TÀI LIỆU BDHSG PHẦN số học QUA đề các TỈNH

TRƯỜNG THCS NGUYỄN THÁI BÌNH – TUY AN – PHÚ YÊN.

09.05.37.8118.

Bài 1: ( HSG TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2011 – 2012)
4
3
2
2
a) Xác định a, b để đa thức 16 x - 32 x + 24 x + ax + b chia hết cho đa thức 4 x - 8 x + 5 .
1 3
2n - 1
Sn = + + ... +
4
3
5 85
16n - 32n + 24n 2 - 8n + 5 , với n nguyên dương.
b) Cho
1
Sn <
4.
Chứng minh rằng
Bài 2: ( HSG TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2014 – 2015)
Gọi S(n) là tổng các chữ số của số tự nhiên n. Hãy tìm số tự nhiên n biết
S(n) = n2 – 2015n + 8 và 0 < S(n) �n .
Bài 3: ( CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2016 – 2017)
2
Tìm các số nguyên x để N  x  6 x  6 là số chính phương.
Bài 4: ( HSG TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2017 – 2018)
Tìm các số nguyên tố p sao cho 7p + 1 bằng lập phương một số tự nhiên.
Bài 5: ( HSG TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2018 – 2019)

a) Tìm hai số nguyên tố p, q sao cho p2 = 8q + 1.
b) Chứng minh rằng n5 - n chia hết cho 30 với mọi n  N .
Bài 6: ( CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2018 – 2019)
Cho các số thực x, y, z khác 0, đôi một khác nhau và thỏa điều kiện
x 2  xy  y 2  yz  z 2  zx  a  a �� �
1 1 1
   0�
a) Chứng minh rằng a �0 , từ đó suy ra x y z
x z y
   3 �
z
y x
b) Chứng minh rằng
Bài 7: ( CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2019 – 2020)

a
b
c
1
 2
 2

?
a
,
b
,
c
b


ac
c

ab
a

bc
2019
a) Tồn tại hay không ba số thực
thỏa mãn
x 2  y 2 85
 �
 x, y  thỏa mãn x  y 13
b) Tìm tất cả các cặp số nguyên
2

Bài 8: ( HSG TỈNH PHÚ N NĂM HỌC 2012 – 2013- ĐỀ DỰ PHỊNG)
Tìm số tự nhiên n để n  18 và n  41 là hai số chính phương.
Bài 9: ( HSG TỈNH BÀ RỊA - VŨNG TÀU NĂM HỌC 2008 – 2009)
�
abc  n 2  1
�
�
cba  ( n  2) 2
abc
Tìm số tự nhiên có 3 chữ số
thỏa: �
Bài 10: ( HSG TỈNH BÀ RỊA - VŨNG TÀU NĂM HỌC 2008 – 2009)
Cho 100 số tự nhiên a1 , a2 ,..., a100 thỏa mãn điều kiện:

Hãy ln chiến thắng chính mình

1


TRƯỜNG THCS NGUYỄN THÁI BÌNH – TUY AN – PHÚ YÊN.

09.05.37.8118.

1
1
1

 ... 
 19
a1
a2
a100
Chứng minh rằng trong 100 số tự nhiên đó, tồn tại hai số bằng nhau.
Bài 11: ( HSG TỈNH BẮC GIANG NĂM HỌC 2008 – 2009)
a) Tìm số nguyên tố p sao cho 2p + 1 và 4p + 1 cùng là số nguyên tố
4
b) Tìm các số nguyên tố p sao cho tổng các ước của p là một số chính phương.

Bài 12: ( HSG TỈNH BẮC GIANG NĂM HỌC 2009 – 2010)
a) Cho a, b, c, d là các số nguyên dương thoả mãn : a2 + c2 = b2 + d2
Chứng minh rằng a + b + c + d là hợp số .
2
b) Tìm x, y nguyên dương thỏa mãn: ( x  3) M( xy  3)
Bài 13: ( HSG TỈNH BẮC GIANG NĂM HỌC 2012 – 2013)

Tìm tất cả các bộ ba số nguyên tố a, b, c đôi một khác nhau thoả mãn điều
20abc  30(ab  bc  ca)  21abc
Bài 14: ( HSG TỈNH BẮC GIANG NĂM HỌC 2016 – 2017)
Tìm số nguyên dương n lớn nhất để A= 427 + 42016 + 4n là số chính phương.
Bài 15: ( HSG TỈNH BẮC GIANG NĂM HỌC 2017 – 2018)
2
x  3; x 2  2 3; x 
x là số nguyên.
a) Tìm số thực x để 3 số
3
2
b) Tìm x nguyên dương để 4 x  14 x  9 x  6 là số chính phương.
c) Cho dãy số n, n+1, n+2, …, 2n với n nguyên dương. Chứng minh: Trong dãy có ít nhất một lũy
thừa bậc 2 của 1 số tự nhiên.

Bài 16: ( HSG TỈNH BẮC GIANG NĂM HỌC 2018 – 2019)
Chứng minh rằng trong 12 số tự nhiên bất kỳ có ba chữ số, luôn tồn tại hai số sao cho khi ghép chúng
lại cạnh nhau để được một số có sáu chữ số chia hết cho 11.
Bài 17: ( HSG TỈNH BẮC NINH NĂM HỌC 2018 – 2019)
3
Tìm số nguyên tố p thỏa mãn p - 4p + 9 là số chính phương.

