TU HOC DAI SO 8

TRNG TM KIN THC I S 8

PHéP NHÂN Và PHéP CHIA

Chương 1

CáC ĐA THứC
CHủ Đề 1
NHÂN ĐƠN THứC VớI ĐA THứC, ĐA THứC VớI ĐA THứC
A. KIếN THứC CầN ĐạT
1) NHÂN ĐƠN THỨC VỚI ĐA THỨC
Muốn nhân đơn thức với đa thức, ta lấy đơn thức nhân với từng hạng tử của đa thức
rồi cộng các kết quả lại với nhau

A.  M  N  P  ...  A. M  A.N  A.P  ...
2) NHÂN ĐA THỨC VỚI ĐA THỨC
Muốn nhân đa thức với đa thức, ta lấy từng hạng tử của đa thức thứ nhất nhân đa
thức thứ hai rồi cộng các kết quả lại với nhau

 M  N  .  A  B   M.  A  B   N.  A  B 
Mở rộng:  M  N  P  ... .  A  B   M.  A  B   N.  A  B   P.  A  B   ...
3) NHẬN XÉT

 x  a  x  b   x 2   a b x ab
B. Bài tập áp dụng
Bi 1. Làm tính nhân
1
a) x 3  x 2 - 6 x-10 
2

b)  5 x 3  4 x 2  3 x  1 .  3 x 2 

c)  x  8 x  5

d)  3 x 2  7 x  5   2 x  1

e)  2 x  7 1  3 x    6 x 2 

f) 10 x 4   5 x 2  4 x  2 x 2  3

g)

2 2
x y. 3 xy  x 2  y
3





i)  x  3 x  4  x  2 

h) 4 x  x  2  x  2 
k)  2 x 3  3 x  1  5 x  2 

Bài 2. Rút gọn biểu thức
a) 2 x  x  3y   3y  2 x  5y 

b)  5x  3y  2 x  y   x 10 x  y 

c) 2  x  5 x  1   x  3  x  x 2 

d)  x  5 2 x  3  2 x  x  3   x  15

Bài 3. Tìm hệ số của x 3 trong kết quả của phép nhân  x 2  x  x 2  x  1
GVBS: Nguyễn Tấn Duy (0915577163)

1

TTKT/ĐS8


TRỌNG TÂM KIẾN THỨC ĐẠI SỐ 8

Bài 4. Rút gọn rồi tính giá trị của các biểu thức sau
a) A  2 x 10 x 2  5 x  2   5 x  4 x 2  2 x  1 tại x  2013
1
b) B  6 xy  xy  y 2   8 x 2  x  y 2   5 y 2  x 2  xy  tại x  ; y  2
2
7
6
5
4
*
c ) C  x  80 x  80 x  80 x  ...  80 x  15 tại x  79 (HD: x  79  x  1  80 )
Bài 5. Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến (có giá trị khơng đổi)

a) A   2 x  3 x  7   2 x  x  5  x
b) B  x  x  y   y  x  y    x  y  x  y   2 y2
c) C  2  2 x  x 2   x 2  x  2    4 x  3  x 3 
d) D   3 y  2   9 y 2  6 y  4   9 y  3 y 2  1  9 y

Bài 6. Chứng minh các đẳng thức sau

 x  y   x 3  x 2 y  xy 2  y3   x 4   y 4
b)  x  y  x  y  2   2  x  1 y  1  2  x 2  y2
c)  3x  2 y  5x  y   y2  15x 2  7 xy  3y2
d)  x  y  x  y    x  2 y  x  5y   9 y2  3xy
Bài 7. a) Cho ab 1  0 chứng minh a  b  1  b  a  1   a  1 b  1
a)

x y
2
2
 chứng minh x  y
a b
Bài 8. Tìm các số thực x, y. Biết:



b) Cho

 a

2



 b2   ax  by 

2

a) x  x  3  2 x  6  0

b)  3x  5 5x  7    5x  1 2  3x   4

c)  x  1  x 2  2 x  1  x 2  x  3  4

d)  x  1  3 x 2  x  2   x 2  3 x  4   5

e) 3  x  2  x  3  x  3x  1  2

f)  x  3  x  x 2   2  x  5 x  1  x 3  12

5
h) 2 x 2  3  x  1 x  1  5x  x  1
2
Bài 9. Tìm ba số tự nhiên lẻ liên tiếp, biết tích hai số sau lớn hơn tích hai số đầu là 20.





