Bất đẳng thức Schwarz ngược và ứng dụng

TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY NGUYÊN
KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN VÀ CƠNG NGHỆ

KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP

BẤT ĐẲNG THỨC SCHWARZ NGƯỢC
VÀ ỨNG DỤNG

Sinh viên: Võ Xn Hiếu
Chun ngành: Sư phạm Tốn học
Khóa: 2014

Đắk Lắk, tháng 5 năm 2018


TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY NGUYÊN
KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN VÀ CƠNG NGHỆ

KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP

BẤT ĐẲNG THỨC SCHWARZ NGƯỢC
VÀ ỨNG DỤNG

Sinh viên: Võ Xuân Hiếu
Chuyên ngành: Sư phạm Toán học
Người hướng dẫn
ThS. Dương Quốc Huy

Đắk Lắk, tháng 5 năm 2018

LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên của khóa luận này em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo
hướng dẫn ThS. Dương Quốc Huy. Thầy đã giao đề tài và tận tình hướng dẫn
em trong q trình hồn thành khóa luận này. Nhân dịp này em xin gửi lời
cám ơn của mình tời các thầy cơ giáo trong khoa Khoa học Tự nhiên và Cơng
nghệ, cùng tồn thể giảng viên đã giảng dạy và giúp đỡ chúng em trong suốt
quá trình học tập tại trường Đại học Tây Nguyên.
Đồng thời, tôi xin cảm ơn các bạn trong lớp Sư phạm Tốn K14, khoa
Khoa học Tự nhiên và Cơng nghệ đã nhiệt tình giúp đỡ tơi trong q trình
học tập tại lớp.
Đắk Lắk, ngày 24 tháng 05 năm 2018
Sinh viên

Võ Xuân Hiếu

i


MỞ ĐẦU
Trong Giải tích hàm, có rất nhiều bất đẳng thc c bn v quan trng
nh: Bt ng thc Hăolder, bất đẳng thức Minkowski, bất đẳng thức Bessel,
bất đẳng thức Schwarz [5],. . . đã và đang được nghiên cứu đem lại những ứng
dụng hiệu quả trong nhiều ngành. Đặc biệt, bất đẳng thức Schwarz là một
bất đẳng thức thường được áp dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau của tốn
học, chẳng hạn trong đại số tuyến tính dùng cho các vectơ, trong giải tích
dùng cho các chuỗi vơ hạn và tích phân của các tích, trong lý thuyết xác suất
dùng cho các phương sai và hiệp phương sai.
Để ý rằng, khi một vấn đề được giải quyết bằng bất đẳng thức Schwarz
theo một chiều, thế thì chiều ngược lại của vấn đề đó giải quyết như thế nào.
Từ đó sinh ra bất đẳng thức Schwarz ngược. Do đó chúng ta cần nghiên cứu

kĩ hơn về bất đẳng thức Schwarz ngược.
Khóa luận đặt mục tiêu trình bày về bất đẳng thức Schwarz và bất đẳng
thức Schwarz ngược trong không gian có tích vơ hướng và ứng dụng của bất
đẳng thức này.
2

Năm 1821, Cauchy chứng minh bất đẳng thức |⟨x, y⟩| ≤ ⟨x, x⟩ ⟨y, y⟩ trong
trường hợp các vectơ thực và hữu hạn chiều và đến năm 1859, học trò của
Cauchy là Bunyakovsky nhận xét rằng khi chúng ta lấy giới hạn chúng ta có
thể thu được dạng tích phân của bất đẳng thức này. Kết quả tổng quát trong
trường hợp khơng gian tích vơ hướng được chứng minh bởi Schwarz vào năm
1888. Khơng chỉ dừng lại ở đó, các nhà tốn học hiện nay tìm và chứng minh
bất đẳng thức Schwarz ngược (thêm một lượng để dấu của bất đẳng thức
Schwarz đổi chiều). Tiêu biểu là các bài báo của Sever Silvestru Dragomir
[3],[4].
Ngoài lời mở đầu, danh mục các ký hiệu, kết luận, thì nội dung chính của
bài khóa luận gồm ba chương.
Chương 1 nhắc lại các khái niệm cơ bản và một số kiến thức về tích vơ
hướng, khơng gian có tích vơ hướng và khơng gian Hilbert nhằm làm cơ sở
cho các chương sau.
Chương 2 cung cấp cho ta bất đẳng thức Schwarz và hai loại bất đẳng
ii


thức Schwarz ngược trong khơng gian có tích vơ hướng, từ đó làm nền tảng
cho các ứng dụng trong chương 3.
Chương 3 trình bày về các ứng dụng của bất đẳng thức Schwarz ngược
cho tốn tử tuyến tính, tích phân, dãy, miền số,...
Do thời gian có hạn nên khóa luận của em khơng tránh khỏi những thiếu
sót. Rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến chân thành từ quý thầy cô và

các bạn.

iii


Mục lục

Mở đầu

ii

Danh mục các kí hiệu, chữ viết tắt

v

Chương 1. Kiến thức chuẩn bị

1

1.1. Tích vơ hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.2. Khơng gian có tích vô hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.3. Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

Chương 2. Bất đẳng thức Schwarz ngược

7

2.1. Bất đẳng thức Schwarz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

2.2. Bất đẳng thức Schwarz ngược . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

2.3. Bất đẳng thức Vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

Chương 3. Ứng dụng của bất đẳng thức Schwarz ngược

24

3.1. Ứng dụng cho các phiếm hàm tuyến tính bảo tồn thứ tự . . .

24

3.2. Ứng dụng cho tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

3.3. Ứng dụng cho toán tử tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

3.4. Ứng dụng cho miền số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

3.5. Ứng dụng cho bất đẳng thức rời rạc và bất đẳng thức tích phân 39
Kết luận

43

Tài liệu tham khảo

44

iv


DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CHỮ
VIẾT TẮT
a.e

: almost every (hầu như mọi).

L2 (X, µ)

: các hàm bình phương µ − khả tích Lebesgue.

inf

: cận dưới lớn nhất.

sup

: cận trên nhỏ nhất.

||x||

: chuẩn của vectơ x.

l2

: khơng gian các dãy bình phương khả tổng.