Bài 18: ( HSG TỈNH BÌNH ĐỊNH NĂM HỌC 2009 – 2010)
Cho đa thức P(x) bậc 5 có các hệ số nguyên. Biết rằng P(x) nhận giá trị 2003 với 4 giá trị nguyên khác
nhau của x. Chứng minh rằng: Với mọi x�Z thì P(x) khơng thể có trị số bằng 2010.
Bài 19: ( HSG TỈNH BÌNH ĐỊNH NĂM HỌC 2011 – 2012).
a) Chứng minh rằng n3 – n chia hết cho 24 với mọi số tự nhiên n lẻ.
b) Cho a, b, c là các số thực dương thõa điều kiện :
a2 + b2 + c2 = (a –b)2 + (b- c)2 + ( c – a)2 .

Hãy luôn chiến thắng chính mình

2


TRƯỜNG THCS NGUYỄN THÁI BÌNH – TUY AN – PHÚ YÊN.

09.05.37.8118.

Chứng minh: nếu c �a và c �b thì c �a + b.
Bài 20: ( HSG TỈNH BÌNH ĐỊNH NĂM HỌC 2016 – 2017).
Cho biểu thức: P = (a + b)(b + c)(c + a) – abc với a, b, c là các số nguyên.
Chứng minh rằng nếu a + b + c chia hết cho 4 thì P chia hết cho 4.
Bài 21: ( HSG TỈNH BÌNH ĐỊNH NĂM HỌC 2017 – 2018).

a) Chứng minh n  2n + n chia hết cho 36 với mọi n nguyên dương.
b) Cho ba số phân biệt a, b, c.
6

a + b + c
Đặt: x = 

2

 9ab

4

2

a + b + c
,y= 

2

 9bc

a + b + c
,z= 

2

 9ac

.

Chứng minh rằng: Trong ba số x, y, z có ít nhất một số dương.
Bài 22: ( HSG TỈNH BÌNH ĐỊNH NĂM HỌC 2018 – 2019).
Trong mặt phẳng cho 8073 điểm mà diện tích của mọi tam giác với các đỉnh là các điểm đã cho không
lớn hơn 1. Chứng minh rằng trong số các điểm đã cho có thể tìm được 2019 điểm nằm trong hoặc nằm
trên cạnh của một tam giác có diện tích khơng lớn hơn 1.
Bài 23: ( HSG TỈNH BÌNH DƯƠNG NĂM HỌC 2012 – 2013).

a) Chứng minh: n6 - n4 – n2 + 1 chia hết cho 128 với n là số tự nhiên lẻ.
b) Trong phép chia a cho b (a, b là các số tự nhiên), nếu tăng số chia b cho
một đơn vị thì thương số không thay đổi trong trường hợp nào?
Bài 24: ( HSG TỈNH BÌNH PHƯỚC NĂM HỌC 2018 – 2019).
3
Chứng minh rằng với n là số chẵn thì n  20n  96 chia hết cho 48.

Bài 25: ( HSG TỈNH THANH HÓA NĂM HỌC 2013 – 2014).
a) Cho 3 số nguyên x,y,z thoả mãn: x2 + y2 = z2. Chứng minh xyz M60
b) Tìm 3 số tự nhiên khác nhau sao cho tổng các nghịch đảo của chúng là số ngun.
c) Cho tam giác vng có số đo ba cạnh là các số nguyên, trong đó số đo của hai cạnh là hai số
nguyên tố và hiệu của chúng bằng 50. Tính số đo nhỏ nhất của cạnh thứ ba có thể đạt được.
Bài 26: ( HSG TỈNH ĐÀ NẴNG NĂM HỌC 2010 – 2011).
Tìm ba chữ số tận cùng của tích của mười hai số nguyên dương đầu tiên.
Bài 27: ( HSG TỈNH ĐAKLAK NĂM HỌC 2010 – 2011).
27.1.Cho a, b, c là ba số thực dương .
3
3
3
a) Chứng minh rằng a  b  c �3abc .
b) Tính giá trị biểu thức P  ab  bc nếu biết

Hãy ln chiến thắng chính mình

3


TRƯỜNG THCS NGUYỄN THÁI BÌNH – TUY AN – PHÚ YÊN.
�
a 2  b 2  20102
�2 2
b  c  20112
�
�
b 2  ac
�

.
x  12

09.05.37.8118.

 n  1 n  n  1  n  2   1  23 có thể viết

27.2.Chứng minh rằng với mọi số n nguyên dương thì số n
được thành tổng các bình phương của ba số nguyên dương lẻ liên tiếp.

Bài 28: ( HSG TỈNH ĐAKLAK NĂM HỌC 2012 – 2013).
Cho p và 2p + 1 là hai số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh rằng 4p + 1 là một hợp số.
Bài 29: ( HSG TỈNH ĐỒNG NAI NĂM HỌC 2018 – 2019).

1 1 1
 
a b c . Chứng minh rằng: abc chia hết cho 4.

a) Cho a, b, c là ba số nguyên khác 0 thỏa
b) Tìm số các số ngun dương khơng vượt q 1000 nguyên tố cùng nhau với 999.
Bài 30: ( HSG TỈNH HÀ GIANG NĂM HỌC 2011 – 2012).
1
1 �
� 1 1 1
1     ... 

