Một số vấn đề về bất đẳng thức vi biến phân hữu hạn chiều

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

ĐẶNG THANH QUANG

MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ BẤT ĐẲNG THỨC VI
BIẾN PHÂN HỮU HẠN CHIỀU

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC

Bình Định - 2019


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

ĐẶNG THANH QUANG

MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ BẤT ĐẲNG THỨC VI
BIẾN PHÂN HỮU HẠN CHIỀU

Chun ngành: Tốn giải tích
Mã số: 8.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. Lê Quang Thuận

Bình Định - 2019

LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan rằng luận văn thạc sỹ với đề tài “Một số vấn đề về bất đẳng
thức vi biến phân hữu hạn chiều" là kết quả của quá trình đọc tài liệu, nghiên
cứu và làm rõ của tôi dưới sự hướng dẫn của TS. Lê Quang Thuận tại Trường Đại
học Quy Nhơn. Luận văn này không trùng lặp với các luận văn thạc sỹ khác cùng
chuyên ngành.
Bình Định, ngày 21 tháng 07 năm 2019
Học viên

Đặng Thanh Quang


i

Mục lục

Lời cam đoan
Mở đầu
1 Một số kiến thức chuẩn bị
1.1 Không gian vectơ Euclide n-chiều
1.2 Một số không gian hàm . . . . .
1.3 Tập lồi và hàm lồi . . . . . . . . .
1.4 Ánh xạ đa trị . . . . . . . . . . .
1.5 Ánh xạ đa trị đơn điệu cực đại .

1

.
.

.
.
.

4
4
5
7
8
10

.
.
.
.
.
.

15
15
16
18
21
21
21

3 Bất đẳng thức vi biến phân tiến hóa
3.1 Bất đẳng thức vi biến phân tiến hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Sự tồn tại duy nhất nghiệm của EVI . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27
27
28

Kết luận

38

Tài liệu tham khảo

39

2 Bất
2.1
2.2
2.3
2.4

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

đẳng thức vi biến phân
Bất đẳng thức vi biến phân . . . . . . . . . .
Phân loại các bất đẳng thức vi biến phân . . .
Liên hệ DVIs với một số lớp bài toán khác . .
Một số cách tiếp cận các DVIs . . . . . . . . .
2.4.1 Tiếp cận DVIs từ các Lipschitz ODEs .
2.4.2 Cách tiếp cận DVIs từ DIs . . . . . . .

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.

.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.


1

MỞ ĐẦU
Các hệ động lực không trơn cung cấp một cơng cụ mơ hình hóa để mơ tả các sự thay
đổi không liên tục theo các trường véc tơ và các quỹ đạo của trạng thái. Sự tiến hóa
của quỹ đạo của các hệ thống như vậy thường được mô tả thông qua ánh xạ đa trị
và dẫn đến nhiều cách đặt bài toán khác nhau. Chẳng hạn như, ta có thể xem các
sách về lý thuyết bất biến, các hệ Filippov, các quá trình quét (sweeping process), và
cơ học không trơn, cũng như các bài báo về các quá trình lồi đóng, bất đẳng thức vi
biến phân,...
Các bất đẳng thức vi biến phân cung cấp một cơng cụ tốn học để mơ hình hóa sự
tiến hóa của quỹ đạo trạng thái, ngồi phương trình vi phân, cũng như một số quan
hệ đại số. Nói chung, một bất đẳng thức vi biến phân bao gồm một phương trình vi
phân thơng thường (ODE), được sử dụng để mô tả chuyển động của biến trạng thái,
và bất đẳng thức biến phân (VI), thể hiện các ràng buộc và các mối quan hệ phải

được thỏa mãn bởi biến trạng thái. Các bất đẳng thức vi biến phân hiện nay được
nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu. Với mong muốn tìm hiểu những điều kiện
cho sự tồn tại nghiệm và một số vấn đề liên quan, học viên đã chọn đề tài “Một số
vấn đề về bất đẳng thức vi biến phân hữu hạn chiều” để nghiên cứu cho luận văn thạc
sĩ của mình. Trong luận văn này, ngồi mục lục, mở đầu và kết luận, nội dung luận
văn được trình bày trong ba chương:
Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị. Trong chương này, chúng tơi trình bày
một số kiến thức chuẩn bị để làm cơ sở cho các lập luận trong các chứng minh
ở những chương sau.
Chương 2. Bất đẳng thức vi biến phân. Trong chương này, chúng tơi sẽ trình
bày sự tồn tại duy nhất nghiệm của một lớp bất đẳng thức vi biến phân và
một số vấn đề liên quan.
Chương 3. Bất đẳng thức vi biến phân tiến hóa. Trong chương này, chúng tơi
sẽ tìm hiểu sự tồn tại duy nhất nghiệm của một lớp bất đẳng thức vi biến phân
phụ thuộc thời gian hay bất đẳng thức vi biến phân tiến hóa. Bất đẳng thức vi
biến phân này bao gồm các phương trình vi phân thường kết hợp với bất đẳng
thức biến phân liên quan đến ánh xạ đa trị có giá trị thay đổi theo thời gian.
Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Quy Nhơn dưới sự hướng dẫn của
thầy, TS. Lê Quang Thuận. Nhân đây, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến Thầy


2
hướng dẫn. Thầy không chỉ hướng dẫn tôi nghiên cứu khoa học mà cịn thơng cảm và
tạo mọi điều kiện, động viên tơi trong suốt q trình làm đề tài. Tơi cũng xin chân
thành cảm ơn khoa Tốn, phịng Đào tạo sau đại học, Trường Đại học Quy Nhơn đã
giúp đỡ và tạo mọi điều kiện thuận lợi để tôi hồn thành khóa học cùng với luận văn
này.
Cuối cùng, tơi xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè, những người thân đã quan
tâm, giúp đỡ và luôn sát cánh bên tơi. Trong q trình viết luận văn chắc chắn khơng
tránh khỏi những hạn chế và thiếu sót. Rất mong nhận được sự góp ý của q thầy

cơ, q bạn đồng nghiệp để luận văn được hồn thiện hơn.
Tơi xin chân thành cảm ơn.
Quy Nhơn, ngày 21 tháng 07 năm 2019
Học viên

Đặng Thanh Quang


4

Chương 1

Một số kiến thức chuẩn bị
Trong chương này, chúng tơi sẽ trình bày một số kiến thức cần thiết để chuẩn bị cho
các lập luận ở chương sau.

