇔ x = 4
Với
;
x − 3 = 2 ⇔ x = 25;
Với
x − 3 = −2 ⇔ x = 1.
Với
x ∈ { 1;16;25}
Kết hợp với điều kiện (*) suy ra
.
Bài 5: ( HSG TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2012 – 2013)
A = 2012 − 2011, B = 2013 − 2012
a) Cho
. So sánh A và B.
Ta có:
1
1
=
= 2012 + 2011
A
2012 − 2011
1
1
=
= 2013 + 2012
B
2013 − 2012
Suy ra:
1 1
< ⇒ A> B
A B
.
C = 3 15 3 + 26 − 3 15 3 − 26
b) Tính giá trị biểu thức :
( a − b)3 = a3 − b3 − 3ab( a − b)
Áp dụng cơng thức
ta có:
3
3
C = (15 3 + 26) − (15 3 − 26) − 3C 675 − 676
3
⇔ C 3 − 3C − 52 = 0 ⇔ (C − 64) − (3C − 12) = 0
⇔ (C − 4)(C 2 + 4C + 13) = 0
Vậy
C=4
.
2 x3 = 3 y 3 = 4 z 3
c)Cho
3
1 1 1
+ + =1
x y z
2 x2 + 3 y2 + 4z 2
3
và
=1
2+ 3 3+ 3 4
. CMR:
k3
k3
k3
2 = 3 ;3 = 3 ; 4 = 3
2 x 3 = 3 y 3 = 4 z 3 = k 3 ( k ≠ 0) ⇒
x
y
z
Đặt:
.
.
3
2+ 3 3+ 3 4 =
3
Từ đó:
3
2 x2 + 3 y 2 + 4z 2 =
1 1 1
k
k
k
+ 3 3 + 3 3 = k + + ÷= k
3
x
y
z
x y z
3
3
3
3
(1).
k3 2 k3 2 k3 2
1 1 1
x + 3 y + 3 z =k3 + + =k
3
x
y
z
x y z
Và:
Từ (1) và (2) suy ra đpcm.
(2).
Hãy ln chiến thắng chính mình. 4
TRƯỜNG THCS NGUYỄN THÁI BÌNH – TUY AN – PHÚ YÊN. 09.05.37.8118
Bài 6: ( HSG TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2013 – 2014)
6 + 12 − 8 − 24
2 + 3 +1
A=
Rút gọn biểu thức:
2
6 + 12 − 8 − 24
A=
=
2 + 3 +1
( 1−
=
2+ 3
)
2
2 + 3 +1
1− 2 + 3 (
=
=
2 + 3 +1 (
2
1− 2 + 3
=
=
2 + 3 +1
3 +1− 2
)
2
3 + 2 + 1 + 2 ×1 × 3 − 2 ×1 × 2 − 2 2 × 3
2 + 3 +1
2
)
2
3 +1 − 2
2
=
(
(
3 +1− 2
)
)
2
2
3 +1 − 2
2
=
3 +1− 2
3 +1+ 2
6+2 3 −2 2 −2 6 2
=
4+2 3 −2
(
3− 2
2
(
)(
)
)=
3 +1
3 +1
3− 2
Bài 7: ( HSG TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2014 – 2015)
x > 0, y > x
a) Cho
. Chứng minh rằng:
y+ x =
y + y2 − x
+
2
y − y2 − x
2
(1);
y + y2 − x
y − y2 − x
−
2
2
y− x =
(2).
y + x + y − x = z.
Đặt
z2 = 2 y + 2 y2 − x
Bình phương 2 vế ta được:
.
y+ x + y− x =2
y + y2 − x
2
Từ đó ta có:
(3).
y+ x − y− x =2
y − y2 − x
2
Tương tự ta cũng có:
(4).
y+ x =
y + y2 − x
+
2
y − y2 − x
2
Lấy (3) cộng (4) ta được:
y− x =
y + y2 − x
−
2
P=
b) Rút gọn biểu thức:
; Lấy (3) trừ (4) ta được:
y − y2 − x
2
1 + 1 − a2
(
.
( 1+ a)
3
2 + 1 − a2
−
( 1− a )
3
)
.
Hãy ln chiến thắng chính mình. 5
TRƯỜNG THCS NGUYỄN THÁI BÌNH – TUY AN – PHÚ YÊN. 09.05.37.8118
Điều kiện
−1 ≤ a ≤ 1
. Áp dụng công thức (1) ta được:
1+ a
1− a
1+ 1 −1 + a2
1 − 1 − 1 + a2
+
=
+
2
2
2
2
1+ 1 − a2 =
a≥0
Với
hoặc
Ta lại có:
(1+ a)
3
a<0
(1− a)
−
1
P=
2
(
1
1 + 1 − a2 =
2
3
(
1+ a + 1− a
)
ta đều có:
.
)(
=
(
1 + a − 1− a 1 + a + 1 − a2 + 1 − a
=
(
1+ a − 1− a 2 + 1− a2
)(
1+ a + 1− a
)(
.
)
)
.
)
1+ a − 1− a = a 2
Vậy
.
Bài 8: ( CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2015 – 2016)
1
P = 3 2 + 1 12 3 2 − 15 + 2 3 3 4 − 3
3
)
)(
(
a) Rút gọn biểu thức:
Ta có:
1
=
3
( 12
3
2 − 15
)(
3
2 +1 + 2
1
=
3
( 12
3
2 − 15
)(
3
4 + 2 3 2 +1 + 2
P
)
33 2 + 3 3
= 2 +1
3
3
b) Chứng tỏ
Đặt
m=
3
(
3
4 −3
(
(3
)
3
)(
3
2
2 +1 ÷
)
4 −3
)(
3
)
4 + 2 3 2 + 1 ÷
2
2 −1 + 6
3
3
.
10 + 2 − 3 10 − 2
10 + 2 − 3 10 − 2
( a − b)
Áp dụng hằng đẳng thức
m3 =
3
)
3
9 + 9 3 4 − 18 3 2 + 2 9
=
=
3
=
(3
2
.