�
�
2009 2010 �chia hết cho 2011
Cmr : P = 1.2.3......2009.2010. � 2 3 4

Bài 31: ( HSG TỈNH HÀ TỈNH NĂM HỌC 2008 – 2009).
Ba số a,b,c, thỏa mãn đồng thời các điều kiện: a+b+c = 1 và .
Chứng minh: .
Bài 32: ( HSG TỈNH HÀ TỈNH NĂM HỌC 2010 – 2011).
2
�1 1 1� 1 1 1
�   � 2  2  2
Cho a, b, c  Z tháa m·n ®iỊu kiƯn �a b c � a b c
Chøng minh r»ng a3 + b3 + c3 chia hÕt cho 3

Bài 33: ( HSG TỈNH HÀ TỈNH NĂM HỌC 2012 – 2013).
a) Tìm các số tự nhiên a, b, c phân biệt sao cho biểu thức sau nhận giá trị nguyên
.
b) Tam giác ABC có chu vi bằng 1, các cạnh a, b, c thoả mãn đẳng thức: . Chứng minh tam giác
ABC đều.
Bài 34: ( HSG TỈNH HÀ TỈNH NĂM HỌC 2016 – 2017).
ab 

ab
.
ab

Tìm số tự nhiên có hai chữ số ab thỏa mãn
Bài 35: ( HSG TỈNH HẢI DƯƠNG NĂM HỌC 2009 – 2010).
Tìm tất cả các số nguyên dương n để

A  29  213  2n là số chính phương.

Bài 36: ( HSG TỈNH HẢI DƯƠNG NĂM HỌC 2012 – 2013).
4

4
Với a, b là các số nguyên. Chứng minh rằng nếu 4a + 3ab  11b chia hết cho 5 thì a  b chia hết
cho 5.
2

2

Bài 37: ( HSG TỈNH HẢI DƯƠNG NĂM HỌC 2013 – 2014).

Hãy ln chiến thắng chính mình

4


TRƯỜNG THCS NGUYỄN THÁI BÌNH – TUY AN – PHÚ YÊN.

09.05.37.8118.

3
2
2
3
a) Cho a và b là các số thỏa mãn a > b > 0 và a  a b  ab  6b  0 .

Tính giá trị của biểu thức

B

a 4  4b4
b 4  4a 4 .

2
2
b) Cho hai số tự nhiên a, b thỏa mãn 2a  a  3b  b . Chứng minh rằng 2a  2b  1 là số
chính phương.

Bài 38: ( HSG TỈNH HẢI DƯƠNG NĂM HỌC 2014 – 2015).
2
2
2
a) Tìm số nguyên tố p sao cho các số 2 p  1; 2 p  3; 3 p  4 đều là số nguyên tố.
2
2
2
2 2
b) Tìm các số nguyên dương x, y, z thỏa mãn: 3x  18 y  2 z  3 y z  18 x  27 .

Bài 39: ( HSG TỈNH HẢI DƯƠNG NĂM HỌC 2016 – 2017).
2
2
a) Tìm các cặp số nguyên (x; y) thoả mãn: 2x  2y  3x  6y  5xy  7 .
2
2
b) Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho n  2n  n  2n  18  9 là số chính phương.

Bài 40: ( HSG TỈNH HẢI PHÒNG NĂM HỌC 2016 – 2017).
2
2
Tìm tất cả các số nguyên dương a, b sao cho a + b chia hết cho a b  1 .

Bài 41: ( HSG TỈNH HẬU GIANG NĂM HỌC 2012 – 2013).
xyz  5  x  y  z 
Tìm ba số nguyên tố x, y , z . Biết
Bài 42: ( HSG TỈNH HẬU GIANG NĂM HỌC 2014 – 2015).
2

�2015  2014 �
20152  20142
A�
B

�
�2015  2014 � và
20152  20142
a) So sánh hai số sau:
b) Chứng minh tổng M = 1 + 2 + 22 + … + 22015 chia hết cho 15 .
c) Chứng minh rằng tổng S = 13 + 23 + 33 + . . . + 20153 là một số chính phương.
Bài 43: ( HSG TỈNH HỊA BÌNH NĂM HỌC 2009 – 2010).
Tìm số chính phơng có 4 chữ số thoả mÃn chữ số hàng nghìn và hàng trăm
bằng nhau; chữ số hàng chục và hàng đơn vị bằng nhau.
Bi 44: ( HSG TỈNH HỊA BÌNH NĂM HỌC 2013 – 2014).
( x  5)( y  1)
2
2
x( x  5)
a) Tính giá trị của biểu thức
biết 2 x  9 y  6 xy  6 x  9  0.
3
b) Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì n  11n chia hết cho 6.
2

c) Tìm các cặp số nguyên ( x; y ) sao cho x( x  1)  y  1
A

n
d) Tìm số nguyên dương n sao cho 3  4 là một số chính phương.

Bài 45: ( HSG TỈNH NGHỆ AN NĂM HỌC 2008 – 2009).

Hãy ln chiến thắng chính mình

5


TRƯỜNG THCS NGUYỄN THÁI BÌNH – TUY AN – PHÚ YÊN.

09.05.37.8118.

a) Tìm các số nguyên dương a,b,c thoả mãn đồng thời các điều kiện :
1 1 1
  1
a  b  c  a  b  c và a b c
2
f ( x) �p
b) Cho f ( x)  ax  bx  c thoả mãn với mọi x sao cho 1 �x �1 và
.
a  b  c �p.q
Tìm số q nhỏ nhất sao cho

Bài 46: ( HSG TỈNH NGHỆ AN NĂM HỌC 2010 – 2011).
a) Cho các số nguyên a1, a2, a3, ... , an. Đặt S = a1  a2  ...  an và P  a1  a2  ...  an .

