Chiều và bội của môđun đối đồng điều địa phương

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

NGUYỄN THỊ THANH CHƯƠNG

CHIỀU VÀ BỘI
CỦA MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC

Bình Định - 2020


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

NGUYỄN THỊ THANH CHƯƠNG

CHIỀU VÀ BỘI
CỦA MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG

Chuyên ngành :
Mã số
:

Đại số và lí thuyết số
8460104

Người hướng dẫn
TS. NGUYỄN THÁI HÒA

Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan luận văn với đề tài Chiều và bội của môđun đối
đồng điều địa phương là cơng trình nghiên cứu khoa học của riêng tơi
dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Thái Hòa, nội dung không sao chép của
bất kỳ ai và chưa từng được cơng bố dưới bất kỳ hình thức nào, các kết
quả khơng phải của riêng tơi mà đều được trích dẫn với nguồn gốc rõ ràng.
Bình Định, ngày

tháng

năm 2020

Người thực hiện

Nguyễn Thị Thanh Chương


Lời cảm ơn
Luận văn được hoàn thành nhờ sự hướng dẫn và giúp đỡ tận tình của
thầy hướng dẫn TS. Nguyễn Thái Hịa, Trường Đại học Quy Nhơn. Tơi
xin bày tỏ sự kính trọng và lịng biết ơn sâu sắc đến Thầy đã giúp đỡ tơi
trong suốt q trình học tập và thực hiện luận văn. Tôi cũng xin gửi lời
cảm ơn đến quý Ban lãnh đạo Trường Đại học Quy Nhơn, Phịng Đào tạo
Sau Đại học, Khoa Tốn và Thống kê cùng quý thầy cô giáo giảng dạy lớp
cao học Đại số và lí thuyết số khóa 21 đã giảng dạy và tạo điều kiện thuận
lợi cho tôi trong q trình học tập và thực hiện đề tài.
Tơi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn đến người thân, bạn bè đã ln giúp
đỡ động viên để tơi hồn thành khóa học và luận văn này.

Một số ký hiệu
Spec(R)

Tập tất cả các iđêan nguyên tố của vành R

Max(R)

Tập tất cả các iđêan cực đại của vành R

Ann(M )

Linh hóa tử của mơđun M

Ass(M )

Tập tất cả các iđêan nguyên tố liên kết của môđun M

Supp(M )

Giá của môđun M

PsuppiR (M ) Giả giá thứ i của môđun M
psdi (M )

Giả chiều thứ i của môđun M

lR (M )

Độ dài của R-môđun M

gr(R)

Vành phân bậc liên kết của vành R

gr(M )

Môđun phân bậc liên kết của môđun M

d(M )

Bậc của đa thức Hilbert-Samuel của môđun M

dim R

Chiều Krull của vành R

dim M

Chiều Krull của môđun M

ht(I)

Chiều cao của iđêan I

idR (M )

Chiều nội xạ của môđun M trên vành R

depth M

Độ sâu của môđun M


Mục lục

Lời cam đoan
Lời cảm ơn
Một số ký hiệu
MỞ ĐẦU

1

1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

4

1.1

Đầy đủ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2

Tôpô Zariski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.3

Địa phương hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.4

Sự phân tích nguyên sơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.5

Lý thuyết biểu diễn thứ cấp

1.6

Đa thức Hilbert, chiều Krull và môđun Cohen-Macaulay . . 13

1.7

Đồng cấu phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.8

Đối đồng điều địa phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.9

Đối ngẫu Matlis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

. . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.10 Tính catenary của vành và vành Gorenstein . . . . . . . . . 30


2 CHIỀU VÀ BỘI CỦA MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA
PHƯƠNG

33

2.1

Đa thức Hilbert, chiều và bội của môđun Artin . . . . . . . 34

2.2

Công thức bội liên kết của môđun đối đồng điều địa phương 38

KẾT LUẬN

52

DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO

54


1

MỞ ĐẦU
Cho M là một R-môđun hữu hạn sinh trên một vành Noether giao hoán

địa phương (R, m) với d = dim M ≥ 1 và q là iđêan m-nguyên sơ của R
(tương đương q là một iđêan định nghĩa). Đa thức Hilbert của M có dạng:

Pq (M, n) = e0

n+d
n+d−1
+ e1
+ . . . + en , khi n ≥ 0,
d
d−1

trong đó e0 = e(q, M ) là số bội của mơđun M ứng với iđêan q. Khi đó ta
có cơng thức bội liên kết của mơđun Noether M ứng với iđêan m-nguyên
sơ q (xem [6]):

e(q, M ) =

lRp (Mp )e(q, R/p).
p∈Supp(M )
dim R/p=d

Năm 1973, D. Kirby [11] đã chỉ ra rằng với mỗi R-môđun Artin A, nếu
q là iđêan của R sao cho l(0 :A q) hữu hạn thì l(0 :A qn ) là một đa thức
khi n đủ lớn. Ông gọi đa thức này là đa thức Hilbert của một R-môđun
Artin A. Năm 1974, R. N. Roberts [18] đưa ra khái niệm chiều Noether cho
môđun Artin A và chứng tỏ rằng nó bằng bậc của đa thức Hilbert-Samuel
của mơđun A. Khi đó

Pq (A, n) = gs

n+s
n+s−1
+ es−1
+ . . . + g0 , khi n ≥ 0,
s
s−1


2

trong đó gs = e(q, A) là số bội của A ứng với iđêan q và s = N − dim A
là chiều Noether của môđun A.
Biết rằng, với mỗi số nguyên không âm i, môđun đối đồng điều thứ i

Hmi (M ) của M là môđun Artin. Năm 2002, M. Brodmann và R. Y. Sharp
(xem [5]) đưa ra hai khái niệm giả giá thứ i của M , kí hiệu PsuppiR (M )
và giả chiều thứ i của M , kí hiệu là psdi (M ) :
(i) Giả giá thứ i của M , kí hiệu PsuppiR (M ), được cho bởi công thức
i−dim(R/p)

PsuppiR (M ) = {p ∈ Spec(R) | HpRp

(Mp ) = 0}.

(ii) Giả chiều thứ i của M , kí hiệu là psdi (M ), được xác định bởi

psdi (M ) = max{dim(R/p) | p ∈ PsuppiR (M )}.
và thiết lập công thức bội liên kết của môđun đối đồng điều địa phương
thứ i Hmi (M ) trong hai trường hợp là vành cơ sở là ảnh đồng cấu của

một vành Gorenstein địa phương và vành cơ sở là catenary phổ dụng địa
phương mà tất cả thớ hình thức của nó là Cohen-Macaulay.
Nếu Hmi (M ) = 0 thì
i−dim(R/p)

e (q, Hmi (M )) =

lRp (HpRp

(Mp ))e(q, R/p).

p∈Psuppi (M )
dim R/p=psdi (M )

Với mục đích tìm hiểu sâu hơn về đại số giao hốn, chúng tơi chọn đề
tài: "Chiều và bội của môđun đối đồng điều địa phương". Mục
tiêu của luận văn là trình bày lại một số kết quả liên quan đến chiều và


3

bội của môđun đối đồng điều địa phương trong [3], [4], [5], [6], [8], [14],
[19], ...
Nội dung của luận văn gồm hai chương.
Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị
Chương này trình bày một số kiến thức về đầy đủ, địa phương hóa,
sự phân tích ngun sơ, biểu diễn thứ cấp, đa thức Hilbert-Samuel, chiều
Krull, môđun Cohen-Macaulay, đối đồng điều địa phương, tôpô Zariski,
đối ngẫu Matlis, vành catenary phổ dụng, vành Gorenstein và đồng cấu
phẳng.

Chương 2: Chiều và bội của mơđun đối đồng điều địa phương
Chương này trình bày một số kết quả về chiều và bội của môđun Artin;
chiều và bội của môđun đối đồng điều địa phương trong hai trường hợp là
vành cơ sở là ảnh đồng cấu của một vành Gorenstein địa phương và vành
cơ sở là catenary phổ dụng địa phương mà tất cả thớ hình thức của nó là
Cohen-Macaulay.
Mặc dù luận văn được thực hiện với sự nỗ lực cố gắng hết sức của bản
thân, nhưng do điều kiện thời gian có hạn, trình độ kiến thức và kinh
nghiệm nghiên cứu còn hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi những thiếu
sót. Tơi rất mong nhận được những góp ý của q thầy cơ giáo để luận
văn được hoàn thiện hơn.