10 + 2 − 3 10 − 2
= 10 + 2 - 10 + 2 − 3 3
(
)
là nghiệm pt
x3 + 6 x − 8 = 0
.
.
3
= a 3 − b3 − 3ab(a − b)
ta có:
3
10 + 2
)(
10 − 2
)(
3
10 + 2 − 3 10 − 2
)
Hãy ln chiến thắng chính mình. 6
TRƯỜNG THCS NGUYỄN THÁI BÌNH – TUY AN – PHÚ YÊN. 09.05.37.8118
= 2 2 − 6m
.
m + 6m − 8 = 0
3
Suy ra:
.
Vậy m là nghiệm của phương trình
x3 + 6 x − 8 = 0
.
Bài 9: ( HSG TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2015 – 2016)
a a −1 a a +1
1 3 a
2+ a
P=
−
+ a −
−
÷
÷
a− a a+ a
a a − 1
a +1 ÷
.
a) Rút gọn P
Điều kiện: a > 0, a ≠ 1. Ta có:
P=
(
)(
a(
) −(
)
a −1
+
=
=
=
)(
a(
a −1 a + a + 1
(a+
a −1 3 a
.
a
) (
)
a +1 a − a +1
)
a +1
(
) (
( a − 1) (
)(
a + 1)
a +1 − 2 + a
) + a − 1 . ( 3a + 3 a ) − (
a +1 − a − a +1
a
(
a +a−2
)
a −1
a
2 a + 2a + 2 a + 2
)
a −1
)
a
2a + 4 a + 2
=
a
2
(
)
a +1
2
a
.
b) Chứng minh P > 6
P−6 =
2
(
)
a +1
a
2
−6 =
(
)
2 a − a +1
a
Ta có
2
1 3
2 a − ÷ +
2 2
=
> 0, ∀a > 0
a
và
a ≠1
.
Bài 10: ( CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2016 – 2017)
M = xy − x x − y y + xy
a) Cho
a1) Phân tích M thành nhân tử
Hãy ln chiến thắng chính mình. 7
TRƯỜNG THCS NGUYỄN THÁI BÌNH – TUY AN – PHÚ YÊN. 09.05.37.8118
(
)
(
M = x y− x − y y− x
Ta có:
(
= y− x
)( x− y)
a2) Tính giá trị của M với
x = 4+2 3 =
Ta có
Suy ra
(
)
.
x = 4+2 3
)
2
và
3 +1 ; y = 4 − 2 3 =
M = 4−2 3 −
(
(
y = 4−2 3
(
)
3 −1
2
3 + 1 ÷ 4 + 2 3 −
)
)(
2
2
3 −1 ÷
(
)
) (
)(
= 4 − 2 3 − 3 −1 4 + 2 3 − 3 +1 = 3 − 3 3 5 + 3
(
= 6 1− 2 3
)
.
2016 + 2017 <
b) Chứng minh rằng:
2016
2017
+
(1)
2017
2016
(1) ⇔ 2016 2016 + 2017 2017 − 2016.2017
Ta có
⇔
(
2016 +
) (
⇔
(
2016 + 2017
3
)
2017
)
)(
3
− 2016.2017
2016 − 2017
)
(
2
(
)
2016 + 2017 > 0
)
2016 + 2017 > 0
>0
(2).
(2) đúng nên (1) đúng (đpcm).
Bài 11: ( HSG TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2016 – 2017)
Rút gọn biểu thức:
1
1
1
1
P=
−
: 2
+
+
÷
2
xy y xy x ÷ x + xy + 2 x xy xy + y + 2 y xy
với
x = 3− 8
và
xy
(
÷
2 ÷
x+ y ÷
2
)
y = 3+ 8
.
x− y
1
1
−
=
xy y xy x
xy xy
Ta có:
;
1
1
+
+
x 2 + xy + 2 x xy xy + y 2 + 2 y xy
xy
(
2
x+ y
)
2
=
Hãy ln chiến thắng chính mình. 8
TRƯỜNG THCS NGUYỄN THÁI BÌNH – TUY AN – PHÚ YÊN. 09.05.37.8118
1
(
x x + y + 2 xy
=
=
xy
(
x+ y
x+ y
)
+
)
x + y + 2 xy
xy
(
x+ y
P=
)
(
=
2
2
xy
(
(
x+ y
xy
x+ y
(
)
)
+
)
y x + y + 2 xy
+
2
1
xy
(
2
x+ y
)
2
2
2
x+ y
)
=
2
1
xy
,
x− y
xy
Suy ra:
x = 3− 8 =
Vì
P=
(
(
.
)
2
2 −1 ; y = 3 + 8 =
)
2
2 −1 −
(
)(
2 −1
2
(
)
2 +1
)
2 +1
(
)
2 +1
2
2
2
= −2
Suy ra :
.
Bài 12: ( CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2017 – 2018)
P = 13 + 30 2 + 9 + 4 2 -
48 - 10 7 + 4 3 - 3 2
Rút gọn b/thức:
9 +4 2 =
.