1.1

Không gian vectơ Euclide n-chiều

Định nghĩa 1.1. Xét không gian véc tơ Euclide n-chiều Rn . Với
fi

»

»

fi

— y1 ffi

— x1 ffi
— ffi
— ffi
— y2 ffi
— x2 ffi
— ffi
— ffi
n
x “ — . ffi P R , y “ — . ffi P Rn ,
— .. ffi
— .. ffi
— ffi
— ffi
– fl
– fl

xn

yn

tích vô hướng của hai vectơ x và y trong Rn được xác định bởi
xx, y y :“ x1 y1 ` x2 y2 ` ă ă ă ` xn yn .

Chun của một vectơ x P Rn được định nghĩa là }x} “

a

xx, xy. Hình cầu đơn vị

(

trong Rn được định nghĩa là Bn :“ x P Rn : }x} ď 1 .
Định nghĩa 1.2. Cho A Ď Rn . Hàm khong cỏch d pă, Aq : Rn ẹ R c định nghĩa
là
d px, Aq “ inf }x ´ a} : a P A , x P Rn .
(


5
Cho λ P R. Khi đó
λA :“ tλa : a P Au .
Cho A, B Ă Rn . Khi đó
A ` B :“ ta ` b : a P A, b P B u .
Bao đóng clpAq và phần trong intpAq được định nghĩa như sau:
clpAq “

č

pA ` Bn q , intpAq :“ ta P A : D ą 0, a ` Bn Ă Au .

ą0

Biên của tập A được định nghĩa là bdpAq “ clpAqzintpAq.
Định nghĩa 1.3. Cho f : Rn Ñ R Y t`8u là một hàm. Miền hữu hiệu của hàm f ,
ký hiệu domf , là tập được xác định bởi
domf “ x P Rn : f pxq ă `8 .
(

(

Định nghĩa 1.4. Tập epif “ px, aq P Rn ˆ R : f pxq ď a được gọi là trên đồ thị của
hàm f .

1.2

Một số không gian hàm

Trong luận văn này, không gian tuyến tính các hàm khả tích Lebesgue f : r0, T s Đ Rn
sẽ được kí hiệu là L1 pr0, T s , Rn q. Nó là khơng gian Banach với chuẩn
żT
}f ptq}dt, f P L1 pr0, T s , Rn q.

}f }L1 “
0

Khơng gian tuyến tính các hàm bình phương khả tích Lebesgue f : r0, T s Đ Rn sẽ
được kí hiệu là L2 pr0, T s , Rn q. Nó là khơng gian Hilbert với tích vơ hướng
żT
xf, g y “

xf psq, g psqyds
0

và tích vơ hướng sinh ra chun

}f }L2

ă
1
T

2

2
}f ptq} dt , f P L2 pr0, T s , Rn q.
0


6
Không gian Banach các hàm liên tục x : ra, bs Ñ Rn với chuẩn
}x} “ maxt}xptq} | t P ra, bsu

sẽ được kí hiệu là C pra, bs, Rn q.
Định nghĩa 1.5. Hàm x : ra, bs Ñ Rn được gọi là liên tục tuyệt đối nếu với mọi
” 1 2ı
ą 0, tồn tại δ ą 0 sao cho với mọi họ đếm được các đoạn con rời nhau tk , tk Ă ra, bs

thỏa mãn
ÿ´

2

1

¯

tk ´ tk ă δ

k

ta có

ÿ

2

1

}xptk q ´ xptk q} ă .

k

Mỗi hàm liên tục tuyệt đối sẽ liên tục và có biến phân bị chặn. Mỗi hàm Lipschitz
sẽ liên tục tuyệt đối. Nếu x : ra, bs Ñ Rn là liên tục tuyệt đối thì nó khả vi hầu khắp
nơi và có đạo hàm x9 là hàm khả tích Lebesgue. Hơn nữa, ta có
żt2

xpt2 q ´ xpt1 q “

x9 ptqdt
t1

với mọi t1 , t2 P ra, bs , t1 ă t2 . Không gian các hàm liên tục tuyệt đối trên đoạn ra, bs
vào Rn sẽ được kí hiệu là ACpra, bs , Rn q. Đây là không gian định chuẩn với chuẩn
żb
}x9 ptq}dt, x P ACpra, bs , Rn q.

}x}AC :“ }xpaq} `
a

Định nghĩa 1.6. Một tập X Ď C pra, bs , Rn q được gọi là đồng liên tục hay liên tục
đồng bậc nếu với mọi

ą 0, tồn tại δ ą 0 sao cho }xpt2 q ´ xpt1 q} ă

với mọi x P X

và mọi t1 , t2 P ra, bs thỏa mãn |t2 ´ t1 | ă δ.
Định lý 1.1. pArzela ´ Ascoliq Nếu một tập X Ď C pra, bs , Rn q là bị chặn và đồng
liên tục thì nó chứa một dãy hội tụ đều txi |i “ 1, 2, . . .u Ď X; nghĩa là tồn tại
x P C pra, bs , Rn q sao cho
}xi ´ x}C Ñ 0 khi i Ñ 8.

Hệ quả 1.1. Mỗi tập bị chặn các hàm liên tục tuyệt đối X sao cho }x9 ptq} ď b, @x P X
sẽ chứa một dãy con hội tụ đều.


