ly thuyet cac dang toan va bai tap da giac va dien tich da giac

Chương II

ĐA GIÁC
DIỆN TÍCH ĐA GIÁC
§1. ĐA GIÁC. ĐA GIÁC ĐỀU
A. TĨM TẮT LÍ THUYẾT
1. Định nghĩa
Đa giác A1 A2 ... An là hình gồm n đoạn thẳng A1 A2 , A2 A3 ,..., An A1 trong đó bất kì đoạn
thẳng nào có một điểm chung cũng khơng cùng nằm trên một đường thẳng.
Đa giác lồi là đa giác luôn nằm trong một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng chứa
bất kì cạnh nào của đa giác đó.
Chú ý. Từ nay khi nói đến đa giác mà khơng chú thích gì thêm, ta hiểu đó là đa giác
lồi.
Đa giác đều là đa giác có tất cả các cạnh bằng nhau và tất cả các góc bằng nhau.

A
E

B

D

C
Ngũ giác

2. Tính chất
Tổng các góc của đa giác n cạnh bằng ( n − 2 ) .1800 hay ( n − 2 ) .2v .
Mỗi góc của đa giác đều n cạnh bằng

( n − 2 ) .1800 .
n

Lục giác đều
B. CÁC DẠNG TOÁN


Dạng 1. NHẬN BIẾT ĐA GIÁC
Phương pháp giải
Sử dụng định nghĩa đa giác.
Ví dụ 1. Cho ngũ giác ABCDE . Kẻ các đường chéo AC , AD . Kể tên các đa giác có
trong hình vẽ.
Giải
Có ba tam giác là ABC , ACD, ADE .
Có hai tứ giác là ABCD, ACDE .
Có một ngũ giác là ABCDE .

B
A

C

E

D

Dạng 2. TÍNH CHẤT VỀ GĨC CỦA ĐA GIÁC
Phương pháp giải
Tổng các góc của đa giác n cạnh bằng ( n − 2 ) .2v hay ( n − 2 ) .1800 .
Ví dụ 1. Chứng minh định lí: Tổng số đo các góc của hình n − giác bằng ( n − 2 ) .1800 .
Giải
Xét hình n − giác A1 A2 ... An . Kẻ các đường chéo xuất phát từ A1 , ta được n − 2 tam giác

(có cạnh đối diện với A là: A2 A3 , A3 A4 ,..., An −1 An ).
Tổng số đo các góc của n − giác bằng tổng số đo các góc của n − 2 tam giác trên. Mỗi
tam giác đó có tổng số đo góc bằng 1800 .
Vậy Tổng số đo các góc của hình n − giác bằng ( n − 2 ) .1800 .


Dạng 3. TÍNH CHẤT VỀ SỐ ĐƯỜNG CHÉO CỦA ĐA GIÁC
Phương pháp giải
Trước hết xét số đường chéo xuất phát từ một đỉnh.
Ví dụ 1. Tính số đường chéo của ngũ giác, lục giác, hình n − giác.
Giải
(Đối với hình n − giác A1 A2 ... An ) từ đỉnh A1 chẳng hạn, vẽ được n − 3 đường chéo:
A1 A3 , A1 A4 ,..., A1 An −1 (nối A1 với các đỉnh của đa giác, trừ ba đỉnh A1 , A2 , An ).
Với n đỉnh, có n ( n − 3) đường chéo, trong đó mỗi đường chép đã được tính hai lần.
Vậy số đường chéo là

n ( n − 3)
2

.

Dạng 4. ĐA GIÁC ĐỀU
Phương pháp giải
Sử dụng định nghĩa đa giác đều, cơng thức tính góc của đa giác đều.
Ví dụ 1. (Bài 2 SGK)
Cho ví dụ về đa giác không đều trong mỗi trường hợp sau:
a) Có tất cả các cạnh bằng nhau.
b) Có tất cả các góc bằng nhau.
Giải

 ≠ 900 có các cạnh bằng nhau nhưng khơng là đa giác đều
a) Hình thoi ABCD với Α
(vì các góc khơng bằng nhau).
b) Hình chữ nhật ABCD với AB > AD có các góc bằng nhau nhưng khơng là đa giác
đều (vì các cạnh khơng bằng nhau).
Ví dụ 2. (Bài 3 SGK)
 =600 . Gọi E , F , G, H lần lượt là trung điểm của cạnh
Cho hình thoi ABCD với Α

AB, BC , CD, DA. Chứng minh rằng đa giác EBFGDH là lục giác đều.
Hướng dẫn
Chứng minh lục giác EBFGDH có các cạnh bằng nhau và các góc bằng nhau (1200 ) .
B
E

F

A

C

H

G
D

Ví dụ 3. (Bài 5 SGK)
Tính số đo mỗi góc của ngũ giác đều, lục giác đều, n − giác đều.
Đáp số