C [a, b]

: không gian của các hàm có giá trị phức liên tục trên đoạn [a, b] .

l0

: khơng gian tuyến tính của các chuỗi hữu hạn khác không.

α
¯

: liên hợp phức của α.

|x|

: môđun của x.

N⊥

: phần bù trực giao của N.

Rex

: phần thực của x.

M ⊥N

: tập M và tập N trực giao với nhau.

C

: tập số phức.

N

: tập số tự nhiên.

R

: tập số thực.

A∗

: tốn tử liên hợp của tốn tử A.

⟨x, y⟩

: tích vơ hướng của x và y.

([6], tr. 36)

: trích dẫn tài liệu số [6] trang 36.

v


Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Trong chương này, chúng tôi nhắc lại tích vơ hướng, là khái niệm trang
bị cho một không gian vectơ X trên trường F (F là trường số phức hay số
thực) để có thể biến nó thành một không gian Hilbert. Ta nhớ lại rằng, nếu
x = (x1 , x2 , x3 ) và y = (y1 , y2 , y3 ) là hai vectơ trong R3 thì tích vơ hướng của
x và y là
x · y = x1 y1 + x2 y2 + x3 y3 .
Như vậy, độ dài của vectơ x là
∥x∥ =

x1 2 + x2 2 + x3 2 =

√

x · x.

Không gian Hilbert là một tổng quát tự nhiên của không gian Euclide hữu
hạn chiều. Không gian Hilbert phát sinh và thường gặp trong tốn học, vật

lý và kỹ thuật, thường là khơng gian hàm vơ hạn chiều.

1.1

Tích vơ hướng

Định nghĩa 1.1.1 ([6], tr. 36). Cho X là một khơng gian tuyến tính trên
một trường F. Một tích vơ hướng trên X là một ánh xạ ⟨·, ·⟩ : X × X → F
sao cho với mọi x, y, z ∈ X và với mọi α ∈ F, ta có
(i) ⟨x, x⟩ ≥ 0;
(ii) ⟨x, x⟩ = 0 ⇔ x = 0;
1


(iii) ⟨x, y⟩ = ⟨y, x⟩;
(iv) ⟨αx, y⟩ = α ⟨x, y⟩;
(v) ⟨x + y, z⟩ = ⟨x, z⟩ + ⟨y, z⟩.
Từ (iii) đến (v) ta suy ra được các công thức.
Với mọi x, y, z ∈ X và với mọi α, β ∈ F, ta có
⟨αx + βy, z⟩ = α ⟨x, z⟩ + β ⟨y, z⟩ ;

(1.1)

⟨x, αy⟩ = α
¯ ⟨x, y⟩;

(1.2)

⟨x, αy + βz⟩ = α
¯ ⟨x, y⟩ + β¯ ⟨x, z⟩ .

(1.3)

Công thức (1.1) cho thấy rằng tích vơ hướng là tuyến tính theo biến thứ nhất.
Trong (1.3) có các liên hợp phức α
¯ và β¯ ở vế phải, ta nói rằng tích vơ hướng là
liên hợp tuyến tính theo biến thứ hai. Kết hợp hai tính chất này, ta nói rằng
tích vơ hướng là bán song tuyến tính (hay nửa song tuyến tính) ([5], tr. 129).
Chú ý 1.1.2. Để thuận tiện từ giờ về sau khi khơng nói gì thêm thì ta hiểu
trường F là trường số thực hay trường số phức.
Ví dụ 1.1.3. Trên không gian vectơ n-chiều Fn . Cho x = (x1 , x2 , ..., xn ) và
y = (y1 , y2 , ..., yn ) trong Fn , ánh xạ ⟨·, ·⟩ : Fn × Fn → F cho bởi
n

⟨x, y⟩ =

xi yi
i=1

là một tích vơ hướng trên Fn .
Ví dụ 1.1.4. Giả sử X = C [a, b], không gian của các hàm có giá trị phức
liên tục trên đoạn [a, b]. Cho x, y ∈ X, ánh xạ ⟨·, ·⟩ : X × X → F cho bởi
b

⟨x, y⟩ =

x(t)y(t)dt
a

là một tích vơ hướng trên X.

1.2

Khơng gian có tích vơ hướng

Định nghĩa 1.2.1 ([6], tr. 36). Một khơng gian có tích vơ hướng (X, ⟨·, ·⟩) là
một khơng gian tuyến tính cùng với tích vơ hướng ⟨·, ·⟩. Một khơng gian có
tích vơ hướng cịn được gọi là không gian tiền Hilbert.
2


Sau đây là một số ví dụ của khơng gian có tích vơ hướng.
Ví dụ 1.2.2. Cho một số ngun dương n. Giả sử X = Fn . Cho x = (x1 , x2 , ...,
xn ) và y = (y1 , y2 , ..., yn ) trong X, xác định bởi
n

⟨x, y⟩ =

xi yi .
i=1

Vì đây là một tổng hữu hạn, ⟨·, ·⟩ được xác định. Nên dễ dàng chứng minh
(X, ⟨·, ·⟩) là một khơng gian có tích vô hướng. Không gian Rn (tương ứng Cn )
cùng với tích vơ hướng này được gọi là khơng gian Euclide n-chiều (tương ứng
khơng gian unita n-chiều).
Ví dụ 1.2.3. Giả sử X = l0 , khơng gian tuyến tính của các chuỗi hữu hạn
khác không. Cho x = (x1 , x2 , ...) và y = (y1 , y2 , ...) trong X, xác định bởi
∞

⟨x, y⟩ =

xi yi .
i=1

Vì đây thực chất là một tổng hữu hạn, ⟨·, ·⟩ xác định. Nên dễ dàng chứng
minh rằng (X, ⟨·, ·⟩) là một khơng gian có tích vơ hướng.
Ví dụ 1.2.4. Giả sử X = l2 , không gian của tất cả các dãy số thực hoặc số
∞

2

|xi | < ∞. Cho x = (x1 , x2 , ...) và y = (y1 , y2 , ...)

phức x = (x1 , x2 , ...) với
i=1

trong X, xác định bởi

∞

⟨x, y⟩ =

xi yi .
i=1

Để chứng minh rằng ⟨·, ·⟩ xác định, đầu tiên ta thấy rằng nếu a và b là số thực
thì
2

0 ≤ (a − b) ⇔ ab ≤

1 2
a + b2 .
2

Ta có
|xi yi | = |xi | |yi | ≤
∞

1
⇒
|xi yi | ≤
2
i=1

1
2
2
|xi | + |yi |
2

∞

∞
2

|xi | +
i=1

|yi |

2

< ∞.

i=1

Vì vậy, ⟨·, ·⟩ được xác định tốt (tức là các chuỗi hội tụ).