7
Định lý 1.2. Giả sử dãy xi P L1 pra, bs , Rn q hội tụ tới hàm x hầu khắp nơi và }xi ptq} ď
φptq, t P ra, bs , i “ 1, 2, ... trong đó φ P L1 pra, bs , Rn q. Khi đó, x P L1 pra, bs , Rn q và xi
hội tụ tới x theo chuẩn L1 .
`

˘

Định lý 1.3. Giả sử α P AC r0, T s , R thỏa mãn
|α9 ptq| ď lptqαptq ` ρptq, t P r0, T s ,
`

˘

`

˘

trong đó l P L1 r0, T s , Rn , lptq ě 0, ρ P L1 r0, T s , Rn . Khi đó,
şt

lpsqds ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇαptqˇ ď e0
ˇαp0qˇ `

żt

şt

şs

ˇ
ˇ lpτ qdτ ´ lpτ qdτ
ˇρpsqˇ e0
0
ds, t P r0, T s.

0

1.3

Tập lồi và hàm lồi

Trong mục này, chúng tơi trình bày một số tính chất cơ bản về tập lồi và hàm lồi
trong không gian hữu hạn chiều Rn .
Định nghĩa 1.7. Một tập C Ă Rn được gọi là lồi nếu
@x1 , x2 P C, @λ P r0, 1s, ta có λx1 ` p1 ´ λq x2 P C.

Mệnh đề 1.1. Giả sử Cα Ă Rn , α P I, là tập lồi, với I là tập chỉ số bất kỳ. Khi đó,
tập C “

Ş

Cα là tập lồi.

α PI

Chứng minh. Lấy bất kỳ x1 , x2 P C và λ P r0, 1s. Khi đó, x1 , x2 P Cα , @α P I. Do Cα
lồi, nên λx1 ` p1 ´ λq x2 P Cα , @α P I. Từ đó, ta có
λx1 ` p1 ´ λq x2 P C.
Vậy, C là tập lồi.
Định nghĩa 1.8. Véc tơ x P Rn được gọi là một tổ hợp lồi của các véc tơ x1 , x2 , . . . , xm P
Rn nếu tồn tại λi ě 0, i “ 1, 2, . . . , m,

m
ř
i“1

λi “ 1 sao cho x “

m
ř

λi xi .

i“1

Định nghĩa 1.9. Giả sử A Ď Rn . Giao của tất cả các tập lồi chứa A được gọi là bao
lồi của tập A, và kí hiệu là copAq.


8
Định nghĩa 1.10. Giả sử A Ď Rn . Giao của tất cả các tập lồi đóng chứa A được gọi
là bao lồi đóng của A, và ký hiệu là copAq.
Định nghĩa 1.11. Cho X Ă Rn là một tập lồi và f : X Ñ R là một hàm số. Hàm f
được gọi là lồi trên X nếu @x1 , x2 P X, @λ P r0, 1s ta có
f pλx1 ` p1 ´ λqx2 q ď λf px1 q ` p1 ´ λqf px2 q.
Định nghĩa 1.12. Cho A là một tập lồi trong Rn . Hàm tựa suppA của tập hợp A
là hàm số suppA : Rn Ñ R được xác định bởi
(

suppApxq “ sup xa, xy |a P A .

1.4

Ánh xạ đa trị

Trong mục này, chúng tôi trình bày một số khái niệm cơ bản của Giải tích đa trị, cần
thiết cho việc đưa ra các kết quả ở phần sau của luận văn.
Định nghĩa 1.13. Một ánh xạ đa trị F từ Rn vào Rm là một ánh xạ biến một
phần tử x P Rn thành một tập hợp F pxq Ă Rm . Ta sẽ kí hiệu ánh xạ đa trị này bởi
F : Rn Ñ Rm .

Chú ý rằng trong định nghĩa trên ta khơng loại trừ khả năng là có phần tử x P Rn sao
cho F pxq là tập hợp rỗng. Nếu với mỗi x P Rn mà F pxq là tập hợp chỉ có một phần
tử của Rm thì F trở thành ánh xạ đơn trị và kí hiệu thơng thường là F : Rn Ñ Rm .
Định nghĩa 1.14. Đồ thị của ánh xạ đa trị F : Rn Ñ Rm được kí hiệu là grF và
được xác định bởi
grF “ px, y q P Rn ˆ Rm | y P F pxq .
(

Miền của F được kí hiệu là domF và được xác định bởi
domF “ x P Rn | F pxq ‰ ∅ .
(

Ảnh của F được kí hiệu là imF hoặc rgeF và được xác định bởi
imF “ rgeF “ y P Rm | Dx P Rn , y P F pxq .
(


9
Ánh xạ ngược F ´1 : Rm Ñ Rn của ánh xạ đa trị F : Rn Ñ Rm được xác định bởi
công thức
F ´1 py q “ x P Rn |y P F pxq .
(

Định nghĩa 1.15. Cho F : Rn Ñ Rm là một ánh xạ đa trị. Ta nói F là Lipschitz
nếu tồn tại một số L ą 0 sao cho
F px1 q Ă F px2 q ` L}x1 ´ x2 }Bm ,
với mọi x1 , x2 P Rn , ở đây Bm là hình cầu đơn vị đóng trong Rm .
Định nghĩa 1.16. Cho F : Rn Ñ Rm là ánh xạ đa trị.
p1q Nếu grF là tập đóng trong khơng gian Rn ˆ Rm thì F được gọi là ánh xạ đa

trị đóng.
p2q Nếu grF là tập lồi trong khơng gian Rn ˆ Rm thì F được gọi là ánh xạ đa trị

lồi.
p3q Nếu với mọi x P Rn , F pxq là một tập đóng trong khơng gian Rm thì F được

gọi là ánh xạ đa trị có giá trị đóng.
p4q Nếu với mọi x P Rn , F pxq là một tập lồi trong khơng gian Rm thì F được gọi

là ánh xạ đa trị có giá trị lồi.
Định nghĩa 1.17. Ánh xạ đa trị F : Rn Ñ Rm được gọi là đo được (Lebesgue) nếu
với mỗi tập con mở G của Rm , F ´ pGq là một tập con đo được (Lebesgue) của Rn .
Định nghĩa 1.18. Ánh xạ đa trị F : R Ñ Rm được gọi là bị chặn khả tích nếu tồn
tại một hàm đơn trị khả tích Lebesgue g : R Đ r0, 8q sao cho
}F ptq} ď g ptq với mọi t P R,

trong đó
}F ptq} :“ suptz | z P F ptqu.