0

108 ,120

0

n − 2 ) .1800
(
,
.
n

C. LUYỆN TẬP
1. (Dạng 1). Cho lục giác ABCDEF . Kẻ các đường chéo AC , AD, AE . Kể tên các đa
giác trong hình vẽ.
2. (Dạng 2). Tính tổng số đo các góc của đa giác 12 cạnh.
3. (Dạng 2). Tính số cạnh của đa giác có tổng số đo các góc bằng 10800 .
4. (Dạng 2). Ta gọi góc ngồi của đa giác là góc kề bù với một góc của đa giác. Ta
coi ở mỗi đỉnh của đa giác có một góc ngồi.
a)

Chứng minh rằng tổng các góc ngồi của bất kì của đa giác nào cũng bằng 3600 .

b) Đa giác nào có tổng các góc trong gấp đơi tổng các góc ngồi?
5. (Dạng 3). Đa giác nào có số đường chéo:
a)

Bằng số cạnh?

b) Gấp đôi số cạnh?
6. (Dạng 3). Cho lục giác ABCDEF có các cạnh đối AB và DE , BC và EF , CD và

FA song song và bằng nhau. Chứng minh rằng các đường chéo AD , BE và CF
của lục giác cắt nhau tại một điểm O và O ' chia mỗi đường chéo thành hai đoạn
bằng nhau.
7. (Dạng 3). Chứng minh rằng trong ngũ giác, tổng các đường chéo lớn hơn chu vi.
8. (Dạng 4). Mỗi góc của đa giác đều n cạnh bằng 1080 . Tìm n
9. (Dạng 4). Cho tam giác đều ABC . Trên cạnh AB lấy các điểm D, E sao cho

= FH
= HC. Trên
AD
= DE
= EB . Trên cạnh BC lấy các điểm F , H sao cho BF
cạnh CA lấy các điểm I , K sao cho CI
= IK
= KA. Chứng minh rằng DEFHIK là
lục giác đều.
10. (Dạng 4). Chứng minh trung điểm các cạnh của một ngũ giác đều là đỉnh của
một ngũ giác đều.
§2. DIỆN TÍCH HÌNH CHỮ NHẬT
A. TĨM TẮT LÍ THUYẾT
1.

Khái niệm diện tích đa giác

Số đo của phần mặt phẳng giới hạn bởi một đa giác được gọi là diện tích đa giác đó.
Mỗi đa giác có một diện tích xác định. Diện tích đa giác là một số dương.
Diện tích đa giác có các tính chất sau:

−

Hai tam giác bằng nhau thì có diện tích bằng nhau.

−

Nếu một đa giác được chia thành những đa giác khơng có điểm trong chung thì
diện tích của nó bằng tổng diện tích của những đa giác đó.

−

Nếu chọn hình vng có cạnh 1cm,1dm,1m,... làm đơn vị đo diện tích thì đơn vị
diện tích tương ứng là 1cm 2 ,1dm 2 ,1m 2 ,...

2.

Cơng thức tính diện tích hình chữ nhật, hình vng, tam giác vng
− Diện tích hình chữ nhật bằng tích hai kích thước của nó:

S = a.b.
a

b


− Diện tích hình vng bằng bình phương cạnh của nó:

S = a2.

a

a

− Diện tích tam giác vng bằng nửa tích hai cạnh góc vng:

S=

1
a.b.
2

b

a

B. CÁC DẠNG TỐN
Dạng 1. TÍNH CHẤT DIỆN TÍCH ĐA GIÁC
Phương pháp giải.
Sử dụng tính chất của diện tích.
Ví dụ 1: (Bài 11 SGK)
Cắt hai tam giác vng bằng nhau từ một tấm bìa. Hãy ghép hai tam giác đó để tạo
thành:
a) Một tam giác cân
b) Một hình chữ nhật;
c) Một hình bình hành.
Diện tích của các hình này có bằng nhau khơng? Vì sao?
Giải.

2
2

1

1

2

2

1
1


Ghép như hình trên. Các hình này có diện tích bằng nhau theo tính chất thứ hai của
diện tích.
Dạng 2: TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH CHỮ NHẬT.
Phương pháp giải.
Sử dụng cơng thức tính diện tích hình chữ nhật.
Ví dụ 2: ( Bài 6 SGK)
Diện tích hình chữ nhật thay đổi như thế nào nếu:
a) Chiều dài tăng 2 lần, chiều rộng không đổi?
b) Chiều dài và chiều rộng tăng 3 lần?
c) Chiều dài tăng 4 lần, chiều rộng giảm 4 lần?
Giải:
Lúc đầu, hình chữ nhật có chiều dài a, chiều rộng b, diện tích S = ab.
Sau khi thay đổi, hình chữ nhật có chiều dài a ' , chiều rộng b ' , diện tích S ' = a ' b ' .
a) Nếu
=
a'
b) Nếu
=

a'

=
2a, b ' b thì S ' = 2a ' b .
=
S ' 3a=
.3b
9=
ab
3=
a, b ' 3b thì
b
b
= 4a. = ab
= S .
c) Nếu a ' = 4a , b ' = thì S'
4
4

9S .