Chứng minh rằng: S chia hết cho 6 khi và chỉ khi P chia hết cho 6.
3

3

3

6
4
3
2
b) Cho A = n  n  2n  2n (với n�N, n > 1). Chứng minh A khơng phải là số chính phương.

c) Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì n  n  2 khơng chia hết cho 3.
2

d) Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho n  17 là một số chính phương.
2

Bài 47: ( HSG TỈNH NGHỆ AN NĂM HỌC 2011 – 2012).
a) T×m sè tự nhiên n để n + 21 và n 18 là hai số chính phơng.
2
2
2 2
b) Tìm các nghiệm nguyên của phơng trình: x xy y x y
Bài 48: ( HSG TỈNH NGHỆ AN NĂM HỌC 2015 – 2016).
a) Chia 18 vật có khối lượng 20162; 20152; 20142; ...; 19992 gam thành ba nhóm có khối lượng bằng
nhau. (khơng được chia nhỏ các vật đó).
b) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: 3x + 171 = y2.
Bài 49: ( HSG TỈNH NGHỆ AN NĂM HỌC 2016 – 2017).

a) Tìm các hệ số b, c của đa thức

x  2.

P  x   x 2  bx  c biết P  x  có giá trị nhỏ nhất bằng 1 khi

b) Tìm tất cả các số nguyên tố khác nhau m, n, p, q thỏa mãn

1 1 1 1
1
   
 1.
m n p q mnpq
Bài 50:( HSG TỈNH NGHỆ AN NĂM HỌC 2018 – 2019).
2
a) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 2 y  x  2 y  5  xy.

b) Chứng minh rằng A  2

2n

 4n  16 chia hết cho 3 với mọi số nguyên dương n.

2
c) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: xy  5  2 y .

n
d) Chứng minh rằng A  4  17 chia hết cho 3 với mọi số nguyên dương n.

Hãy luôn chiến thắng chính mình

6


TRƯỜNG THCS NGUYỄN THÁI BÌNH – TUY AN – PHÚ YÊN.

09.05.37.8118.

Bài 51:( HSG TỈNH HUẾ NĂM HỌC 2006 – 2007).
a) HÃy tìm các chữ số a, b, c, d biết rằng các số a, ad , cd , abcd là các số chính phơng.
b) Để thành lập các đội tuyển häc sinh giái khèi 9, nhµ trêng tỉ chøc thi chọn
các môn Toán, Văn và Ngoại ngữ trên tổng số 111 học sinh. Kết quả có: 70
học sinh giỏi Toán, 65 học sinh giỏi Văn và 62 học sinh giỏi Ngoại ngữ. Trong
đó, có 49 học sinh giỏi cả 2 môn Văn và Toán, 32 học sinh giỏi cả 2 môn Toán
và Ngoại ngữ, 34 học sinh giỏi cả 2 môn Văn và Ngoại ngữ.HÃy xác định số
học sinh giỏi cả ba môn Văn, Toán và Ngoại ngữ. Biết rằng có 6 học sinh
không đạt yêu cầu cả ba môn.
Bi 52:( HSG TỈNH HƯNG YÊN NĂM HỌC 2013 – 2014).
Tìm các số nguyên thỏa mãn .

Bài 53:( HSG TỈNH HƯNG YÊN NĂM HỌC 2014 – 2015).
Tìm tất cả các nghiệm nguyên dương x, y thỏa mãn phương trình

5 x 2  6 xy  2 y 2  2 x  2 y  40  0 .
Bài 54:( HSG TỈNH KOMTUM NĂM HỌC 2016 – 2017).

Chứng minh rằng nếu ba số x, y, z thỏa mãn hệ phương trình
ba số x, y , z phải bằng 2.

�x  y  z  2

�
�1 1 1 1
�x  y  z  2
�

thì có ít nhất một trong

Bài 55:( HSG TỈNH LẠNG SƠN NĂM HỌC 2015 – 2016).

� 1
a1 
�
� 2
(n  N,n
�
a
n

1
�
an 
2n.a n 1  1
�
Cho dãy số (an) xác định như sau:
Tính tổng S  a1  a 2  ...  a 2016 .

2)

Bài 56:( HSG TỈNH LẠNG SƠN NĂM HỌC 2018 – 2019).
a) Cho f ( x ) là đa thức với hệ số nguyên. Biết f (2017). f (2018)  2019 . Chứng minh rằng

phương trình f ( x)  0 khơng có nghiệm nguyên.
b) Trường trung học phổ thông A tổ chức giải bóng đá cho học sinh nhân ngày thành lập đồn 26 –
3 . Biết rằng có n đội tham gia thi đấu vòng tròn một lượt (hai đội bất kỳ đấu với nhau đúng một
trận). Đội thắng được 3 điểm, đội hịa được 1 điểm và đội thua khơng được điểm nào. Kết thúc
giải, ban tổ chức nhận thấy số trận thắng thua gấp bốn lần số trận hòa và tổng số điểm của các
đội là 336. Hỏi có tất cả bao nhiêu đội bóng tham gia?

Hãy ln chiến thắng chính mình

7


TRƯỜNG THCS NGUYỄN THÁI BÌNH – TUY AN – PHÚ YÊN.

09.05.37.8118.