10
Định nghĩa 1.19. Ánh xạ đa trị F : Rn Ñ Rm được gọi là nửa liên tục trên tại
x0 P Rn nếu với mỗi tập mở G chứa F px0 q, tồn tại một lân cận U của x0 sao cho
F pU q Ă G.
Ta nói F là nửa liên tục trên trên một miền D Ď Rn nếu F là nửa liên tục trên
tại mỗi điểm x P D. Trong trường hợp khi D “ Rn , ta nói F là nửa liên tục trên.
Định lý 1.4. Ánh xạ đa trị F : Rn Ñ Rm là nửa liên tục trên nếu và chỉ nếu
(

F ` pGq :“ x P Rn | F pxq Ď G là một tập mở trong Rn , với mọi tập mở G của Rm .

1.5

Ánh xạ đa trị đơn điệu cực đại

Định nghĩa 1.20. Ánh xạ đa trị F : Rn Ñ Rn được gọi là đơn điệu nếu với mọi
x1 , x2 P dompF q và mọi y1 P F px1 q, y2 P F px2 q,
xx1 ´ x2 , y1 ´ y2 y ě 0.

(1.1)

Ví dụ 1.1. Xét ánh xạ đa trị F : R Ñ R xác định bởi
$
’
’
’
tx ` 1u
’
’
’
&

F pxq “

t´1, 1u
’
’
’
’
’

’
%tx ´ 1u

nếu x ą 0
nếu x “ 0
nếu x ă 0.

Khi đó, F là ánh xạ đa trị đơn điệu.
Định nghĩa 1.21. Cho F : Rn Ñ Rn là một ánh xạ đa trị đơn điệu. Ta nói F là đơn
điệu cực đại nếu khơng tồn tại một ánh xạ đa trị đơn điệu F˜ sao cho grpF˜ q thực sự
chứa grF .
Ví dụ 1.2. Xét ánh xạ đa trị F : R Ñ R xác định bởi
$
’
’
’
tx ` 1u
’
’
’
&
F pxq “ r´1, 1s
’
’
’
’
’
’
%tx ´ 1u

Khi đó, F là ánh xạ đa trị đơn điệu cực đại.

nếu x ą 0
nếu x “ 0
nếu x ă 0.


11
Từ định nghĩa ánh xạ đa trị đơn điệu cực đại, ta có thể chứng minh được kết quả
sau đây.
Định lý 1.5. Ánh xạ đa trị F : Rn Ñ Rn là đơn điệu cực đại nếu và chỉ nếu hai
mệnh đề sau đây là tương đương nhau:
paq Với mọi px, y q P grpF q, xx ´ x
˜, y ´ y˜y ě 0.
pbq y˜ P F px
˜q.

Ví dụ 1.3. Giả sử C là một tập con lồi, đóng và khơng rỗng của Rn . Ánh xạ đa trị
nón pháp tuyến Nc : Rn Ñ Rn xác định bởi

NC pxq “

$
’
’
&H

nếu x R C

(

’
’
% v P Rn | xv, z ´ xy ď 0

nếu x P C

là đơn điệu cực đại.
Định lý 1.6. Cho F : Rn Ñ Rn là một ánh xạ đa trị đơn điệu cực đại. Khi đó, với
mọi λ ą 0, ánh xạ λF là một ánh xạ đa trị đơn điệu cực đại.
Tổng của hai ánh xạ đa trị đơn điệu cực đại nói chung không là ánh xạ đa trị đơn
điệu cực đại. Để ánh xạ tổng đơn điệu cực đại, ta cần thêm điều kiện như định lý sau
đây khẳng định.
Định lý 1.7. Cho F, G : Rn Ñ Rn là hai ánh xạ đa trị đơn điệu cực đại với dompF q X
dompGq ‰ H. Nếu
rintpdompF qq X rintpdompGqq ‰ H

(1.2)

thì F ` G là đơn điệu cực đại.
Định lý 1.8. Giả sử ánh xạ đa trị F : Rn Ñ Rn là đơn điệu cực đại. Khi đó
paq F là ánh xạ đóng và lồi, tức là F pxq là tập đóng và lồi với mỗi x P dompF q;
pbq Đồ thị grpF q là tập đóng trong Rn ˆ Rn .


12
Chứng minh. (a) Với mỗi x˜ P dompF q, Định lý 1.5 suy ra
F px˜q “ ty˜ P Rn | xx ´ x˜, y ´ y˜y ě 0, @px, y q P grpF qu
č

y˜ P Rn | xx ´ x˜, y ´ y˜y ě 0 .

(

“
px,y qPgrpF q

Để ý rằng F px˜q là giao của một họ các nửa không gian đóng trong Rn . Do đó, F px˜q
là một tập lồi và đóng của Rn với mỗi x P dompF q.
(b) Giả sử tpxk , yk qu là một dãy trong grpF q và pxk , yk q Ñ px˚ , y ˚ q khi k Ñ 8. Ta
chứng minh rằng px˚ , y ˚ q P grpF q. Thật vậy, do F đơn điệu cực đại và yk P F pxk q nên
ta suy ra từ Định lý 1.5 rằng
xx ´ xk , y ´ yk y ě 0, @px, y q P grpF q, @k ě 1.