Ví dụ 3: ( Bài 7SGK)
Một gian phịng có nền hình chữ nhật với kích thước là 4, 2 m và 5, 4 m, có một cửa
sổ hình chữ nhật kích thước 1m và 1,6 m và một cửa ra vào hình chữ nhật kích thước

1, 2 m và 2 m. Ta coi một gian phòng đạt mức chuẩn ánh sáng nếu diện tích các cửa
bằng 20% diện tích nền nhà. Hỏi gian phong trên có đạt mức chuẩn về ánh sáng
khơng?
Giải.
Diện tích S của nền nhà bằng: 4.2.5.4 = 22, 68 (m2).

Diện tích S’ của các cửa bằng: 1.1, 6 + 1, 2.2 =
4 (m2).
Ta thấy

S'
4
=
≈ 17, 6% < 20%.
S 22, 68

Vậy gian phịng khơng đạt chuẩn về ánh sáng.
Dạng 3. DIỆN TÍCH HÌNH VNG
Phương pháp giải


Sử dụng cơng thức diện tích hình vng.
Ví dụ 4: ( Bài 10 SGK)
Cho một tam giác vuông. Hãy so sánh tổng diện tích của hai hình vng dựng trên
hai cạnh góc vng với diện tích hình vng dựng trên cạnh huyền.

B
a

c

b
A

C

Giải.
Giả sử tam giác ABC có cạnh huyền là a và hai cạnh góc vng là b, c.
Diện tích hình vng dựng trên cạnh huyền a là a 2 .
Tổng diện tích hai hình vng dựng trên hai cạnh góc vng b và c là b 2 + c 2
2
Theo định lí Pi-ta-go, ta có: a=
b2 + c2 .

Vậy: Trong một tam giác vng, tổng diện tích của hai hình vng dựng tên hai
cạnh góc vng bằng diện tích hình vng dựng trên cạnh huyền.
Dạng 4. DIỆN TÍCH TAM GIÁC VNG.
Phương pháp giải.
Sử dụng cơng thức tính diện tích hình vng. Chú ý sử dụng định lí Pi-ta-go.
Ví dụ 5: Tính diện tích tam giác ABC vng tại A , có AB = 5cm , BC = 13 cm.
Giải:
B
13

5

A

AC 2 = BC 2 – AB 2 = 132 − 52 = 144 
⇒ AC = 12cm

C


=
S

1
5.12
AB.=
AC = 30(cm 2 )
2
2

Ví dụ 6: (Bài 9 SGK)

ABCD là hình vng cạnh 12 cm. AE = x . Tính x sao cho diện tích tam giác ABE
bằng

1
diện tích hình vng ABCD .
3

B

x

E

C

12

Giải.

A

D

Diện tích tam giác ABE là 6x ( cm 2 ).
Diện tích hình vng ABCD là 144 ( cm 2 ).
Theo đề bài, ta có 6 x=

144
⇒ x= 8(cm) .
3

Ví dụ 7: (Bài 13 SGK)
Cho hình 125, trong đó ABCD là hình chữ nhật, E là một điểm bất kì nằm trên
đường chéo AC .

FG / / AD và HK / / AB . Chứng minh rằng hai hình chữ nhật EFBK và EGDH có
cùng diện tích.
Giải.

A

F

B
E

H

Ta có S ABC = S ADC ;

K

S AEF = S AHE ;
S EKC = S EGC .

D

G

C


Suy ra:
S ABC − S AEF − S EKC = S ADC − S AHE − S EGC
Vậy S BKEF = S EGDH
Ví dụ 8: ( Bài 15 SGK)
Vẽ hình chữ nhật ABCD có AB = 5 cm, BC = 3 cm.
a) Hãy vẽ một hình chữ nhật có diện tích nhỏ hơn nhưng có chu vi lớn hơn hình
chữ nhật ABCD . Vẽ được mấy hình như vậy?
b) Hãy vẽ hình vng có chu vi bằng chu vi hình chữ nhật ABCD . Vẽ được mấy
hình vng như vậy? So sánh diện tích hình chữ nhật với diện tích hình vng
có cùng chu vi vừa vẽ.
c) Tại sao trong các hình chữ nhật có cùng chu vi thì hình vng có diện tích lớn
nhất?
Giải.
a) Hình chữ nhật ABCD có diện tích 15 cm2. Chu vi 16 cm. Chẳng hạn hình chữ
nhật có kích thước 2 cm x 7 cm thì diện tích bằng 14 cm2 ( nhỏ hơn diện tích
ABCD ), chu vi 18 cm, (lớn hơn chu vi ABCD ).
b) Hình vng có chu vi bằng chu vi hình chữ nhật ABCD thì cạnh bằng 16 : 4 = 4
(cm), diện tích bằng 4.4 = 16 (cm2). Diện tích hình chữ nhật ABCD nhỏ hơn diện

tích hình vng ( vì 15 < 16 ).
c) Ta chứng minh được trong các hình chữ nhật có cùng chu vi bằng 2p thì hình
vng có diện tích lớn nhất.
Thật vậy, gọi a và b là kích thước của hình chữ nhật, ta có a + b =
p , diện tích hình
chữ nhật là S = ab .

