Tài liệu Hướng dẫn học sinh khá, giỏi tìm hiểu về bất đẳng thức Côsi_2

Tai lieu, luan van1 of 102.

PHẦN I – ĐẶT VẤN ĐỀ
Tốn học có vị trí đặc biệt trong việc nâng cao và phát triển dân trí. Tốn
học khơng chỉ cung cấp cho học sinh (người học Toán) những kỹ năng tính tốn
cần thiết mà cịn là điều kiện chủ yếu rèn luyện khả năng tư duy lôgic, một
phương pháp luận khoa học.
Trong dạy học Tốn thì việc tìm ra những phương pháp dạy học và giải
bài tập Tốn địi hỏi người giáo viên phải chọn lọc, hệ thống bài tập, sử dụng
đúng phương pháp dạy học để góp phần hình thành và phát triển tư duy của học
sinh. Đồng thời qua việc học Toán học sinh cần được bồi dưỡng, rèn luyện về
phẩm chất đạo đức, các thao tác tư duy để giải các bài tập Tốn trong đó có các
bài toán về bất đẳng thức cũng là một trong những bài toán hay giúp học sinh
phát huy cao độ tính tư duy, trí tuệ cho học sinh.
Bài tốn bất đẳng thức là bài tốn khó vì phạm vi kiến thức rộng, đặc
biệt là với học sinh THCS. Là giáo viên dạy ở THCS tơi thấy khi dạy tốn bất
đẳng thức đó là: Bất đẳng thức Cơsi là một bất đẳng thức có ứng dụng rộng rãi
trong việc chứng minh bài tồn bất đẳng thức và cịn ứng dụng trong giải các
dạng tốn khác, tuy nhiên học sinh có hiểu biết về bất đẳng thức này cũng như
những ứng dụng của nó rất hạn chế. Trong các kì thi học sinh giỏi học sinh
thường mất điểm đối với các bài tốn liên quan đến bất đẳng thức.
Vì vậy: Để giải góp phần quyết vấn đề này, mặt khác nâng cao năng lực
giải toán và bồi dưỡng khả năng tư duy sáng tạo của học sinh, chúng tôi đã chọn
đề tài:" Hƣớng dẫn học sinh khá, giỏi tìm hiểu về bất đẳng thức CÔSI"
nhằm trang bị cho các em những kiến thức cơ bản về kỹ thuật sử dụng và các
ứng dụng của bất đẳng thức C, đặc biệt là với các học sinh khá giỏi. Từ đó khi
các em tiếp xúc với một bài tốn, các em có thể chủ động được cách giải ,chủ
động tư duy tìm hướng giải quyết cho bài toán, như vậy hiệu quả sẽ cao hơn.
Qua những bài toán về về bất đẳng thức mà học sinh đã giải được, tôi
định hướng cho các em tư duy, tập trung nghiên cứu thêm về lời giải, về kết quả
bài tốn đó. Bằng các hình thức như:

- Kiểm tra cách làm. Xem xét lại các lập luận, xem lại kỹ năng áp dụng Bất
đẳng thức Côsi trong bài đó.
- Nghiên cứu, tìm tịi, . . . với việc tập trung giải quyết các vấn đề như:
Liệu các bài tốn ở dạng khác có thể sử dụng Bất đẳng thức Cơsi được hay
khơng? Có thể khai thác giả thiết bài toán như thế nào cho phù hợp? Các dạng
của Bất đẳng thức Côsi được sử dụng trong mỗi bài tốn có mối liên hệ như thế
nào với nhau? Mỗi bài toán đã giải được cũng như một kiến thức tốn học sử
dụng trong bài tốn đó liệu có thể sử dụng để giải các bài toán khác hay không?

khoa luan, tieu luan1 of 102.

1


Tai lieu, luan van2 of 102.

Trong đề tài này, chúng tôi xin minh hoạ một số kỹ năng sử dụng bất đẳng
thức Cosi, thấy được các ứng dụng của bất đẳng thức Cơsi trong việc giải các
dạng tốn khác. Nhằm giúp học sinh thấy được cái hay, cái đẹp, sự thú vị trong
học tốn nói chung và trong bất đẳng thức nói riêng. Từ đó, giúp học sinh tự tin,
tích cực, sáng tạo hơn trong học toán; giúp học sinh thêm yêu thích, nâng cao
chất lượng, kết quả học tập mơn tốn.
PHẦN II- NỘI DUNG
A. THỰC TRẠNG, MỤC ĐÍCH VÀ PHƢƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
1. Thực trạng của vấn đề.
- Khi giảng dạy trên lớp gặp một số bài tập về bất đẳng thức tơi thấy học
sinh cịn rất nhiều lúng túng trong việc làm bài tập, hay định hướng cách làm,
đặc biệt là học sinh học ở mức độ trung bình.
- Giáo viên khi dạy về bất đẳng thức chỉ chữa bài tập là xong, ít khai thác,
phân tích đề tài mở rộng bài toán mới dẫn đến khi học sinh gặp bài tốn khác

một chút là khơng giải được.
- Học sinh thường ngại học tốn bất đẳng thức vì kiến thức không liền
mạch, phương pháp giải hạn chế, các bài tốn bất đẳng thức thường khó, phải áp
dụng các kiến thức khó như: quy nạp tốn học, phản chứng,... nên học sinh hay
ngại và học sinh chưa vận dụng được toán bất đẳng thức vào để giải các bài tốn
khó như cực trị, hàm số,...
2. Mục đích nghiên cứu.
a. Đối với giáo viên:
- Nâng cao trình độ chun mơn phục vụ cho quá trình giảng dạy.
- Làm quen với công tác nghiên cứu khoa học nâng cao kiến thức.
b. Đối với học sinh:
- Giúp học sinh học tập môn tốn nói chung và việc giải bài tập về chứng minh
bất đẳng thức nói riêng. Trang bị cho học sinh một số kiến thức mới nhằm nâng
cao năng lực học mơn tốn giúp các em tiếp thu bài một cách chủ động, sáng tạo
và làm công cụ giải quyết một số bài tập có liên quan đến bất đẳng thức.
- Bồi dươngc năng lực toán cho học sinh, khắc phục một phần hạn chế trong các
kì thi học sinh khá giỏi.
- Giải đáp những thắc mắc, sửa chữa những sai lầm hay gặp khi giải toán bất
đẳng thức trong quá trình dạy học.
- Giúp học sinh nắm vững một cách có hệ thống các kỹ thuật sử dụng bất đẳng
thức Côsi và ứng dụng của bất đẳng thức trong giải các bài tập toán liên quan.

khoa luan, tieu luan2 of 102.

2


Tai lieu, luan van3 of 102.