3


Ví dụ 1.2.5. Giả sử X = C [a, b], khơng gian của các hàm có giá trị phức
liên tục trên đoạn [a, b] được trang bị tích vơ hướng
b

⟨x, y⟩ =

x(t)y(t)dt.
a

Vì vậy X là một khơng gian có tích vơ hướng.
Ví dụ 1.2.6. Khơng gian L2 (X, µ) các hàm bình phương µ−khả tích Lebesgue
là một khơng gian có tích vơ hướng với tích vơ hướng
⟨x, y⟩ =

x(t)y(t)dµ(t).
X

1.3

Khơng gian Hilbert

Định nghĩa 1.3.1 ([6], tr. 19). Dãy (xn )∞
n=1 trong không gian định chuẩn
(X, ∥·∥) được gọi là dãy Cauchy nếu với mọi ε > 0 tồn tại n0 > 0 sao cho với
mọi m, n ≥ n0 ta có ∥xm − xn ∥ < ε.
Định nghĩa 1.3.2 ([6], tr. 21). Không gian định chuẩn (X, ∥·∥) được gọi là
đầy đủ nếu mọi dãy Cauchy trong X hội tụ.
Cho không gian có tích vơ hướng (X, ⟨·, ·⟩), với x ∈ X ta đặt ∥x∥ =

⟨x, x⟩.

Ta có
(i) ∥x∥ ≥ 0, ∀x ∈ X và vì ⟨·, ·⟩ là tích vơ hướng, nên nếu ∥x∥ = 0 thì x = 0.
(ii) ∥αx∥ =

⟨αx, αx⟩ =

αα
¯ ⟨x, x⟩ =

|α|2 ⟨x, x⟩ = |α| ∥x∥ , ∀α ∈ C,

∀x ∈ X.
Thành thử mọi khơng gian có tích vơ hướng (khơng gian tiền Hilbert) là khơng
gian định chuẩn với chuẩn sinh bởi tích vô hướng
∥x∥ =

⟨x, x⟩, x ∈ X.

(1.4)

Định nghĩa 1.3.3 ([1], tr. 108). Một khơng gian có tích vơ hướng đầy đủ
theo chuẩn sinh bởi tích vơ hướng (1.4) được gọi là một khơng gian Hilbert.
Ví dụ 1.3.4 (Khơng gian Euclide n-chiều). Xét không gian vectơ
Cn = {x = (x1 , x2 , ..., xn ) : x1 , x2 , ..., xn ∈ C} .
4


Khi đó dễ thấy cơng thức
n

xj yj với x = (x1 , x2 , ..., xn ) , y = (y1 , y2 , ..., yn ) ∈ Cn

⟨x, y⟩ =
j=1

xác định một tích vơ hướng trên Cn . Bởi vì C là đầy đủ và do đó Cn là đầy
đủ với mọi chuẩn, đặc biệt với chuẩn Euclide

 12
n

2
|xj |  =

∥x∥ = 

⟨x, x⟩

j=1

nên Cn là một không gian Hilbert.
Ví dụ 1.3.5 (Khơng gian l2 ). Xét khơng gian l2 các dãy bình phương khả
tổng


 12





2
|xn |  < ∞ .
l2 = x = {xn }n≥1 : ∥x∥l2 = 




n≥1
Vì

∞

∞

1
|xn yn | ≤

2
n=1

∞
2

2

|xn | +
n=1

|yn |
n=1

nên dễ thấy, công thức
∞

xn y¯n , x, y ∈ l2

⟨x, y⟩ =
n=1

xác định một tích vơ hướng trên l2 . Mặt khác do
∥x∥l2 =

⟨x, x⟩, x ∈ l2

nên l2 là đầy đủ với chuẩn này và do đó l2 là một khơng gian Hilbert.
Ví dụ 1.3.6 (Khơng gian L2 (X, Σ, µ)). Giả sử (X, Σ, µ) là khơng gian đo với
độ đo µ. Xét khơng gian Banach L2 (X, Σ, µ). p dng bt ng thc Hăolder,

d dng kim tra cụng thức
⟨f, g⟩ =

f (x)g(x)dµ(x), f, g ∈ L2 (X, Σ, µ)
X

xác định một tích vơ hướng trên L2 (X, Σ, µ). Vì L2 (X, Σ, µ) là khơng gian
Banach với chuẩn sinh bởi tích vơ hướng
∥f ∥L2 =

2

|f | dµ

1
2

=

X

5

⟨f, f ⟩, f ∈ L2 (X, Σ, µ)


nên L2 (X, Σ, µ) là một khơng gian Hilbert.
Định nghĩa 1.3.5 ([7], tr. 67). Hai tập M và N trong không gian Hilbert H
được gọi là trực giao với nhau, kí hiệu M ⊥ N nếu tích vơ hướng ⟨x, y⟩ = 0
với mọi x ∈ M và mọi y ∈ N . Tập hợp

N ⊥ := {y ∈ H : ⟨x, y⟩ = 0, ∀x ∈ N }
được gọi là phần bù trực giao của N trong H.

6


Chương 2
Bất đẳng thức Schwarz ngược
Bất đẳng thức Schwarz là bất đẳng thức khá quen thuộc với chúng ta
và được ứng dụng nhiều trong giải tích hàm. Khi ta thêm một lượng vào bất
đẳng thức Schwarz để dấu của nó đổi chiều thì ta được bất đẳng thức Schwarz
ngược. Trong chương này, chúng tơi trình bày hai dạng bất đẳng thức Schwarz
ngược.