4

Chương 1
MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này, chúng tơi trình bày một số kiến thức về đầy đủ, địa
phương hóa, đa thức Hilbert-Samuel, chiều Krull, mơđun Cohen-Macaulay,
sự phân tích nguyên sơ, lý thuyết biểu diễn thứ cấp, đồng cấu phẳng, đối
đồng điều địa phương, đối ngẫu Matlis, vành catenary phổ dụng, vành
Gorenstein và tôpô Zariski theo [4], [5], [9], [10], [12], [13], [14].

1.1

Đầy đủ

Nội dung của phần này được trình bày theo [14].
Định nghĩa 1.1.1. Một vành lọc R là một vành R cùng với một họ

(Rn )n

0

các nhóm con của (R, +) thỏa mãn các điều kiện:

(i) R0 = R;
(ii) Rn+1 ⊂ Rn với mọi n

0;

(iii) Rn Rm ⊂ Rn+m với mọi n, m

0.

Ví dụ 1.1.2. (i) Giả sử R là một vành bất kì. Cho R0 = R và Rn = 0 với
mọi n

1. Khi đó (Rn )n

0

là một lọc của vành R và nó được gọi là một


5

lọc tầm thường của R.

(ii) Cho I là một iđêan của R. Khi đó (I n )n

0

là một lọc của R, nó

được gọi là một lọc I -adic của R.

(iii) Cho (Rn )n
đó (Rn ∩ S)n

0

0

là một lọc của R và S là một vành con của R. Khi

là một lọc của S , nó được gọi là lọc cảm sinh trên S .

Định nghĩa 1.1.3. Cho R là một vành lọc với lọc (Rn )n 0 . Một R-môđun
M lọc là một R-môđun M cùng với một họ (Mn )n

0

các R-môđun con của

M thỏa mãn các điều kiện:
(i) M0 = M ;
(ii) Mn+1 ⊂ Mn với mọi n

0;

(iii) Rm Mn ⊂ Mm+n với mọi n, m

0.

Ví dụ 1.1.4. (i) Cho M là một R-mơđun và R có lọc tầm thường. Khi đó

M cũng có một lọc tầm thường và được định nghĩa bởi M0 = M , Mn = 0
với mọi n

1.

(ii) Xét lọc I -adic của R với I là một iđêan của R. Định nghĩa lọc I -adic
của M là Mn = I n M với mọi n ≥ 0. Khi đó M là một R-mơđun lọc.
Cho M là một R-môđun lọc. Lọc (Mn )n

0

trên M xác định một tơpơ

trên M tương thích với cấu trúc nhóm con abel của M mà (Mn )n≥0 là một
cơ sở lân cận của 0. Tôpô này được gọi là tôpô cảm sinh bởi lọc (Mn )n 0 .
Trước hết chúng tôi nhắc lại khái niệm dãy Cauchy: Một dãy (xn ) các
phần tử trong M được gọi là một dãy Cauchy nếu với mỗi k ∈ N, tồn tại

n0 sao cho xm − xn ∈ Mk , với mọi m, n

n0 .

6

Gọi T là tập tất cả các dãy Cauchy trong M . Trên T quan hệ hai ngôi
được định nghĩa bởi: Với mọi (xn ), (yn ) ∈ T, (xn ) ∼ (yn ) khi và chỉ khi
với mỗi m ∈ N, tồn tại n0 sao cho xn − yn ∈ Mm , với mọi n ≥ n0 .
Khi đó quan hệ trên là quan hệ tương đương. Kí hiệu

M = T /∼ = {(xn )|(xn ) ∈ T }.
Tương tự, gọi S là tập các dãy Cauchy trong R ứng với lọc (Rn )n≥0 . Kí
hiệu R = S/∼ = {(an )n≥0 | (an ) ∈ S}. Khi đó (R, +, .) là vành giao hốn
có đơn vị với hai phép toán: Với mọi (an )n≥0 , (bn )n≥0 ∈ R,

(an ) + (bn ) = (an + bn )n≥0 và (an ).(bn ) = (an bn )n≥0 .
Tiếp theo, hai phép tốn cộng và phép nhân vơ hướng trên M được định
nghĩa bởi
Với mọi (xn ), (yn ) ∈ M , (xn ) + (yn ) = (xn + yn )n≥0 .
Với mọi (an ) ∈ R, với mọi (xn ) ∈ M , (an ).(xn ) = (an xn ).
Khi đó M là R-mơđun.
Cho I là một iđêan của vành R, tôpô được định nghĩa trên M bởi lọc

I -adic được gọi là tôpô I -adic và bao đầy đủ M được gọi là bao đầy đủ
I -adic.

1.2

Tơpơ Zariski

Nội dung phần này được trình bày theo [14]

7

Kí hiệu Var(a) = {p ∈ Spec(R) | a ⊂ p} cho tập hợp tất cả iđêan
nguyên tố chứa a.
Bổ đề 1.2.1. Cho a, b ∈ Id(R) và (ci )i∈Γ là một họ các iđêan của vành

R. Khi đó
a) Var(0) = Spec(R), Var((1)) = ∅.
b) Var(a)
c)

Var(b) = Var(a ∩ b) = Var(ab).

Var(ci ) = Var(

i∈Γ ci ).

Định nghĩa 1.2.2. Tôpô trên Spec(R) xác định bởi họ các tập con mở

T := {M ⊆ Spec(R) | a ∈ Id(R) sao cho M = R\ Var(a)} được gọi
là tôpô Zariski. Không gian tôpô (Spec(R), T ) thường được gọi là phổ
(spectrum) của R. Tôpô cảm sinh trên Max(R) gọi là phổ cực đại.
Ví dụ 1.2.3. 1) Cho R là một trường khi đó Spec(R) = {0}.

2) Cho R = Z khi đó Spec(R) = {0; pZ}, p là số nguyên tố.

1.3

Địa phương hóa

Nội dung của phần này được trình bày theo [9]
Cho R là một vành giao hốn có đơn vị. Tập S ⊂ R được gọi là một
tập nhân đóng nếu 1 ∈ S và với mọi x, y ∈ S thì xy ∈ S . Xét tập

S × R = {(s, r) | s ∈ S và r ∈ R}
và định nghĩa trên S × R một quan hệ hai ngơi:

∀(s, r), (t, k) ∈ S × R, (s, r) ∼ (t, k) ⇔ ∃u ∈ S : u(ks − tr) = 0.


8

Khi đó, quan hệ ∼ là một quan hệ tương đương. Với mỗi (s, r) ∈ S × R,
r
ta kí hiệu lớp tương đương (s, r) là và tập thương (S × R)/∼ là S −1 R
s
hay RS . Ta định nghĩa hai phép toán cộng và nhân như sau:
Với mọi

r
k
tr + sk
r k
rk
r k
và ∈ RS , + =
và . = .
s
t

s t
st
s t
st

Chúng ta có thể kiểm tra (RS , +, ·) là một vành giao hốn có đơn vị

1
.
1

Định nghĩa 1.3.1. Vành RS được gọi là vành các thương của vành R
tương ứng với tập nhân đóng S .
Chú ý rằng, với mỗi p ∈ Spec(R), S = R \ p là một tập nhân đóng. Khi
đó, vành RS cịn được kí hiệu là Rp .
Mệnh đề 1.3.2. Cho R là một vành giao hốn có đơn vị, S là một tập
nhân đóng của R và I là một iđêan của R. Khi đó các khẳng định sau đây
là đúng.

r
(i) Tập IRS = IS = { | r ∈ I và s ∈ S} là một iđêan của vành RS .
s
(ii) Với mỗi p ∈ Spec(R), Spec(Rp ) = {qRp | q ∈ Spec(R) và q ⊂ p}.
(iii) Với mỗi p ∈ Spec(R), vành Rp là một vành địa phương với iđêan
cực đại pRp .
Cho M là một R-môđun. Xét vành các thương RS với S là một tập
nhân đóng. Xét tập

S × M = {(s, m) | s ∈ S và m ∈ M }.

9

Trên tập S × M ta định nghĩa một quan hệ hai ngơi:

∀(s, m), (t, n) ∈ S × M, (s, m) ∼ (t, n) ⇔ ∃u ∈ S : u(tm − sn) = 0.
Khi đó, quan hệ ∼ là một quan hệ tương đương trên S × M và với mỗi
m
(s, m) ∈ S × M , ta kí hiệu lớp tương đương (s, m) là
và tập thương
s
(S × M )/∼ là S −1 M hay MS . Ta định nghĩa phép cộng và phép nhân vô
hướng như sau:
Với mọi

m n tm + sn
m n
, ∈ MS , + =
.
s t
s
t
st

Với mọi

m
a
m a am
∈ MS , ∈ RS , . =

.
s
r
s r
rs

Chúng ta có thể kiểm tra MS là một RS -môđun.
Định nghĩa 1.3.3. Môđun MS trên vành RS được gọi là mơđun địa
phương hóa của M tương ứng với tập nhân đóng S .
Chú ý rằng, với mỗi p ∈ Spec(R), S = R \ p là một tập nhân đóng. Khi
đó, mơđun MS cịn được kí hiệu là Mp .
Định nghĩa 1.3.4. Cho M là một R-môđun. Tập

SuppR (M ) = {p ∈ Spec(R) | Mp = 0}
được gọi là giá của môđun M .
Mệnh đề 1.3.5. Nếu M là R-mơđun hữu hạn sinh thì
SuppR (M ) = Var(AnnR M ).


10

Cho f : R −→ S là một đồng cấu giữa các vành. Một S -mơđun M có
thể xem là một R-môđun thông qua ánh xạ f bằng định nghĩa ax = f (a)x
với mọi a ∈ R và mọi x ∈ M.
Định nghĩa 1.3.6. Cho M là một R-môđun. Môđun S ⊗R M là một

S -môđun với phép nhân vô hướng được xác định bởi s(s1 ⊗ x) = ss1 ⊗ x
với mọi s, s1 ∈ R và mọi x ∈ M.
Định lý 1.3.7. Ánh xạ chính tắc f : RS ⊗R M −→ MS được cho bởi

f [(a/s) ⊗ x] = ax/s, với mọi a ∈ R, s ∈ S , x ∈ M , là đẳng cấu các
RS -mơđun.

1.4

Sự phân tích ngun sơ

Trong chương này, chúng tơi trình bày sự phân tích ngun sơ của một
mơđun theo [13].
Cho R là một vành Noether giao hoán và M là một R-môđun.
Định nghĩa 1.4.1. Môđun con thực sự N của M được gọi là nguyên sơ
nếu với mọi α ∈ R, x ∈ M sao cho αx ∈ N thì x ∈ N hoặc tồn tại k ∈ N
sao cho αk M ⊂ N .
Mệnh đề 1.4.2. Cho N là mơđun con ngun sơ của M . Khi đó

RadM (N ) = {α ∈ R | ∃k ∈ N, αk M ⊂ N } = p là một iđêan nguyên tố
của R. Môđun con N được gọi là môđun con p-nguyên sơ.


11

Định nghĩa 1.4.3. Một iđêan nguyên tố p của R được gọi là một iđêan
nguyên tố liên kết của M nếu tồn tại một phần tử x ∈ M sao cho

Ann(x) = (0 :R x) = p.
Tập tất cả các iđêan nguyên tố liên kết của M được kí hiệu là AssR (M )
hay Ass(M ).
Mệnh đề 1.4.4. Cho R là một vành Noether giao hốn và M là một
mơđun khác khơng hữu hạn sinh trên vành R. Khi đó tồn tại một dây
chuyền chặt các môđun con 0 = M0

M1

...

Mn−1

Mn = M thỏa

mãn Mi /Mi−1 ∼
= R/pi với pi ∈ Spec(R), với mọi i = 1, ..., n. Hơn nữa

AssR (M ) ⊆ {p1 , . . . , pn } ⊆ SuppR (M )
và tập các phần tử cực tiểu của ba tập này là trùng nhau.
Cho N là một mơđun con của M . Một phân tích nguyên sơ của N là
một biểu diễn N = Q1 ∩ Q2 ∩ . . . ∩ Qr với mọi Qi là môđun con nguyên
sơ trong M . Hơn nữa, một phân tích nguyên sơ được gọi là tối thiểu nếu
không thể bỏ đi bất cứ một Qi nào (tức là

Qk

Qi ) và với mọi i = j ,

k=i

RadM (Qi ) = RadM (Qj ).
Hiển nhiên, một phân tích nguyên sơ của N có thể đưa về một phân
tích ngun sơ tối thiểu.
Định lý 1.4.5. Mọi môđun con thực sự của một mơđun Noether đều có
sự phân tích ngun sơ tối thiểu.

12

Mệnh đề 1.4.6. Cho R là một vành Noether và M là R-mơđun hữu hạn
sinh. Khi đó 0 =

Q(p), trong đó Q(p) là mơđun con p-ngun sơ.
p∈Ass(M )

1.5

Lý thuyết biểu diễn thứ cấp

Ta đều biết rằng lý thuyết về sự phân tích ngun sơ của các mơđun
con của một mơđun Noether đóng vai trị quan trọng trong Đại số giao
hốn. Một lý thuyết tương tự đối với các môđun Artin gọi là lý thuyết biểu
diễn thứ cấp được đưa ra bởi D. Kirby và I. G. Macdonal. Chúng tơi trích
dẫn một số nội dung của lý thuyết này theo ngôn ngữ của Macdonal [12].
Định nghĩa 1.5.1. Cho C là một R-môđun.

(i) C gọi là môđun thứ cấp nếu C = 0 và với mọi x ∈ R, tự đồng cấu
x

C→
− C hoặc là toàn cấu hoặc là lũy linh.
Trong trường hợp p = Rad(0 : C) là một iđêan nguyên tố và ta nói C
là p-thứ cấp.

(ii) Cho C là một R-môđun. Một biểu diễn thứ cấp R-môđun C là một

phân tích C = C1 + C2 + ... + Cn thành tổng hữu hạn các môđun con

pi -thứ cấp Ci . Nếu C = 0 hoặc C có một biểu diễn thứ cấp thì ta nói C là
biểu diễn được. Biểu diễn thứ cấp này được gọi là tối thiểu nếu các iđêan
nguyên tố pi đôi một khác nhau và khơng có Ci nào bỏ đi được.
Dễ thấy rằng, mọi biểu diễn thứ cấp của R-mơđun C đều có thể quy
về tối thiểu. Tập hợp {p1 , ..., pn } là độc lập với việc chọn biểu diễn thứ
cấp tối thiểu của C . Vì thế ta gọi nó là tập các iđêan nguyên tố gắn kết


13

của C và kí hiệu là AttR (C). Các hạng tử Ci , i = 1, ..., n, được gọi là các
thành phần thứ cấp của C . Nếu pi là tối thiểu trong AttR (C) thì Ci được
gọi là thành phần cơ lập. Tập AttR (C) đóng vai trị quan trọng tương tự
như tập Ass(M ) của một môđun Noether M .
Định lý 1.5.2. Mọi R-môđun Artin L đều có một biểu diễn thứ cấp tối
thiểu.
Mệnh đề 1.5.3. Giả sử L là một R-mơđun biểu diễn được. Khi đó các
phát biểu sau là đúng:
(i) AttR L = ∅ khi và chỉ khi L = 0.
(ii) min AttR L = min Var(AnnR L). Đặc biệt,
dim(R/AnnR L) = max{dim(R/p)| p ∈ AttR L}.
(iii) Cho 0 → L → L → L → 0 là dãy khớp các R-môđun biểu diễn
được. Khi đó ta có AttR L ⊆ AttR L ⊆ AttR L’ ∪ AttR L .

1.6

Đa thức Hilbert, chiều Krull và mơđun CohenMacaulay

Nội dung của phần này được trình bày theo [9], [13] và [14].
Định nghĩa 1.6.1. Vành R được gọi là vành phân bậc nếu tồn tại một
họ các nhóm con (Rn )n

0

của nhóm (R, +) thỏa mãn các điều kiện sau:

(i) R = ⊕n≥0 Rn ;
(ii) Rn Rm ⊂ Rn+m với mọi n, m

0.


14

Ví dụ 1.6.2. (i) Cho R là một vành bất kì và R0 = R và Rn = 0 với mọi

n

1. Khi đó R là vành phân bậc và gọi là vành phân bậc tầm thường.
(ii) Xét vành đa thức n biến R = K[X1 , X2 , ..., Xn ] với K là một

trường. Gọi Rd là tập tất cả các đa thức thuần nhất bậc d và đa thức
khơng. Khi đó ta có R = ⊕d≥0 Rd và Rd Rm ⊂ Rd+m với mọi d, m

0. Vậy

R = K[X1 , X2 , ..., Xn ] là một vành phân bậc.
Định nghĩa 1.6.3. Giả sử R = ⊕n≥0 Rn là một vành phân bậc, R-môđun

M được gọi là R-môđun phân bậc nếu tồn tại một họ các nhóm con (Mn )n

0

của (M, +) thỏa mãn các điều kiện sau:

(i) M = ⊕n≥0 Mn ;
(ii) Rn Mm ⊂ Mn+m với mọi n, m

0.

Ví dụ 1.6.4. Xét vành đa thức n biến R = K[X1 , X2 , ..., Xn ] với sự phân
bậc được định nghĩa ở ví dụ (ii) ở trên, khi đó R được xem là một R-mơđun
phân bậc.
Những phần tử của Rn hoặc Mn trong một vành phân bậc hoặc một
môđun phân bậc được gọi là thành phần thuần nhất bậc n.
Định nghĩa 1.6.5. Cho R là một vành lọc với lọc (Rn )n 0 . Đặt

grn (R) = Rn /Rn+1 ; gr(R) = ⊕n≥0 grn (R)
Khi đó gr(R) có một phép tốn nhân được cho bởi

(a + Rn+1 )(b + Rm+1 ) = ab + Rn+m+1


15

với a ∈ Rn , b ∈ Rm . Khi đó gr(R) là một vành phân bậc. Vành này được
gọi là vành phân bậc liên kết của R.
Ví dụ 1.6.6. Xét lọc I -adic của vành lọc R, Rn = I n với mọi n ≥ 0. Đặt

grn (R) = In /In+1 ; gr(R) = ⊕n≥0 grn (R). Vành gr(R) cùng với phép toán
nhân được cho bởi (a + In+1 )(b + Im+1 ) = ab + In+m+1 với a ∈ Rn , b ∈ Rm ,
là vành phân bậc liên kết của vành R.
Định nghĩa 1.6.7. Cho M là một R-môđun lọc trên vành lọc R với lọc

(Mn )n

0

của M và lọc (Rn )n

0

của R. Đặt

grn (M ) = Mn /Mn+1 ; gr(M ) = ⊕n≥0 grn (M )
Khi đó gr(M ) có một phép tốn nhân được cho bởi

(a + Rn+1 )(x + Mm+1 ) = ax + Rn+m+1
với a ∈ Rn , x ∈ Mm . Khi đó gr(M ) là một R-mơđun phân bậc. Mơđun
này được gọi là môđun phân bậc liên kết của M .
Tiếp theo, chúng tơi trình bày khái niệm đa thức Hilbert và chiều Krull
của một môđun.
Định nghĩa 1.6.8. Một hàm đa thức f là một ánh xạ f : N −→ Q sao
cho tồn tại một đa thức g(X) ∈ Q[X] thỏa mãn f (n) = g(n) khi n đủ
lớn.
Chú ý rằng, đa thức g(X) là duy nhất. Bậc và hệ tử cao nhất của đa
thức này được gọi là bậc và hệ tử cao nhất của hàm đa thức f .

16

Định lý 1.6.9. Cho f : N −→ Q là một ánh xạ. Khi đó, f là một
hàm đa thức bậc r khi và chỉ khi ∆f : N −→ Q được định nghĩa bởi

∆f (n) = f (n + 1) − f (n) là một hàm đa thức bậc r − 1.
Tiếp theo, chúng tơi trình bày một loại hàm đa thức đặc biệt.
Mệnh đề 1.6.10. Cho R = ⊕n≥0 Rn là một vành phân bậc, trong đó R0
là vành Artin, R là R0 -đại số hữu hạn sinh bởi r phần tử a1 , . . . , ar trong

R1 và M = ⊕n≥0 Mn là một R-môđun phân bậc hữu hạn sinh. Khi đó, mỗi
Mn là một R0 -môđun hữu hạn sinh.
Hệ quả 1.6.11. Với mỗi n ≥ 0, lR0 (Mn ) < ∞.
Định lý 1.6.12. Cho R = ⊕n≥0 Rn là một vành phân bậc với R0 là vành
Artin và R là một R0 -đại số hữu hạn sinh và sinh bởi r phần tử a1 , . . . , ar
trong R1 . Cho M là một R-mơđun phân bậc hữu hạn sinh. Khi đó, ánh xạ

χ(M, ) : N → Z được xác định bởi χ(M, n) = lR0 (Mn ) là một hàm đa
thức có bậc nhỏ hơn hoặc bằng r − 1.
Hệ quả 1.6.13. Cho R là một vành Noether địa phương với iđêan cực đại
m sinh bởi r phần tử và k = R/m. Khi đó χ(grm (R), n) = lk (mn /mn+1 )
là một hàm đa thức có bậc nhỏ hơn hoặc bằng r − 1.
Định nghĩa 1.6.14. Đa thức được định nghĩa từ hàm đa thức χ(M, n)
được gọi là đa thức Hilbert của môđun M .
Tiếp theo, chúng tơi trình bày trường hợp đặc biệt của đa thức Hilbert.