2p p
p 2 (a + b) 2
= , diện tích là =
.
S' =
4
2
4
4

Hình vng có chu vi p thì cạnh bằng
Xét hiệu:

(a + b) 2
(a + b) 2 − 4ab a 2 − 2ab + b 2 (a + b) 2
−=
ab
=
=
≥0 .
4
4
4

4
Vậy S ' ≥ S . Dấu bằng xảy ra (tức S = S ' ) khi và chỉ khi a = b .
S=
'− S

C. LUYỆN TẬP.
1. (Dạng 1)
H

A
5
9

E

B
10

D

G
16

C


a) Hình chữ nhật ABCD được căt ghép thành 3 mảnh như ở hình bên. Hãy ghép 3
mảnh đó lại để được hình vng.
b) Hãy chia hình chữ nhật kích thước 9 x16 nói trên thành 2 mảnh rồi ghép lại thành
một hình vng.

2. (Dạng 2). Cho hình thoi có hai đường chéo bằng a và b . Tính diện tích tứ giác có
đỉnh là trung điểm các cạnh của hình thoi.
3. ( Dạng 2). Cho hình chữ nhật ABCD có AD = 14 cm, BD = 50 cm . O là giao điểm
của hai đường chéo. Gọi E , F , G, H lần lượt là trung điểm của OA, OB, OC , OD . Tính
diện tích tứ giác EFGH .
4. (Dạng 3). Diện tích một hình vng tăng bao nhiêu phần trăm nếu mỗi cạnh của
nó tăng thêm 20% .
5. (Dạng 3). Một hình thang cân có hai đường chéo vng góc với nhau, độ dài hai
đường chéo bằng 4 cm. Tính diện tích tứ giác có đỉnh là trung điểm các cạnh của
hình thang cân đó.
6. (Dạng 4). Tính diện tích một tam giác vng có cạnh huyền bằng 10 cm, tổng hai
cạnh góc vng bằng 14 cm.
= 900 ) có AB = 3 cm, AD = 4 cm,
7. Tính diện tích hình thang vng ABCD ( 
A= B

ABC = 1350 .
8. Trong các hình chữ nhật có diện tích bằng 100m2, hình nào có chu vi nh nht?

Đ3. DIN TCH TAM GIC
ã

A. TểM TT L THUYT
Din tích tam giác bằng một nửa tích của một cạnh với chiều cao ứng với
cạnh đó:

h

1
ah.

2
Từ đó suy ra:
S=

•

a

Nếu hai tam giác có một cạnh bằng nhau thì tỉ số diện tích của hai tam
giác đó bằng tỉ số các chiều cao tương ứng.


•

Nếu hai tam giác có một đường cao bằng nhau thì tỉ số diện tích hai tam
giác đó bằng tỉ số các cạnh tương ứng.
B. CÁC DẠNG TOÁN

Dạng 1. CẮT VÀ GHÉP HÌNH. GIẢI THÍCH CƠNG THỨC TÍNH DIỆN TÍCH
TAM GIÁC.
Phương pháp giải.
Đưa việc tính diện tích tam giác về việc tính diện tích hình chữ nhật.
Ví dụ 1: (Bài 20 SGK)
Vẽ hình chữ nhật có một cạnh bằng cạnh của một tam giác cho trước và có diện tích
bằng diện tích của tam giác đó. Từ đó suy ra một cách chứng minh khác về cơng
thức tính diện tích tam giác.
A

S1

S4

N

I
KE

D

l S3

S2

B

H

C

Giải.
Dựng hình chữ nhật có một cạnh là cạnh của tam giác, cạnh đối diện thuộc đường
thẳng đi qua trung điểm hai cạnh kia.
Để chứng minh diện tích tam giác bằng diện tích hình chữ nhật, ta kẻ AK vng góc
với D ( nếu chọn BC là cạnh lớn nhất của tam giác ABC thì AK khơng nằm ngoài
tam giác). Dễ thấy
=
S1 S=
S 4 nên S ABC = S BINC .
2 , S3

S=
BC.=
KH
Như vậy S=
ABC
BINC

1
BC. AH . Điều này cho ta một cách chứng minh
2

cơng thức tính diện tích tam giác.
Dạng 2: TÍNH TỐN, CHỨNG MINH VỀ DIỆN TÍCH TAM GIÁC.
Phương pháp giải
Sử dụng cơng thức tính diện tích tam giác


Ví dụ 2: ( Bài 18 SGK) Cho tam giác ABC và đường trung tuyến AM (H.132 SGK).
Chứng minh S AMB = S AMC .
Giải.
A

B

H

C

M

Kẻ AH ⊥ BC . Ta có:

=
S AMB

1
1
=
BM . AH ; S AMC
MC. AH .
2
2

Do BM = MC nên S AMB = S AMC .
Ví dụ 3: ( Bài 24 SGK)
Tính diện tích của một tam giác cân có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng b .
Giải.

h
b

a

Gọi H là chiều cao của tam giác cân có đáy là a và cạnh bên là b . Theo định lí Pi-tago, ta có:

a
4b 2 − a
h2 = b2 − ( )2 =
⇒h=
2

4

4b 2 − a
2

1
1
4b 2 − a 1
Vậy=
S =
ah
a.
=
a 4b 2 − a .
2
2
2
4
Ví dụ 4 (Bài 25 SGK)
Tính diện tích của một tam giác đều có cạnh bằng a.