2.1

Bất đẳng thức Schwarz

Định lí 2.1.1 (Bất đẳng thức Cauchy-Bunyakowsky-Schwarz) ([6], tr. 37).
Giả sử (X, ⟨·, ·⟩) là không gian có tích vơ hướng trên trường F. Với mọi x, y ∈
X, ta có
|⟨x, y⟩| ≤

⟨x, x⟩ ⟨y, y⟩.

(2.1)

Hơn nữa, với bất kỳ x, y ∈ X, đẳng thức
|⟨x, y⟩| =

⟨x, x⟩ ⟨y, y⟩

(2.2)

xảy ra khi và chỉ khi x và y là phụ thuộc tuyến tính, tức là tồn tại một số
α ∈ F khác 0 sao cho x = αy.
Chứng minh. Nếu x = 0 hoặc y = 0 thì (2.1) ln đúng. Giả sử rằng x ̸= 0

7


và y ̸= 0. Với bất kỳ α ∈ F, theo Định nghĩa 1.1.1, ta có
0 ≤ ⟨x − αy, x − αy⟩ = ⟨x, x⟩ − α ⟨y, x⟩ − α
¯ ⟨x, y⟩ + αα
¯ ⟨y, y⟩
= ⟨x, x⟩ − α
¯ ⟨x, y⟩ − α [⟨y, x⟩ − α
¯ ⟨y, y⟩] .
Chọn α =

⟨x, y⟩
, ta có
⟨y, y⟩
0 ≤ ⟨x, x⟩ −

⟨x, y⟩
⟨y, y⟩

⟨x, y⟩ −

⟨x, y⟩
⟨x, y⟩
⟨y, x⟩ −
⟨y, y⟩
⟨y, y⟩
⟨y, y⟩

= ⟨x, x⟩ −

⟨x, y⟩
⟨x, y⟩
⟨x, y⟩ −
⟨y, x⟩ − ⟨x, y⟩
⟨y, y⟩
⟨y, y⟩

= ⟨x, x⟩ −

⟨x, y⟩
⟨x, y⟩
⟨y, y⟩
2

|⟨x, y⟩|
= ⟨x, x⟩ −
,
⟨y, y⟩
suy ra
⟨x, x⟩ ⟨y, y⟩.

|⟨x, y⟩| ≤
Giả sử |⟨x, y⟩| =

⟨x, x⟩ ⟨y, y⟩. Ta chỉ ra rằng x và y phụ thuộc tuyến

tính. Nếu x = 0 hoặc y = 0 thì x và y rõ ràng phụ thuộc tuyến tính. Ta giả
⟨x, y⟩
, ta có
định rằng x ̸= 0 và y ̸= 0. Khi đó ⟨y, y⟩ =
̸ 0. Với α =
⟨y, y⟩
2

|⟨x, y⟩|
⟨x − αy, x − αy⟩ = ⟨x, x⟩ −
= 0.
⟨y, y⟩
Do đó,
⟨x − αy, x − αy⟩ = 0, ⇒

x = αy.

Suy ra, x và y phụ thuộc tuyến tính. Ngược lại, giả sử x và y phụ thuộc tuyến
tính. Khi đó, x = λy với λ ∈ F. Ta có
|⟨x, y⟩| = |⟨λy, y⟩| = |λ| |⟨y, y⟩| = |λ| ⟨y, y⟩
= |λ|

⟨y, y⟩ ⟨y, y⟩ =

2

|λ| ⟨y, y⟩ ⟨y, y⟩ =

= ⟨x, x⟩ ⟨y, y⟩.
Vậy định lí đã được chứng minh.

8

⟨λy, λy⟩ ⟨y, y⟩


Định lí 2.1.2 ([3], tr. 1). Nếu đặt ∥x∥ :=

⟨x, x⟩, x ∈ X thì ta có các tính

chất sau:
(n) ∥x∥ ≥ 0 với bất kỳ x ∈ X và ∥x∥ = 0 nếu x = 0;
(nn) ∥αx∥ = |α| ∥x∥ với bất kỳ α ∈ F và x ∈ X;
(nnn) ∥x + y∥ ≤ ∥x∥ + ∥y∥ với bất kỳ x, y ∈ X (Bất đẳng thức tam giác);
tức là ∥·∥ là một chuẩn trong X.

2.2

Bất đẳng thức Schwarz ngược

Khóa luận trình bày một số bất đẳng thức ngược cho bất đẳng thức
Schwarz. Chính xác hơn, khóa luận chỉ ra các chặn trên cho các đại lượng
không âm
2

2

2

∥x∥ ∥y∥ − |⟨x, y⟩| và ∥x∥ ∥y∥ − |⟨x, y⟩|
theo các giả thiết khác nhau đối với các vectơ x, y ∈ X.

Định lí 2.2.1 ([3], tr. 3). Trong khơng gian có tích vơ hướng X với tích vơ
hướng ⟨·, ·⟩, cho A, a ∈ F và x, y ∈ X. Nếu
Re ⟨Ay − x, x − ay⟩ ≥ 0,

(2.3)

hay tương đương,
x−

a+A
1
· y ≤ |A − a| ∥y∥ ,
2
2

(2.4)

thì ta có bất đẳng thức
2

2

2

0 ≤ ∥x∥ ∥y∥ − |⟨x, y⟩| ≤
Hằng số

1
2
4
|A − a| ∥y∥ .
4

(2.5)

1
là hệ số tốt nhất trong (2.5).
4

Chứng minh. Đầu tiên ta chứng minh (2.3) tương đương (2.4). Thật vậy, ta
có
2

1
a+A
∥(A − a)y∥2 − x −
y
4
2
1
a+A
a+A
= ⟨Ay − ay, Ay − ay⟩ − x −

y, x −
y
4
2
2

9


1
⟨Ay, Ay⟩ − ⟨Ay, ay⟩ − ⟨ay, Ay⟩ + ⟨ay, ay⟩
4
a+A
a+A
a+A a+A
− ⟨x, x⟩ − x,
y −
y, x +
y,
y
2
2
2
2
1
1
1
1
= ⟨Ay, Ay⟩ − ⟨Ay, ay⟩ − ⟨ay, Ay⟩ + ⟨ay, ay⟩
4