(2
)
2
2 +1 = 2 2 +1
Ta có:
(
2 +1 = 2 +1
13 + 30 2 + 9 + 4 2 = 13 + 30
(
2 +1 =
)
(3
( 5-
3
7 +4 3 =
( 2 + 3)
2
)
2
2 + 9 + 4 2 = 2 + 2 2 +1 =
(
(
2
= 3 2 +5
=2+ 3
)
48 - 10 7 + 4 3 = 48 - 10 2 + 3 =
P = 3 2 +5 - 5 -
)
2 +5
)
2
=5-
3
)
3 - 3 2 = 3×
Do đó
Hãy ln chiến thắng chính mình. 9
TRƯỜNG THCS NGUYỄN THÁI BÌNH – TUY AN – PHÚ YÊN. 09.05.37.8118
Bài 13: ( HSG TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2017 – 208)
2+ 3
2− 3
2
2
P=
+
×
4+2 3
4−2 3
1+
1−
2
2
Tính giá trị biểu thức:
2+ 3
2− 3
2+ 3
2− 3
2
2
2
2
P=
+
=
+
2
2
2 + 3 +1
2 − 3 −1
2+
3 +1
2−
3 −1
(
)
(
2
=
=
2+ 3
3+ 3
+
(
)
3− 3
=
(
2
2
2− 3
)
)
2
( 2 + 3) ( 3 − 3) + ( 2 − 3) ( 3+ 3)
( 3+ 3) ( 3 − 3)
6 − 2 3 +3 3 −3+ 6 + 2 3 −3 3 −3
= 1×
9−3
Bài 14: ( CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2018 – 2019)
2 a + 1 2 ab + a
2 a + 1 2 ab + a
P=
+
− 1 :
−
+ 1 ×
2 ab + 1
2 ab + 1
2 ab − 1
2 ab − 1
(
)
(
)
a) Rút gọn biểu thức P
a ≥ 0, b ≥ 0, ab ≠
Điều kiện:
Ta có:
(
1
×
4
)
2 a + 1 2 ab + a
2 a +1 2 a +1
+
−1 =
+
2 ab + 1
2 ab − 1
2 ab + 1 2 ab − 1
(
)
1
1
4 ab 2 a + 1
= 2 a +1
+
ì
ữ=
4ab 1
2 ab + 1 2 ab − 1
(
(
)
)
2 a + 1 2 ab + a
2 a +1 2 a +1
−
+1 =
−
2 ab + 1
2 ab − 1
2 ab + 1 2 ab − 1
(
)
1
1
−2 2 a + 1
= 2 a +1
−
÷ = 4ab − 1 ×
2 ab + 1 2 ab − 1
(
)
Hãy ln chiến thắng chính mình. 10
TRƯỜNG THCS NGUYỄN THÁI BÌNH – TUY AN – PHÚ YÊN. 09.05.37.8118
(
P=
)×
4 ab 2 a + 1
4ab − 1
4ab − 1
−2 2 a + 1
(
)
= −2 ab ×
Do đó
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của P biết
Ta có
(2
a− b
−2 ab ≥ −
Hay
) =(2
2
a+ b
(
1
2 a+ b
4
)
2
Vậy
2
− 8 ab ≥ 0
1
=− ×
4
1
a
=
2 a + b = 1
16
⇔
2 a = b
b = 1 ×
4
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
MinP = −
)
2 a + b =1
1
1
1
⇔ a = ,b = ×
4
16
4
Bài 15: ( HSG TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2018 – 2019)
( x + 3 − x − 1)( x + 3 + 2)
A=
.
x −1
Cho các biểu thức
−3 ≤ x ≠ 1.
Điều kiện:
A=
Ta có:
=
=
((
x + 3 − 2) − ( x − 1)
)(
x+3+2
)
x −1
(
x+3 −2
)(
)
x + 3 + 2 − ( x − 1)
(
x+3 +2
)
(
x+3+2
x −1
( x − 1) − ( x − 1) (
x+3+2
x −1
)
= 1−
)
= −1 − x + 3.
A ≤ −1 ⇔ x + 3 ≥ 0
⇔ x + 3 ≥ 0 ⇔ x ≥ −3
Vậy
−3 ≤ x ≠ 1.
Bài 16: ( CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2019 – 2020)
a) Rút gọn biểu thức A.
Điều kiện:
Ta có:
x ≥ 0, x ≠ 4, x ≠ 9 ×
Hãy ln chiến thắng chính mình. 11
TRƯỜNG THCS NGUYỄN THÁI BÌNH – TUY AN – PHÚ YÊN. 09.05.37.8118
x +3
x +2
x +2
+
+
=
x − 2 3− x x −5 x + 6
x +3
x +2
+
+
x − 2 3− x
=
(
x +3
)(
(
(
) (
(
x −2
)(
x +2
x −3
(
A=
Do đó
b) Tìm
Ta có
x
1
:
x −2
x
=
x− x −2
x
(
)(
x +1
P = 2A −
x −2
)
=
(
)(
x −3
x +2
)
)(
)
) (
x −2 +
)(
x −3
)=
1
x −2
(
x−2− x− x −2
x−2
−1 =
x− x −2
x− x −2
=
x −2
x −3 −
x − 9 − ( x − 4) +
=
x +2
)
x −2
x +2
)
×
)
x
)(
x +1
x −2
)
×
x +1
×
x
1
x
để
đạt giá trị lớn nhất.
2 x +2 1
2 1
P=
− =1+
−
x
x
x x
2
1
= −
− 1÷ + 3 ≤ 3.
x
1
= 1 ⇔ x = 1.
x
Dấu “=” xảy ra khi
maxP = 3 ⇔ x = 1.
Vậy
Bài 17: ( HSG TỈNH BẮC GIANG NĂM HỌC 2008 – 2009)
1 − x2 −1
1+ x
( 1− x )2
+
2
1+ x − 1− x
x
(1 − x)(1 + x) − (1 − x )
P=
(do 0
1− x −1
1+ x
1− x
+
1+ x − 1− x
x
1
+
x
−
1
−
x
=
Hãy ln chiến thắng chính mình. 12
TRƯỜNG THCS NGUYỄN THÁI BÌNH – TUY AN – PHÚ YÊN. 09.05.37.8118
=
1+ x + 1− x 1− x 2 −1
.
x
1+ x − 1− x
( 1 + x + 1 − x )( 1 + x − 1 − x ) 1 − x 2 − 1
.
x
( 1+ x − 1− x )2
=
2x
=
KL:
2 − 2 1− x2
.
1− x2 −1
x
= -1.