Tương ứng với mỗi px, y q, trong bất đẳng thức trên cho k Ñ 8 ta sẽ thu được
xx ´ x˚ , y ´ y ˚ y ě 0

với mọi px, y q P grpF q. Điều này cùng với Định lý 1.5 sẽ cho ta y ˚ P F px˚ q và do đó
px˚ , y ˚ q P grpF q.
Tính đơn điệu cực đại của ánh xạ đa trị bất biến đối với phép lấy nghịch đảo.
Định lý 1.9. Ánh xạ đa trị F : Rn Ñ Rn là đơn điệu (cực đại) nếu và chỉ nếu ánh
xạ đa trị ngược F ´1 : Rn Ñ Rn là đơn điệu (cực đại).
Định lý 1.10 (Minty). Giả sử F : Rn Ñ Rn là một ánh xạ đa trị đơn điệu. Khi đó,
F là cực đại nếu và chỉ nếu 1 ` F là toàn ánh, tức là
ď

x ` F pxq “ Rn .
(

xPdompF q

Chú ý rằng, đồ thị

grpF q “

ď

txu ˆ F pxq

xPdompF q

là một tập đóng, nhưng dompF q có thể khơng đóng. Định lý sau khẳng định rằng
dompF q rất gần với miền đóng và lồi, tập gần lồi. Hơn nữa, ánh xạ đa trị giá trị nón
lùi xa kết hợp với F trùng với ánh xạ nón pháp tuyến của tập clpdompF qq trên miền
dompF q.


13
Định nghĩa 1.22. Một tập con E của Rn được gọi là tập gần lồi nếu tồn tại một
tập con lồi C của Rn sao cho
C Ď E Ď clpC q.
Mỗi tập lồi là một tập gần lồi, nhưng điều ngược lại khơng đúng.
Ví dụ 1.4. Tập E “ tpx1 , x2 q P R2 | ´ 1 ă x1 ă 1, x2 ą 0u Y tp´1, 0q, p1, 0qu là tập
gần lồi. Tuy nhiên, E không là tập lồi vì E ` E “ 2E Y tp0, 0qu ‰ 2E.
Định lý 1.11. Giả sử ánh xạ đa trị F : Rn Ñ Rn là đơn điệu cực đại. Khi đó, các
khẳng định sau đây đúng:
paq Tập clpdompF qq là tập lồi và F px0 q8 “ NclpdompF qq px0 q, @x0 P dompF q;
pbq Miền dompF q là một tập gần lồi theo nghĩa là tồn tại một tập con lồi SF của

Rn sao cho SF Ď dompF q Ď clpSF q.
Với một hàm lồi thực có giá trị thực mở rộng ψ : Rds Ñ r´8, `8s, chúng ta định
nghĩa dưới vi phân của hàm ψ tại v P Rds kí hiệu B ψ pv q, như sau:
!

ds

@

D

1

` 1˘

1

)

B ψ pv q :“ λ P R | λ, v ´ v ď ψ v ´ ψ pv q@v P dom ψ .

(1.3)

Mệnh đề 1.2. Xét một tập lồi S lồi, đóng, khơng rỗng và gọi ψS p.q biểu thị hàm chỉ
của nó, tức là ψS pv q “ 0 nếu v P S, ψS pv q “ `8 các trường hợp cịn lại. Khi đó:
1. B ψS pv q “ NS pv q,
2. và NS p.q là toán tử đơn điệu cực đại.
Định nghĩa 1.23. Với 1 hàm ϕ : Rn Ñ r´8, `8s, hàm ϕ˚ : Rn Ñ r´8, `8s được
định nghĩa là
ϕ˚ pη q :“ suptxη, v y ´ η pv qu
v

(1.4)

được gọi là liên hợp của ϕ. Với một tập lồi đóng S, liên hợp của hàm chỉ ψS p.q là hàm
giá σS p.q được định nghĩa là σS pη q “ sup xv, η y .
v PS

Mệnh đề 1.3. Với bất kỳ hàm lồi chính thường, nửa liên tục dưới, hàm lồi ϕp.q, ta
có B ϕ˚ “ pB ϕq´1 và B ϕ “ pB ϕ˚ q´1 , tức là
η P NS pv q ÐÑ v P B σS pη q.

(1.5)


14
Trong trường hợp riêng, với 1 tập lồi đóng S,
η P NS pv q ðñ v P B σS pη q.
Cuối cùng, khái niệm sau cùng chúng ta cần để lượng hóa khoảng cách giữa hai tập
hợp 1 cách thích hợp.
Định nghĩa 1.24. Khoảng cách Hausdorff giữa hai tập S1 , S2 Ď Rn được định nghĩa
là
dHaus pS1 , S2 q :“ supt sup dpv1 , S2 q, sup dpv2 , S1 qu
v1 PS1

v2 P S 2

trong đó dpv, S q = inf wPS |v ´ w| là khoảng cách Euclide thông thường giữa một điểm
và tập hợp.


15

Chương 2

Bất đẳng thức vi biến phân
Trong chương này, chúng tơi sẽ trình bày sự tồn tại duy nhất nghiệm của một lớp
bất đẳng thức vi biến phân. Bất đẳng thức vi biến phân này bao gồm các phương
trình vi phân thường kết hợp với bất đẳng thức biến phân. Các kết quả trình bày
trong chương này được tham khảo từ tài liệu tham khảo [4].

2.1

Bất đẳng thức vi biến phân

Một bất đẳng thức vi biến phân (DVI) được cấu thành từ hai thành phần chính:
Phương trình vi phân thường (ODE) và bất đẳng thức biến phân (VI). Nội dung của
một bất đẳng thức biến phân được mô tả như sau: Cho Φ : Rn Ñ Rn là một hàm
đơn trị cho trước và K là một tập con lồi, đóng và khơng rỗng của Rn . Tương ứng
với cặp pK, Φq, bài tốn VIpK, Φq là bài tốn tìm một véc tơ u P K sao cho
xu
˜ ´ u, Φpuqy ě 0 hay x´Φpuq, u˜ ´ uy ď 0, @u˜ P K.

(2.1)

Nói cách khác, bài tốn trên tương đương với việc tìm u P K sao cho
´ Φpuq P NK puq,

(2.2)

trong ú NK păq l ỏnh x a tr nón pháp tuyến
NK pxq “

$

’
&H
’
% v P Rn | xv, z ´ xy ď 0, @z P K

nếu x R K
(

nếu x P K.

Ta sẽ ký hiệu SOLpK, Φq cho tập nghiệm của bài toán VIpK, Φq. Một số trường hợp
đặc biệt của bài tốn trên có thể liệt kê như sau.