4
4
4
a
A
a
A
− ⟨x, x⟩ + x, y + x, y +
y, x +
y, x
2
2
2
2
a a
a A
A a
A A
−
y, y +
y, y +
y, y +
y, y
2 2
2 2
2 2
2 2
1
1
1

1
= ⟨Ay, Ay⟩ − ⟨Ay, ay⟩ − ⟨ay, Ay⟩ + ⟨ay, ay⟩
4
4
4
4
a
A
a
A
− ⟨x, x⟩ + x, y + x, y +
y, x +
y, x
2
2
2
2
a a
a A
A a
A A
−
y, y +
y, y +
y, y +
y, y
2 2
2 2
2 2
2 2

1
1
1
1
= − ⟨Ay, ay⟩ − ⟨ay, Ay⟩ − ⟨x, x⟩ + ⟨x, ay⟩ + ⟨x, Ay⟩
4
4
2
2
1
1
1
1
+ ⟨ay, x⟩ + ⟨Ay, x⟩ − ⟨ay, Ay⟩ − ⟨Ay, ay⟩
2
2
4
4
1
1
1
1
= − ⟨Ay, ay⟩ − ⟨ay, Ay⟩ − ⟨x, x⟩ + ⟨x, ay⟩ + ⟨x, Ay⟩
4
4
2
2
1
1
1

1
+ ⟨ay, x⟩ + ⟨Ay, x⟩ − ⟨ay, Ay⟩ − ⟨Ay, ay⟩
2
2
4
4
1
1
1
1
= − ⟨Ay, ay⟩ − ⟨Ay, ay⟩ − ⟨x, x⟩ + ⟨x, ay⟩ + ⟨x, ay⟩
2
2
2
2
1
1
+ ⟨Ay, x⟩ + ⟨Ay, x⟩
2
2
=

2

= − Re ⟨Ay, ay⟩ + Re ⟨x, ay⟩ + Re ⟨Ay, x⟩ − ∥x∥
và
Re⟨Ay − x, x − ay⟩
1
⟨Ay − x, x − ay⟩ + ⟨Ay − x, x − ay⟩
2

1
= ⟨Ay, x⟩ − ⟨Ay, ay⟩ − ⟨x, x⟩ + ⟨x, ay⟩
2
1
+
⟨Ay, x⟩ − ⟨Ay, ay⟩ − ⟨x, x⟩ + ⟨x, ay⟩
2

=

2

= − Re ⟨Ay, ay⟩ + Re ⟨x, ay⟩ + Re ⟨Ay, x⟩ − ∥x∥ .
Suy ra
a+A
1
Re⟨Ay − x, x − ay⟩ = ∥(A − a)y∥2 − x −
y
4
2
10

2

.


Khi đó Re⟨Ay − x, x − ay⟩ ≥ 0 khi và chỉ khi
x−

a+A
1
y ≤ |A − a| ∥y∥ .
2
2

Bây giờ ta chứng minh bất đẳng thức (2.5).
Ta định nghĩa
2

A ∥y∥ − ⟨x, y⟩

I1 := Re

2

⟨x, y⟩ − a
¯ ∥y∥

và
2

I2 := ∥y∥ Re ⟨Ay − x, x − ay⟩ .
Khi đó
2

A ∥y∥ − ⟨x, y⟩

I1 = Re

⟨x, y⟩ − a
¯ ∥y∥

2

4

2

2

2

= Re A ∥y∥ ⟨x, y⟩ − A¯
a ∥y∥ − |⟨x, y⟩| + a
¯ ∥y∥ ⟨x, y⟩
2

2

4

¯ ⟨x, y⟩ − |⟨x, y⟩| − ∥y∥ Re (A¯
a)
= ∥y∥ Re A⟨x, y⟩ + a
và áp dụng công thức (1.1) và (1.3) ta suy ra được
2

I2 = ∥y∥ Re ⟨Ay − x, x − ay⟩
2

= ∥y∥ Re [A ⟨y, x − ay⟩ − ⟨x, x − ay⟩]
2

= ∥y∥ Re [A (⟨y, x⟩ − a
¯ ⟨y, y⟩) − (⟨x, x⟩ − a
¯ ⟨x, y⟩)]
2

2

2

= ∥y∥ Re A⟨x, y⟩ − A¯
a ∥y∥ − ∥x∥ + a
¯ ⟨x, y⟩
2

2

2

4

= ∥y∥ Re A⟨x, y⟩ + a
¯ ⟨x, y⟩ − ∥x∥ ∥y∥ − ∥y∥ Re (A¯
a) .
Lấy I1 − I2 ta được
2

2

2

I1 − I2 = ∥x∥ ∥y∥ − |⟨x, y⟩| ,
với mọi x, y ∈ X và a, A ∈ F.
Nếu Re ⟨Ay − x, x − ay⟩ ≥ 0 thì I2 ≥ 0. Do đó
2

2

2

∥x∥ ∥y∥ − |⟨x, y⟩| ≤ Re

2

A ∥y∥ − ⟨x, y⟩

Hơn nữa, nếu ta sử dụng bất đẳng thức cơ bản
Re(u¯
v) ≤

1
2
|u + v| , u, v ∈ F
4
11

2

⟨x, y⟩ − a
¯ ∥y∥

.

(2.6)


với
2

u := A ∥y∥ − ⟨x, y⟩ , v := ⟨x, y⟩ − a ∥y∥

2

thì ta có
Re

2

2

A ∥y∥ − ⟨x, y⟩

⟨x, y⟩ − a
¯ ∥y∥

≤

1
2
4
|A − a| ∥y∥ .
4

(2.7)

Từ hai bất đẳng thức (2.6) và (2.7), ta suy ra
2

2

2

0 ≤ ∥x∥ ∥y∥ − |⟨x, y⟩| ≤

1
2
4
|A − a| ∥y∥ .
4

Bây giờ, giả sử (2.5) đúng với mọi hằng số C > 0, tức là
2

2

2

2

4

∥x∥ ∥y∥ − |⟨x, y⟩| ≤ C |A − a| ∥y∥ ,

(2.8)

với x, y, a, A thỏa mãn (2.3).
Xét y ∈ X, ∥y∥ = 1, a ̸= A và m ∈ X, ∥m∥ = 1 với m ⊥ y. Đặt
x=

A−a
A+a
y+
m.
2
2

Khi đó
A+a
A−a
A+a
A−a
y−
m,
y+
m − ay
2
2

2
2
A−a
A−a
A−a
A−a
y−
m,
y+
m
2
2
2
2

⟨Ay − x, x − ay⟩ = Ay −
=

A−a
=
2

2

A−a
=
2

2

⟨y − m, y + m⟩
⟨y, y⟩ + ⟨y, m⟩ − ⟨m, y⟩ − ⟨m, m⟩ = 0,

do đó thỏa mãn điều kiện (2.3). Từ (2.8) ta suy ra
A+a
A−a
y+
m
2
2

2

A+a
A−a
y+
m, y
2
2

−

2
2

≤ C |A − a| .