g) 3y2  y  1  y  1  y 2  4  3y  

Bài 10. a) Cho a, b là hai số tự nhiên. Biết a chia 5 dư 2; b chia 5 dư 3. Chứng minh  ab -15
b) Chứng minh  n -1 n  4  -  n - 4  n  16 với mọi số nguyên n.
Bài 11. Xác định các số thực a, b, c, d. Biết:





2
3
2
a) ax  bx  c  x  3  x  2 x  3x với mọi x .







4
3
2
2
2
b) x  x  x  ax  b  x  x  2 x  cx  d với mọi x .

c) x 3  ax 2  bx  c   x  a  x  b  x  c  với mọi x .

GVBS: Nguyễn Tấn Duy (0915577163)

2

TTKT/ĐS8


TRNG TM KIN THC I S 8

CHủ Đề 2
NHữNG HằNG ĐẳNG THứC ĐáNG Nhớ
A. KIếN THứC CầN ĐạT
2

A B   A2  2 AB  B2
2
 A  B   A2  2 AB  B2
 A  B  A  B   A2  B2
3
 A  B   A3  3A2 B  3AB2  B3
3
 A  B   A3  3A2 B  3AB2  B3
 A  B   A2  AB  B 2   A3  B3
 A  B   A2  AB  B 2   A3  B3

1) Bình phương một tổng:
2) Bình phương một hiệu:
3) Hiệu hai bình phương:
4) Lập phương một tổng:
5) Lập phương một hiệu:
6) Tổng hai lập phương:
7) Hiệu hai lập phương:
8) Mở rộng:

 A  B  C

2

 A2  B 2  C2  2 AB  2 AC  2 BC

B. Bài tập áp dụng
Bi 1. Khai trin cỏc hng ng thức sau
a)  xy  2 

2

b)  2 x  3

2

c)  x 2  9  x 2  9 

d)  3 x 2  5 xy 3  3 x 2  5 xy 3 

e)  2 x  y   4 x 2  2 xy  y 2 

f)  x  3  x 2  3 x  9 

Bài 2. Viết các đa thức sau dưới dạng một hằng đẳng thức
e) x 3  12 x 2  48 x  64  ..........
a) x 2  6 x  9  ..........
1
f)  x  3  x 2  3 x  9   ..........
b) 25 x 2  5 xy  y 2  ..........
4
g)  x  3  x 2  3 x  9   ..........

c)  4  2 x  2 x  4   ..........
d) 8 x 3  12 x 2 y  6 xy 2  y 3  ..........

Bài 3. Tính giá trị các biểu thức sau:

1 2 4
 y  y 8  ..........
9 3
(Hướng dẫn: Phải rút gọn trước khi tính)

h)

2

a)  x  10   x  x  80  với x  0,98
2

b)  2 x  9   x  4 x  31 với x  16,2
c) 4 x 2  28x  49 với x  4
d) x 3  9 x 2  27 x  27 với x  5  0

GVBS: Nguyễn Tấn Duy (0915577163)

3

TTKT/ĐS8


TRỌNG TÂM KIẾN THỨC ĐẠI SỐ 8

Bài 4. Tính giá trị các biểu thức
1
0

56
3
1
9
b)  x  2 y   6 xy  x  2 y  với x  ; y 
0
64
64
2

a)  7 x  4    7 x  4  7 x  4  với x 



3



c)  3x  y  9 x 2  3xy  y 2   3x  y   27 x 2 y với x  5; y 
2

2

d) 5  x  3 3  x    2 x  3   6  x  với x 
3



1
3

1
0
5



e)  x  1  4 x  x  11  x   3  x  1 1  x  x 2 với x  2
Bài 5*. Tính giá trị các biểu thức
a) A  x 2  y 2 với x  y  15 ; x. y  100  0
b) B  2  x 3  y 3   3  x 2  y 2  với x  y  1
c) C  2  x 3  y 3   3  x 2  y 2  với x  y  1
Bài 6. Chứng minh giá trị các biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến (không đổi)
a) A   3 x  2   9 x 2  6 x  4   3  9 x 3  2 
3



3

3

3

3



b) B   x  1   x  1 x 2  x  1  3x  x  1





c) C   x  2    x  2   2 x 2  12 x
d) D   x  1   x  1  6  x  11  x 
e) E   2 x  3  4 x 2  6 x  9   2  4 x 3  3
3



f) F   4 x  1   4 x  3 16 x 2  3



g) G   x  y   x 2  xy  y 2    x  y   x 2  xy  y 2   2 x 3
h) 2( x 3  y 3 )  3( x 2  y 2 ) với x  y  1
Bài 7. Tìm các số thực x, y. Biết:
2

2

a)  2 x  11  2 x    2 x  1  22
2

b)  x  5   x  3 3  x   2  x  1

2

d)  x  2   x 2  2 x  4    x 2  2  x  15

c)  2 x  1   x  3  5  7  x  x  7 
2

3

3

e)  3x  5 5  3x   9  x  1  30

f)  y  3   y  1  56

g*) x 2  y 2  2 x  6 y  10

h*) 4 x 2  y 2  4 x  10 y  26  0

2

2

2

HD: g*)  x  1   y  3   0

2

h*)  2 x  1   y  5   0

Bài 8. Chứng minh các đẳng thức sau
2

a)  x  y   y2  x  x  2 y 
GVBS: Nguyễn Tấn Duy (0915577163)

2

2

2

2

b)  x 2  y 2    2 xy    x  y   x  y 
4

2

TTKT/ĐS8


TRỌNG TÂM KIẾN THỨC ĐẠI SỐ 8



2



2

2

c) 3 x 2  y2  z 2   x  y    y  z    z  x    x  y  z 
3

3



d)  x  y    x  y   2 y 3x 2  y2



2

(HD: VT  VP  6 x 2 y  2 y 3 )

Bài 9. a) Chứng minh hiệu các bình phương của hai số chẵn liên tiếp thì chia hết cho 4.
2

2

b) Chứng minh A   2 n  3   2 n  1 chia hết cho 8 với với n   . ( A  16 n  8 )
Bài 10. a) Chứng minh B  x 2  2 x  3 luôn nhận giá trị dương với mọi giá trị của x.
b) Chứng minh C  6 x  x 2  10 luôn nhận giá trị âm với mọi giá trị của x.
Bài 11. a) Tìm GTNN của biểu thức D  x 2  10 x  28 .
b) Tìm GTLN của biểu thức E  x  x 2  1 .
Bài 12. Cho x  y  2; x. y  1 tính giá trị các biểu thức
a) A  x 2  y 2

b) B  x 3  y 3

c) C  x 4  y 4

CHđ §Ị 3
phÂn tích Đa thức thành nhÂn tử
A. KIếN THứC CầN §¹T
Một số phương pháp thường sử dụng:
 Đặt nhân tử chung (đôi khi để xuất hiện nhân tử chung ta sử dụng    A  )
 Dùng hằng đẳng thức.
 Nhóm hạng tử.
 Phối hợp.
 Thêm (bớt); tách hạng tử.
 Đặt ẩn phụ.
…
 Khi tách hạng tử cần chú ý:
Nếu đa thức có dạng tam thức bậc hai ax 2  bx  c , khi đó ta tách hạng tử bx như sau:
 b1  b2  b
ax 2  bx  c  ax 2  b1 x  b2 x  c sao cho 
 b1.b2 a.c

B. Bài tập áp dụng
T NHN T CHUNG
Bi 1. Phân tích đa thức thành nhân tử
a) 9 x  15 y
b) 8 x 2  12 x  4
c)  5 x 2  25 xy  10 y 2
d) x 3  x 2 y  xy 2

e) xy 2 z  xy 3 z  xy

GVBS: Nguyễn Tấn Duy (0915577163)

5

f) x 5 y 2  x 4 y 3  x 3 y 4  2 x 2 y 5
TTKT/ĐS8


TRỌNG TÂM KIẾN THỨC ĐẠI SỐ 8

h) 2 x 2 ( x  1)  4( x  1)

g) 3 x ( x  1)  5(1  x )

i) 10 x  x  6 y   8y  6 y  x 

DÙNG HẰNG ĐẲNG THỨC
Bài 2. Phân tích đa thức thành nhân tử

a) 4 x 2  12 x  9
b) 4 x 2  4 x  1
c) (3 x  1)2  16
d) (5 x  4)2  49 x 2

e) 10 x  25  x 2
f) 8 x 3  64
g) x 3 y 3  125
h) x 3  3 x 2  3 x  1

i) x 3  6 x 2  12 x  8
j) (4 x 2  25)2  9(2 x  5)2
k) 4(2 x  3)2  9(4 x 2  9)2
3

3

m)  x  y    x  y 

NHÓM HẠNG TỬ
Bài 3. Phân tích đa thức thành nhân tử

a)
b)
c)
d)

x 2 y  xy 2  x  y

e) 3 x 2  3 y 2  2( x  y )2
f) x 3  4 x 2  9 x  36
g) x 2  y 2  2 x  2 y
h) x 4  x 3  x  1

x 2  2 x  4y2  4y
x 4  2x3  4x  4

x3  2x 2y  x  2y

2

i) x  x+1  x  x  5  5  x  1

k) x 2  y 2  x  y
m) x 2  6 xy  9 y 2  4 x  12 y
n) x 2  xy  x 3  3 x 2 y  3 xy 2  y 3

PHỐI HỢP NHIỀU PHƯƠNG PHÁP
Bài 4. Phân tích đa thức thành nhân tử

a) x 2  5 x  6
b) x 2  8 x  15
HD: e)  x 2  x 2  2 x 2

c) 6 x 2  13 x  5
d) 5 x 2  11x  12
f) 4 x 2  x 2  5 x 2

e) x 3  x 2  2
f) x 3  4 x 2  x  6

Bài 5. Phân tích đa thức thành nhân tử

a) 3 x 3  75 x
b) 5 x 2 y  30 xy 2  45y 3



c) x 4  4 x 2  4 x  1
d) x 4  6 x 3  54 x  81



HD: c)  x 4  4 x 2  4 x  1



 

d)  x 4  81  6 x 3  54 x



e) 3 x 3  3 x 2  36 x
f) x 3  x  2
f) 2  8  6

Bài 2.4.2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: (thêm bớt cùng một hạng tử)

a) x 4  4
b) x 4  64

c) x 8  x 7  1
d) x 8  x 4  1

e) x 5  x  1
f) x 3  x 2  4

HD: Số hạng tử cần thêm bớt

a) 4 x 2

b) 16 x 2

GVBS: Nguyễn Tấn Duy (0915577163)

c) x 2  x

6

d) x 2

2

e) x 2 f) x 2

TTKT/ĐS8


TRỌNG TÂM KIẾN THỨC ĐẠI SỐ 8

BÀI TẬP TỔNG HỢP
Bài 1. Phân tích tành nhân tử
a) x 2  xy  5 x  5 y

b) x 2  8 x  y 2  16

c) 9 x 2  y 2  10 yz  25z 2

d) x 2  6 x  7

e) x 2  2 x  15

g) x 3  3 x 2  3 x  1  y 3

h) x 3  5 x 2  4 x  20

k)  x  3  x 2  3 x  9   y 3  3 y

Bài 2. Tìm x, biết
a) x 3  x

b) x 3  2 x 2  9 x  18  0

2

2

c)  x 2  4   16 x 2

d)  2 x  5   x  5  2 x   0

e) 3 x 2  10 x  7  0

f) 9 x 2  4  2  3 x  2   0

g) x 3  3 x 2  16 x  48  0

h) 10 x 2  33 x  7  0

2

3

Bài 3. a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên a thì  2 a  1   2 a  1 luôn chia hết cho 8.
b) Chứng minh rằng với mọi số nguyên a thì a 2  a  1  2 a  a  1 luôn chia hết cho 6.
c) Chứng minh rằng 33n 1  33n luôn chia hết cho 32  n    .
2

d) Chứng minh rằng  4 n  7   49 luôn chia hết cho 8  n    .
Bài 4. a) Tìm y để M  1  4 y  y 2 có giá trị lớn nhất.
b) Tính giá trị biểu thức x 2019  100 x 2018  100 x 2017  ...  100 x 2  10 x  10 với x  99.
c) Tính giá trị biểu thức N  2 x 3  2 y 3  3 x 2  3 y 2 với x  y  1.

CHđ §Ị 3
chia §a thøc cho §a thøc
A. KIÕN THứC CầN ĐạT
1) Nhc li: Chia hai ly tha cựng cơ số
x m : x n  x m n ; x1  x ; x 0  1 x  0 
2) Chia đơn thức A cho đơn thức B: Ta thực hiện theo thứ tự:
 Chia hệ số của A cho hệ số của B.
 Chia lũy thừa từng biến của A cho lũy thừa từng biến của B.
 Nhân các kết quả vừa tìm với nhau.
3) Chia đa thức M cho đơn thức N
 Cách chia: Ta chia từng hạng tử của M cho N rồi cộng các kết quả lại với nhau.
 Tổng quát hóa:  A  B  C  ...  : M  A : M  B : M  C : M  ...
 Nhận xét:
 Đơn thức A chia hết cho đơn thức B nếu mỗi biến trong B đều là biến của A
với số mũ không nhỏ hơn số mũ của nó trong A.
 Đa thức M chia hết cho đa thức N nếu mỗi hạng tử của M chia hết cho N.

GVBS: Nguyễn Tấn Duy (0915577163)

7

TTKT/ĐS8


TRNG TM KIN THC I S 8

B. Bài tập áp dơng

PHÉP CHIA ĐA THỨC CHO ĐƠN THỨC
Bài 1. Làm tính chia
a)   x 4 y 5  :   xy 3 

b)  x 2 yz 3  :   x 2 z 3 

d) 20 x 5 y 3 : 4 x 2 y 2

e) 12 x 3 y 4 :

3

2 4
xy
5
5

g) 2  x  y  : 5  x  y 

c) x n  2 y 3 n : x n  2 y n
f)

h)   x  y  :  y  x 

9 5 2 3  1 2
x y z :  1 xy 
4
 3


2

Bài 2. Làm tính chia
1
2
4
3
b)  1 x 5 y 3  2 x 4 y 4  1 x 3 y 5  : x 3 y 3

a)  8 x 4  10 x 3  12 x 2  : 4 x 2

5
5
 5
 5
1
2
1
5

n 2
2
d)   x  y    x  y   :  x  y  ; n  
3
2
 6

4
3
3
c)  7  y  x   5  x  y   :  x  y 



Bài 3. Tìm số tự nhiên n để mỗi phép chia sau đều là phép chia hết
a) 8 x n : 4 x 5
b) 2 x 3 : x n 1
1
3
d)   x 2 n y 7  : x n  3 y n

c) 15 x n  2 y n : 3 x 3 y 4

 2

 10

Bài 4. Cho biểu thức B   6 x y  8 x y  : 2 x y   20 x 4 y 3  15 x 3 y 4  :  5 x 3 y 2 
4

2

a) Rút gọn B.
Bài 5. Tìm x, biết
a) 18 x 3  15 x 2  :  3 x 2   2  0

3

3

2

2

b) Tính giá trị của B với x  85; y  15.
b) 12 x 5  15 x 4  : 3 x 2   8 x 3  6 x  : 2 x  7

PHÉP CHIA ĐA THỨC CHO ĐA THỨC
Để thực hiện phép chia đa thức cho đa thức, ta có thể thực hiện theo các bước sau:
 Sắp xếp các đa thức theo lũy thừa giảm dần của biến.
 Thực hiện phép chia.
 Chú ý: Trong quá trình thực hiện phép chia, ta có thể vận dụng các hằng đẳng thức đáng
nhớ để thực hiện.
Bài 1. Làm tính chia
a)  x 2  3 x  10  :  x  2 
b)  x 3  x 2  19 x  21 :  x  3 
c)  x 3  2  x  :  x  1

d)  x 4  3 x  1  3 x 3  :  x 2  1

e)  x 4  2 x 2  1 : 1  x 2 

f)  27 x 3  8  :  3 x  2 

g)  8 x 3  1 :  4 x 2  2 x  1

h)  x 2  3 x  xy  3 y  :  x  y 

GVBS: Nguyễn Tấn Duy (0915577163)

8

TTKT/ĐS8


TRỌNG TÂM KIẾN THỨC ĐẠI SỐ 8

Bài 2. Tính giá trị của biểu thức sau
a) A   5 x 5  5 x 4  : 5 x 2   2 x 4  8 x 2  6 x  12  :  2 x  4  tại x   2.
b) B   3 x 4  x 2  2 x  :  3 x 2  3 x  2    x 4  x 2  :  x 2  x  với x  5  0
Bài 3. Tìm x, biết
a)  x 2  4 x  12  :  2  x    x 3  125  :  x  5   15
b)  x 2  4  :  x  2    4 x 2  4 x  1 :  2 x  1  10  0
XÁC ĐỊNH HỆ SỐ CỦA ĐA THỨC ĐỂ ĐA THỨC NÀY
CHIA HẾT CHO ĐA THỨC KIA
Để giải bài toán này, ta thực hiện theo các bước:
 Thực hiện phép chia đa thức A cho đa thức B để tìm dư R
A  B.Q  R

 Khi đó A  B  R  0  x

 Tìm hệ số trong phương trình R  0 và kết luận.
 Ngồi ra cịn có thể sử dụng định lí Bé-zout (Bơ-du)
 Định lí: Dư trong phép chia đa thức f  x  cho x  a là f  a  .
 Hệ quả:

- Nếu f  x   x  a  thì f  a   0.
- Nếu f  a   0 thì f  x   x  a  .

Bài 4. a) Tìm giá trị của m để đa thức f  x   2 x 3  3 x 2  x  m chia hết cho đa thức x  2.
b) Tìm m để A  x 3  x 2  11 x  m chia hết cho đa thức B  x  2.
c) Tìm m và n để đa thức M  2 x 4  3 x 3  3 x 2  mx  n chia hết cho N  x 2  1.
XÁC ĐỊNH SỐ NGUYÊN x ĐỂ GIÁ TRỊ CỦA ĐA THỨC A(x)
CHIA HẾT CHO GIÁ TRỊ CỦA ĐA THỨC B(x)
Để giải bài toán này, ta thực hiện theo các bước:
 Thực hiện phép chia A(x) cho B(x) để tìm dư R(x).
A(x) = B(x).Q(x) + R(x)
 Xác định x   để

Rx
   R  x  B  x  .
Bx

Bài 5. Tìm các giá trị nguyên của x để:
a) A  2 x 2  3 x  3 chia hết cho B  2 x  1.
b) M  6 x 3  15 x 2  4 x  7 chia hết cho N  2 x  5.
c) P  10 x 4  13 x 3  9 x 2  x  18 chia hết cho Q  2 x  3.

GVBS: Nguyễn Tấn Duy (0915577163)

9

TTKT/ĐS8