Giải.

a

h

a/2

Gọi h là chiều cao của tam giác đều cạnh a . Theo định lí Pi-ta-go, ta có:
2

2
a 3
 a  3a
h = a −  =
⇒h=
.
4
2
2
2

=
S

2

1
1 a 3 a2 3
=
.a.h
.a. =
2
2
2
4

Ví dụ 5: Cho tam giác ABC vng tại A , AB = 6 cm. Qua điểm D thuộc cạnh BC ,

Kẻ các đoạn thẳng DE nằm ngoài tam giác ABC sao cho DE / / AC và DE = 4 cm.
Tính diện tích tam giác BEC .
Giải.
B

E

H

K

D

A

C

Gọi H là giao điểm của DE và AB . Gọi K là chân đường vng góc kẻ từ C đến

DE . Ta có:
S=
S BDE + SCDE
BEC

=
=

1
1
DE.BH + DE.CK

2
2
1
DE. ( BH + CK )
2


=
=

1
DE.( BH + AH )
2
1
1
DE=
. AB =
.4.6 12(cm 2 ) .
2
2

Dạng 3. TÍNH ĐỘ DÀI ĐOẠN THẲNG BẰNG CÁCH SỬ DỤNG CƠNG THỨC
TÍNH DIỆN TÍCH TAM GIÁC.
Phương pháp giải.
Từ cơng thức S =

1
2S
2S
ah suy=

,h
ra a =
.
2
h
a

Ví dụ 6. Tam giác cân ABC ( AB = AC ) có BC = 30 cm, đường cao AH = 20 cm. Tính
đường cao ứng với cạnh bên.
Giải.
A

K

B

H

C

Kẻ AH ⊥ AC.

AC 2 = AH 2 + HC 2 = 202 + 152 = 625.
Suy ra AC = 25 cm.

=
S ABC
BK
=

(

1
1
. AH =
.30.20 300 cm 2
BC
=
2
2

)

2S 2.300
=
= 24 ( cm ) .
AC
25

Dạng 4. SỬ DỤNG CƠNG THỨC DIỆN TÍCH ĐỂ CHỨNG MINH CÁC HỆ
THỨC.
Phương pháp giải.


Phát hiện quan hệ về diện tích trong hình rồi sử dụng các cơng thức diện tích.
Ví dụ 7. ( Bài 17 SGK)
Cho tam giác AOB vuông tại O với đường cao OM ( Hình 131 SGK). Hãy giải thích
vì sao ta có đẳng thức AB.OM = OA. AB .
Giải.
A

M

B

Q

Ta có S AOB =

1
1
AB.OM . Ta lại có S AOB = OA.OB. Vậy: AB.OM = OA. AB .
2
2

Ví dụ 8: Cho Tam giác nhọn ABC, các đường cao AA ', BB ', CC ' cắt nhau tại H .
Chứng minh rằng:

HA HB HC
+
+
=
1.
AA ' BB ' CC '
Giải.
A
B'

C'
H

B

A'

C

Gọi S ABC = S . Các tam giác HBC và ABC có chung đáy BC nên tỉ số hai đường cao
bằng tỉ số hai diện tích:

HA S HBC
=
AA '
S
Tương tự:
Do đó:

HB S HAC HC S HAB
=
=
,
S CC'
S
BB'

HA HB HC S HBC S HAC S HAB S HBC + S HAC + S HAB S
1
+
+
=
+

+
=
==
AA ' BB ' CC '
S
S
S
S
S


Ví dụ 9. Chứng minh rằng tổng các khoảng cách từ một điểm bất kì trong tam giác
đều đến ba cạnh của tam giác khơng phụ thuộc vào vị trí của điểm đó trong tam
giác.
Giải.
A

I

K
M

B

H

C

Gọi M là điểm bất kì trong tam giác đều ABC . Kẻ MH ⊥ BC , MI ⊥ AC , MK ⊥ AB .
Đặt AB

= BC
= CA
= a . Gọi H là chiều cao của tam giác đều. Ta có:
S BMC + S AMC + S AMB =
S ABC
Suy ra

a
a
a
a
.MH + .MI + .MK =
.h
2
2
2
2

Hay MH + MI + MK =
h.
Vậy khoảng cách từ một điểm bất kì trong tam giác đều đến ba cạnh khơng phụ
thuộc vào vị trí của điểm đó trong tam giác.
Dạng 5. TÌM VỊ TRÍ CỦA ĐIỂM ĐỂ THỎA MÃN MỘT ĐẲNG THỨC VỀ DIỆN
TÍCH.
Phương pháp giải.
Dùng cơng thức tính diện tích dẫn đến điều kiện vị trí của điểm, thường liên quan
đến khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng.
Ví dụ 10. ( Bài 22 SGK)
Tam giác PAF được vẽ trên giấy kẻ ô vuông (H. 135 SGK). Hãy chỉ ra:
a) Một điểm I sao cho S PIF = S PAF ;

b) Một điểm O sao cho S POF = 2.S PAF ;
1
c) Một điểm N sao cho S PNF = S PAF .
2