16
a) Khi Φpuq “ r ` Du là một hàm afin với r P Rn và D P Rnˆn , ta sẽ sử dụng ký hiệu
VIpK, r, Dq thay vì VIpK, Φq và SOLpK, r, Dq thay cho SOLpK, Φq. Hơn nữa, khi K là
một tập lồi afin, VIpK, r, Dq được gọi là bất đẳng thức vi biến phân afin và ký hiệu
là AVIpK, Φq hay AVIpK, r, Dq.
b) Khi K “ C là một nón, VIpK, Φq tương đương với bài tốn bù CPpC, Φq sau đây:
Tìm u P Rn sao cho
C Q u K Φpuq P C ˚ ,
(2.3)
trong đó C ˚ “ tz P Rn | xz, cy ě 0, @c P C u là nón đối ngẫu của C.
c) Khi K “ Rn` và Φpuq “ Du ` r là hàm afin, bài toán VIpK, Φq trở thành bài tốn
bù tuyến tính pLCPq sau đây: Tìm u P Rn sao cho
0 ď u K Du ` r ě 0.

(2.4)

Nội dung của một bất đẳng thức vi biến phân như sau: Cho f : R1`n`m Ñ Rn
và F : R1`n`m Ñ Rm là hai hàm liên tục. Cho K là một tập con không rỗng của Rm
và T là một số dương. Tương ứng với các dữ kiện này, bất đẳng thức vi biến phân
DVIpf, F, K, T q là bài tốn: Tìm hàm liên tục tuyệt đối x P ACpr0, T s, Rn q và hàm
khả tích Lebesgue u P L1 pr0, T s, Rm q sao cho

2.2

$
’
&x9 ptq

“ f pt, xptq, uptqq với hầu khắp t P r0, T s,

’
%uptq

P SOLpK, F pt, xptq, ‚qq với mọi t P r0, T s.

(2.5)

Phân loại các bất đẳng thức vi biến phân

Như ta đã biết, trong lý thuyết các DAEs, để phân loại thô các DAEs, người ta dựa
vào khái niệm chỉ số (đạo hàm). Chỉ số của một DAE là số lần mà ta cần lấy đạo
hàm trong các phương trình đại số để nhận được một phương trình vi phân thường
tường minh. Để đơn giản, ta có thể mơ tả bằng ví dụ sau:
Ví dụ 2.1. Xét DAE
x9 ptq “ f pxptq, y ptqq

(2.6)

0 “ g pxptq, y ptqq

(2.7)

Phương trình thứ 2 cho ta
0“

dg pxptq, y ptqq B g
Bg
“
pxptq, y ptqqx9 ptq `
pxptq, y ptqqy9 ptq.
dt
Bx
By

(2.8)


17
Nếu

Bg
pxptq, y ptqq không suy biến trong một lân cận của nghiệm thì DAE được biến
By

đổi về dạng
(2.9)

x9 ptq “ f pxptq, y ptqq
#

y9 ptq “ ´

+´1
Bg
Bg
pxptq, y ptqq
pxptq, y ptqqf pxptq, y ptqq
By
Bx

(2.10)

Khi đó, chỉ số của DAE bằng 1.

Ví dụ 2.2. Xét DAE
x9 ptq “ f pxptq, y ptqq

(2.11)

0 “ g pxptqq

(2.12)

dg pxptq, y ptqq B g
Bg
“

pxptqqx9 ptq “
pxptqqf pxptq, y ptqq “ hpxptq, y ptqq.
dt
Bx
Bx

(2.13)

Phương trình thứ 2 cho ta
0“

Tiếp tục với phương trình thu được này ta được
0“
Nếu

Bh
dhpxptq, y ptqq B h
“
pxptq, y ptqqx9 ptq `
pxptq, y ptqqy9 ptq
dt
Bx
By

(2.14)

Bh
pxptq, y ptqq không suy biến trong một lân cận của nghiệm thì DAE được biến
By

đổi về dạng
(2.15)

x9 ptq “ f pxptq, y ptqq
#

y9 ptq “ ´

+´1

Bh
pxptq, y ptqq
By

Bh
pxptq, y ptqqf pxptq, y ptqq
Bx

(2.16)

Khi đó, chỉ số của DAE bằng 2.

Một hệ khơng có ràng buộc phương trình đại số sẽ quy ước có chỉ số 0. Nếu các
phương trình đại số xác định duy nhất các biến đại số như một hàm của các biến vi
phân, một lần lấy đạo hàm sẽ cho ta một ODE cho các biến đại số. Do vậy, các hệ


18
này có chỉ số 1. Nếu một hệ địi hỏi nhiều hơn một lần lấy đạo hàm để nhận được
các ODEs cho các biến đại số thì ta có DAE có chỉ số 2 hoặc chỉ số cao hơn.

Đối với các DVIs, ta có thế viết các VIs ở dạng của một phương trình đại số. Tuy
nhiên, khơng như các DAEs, việc lấy đạo hàm trực tiếp các VIs trong DVIs thơng
thường đó là điều khơng thể thực hiện được vì nó thường khơng trơn. Cho dù như
thế, một sự phân loại tương tự cho các DVIs cũng đã được đề xuất bởi J-S. Pang
trong [4] cho bậc 1 và 2. Ta minh họa bằng những trường hợp đơn giản như sau:
(a) DVIs chỉ số 1: Xét DVI (2.5) với xp0q “ x0 và F pt, x, ‚q là một hàm đơn điệu
mạnh. Với tính đơn điệu mạnh đều và tính chất liên tục Lipschitz của F , ánh xạ
pt, xq ÞĐ SOLpK, F pt, x, ‚qq

là một hàm đơn trị liên tục Lipschitz. Do vậy, đối với DVI (2.5), biến đại số u có thể
biểu diễn như một hàm liên tục Lipschitz của pt, xq với uptq “ upt, xptqq. Thay vào
phương trình vi phân x9 ptq “ f pt, xptq, uptqq, cho ta
x9 ptq “ f pt, xptq, upt, xptqqq

(2.17)

là một phương trình vi phân Lipschitz. Trong trường hợp này, người ta gọi DVI đang
xét có chỉ số 1.
Một biến thể của trường hợp trên là khi SOLpK, F pt, x, ‚qq có nhiều hơn một phần
tử. Khi đó, kết quả của việc thay thế sẽ dẫn đến một bao hàm thức vi phân
x9 ptq P Hpt, xptqq :“ f pt, xptq, SOLpK, F pt, xptq, ‚qqq.