Bài 18: ( HSG TỈNH BẮC GIANG NĂM HỌC 2009 – 2010)
a)
2x + x −1 2x x − x + x x − x
A = 1+ (
−
).
1− x
1− x x
2 x −1
(2 x − 1)( x + 1)
x (2 x − 1)( x + 1) x ( x − 1)
= 1+
−
.
(1 − x ) 1 + x
(1 − x )( x + x + 1) 2 x − 1
(
)
x ( x + 1)
x
x +1
= 1 − 1 −
=
. x = 1−
x + x +1
x + x +1 x + x +1
A=
Ta có
6− 6
x +1
6− 6
⇔
=
⇔ x − 6. x + 1 = 0
5
5
x + x +1
x = 2 + 3; x = 2 − 3
Từ đó giải được
2
x +1
2
A> ⇔
> ⇔ x − 2 x + 1 > 0 ⇔ ( x − 1) 2 > 0
3
x + x +1 3
b)Ta có:
x − 1 ≠ 0 ⇒ ( x − 1)2 > 0
x ≠1
Do
nên
2
A>
3
Vậy
Bài 19: ( HSG TỈNH BẮC GIANG NĂM HỌC 2012 – 2013)
a) Ta có
A = 3 26 + 15 3 − 3 26 − 15 3
= 3 8 + 3.22 3 + 3.2.( 3) 2 + ( 3)3 − 3 8 − 3.2 2 3 + 3.2.( 3) 2 − ( 3) 3
= 3 (2 + 3)3 − 3 (2 − 3)3
= (2 + 3) − (2 − 3)
Hãy ln chiến thắng chính mình. 13
TRƯỜNG THCS NGUYỄN THÁI BÌNH – TUY AN – PHÚ YÊN. 09.05.37.8118
A=2 3
.
KL:
2 < a ≠ 11
b) Điều kiện:
Đặt
x = a − 2 (0 < x ≠ 3) ⇒ a = x 2 + 2
.
( x + 2) x
x 2 + 9 3x + 1 1
.
+
− ÷
÷:
3 3 + x 9 − x 2 x 2 − 3x x
P=
Tính được
=
( x + 2) 3( x + 3) 2 x + 4
.
÷
÷:
3 9 − x 2 x ( x − 3)
=
( x + 2) x( x − 3)
x
.
=−
3 − x 2x + 4
2
a−2
2
−
=
KL:
Bài 20: ( HSG TỈNH BẮC GIANG NĂM HỌC 2016 – 2017)
ab
a− b
≠
a) Rút gọn M=
với a, b>0 và a b
Ta có
( 1 − a ) ( 1 − b) + 2
⇔ ab =
(
a− b
ab = 1 ⇔ ab − a − b + 1 + 2 ab = 1
)
2
⇔(
ab 2
) =1⇔
a− b
ab
=1
a− b
+ Nếu a>b>0
⇒ a > b ⇒ a − b > 0; ab > 0 ⇒
⇒
ab
>0
a− b
ab
ab
ab
=
⇒
=1⇒ M =1
a− b
a− b
a− b
+ nếu 0
⇒ a < b ⇒ a − b < 0; ab > 0 ⇒
⇒
ab
<0
a− b
ab
− ab
− ab
=
⇒
= 1 ⇒ M = −1
a− b
a− b
a− b
Hãy ln chiến thắng chính mình. 14
TRƯỜNG THCS NGUYỄN THÁI BÌNH – TUY AN – PHÚ YÊN. 09.05.37.8118
5
4
−
+ 18 2 = 3
a+b 2 a−b 2
⇔ 5a − 5b 2 − 4a − 4b 2 + 18 2 ( a 2 − 2b 2 ) = 3 ( a 2 − 2b 2 )
⇔ 5a − 5b 2 − 4a − 4b 2 + 18a 2 2 − 36b 2 2 = 3a 2 − 6b 2
⇔ 18a 2 2 − 36b2 2 − 9b 2 = 3a 2 − 6b 2 − a
b)
⇔ ( 18a 2 − 36b 2 − 9b ) 2 = 3a 2 − 6b 2 − a
18a 2 − 36b 2 − 9b ≠ 0 ⇒ 2 =
-Nếu
Vì a, b nguyên nên
3a 2 − 6b2 − a
∈Q ⇒ 2 ∈Q
⇒
18a 2 − 36b2 − 9b
Thay a =
2
Vơ lý vì
là số vơ tỉ
3
2
2
2
2
3
18a − 36b − 9b = 0
3a − 6b = b
18a − 36b − 9b = 0 ⇒ 2
⇔
⇔
a
=
b
2
2
2
2
2
3a − 6b − a = 0
3a − 6b = a
2
-Vậy ta có
3a 2 − 6b 2 − a
18a 2 − 36b 2 − 9b
3
b
2
2
vào
3a 2 − 6b 2 − a = 0
t
9
3
3 × b2 − 6b 2 − b = 0 ⇔ 27b2 − 24b2 − 6b = 0 ⇔ 3b( b − 2) = 0
4
2
a có
Ta có b = 0 (loại) ; b = 2 (thoã mãm) , vậy a = 3. Kết luận:
(
c)Ta có
mà
a+ b+ c
a+ b+ c =7
;
)
2
=a+b+c+2
a + b + c = 23
(
ab + bc + ca
)
ab + bc + ca = 13
nên
a + b + c = 7 ⇒ c − 6 = − a − b +1
Ta có
ab + c − 6 = ab − a − b + 1 =
nên
bc + a − 6 =
Tương tự
=
(
)(
)(
a −1
)
b −1
)
b −1
c − 1 ; ac + b − 6 =
(
)(
a −1
)
c −1
1
1
1
+
+
ab + c − 6
bc + a − 6
ca + b − 6
Vậy H =
=
(
(
(
1
)(
a −1
+
) (
b −1
1
)(
b −1
+
) (
c −1
1
)(
a −1
)
c −1
c −1+ a −1+ b −1
)(
a −1
)(
b −1
)
c −1
Hãy luôn chiến thắng chính mình. 15
TRƯỜNG THCS NGUYỄN THÁI BÌNH – TUY AN – PHÚ YÊN. 09.05.37.8118
(
(
abc +
=
) (
a+ b+ c −
2( 4 + 3 + 4 − 3 )
8 + 2 13
d)N=
)
a + b + c −3
)
ab + bc + ca − 1
=
7−3
= −1
3 + 7 − 13 − 1
+ 25 − 10 2 + 2
2( 4 + 3 + 4 − 3 )
+ (5 − 2)2
(4 + 3) + 2 4 + 3 4 − 3 + (4 + 3)
=
2( 4 + 3 + 4 − 3 )
=
( 4+ 3 + 4− 3)
2( 4 + 3 + 4 − 3 )
+ (5 − 2)2 =
4+ 3 + 4− 3
2
+ 5− 2 = 2 +5− 2 = 5
2
2
(GT) ⇒ ( a + b ) − 2(ab + 1) (a + b) 2 + ( 1 + ab ) = 0
⇔ ( a + b ) − 2(a + b) 2 (1 + ab) + (1 + ab) 2 = 0
4
2
2
⇔ ( a + b ) − (1 + ab) = 0 ⇒ (a + b) 2 -(1 + ab)=0
⇔ (a + b) 2 = 1 + ab ⇔ a + b = 1 + ab ∈ Q;vi:a;b ∈ Q.