Giải.
A

F
P

a) Lấy một điểm I thuộc dòng kẻ song song với PF và cách PF 4 đơn vị dài.
b) Lấy diểm O thuộc dòng kẻ song song với PF và cách PF 8 đơn vị dài.
c) Lấy điểm N thuộc dòng kẻ song song với PF và cách PF 2 đơn vị dài.
Ví dụ 11. ( Bài 23 SGK)
Cho tam giác ABC . Hãy chỉ ra một số vị trí của điểm M trong tam giác đó sao cho
S AMB + S BMC =.
S MAC

B

Giải.
E

M

F

Theo giả thiết thì M là điểm nằm trong tam giác,

sao cho:
S AMB + S BMC =
S MAC

A

H

K

C

Nhưng S AMB + S BMC + S MAC =,
S ABC suy ra :

S MAC =

1
S ABC
2

Tam giác MAC và tam giác ABC có chung đáy BC nên MK =

1
BH .
2

Vậy điểm M nằm trên đường trung bình EF của tam giác ABC .
Dạng 6. TÌM DIỆN TÍCH LỚN NHẤT (NHỎ NHẤT) CỦA MỘT HÌNH.
Phương pháp giải.

Nếu diện tích của một hình ln nhỏ hơn hoặc bằng một hằng số m ,và tồn tại
một vị trí của hình để diện tích bằng m thì m là diện tích lớn nhất của hình đó.
Một trong các bất đẳng thức hình học được sử dụng là đường vng góc ngắn


hơn đường xiên.
Ta cũng kí hiệu max S là giá trị lớn nhất của biểu thức S , min S là giá trị nhỏ
nhất của biểu thức S .
Ví dụ 12. Tìm diện tích lớn nhất của tam giác ABC có AB = 2 cm, BC = 3 cm.
Giải.
A

B

H

C

Kẻ AH ⊥ BC . Ta có:

1
1
3.2
3(cm 2 ) maxS = 3cm 2 ⇔ AH = AB ⇔ AB ⊥ BC
S ABC =
BC. AH ≤ BC. AB ==
2
2
2
C. LUYỆN TẬP.

1. ( Dạng 1). Cho một miếng bìa hình tam giác. Hãy cắt tấm bìa đó thành một số
mảnh rồi ghép lại thành một hình chữ nhật.
2. (Dạng 2). Cho tam giác ABC , đường cao AH ( H thuộc cạnh BC ). Biết
=
AB 15
=
cm, AC 41
=
cm, HB 12cm. Tính diện tích tam giác ABC,
3. (Dạng 2). Tam giác ABC có đáy BC = 60 m, chiều cao tương ứng 40 m. Gọi D
và E thứ tự là trung điểm của AB, AC . Tính diện tích tứ giác BDEC .
4. (Dạng 2) Cho tam giác ABC có diện tích 60 m 2 , G là trọng tâm của tam giác.
Tính diện tích tam giác BGC .
5. (Dạng 2) Cho tam giác ABC có =
BC a=
, AC b=
, AB c , các đường phân giác
cắt nhau ở I , khoảng cách từ I đến BC bằng d . Tính diện tích tam giác
ABC theo a, b, c, d .
6. (Dạng 2). Cho tam giác ABC , các đường trung tuyến BD và CE . Cho biết
BC = 10 cm, BD = 9 cm, CE = 12 cm.
a) Chứng minh BD ⊥ CE
b) Tính diện tích tam giác ABC .
7. (Dạng 3). Cho tam giác ABC , AB
= AC
= 10 cm, BC = 12 cm. Tính đường cao
BK .
8. (Dạng 3). Một tam giác cân có đường cao ứng với cạnh đáy bằng 15 cm,
đường cao ứng với cạnh bên bằng 20 cm. Tính các cạnh của tam giác đó
(chính xác đến 0,1cm ).