(2.18)

Nếu ánh xạ đa trị H có một số tính chất đáp ứng yêu cầu đặt ra, chẳng hạn như tính
lồi và điều kiện phát triển tuyến tính, thì DVI đang xét được gọi là có chỉ số 1 đa trị.

2.3

Liên hệ DVIs với một số lớp bài toán khác

Những nghiên cứu đầu tiên và hệ thống về các DVIs thuộc về J-S. Pang và D.E.
Stewart [4] cho sự tồn tại và một số tính chất của nghiệm. Tuy nhiên, một số trường
hợp riêng của các DVIs đã được nghiên cứu trước đó, ta có thể liệt kê như sau:
(TH.1) Khi K “ Rm , DVIs (2.5) trở thành các DAEs
$
’
&x9 ptq

“ f pt, xptq, uptqq với hầu khắp t P r0, T s,

’
%0

“ F pt, xptq, uptqq với mọi t P r0, T s.

(2.19)


19
Các DAEs là đối tượng nghiên cứu của lĩnh vực rộng lớn các phương trình vi phân
đại số.
(TH.2) Khi K “ C là một nón, ta có thể thấy rằng
uptq P SOLpC, F pt, xptq, ‚qq ðñ C Q uptq K F pt, xptq, uptqq P C ˚ .

(2.20)

Trong trường hợp này, DVI (2.5) viết lại ở dạng của bài toán bù vi phân (DCPs)
$
’

&x9 ptq

“ f pt, xptq, uptqq với hầu khắp t P r0, T s,

’
%C Q uptq

K F pt, xptq, uptqq P C ˚ với mọi t P r0, T s.

(2.21)

Một trường hợp riêng của các DCPs là hệ bù tuyến tính (LCS) có dạng sau
$
’
&x9 ptq

“ p ` Axptq ` Buptq với hầu khắp t P r0, T s,

’
%0 ď uptq

K q ` Cxptq ` Duptq ě 0 với mọi t P r0, T s.

(2.22)

Lớp các DCPs và LCSs đã được nghiên cứu nhiều và nghiên cứu một cách có hệ thống
trong các cơng trình gần đây.
(TH.3) Ta ký hiệu
Fpt, xq :“ f pt, x, SOLpC, F pt, x, ‚qqq
“ tf pt, x, z q | z P SOLpC, F pt, x, ‚qqu Ď Rn

Khi đó, DVI (2.5) viết lại ở dạng của một bao hàm thức vi phân (DI)
x9 ptq P Fpt, xptqq.

(2.23)

Do vậy, các DVIs có thể xem như là các trường hợp riêng của DIs.
Trước khi thảo luận một số trường hợp đặc biệt của các bất đẳng thức vi biến
phân (2.5), chúng ta sẽ chứng tỏ sự tương đương về mặt khái niệm của DVIs với các
phương trình vi phân đại số (DAEs) và các bao hàm thức vi phân (DIs).
(a) Liên hệ với các DAEs: Sự liên hệ này nằm ở chỗ ta có thể chuyển điều kiện biến
phân như một phương trình phi tuyến khơng trơn.
Định lý 2.1 ( [4]). Phần tử u P SOLpK, F pt, x, ‚qq nếu và chỉ nếu 0 “ u ´ ΠK pu ´
F pt, x, uqq, trong đó ΠK là tốn tử chiếu Euclide lên tập lồi đóng K.


20
Do vậy, (2.5) có thể viết lại ở dạng của một phương trình vi phân đại số
$
’
&x9 ptq

“ f pt, xptq, uptqq với hầu khắp t P r0, T s,

’
%0

“ uptq ´ ΠK puptq ´ F pt, xptq, uptqqq với mọi t P r0, T s.

(2.24)

Tuy nhiên, ta cũng biết rằng tốn tử chiếu ΠK là ánh xạ khơng khả vi. Do vậy, lý
thuyết đang tồn tại trên các DAEs (chủ yếu cho trường hợp trơn) nói chung khơng
áp dụng được cho các DVIs. Các DVIs địi hỏi cần có một sự nghiên cứu riêng và
nghiên cứu thêm.
(b) Liên hệ với các DIs: Các DVIs cũng có thể thiết lập lại ở dạng của các bao hàm
thức vi phân (DIs)
x9 ptq P Gpt, xptqq.
(2.25)
Sự liên hệ này cho phép chúng ta sử dụng những thành tựu đạt được trong lý thuyết
các DIs để nghiên cứu các DVIs. Tuy nhiên, những kết quả thiết lập cho các DIs
thường trong trường hợp tổng quát, trừu tượng. Do vậy, một hướng nghiên cứu trong
ngữ cảnh này là tìm ra các điều kiện trên các DVIs để cho các DIs tương ứng thỏa
mãn các điều kiện đặt ra. Nhiều cơng trình nghiên cứu cũng quan tâm đến các trường
hợp của DVIs mà các DIs tương ứng không áp dụng trực tiếp được các kết quả đã có
trong lý thuyết các DIs.
(c) Liên hệ với các bất đẳng thức biến phân tiến hóa (VIEs): Cho K là một tập lồi đóng
khơng rỗng của Rn và F : Rn Ñ Rn là một ánh xạ. Các VIEs tương ứng với pK, F q là
bài tốn: Tìm hàm liên tục tuyệt đối x P ACpr0, T s, Rn q sao cho xptq P K, @t P r0, T s
và
x9 ptq P ´F pxptqq ´ NK pxptqq với hầu khắp nơi t P r0, T s.
(2.26)
Các VIEs còn được gọi là các q trình sweeping có nhiễu. Khi K là một nón,
VIEpK, F q trở thành một DCP. Thật vậy, trong trường hợp này, ta có
uptq P ´NK pxptqq ðñ K Q xptq K uptq P K˚ .
Bài tốn VIEpK, F q do đó trở thành bài tốn DCP
$
’
&x9 ptq

“ ´F pxptqq ` uptq với hầu khắp t P r0, T s,

’
%K Q xptq

K uptq P K˚ với mọi t P r0, T s.