Ta có
A+a
A−a

y+
m
2
2

2

=
=

A+a
A−a
A+a
A−a
y+
m,
y+
m
2
2
2
2
A+a
2

A+a
A−a
⟨y, y⟩ +
⟨y, m⟩
2

2
12

(2.9)


+

A−a
2

A+a
A−a
⟨m, y⟩ +
⟨m, m⟩
2
2

A+a
2

2

A+a
=
2

2

=

A−a
2

2

∥y∥ +

A−a
+
2

2

∥m∥

2

2

và
2

A+a
A−a
y+
m, y
2
2

A+a
2

=

2

từ đó, thay vào (2.9) ta được
2

|A − a|
2
≤ C |A − a| ,
4
hay C ≥

2.3

1
và định lí được chứng minh xong.
4

Bất đẳng thức Vectơ

Bổ đề 2.3.1 (Đồng nhất thức một tham số) ([4], tr. 732). Với bất kỳ x, y ∈ X
và bất kỳ λ ∈ C ta có đẳng thức
2

2

2

2

2

2

∥x∥ ∥y∥ − |⟨x, y⟩| = ∥x − λy∥ ∥y∥ − |⟨x − λy, y⟩| .

(2.10)

Chứng minh. Áp dụng các tích chất của khơng gian có tích vơ hướng, với bất
kỳ x, y ∈ X và bất kỳ λ ∈ C ta có
2

2

2

∥x − λy∥ ∥y∥ − |⟨x − λy, y⟩|

2

2

= (⟨x, x − λy⟩ − ⟨λy, x − λy⟩) ∥y∥ − |⟨x − λy, y⟩| .
Mặt khác, ta có
2

(⟨x, x − λy⟩ − ⟨λy, x − λy⟩) ∥y∥

¯ ⟨x, y⟩ − λ ⟨y, x⟩ − λ
¯ ⟨y, y⟩
= ⟨x, x⟩ − λ
2

2

¯ ⟨x, y⟩ − λ ⟨y, x⟩ + |λ| ∥y∥
= ∥x∥ − λ

2

∥y∥

2

∥y∥

2

2

2

∥y∥

2

2

2

∥y∥

= ∥x∥ − ⟨x, λy⟩ − ⟨λy, x⟩ + |λ| ∥y∥
= ∥x∥ − ⟨x, λy⟩ − ⟨x, λy⟩ + |λ| ∥y∥
13

2

2
2


2

2

2

2

= ∥x∥ − 2Re ⟨x, λy⟩ + |λ| ∥y∥

∥y∥

2
¯ ⟨x, y⟩ + |λ|2 ∥y∥2 ∥y∥2

= ∥x∥ − 2Re λ
2
2
2
¯ ⟨x, y⟩ + |λ|2 ∥y∥4
= ∥x∥ ∥y∥ − 2 ∥y∥ Re λ

(2.11)

và
2

|⟨x − λy, y⟩|

2

= |⟨x, y⟩ − λ ⟨y, y⟩|
2

2

= ⟨x, y⟩ − λ ∥y∥
2

2

2

4

2

2

2

4

2

2

2

4

2

2

2

4

2

2

2

4

= |⟨x, y⟩| − 2λ ⟨x, y⟩ ∥y∥ + |λ| ∥y∥
= |⟨x, y⟩| − 2λ⟨y, x⟩ ∥y∥ + |λ| ∥y∥

= |⟨x, y⟩| − 2λ ⟨y, x⟩ ∥y∥ + |λ| ∥y∥
= |⟨x, y⟩| − 2 ⟨λy, x⟩ ∥y∥ + |λ| ∥y∥
= |⟨x, y⟩| − 2⟨x, λy⟩ ∥y∥ + |λ| ∥y∥
2

2

2

2

4

2

2

2

2

4

= |⟨x, y⟩| − ⟨x, λy⟩ ∥y∥ − ⟨x, λy⟩ ∥y∥ + |λ| ∥y∥
= |⟨x, y⟩| − ⟨x, λy⟩ ∥y∥ − ⟨x, λy⟩ ∥y∥ + |λ| ∥y∥

2

2

2

= |⟨x, y⟩| − 2 ∥y∥ Re (⟨x, λy⟩) + |λ| ∥y∥

4

2
2
¯ ⟨x, y⟩ + |λ|2 ∥y∥4 .
= |⟨x, y⟩| − 2 ∥y∥ Re λ

(2.12)

Từ (2.11) và (2.12) ta suy ra được
2

2

2

∥x − λy∥ ∥y∥ − |⟨x − λy, y⟩|

2
2
2
¯ ⟨x, y⟩ + |λ|2 ∥y∥4

= ∥x∥ ∥y∥ − 2 ∥y∥ Re λ
2
2
¯ ⟨x, y⟩ − |λ|2 ∥y∥4
− |⟨x, y⟩| + 2 ∥y∥ Re λ
2

2

2

= ∥x∥ ∥y∥ − |⟨x, y⟩| .
Vậy bổ đề đã được chứng minh xong.
Hệ quả 2.3.2 ([4], tr. 732). Với bất kỳ x, y ∈ X và bất kỳ λ ∈ C ta có bất
đẳng thức
2

2

2

2

2

∥x∥ ∥y∥ − |⟨x, y⟩| ≤ ∥x − λy∥ ∥y∥ .
2

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ⟨x, y⟩ = λ ∥y∥ .
14

(2.13)