9. (Dạng 4). Cho hình thang ABCD ( AB //CD ). Qua giao điểm O của hai đường
chéo, kẻ đường thẳng sông song với đáy , cắt AD và BC tại E và G . Chứng
minh rằng:
a) S AOD = S BOC ;
b) OE = OG .
10. (Dạng 4) Cho hình thang ABCD ( AB //CD ). Gọi O là giao điểm của hai đường
chéo. Biết diện tích tam giác AOB bằng 9 cm2, diện tích tam giác COD bằng
16 cm 2 .
a) Tính diện tích các tam giác AOD , BOC .
b) Tính diện tích hình thang ABCD .
11. (Dạng 4). Cho tam giác ABC cân tại A , điểm M thuộc đáy BC . Gọi BD là
đường cao của tam giác ABC , H và K là chân các đương vng góc kẻ từ
M đến AB và AC . Dùng cơng thức diện tích để chứng minh MH + MK =
BD .
12. (Dạng 4). Cho tam giác ABC vuông tại A , đường phân giác AD . Đặt AC = b
bc
, AB = c . Gọi d là khoảng cách từ D đến AB . Chứng minh rằng d =
b+c
13. ( Dạng 4). Cho tam giác ABC vuông tại A . Vẽ về phía ngồi tam giác ABC
các hình vng ABDE , ACFG , BCMN . Đường cao AH của tam giác ABC
cắt MN ở K . Chứng minh rằng:
a) S ABDE = S BHKN ;
b) S ACFG = SCHKM .
14. (Dạng 5). Các đỉnh A của tam giác ABC có đáy BC = 3 cm, diện tích bằng 3
cm2 chuyển động trên đường nào?
15. (Dạng 6). Tính diện tích lớn nhất của tam giác vng ABC có cạnh huyền
BC = a .
16. (Dạng 6). Trong các hình chữ nhật có đường chéo bằng 10 cm, hình nào có

diện tích lớn nhất?
§4. DIỆN TÍCH HÌNH THANG
A. TĨM TẮT LÍ THUYẾT
Diện tích hình thang bằng nửa tổng hai đáy với chiều cao:

h
a

1
(a + b).h
2
Diện tích hình bình hành bằng tích của một cạnh với chiều cao ửng với cạnh

=
S


h
a

đó:
S = a.h
B. CÁC DẠNG TỐN.
Dạng 1. TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH THANG
Phương pháp giải
Sử dụng cơng thức tính diện tích hình thang
Ví dụ 1: ( Bài 30 SGK)
Trên hình 143 SGK ta có hình thang ABCD với đường trung bình EF và hình chữ
nhật GHIK . Hãy so sánh diện tích hai hình này, từ đó suy ra một cách chứng minh
khác về cơng thức diện tích hình thang.

Giải
A

G

B

H

E
D

F
K

I

C

Ta có: ∆AEG =
∆DEK (cgc), ∆ BFH =
∆ CFI(cgc) . Do đó: S ABCD = SGHIK .
Từ đây suy ra diện tích hình thang bằng diện tích hình chữ nhật có một cạnh bằng
đường trung bình của hình thang. Do đó diện tích hình thang bằng nửa tổng hai đáy
nhân với chiều cao, ta có một cách nưa chứng minh cơng thức tính diện tích hình
thang.
Dạng 2. TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH BÌNH HÀNH.
Phương pháp giải
Sử dụng cơng thức tính diện tích hình bình hành
Ví dụ 2 (Bài 28 SGK)

I

G

F

E

U

R

Xem hình 142 SGK (IG//FU).
Hãy đọc tên một số hình có cùng diện tích với hình FIGE .
Giải.
Đặt FE
= ER
= RU
= a . Gọi khoảng cách giữa hai đường thẳng song song IG và FU
bằng b . Ta có:
S=
S=
S IGUR (cùng bằng ah );
FIGE
IGRE
S FIR = SGEU (cùng bằng ah ).
Vậy các hình IGRE , IGUR, IER, GEU có cùng diện tích với hình bình hành FIGE .
Ví dụ 3. Cho hình thang ABCD ( AB //CD ) có AB = 6 cm, chiều cao bằng 9 cm. Đường

thẳng đi qua B và song song với AD cắt CD tại E chia hình thang thành hình bình
hành ABED và tam giác BEC có diện tích bằng nhau. Tính diện tích hình thang.
Giải.
B

A
6

9

D

(

E

C

)

S ABED
= 6.9
= 54 cm 2 .

(

)

=
SBEC S=

54 cm 2 .
ABED

Vậy S ABCD = 54 + 54 = 108 ( cm 2 )
Dạng 3. TÌM DIỆN TÍCH LỚN NHẤT (NHỎ NHẤT) CỦA MỘT HÌNH
Phương pháp giải.
Nếu diện tích của một hình thoi ln nhỏ hơn hoắc bằng một hằng số m, và tồn
tại một vị trí của hình để diện tích bằng m thì m là diện tích lớn nhất của hình đó.