Thông qua việc giải các bài toán bất đẳng thức giúp học sinh thấy rõ mục

đích của việc học tốn và học tốt hơn tốn bất đẳng thức.
3. Phƣơng pháp nghiên cứu
- Nghiên cứu lý thuyết thông qua SGK, tài liệu tham khảo của học sinh tại
trường. Nghiên cứu qua mạng Internet.
- Nghiên cứu qua việc rút kinh nghiệm, học hỏi thầy cô giáo, đồng nghiệp.
- Sử dụng phương pháp phân tích tổng hợp.
4. Kết quả cần đạt.
- Trong đề tài này đưa ra một số kiến thức cơ bản về bất đẳng thức Côsi với
trình độ nhận thức của học sinh THCS.
- Trang bị cho học sinh một số kỹ năng sử dụng bất đẳng thức Côsi trong chứng
minh bất đẳng thức.
- Rút ra một số nhận xét và chú ý khi sử dụng các kỹ năng đó.
-Thấy được vai trị to lớn của bất đẳng thức Cơsi trong giải các bài tập tốn
khác. Vận dụng giải tốn bất đẳng thức Cơsi vào giải tốn cực trị, giải một số
phương trình dạng dặc biệt.
B. GIỚI THIỆU VỀ BẤT ĐẲNG THỨC COSI
1. Giới thiệu bất đẳng thức Côsi (CAUCHY).
Nếu a1, a2, ….., an là các số thực khơng âm thì
a1

a2

...
n

a

n

n

a 1 a 2 ...a

n

Bất đẳng thức này có tên gọi chính xác là bất đẳng thức giữa trung bình
cộng và trung bình nhân. Ở nhiều nước trên thế giới, người ta gọi bất đẳng thức
này theo kiểu viết tắt là bất đẳng thức AM – GM (AM là viết tắt của arithmetic
mean và GM là viết tắt của geometric mean)
Ở nước ta, bất đẳng thức này được gọi theo tên của nhà Toán học người
Pháp Augustin – Louis Cauchy (1789 – 1857), tức là bất đẳng thức
COSI(CAUCHY). Thật ra đây là một cách gọi tên khơng chính xác vì Cauchy
khơng phải là nguời đề xuất ra bất đẳng thức này mà chỉ là người đưa ra một
phép chứng minh đặc sắc cho nó. Tuy nhiên, để cho phù hợp với chương trình
sách giáo khoa, trong tài liệu này chúng ta cũng sẽ gọi nó là Bất đẳng thức Côsi.
Đây là một bất đẳng thức cổ điển nổi tiếng và quen thuộc đối với phần
lớn học sinh nước ta. Nó ứng dụng rất nhiều trong các bài Toán về bất đẳng thức
và cực trị. Trong phạm vi chương trình Tốn THCS, chúng ta quan tâm đến các
trường hợp riêng của bất đẳng thức Côsi.
khoa luan, tieu luan3 of 102.

3


Tai lieu, luan van4 of 102.

2. Các quy tắc cần nhớ khi sử dụng bất đẳng thức Côsi
Quy tắc song hành: Đa số các bất đẳng thức đều có tính đối xứng nên chúng ta
có thể sử dụng nhiều bất đẳng thức trong chứng minh một bài toán để định
hướng cách giải nhanh hơn.

Quy tắc dấu bằng: Dấu “=” trong bất đẳng thức có vai trị rất quan trọng. Nó
giúp ta kiểm tra tính đúng đắn của chứng minh, định hướng cho ta cách giải.
Chính vì vậy khi giải các bài toán chứng minh bất đẳng thức hoặc các bài tốn
cực trị ta cần rèn luyện cho mình thói quen tìm điều kiện của dấu bằng mặc dù
một số bài khơng u cầu trình bày phần này.
Quy tắc về tính đồng thời của dấu bằng: Chúng ta thường mắc sai lầm về
tính xảy ra đồng thời của dấu “=” khi áp dụng liên tiếp hoặc song hành nhiều bất
đẳng thức. Khi áp dụng liên tiếp hoặc song hành nhiều bất đẳng thức thì các dấu
“=” phải cùng được thỏa mãn với cùng một điều kiện của biến.
Quy tắc biên: Đối với các bài tốn bất đẳng thức có điều kiện ràng buộc thì dấu
đẳng thức thường đạt được tại vị trí biên.
Quy tắc đối xứng: Các bất đẳng thức có tính đối xứng thì vai trị của các biến
trong các bất đẳng thức là như nhau do đó dấu “=” thường xảy ra tại vị trí các
biến đó bằng nhau. Nếu bài tốn có điều kiện đối xứng thì chúng ta có thể chỉ ra
dấu “=” xảy ra tại khi các biến đó bằng nhau và bằng một giá trụ cụ thể.
3. Một số dạng bất đẳng thức Côsi
a. Dạng cụ thể ( 2 số, 3 số )
0 khi đó

x, y

x

x, y, z

y

0 khi đó

x

xy

y

y
x

2

xy

x

2

y

1

1

x

y

y

z

x

xy

2

x

3

xyz

3

2

x

z

y

3

3

xyz

3

z

xyz

3
2

y

4xy
4

x

xy

x

0

y

1

1

1

x

y

z

y

z

3

27 xyz

9
x

y

xyz

0

z

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

x=y

x=y=z

khoa luan, tieu luan4 of 102.

4


Tai lieu, luan van5 of 102.

b. Bất đẳng thức mở rộng cho n số không âm
Cho x1, x2, x3 ,...,xn khơng âm ta có:
x1

Dạng 1:

x2

...

xn

n

x 1 x 2 . . .x

n

x 1 x 2 ... x n

n

Dạng 2:

x1

x2

x1

Dạng 3:

...

x2

xn

...

n

xn

n

n

x 1 x 2 . . .x n

n

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: x 1

x2

...

xn

C. Các kỹ thuật sử dụng của bất đẳng thức Côsi
1. Đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân
Chúng ta biết rằng bất đẳng thức Côsi là bất đẳng thức liên hệ giữa trung
bình cộng và trung bình nhân.Vì vậy trong chứng minh bất đẳng thức chúng ta
thường sử dụng biến đổi từ tổng sang tích, việc biến đổi này chính là đánh giá từ
trung bình cộng sang trung bình nhân. Dưới đây là một số ví dụ thể hiện sự đánh
giá đó.
Ví Dụ 1.1: Cho các số thực a, b, c bất kì. Chứng minh rằng:
a

2

b

2

b

2

c

2

c

2

a

2

2

2

8a b c

2

Phân tích : Trong bất đẳng thức trên thì vế trái là tích của các tổng các số không
âm, ta sử dụng đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân cho mỗi tổng
và nhân các kết quả theo vế với vế.
Lời giải
Sử dụng bất đẳng thức Côsi dạng x2 + y2
a

2

b

2

2 ab

0

b

2

c

2

2 bc

0

c

2

a

2

2 ca

0

2

2

2

x y

= 2|xy| ta có:

Nhân vế theo vế của ba bất đẳng thức trên ta được:
a

2

b

2

b

2

c

2

c

2

a

2

2

2

2

8 |a b c |

2

2

8a b c

2

Bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a = b = c.
Chú ý: - Chỉ được nhân các vế của bất đẳng thức cùng chiều ( kết quả được bất
đẳng thức cùng chiều) khi và chỉ khi các vế cùng không âm.
khoa luan, tieu luan5 of 102.