Chứng minh. Từ đồng nhất thức một tham số (2.10) dễ dàng suy ra
2

2

2

2

2

∥x∥ ∥y∥ − |⟨x, y⟩| ≤ ∥x − λy∥ ∥y∥ .
Ta chứng minh
2

2

2

2

2

2

∥x∥ ∥y∥ − |⟨x, y⟩| = ∥x − λy∥ ∥y∥ ⇔ ⟨x, y⟩ = λ ∥y∥

2

2

2

2

2

(⇒) Giả sử ∥x∥ ∥y∥ − |⟨x, y⟩| = ∥x − λy∥ ∥y∥ . Khi đó
2

2

2

2

∥x∥ ∥y∥ − |⟨x, y⟩| = ∥x − λy∥ ∥y∥

2

2
2
2
2
2
2
¯ ⟨x, y⟩ + |λ|2 ∥y∥4

⇒ ∥x∥ ∥y∥ − |⟨x, y⟩| = ∥x∥ ∥y∥ − 2 ∥y∥ Re λ
2
2
¯ ⟨x, y⟩ + |λ|2 ∥y∥4
⇒ − |⟨x, y⟩| = −2 ∥y∥ Re λ
2
2
¯ ⟨x, y⟩ + |λ|2 ∥y∥4 = 0
⇒ |⟨x, y⟩| − 2 ∥y∥ Re λ
2

⇒ |⟨x, y⟩ − λ ⟨y, y⟩| = 0
⇒ ⟨x, y⟩ = λ ⟨y, y⟩ .
2

(⇐) Giả sử ⟨x, y⟩ = λ ∥y∥ khi đó áp dụng đồng nhất thức một tham số (2.10),
ta có
2

2

2

2

2

2

∥x∥ ∥y∥ − |⟨x, y⟩| = ∥x − λy∥ ∥y∥ − |⟨x − λy, y⟩|

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

⇒ ∥x∥ ∥y∥ − |⟨x, y⟩| = ∥x − λy∥ ∥y∥ − ⟨x, y⟩ − λ ∥y∥
2

2

2

⇒ ∥x∥ ∥y∥ − |⟨x, y⟩| = ∥x − λy∥ ∥y∥ − λ ∥y∥ − λ ∥y∥
⇒ ∥x∥ ∥y∥ − |⟨x, y⟩| = ∥x − λy∥ ∥y∥ .
Nhận xét 2.3.3 ([4], tr. 732). Cho x, y ∈ X và a, A ∈ C nếu
a+A
1
x−
y ≤ |A − a| ∥y∥
2
2
a+A
thì thay λ :=
vào (2.10) ta được
2
2

2

2

∥x∥ ∥y∥ − |⟨x, y⟩|

a+A
= x−
y
2

2
2

∥y∥ −

1
2
4
≤ |A − a| ∥y∥ −
4

a+A
x−
y, y
2

a+A
x−
y, y
2

2

2

.

Nhận xét trên cho ta một cách chứng minh cho bất đẳng thức Schwarz ngược
(2.5).
15


Bổ đề 2.3.4 (Đồng nhất thức hai tham số) ([4], tr. 733). Với bất kỳ x, y ∈ X
và bất kỳ λ, δ ∈ C ta có đẳng thức
2

2

2

∥x∥ ∥y∥ − |⟨x, y⟩|

|δ − λ|

2

2

2

2

= ∥x − λy∥ ∥x − δy∥ − |⟨x − λy, x − δy⟩| .

(2.14)

Chứng minh. Đặt z = x − λy. Sử dụng tính chất của tích vơ hướng, ta có
2

2

|⟨x − λy, x − δy⟩| = |⟨z, x − δy⟩|
2

2

= |⟨z, x − λy + λy − δy⟩| = |⟨z, z + (λ − δ) y⟩|
2

= ⟨z, z⟩ + (λ − δ) ⟨z, y⟩

2

2

= ∥z∥ + (λ − δ) ⟨z, y⟩
2

4

2

4

2

2

2

4

2

2

2

4

2

2

2

4

2

2

2

2

= ∥z∥ + 2 ∥z∥ (λ − δ) ⟨z, y⟩ + (λ − δ) |⟨z, y⟩|
= ∥z∥ + 2 ∥z∥ ⟨z, (λ − δ) y⟩ + |λ − δ| |⟨z, y⟩|
= ∥z∥ + 2 ∥z∥ ⟨(λ − δ) y, z⟩ + |λ − δ| |⟨z, y⟩|
= ∥z∥ + 2 ∥z∥ (λ − δ) ⟨y, z⟩ + |λ − δ| |⟨z, y⟩|
= ∥z∥ + 2 ∥z∥ (λ − δ) ⟨z, y⟩ + |λ − δ| |⟨z, y⟩|
4

2

2

2

2

4

2

2

2

2

4

2

2

2

2

4

2

2

2

2

= ∥z∥ + ∥z∥ (λ − δ) ⟨z, y⟩ + ∥z∥ (λ − δ) ⟨z, y⟩ + |λ − δ| |⟨z, y⟩|
= ∥z∥ + ∥z∥ (λ − δ) ⟨z, y⟩ + ∥z∥ (λ − δ) ⟨z, y⟩ + |λ − δ| |⟨z, y⟩|
= ∥z∥ + ∥z∥ (λ − δ) ⟨z, y⟩ + ∥z∥ (λ − δ) ⟨z, y⟩ + |λ − δ| |⟨z, y⟩|
= ∥z∥ + ∥z∥ (λ − δ) ⟨z, y⟩ + ∥z∥ (λ − δ) ⟨z, y⟩ + |λ − δ| |⟨z, y⟩|
4

2

2

2

4

2

2

2

2

2

2

2

= ∥z∥ + 2 ∥z∥ Re (λ − δ) ⟨z, y⟩ + |λ − δ| |⟨z, y⟩|

= ∥z∥ + 2 ∥z∥ Re (λ − δ) ⟨z, y⟩ + |λ − δ| ∥z∥ ∥y∥
2

2

2

2

2

− |λ − δ| ∥z∥ ∥y∥ + |λ − δ| |⟨z, y⟩|

4

2

= ∥z∥ + 2 ∥z∥ Re (λ − δ) ⟨z, y⟩ + |λ − δ| ∥z∥ ∥y∥
2

− |λ − δ|

2

2

2

∥z∥ ∥y∥ + |⟨z, y⟩|

.