Ví dụ 4. Tính diện tích lớn nhất của hình bình hành có độ dài hai cạnh kề nhau bằng
a.b
Giải.
A

B

b

D

H a

C

Xem hình bên ta có:
S ABCD = DC. AH ≤ DC. AD = ab

maxS=ab ⇔ AH=AD tức là ABCD là hình chữ nhật.
C.LUYỆN TẬP

= 900 ,
1. (Dạng 1). Tính diện tích hình thang ABCD biết 
A= D
CD = 3cm .
2. (Dạng 1) Tính diện tích hình thang ABCD biết 
A=

 = 450 , AB = 1cm,
C

= 900 , AB= 3cm,
D

=
BC 5cm,
=
CD 6cm .
3. (Dạng 1) Cho hình thang cân ABCD ( AB //CD, AB < CD ). Kẻ đường cao AH . Biết
AH = 8 cm, HC = 12 cm. Tính diện tích hình thang ABCD .
4. (Dạng 1)Tính diện tích hình thang cân có các đáy bằng 10 cm và 20 cm, cạnh bên
bằng 13 cm.
5. (Dạng 1). Chứng minh rằng mọi đường thẳng qua trung điểm của đường trung
bình và cắt hai đáy hình thang sẽ chia hình thang thành hai hình thang có diện
tích bằng nhau.
0
 30
6. (Dạng 1) Tính diện tích hình thang ABCD ( AB //CD ) biết
=
C
=

, AB 3cm,
=
BC 8=
cm, CD 12cm.
7. (Dạng 1). Tính diện tích hình thang vng có các cạnh đáy bằng a và b , cạnh
bên khơng vng góc với đáy bằng a + b .
8. (Dạng 1). Hình chữ nhật ABCD có AB = 48 cm, E là trung điểm của CD . Điểm
1
F thuộc cạnh AB . Tính độ dài BF biết rằng diện tích hình thang BFEC bằng
3
diện tích hình chữ nhật.
9. (Dạng 2). Cho hình bình hành ABCD có diện tích 720 cm2, O là giao điểm hai
đường chéo. Khoảng cách từ O đến CD bằng 9 cm, khoảng cách từ O đến AB
bằng 18 cm. Tính độ dài AD, CD .
10. (Dạng 2). Cho hình bình hành ABCD có diện tích 30 cm2, M là điểm nằm trong
hình bình hành.Tính tổng diện tích các tam giác MAB và MCD .


11. (Dạng 2). Tính diện tích hình bình hành biết biết hai cạnh kề bằng 6 cm và 10 cm,
góc xen giữa bằng 1500 .
12. (Dạng 2). Tính các góc của hình bình hành ABCD có diện tích 30 cm2, AB = 10cm,
.
=
AD 6cm, 
A> B
13. (Dạng 2). Cho hình bình hành ABCD có diện tích 80 m2. Gọi E , F theo thứ tự là
trung điểm của AD, BC . Các đường thẳng BE , AF cắt nhau ở O và cắt đường
thẳng DC theo thứ tự ở M , N . Tính diện tích tam giác OMN .
14. (Dạng 2) Một hình bình hành có hai cạnh bằng 12 cm và 18 cm, một đường cao
bằng 10 cm. Tính đường cao thứ hai.

15. (Dạng 2). Cho hình bình hành ABCD . Gọi M , N , I , K thứ tự là trung điểm của
AB, BC , CD, DA . Gọi giao điểm của AI với KB, DN theo thứ tự là F , G . Chứng
minh rằng:
a) AE
= EG
= GC .
1
b) S EFGH = S ABCD
5
16. (Dạng 1 và 2) Cho hình thang ABCD ( AB //CD ), E là trung điểm của AD . Đường
thẳng qua E và song song với BC cắt AB và CD ở I và K . Chứng minh rằng
diện tích hình thang ABCD bằng diện tích hình bình hành BIKC .
17. (Dạng 3) Hình thang ABCD có AD = 4 cm, BC = 6 cm, đường trung bình bằng 5
cm . Tính diện tích lớn nhất của hình thang.
§5. DIỆN TÍCH HÌNH THOI
A. TĨM TẮT LÍ THUYẾT
Diện tích tứ giác có hai đường chéo vng góc bằng nửa tích hai đường chéo.
1
S ABCD = AC.BD
2
B
A

C

D

d2

d1

Diện tích hình thoi bằng nửa tích hai đường chéo.
1
S = d1.d 2
2
B. CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1. TÍNH DIỆN TÍCH TỨ GIÁC CĨ HAI ĐƯỜNG CHÉO VNG GÓC


Phương pháp giải.
Sử dụng công thức S ABCD =

1
AC.BD với AB ⊥ CD
2

Ví dụ 1. (Bài 32b SGK)
Hãy tính diện tích hình vng có độ dài đường chéo là d .
Giải.
Hình vng có hai đường chéo bằng nhau và vng góc với nhau. Do đó diện tích
hình vng bằng nửa tích hai đường chéo, tức là bằng

d2
.
2

Ví dụ 2: Hình thang cân ABCD ( AB //CD ) có AC vng góc với BD . Tính diện tích
hình thang biết chiều cao bằng h .
Giải.

B

A
O

D

C

Ta có ∆ACD =
∆BDC (ccc)
.
⇒
ACD =
BDC
 = 450 . Do đó ∆BHD
Tam giác vng OCD có hai góc ở đáy bằng nhau nên BDC
vng cân. Ta có HD
= HB
= h nên BD 2 = h 2 + h 2 = 2h 2
Vậy S=
ABCD

1
1
1 2
.BD
.2h h 2 .
AC=
=

BD 2 =
2
2
2