Bài 57:( HSG TỈNH LONG AN NĂM HỌC 2011 – 2012).
a) Tìm hệ số a > 0 sao cho các đường thẳng y = ax – 1 ; y = 1 ; y = 5 và trục tung tạo thành hình
thang có diện tích bằng 8 (đơn vị diện tích).
1 1 1
2
1
  2
 2 4
b) Cho các số x, y, z khác 0 thỏa mãn đồng thời x y z
và xy z
. Tính giá trị của
biểu thức P = (x + 2y + z)2012.
c) Tìm các cặp số (x; y) nguyên dương thỏa mãn: xy + 2x = 27 – 3y.

Bài 58:( HSG TỈNH NAM ĐỊNH NĂM HỌC 2015 – 2016).
2
2
2
a) Cho các số thực x, y, z thỏa mãn đồng thời các điều kiện x  y  z  2, x  y  z  18 và

xyz  1 . Tính giá trị của

S

1
1
1


�
xy  z  1 yz  x  1 zx  y  1

2
2
b) Tìm tất cả các số nguyên x, y thỏa mãn x  y  xy  x  y  1 .

c) Chứng minh với mọi số nguyên dương n lớn hơn 1 ta có

2 3 4...

 n  1

n 3

.

d) Cho một lớp học có 35 học sinh, các học sinh này tổ chức một số câu lạc bộ môn học. Mỗi học
sinh tham gia đúng một câu lạc bộ. Nếu chọn ra 10 học sinh bất kì thì ln có ít nhất 3 học sinh
tham gia cùng một câu lạc bộ. Chứng minh có một câu lạc bộ gồm ít nhất 9 học sinh.
Bài 59: ( HSG TỈNH NINH BÌNH NĂM HỌC 2011 – 2012).
Cho 3 số a, b, c thỏa mãn: a  b  c  1;a  b  c  1;a  b  c  1 .
2

Chứng minh: a

2009

2

2

3

3

3

 b 2009  c 2009  1

Bài 60:( HSG TỈNH PHÚ THỌ NM HC 2008 2009).
Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng tr×nh: xyz  x  y  z.
Bài 61:( HSG TỈNH PHÚ THỌ NĂM HỌC 2009 – 2010).
a) Chøng minh r»ng A = (2n - 1)(2n + 1) chia hÕt cho 3 với mọi số tự nhiên n.
b) Tìm số các số nguyên n sao cho B = n2 n + 13 là số chính phơng ?

Bi 62:( HSG TỈNH PHÚ THỌ NĂM HỌC 2012 – 2013).
a) Giải phương trình nghiệm nguyên
8 x 2  3xy  5 y  25
n
n
b) Tìm tất cả số nguyên dương n sao cho A= n.4  3 M7

Hãy ln chiến thắng chính mình

8


TRƯỜNG THCS NGUYỄN THÁI BÌNH – TUY AN – PHÚ YÊN.

09.05.37.8118.

x 2  yz y 2  zx z 2  xy


a
b
c
c) Cho các số thực dương a,b,c,x,y,z khác 0 thoả mãn .
a 2  bc b 2  ca c 2  ab


x
y
z
Chứng minh rằng

Bài 63:( HSG TỈNH PHÚ THỌ NĂM HỌC 2013 – 2014).
2
2
a) Giải phương trình trên tập số nguyên x  5 y  4 xy  4 x  8 y  12  0.

b)Cho

P  x   x 3  3x 2  14 x  2

c) Tính giá trị biểu thức

P

.Tìm số các số tự nhiên x nhỏ hơn 100 mà

P  x

chia hết cho 11.

a  3a  2
3
3
a  4a 2  5a  2 , biết a  55  3024  55  3024 .
3

3

x3  3x  1, y 3  3 y  1 và z 3  3z  1.
d) Cho các số thực x, y , z đôi một khác nhau thỏa mãn

2
2
2
Chứng minh rằng x  y  z  6 .

Bài 64:( HSG TỈNH PHÚ THỌ NĂM HỌC 2014 – 2015).
a) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn phương trình: .
b) Chứng minh rằng với ba số tự nhiên a, b, c trong đó có đúng một số lẻ và hai số chẵn ta ln có chia
hết cho 96.
Bài 65:( HSG TỈNH PHÚ THỌ NĂM HỌC 2015 – 2016).
a) Cho S = với là số tự nhiên khác .
Chứng minh rằng S là số chính phương.
b) Tìm các số ngun và thỏa mãn .
c) Tính giá trị biểu thức P = với .
Bài 66:( HSG TỈNH PHÚ THỌ NĂM HỌC 2017 – 2018).
a 2 b  c   b 2  c  a   2018
a) Cho 
với a, b, c đơi một khác nhau và khác khơng. Tính giá trị của biểu
c2 a  b  .
thức 
a, b, c thỏa mãn a  b  c  91 và b 2  ca.
b) Tìm tất cả các số nguyên dương

Bài 67:( HSG TỈNH QUẢNG BÌNH NĂM HỌC 2013 – 2014).
Kí hiệu S (n) là tổng của tất cả các chữ số của một số nguyên dương n.

Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho S (n) . S (n  1)  87 .
Bài 68:( HSG TỈNH QUẢNG BÌNH NĂM HỌC 2015 – 2016).
Tìm tất cả các số nguyên dương m và n thỏa mãn điều kiện:

n2  n  1  m2  m 3  m2  m 5
Hãy ln chiến thắng chính mình

9


TRƯỜNG THCS NGUYỄN THÁI BÌNH – TUY AN – PHÚ YÊN.