(2.15)

Ta lại có
4

2

2

2

2

∥z∥ + 2 ∥z∥ Re (λ − δ) ⟨z, y⟩ + |λ − δ| ∥z∥ ∥y∥
2

∥z∥ + 2Re (λ − δ) ⟨z, y⟩ + |λ − δ| ∥y∥

2

∥z∥ + 2Re (λ − δ) ⟨z, y⟩ + |λ − δ| ∥y∥

= ∥z∥

= ∥z∥

2

2

2

2

2

2

16

2

∥z∥ + 2Re (λ − δ) ⟨z, y⟩ + |λ − δ| ∥y∥

2

2

∥z∥ + 2Re (⟨z, (λ − δ) y⟩) + |λ − δ| ∥y∥

2

⟨z, z⟩ + ⟨z, (λ − δ) y⟩ + ⟨z, (λ − δ) y⟩ + |λ − δ| ⟨y, y⟩

2

⟨z, z⟩ + ⟨z, (λ − δ) y⟩ + ⟨(λ − δ) y, z⟩ + (λ − δ) (λ − δ) ⟨y, y⟩

= ∥z∥

2

2

= ∥z∥

2

2

2
2

= ∥z∥

= ∥z∥

2

= ∥z∥ [⟨z, z + (λ − δ) y⟩ + (λ − δ) (⟨y, z⟩ + ⟨y, (λ − δ) y⟩)]
2

= ∥z∥ [⟨z, z + (λ − δ) y⟩ + (λ − δ) ⟨y, z + (λ − δ) y⟩]
2

= ∥z∥ [⟨z, z + (λ − δ) y⟩ + ⟨(λ − δ) y, z + (λ − δ) y⟩]
2

= ∥z∥ ⟨z + (λ − δ) y, z + (λ − δ) y⟩
2

= ∥z∥ [⟨z, z + (λ − δ) y⟩ + (λ − δ) ⟨y, z + (λ − δ) y⟩]
2

= ∥z∥ [⟨z, z + (λ − δ) y⟩ + ⟨(λ − δ) y, z + (λ − δ) y⟩]
2

= ∥z∥ ⟨z + (λ − δ) y, z + (λ − δ) y⟩
2

2

= ∥z∥ ∥z + (λ − δ) y∥
2

= ∥x − λy∥ ∥x − λy + λy − δy∥
2

2

2

= ∥x − λy∥ ∥x − δy∥ .

(2.16)

Từ (2.15) và (2.16) ta suy ra
|⟨x − λy, x − δy⟩|2
2

2

= ∥x − λy∥ ∥x − δy∥ − |λ − δ|
2

2

2

⇔ ∥x∥ ∥y∥ − |⟨x, y⟩|

|δ − λ|

2

2

2

2

∥z∥ ∥y∥ + |⟨z, y⟩|

2

2

2

2

= ∥x − λy∥ ∥x − δy∥ − |⟨x − λy, x − δy⟩| .
Vậy bổ đề đã được chứng minh xong.
Hệ quả 2.3.5 (Bất đẳng thức Schwarz ngược) ([4], tr. 733). Với bất kỳ
x, y ∈ X và bất kỳ λ, δ ∈ C với δ ̸= λ ta có bất đẳng thức
2

2

2

∥x∥ ∥y∥ − |⟨x, y⟩| ≤

1

2

2

|δ − λ|

2

∥x − λy∥ ∥x − δy∥ .

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x − λy ⊥ x − δy.
Chứng minh. Từ đồng nhất thức hai tham số (2.14) dễ dàng suy ra
2

2

2

∥x∥ ∥y∥ − |⟨x, y⟩| ≤

1

2

2

|δ − λ|
17

2

∥x − λy∥ ∥x − δy∥ .

(2.17)


Bấy giờ ta chứng minh
2

2

1

2

∥x∥ ∥y∥ − |⟨x, y⟩| =

2

2

|δ − λ|

2

∥x − λy∥ ∥x − δy∥

⇔ x − λy ⊥ x − δy.
Áp dụng đồng nhất thức hai tham số, ta có
2

2

2

2

∥x∥ ∥y∥ − |⟨x, y⟩|
2

2

1

2

⇔ ∥x∥ ∥y∥ − |⟨x, y⟩| =

2

2

2

∥x − λy∥ ∥x − δy∥

2

2

2

|δ − λ|
1
2
−
2 |⟨x − λy, x − δy⟩| .
|δ − λ|

2

1

2

(⇒) Giả sử ∥x∥ ∥y∥ − |⟨x, y⟩| =
1

2

|δ − λ| = ∥x − λy∥ ∥x − δy∥ − |⟨x − λy, x − δy⟩|

2

2

|δ − λ|

2

∥x − λy∥ ∥x − δy∥ . Khi đó

2

2

|δ − λ|

|⟨x − λy, x − δy⟩| = 0

⇒ ⟨x − λy, x − δy⟩ = 0
⇒ x − λy ⊥ x − δy.
(⇐) Giả sử x − λy ⊥ x − δy. Khi đó
⟨x − λy, x − δy⟩ = 0
⇒

1
|δ − λ|
2

2

2

|⟨x − λy, x − δy⟩| = 0

2

2

⇒ ∥x∥ ∥y∥ − |⟨x, y⟩| =

1

2

|δ − λ|

2

2

∥x − λy∥ ∥x − δy∥ .

Nhận xét 2.3.6 ([4], tr. 733). Từ bất đẳng thức (2.17) ta có bất đẳng thức
đối xứng
2

2

2

∥x∥ ∥y∥ − |⟨x, y⟩| ≤

1
2

2
∥x − y∥ ∥x + y∥ ,
4

(2.18)

với bất kỳ x, y ∈ X. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x − y ⊥ x + y.
Trong trường hợp không gian thực, nếu ta xác định góc φ là góc giữa các
vectơ x và y (khác vectơ không) với φ ∈ [0, π] bởi
cos φ =

⟨x, y⟩
∥x∥ ∥y∥

18