5


Tai lieu, luan van6 of 102.

- Để ý rằng ta dùng cách viết: x2 + y2
không biết âm hay dương.

2

2

x y

2

= 2|xy| vì x, y

- Nói chung ta ít gặp bài tốn sử dụng ngay bất đẳng thức Cơsi như bài
tốn nói trên mà phải qua một vài phép biến đổi đến tình huống thích hợp rồi
mới sử dụng bất đẳng thức Cơsi.
1

Ví dụ 2.1: Cho các số dương a, b thỏa mãn
Chứng minh rằng:

a

1

2

a

b

b

2

2

2

.

.

Phân tích: Bất đẳng thức cần chứng minh nhìn đơn giản nhưng các biến có sự
ràng buộc, nên trước khi chứng minh ta cần phân tích giả thiết để tìm ra sự ràng
buộc đơn giản hơn giữa các biến và trong phép phân tích này ta vẫn sử dụng sự
đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân.
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Cơsi dạng x2 + y2
1

2

a

1

2

2

2

b

2

ab

2

x y

2

= 2xy cho giả thiết, ta có

1

ab

Tới đây, sử dụng bất đẳng thức Côsi một lần nữa, ta được
a

b

2

ab

2 .1

2

Bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b =1
Ví Dụ 3.1: Cho các số thực dương không âm a, b. Chứng minh rằng:
8

a

b

6 4 ab (a

b)

2

Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Côsi dạng x2 + y2
8

a

b

2

a

b

2

2

x y

2

= 2xy

4

4

a

b

2

ab
4

2

2 a

6 4 ab (a

b
b)

ab

4

2

2 . 2 .a b . a

2

b

2

Bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b.
Ta tiếp tục vận dụng đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân cho các
ví dụ sau đây.
khoa luan, tieu luan6 of 102.

6


Tai lieu, luan van7 of 102.

Ví dụ 4.1: Cho a, b, c là các số thực không âm. Chứng minh rằng :
1

3

a

1

b

1

c

3

1

abc

Lời giải
x

Biến đổi vế trái và áp dụng bất đẳng thức Cơsi dạng

y

z

3

cho ba số

xyz

3

khơng âm. Ta có:
1

a

1

b

1

c

1

ab

bc

ca

a

b

c

abc

abc

1

3

1
1

3

a

3

2

b

1

2

3 a b c

1

2

c

3

3

abc
3

1

3

abc

abc

Bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xảy ra

a = b= c

Ví dụ 5.1: Cho các số thực dương a , b ,c , d Chứng minh rằng
2

a

b

a

b

c

a

b

c

d
64

abcd

Lời giải
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
2

a

b

a

b

c

a

b

c

d

64abcd

Sử dụng liên tiếp bất đẳng thức Cơsi dạng

2

x

y

4xy

, ta có

2

a

b

c

a

b

c

a

b

d

4d a

b

c

0

2

4c a

b

0

2

4ab

0

Nhân ba bất đẳng thức trên lại theo vế,ta suy ra
2

a

b

2

a

b

2

c

a

b

c

d

64abcd a

b

a

b

c .

Từ đó bằng cách đơn giản cả hai vế của (1) cho a b a b
được ngay kết quả cần chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
d

a

b

c

a

b

a

b

1

c

, ta thu

c
d

2c

4b

4a

0

khoa luan, tieu luan7 of 102.

7


Tai lieu, luan van8 of 102.

Nhận xét: Có thể nói đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân là kỹ
thuật sử dụng bất đẳng thức Côsi cơ bản, nhưng đòi hỏi mỗi học sinh khá, giỏi
đều phải nắm được trong chứng minh bất đẳng thức. Tuy nhiên không phải bất
đẳng thức nào cũng chứng minh được bằng cách đánh giá này. Vì vậy ta tiếp tục
hướng dẫn học sinh tìm hiểu tiếp kỹ thuật tiếp theo.
2. Kỹ thuật đánh giá từ trung bình nhân sang trung bình cộng
Nếu như đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân là đánh giá
từ tổng sang tích, hiểu nơm na là thay dấu a + b bằng dấu a.b thì ngược lại đánh

giá từ trung bình nhân sang trung bình cộng là thay dấu a.b bằng dấu a + b. Và
cũng cần phải chú ý làm sao khi biến tích thành tổng, thì tổng cũng phải triệt
tiêu hết biến, chỉ cịn lại hằng số. Dưới đây là một số ví dụ sử dụng kỹ thuật
đánh giá từ trung bình nhân sang trung bình cộng.
Ví dụ 1.2: Cho a, b, c là các số thực dương.Chứng minh rằng:
ab

cd

a

c

b

d

Phân tích: - Nếu giữ ngun vế trái thì khi biến tích thành tổng ta khơng thể
triệt tiêu ẩn số nên ta có phép biến đổi tương đương bất đẳng thức cần chứng
minh, sau đó biến tích thành tổng ta sẽ được các phân thức có cùng mẫu số.
- Dấu “ ” gợi ý cho ta nếu sử dụng bất đẳng thức Cơsi thì ta phải
đánh giá từ trung bình nhân sang trung bình cộng.
Lời giải
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
ab
a

c

cd

b

d

Áp dụng bất đẳng thức Cơsi dạng

a

c

x

y

xy

1
b

d

ta có:

2

ab
a

c

cd
b

d

a

c

1
b

d

2

a
a

b
c

b

1
c

2

1

a

c

b

d

1

2

a

c

b

d

2

Bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xảy ra

c a

c

c b

c

a
1

d
c

1

b

d

1

a = b và c = d.

Ví dụ 2.2: Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện
Chứng minh rằng:

c

a

c,

b

c

ab

khoa luan, tieu luan8 of 102.

8


Tai lieu, luan van9 of 102.

Phân tích: Bất đẳng thức cần chứng minh có hình thức khá giống với ví dụ 1.2.
Vì vậy một cách tự nhiên ta có thể biến đổi tương đương bất đẳng thức đã cho
và đánh giá theo chiều từ trung bình nhân sang trung bình cộng.
Lời giải
Ta có cần chứng minh tương đương với:
c a

c b

c

c
1

ab

ab

Áp dụng bất đẳng thức Côsi dạng

x

xy

y

cho các số dương ta được:

2

c a

c b

c

ab

c

ab

1

c

2

b

a

c
a

1

c

2

a

b

c
b

1

a

b

2

a

b

1

Bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a = b = 2c.
Ví dụ 3.2: Cho các số thực khơng âm a, b, c. Chứng minh rằng:
3

1

abc

3

1

a

1

b

1

c

Lời giải
Ta biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh như sau:
3

3

1 .1 .1

abc

3

1

a

1

b

1

1 .1 .1

c

abc

1

3

3

1

a

1

b

1

c

1

a

1

b

1

c

1

c

Theo bất đẳng thức Cơsi ta có:
1 .1 .1

abc
3

3

1

a

1

1

b

1

1

1

c

1

1

1

a

1

b

a

3 1

a

1

b

1

c

3 1

1

a

1

b

1

c

1

1

3 1

a

1

b

1

c

3

.3

b
a

1

c
b

1

c

1

Bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a = b = c.
Ví dụ 4.2: Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện
Chứng minh rằng:

abc a

b

b

c

c

a

a

b

c

1

8
729

khoa luan, tieu luan9 of 102.

9


Tai lieu, luan van10 of 102.

Phân tích: Ta nhận thấy biểu thức có tính chất đối xứng do đó dấu đẳng thức
của bất đẳng thức xảy ra khi

a

b

c

1

. Nhưng thực tế ta chỉ cần quan tâm

3

là sau khi sử dụng bất đẳng thức Côsi ta cần suy ra được điều kiện xảy ra dấu
đẳng thức là a = b = c.
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Cơsi dạng

x

xyz

y

z

3

ta có:

3
3

abc a

b

b

c

c

a

a

b

c

3

a

b

b

3

c

c

a

3

3

3

1

2

8

3

3

729

Bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi
a

b

c

1
3

Nhận xét: Có thể nói hai kỹ thuật trên là hai kỹ thuật đánh giá ngược chiều
nhau, tùy theo điều kiện bài toán mà ta chọn cách đánh giá phù hợp. Trong q
trình dạy học tốn, giáo viên cần phải giới thiệu để học sinh nắm được hai kỹ
thuật cơ bản này.
3. Kỹ thuật tách, ghép cặp nghịch đảo
Chúng ta biết rằng tích của hai số nghịch đảo nhau bằng 1. Từ điều này
chúng ta dẫn học sinh đi tới ý tưởng áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số
dương là nghịch đảo của nhau nhằm mục đích triệt tiêu các biến. Tuy nhiên
trong q trình vận dụng ta người giáo viên cần rèn luyện cho học sinh kỹ năng
tách một hạng tử thành nhiều hạng tử sao cho có thể ghép được các cặp là
nghịch đảo của nhau. Dưới dây là một số ví dụ sử dụng kỹ thuật tách và ghép
cặp nghịch đảo.

Ví dụ 1.3: Cho các số thực dương a, b. Chứng minh rằng:

a

b

b

a

2

Phân tich: Bất đẳng thức cần chứng minh là một dạng của bất đẳng thức Côsi,
cách chứng minh rất đơn giản khi sử dụng kỹ năng ghép nghịch đảo.
Lời giải
Áp dụng bất dẳng thức Cơsi cho hai số ta có:

a

b

b

a

2

a b

2

b a

Bài toán được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi

a

b

khoa luan, tieu luan10 of 102.

10


Tai lieu, luan van11 of 102.

Ví dụ 2.3: Cho số thực a. Chứng minh rằng:

a

2

a

2
2

2

1

Phân tích: Ở bất đẳng thức cần chứng minh trên ta chưa thấy cặp nghịch đảo vì
vậy ta cần biến đổi vế trái để tạo ra cặp nghịch đảo. Để ý rằng
a

2

a

a

2
2

2

1

1

2

a

1

a

2

1

1

1

a

2

1

Lời giải
Biến đổi vế trái và áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số ta có:
a

2

a

a

2
2

2

1

1

a

1

a

2

2

1

1

1

2

2

a

a

2

1

1

1

a

2

2

1

Bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi
a

2

1

1
a

2

a

2

1

1

a

0

1

Ví dụ 3.3: Cho các số thực dương a, b thỏa mãn điều kiện a
Chứng minh rằng:

1

a

b.

3

b a

b

Phân tích: Để chứng minh được bất đẳng thức trên ta cần ghép cặp nghịch đảo
cho ba số dương, để ý rằng muốn triệt tiêu được hết biến ta cần ghép nghịch đảo
cho c số dương sau

b, a

1

b ,

b a

.
b

Lời giải
Ta có nhận xét : b + a – b = a không phụ thuộc vào biến b do đó hạng tử
đầu a sẽ được phân tích như sau :
1

a
b a

b

a

1

b

b

b a

3

3

b. a

1

b .

b

b a

3
b

Bất đẳng thức được chứng minh.
Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a = 2 và b = 1
Ví dụ 4.3: Cho các số thực dương a, b,c. Chứng minh rằng:
c
a

a
b

b

b
c

c

3

a

2

Phân tích: Để chứng minh bất đẳng thức trên, ta cần biến đổi tương đương để
sử dụng kỹ thuật ghép cặp nghịch đảo cho ba số dương.
Lời giải
khoa luan, tieu luan11 of 102.

11


Tai lieu, luan van12 of 102.

Ta biến đổi tương đương bất đẳng thức như sau:
c

1
a
a

b

b

a

b

b

b

a
c

1
b

b

c

a

a
b

c

1

c

3

c

c

b

a

a

c

b

b

b

1

b

c

a
a

a

1

2
c

c

2

9

a

2

1
c

9

3

9
a

2

1

c
a

1
b

b

1
c

c

9
a

Bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a = b = c.
Tương tự như Ví dụ 4.3 ta tiếp tục áp dụng kỹ thuật ghép nghịch đảo cho
ví dụ sau.
Ví dụ 5.3: Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng:
c
a

2

a
b

2

b

b

c

2

c

a

b

a

c

2

Lời giải
Ta biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh như sau:
c

c
a

2

b

a

b

b

b

b

b
c

c

3 a

2

a

c

c

c

c

3 a
a

3 a

b

a

b

c

2
b

b 1

a

a
b

c

a

c
a

a

c

b

c

b

b

a 1
b

c

2

b

c

c 1

a

a

a

b

c

2

b

c

2

3

a

2

Bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a = b = c.
Nhận xét: Có thể kỹ thuật ghép nghịch là kỹ thuật khơng có gì mới lạ nhưng nó
lại đem đến một số hiệu quả nhất định trong chứng minh bất đẳng thức. Vi vậy
học sinh cần phải nắm được kỹ thuật này như một kỹ năng cơ bản trong gải các
bài tập cề bất đẳng thức.
4. Kỹ thuật chọn điểm rơi
Trong bất đẳng thức, kỷ thuật chọn điểm rơi là một kỹ thuật tối quan
trọng. Ý tưởng chính của kỹ thuật này là việc xác định được dấu đẳng thức xảy
ra khi nào để có thể sử dụng những đánh giá hợp lý.Trong quá trình chứng minh
khoa luan, tieu luan12 of 102.

12


Tai lieu, luan van13 of 102.

các bất đẳng thức học sinh thường gặp sai lầm là áp dụng ngay bất đẳng thức
Côsi mà quên mất dấu đẳng thức xảy ra tại đâu. Vì vậy khi hướng dẫn học sinh

tìm tịi chứng minh các bài toán bất đẳng thức , người giáo viên cần chỉ cho học
sinh thấy rằng trong bất kỳ đánh giá nào ( trong chuỗi đánh giá của mình )
khơng bảo tồn được dấu bằng thì bài tốn chứng minh sẽ bị phủ nhận hoàn
toàn. Hãy xét một số ví dụ dưới đây ta sẽ hiểu hơn vấn đề dang được đề cập
Ví dụ 1.4: Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn điền kiện
Chứng minh rằng:

a

b

b

c

c

a

b

c

.

1

6 .

a

Lời giải
Khi giải bài toán này học sinh thường gặp sai lầm như sau:
a
a

b

a

b

1

b .1
2

b
b

c

b

c

1

c .1
2

c
c

a

c

a

1

a .1
2

2 a
a

b

b

c

c

b

c

3

5

a
2

6

.

2

Cách chứng minh trên hoàn toàn sai.
Nguyên nhân sai lầm: Dấu “ = ” xảy ra
= 2. Điều này trái với giả thiết.

a+b=b+c=c+a=1

a+b+c

Phân tích: Do vai trị của a, b, c trong các biểu thức là như nhau do đó điểm rơi
của bất đẳng thức sẽ là

a

b

c

1

từ đó ta có a + b = b + c = c + a =

3

vậy để sử dụng dược bất đẳng thức Côsi ta cần nhân them hằng số là
giải đúng là : Áp dụng bất đẳng thức Côsi dạng

xy

x

y

2
3

2
3

, như

. Vậy lời

cho hai số khơng

2

âm ta có:

khoa luan, tieu luan13 of 102.

13


Tai lieu, luan van14 of 102.

a

b

3

b

c

2

3

2

3

2

3

2

3

3

2

a

.

b .

b

.

c .

2

c

3

a

c

.

a .

2

a

b

b

c

c

2

3

3

2

2

b

3

.

2
b

2

c

3

.

2
c

2

a

3

.

2

2 a

3

a

a

b

c

3.

2
3

3

.

2

2

.2

6

2

Bất đẳng thức được chứng minh.
Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a = b = c =

1
3

Ví dụ 2.4: Cho các số thực dương thỏa mãn điều kiện
rằng:
1
a

2

1
b

2

4ab

a

. Chứng minh

1

b

7

ab

Phân tích: Do biểu thức vế trái có tính đối xứng với a, b nên ta dự đoán dấu

đẳng thức xảy ra tại

a

b

1
2

. Từ dự đốn đó ta có thể áp dụng bất đẳng thức

Côsi để chứng minh bất đẳng thức trên như sau
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Cơsi dạng

x

xy

y

cho hai số khơng âm ta có:

2
1
a

2

1

b

2

2ab

4ab

1

1

4ab

4ab

4
(a

b)

2

2

4ab.

1

1

2

2ab

Bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xảy ra

a

4

a

Ví dụ 3.4: Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện

7

b
2

b

1
2

1

1

1

x

y

z

4

.

khoa luan, tieu luan14 of 102.

14


Tai lieu, luan van15 of 102.
1

Chứng minh rằng :

2x

1

y

z

1

2y

x

z

x

1.

2z

y

Lời giải
Từ hai lời giải trên với dự đoán dấu đẳng thức xảy ra tại
nên ta có thể tách

2x

x

x

x

y

1

1

a

b

và áp dụng bất đẳng thức Cơsi dạng

3

z

4

,

4
a

b

cho hai số dương. Ta có:
1
2x

1

y

(x

z

y)

1
(x

z)

1

4

1

x

y

x

z

1

2

1

1

16

x

y

z

tương tự ta có:
1
2x

y

1
z

1

2y

x

z

x

2z

y

1

2

1

1

1

2

1

1

1

2

16

x

y

z

x

y

z

x

y

z

1

1

1

x

y

z

1

4

16

1

Bất đẳng thức được chứng minh.
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

1

1

1

x

y

z

4

.

Ví Dụ 4.4. Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện
2

x

Chứng minh rằng:

1

y

Vì vậy khi áp dụng Cosi cho

1

z

1

y

Phân tích: Ta dự đốn dấu “=” xảy ra khi
x

2

2

1

và

2

3

z

1

x

2

x

y

z

1.

y

thì

y

1.

x yz

x

2

1

1

1

y

2

2

y

4

Lời giải
x

Áp dụng bất đẳng thức COSI dạng

y

xy

ta có:

2
x
1

1

y
4

y

x
1

2

2

y
y

1

x;

2

z
z

y

1

1

2

2

1

x

4

z

1
4

z

(x

y

z

y;

z)

1

3

4

2

1
4

x

(x

x

y

z

z)

khoa luan, tieu luan15 of 102.

15


Tai lieu, luan van16 of 102.

x
1

2

y

2

1

y

z
z

2

1

(x

1

z)

y

(x

4

x

z)

y

3

3

4

4

(x

z)

y

3

3

4

2

Bất đẳng thức được chứng minh.
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

x

y

1.

z

Nhận xét: Việc chọn điểm rơi cho bài toán đã giải quyết một cách đúng đắn về
mặt toán học. Nếu chúng áp dụng việc chọn điểm rơi kết hợp với các kỹ năng
đánh giá khi sử dụng bất đăng thức Cơsi hì có thể giải được nhiều bài tốn
nhanh gọn hơn, đẹp hơn.
5. Kỹ thuật ghép đối xứng
Trong nhiều bài toán mà biểu thức ở hai vế tương đối phức tạp, việc
chứng minh trực tiếp trở nên khó khăn thì ta có thể sử dụng kỹ thuật “ Ghép đối
xứng ” để bài toán trở nên đơn giản.
Ở các bài toán bất đẳng thức, thông thường chúng ta hay gặp phải hai dạng
toán sau:
- Dạng 1:Chứng minh X + Y + Z

A + B + C.

Ý tưởng: Nếu ta chứng minh được X + Y
Y+Z

2A. Sau đó, tương tự hóa để chỉ ra

2C (Nhờ tính chất đối xứng của bài tốn)

2B và Z + X

Sau đó cộng ba bất đẳng thức trên lại theo vế rồi rút gọn cho 2, ta có ngay
điều phải chứng minh.
- Dạng 2.Chứng minh XYZ

ABC với X, Y, Z

0

Ý tưởng: Nếu ta chứng minh được XY A2. Sau đó tương tự hóa để chỉ ra
YZ B2 và ZX C2 (nhờ tính chất đối xứng của bài tốn). Sau đó nhân ba bất
đẳng thức trên vế theo vế rồi lấy căn bậc hai , ta có
XYZ

2

2

2

A B C = ABC

ABC

.

Ví dụ 1.5: Chứng minh rằng với mọi a, b, c dương ta có:
abc

Phân tích: Nếu b

c

b

a

c

a

c

nhiên đúng. Ta xét trường hợp

a
b

c

a

b

a

b

a

b

c

c

a

c

a

b

c

0
b

Để ý rằng bất đẳng thức này có dạng XYZ
2
a
thuật ghép đối xứng, ta chỉ cần chứng minh: b

a

thì bất đẳng thức hiển
b

c

0

.

ABC, vì vậy sử dụng kỹ
b

c

b

c

a

Lời giải
2

Sử dụng bất đẳng thức Côsi dạng

x

y
xy

, suy ra

4

khoa luan, tieu luan16 of 102.

16


Tai lieu, luan van17 of 102.
2

a
a

b

c

b

c

b

c

b

c

a

a

b

2

4
2

b
b

c

a

c

a

c

a

c

a

b

b

c

2

4
2

c
c

a

b

a

b

a

b

a

b

c

c

a

2

4

Cộng vế với vế của ba bất đẳng thức trên ta được điều cần chứng minh.
Bài toán được giải quyết xong. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.
Ví dụ 2.5. Cho a, b, c là ba số thực dương. Chứng minh rằng:
ab

bc

ca

c

a

b

a

Phân tích: Bài tốn này có dạng X + Y + Z
X

ab

bc

,Y

c

ca

,Z

a

,A

a,B

b,C

c

b

c

A + B + C với
. Để ý rằng hai biểu thức

ab

và

c

b

bc
a

là đối xứng với b (tức vai trị của a và c như nhau). Do đó, sử dụng kỹ thuật
ghép đối xứng, ta sẽ thử chứng minh
ab

bc

c

a

2b

Lời giải
Bất đẳng thức này là hiển nhiên đúng vì theo bất đẳng thức Cơsi
ab

bc

c

a

ca

ab

b

c

Tương tự ta có:

2

ab

bc

c

a

2b

ca ab

2a;

.

b

c

bc

ab

a

c

bc ab
.

a

2c

c

Cộng vế với vế của 3 bất đẳng thức trên ta được
bc

ca

ab

a

b

c

Dấu đẳng thức xảy ra

1

1
a

1

b

c

.

a = b = c. Từ đó, bài tốn được giải quyết hồn tồn.

Ví Dụ 3.5. Cho các số thực
1

a

a , b, c, d

1
b

1

0

1
c

1

thỏa mãn điều kiện :
3

d

. Chứng minh rằng

abcd

1
81

Lời giải
khoa luan, tieu luan17 of 102.

17


Tai lieu, luan van18 of 102.

Từ giả thiết suy ra:
1
1

1

1
a

1

1

1
b

1

1

1
c

1

b

=
d

c

1

b

d

1

c

1

d

bcd

3

0

3

1

b

1

c

1

d

Chứng minh tương tự ta có:
1
1

1

1

vế

1

a

1

b

1

a

d

1

1

a

1

c

0

c

0

3

1

vế

a

của

1
1

d

abc

3

d

với

1

3

c

1

c

dca

3

1

0

3

b
1

Nhân

cda

3

1

b

bốn

bất

đẳng

c

1

d

trên

abcd

81
1

thức

1

a

1

b

ta

abcd

1

c

1

được
1
81

d

Bất đẳng thức được chứng minh hoàn toàn. Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ
1

khi a = b = c = d =

3

Với kỹ thuật ghép đối xứng, ta tiếp tục chứng minh các bất đẳng thức
dưới đây, nhưng không bằng một cách trực tiếp mà phải thông qua một bổ đề
trung gian. Để chứng minh được các bất đẳng thức như vậy đòi hỏi học sinh
phải có sự sáng tạo và vận dụng linh hoạt các kiến thức cần thiết.
Ví dụ 4.5. Một tam giác có độ dài ba cạnh là a, b, c thỏa mãn
3

a

b

3

c

b

c

3

a

c

a

b

a

3

b

3

3

c .

Chứng minh tam giác đó là tam giác đều.
Lời giải
3

Bổ đề: Với mọi x, y > 0, ta có x

3

y

x

3

y
4

Chứng minh: Do

x

3

y

3

x

y

x

2

xy

y

2

nên bất đẳng thức tương

2

đương với:

x

2

xy

y

2

x

y
4

khoa luan, tieu luan18 of 102.

18


Tai lieu, luan van19 of 102.
2

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy hai số dạng

x

y

, ta được

xy

4
2

x

2

xy

y

2

2

x

x

2

y

3xy

x

y

2

y

x

y

3
4

4

Bổ đề được chứng minh.
Để ý rằng a, b, c là tam giác thì hiển nhiên ta có:
a + b – c > 0, b + c – a > 0, c + a – b > 0
Áp dụng bổ đề, ta có:
3
3

a

b

a

3

c

b

c

b

c

b

c

a

a

3

2b
4
3

3

b

c

b

3

a

c

a

c

a

c

a

b

b

2c

3

4
3
3

c

a

c

3

b

a

b

a

b

a

b

c

c

2a

3

4

Cộng ba bất đẳng thức trên lại vế theo vế và rút gọn cả hai vế của bất đẳng

3
3
3
3
3
3
b
c a
c
a
b
a
b
c .
thức thu được cho 2, ta có: a b c
Theo giả thiết thì dấu bằng xảy ra

a

b

c

Điều này chứng tỏ tam giác đã cho là tam giác đều.
Ví dụ 5.5. Cho x, y, z > 2 và

1

1

1

x

y

z

x

2

y

1

Chứng minh rằng :

2

z

2

1

Lời giải
Đặt x = a + 2, y = b + 2, z = c + 2 với a > 0, b > 0, c > 0. Ta có:
1
c

1

1
2

a

1
2

b

a
2 a

b

2

2

a

2

2 b

c

2

2

b

2

2

1

2

b

2

c

2

2

1

,
a

1

ab

ca
2

1

b

1

Tương tự

1

a

bc
2

b

2

c

2

Nhân ba bất đẳng thức trên lại vế theo vế, ta được

khoa luan, tieu luan19 of 102.

19


Tai lieu, luan van20 of 102.

1
a

2

abc

b

2

c

2

a

2

b

abc

2

c

1

2

Bất đẳng thức được chứng minh hoàn toàn. Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ
khi a = b = c = 1 x = y = z = 3
Nhận xét: Kỹ thuật ghép đối xứng có thể giúp ta chứng minh được rất nhiều bất
đẳng thức đối xứng, nhưng với các bất đẳng thức khơng có tính đối xưng thì kỹ
thuật nay gần như vơ tác dụng. Vì vậy địi hỏi học sinh cần phải chăm chỉ rèn
luyện để có thêm các kinh nghiệm khi đánh giá một bất đẳng thức.
6. Kỹ thuật đổi biến số
Trong bất đẳng thức, có một quy luật chung, đó là “Trong một dạng cụ
thể, thì những bất đẳng thức càng nhiều biến càng khó”. Điều này cũng đồng
nghĩa với việc khẳng định “Bài toán sẽ trở nên đơn giản hơn nếu ta đưa được
một bất đẳng thức nhiều biến về dạng ít biến hơn” Kỹ thuật đổi biến chính là
một cơng cụ hữu ích để thực hiện ý tưởng này.
Ví dụ 1.6: Cho x, y là hai số thực khác 0. Chứng minh rằng:
2

4x y
x

2

y

2

x
2

2

y

2

y

2

x

2

3

2

Phân tích : Nhìn vào bất đẳng thức cần chứng minh ta thấy hai hạng tử sau ở vế
trái có vẻ như tạo ra được nghịch đảo của hạng tử thứ nhất. Vì vậy ta thử phân
tích tổng hai hạng tử đó để xem kết quả có như dự đốn hay khơng.
2

x
y

2

y
x

2

x

4

y

4

2

2x y

2

2

x y

2

2

2x y

2

2

x

2

y
2

x y

2

2

2

2

Với kết quả như vậy, giáo viên có thể định hướng học sinh sử dụng cách
đặt ẩn phụ để đưa bất đẳng thức cần chứng minh về bất đẳng thức đơn giản hơn.
Lời giải
Để ý rằng bất đẳng thức cần chứng minh có thể viết lại thành
2

4x y

x

2

y

2

2

x
2

2

y
2

x y

2

2

5

2

Đặt

.

x
t

2

y
2

x y

2

2
2

4x y

2

x

2

y

2

2

4
2

t

Ta được bài toán về dạng một biếu thức đơn giản là:
t

t
4

5

t

2

5t

4

t

1

t

0

t

Theo bất đẳng thức Côsi, ta dễ thấy t

4
0

t

4. Suy ra t – 1 > 0, t – 4

0

khoa luan, tieu luan20 of 102.

20


Tai lieu, luan van21 of 102.

t

Từ đó ta được

1

t

4

, bài tốn được giải quyết hồn tồn.

0
t

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Ví dụ 2.6: Cho x, y, z > 2 và
x

2

x

y

2

1

1

1

x

y

z

2

y

x

Chứng minh rằng :

1

2

y

z

2

1

Lời giải
Đặt x = a + 2, y = b + 2, z = c + 2 với a > 0, b > 0, c > 0. Bài toán quy về
chứng minh abc 1 với a, b, c > 0 thỏa mãn
1

1

a

2

Đến đây ta đặt tiếp

1

b

2

c

a

m
a

1

Ta có:

a

m

Tương tự:

2

2n
p

b

,n
b

1

a

b

a

2

2

,

a

1

b
2

b

2

c

2

1

a

a

m

2

c

,p

2

c
c

1
2

m

n

p

1

2

n

1

p

2m

a

m

n

p

2p

c

m

m

n

Do đó bất đẳng thức trở thành
2m
n

2n
p

p

m

2p
m

1

m

n

n

p

p

m

8m np

n

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có
m

n

n

p

p

m

m n .2

n p .2

pm

8m np

Bài toán được giải quyết xong. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
m

n

p

a

b

c

1

x

y

z

3

Ví dụ 3.6: Cho a, b, c, d là các số thực dương thỏa mãn ab = cd = 1. Chứng
a
b c d
4
2 a
b c d
minh rằng:
Lời giải
Đặt x = a + b, y = c + d, thì bất đẳng thức bốn biến cần chứng minh
tương đương đã được quy về dạng hai biến đơn giản hơn là:
xy

4

2 x

y

x y

2

2 2

y

0

y

2

x

2

0

Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Cauchy kết hợp với giả thiết ta có:
khoa luan, tieu luan21 of 102.

21

Tai lieu, luan van22 of 102.

a

Suy ra x – 2

b

2

ab

0 và y – 2

2,c

d

2

cd

0. Từ đó ta có

2

y

2

x

2

Bài tốn được chứng minh xong. Dấu bằng xảy ra

0

a

b

c

d

1

Ví dụ 4.6: Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn abc = 1. Chứng minh
1

1

2a

1

1

2b

1

2c

1
1

Phân tích: Từ giả thiết abc = 1 gợi cho học sinh đến cách đổi biến
x

a

y

, b

y

,

z

c

z

với x, y, z > 0.

x

Lời giải
Đặt

x

a

y

,b

y

z

1
2

x

z

,c

1
1

2

y

với x, y, z > 0. Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành

x
1

y

1

z

2

z

y

1
2x

1

z
y

2y

x
z

1

2z

x

x

Áp dụng bất đẳng thức Cơsi ta có
y 2z

y
2x

y

2x

y

y

y 2z

2z

y

y 2z

y

x

z

2

y

2x

y

2z

2

y

y

4

z 2x

z

Tương tự :
2x

z
2

y

x

y

x

,
2z

z

x 2y

x

x

z

2

x

y

Cộng ba bất đẳng thức này lại vế theo vế, ta được:
y
2x

z
y

2y

y 2z

x
z

2z

y

z 2x

z

x 2y

x

2

x

x

2 xy

yz

y

z

zx

x

2

y

2

z

2

1

2

x

y

Chứng minh hoàn tất. Đẳng thức xảy ra

z

x

y

z

a

b

c

1

Ví dụ 5.6: Cho các số dương a, b, c. Chứng minh rằng:
c
a

a

b

b

b
c

c

3

a

2

khoa luan, tieu luan22 of 102.

22


Tai lieu, luan van23 of 102.

Phân tích: Bất đẳng thức này đã được chứng minh ở ví dụ 4.4, ở đây ta có thể
sử dụng cách đổi biến để chứng minh lại bất đẳng thức này.
Lời giải
Đặt :

b

c

x

0

c

a

y

0

a

b

z

0

y

a

z

x

z

; b

x

2

y

; c

x

y

2

z

.

2

Khi đó bất đẳng thức đã cho tương đương với bất đẳng thức sau:
y

z

x

z

x

2x

y

x

y

2y

z

2z

y

x

z

x

y

z

x

y

x

z

z

y

6

Bất đẳng thức trên hiển nhiên đúng, Thật vậy, áp dụng bất đẳng thức Cơsi ta có :
VT

y x

2

2

.

x y

z x
.

2

x z

y z

2

.

2

2

6

z y

Bất đẳng thức được chứng minh. Dấu “ = ” xảy ra

x=y=z

a=b=c

Ví dụ 6.6: Cho a, b, c là các cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
( b + c – a )( c + a – b )( a + b – c )

abc

Lời giải

Bất đẳng thức này đã được chứng minh ở ví dụ 4.3. Trong ví dụ này ta sử
dụng kỹ thuật đổi biến để chứng minh.
Đặt

b

a

c

a

y

z

x

; b

2

0; c

z

x

a

b

y

x

; c

2

0;

y

a

b

c

z

0

.

2

Khi đó ta có bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức sau:
x

xyz

y y
2

Áp dụng BĐT Côsi, ta có :

x

y y

2

2
x

.

2

x

.

z z

.

2

z z

.

xy . yz . zx

xyz

(đpcm)

2

Nhận xét: Trong chứng minh bất đẳng thức cũng như các dạng tốn khác, kỹ
thuật đổi biến có vai trị quan trọng vì nó giúp bài tốn trở nên đơn giản hơn về
hình thức cũng như cách chứng minh, đơi khi việc đổi biến còn giúp ta tạo thêm
giả thiết mới cho bài toán. Việc trang bị cho học sinh kỹ năng đổi biến là không
thể thiếu trong dạy học về bất đẳng thức.
7. Kỹ thuật thêm bớt
Nếu ở các kỷ thuật trên ,học sinh được rèn luyện thói quen định hướng
dựa vào bề ngồi của một bài tốn .Thì từ đây ta bắt đầu gặp những lớp bất đẳng
khoa luan, tieu luan23 of 102.

23


Tai lieu, luan van24 of 102.

thức phong phú hơn – những bất đẳng thức mà lời giải cho chúng luôn địi hỏi
một tầm nhìn bao quat cũng như sự đột phá ý tưởng .

Kỹ thuật thêm bớt là một minh chứng rõ ràng nhất cho lối tư duy sử dụng
những “yếu tố ngoại cảnh” trong việc giải quyết vấn đề
Ngay từ đây chúng ta sẽ bắt đầu làm quen với kỹ thuật này với những ví
dụ mà cách đánh giá nó tương đối đa dạng.
Ví dụ 1.7: Cho 3 số thực dương a, b, c. Chứng minh bất đẳng thức sau:
a

2

2

b

b

2

c

c

a

b

c

a

Phân tích: Trước hết ta nhận thấy nếu áp dụng ngay bất đẳng thức Cơ si thì

cũng khơng ra được kết quả, kĩ thuật ghép đối xứng cũng không giải quyết được.
Bây giờ ta đánh giá dấu bằng xảy ra khi nào? Dễ nhận thấy đó là khi a = b = c.
Suy ra

a

2

, vì vậy ta thêm b vào phần tử đại diện

b

b

2

a

để có chứng minh sau:

b

Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho các số dương ta có:
a

2

b

b

2a;

b

2

c

c

2b;

c

2

a

2c

a

Cộng vế theo vế của ba bất đẳng thức trên ta được
a

2

b

b

b

2

c

c

c

2

a

2a

2b

a

2c

a

2

b

b

2

c

Ví dụ 2.7: Chứng minh rằng với

a,b,c

0

thì:

a

Phân tích: Ta cần thêm cho

2

một số

b

c

thức Côsi xảy ra được, nghĩa là

a

b

b
c

b

m

b

2

b

a

a

b

c

a

Bài toán được chứng minh xong. Dấu bằng xảy ra
a

2

c

2

a
c

c

c
c

b

2

a

b

a

c

2

và dấu bằng của bất đẳng

2

= m và a = b = c. Suy ra

4

.

c

Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho các số dương ta có:
a
b

2

b
c

c
4

b

a;
c

2

c
a

a
4

c

b;
a

2

a
b

b

c

4

khoa luan, tieu luan24 of 102.

24


Tai lieu, luan van25 of 102.

a

2

b

b
c

b

b
c

2

b

4

2

a

c

c

c

a

2

c

c

a

a
4

2

2

a

a

a

c

b

b

a

b

b

a

b

c

2

Bài toán được chứng minh xong. Dấu bằng xảy ra

a

b

c

Ví dụ 3.7: Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện
a

Chứng minh rằng:
1

3

b

b
1

c

1

a

Phân tích: Ta sẽ thêm cho
(1
b

1

c

;

1

c

4

3

c

c
1

a

1

a

abc

1

3

.

3
1

b

4

3

những hạng tử gì? chắc chắn là có

b ) (1

c)

với α là một số dương nào đó. Vấn đề α bằng bao nhiêu, ta chỉ cần

a

chú ý là dấu bằng xảy ra khi a = b = c = 1; khi đó
(1

3

b ) (1

b

1

c

1

a

1

b

3

sẽ

c)

cho ta α = 4. Vì vậy ta có chứng minh sau:

Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
a
1

3

b

1
b

1

1

c

c

b
8

3

1
1

1

a

c

3

a

1

8

1
a

3

8

.

3

8
c

3

b

b

1

1

c

b 1
.
8

4

1

3

8

c

;

c

3

a

a

4
1

1

b

8

8

c

4

Cộng theo vế các bất đẳng thức ta được:
a
1

b

3

b
1

c
a

1

b

1

c

3

c
1

3

a
b

1

c

1

c

1

a

3

1
1

3

b
c

1

a

1

a

a

c

4

3

1
1

b

b

a

b

3

3

4

4

c

2

Bài toán được chứng minh xong. Dấu bằng xảy ra

a

b

c

a

3

3

4

2

b

3

abc

c

3

3

4

4

1

Nhận xét: Từ những ví dụ trên ta đã thấy được sự hiệu quả của kỹ thuật thêm
bớt trong chứng minh bất đẳng thức. Tuy nhiên khơng phải với bất đẳng thức
nào cũng có thể làm được theo cách như trên, mà đôi khi ta cần phải thực hiện
việc biến đổi tương bất đẳng thức trước rồi mới thực hiện thêm bớt. Dưới đây là

một số ví dụ như vậy.
Ví dụ 4.7: Chứng minh rằng với mọi số thực dương tùy ý a, b, c ta ln có

khoa luan, tieu luan25 of 102.

25