e)
KL:
Bài 21: ( HSG TỈNH BẮC GIANG NĂM HỌC 2017 – 2018)
x + 2 x + 4 x + 2 x +1 3 x − 5
2 x + 10
M =
+
:
+
÷
÷
÷
x −1 ÷
x x −8
x −2 x+6 x +5
a) Cho biểu thức
Rút gọn M và tìm x để M>1
*
M =
x+2 x +4
(
x−2
1
=
+
x −2
=
=
x −1+
(
(
)( x+2
x +4
+
) (
÷: 3 x − 5 +
x +1 ÷ x − 2
( x + 1) 2
)(
x −1
)
2
(
(
)(
x +1
)
÷
x +5 ÷
x +5
)
x +1 3 x − 5
2
:
+
÷
÷
÷
x −1 x − 2
x +1 ÷
)(
x +1
x −2
)(
x −2
)
x −1
) : (3
x − 5)( x + 1) + 2( x − 2)
(
x −2
)(
)
x +1
x − 1 + x − 2 x + x − 2 3x + 3 x − 5 x − 5 + 2 x − 4
:
x −2
x − 11
x −2
x +1
(
)(
)
(
)(
)
Hãy ln chiến thắng chính mình. 16
TRƯỜNG THCS NGUYỄN THÁI BÌNH – TUY AN – PHÚ YÊN. 09.05.37.8118
=
x −3
(
x −2
)(
3
Vậy M=
⇔
3
*M<1
Ta có
) (
x − 11
x +1
(
3x − 9
:
)
x −2
x −1
x +1
(
)
>1⇔
3
(
Vì
•
=
=
Tương tự ta có
(
Vậy H=
(
)(
)
x −2
)(
)=
x +1
3( x − 3)
x −1
(
x +1
)
x −1
−1 > 0 ⇔
4−2 x
3
(
>0⇔
(
)
x −1
)
x −1
2− x
>0
x −1
)(
≠3
(
(
a+ c
)(
b+ c
ab + bc + ca + c = ... =
nên 1+c=
a+ b
a− b
a+ c
3
x +1
. Vậy M>1 khi 1
b− c
c− a
+
+
ab + bc + ca = 1
1+ c
1+ a
1+ b
. Tính H=
ab + bc + ca = 1
1+ a =
•
x −2
(
2 − x > 0
x − 1 > 0
⇔
⇔1< x < 2 ⇔1< x < 4
2 − x < 0
x − 1 < 0
b)Cho a, b, c >0 thỏa mãn
•
) (
x +1
x −3
x ≥ 0; x ≠ 1, 3, 4
với
x −1
)(
=
b+ c
)(
+
) (
)
a + c ;1 + b =
(
a+ b
b− c
a+ b
)(
a+ c
+
) (
)(
b+ c
)
c− a
a+ b
)(
)
a+ c
)
) ( b + c) + ( a + b) −( a + c) + ( b + c) −( a + b)
c) ( b + c)
( a + b) ( a + c) ( b + c) ( a + b)
a+ c −
a+
1
1
1
1
1
1
−
+
−
+
−
=0
b+ c
a+ c
a+ c
a+ b
a+ b
b+ c
Bài 22: ( HSG TỈNH BẮC GIANG NĂM HỌC 2018 – 2019)
x ≥ 0, x ≠ 1
a) Với
ta có:
2 x
1 ÷ x + x +1
2 x − x −1
x +1
P=
−
:
=
.
( x + 1) x − 1
x +1
x −1 ÷
( x + 1) x − 1 x + x + 1
(
)
(
)
Hãy ln chiến thắng chính mình. 17
TRƯỜNG THCS NGUYỄN THÁI BÌNH – TUY AN – PHÚ YÊN. 09.05.37.8118
=
(
(
)
x − 1)
−
x −1
P+
2
.
1
1− x
=
.
x + x +1 1+ x + x
1
7 − 7 x +1+ x + x
≤0⇔
≤0
7
1+ x + x
b)
⇔ x−6 x +8 ≤ 0
⇔
(
x −2
)(
.
)
x −4 ≤0
Lập luận được
2 ≤ x ≤ 4 ⇔ 4 ≤ x ≤ 16.
KL
Bài 23: ( HSG TỈNH BÌNH ĐỊNH NĂM HỌC 2014 – 2015)
3
3
3
⇒
Ta có : x3 = 2 +
-2+
5
y3 =
3
- 3x
+2-
5
x3 + 3x - 2
+ 2 – 3y
⇒
Trừ (1) và (2) có : x – y + 3(x – y) + 4 - 2
⇔
⇔
y3 + 3y – 4 = 0
3
3
(x – y) + 3xy(x – y) + 3(x – y) + 4 - 2
Vậy: A = 2
3
3
(2)
=0
3
(x – y)3 + 3(x – y )(xy + 1) = 2
= 0 (1)
3
=0
-4
-4
Bài 24: ( HSG TỈNH BÌNH ĐỊNH NĂM HỌC 2016 – 2017)
m +1
m −1
≥
≠
a) Rút gọn được P =
(với m 0, m 1)
2
m +1
m −1
m −1
b) P =
= 1+
2
⇔
∈N ⇔ m −1
m −1
⇒ ∈ { 4; 9}
∈
Ta có: P N
là ước dương của 2
m
(TMĐK)
Vậy m = 4; m = 9 là giá trị cần tìm.
Bài 25: ( HSG TỈNH BÌNH ĐỊNH NĂM HỌC 2018 – 2019)
x = 33+2 2+
3
3−2 2
Đặt
= a + b khi đó
(
)(
)
x 3 = ( a + b ) = a 3 + b3 + 3ab ( a + b ) = 3 + 2 2 + 3 − 2 2 + 3 3 3 + 2 2 3 − 2 2 .x
3
3
3
⇒ x = 6 + 3x ⇔ x − 3x = 6
(1)
Hãy luôn chiến thắng chính mình. 18
TRƯỜNG THCS NGUYỄN THÁI BÌNH – TUY AN – PHÚ YÊN. 09.05.37.8118
y = 3 17 + 12 2 +
3
17 − 12 2
Đặt
= c + d khi đó
(
)(
)
y3 = ( c + d ) = c3 + d 3 + 3cd ( c + d ) = 17 + 12 2 + 17 − 12 2 + 3 3 17 + 12 2 17 − 12 2 .y
3
3
3
⇒ y = 34 + 3y ⇔ y − 3y = 34
(2)
x + y − 3( x + y)
3
3
Từ (1) và (2) suy ra A =
=
x 3 + y3 − 3x − 3y = 6 + 34 = 40
Bài 26: ( HSG TỈNH ĐÀ NẴNG NĂM HỌC 2010 – 2011)
M=
Cho biểu thức:
a) Chứng minh rằng
a + 1 a a −1 a 2 − a a + a −1
+
+
a
a− a
a −a a
M > 4.
N=
b) Với những giá trị nào của a thì biểu thức
Do a > 0, a ≠ 1 nên:
với a > 0, a ≠ 1.
6
M
nhận giá trị nguyên.
a a − 1 ( a − 1)(a + a + 1) a + a + 1
=
=
a− a
a ( a − 1)
a
và
a 2 − a a + a − 1 (a + 1)(a − 1) − a (a − 1) (a − 1)(a − a + 1) −a + a − 1
=
=
=
a −a a
a (1 − a)
a (1 − a)
a
M=
⇒
a +1
+2
a
( a − 1) 2 > 0 ⇔ a + 1 > 2 a
a > 0; a ≠ 1
Do
nên:
M>
⇒
2 a
+2=4
a
Hãy ln chiến thắng chính mình. 19
TRƯỜNG THCS NGUYỄN THÁI BÌNH – TUY AN – PHÚ YÊN. 09.05.37.8118
0
6 3
<
M 2
do đó N chỉ có thể nhận được một giá trị nguyên là 1
6 a
=1
a +1+ 2 a
Mà N = 1 ⇔
⇔
a − 4 a +1 = 0
⇔
Vậy, N nguyên ⇔
⇔
( a − 2) 2 = 3
a = 2 + 3 hay a = 2 − 3
(phù hợp)
a = (2 ± 3) 2
Bài 27: ( HSG TỈNH ĐAKLAK NĂM HỌC 2010 – 2011)
a) Điều kiện :
P=
0< x≤2
x − x +1
1
+
=
x x +1
2 − x +1
1
2 − x −1
+
=
1− x
x +1
x − 2− x
( x ≠ 1)
x −1
Khi x = 1 thì P = 1.
x − 2− x
2
P=
=
x −1
x + 2− x
b)
Chứng minh được :
x + 2 − x ≤ x + 2 − x ≤ 2( x + 2 − x) → 2 ≤ x + 2 − x ≤ 2
1≤ P ≤ 2
Nên
(0,5 điểm)
→ P∈ Z ⇔ P =1⇔ x =1
Bài 28: ( HSG TỈNH ĐAKLAK NĂM HỌC 2011 – 2012)
x ≥ 0 ; y ≥ 0 ; y ≠1; x + y ≠ 0
a) Điều kiện để P xác định là :
.
P=
=
(
x (1 +
x ) − y (1 −
(
x +
x +
y
(
)(
x +
y
x −
)(
y ) − xy
) (1 +
x
y + x−
y 1+
)(
(
x +
y
) (1 − y )
xy + y − xy
x 1−
y
)
)
)
=
=
(
)
( x − y ) + x x + y y − xy
(
x
(
)(
x +
)
x +1 −
y 1+
y
(
)(
(
x 1−
)
(
x +1 + y 1+
(1 + x ) (1 − y )
x +
y
y
)
)(
x 1−
)
x
)
Hãy luôn chiến thắng chính mình. 20
TRƯỜNG THCS NGUYỄN THÁI BÌNH – TUY AN – PHÚ YÊN. 09.05.37.8118
x − y + y − y x
=
(1 − y )
=
x +
xy −
b) P = 2
⇔
(
)(
x 1−
=
y 1+
y
)
−
(1 − y )
(
y 1−
y
)
y
⇔
x+
(
y −
x 1+
xy −
) (
y ≥1
y
)
x ≥ 0 ; y ≥ 0 ; y ≠1; x + y ≠ 0
= 2 với
y + 1 = 1⇔
(
)(
x − 1 1+
)
y =1
x −1 ≤ 1 ⇔ 0 ≤ x ≤ 4
Ta cã: 1 +
⇒
⇒ x = 0; 1; 2; 3 ; 4
Thay vào P ta có các cặp giá trị (4; 0) và (2 ; 2) thoả mÃn
Bi 29: ( HSG HUYỆN KIM THÀNH )
a) Ta có :
1 + 1 − x 2 (1 + x ) 1 + x − (1 − x) 1 − x
A=
x(2 + 1 − x 2 )
=
=
=
=
(
) (
)
3
1 + 1 − x2 1 + x −
3
1− x
x(2 + 1 − x 2 )
1 + 1 − x2
)(
(
1 + x − 1 − x 2 + 1 − x2
)
x(2 + 1 − x 2 )
(
1+ x + 1− x
)(
2
1+ x − 1− x
)
2x
2
b) Từ
4a2 + a 2 − 2 = 0
a +1
a +1
a + a +1 − a
4
Do đó
2
(
ta có
1− a
2 2
a4 + a +1 + a2
a + a +1− a
4
=
a2 =
4
)=
a4 =
và
1 − 2a + a 2
8
a4 + a + 1 + a2
1 − 2a + a 2
1− a
+ a +1 +
8
2 2
=
=
a + 3 1− a
+
= 2
2 2 2 2
Hãy ln chiến thắng chính mình. 21
TRƯỜNG THCS NGUYỄN THÁI BÌNH – TUY AN – PHÚ YÊN. 09.05.37.8118
Bài 30: ( HSG TỈNH ĐỒNG NAI NĂM HỌC 2016 – 2017)
a 2 + b 2 + c 2 + 2abc = 1
Theo bài ra:
a 2 + 2abc = 1 − b 2 − c 2 ; b 2 + 2abc = 1 − c 2 − a 2 ; c 2 + 2abc = 1 − b 2 − a 2
Suy ra:
Ta được :
(
)(
)
(
)(
)
(
)(
)
P = a 1 − b 2 1 − c 2 + b 1 − a 2 1 − c 2 + c 1 − b 2 1 − a 2 − abc
= a 1 − c 2 − b 2 + b 2 c 2 + b 1 − c 2 − a 2 + a 2 c 2 + c 1 − a 2 − b 2 + a 2b 2 − abc
= a a 2 + 2abc + b 2 c 2 + b b 2 + 2abc + a 2c 2 + c c 2 + 2abc + a 2b 2 − abc
=a
( a + bc )
2
( b + ac )
+b
2
( c + ab )
+c
2
− abc
= a(a+bc)+b(b+ac) + c(c+ab) − abc (a, b, c >0)
= a 2 + b 2 + c 2 + 2abc = 1
Bài 31: ( HSG TỈNH ĐỒNG NAI NĂM HỌC 2018 – 2019)
1
2
3
99
A=
+
+
+ .... +
1+ 2
2+ 3
3+ 4
99 + 100
=
(
)
2 −1 + 2
(
)
3−
2 +3
(
)
4−
3 + .... + 98
= −1 −
2−
3−
4 − ... −
99 + 99 100
B=
2+
3+
4 + ... +
100
và
(
99 −
)
98 + 99
(
100 −
99
⇒ A + B = 100 100 − 1 = 999
Bài 32: ( HSG TỈNH GIA LAI NĂM HỌC 2009 – 2010)
xy +
( 1+ x ) ( 1+ y ) = 1
2
2
Ta có
⇒
(
xy +
( 1 + x2 ) ( 1 + y 2 )
)
2
=1
⇒ x 2 y 2 + ( 1 + x 2 ) ( 1 + y 2 ) + 2 xy
( 1+ x ) (1+ y ) = 1
2
(
2
)(
)
⇒ x 2 y 2 + 1 + x 2 + y 2 + x 2 y 2 + 2 xy 1 + x 2 1 + y 2 = 1
⇒ x 2 y 2 + x 2 + y 2 + x 2 y 2 + 2 xy
⇒ x 2 ( 1 + y 2 ) + y 2 ( 1 + x 2 ) + 2 xy
⇒
(
x 1 + y 2 + y 1 + x2
)
2
( 1+ x ) ( 1+ y ) = 0
2
2
( 1+ x ) ( 1+ y ) = 0
2
2
=0
Hãy ln chiến thắng chính mình. 22
)
TRƯỜNG THCS NGUYỄN THÁI BÌNH – TUY AN – PHÚ YÊN. 09.05.37.8118
⇒ x 1+ y2 + y 1+ x2 = 0
Bài 33: ( HSG TỈNH HÀ GIANG NĂM HỌC 2011 – 2012)
1
1
A = 2011 +
+
÷: 2011 − 2010
1 + 7 − 24 1 − 7 + 24 ÷
(
)
÷
1
1
= 2011+
+
÷: 2011 − 2010
2
2
1+
6 −1
1−
6 +1 ÷
1
1
= 2011+
−
÷. 2011 − 2010 = 2011+0 :
6 +1 −1
1+ 6 −1
(
)
(
(
)
)
(
)
(
)
2011 − 2010 = 2011
Vậy A là một số nguyên.
Bài 34: ( HSG TỈNH HẢI DƯƠNG NĂM HỌC 2012 – 2013)
a) Ta có :
A2 =
(
) (x+
2
x - 50 - x + 50
(
= ( 2x - 2
x 2 - 50
)(
)
A 2 = x - 50 + x + 50 - 2 x 2 - 50 x + x 2 - 50
A2
)(
x 2 - 50 x + x 2 - 50
(
A 2 = 2 x 2 - x 2 + 50
)
)
)
A 2 = 100
A=
Nhưng do theo giả thiết ta thấy
(
x - 50 - x + 50
)
x + x 2 - 50
<0
⇒ A= -10
x+ 3=2
=>
⇒ x − 4x + 1 = 0
x − 2 = − 3 ⇒ ( x − 2) 2 = 3
b)
2
B = x5 – 3x4 – 3x3 + 6x2 – 20x + 2018
B = (x5 – 4x4 + x3 ) + ( x4 – 4x3 + x2 ) + 5( x2 – 4x + 1) + 2013
B = x3( x2 – 4x + 1) +x2( x2 – 4x + 1) +5(x2 – 4x + 1) + 2013
B = 2013
Bài 35: ( HSG TỈNH HẢI DƯƠNG NĂM HỌC 2013 – 2014)
A=
1 − 1 − x2 .