(2.27)


21

2.4
2.4.1

Một số cách tiếp cận các DVIs
Tiếp cận DVIs từ các Lipschitz ODEs

Trong nhiều trường hợp, việc nghiên cứu các DVIs (2.5) có thể quy về nghiên cứu
các ODEs cấp 1 với vế phải liên tục Lipschitz. Hướng nghiên cứu này được thực hiện
trên các DVIs có chỉ số 1.
(a) Với một số cặp pK, F q, VIpK, F pt, x, ‚q có một nghiệm duy nhất upt, xq là hàm
liên tục Lipschitz của pt, xq. Trong trường hợp này, tập nghiệm của VIs là đơn trị và
được biểu diễn công thức tường minh như hàm liên tục Lipschitz của pt, xq trên miền
r0, T s ˆ Rn . Thay upt, xq vào phương trình ODE x9 ptq “ f pt, xptq, uptqq ta thu được
x9 ptq “ f pt, xptq, upt, xptqqq
là phương trình vi phân Lipschitz nếu f là hàm Lipschitz. Chẳng hạn, ta lấy ví dụ
về cách nghiên cứu các LCSs dạng đơn giản:
$
’

&x9 ptq

“ Axptq ` Buptq ` Ev ptq với hầu khắp t P r0, T s,

’
%0 ď uptq

K q ` Cxptq ` Duptq ě 0 với mọi t P r0, T s.

(2.28)

Để ý rằng
0 ď uptq K q ` Cxptq ` Duptq ě 0 ðđ uptq P SOLpq ` Cxptq, Dq.
Đã có rất nhiều nghiên cứu về tính chất của tập nghiệm của bài toán LCPpq, Dq. Với
một số điều kiện ràng buộc trên D, tập BSOLpq ` Cx, Dq là đơn trị và là một hàm
afin từng phần liên tục Lipschitz theo x trên Rn . Do đó,
x9 ptq “ Axptq ` BSOLpq ` Cxptq, Dq ` Ev ptq
là phương trình vi phân có vế phải liên tục Lipschitz. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm
trạng thái x trong trường hợp này không khó để thiết lập. Tuy nhiên, thậm chí khi
x xác định duy nhất với mỗi điều kiện đầu thì cũng không đảm bảo rằng nghiệm u
sẽ duy nhất, trừ khi D là một P -matrix, lúc này SOLpq, Dq đơn trị với mọi q P Rn .

2.4.2

Cách tiếp cận DVIs từ DIs

Khi cách tiếp cận DVIs bằng con đường của ODEs Lipschitz không thực hiện được,
người ta thường sử dụng cách tiếp cận bằng con đường từ các DIs. Theo cách tiếp

22
cận này, một DVI dạng (2.5) sẽ được thay thế bằng một bao hàm thức vi phân tương
đương
x9 ptq P Fpt, xptqq :“ f pt, xptq, SOLpK, F pt, xptq, ‚qqq.
(2.29)
Sự tương đương giữa DVI (2.5) và DI (2.29) thường được đảm bảo bởi định lý Fillipov
về sự tồn tại của các chọn đo được trong lý thuyết các bao hàm thức vi phân.
Mệnh đề 2.1 ( [4]). Cho h : r0, T s ˆ Rn ˆ Rm Ñ Rn là một hàm liên tục. Cho
U : r0, T s ˆ Rn Ñ Rm là một ánh xạ đa trị đóng sao cho tồn tại η ą 0,
}U pt, xq} ď η p1 ` }x}q, @pt, xq P r0, T s ˆ Rn .

Cho v : r0, T s Ñ Rn là một hàm đo được và x : r0, T s Ñ Rn là một hàm liên tục thỏa
mãn v ptq P hpt, xptq, U pt, xptqqq với hầu khắp nơi t P r0, T s. Khi đó, tồn tại một hàm
đo được u : r0, T s Ñ Rm sao cho uptq P U pt, xptqq và v ptq “ hpt, xptq, uptqq với hầu khắp
t P r0, T s.
Trong lý thuyết các bao hàm thức vi phân, kết quả sau khá phổ biến.
Mệnh đề 2.2 ( [4]). Cho F : r0, T s ˆ Rn Ñ Rn là một ánh xạ đa trị nửa liên tục trên
có giá trị lồi, đóng và khơng rỗng. Giả sử tồn tại một hằng số ρF ą 0 sao cho
}F pt, xq} ď ρF p1 ` }x}q, @pt, xq P r0, T s ˆ Rn .

(2.30)

Khi đó, với mỗi x0 P Rn , bao hàm thức vi phân
x9 ptq P F pt, xptqq, xp0q “ x0

(2.31)

có ít nhất một nghiệm.
Chúng ta muốn áp dụng mệnh đề trên vào DVIs có hàm vế phải trong phương trình
vi phân là hàm afin theo u và hàm trong VI là tách theo u:

$
’
&x9 ptq

“ f pt, xptqq ` B pt, xptqquptq với hầu khắp t P r0, T s, xp0q “ x0 ,

’
%uptq

P SOLpK, Gpt, xptqq ` F p‚qq với mọi t P r0, T s,

(2.32)

trong đó K Ď Rm là một tập lồi đóng, pf, B, Gq : r0, T s ˆ Rn Ñ Rn ˆ Rnˆm ˆ Rm và
F : Rm Ñ Rm là các hàm cho trước. Các hàm f , B và G được giả thiết thỏa mãn các
điều kiện sau: