SIÊU PHẨM đề TOÁN về ĐÍCH năm 2021 (đề 2)

Nhóm Pi – GROUP LUYỆN ĐỀ
THI THỬ NÂNG CAO

KỲ THI THỬ TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2021
Mơn thi: TỐN
Thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian phát đề
Mã đề thi 102

ĐỀ THAM KHẢO
Đề thi có 7 trang
NỘI DUNG ĐỀ
3

Câu 1: Số giao điểm của hàm số y = −x + 4x với trục hoành là
A. 2.
B. 3.
C. 0.

D. 1.

Câu 2: Họ nguyên hàm của hàm số f (x ) = e x + x 2 là

1 3
1
1
x +C .
.e x + x 3 + C . D. ex + 1 + C .
B. ex + 2x + C .
C.
x +1
3

3
Câu 3: Đường cong ở hình bên là đồ thị của hàm số nào
A. e x +

A. y = (x + 1)2 (1 − x ) .

B. y = (x + 1)2 (1 + x ) .

C. y = (x + 1)2(2 − x ) .

Câu 4: Số giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung y = x −
A. 0.

B. 2.

3
là
x

C. 3.

D. 1.

Câu 5: Nghiệm của phương trình 3x −1 = 243 là
A. x = 2 .
B. x = 6 .
C. x = 7 .
4

Câu 6: Cho

 f (x )dx = 20 . Giá trị
0

A. -10.

2

 f (2x )dx +
0

 f (2 − x )dx

bằng

−2

C. 20.
2

D. 30.

2

Câu 7: Số điểm cực trị của hàm số f (x ) = (x + 2) (x − 1) (x + 3) là
A. 1.
B. 3.
C. 4.
Câu 8: Cho a,b, c  0 và a,b  1 . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

C. loga b =

D. x = 8 .

2

B. 10.

A. logca a = c .

D. y = (x + 1)2(2 + x ) .

D. 2.

B. logaa b = a loga b .

1
.
logb a

( )

Câu 9: Cho dãy số un , biết un =

D. loga b − c = loga b − loga c .

1
. Chọn đáp án đúng.
n
Trang 1/7 - Mã đề thi 102

1
.
6
C. Dãy số un là dãy số giảm.

( )
D. Dãy số (un ) là dãy số không tăng không giảm.
( )
Câu 10: Cho số phức z = – 3 – 3i, tìm module của số phức ( 2 + i )( 3 + z ) .
A. u 3 =

B. Dãy số un là dãy số tăng.

A. 3 6.
B. 3 5.
C. 5 2.
D. 2 5.
Câu 11: Thứ tự nào sau đây là đúng khi nói về loại đa diện của các đa diện đều sau: bát diện đều –
mười hai mặt đều – lập phương?
A. {3,5},{5,3},{3,4}.
B. {5,3},{3,3},{4,3}.
C. {3,4},{5,3},{4,3}.
D. {3,4},{3,5},{3,3}.
Câu 12: Công thức nào sau đây là đúng khi tính thể tích của khối nón có bán kính đáy là r và
đường sinh là l ?
1
1
A.  r 2l .

B.  r 2 r 2 + l 2 .
C.  r 2l .
D.  r 2 l 2 − r 2 .
3
3
Câu 13: Một hộp đựng 11 tấm thẻ được đánh từ 1 đến 11. Chọn ngẫu nhiên 6 tấm thẻ. Gọi P là xác
suất để tổng số ghi trên 6 tấm thẻ là số chẵn. Tính P ?
131
116
1
113
A.
.
B.
.
C. .
D.
.
231
2
231
231
Câu 14: Cho hai vectơ trong khơng gian có tọa độ là a (3;2;8) và b (1;0;3). Tích có hướng và tích vơ
hướng của hai vectơ này lần lượt là
A. (4;-1;2) và 24.
B. (3;0;3) và 12.
C. (6;-1;-2) và 27.
D. (5;2;4) và 27.
Câu 15: Đồ thị hình bên là đồ thị của một trong 4 đồ thị của các hàm số ở các phương án A, B, C, D
dưới đây. Hãy chọn phương án đúng.

1
1
1
A. y = − x 4 + 5 .
B. y = x 4 + x 2 + 5 .
C. y = − x 4 − x 2 + 5 . D. y = − x 4 + 2x 2 + 7 .
4
4
4
Câu 16: Tập nghiệm của bất phương trình log 1 (2x − 1)  −2 là
3

1 
A.  ; 5  .
2 

1 
B.  ;5  .
2 

Câu 17: Tập xác định của hàm số y =
A. D = (8;9) .

B. D = (2;9) .

)

D. 5; + .

C. 1;5  .

(

1
2

2 − log5 x − 11x + 43

)

là

C. D = (−;2) .

D. D = (9; +) .

Câu 18: Kí hiệu M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y =

x2 + x + 4
trên
x +1

M
đoạn  0; 3  . Tính giá trị của tỉ số
.
m
Trang 2/7 - Mã đề thi 102

A.

4
.
3

B. 6.

C. 3.

D.

3
.
2

Câu 19: Tìm nguyên hàm F(x ) của hàm số f (x ) = cos x sin x + 1 .

1
sin x sin x + 1 + C .
3
2
C. F (x ) = (sin x + 1) sin x + 1 + C .
3

1
(sin x + 1) sin x + 1 + C .
3
1 − 2 sin x − 3 sin2 x
+C .

D. F (x ) =
2 sin x + 1

A. F (x ) =

B. F (x ) =

Câu 20: Có bao nhiêu số phức thỏa z 5 + z 3 = 0 ?
A. 5.
B. 2.
C. 3.

( )

D. 0.

Câu 21: Cho hàm số y = f (x ) có đồ thị như hình vẽ. Với m  0;1 , phương trình f (x ) − m = 1 có
bao nhiêu nghiệm?

A. 8.

B. 7.

C. 6.
1
Câu 22: Cho z = 2 − 3i , tìm modul của số phức  = + 5i − (2 − z ) .
z

D. 5.

41
B. 29.
C. 13.
D. 5.
.
13
Câu 23: Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để bất phương trình
A.

(

)

(

)

1 + log5 x 2 + 1  log5 mx 2 + 4x + m thỏa mãn với mọi x 

A. 1.

B. 6.

Câu 24: Tính tích phân I =
A.

318 + 29

.

1

.

C. 7.

D. 3.

(x − 3)8

0 (2x + 1)10dx .

B. −

318 + 29

.

C.

−318 + 29

.

D.

318 − 29

.
63.39

63.39
63.39
63.39
Câu 25: Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình vng cạnh a , mặt bên SAB nằm trong mặt
phẳng vng góc với mặt phẳng ABCD , góc SAB bằng 60o , SA = 2a . Thể tích V của khối chóp
S .ABCD là
3a 3
2 3a 3
a3
.
B. V =
.
C. V = a 3 3 .
D. V =
.
3
3
3
Câu 26: Cho hình trụ có hai đường tròn đáy là (O;R) và (O’;R’). Biết OO’ = h và AB là một đường
h
kính của đường trịn (O;R) và  O’AB đều. Tỉ số
bằng
R

A. V =

Trang 3/7 - Mã đề thi 102


3

.
C. 2 3.
D. 4 3.
2
Câu 27: Cho hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác vuông cân tại đỉnh, biết đường kính

A.

3.

B.

đáy là 2 2a . Tính thể tích của hình nón đã cho.
16 2 3
2 2 2
2 2 3
a .
a .
a .
C. V =
D. V =
3
3
3
Câu 28: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, tìm tất cả các giá trị của m để phương trình

A. V = 2 2a 3  .

B. V =

x 2 + y 2 + z 2 − 2x − 2y − 4z + m = 0 là phương trình mặt cầu
A. m  6 .
B. m  6 .
C. m  6 .
D. m  6 .
Câu 29: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vng tại A, cạnh bên SA vng góc với
đáy, I là trung điểm AC, H là hình chiếu của I lên SC. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. (SBC ) ⊥ (SAB) .
B. (BIH ) ⊥ (SBC ) .
C. (SAC ) ⊥ (SAB) .
D. (SAC ) ⊥ (SBC ) .
Câu 30: Trong không gian Oxyz, khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P) : x + 2y + 2z − 1 = 0 và
(Q) : 2x + 4y + 4z + 6 = 0 .
A.

8
.
3

B.

()

7
.
3

C. 3.

D.

4
.
3

Câu 31: Cho hàm số f x = ax 3 + bx 2 + cx + d có đồ thị như hình vẽ. Biết diện tích hình phẳng
(phần tơ đậm trong hình) bằng 8 3 . Giá trị của a − b + c − d là

A. -6.
B. 6.
C. 48 3 .
D. −48 3 .
Câu 32: Cho số phức z bất kì. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P = z − 1 − 2i + z − 2 − 3i + ... + z − 2017 − 2018i
A. 10082 2 .

B. 10092 2 .

C. 1008.1009 2 .

D. 1008.1010 2 .

Câu 33: Cho hình chóp MNPQ có đáy là tam giác vuông cân tại P, NP = PQ = 3a 2,

(

)

MNP = MQP = 90 . Biết khoảng cách từ N đến MPQ là 2a 3 . Tính thể tích khối cầu ngoại
tiếp khối chóp MNPQ .

A. 72 18 a 3 .

B. 32 18 a 3 .

C. 18 18 a 3 .

D. 24 18 a 3 .

Câu 34: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S ) : (x − 2)2 + (y − 3)2 + (z − 4)2 = 2 và điểm A(1;2;3) .
Xét điểm M thuộc mặt cầu (S ) sao cho đường thẳng AM tiếp xúc với (S ) , M luôn thuộc mặt
phẳng có phương trình nào sau đây?
15
= 0.
A. x + y + z +
B. 2x + 2y + 2z − 15 = 0.
2
C. x + y + z + 7 = 0.
D. x + y + z − 7 = 0.
Câu 35: Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình vng cạnh 2a, tam giác SAB đều, góc giữa

(SCD) và (ABCD) bằng 600 . Gọi M là trung điểm của cạnh AB . Biết rằng hình chiếu vng góc
của đỉnh S nằm trong mặt phẳng đáy. Tính khoảng cách giữa SM và AC .
Trang 4/7 - Mã đề thi 102


a 5
a 5
3a 5
5a 3
.

.
.
.
B.
C.
D.
5
10
10
3
Câu 36: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1;0;1) và B(0;1; −1) . Hai điểm D, E thay đổi trên
các đoạn OA, OB sao cho đường thẳng DE chia tam giác OAB thành hai phần có diện tích bằng
nhau. Khi DE ngắn nhất thì trung điểm I của đoạn DE có tọa độ là
 2 2 
 2 2 
1 1 
1 1 
A. I 
B. I 
C. I  ; ; 0  .
D. I  ; ; 0  .
;
; 0.
;
; 0.
 4 4 
 3 3 
3 3 
4 4 






A.

(

Câu 37: Cho hai số thực dương thỏa mãn: 2xy + log2 x + xy

)

x

= 8 . Biết min P = 2x 2 + y = A . Giá trị

của A thuộc khoảng nào dưới đây?

( )

C. ( 4;5 ) .
D. ( 3; 5 ) .
( )
Câu 38: Cho hàm số y = f (x ) liên tục trên đoạn  −1; 3  và có đồ thị như hình vẽ.
A. 4;6 .

B. 5;7 .

Bất phương trình f (x ) + x + 1 + 7 − x  m có nghiệm thuộc  −1; 3  khi và chỉ khi?
A. m  7 .

B. m  2 2 − 2 .
C. m  2 2 − 2 .
D. m  7 .
Câu 39: Cho hàm số có đồ thị (C). Xét điểm A1 , có hồnh độ x 1 = 1 thuộc (C). Tiếp tuyến của (C)
tại A1 cắt A2  A1 có hồnh độ x 2 . Tiếp tuyến của (C) tại A2 cắt (C) tại điểm thứ hai tại A3  A2 .
Cứ như thế, tiếp tuyến của (C) cắt (C) tại An  An −1 có hồnh độ x n . Tìm min n để xn  5100
A. 237.

B. 231.
x −m
2

Câu 40: Cho phương trình 125

C. 233.

D. 235.

)

(

+ log3 x 2 − m + 1 = 5x

3

+ 2x − 3

(

)

− 1 + log3 x 3 + 2x . Có bao nhiêu

(

)

giá trị ngun của m để phương trình trên có ba nghiệm phân biệt thuộc khoảng 1; + ?
A. 0.

B. 1.

( )

Câu 41: Cho hàm số y = f x
3

3

1

1

C. 2.
D. 3.
liên tục trên đoạn 1; 3  thỏa mãn f 4 − x = f x x  1; 3  và

 x .f (x ) dx = −2 . Giá trị  f (x ) dx
A. 2.

B. -1.

(

)

( )

bằng

()

C. -2.

D. 1.

Câu 42: Cho đồ thị hàm số y = f x = ax 3 + bx 2 + cx + d như hình vẽ. Số đường tiệm cận đứng

( )

và ngang của đồ thị hàm số y = g x =

(x

)
(x − x )  ( f (x ))
2

2

− 2x − 3

2

x +2

+f x 


( )

là bao nhiêu ?
Trang 5/7 - Mã đề thi 102


A. 5.

B. 6.

C. 7.

D. 8.

Câu 43: Xét số phức z = a + bi(a,b  ) thỏa mãn a − 4 − 3i = 5 và A = z + 1 − 3i + z − 1 + i đạt
GTNN. Tính P = 2a + 3b .
A. 4.
B. 6.

C. 12.

D. 10.

2 0 24 1
2102 50
.C 50 + .C 50 + ... +
.C .
2
4
102 50
551 − 1
551
551
551 − 1
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
102
102
51
51
Câu 45: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A 10;6; −2 , B 5;10; −9 và mặt phẳng
Câu 44: Tính giá trị của biểu thức T =

(

( )

) (

( )

)

có phương trình  : 2x + 2y + z − 12 = 0. Điểm M di động trên mặt phẳng  sao cho MA, MB

( )

tạo với 

( )

các góc bằng nhau. Biết rằng M thuộc đường trịn  cố định. Hồnh độ của tâm

( )

đường trịn  là:
A.

9
.
2

B. 2.

()

C. 10.

()

Câu 46: Cho hàm số y = f x . Hàm số y = f ' x

D. 4.

( )

có đồ thị như hình vẽ. Biết rằng f −1 = 1;

 −1 
f   = 2 . Tìm tất cả các giá trị của m để bất phương trình f x  ln −x + m nghiệm đúng
 e 

−1 
với mọi x   −1;
.
e



()

( )

Trang 6/7 - Mã đề thi 102

A. m  2 .

B. m  3 .

C. m  2 .

D. m  3 .

Câu 47: Cho hình hộp ABCD.A B C D có đáy ABCD là hình thoi cạnh a 3 , BD = 3a hình
chiếu vng góc của B trên mặt phẳng (A/B /C /D / ) trùng với trung điểm của A/C / . Gọi  là góc
/

tạo

bởi

hai

/

/

phẳng (ABCD)

mặt

/

và (CDD /C / ) ,

biết

cos  =

21
.
7

Thể

tích

khối

hộp ABCD.A/B /C /D / bằng

9a 3 3
9a 3
3a 3
A.
.
B.
.
C.
.
4
4
4

Câu 48: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz

gọi

d

3a 3 3
D.
.
4
đi qua A −1; 0; −1 , cắt

(

)

x −1 y −2 z +2
x −3 y −2 z +3
, sao cho góc giữa d và 2 :
là nhỏ nhất. Phương
=
=
=
=
2
1
−1
−1
2
2

trình đường thẳng d là
x +1 y z +1
x +1 y z +1
x +1 y
z +1
x +1 y z +1
A.
C.
= =
. B.
= =
.
=
=
. D.
= =
.
4
5
−2
2
2
−1
4
−5
−2
2
2
1
Câu 49: Cho lăng trụ ABC .A ' B 'C ' biết A '.ABC là hình chóp đều có cạnh đáy bằng a . Góc giữa

1 :

(

)

(

)

hai mặt phẳng A ' BC và BCC ' B ' bằng 90 . Khoảng cách giữa hai đường thẳng AA ' và BC
theo t = 2a ?
a
A. .
2

B.

a
.
4

C.

()

t
.
4

D.

t
.
2

( (

) )

Câu 50: Cho hàm số y = f x có đồ thị như hình vẽ dưới. Phương trình f f cos x − 1 = 0 có
bao nhiêu nghiệm thực thuộc đoạn 0;2  ?

A. 3.

B. 4.

C. 10.

D. 14.

----------- HẾT ----------

Trang 7/7 - Mã đề thi 102


Nhóm Pi – GROUP LUYỆN ĐỀ
THI THỬ NÂNG CAO

KỲ THI THỬ TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2021

Mơn thi: TỐN
Thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian phát đề
Mã đề thi 102

ĐÁP ÁN THAM KHẢO
Đáp án có 15 trang
1-B
11-C
21-A
31-C
41-B

2-A
12-D
22-D
32-C
42-B

3-C
13-D
23-A
33-D
43-D

BẢNG ĐÁP ÁN
5-B
6-D
15-A
16-B
25-A

26-A
35-A
36-A
45-B
46-B

4-A
14-C
24-D
34-D
44-A

()

7-C
17-B
27-D
37-A
47-A

8-C
18-A
28-D
38-D
48-B

9-C
19-C
29-C
39-D

49-C

10-B
20-C
30-D
40-A
50-B

Câu 31: Cho hàm số f x = ax 3 + bx 2 + cx + d có đồ thị như hình vẽ. Biết diện tích hình phẳng
(phần tơ đậm trong hình) bằng 8 3 . Giá trị của a − b + c − d là

A. -6.
Đáp án C.

D. −48 3 .

C. 48 3 .
Lời giải

B. 6.

()

Phương trình f x = ax 3 + bx 2 + cx + d có các nghiệm x1 = 1; x 2 = 3; x 3 = 5

(

)(

)(

 ax 3 + bx 2 + cx + d = a x − 1 x − 3 x − 5
5

Diện tích tơ đậm:

(

)(

)(

)
5

)

(

)(

)(

)

 a x − 1 x − 3 x − 5 dx = a . x − 1 x − 3 x − 5 dx
1

( )
3 (x − 1)(x − 3)(x − 5)

1

8 a = 8 3  a =  3 .Mà lim f x = +  a  0  a = 3
x →+

Vậy ax 3 + bx 2 + cx + d =

Thay x = −1 vào hai vế của đẳng thức trên  a − b + c − d = −48 3  −a + b − c + d = 48 3
Câu 32: Cho số phức z bất kì. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P = z − 1 − 2i + z − 2 − 3i + ... + z − 2017 − 2018i
A. 10082 2 .
Đáp án C.

() (

B. 10092 2 .

) (

)

C. 1008.1009 2 .
Lời giải

(

Xét M z , A1 1 + 2i , A2 2 + 3i ,..., A2017 2017 + 2018i

D. 1008.1010 2 .

)
Đáp án - Trang 1/15 - Mã đề thi 102


P = MA1 + MA2 + MA3 + ... + MA2017

Theo bất đẳng thức tam giác ta có: MA1 + MA2017  A1A2017 = 2016 2
Dấu bằng xảy ra khi M  đoạn A1A2017

MA2 + MA2016  A2A2016 = 2016 2
...

MA1008 + MA1010  A1008A1010 = 2016 2
MA1009  0

Cộng các vế lại ta có: P  2016 2 + 2014 2 + 2012 2 + ... + 2 2 = 1008.1009 2
Dấu bằng xảy ra khi M  A2009  z = 1009 + 1010i .
Câu 33: Cho hình chóp MNPQ có đáy là tam giác vng cân tại P, NP = PQ = 3a 2,

(

)

MNP = MQP = 90 . Biết khoảng cách từ N đến MPQ là 2a 3 . Tính thể tích khối cầu ngoại
tiếp khối chóp MNPQ .
A. 72 18 a 3 .

B. 32 18 a 3 .

C. 18 18 a 3 .
Lời giải

D. 24 18 a 3 .

Đáp án D.
Gọi D là điểm để NPQD là hình vng



NP ⊥ MN
PQ ⊥ QD
Khi đó ta có: 
 NP ⊥ MD 1 & 
 PQ ⊥ MD 2
NP
⊥
ND
PQ
⊥
MQ





()

()( )

(

Từ 1 ; 2  PQ ⊥ NPQD

()

)

2

 MD 
Gọi H là hình chiếu của D lên MQ , O là tâm đáy của NPQD  R = DO + 
 = 18a
 2 
2

( (

)) = d (D, (MPQ )) = DH = 2a

3

( (

)) = d (D, (MPQ )) = DH = 2a

3

d N , MPQ

1
DH
1

2

=

1
MD
1

2

+

1
DQ
1

2

 DO =

NQ
= 3a
2

=
+

DH 2 MD 2 DQ 2
Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp M .NPQ chính là mặt cầu ngoại tiếp chóp M .NPQD có cạnh bên
d N , MPQ

2

 MD 
4 R3
thỏa mãn MD ⊥ NPQ  R = DO + 
= 24 a 3 18 .
 = 18a  V =
3
 2 

(

)

2

Đáp án - Trang 2/15 - Mã đề thi 102


Câu 34: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S ) : (x − 2)2 + (y − 3)2 + (z − 4)2 = 2 và điểm A(1;2;3) .
Xét điểm M thuộc mặt cầu (S ) sao cho đường thẳng AM tiếp xúc với (S ) , M luôn thuộc mặt
phẳng có phương trình nào sau đây?
15
A. x + y + z +
B. 2x + 2y + 2z − 15 = 0.
= 0.

2
C. x + y + z + 7 = 0.
D. x + y + z − 7 = 0.
Lời giải
Đáp án D.
M

I

H

A

I (2; 3; 4)
; A(1;2; 3)  IA = (−1; −1; −1)  IA = 3
Ta có (S ) : 
R = 2

Mp cố định đi qua điểm H là hình chiếu của M xuống IA và nhận IA = (−1; −1; −1) làm vtpt.
Do MHI

IM 2
2
2 3
2
=
=
 IH = IA
IA
3

3
3
4
=
3
 4 7 10 
7
=
H ; ; 
3
3 3 3 
10
=
3

AMI nên IM 2 = IH .IA  IH =



2
x H − 2 = −
x
3


2
2


Do đó IH = IA  yH − 3 = −  y

3
3


2
z − 4 = −
z
 H

3



4 
7 
10 
Vậy mp cần tìm có pt là −  x −  −  y −  −  z −  = 0  x + y + z − 7 = 0.
3 
3 
3


Câu 35: Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình vng cạnh 2a, tam giác SAB đều, góc giữa

(SCD) và (ABCD) bằng 600 . Gọi M là trung điểm của cạnh AB . Biết rằng hình chiếu vng góc
của đỉnh S nằm trong mặt phẳng đáy. Tính khoảng cách giữa SM và AC .
A.

a 5
.

5

B.

a 5
.
10

3a 5
.
10
Lời giải

C.

D.

5a 3
.
3

Đáp án A.
S

D

A

B

H

O

M
N

I

C

Đáp án - Trang 3/15 - Mã đề thi 102



AB ⊥ SM
Gọi I là trung điểm cạnh CD , khi đó 
 AB ⊥ (SMI ) .
AB ⊥ MI



(

)

((

)(

Do CD//AB nên CD ⊥ SMI  g SCD ; ABCD

)) = SIM

Kẻ SH ⊥ MN tại H  MN thì SH ⊥ (ABCD) .
SM 2 = MI 2 + SI 2 − 2.MI .SI .cos SIM
 3a 2 = 4a 2 + SI 2 − 2a.SI
 SI 2 − 2a.SI + a 2 = 0  SI = a

Ta thấy SM 2 + SI 2 = MI 2 

SMI vuông tại S

SM .SI a 3
3a
=
; HM =
.
MI
2
2
Gọi O = AC  BD; N là trung điểm BC ta có AC //(SMN ) .
 SH =

Do đó, d(AC , SM ) = d(AC ,(SMN )) = d(O,(SMN )) =

2
d(H ,(SMN )) .
3

Gọi K là hình chiếu của H lên MN , có HKM vng cân tại K nên HK =

HM
2

=

3a 2
.
4

2
SH .HK
a 5
.
=
.
3 SH 2 + HK 2
5
Câu 36: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1;0;1) và B(0;1; −1) . Hai điểm D, E thay đổi trên
các đoạn OA, OB sao cho đường thẳng DE chia tam giác OAB thành hai phần có diện tích bằng
nhau. Khi DE ngắn nhất thì trung điểm I của đoạn DE có tọa độ là
 2 2 
 2 2 
1 1 
1 1 
A. I 
B. I 
C. I  ; ; 0  .
D. I  ; ; 0  .

;
; 0.
;
; 0.
 4 4 
 3 3 
3 3 
4 4 




Lời giải
Đáp án A.
Vậy d(AC , SM ) =

O

E
D
A

B

Ta có OA = (1;0;1), OB = (0;1; −1), OA = OB = 2, AB = (−1;1; −2), AB = 6.
Ta lại có

S
S

cos AOB =

ODE
OAB
2

=

OD.OE
1 OD.OE
 =
 OD.OE = 1
OAOB
.
2
2

OA + OB 2 − AB 2 2 + 2 − 6
1
=
=− .
2.OAOB
.
4
2

DE 2 = OD 2 + OE 2 − 2.ODOE
. .cos AOB = OD 2 + OE 2 + ODOE
.
 3.ODOE

.
 DE 2  3.ODOE
.
= 3  DE  3
"
=
"
Dấu
xảy ra  OD = OE = 1 .

Đáp án - Trang 4/15 - Mã đề thi 102


 2

2
2
2
2
2
 , OE =

OA  ...  D 
; 0;
OB  ...  E  0;
;−
 2

 2


2
2
2
2




 2 2 
Vậy I 
;
;0 .
 4 4 





Khi đó OD =



(

Câu 37: Cho hai số thực dương thỏa mãn: 2xy + log2 x + xy

)

x

= 8 . Biết min P = 2x 2 + y = A . Giá trị

của A thuộc khoảng nào dưới đây?

( )

( )

A. 4;6 .

( )

B. 5;7 .

( )

D. 3; 5 .

C. 4;5 .
Lời giải

Đáp án A.

8
Theo giả thuyết ta có: 2xy + x log2 x + log2 y + 1  = 8  2y + log2 x + log2 y + 1 = 1


x

(

Đặt t =

)

(

)

()

8
 0  log2 x = 3 − log2 t
x

(

)

(

)

(1) trở thành 2y + 3 − log2 t + log2 y + 1 = t  log2 2y + 2 + 2y + 2 = log2 t + t

( )

(

Đặt u = 2y + 2 . Ta xét hàm số f u = log2 u + u trên đoạn 0; +

( )

f u =

1
+ 1  0, u  0  f u đồng biến trên 0; +
u ln 2

(

( )

)

()

Vậy: f 2y + 2 = f t  2y + 2 =
Thay vào P, ta được P = 2x 2 +

(

)

)

8
4
 y = −1
x

x

4
2 2
− 1 = 2x 2 + + − 1
x
x x

Áp dụng bđt Cauchy cho 3 số thực dương, ta được: P  3 3 2x 2 

2 2
 −1 = 5.
x x

( )

Câu 38: Cho hàm số y = f x liên tục trên đoạn  −1; 3  và có đồ thị như hình vẽ.

Bất phương trình f (x ) + x + 1 + 7 − x  m có nghiệm thuộc  −1; 3  khi và chỉ khi?
A. m  7 .

B. m  2 2 − 2 .

C. m  2 2 − 2 .

D. m  7 .
Đáp án - Trang 5/15 - Mã đề thi 102


Lời giải

Đáp án D.

()

Xét hàm số g x = x + 1 + 7 − x xác định và liên tục trên  −1; 3  có

()

g x =

1

−

2 x +1

1
2 7 −x

(

, x  −1;3

)

()

g x = 0  x + 1 = 7 − x  x = 3
Từ đồ thị, ta có max f (x ) = f (3) = 3 hay f (x )  3, x   −1; 3 
 −1;3





 ( ) ( ) = max 2

Mà max g(x ) = max g −1 ; g 3
 −1;3



2; 4 = 4  g(x )  4, x   −1; 3 

()

Đặt h x = f (x ) + x + 1 + 7 − x = f (x ) + g(x )

 h(x )  3 + 4 = 7
Dấu “ = “ xảy ra  x = 3
Để bất phương trình có nghiệm thuộc đoạn  −1; 3   m  max h(x ) = 7 .
Câu 39: Cho hàm số có đồ thị (C). Xét điểm A1 , có hoành độ x 1 = 1 thuộc (C). Tiếp tuyến của (C)
tại A1 cắt A2  A1 có hồnh độ x 2 . Tiếp tuyến của (C) tại A2 cắt (C) tại điểm thứ hai tại A3  A2 .
Cứ như thế, tiếp tuyến của (C) cắt (C) tại An  An −1 có hồnh độ x n . Tìm min n để xn  5100
A. 237.

B. 231.

C. 233.
Lời giải

D. 235.

Đáp án D.
Ta có: y  = 6x 2 − 6x ;

(

)(

)

x k = a  Tiếp tuyến tại A có phương trình y = 6a 2 − 6a x − a + 2a 3 − 3a 2 + 1

Phương trình hồnh độ giao điểm:

(

)(

)

(

2x 3 − 3x 2 + 1 = 6a 2 − 6a x − a + 2a 3 − 3a 2 + 1  x − a
 x k +1 = −2x k +

( )

 x n =  −2

n

) (2x + 4a − 3 ) = 0
2

3
2

+

x1 = −2 +  = 1

Xét 
1 
x 2 = 4 +  =

2


1
 = −
4 , do đó x = − 1 −2

n
4
 = 1

2

( )

n

+

1
 5100 1
2

()

Chọn n = 2k + 1
Đáp án - Trang 6/15 - Mã đề thi 102


(1)  − 14  ( 4 ) . ( −2) + 21  5100  4k + 1  2.5100  4k  2.5100 − 1  k  log4 (2.5100 − 1)
k

Chọn k = 117  n = 235 .
Câu 40: Cho phương trình 125

)

(

x 2 −m

+ log3 x 2 − m + 1 = 5x

3

+ 2x − 3

(

)

− 1 + log3 x 3 + 2x . Có bao nhiêu

(

)

giá trị nguyên của m để phương trình trên có ba nghiệm phân biệt thuộc khoảng 1; + ?
A. 0.

B. 1.

Đáp án A.
125

x 2 −m

5

(

)

C. 2.

Lời giải

+ log3 x 2 − m + 1 = 5x

3 x 2 −m

(

)

3

+ 2x − 3

+ log3 3 x 2 − m + 3 = 5x

()

3

(
+ log ( x

D. 3.

)
+ 2x )

− 1 + log 3 x 3 + 2x

+ 2x − 3

(

3

3

)

(

Xét hàm đặc trưng f t = 5t + log3 t + 3 đồng biến trên khoảng 0; +
Khi đó

(

) (

f 3 x 2 − m = f x 3 + 2x − 3

)

)

 3 x 2 − m = x 3 + 2x − 3  0 x  1

()
()
Xét hàm số f (x ) = x 3 − 3x 2 + 2x − 3 trên khoảng (1; + )

3x 2 − 3m = x 3 + 2x − 3
x 3 − 3x 2 + 2x − 3 = −3m 1

 3
 −3x 2 + 3m = x 3 + 2x − 3
x + 3x 2 + 2x − 3 = 3m 2




3− 3
x =
2
3
f ' x = 3x − 6x + 2 = 0  

3+ 3
x =

3

( )

BBT

Từ BBT suy ra −

2 3 + 27
2 3 + 27
 −3m  −3  1  m 

(*)
9
27

()

(

Xét hàm số f x = x 3 + 3x 2 + 2x − 3 trên khoảng 1; +

)


−3 − 3
x =
3
f ' x = 3x 2 + 6x + 2 = 0  

−3 + 3
x =

3

( )

BBT
Đáp án - Trang 7/15 - Mã đề thi 102


Từ BBT suy ra 3m  3  m  1 (**)

2 3 + 27
nên khơng có giá trị ngun nào thỏa mãn đề bài.
27
Câu 41: Cho hàm số y = f x liên tục trên đoạn 1; 3  thỏa mãn f 4 − x = f x x  1; 3  và

Từ (*), (**) suy ra 1  m 

( )

3

( )

 x .f x dx = −2 . Giá trị
1

A. 2.

(

)

( )

3

 f (x ) dx

bằng

1

B. -1.

C. -2.
Lời giải

D. 1.

Đáp án B.

x = 1  t = 3
Đặt t = 4 − x  dt = −dx . Đổi cận 
.
x = 3  t = 1
3

3

( )

()

1

3

3

1

Ta có  x .f x dx =  t .f t dt = −2   (4 − x )f (4 − x )(−dx ) = −2   (4 − x )f (x )dx = −2
1

1

3

3

1
3

1

  x .f (x )dx +  (4 − x )f (x )dx = −4
  f (x )dx = −1
1

()

Câu 42: Cho đồ thị hàm số y = f x = ax 3 + bx2 + cx+d như hình vẽ.Số đường tiệm cận đứng và

)
( )
(x − x )  ( f (x ))

ngang của đồ thị hàm số y = g x =

(x

2

− 2x − 3

2

2

A. 5.

B. 6.

C. 7.
Lời giải

x +2

+f x 


( )

là bao nhiêu ?

D. 8.
Đáp án - Trang 8/15 - Mã đề thi 102


Đáp án B.

Dễ thấy là hai tiệm cận ngang của đường cong

( )

Ta có y = g x =

(x

)
(x − x )  ( f (x ))
2

− 2x − 3

2

2

x +2

+f x 


( )

=

(x + 1)(x − 3) x + 2
x (x − 1) f (x ) ( f (x ) + 1)

()

Dễ thấy x = 0; x = 1 là hai tiệm cận ngang của đường cong y = g x

(

)

x = 2 loai
f x =0
x = x 1  −2;1
x = −1 loai

f x = −1  x = x 2  0;2
x = x  2; 3
3


( )

( )
( )
( )
( )

( )

()

Ta có lim g x = 0 (do bậc tử nhỏ hơn bậc mẫu)

x →

 y = 0 Là tiệm cận ngang

()

Vậy đường cong y = g x

(

có 6 tiệm cận đứng và ngang:

)

( )

( )

x = 0; x = 1; x = x1  −2;1 ; x = x 2  0;2 ; x = x 3  2; 3 ; y = 0 .
Câu 43: Xét số phức z = a + bi(a,b  ) thỏa mãn a − 4 − 3i = 5 và A = z + 1 − 3i + z − 1 + i đạt
GTNN. Tính P = 2a + 3b .
A. 4.
B. 6.

C. 12.
Lời giải

D. 10.

Đáp án D.

Gọi M (a;b) là điểm biểu diễn số phức z = a + bi
Ta có: z − 4 − 3i = 5  (a − 4)2 + (b − 3)2 = 5
 Tập hợp điểm M là đường tròn (C ) tâm I (4;3), R = 5

Xét A = z + 1 − 3i + z − 1 + i

Đặt B(−1;3),C (1; −1)  A = BM + CM
Đáp án - Trang 9/15 - Mã đề thi 102


Xét 2 điểm B,C cố định, để MB + MC min  M  trung trực BC
M (2;2)  A = 17 + 20
 M =   (C ) (  là trung trực của BC )  
M (6; 4)  A = 65 + 50


a = 2
Mà Amin  A = 17 + 20  
 P = 10 .
b =2



Câu 44: Tính giá trị của biểu thức T =
A.

551 − 1
.
102

B.

Đáp án A.

(

x x2 + 1

)

n

551
.
102

2 0 24 1
2102 50
.C + .C + ... +
.C .
2 50 4 50
102 50
551
C.
.
51
Lời giải

(

= x C n0 + C n1 .x 2 + C n2 .x 4 + ... + C nn .x 2n

D.

551 − 1
.
51

)

= C n0 .x + C n1 .x 3 + C n2 .x 5 + ... + C nn .x 2n +1
2

  x .(x + 1) dx =
n

2

0

(

2

)

n +1

2

 (C n .x + C n .x
0

1

3

)

+ C n2 .x 5 + ... + C nn .x 2n +1 dx

0

2
2

1 x +1
 .
2
n +1

 x2
x4 1
x 2n + 2 n 
=  .C n0 +
.C n + ... +
.C n 
 2

4

2
n
+
2

0
0

1  5n +1
1  22 0 24 1
22n + 2 n
 
−
.C
 = .C + .C n + ... +
2  n + 1 n + 1  2 n
4
2n + 2 n

22 0 24 1
2102 50 1 551 − 1 551 − 1
.
.C 50 + .C 50 + ... +
.C = .
=
2
4
102 50 2 51
102
Câu 45: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A 10;6; −2 , B 5;10; −9 và mặt phẳng

Thay n = 50  T =

(

( )

) (

( )

)

có phương trình  : 2x + 2y + z − 12 = 0. Điểm M di động trên mặt phẳng  sao cho MA, MB

( )

tạo với 

( )

các góc bằng nhau. Biết rằng M thuộc đường trịn  cố định. Hồnh độ của tâm

( )

đường tròn  là:
A.

9
.
2

B. 2.

C. 10.

D. 4.

Lời giải
Đáp án B.

(

)

(

)

(

Gọi M x; y;z  AM = x − 10; y − 6;z+ 2 ; BM = x − 5; y − 10; z + 9

)

( )

Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A, B lên  , có AMH = BMK .


AH

sin AMH =
MA  AH = BK  MA = 2MB  MA2 = 4MB 2 .
Khi đó 
MA MB
sin BMK = BK

MB
2
2
2
2
2
2

Suy ra x − 10 + y − 6 + z + 2 = 4  x − 5 + y − 10 + z + 9 



(

) (

) (

)

(

) (

) (

)

Đáp án - Trang 10/15 - Mã đề thi 102


2

2

2


20
68
68
10  
34  
34 
2
 x +y +z − x − y +
z + 228 = 0  S :  x −  +  y −
 + z −
 =R .
3
3
3
3 
3  

3 

2

2

( )

2

( )

( )

( )

(

)

Vậy M  C là giao tuyến của  và S ⎯⎯→ Tâm I 2;10; −12 .

()

()

Câu 46: Cho hàm số y = f x . Hàm số y = f ' x

( )

có đồ thị như hình vẽ. Biết rằng f −1 = 1;

 −1 
f   = 2 . Tìm tất cả các giá trị của m để bất phương trình f x  ln −x + m nghiệm đúng
 e 

−1 
với mọi x   −1;
.
e 


()

A. m  2 .

B. m  3 .

C. m  2 .
Lời giải

Đáp án B.

() ( )
()

−1 
Xét g (x ) = f (x ) − ln ( −x ) trên  −1;

e

( )

D. m  3 .

( )

Ta có: f x  ln −x + m  m  f x − ln −x



( )

( )

g' x = f ' x −


Trên  −1;





1
x

1
−1 
 có f ' x  0 và −  0

x
e 

()


−1 
 g ' x  0, x   −1; 
e 


−1 
Do đó g x đồng biến trên  −1;

e 


( )

()

()

( )



Ta có f x  ln −x + m nghiệm đúng với x   −1;



−1 

e 

Đáp án - Trang 11/15 - Mã đề thi 102



−1 
 m  g x , x   −1; 
e 

 −1 
m g 
 e 

( )

m 3
Câu 47: Cho hình hộp ABCD.A/B /C /D / có đáy ABCD là hình thoi cạnh a 3 , BD = 3a hình
chiếu vng góc của B trên mặt phẳng (A/B /C /D / ) trùng với trung điểm của A/C / . Gọi  là góc
tạo

bởi

hai

phẳng (ABCD)

mặt

và (CDD /C / ) ,

biết

21
.
7

cos  =

Thể

tích

khối

hộp ABCD.A/B /C /D / bằng
A.

9a 3
.
4

B.

3a 3
.
4

9a 3 3
.
4
Lời giải

C.

D.

3a 3 3
.
4

Đáp án A.

Do (DCC /D / )//(ABB /A/ ) và (ABCD)//(A/B /C /D / ) nên góc giữa hai mặt phẳng (ABCD) và

(DCC /D / )

cũng

bằng

góc

giữa

hai

mặt

phẳng

nên

góc

giữa

hai

mặt

/ /
phẳng (A/B /C /D / ) và (ABB /A/ ) và bằng góc OHB với H là hình chiếu của O lên A B .

OA/2 = A/D /2 − OD /2 =

3a 2
a 3
 OA/ =
 A/C / = a 3
4
2
.

a 3 3a
.
2 = 3a

OH .A/B / = OA/ .OB /  OH = 2
4
a 3
Ta có
.
3a
OH
21
a 21
a 3
cos  =
=
 BH = 4 =
 BO = BH 2 − OH 2 =
BH
7
4
2
a 21
7
.

a 3 1
9a 3
V = BO.S ABCD =
. AC .BD =
.
2 2
4
Câu 48: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz

gọi d

đi qua

(

)

A −1; 0; −1 , cắt

x −1 y −2 z +2
x −3 y −2 z +3
, sao cho góc giữa d và 2 :
là nhỏ nhất. Phương
=
=
=
=
2
1
−1
−1
2
2
trình đường thẳng d là
1 :

Đáp án - Trang 12/15 - Mã đề thi 102

A.

x +1 y z +1
= =
.
4
5
−2

x +1 y z +1
x +1 y
z +1
x +1 y z +1
C.
= =
.
=
=
. D.
= =
.
2
2
−1
4
−5
−2
2
2

1
Lời giải

B.

Đáp án B.
Gọi M = d  1  M (1 + 2t;2 + t; −2 − t )
d có vectơ chỉ phương ad = AM = ( 2t + 2; t + 2; −1 − t )

2 có vectơ chỉ phương a2 = ( −1;2;2)
2
t2
3 6t 2 + 14t + 9
t2
Xét hàm số f ( t ) = 2
, ta suy ra được min f ( t ) = f ( 0 ) = 0  t = 0
6t + 14t + 9
Do đó min cos ( , d )  = 0  t = 0  AM = ( 2;2 − 1)
cos ( d ;  2 ) =

x +1 y z +1
= =
.
2
2
−1
Câu 49: Cho lăng trụ ABC .A ' B 'C ' biết A '.ABC là hình chóp đều có cạnh đáy bằng a . Góc giữa
Vậy phương trình đường thẳng d là

(

)

(

)

hai mặt phẳng A ' BC và BCC ' B ' bằng 90 . Khoảng cách giữa hai đường thẳng AA ' và BC
theo t = 2a ?
a
A. .
2

B.

a
.
4

t
.
4
Lời giải
C.

D.

t
.
2

Đáp án C.

Gọi M, N , E lần lượt là trung điểm của AB, BC , B 'C ' ;H = CM  AN .có H là tâm đường trịn
ngoại tiếp tam giác đều ABC .do A '.ABC là hình chóp đều có cạnh đáy bằng nên

(

)

((

)(

A ' H ⊥ ABC và g A ' BC , BCC ' B '

(

)

)) = 90  (A ' BC ) ⊥ (BCC ' B ' )

Có: A ' N ⊥ BC  A ' N ⊥ BCC ' B '  A ' N ⊥ NE
Đặt A ' A = A " B = A 'C = x

A ' N 2 = A ' B 2 − BN 2 = x 2 −


a2 
NE = BB '

NE = AA '
;

NE //BB '
NE //AA '
4 




Đáp án - Trang 13/15 - Mã đề thi 102


NE = x

Tứ giác ANEA ' là hình bình hành  
a 3
A ' E =

2
2

a 3 
a2
a 2
 x =
+ x2 = 
Trong tam giác vuông A ' NE có A ' N + NE = A ' E  x −
 2 
4

2



BC ⊥ AN
Lại có : 
 BC ⊥ A ' AN  BC ⊥ AA '  BC ⊥ BB '
BC ⊥ A ' N


Suy ra tứ giác BCC ' B ' là hình chữ nhật
2

(

VB '.ABC

2

2

2

)

1
a3 2 1
= V =
= d A, BCB ' .SB ' BC  d A, BCB '
3

24
3

( (

(

)

Do t = 2a nên d A ' A, BC =

))

( (

)) = a2

1
1 a 2
t
 SB ' BCC ' = BB '.BC = .
2
2 4
4

( (

()

) )

Câu 50: Cho hàm số y = f x có đồ thị như hình vẽ dưới. Phương trình f f cos x − 1 = 0 có
bao nhiêu nghiệm thực thuộc đoạn 0;2  ?

A. 3.

B. 4.

Đáp án B.
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy

(
(
(

C. 10.
Lời giải

)
)
)

(
)
( )
( )

D. 14.

(

(
(

)
)
)

( )
( )
( )

 f cos x − 1 = a  −2; −1
 f cos x = a + 1  −1; 0


f f cos x − 1 = 0   f cos x − 1 = b  −1; 0   f cos x = b + 1  0;1
 f cos x − 1 = c  1;2
 f cos x = c + 1  2; 3



((

) )

Đáp án - Trang 14/15 - Mã đề thi 102


(

)

+)Th1: f cos x = c + 1  cos x =   2 (loại)

()
( )
( )( )
()
Ta có (1) vơ nghiệm; ( 2 ) có 2 nghiệm; ( 3) vô nghiệm
cos x =   −1 ( 4 )

+)Th3: f ( cos x ) = a + 1  cos x =   ( −1; 0 )( 5 )
cos x =   1 6
()

Ta có ( 4 ) vơ nghiệm; ( 5) có 2 nghiệm; ( 6) vô nghiệm. Do    nên 
cos x =   −1 1
1

+)Th2: f cos x = b + 1  cos x = 2  −1; 0 2
cos x =   1 3
3


1

2

3

2

 2

Vập phương trình đã cho có 4 nghiệm x trên 0;2  .
----------- HẾT ----------

Đáp án - Trang 15/15 - Mã đề thi 102