09.05.37.8118.

Bài 69:( HSG TỈNH QUẢNG BÌNH NĂM HỌC 2018 – 2019).
a) Xác định các hệ số a và b để đa thức

 

P x  x4  2x3  3x2  ax  b

là bình phương của một đa thức.

n
b)Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho C  2019  2020 là một số chính phương.

Bài 70:( HSG TỈNH QUẢNG NAM NĂM HỌC 2012 – 2013).
Cho s, t, x, y, z là các số nguyên và tổng s + t + x + y + z chia hết cho 5.
Chứng minh rằng tổng s5 + t5 + x5 + y5 + z5 chia hết cho 5.
Bài 71:( HSG TỈNH QUẢNG NAM NĂM HỌC 2013 – 2014).

a b c
d e f
  1

  0
d
e
f
a
b c
a) Cho a, b, c, d, e, f là các số thực khác 0, thỏa mãn
và
.
2
2
2
a
b
c
B 2  2  2
d
e
f .
Tính giá trị của biểu thức
b) Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho n2 – 14n – 256 là một số chính phương.
c) Cho a là số tự nhiên lớn hơn 5 và không chia hết cho 5.
Chứng minh rằng a  3a  4 chia hết cho 5, với mọi số tự nhiên n.
d) Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn a2 + b2 + c2 = 1.
Chứng minh rằng abc + 2(1 + a + b + c + ab + ac + bc) ≥ 0.
8n

4n

Bài 72:( HSG TỈNH QUẢNG NAM NĂM HỌC 2017– 2018).

a)Cho ba số thực a, b, c thỏa 1 �a, b, c �2. Chứng minh :

a b c a c b
     �7
b c a c b a
.

n  2   n  1  n  8 
b) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n �1 thì 
khơng thể là lập phương của
một số tự nhiên.

p  3 và hai số nguyên dương a , b sao cho p 2  a 2  b2 . Chứng minh a
c) Cho số nguyên tố p 
chia hết cho 12 và 2( p  a  1) là số chính phương.

Bài 73:( HSG TỈNH QUẢNG NGÃI NĂM HỌC 2008– 2009).
a) Tìm tất cả các tam giác vng có độ dài cạnh là số ngun và số đo diện tích bằng số đo chu vi.

a +1 b +1

b là số nguyên; gọi d là ước chung của a và
b) Cho a và b là các số nguyên dương sao cho a
b. Chứng minh : d � a + b .
c) Chứng minh rằng khơng có các số nguyên x và y nào thỏa mãn hệ thức: 2008x2009 + 2009y2010 = 2011.
Bài 74:( HSG TỈNH QUẢNG NGÃI NĂM HỌC 2009– 2010).
a) Tìm các cặp số nguyên dương (x; y) thỏa mãn 6x + 5y + 18 = 2xy
a3
a2
a

A=
+
+
24
8
12 với a là số tự nhiên chẵn.
b) Cho biểu thức
Hãy chứng tỏ A có giá trị nguyên.
Bài 75:( HSG TỈNH QUẢNG NGÃI NĂM HỌC 2010– 2011).

Hãy luôn chiến thắng chính mình

10


TRƯỜNG THCS NGUYỄN THÁI BÌNH – TUY AN – PHÚ N.

09.05.37.8118.

Cho hình trịn có diện tích bằng 1, lấy 17 điểm bất kỳ trong hình trịn đó và khơng có 3 điểm nào thẳng

1
hàng. Chứng minh rằng có ít nhất 3 điểm lập thành một tam giác mà diện tích nhỏ hơn 8 .
Bài 76:( HSG TỈNH QUẢNG NGÃI NĂM HỌC 2013– 2014).
a) Cho a;b là hai số nguyên dương khác nhau, thoả mãn 2a2+a = 3b2+b.
ab
Chứng minh 2a+2b+1 là phân số tối giản.
b)Tìm cạnh của hình vng nhỏ nhất, biết rằng: hình vng đó chứa 5 đường trịn có bán kính bằng 1 và
5 đường trịn này đơi một khơng có q 1 điểm chung.
Bài 77:( HSG TỈNH QUẢNG NGÃI NĂM HỌC 2015– 2016).

a) Tìm ba số nguyên tố đơi một khác nhau, biết rằng tích của ba số đó bằng năm lần tổng của chúng.
b) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (x;y) thỏa mãn đẳng thức

x 2  2 y 2  3xy  2 x  4 y  3  0
2b 2
2c 2
2a 2
a
b
c
1  b2 ;
1  c2 ;
1  a2
c) Tìm các số a,b,c biết
Bài 78:( HSG TỈNH QUẢNG NGÃI NĂM HỌC 2016– 2017).
a) Chứng minh rằng với k là số nguyên thì 2016k + 3 khơng phải là lập phương của một số nguyên.
2
b) Tìm nghiệm nguyên của phương trình x  25  y ( y  6)
Bài 79:( HSG TỈNH QUẢNG NINH NĂM HỌC 2004– 2005).
Chøng minh r»ng kh«ng tồn tại số tự nhiên n thoả mÃn: n2 + 2006 là số chính phơng
Bi 80:( HSG TNH QUNG NINH NĂM HỌC 2013– 2014).
a) Tìm x , y nguyên thỏa mãn: x2(y – 5) + x + y – 3 = 0
b) Cho ba số x,y,z dương thoả mãn xyz = 1. Tính giá trị của biểu thức:
1
1
1


A = 1  x  xy 1  y  yz 1  z  zx
Bài 81:( HSG CẤP THÀNH PHỐ QUY NHƠN NĂM HỌC 2012– 2013).

a) Khơng cần tính kết quả trực tiếp, hãy so sánh các tổng sau đây:
A= 1 +3 + 5 + … + 2013
B= 2 + 4 + 6 + …. + 2012
b) Giả sử f(n+1) = n.(-1)n+1 -2f(n), với mọi số n nguyên dương và f(1) = f(2014).
Tính tổng: f(1) + f(2) + f(3) +…+ f(2013)
c) Cho ∆ ABC có độ dài 3 cạnh là a,b,c thỏa mãn điều kiện: a  b  c  ab  bc 
định dạng của ∆ ABC.
d) Cho hai dãy số : an = 22n+1+2n+1+1 ; bn= 22n+1 -2n+1+1.
CMR với mỗi số tự nhiên n, có một và chỉ một trong hai số an hoặc bn chia hết cho 5.

ca . Hãy

Bài 82:( HSG TỈNH TÂY NINH NĂM HỌC 2012– 2013).
a) Chứng minh rằng với n lẻ và n ��
A = n3 - 3n2 - n + 3 chia hết cho 48
b)Chứng minh rằng với mọi số nguyên x, y thì

Hãy ln chiến thắng chính mình

11


TRƯỜNG THCS NGUYỄN THÁI BÌNH – TUY AN – PHÚ YÊN.

09.05.37.8118.

4

B = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y là số chính phương
Bài 83:( HSG TỈNH THÁI BÌNH NĂM HỌC 2012– 2013).

2y 2x 2  1  2x 2y 2  1  1  x 3 y 3
Tìm các số nguyên x, y thoả mãn:









Bài 84:( HSG TỈNH THÁI NGUYÊN NĂM HỌC 2011– 2012).
Chứng minh rằng tổng bình phương của 5 số nguyên liên tiếp khơng là số chính phương.
Bài 85:( HSG TỈNH THÁI NGUN NĂM HỌC 2012– 2013).
Chứng minh rằng nếu a, b, c là ba số thỏa mãn : a + b + c = 2013 và

1 1 1
1
  
a b c 2013 . Thì trong ba số a, b, c phải có một số bằng 2013.
Bài 86:( HSG TỈNH THANH HĨA NĂM HỌC 2010– 2011).
Cho

a1 , a2 ,...., a45

là

45

số

d j  a j 1  a j , ( j  1, 2,..., 44).

tự

nhiên

dương

thoả

mãn

a1  a2  ....  a45 �130.

Chứng minh rằng ít nhất một trong 44 hiệu

dj

Đặt

xuất hiện ít nhất 10 lần.

Bài 87:( HSG TỈNH THANH HÓA NĂM HỌC 2013– 2014).
a) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (a; b) sao cho (a + b2) chia hết cho (a2b – 1).
b) Tìm thỏa mãn .
Bài 88:( HSG TỈNH THANH HĨA NĂM HỌC 2014– 2015).
a)Tìm các nghiệm ngun (x; y) của phương trình: 5(x  xy  y )  7(x  2y) .
b)Tìm tất cả các số nguyên tố p, q sao cho tồn tại số tự nhiên m thỏa mãn :
2

2

pq
m2  1

.
p  q m 1
Bài 89:( HSG TỈNH THANH HÓA NĂM HỌC 2016– 2017).
a) Cho p là số nguyên tố lớn hơn 5. Chứng minh p2016 – 1 chia hết cho 60.
b) Cho x, y, z là các số dương khác nhau đôi một và
của phép chia

x 3  y 3  z 3 chia hết cho x 2 y 2 z 2 . Tìm thương

x3  y 3  z 3 : x 2 y 2 z 2

Bài 90:( HSG TỈNH THANH HÓA NĂM HỌC 2017– 2018).
2
2
2
a)Tìm nghiệm nguyên của phương trình y  5 y  62  ( y  2) x  ( y  6 y  8) x.

b)Cho

a, b là các số nguyên dương thỏa mãn p  a 2  b 2 là số nguyên tố và p  5 chia hết cho 8. Giả

2
2
sử x, y là các số nguyên thỏa mãn ax  by chia hết cho p . Chứng minh rằng cả hai số x, y chia hết

cho p .

Bài 91:( HSG TỈNH THANH HÓA NĂM HỌC 2018– 2019).

x 2 y 2  x  y   x  2  y  x  1

a)Tìm nghiệm nguyên của phương trình
.
*
b) Cho n �� .Chứng minh rằng nếu 2n  1 và 3n  1 là các số chính phương thì n chia hết cho 40
Bài 92:( HSG CẤP THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH NĂM HỌC 2016– 2017).

Hãy ln chiến thắng chính mình

12


TRƯỜNG THCS NGUYỄN THÁI BÌNH – TUY AN – PHÚ YÊN.

09.05.37.8118.

a) Cho ba số a, b, c thỏa các điều kiện a − b = 7, b − c = 3.
a 2  b 2  c2  ab  bc  ca
P
a 2  c2  2ab  2bc .
Tính giá trị của biểu thức
b) Tìm x, y ngun thỏa mãn phương trình: (x + y)(x + 2y) = x + 5
c) Trong tuần, mỗi ngày Nam chỉ chơi một môn thể thao. Nam chạy ba ngày một tuần nhưng
không bao giờ chạy trong hai ngày liên tiếp. Vào thứ Hai, anh ta chơi bóng bàn và hai ngày
sau đó anh ta chơi bóng đá. Nam cịn đi bơi và chơi cầu lông, nhưng không bao giờ Nam

chơi cầu lông sau ngày anh ta chạy hoặc bơi.Hỏi ngày nào trong tuần Nam đi bơi?
Bài 93:( HSG TỈNH TRÀ VINH NĂM HỌC 2016– 2017).
3
3
3
Chứng minh rằng không tồn tại các số nguyên x, y, z thỏa mãn x  y  z  x  y  z  2017

Bài 94:( HSG TỈNH VĨNH PHÚC NĂM HỌC 2007– 2008).
a) Chứng minh rằng tích của 8 số ngun liên tiếp ln chia hết cho 128.
b)Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n cho trước, số

m  n(n  1)(n  2)...(n  7)  1.2.3...7
khơng thể phân tích thành tổng của hai số chính phương.
Bài 95:( HSG TỈNH VĨNH PHÚC NĂM HỌC 2008– 2009).
m

m

4

3

2

a)Tìm tất cả các số nguyên dương m, n thỏa mãn: 9  3  n  2n  n  2n
b)Trên bảng hình chữ nhật kích thước m �n (m hàng và n cột), mỗi ô ghi một số không âm sao cho mỗi
hàng, mỗi cột có ít nhất một ơ chứa số dương. Ngồi ra, nếu ơ (i; j) ghi số dương, thì tổng các số trên
hàng i và tổng các số trên cột j bằng nhau. Chứng minh rằng m  n
Bài 96:( HSG TỈNH VĨNH PHÚC NĂM HỌC 2009– 2010).
2

a)Tìm tất cả các số ngun dương n có tính chất với mỗi số nguyên lẻ a mà a �n thì n chia hết cho a.
b)Mỗi ơ vng đơn vị của bảng kích thước 10 �10 (10 dòng, 10 cột) được ghi một số nguyên dương
không vượt quá 10 sao cho bất kỳ hai số nào ghi trong hai ô chung một cạnh hoặc hai ô chung một đỉnh
của bảng là hai số nguyên tố cùng nhau. Chứng minh rằng có số được ghi ít nhất 17 lần.
Bài 97:( HSG TỈNH VĨNH PHÚC NĂM HỌC 2010– 2011).
a)Tìm tất cả các cặp số nguyên x, y thoả mãn phương trình:

x 2 ( y  1)  y 2 ( x  1)  1
b)Mỗi điểm của mặt phẳng được tô bởi một trong ba màu Đỏ, Xanh, Vàng.
Chứng minh rằng tồn tại hai điểm

A, B được tô bởi cùng một màu mà độ dài AB  1.

Bài 98:( HSG TỈNH VĨNH PHÚC NĂM HỌC 2011– 2012).
x3
f  x 
1  3 x  3x 2 . Hãy tính giá trị của biểu thức sau:
a) Cho
�1 �
A f �
�
�2012 �
b)

�2 �
f�
� ... 
�2012 �

�2010 �

f�
�
�2012 �

�2011 �
f�
�
�2012 �

 x; y
Tìm tất cả các cặp số nguyên dương

 x  y
thỏa mãn

3

  x  y  6

2

.

Hãy ln chiến thắng chính mình

13


TRƯỜNG THCS NGUYỄN THÁI BÌNH – TUY AN – PHÚ YÊN.
c)

09.05.37.8118.

Tất cả các điểm trên mặt phẳng đều được tô màu, mỗi điểm được tô bởi một trong 3 màu xanh,
đỏ, tím. Chứng minh rằng khi đó ln tồn tại ít nhất một tam giác cân, có 3 đỉnh thuộc các điểm
của mặt phẳng trên mà 3 đỉnh của tam giác đó cùng màu hoặc đơi một khác màu.

Bài 99:( HSG CẤP THÀNH PHỐ VĨNH YÊN NĂM HỌC 2012– 2013).
2
2
2
2
a) Giả sử các số a, b, c, d thỏa mãn a  b  c  d và a  b  c  d .
2013
2013
 c 2013  d 2013
Chứng minh rằng: a  b
2
2
2
12 .
b) Chứng minh rằng nếu x, y, z là các số nguyên dương thỏa mãn x  y  z thì xyM

x
y
c) Tìm tất cả các số nguyên dương x, y thỏa mãn phương trình 2  1  3 .

Bài 100:( HSG TỈNH YÊN BÁI NĂM HỌC 2003– 2004).
Cho hai số tự nhiên có 2 chữ số thỏa mãn tính chất sau: mỗi số bằng bình phương thiếu của tổng các chữ
số của nó. Tìm hai số đó biết số thứ hai lớn hơn số thứ nhất 50 đơn vị.

Bài 101:( HSG TỈNH YÊN BÁI NĂM HỌC 2006– 2007).
Độ dài các cạnh của một tam giác là các số nguyên liên tiếp không nhỏ hơn 3 đơn vị độ dài. Chứng
minh rằng đường cao hạ xuống cạnh có độ dài lớn thứ hai thì chia cạnh này thành hai phần có hiệu độ
dài bằng 4.
Bài 102:( HSG TỈNH YÊN BÁI NĂM HỌC 2011– 2012).
Tìm hai số x, y nguyên thỏa mãn: x − xy = 7x − 2y – 15.

Hãy luôn chiến thắng chính mình

14