( 1−
)(
1 + x + 1 − x 2 − 1 − x2
)
2 − 1 − x2
= 1 − 1 − x2 .
=
(
1 − x2
)(
(
1+ x + 1− x
1+ x + 1− x
)
)
2
=
( 1−
1− x2
) ( 2 + 2 1− x )
2
Hãy luôn chiến thắng chính mình. 23
TRƯỜNG THCS NGUYỄN THÁI BÌNH – TUY AN – PHÚ YÊN. 09.05.37.8118
= 2x 2
x
2
=
Bài 36: ( HSG TỈNH HẢI DƯƠNG NĂM HỌC 2014 – 2015)
a = 2+
5+ 5
5+ 5
+ 22
2
a) Đặt
,a>0
a2 = 4 + 2 4 −
5+ 5
= 4+ 6−2 5 =4+
2
(
)
2
5 −1 = 3 + 5 ⇒ a = 3 + 5
5 + 1 5 −1
6+2 5
6−2 5
−
−1 = 2 −1
−
−1 =
2
2
2
2
⇒ x = 3 + 5 − 3 − 5 −1 =
x = 2 − 1 ⇒ x2 + 2 x − 1 = 0
A = 2x3 + 3x2 – 4x + 2 = 2x(x2 + 2x -1 ) - ( x2 + 2x -1 ) + 1 = 1
x + 2014 + 2015 − x − 2014 − x = y + 2014 + 2015 − y − 2014 − y
b)
(1)
−2014 ≤ x; y ≤ 2014
ĐKXĐ:
⇔ x + 2014 − y + 2014 + 2015 − x − 2015 − y + 2014 − y − 2014 − x = 0
(1)
x + 2014 + y + 2014
−2014 ≤ x; y ≤ 2014
Nếu x khác y và
thì
2015 − x + 2015 − y
>0;
2014 − x + 2014 − y
>0;
>0 , do đó (1)
1
1
1
⇔ ( x − y )
−
+
÷÷ = 0
x
+
2014
+
y
+
2014
2015
−
x
+
2015
−
y
2014
−
x
+
2014
−
y
(2)
1
1
−
>0
2014 − x + 2014 − y
2015 − x + 2015 − y
Khi đó dễ chứng tỏ
x− y ≠0
Mà
nên (2) vơ lý vì VT(2) ln khác 0
Nếu x = y dễ thấy (1) đúng. Vậy x = y.
Bài 37: ( HSG TỈNH HẢI DƯƠNG NĂM HỌC 2016 – 2017)
P = 1− x + ( 1− x) 1− x2 + 1− x − ( 1− x) 1− x2
=
( 1− x) ( 1+
=
( 1− x)
)
1− x2 +
( 1− x) ( 1−
1− x2
)
a)
1+ 1− x2 + 1− 1− x2 ÷
(vì
1− x ≥ 0
)
Hãy ln chiến thắng chính mình. 24
TRƯỜNG THCS NGUYỄN THÁI BÌNH – TUY AN – PHÚ YÊN. 09.05.37.8118
2
P = ( 1− x) 1+ 1− x2 + 1− 1− x2 ÷
2
Suy ra
= ( 1− x) 1+ 1− x2 + 2 1+ 1− x2 1− 1− x2 + 1− 1− x2 ÷
(
)
= ( 1− x) 2 + 2 1− 1− x2
(
= 2( 1− x) 1+ x
)
P2 = 2( 1− x) ( 1− x) = 2( 1− x)
2
Nếu x < 0 suy ra
Mà
P = 1 − x + (1 − x) 1 − x 2 + 1 − x − (1 − x) 1 − x 2 ≥ 0
⇒ P = 2 ( 1− x)
(Vì
Vì x =
−1
<0
2017
1− x ≥ 0
)
x=
nên giá trị của biểu thức P khi
a, b, c
b) Cho
là ba số thực không âm thoả mãn
−1
2017
là
1 2018
P = 2 1+
. 2
÷=
2017 2017
a+b+c = a + b + c = 2
.
a
b
c
2
+
+
=
1+ a 1+ b 1+ c
(1 + a)(1 + b)(1 + c)
Chứng minh rằng:
a = x; b = y; c = z
x 2 + y2 + z 2 = x + y + z = 2
Đặt
thì
2
⇒ 2 ( xy + yz + zx ) = ( x + y + z ) − ( x 2 + y 2 + z 2 ) = 2 2 − 2 = 2
⇒ xy + yz + zx = 1
⇒ 1 + a = xy + yz + zx + x 2 = ( x + y ) ( x + z )
1 + b = ( y + z ) ( y + x ) ;1 + c = ( z + x ) ( z + y )
Tương tự ta có:
a
b
c
x
y
z
⇒
+
+
=
+
+
1+ a 1+ b 1+ c ( x + y) ( x + z) ( y + z) ( y + x ) ( z + x ) ( z + y)
=
=
x ( y + z) + y ( z + x ) + z ( x + y)
( x + y) ( y + z) ( z + x )
2 ( xy + yz + zx )
=
( x + y) ( y + z) ( z + x )
2.1
( 1+ a ) ( 1+ b) ( 1 + c)
= VP
Bài 38: ( HSG TỈNH HẢI PHÒNG NĂM HỌC 2016 – 2017)
a) Ta có :
Hãy ln chiến thắng chính mình. 25