17

Cho R là một vành Noether giao hoán địa phương với iđêan cực đại m.
Một iđêan I được gọi là một iđêan định nghĩa của R nếu mk ⊆ I ⊆ m với
một k

1. Điều này tương đương với I ⊆ m và R/I là Artin.

Cho I là một iđêan định nghĩa của R và M là một R-môđun hữu hạn
sinh. Khi đó M/IM là mơđun hữu hạn sinh trên R/I . Xét lọc I -adic của

R và M . Khi đó ta có vành phân bậc liên kết và môđun phân bậc liên kết
grI (R) = ⊕n 0 I n /I n+1 và grI (M ) = ⊕n 0 I n M/I n+1 M và grI (M ) là một
grI (R)-môđun hữu hạn sinh. Hơn nữa, nếu I sinh bởi a1 , . . . , ar trên R
thì ảnh của chúng a1 , . . . , ar trong I/I 2 sinh ra grI (R) trên R/I . Vì vậy,
hàm đa thức χ(grI (M ), n) được xác định, trong đó

χ(grI (M ), n) = lR/I (I n M/I n+1 M ).
Vì mns (M/I n M ) = 0 nên lR (M/I n M ) < ∞.
Ký hiệu PI (M, n) = lR (M/I n M ). Từ dãy khớp ngắn các R-môđun

0 −→ I n M/I n+1 M −→ M/I n+1 M −→ M/I n M −→ 0
và lR (I n M/I n+1 M ) = lR/I (I n M/I n+1 M ), ta được

∆PI (M, n) = PI (M, n + 1) − PI (M, n) = χ(grI (M ), n).
Mệnh đề 1.6.15. Cho R là một vành Noether địa phương với iđêan cực
đại m, M là một R-môđun hữu hạn sinh, I là một iđêan định nghĩa của R
sinh bởi r phần tử. Khi đó, PI (M, n) = lR (M/I n M ) là một hàm đa thức
theo n và có bậc nhỏ hơn hoặc bằng r khi n ≥ 0.


18

Mệnh đề 1.6.16. Bậc của hàm đa thức PI (M, n) của môđun M không
phụ thuộc vào iđêan định nghĩa I và được kí hiệu là d(M ) = deg PI (M, n).
Cho R là một vành giao hốn có đơn vị 1 = 0. Một dãy hữu hạn gồm

n + 1 iđêan nguyên tố p0 ⊃ p1 ⊃ . . . ⊃ pn được gọi là một dây chuyền
nguyên tố độ dài n. Nếu p ∈ Spec(R), chặn trên nhỏ nhất của tất cả độ
dài của các dây chuyền nguyên tố với p = p0 được gọi là độ cao của p và kí
hiệu là ht(p). Vì vậy ht(p) = 0 tức là p là iđêan nguyên tố tối tiểu của R.
Cho I là một iđêan thực sự của R. Chúng ta định nghĩa độ cao của I
là chặn dưới lớn nhất của các độ cao của các iđêan nguyên tố chứa I :

ht(I) = inf{ht(p) | p ⊇ I}.
Định nghĩa 1.6.17. Chiều Krull của R được định nghĩa là chặn trên nhỏ
nhất của tất cả độ cao của tất cả iđêan nguyên tố của R:

dim R = sup{ht(p) | p ∈ Spec(R)}.
Ví dụ 1.6.18. 1) Cho K là một trường. Khi đó dim K = 0.
2) dim Z = 1.
Nhận xét 1.6.19. (i) Với mỗi p ∈ Spec(R), ht(p) = dim(Rp ).

(ii) Với mỗi iđêan I của R, dim(R/I) + ht(I)

dim R.

Định nghĩa 1.6.20. Cho M = 0 là một R-môđun. Chiều Krull của M là

dim(M ) = dim(R/ Ann(M )).
Nếu M = 0, qui ước dim(M ) = −1.