Bài giảng Toán ứng dụng - P8

Cao Hào Thi 27
Chương 4
PHƯƠNG TRÌNH CUNG VÀ CẦU
(Supply and Demand Equation)
1. Hệ phương trình tuyến tính (bậc nhất).
Là hệ gồm nhiều phương trình đại số tuyến tính thay phương trình bậc 1.
Ví dụ: Bài toán giá vé xem xi nê.
Nếu giá của 2 vé người lớn và 1 vé trẻ em là 8$ và giá của 1 vé người lớn và 3 vé trẻ em
là 9$ thì giá vé của mỗi loại sẽ là bao nhiêu?
Thành lập bài toán:
Gọi x là giá vé loại người lớn, y là giá vé loại trẻ em.
Ta có
28
39
xy
xy
+=
+=
⎧
⎨
⎩

2. Hệ phương trình tuyến tính gồm 2 biến
2.1 Định nghĩa:
Là hệ phương trình có dạng:

ax by c
ax by c
11 1
22 2
+=

+=
⎧
⎨
⎩

2.2 Giải hệ phương trình:
a. Phương pháp đồ thị (Solution by graphing)
Gọi (D
1
) là đồ thị của a
1
x+b
1
y = c
1

(D
2
) là đồ thị của a
2
x+b
2
y = c
2

Phương trình có Phương trình Phương trình
1 nghiệm (x
*
,y
*
) vô nghiệm vô định
y
y
(D
2
)
(D
1
)
A(x
*
,y
*
) là
nghiệm của
phương trình
y
*

x
0

x
*

(D
2
)
y (D
1
)
x
(D
1
) ≡ (D
2
)
x
Cao Hào Thi 28
Ta có 3 trường hợp: + (D
1
) cắt (D
2
): phương trình có một nghiệm.
+ (D
1
) // (D
2
): phương trình vô nghiệm.
+ (D
1
) trùng (D

2
): phương trình vô định.
Ví dụ: Giải các hệ phương trình sau đây bằng phương pháp đồ thị;
a/
xy
xy
−=
+=
⎧
⎨
⎩
22
5
b/
xy
xy
+=−
+=
⎧
⎨
⎩
24
24 8
c/
248
24
xy
xy
==
+=

⎧
⎨
⎩

Giải:











Nghiệm của hệ Phương trình vô nghiệm Phương trình vô định
phương trình là: (4,1)
b. Phương trình thay thế: (Solution by substitution)
Giải phương trình bằng phương pháp thay thế:

541
235 2
xy
xy
+=
−=
⎧
⎨
⎩

()
()

Giải:
Từ (1) ⇒ y = f(x) = 4-5x Thay vào phương trình (2)
(2) ⇒ 2x-3(4-5x) = 5
17x = 17
x = 1
Vậy y = 4-5x = 4-5*1 = -1
Nghiệm của hệ phương trình là (1,-1)
-4
y
0
2
4
-2
x
y
0
y
-1
0
5
1
x
5 4
2
Cao Hào Thi 29
c. Phương pháp khử và cộng: (Solution by elimination by addition)
Phương pháp này liên quan đến việc thay thế hệ phương trình đã có bằng các hệ phương

trình tương đương đơn giản hơn cho đến khi đạt lời giải của bài toán:
Định lý 1 trình bày các phép biến đổi để tạo ra các hệ phương trình tương đương.
Định lý 1:
Một hệ phương trình tuyến tính được biến đổi thành hệ phương trình tương đương bằng:
+ Đổi chỗ 2 phương trình.
+ Nhân phương trình với 1 hằng số khác zero
+ Nhân phương trình này với 1 hằng số và cộng vào phương trình khác đã cho.
Ví dụ:
Giải hệ phương trình bằng phương pháp khử và cộng:
32 8 1
25 1 2
xy
xy
−=
+=−
⎧
⎨
⎩
()
()

(1) * 5 ⇒ 15x-10y = 40
(2) * 2 ⇒ 4x+10y = -2
19x = 38
x = 2
Thay x = 2 vào (1) ⇒ 3*2-2y = 8 ⇒ y = -1
Nghiệm của phương trình là (2,-1).
3. Hệ phương trình tuyến tính gồm 3 biến:
3.1 Định nghĩa:

Là hệ phương trình có dạng:
ax by cz d
ax by cz d
ax by cz d
111 1
222 2
333 3
1
2
3
++=
++=
++=
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
()
()
()

3.2 Cách giải:
+ Dùng định lý 1, khử bớt 1 biến số để có hệ phương trình gồm 2 biến.
+ Giải hệ phương trình hai biến.
+ Tìm biến thứ 3.
Ví dụ: Giải hệ phương trình
Cao Hào Thi 30
3246 1
235 8 2

5437 3
xyz
xyz
xyz
−+=
+−=−
−+=
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
()
()
()

Giải:
(1)*5+(2)*4 ta có: 15x-10y+20z = 30
8x+12y-20z = -32
23x+2y = -2 (a)
(1)*3-(3)*4 ta có: 9x-6y+12z = 8
20x-16y+12z = 28
-11x+10y = -10 (b)
(a)*5-(b) ta có: 115x+10y = -10
-11x+10y = -10
126x = 0
x = 0
(b) ⇒ y = -1
(1) ⇒ z = 1
Nghiệm của phương trình là (x,y,z) = (0,-1,1)

Vấn đề: Tìm điểm cân bằng của đường cung và đường cầu;
Tìm tọa độ điểm cân bằng là giao điểm của đường cung và đường cầu. Cho biết:
- Phương trình của đường cầu là: p = -0.2q +4
- Phương trình của đường cung là: p = 0.07q + 0.76
Giải:
Toạ độ điểm cân bằng là giao điểm của hệ phương trình.

pq
p
=− +
=+
⎧
⎨
⎩
02 4
007 076
.
..

⇒ -0.2q + 4 = 0.07q + 0.76
0.27q = 3.24
q = 12
p = -0.2*12+4
p = 1.6$
Tương tự, tìm điểm cân bằng của:
P$
4
3
2
1.6

1
12
15 20
10
5
Q (sản phẩm)
Cao Hào Thi 31
pq
qq
=− +
=+
⎧
⎨
⎩
01 3
008 066
.
..

Vấn đề: Bài toán kế hoạch sản xuất
Một nhà máy sản xuất 3 loại sản phẩm A,B và C. Mỗi sản phẩm phải qua 3 công đoạn cắt,
lắp rắp và đóng gói với thời gian yêu cầu cho mỗi công đoạn được liệt kê ở bảng sau đây:
Sản phẩm A Sản phẩm B Sản phẩm C
Cắt
Lắp ráp
Đóng gói
I.6 giờ
0.6 giờ
0.2 giờ
1 giờ

0.9 giờ
0.3 giờ
1.5 giờ
1.2 giờ
0.5 giờ
Các bộ phận cắt, lắp ráp và đóng gói có số giờ công nhiều nhất trong mỗi tuần lần lượt là
380, 330 và 120 giờ công.
Hỏi nhà máy phải sản xuất số lượng mỗi loại sản phẩm là bao nhiêu theo mỗi tuần để nhà
máy hoạt động hết năng lực của nhà máy.
Giải:
Gọi x, y, z lần lượt là số lượng sản phẩm A, B và C nhà máy sản xuất trong mỗi tuần. Ta có:
0 6 1 15 380 1
0 6 0 9 12 330 2
02 03 05 120 3
.. ()
... ()
... ()
xy z
xyz
xyz
++ =
++=
++=
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪

(1) - (2) ⇒ 01.y+0.3z = 50

(1) - (3)*2 ⇒ -0.3z = -30
z = 100
⇒ 0.1y+0.3*100 = 50
y = 200
(3) ⇒ 0.2x+0.3*200+0.5*100 = 120
x = 50

x
y
z
=
=
=
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
50
200
100

4. Giải hệ phương trình tuyến tính 2 và 3 biến bằng phương pháp Cramer:
4.1 Hệ phương trình tuyến tính 2 biến:

ax by c
ax by c
11 1
22 2
+=

+=
⎧
⎨
⎩

Cao Hào Thi 32
a. Định thức cấp 2 (2-Ordered Determinat)
Định thức cấp 2 tương ứng với bảng các phần tử
ab
ab
11
22
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
được xác định như sau:
a
1
b
1

= a
1
b
2
- a
2

b
1
a
2
b
2

b. Phương pháp Crame

Tính các định thức;

D
ab
ab
ab ab==−
11
22
12 21


D
cb
cb
cb cb
Χ
==−
11
22
12 21

D
ac
ac
ac ac
Υ
==−
11
22
12 21


Công thức Cramer

x
D
D
=
Χ

y
D
D
=
Υ

Nhận xét:
D ≠ 0 ⇒ hệ phương trình có 1 nghiệm (Điều kiện để phương trình có nghiệm)
D = 0 ⇒ D
x

≠ 0 hay D
y
≠ 0 ⇒ hệ phương trình vô nghiệm.
D
x
= 0 hay D
y
= 0 ⇒ hệ phương trình vô định theo x hay theo y.
Ví dụ:
Giải hệ phương trình bằng phương pháp cramer.

54
235
xy
xy
+=
−=
⎧
⎨
⎩

Giải:
D =
−
=− − =− ≠
51
23
15 2 17 0

D

Χ
=
−
=− − =−
41
53
12 5 17

D
Υ
==−=
54
25
25 8 17

x
D
D
==
Χ
1
,
y
D
D
==−
Υ
1

Nghiệm của phương trình là (1,-1).

4.2 Hệ phương trình tuyến tính 3 biến:
- +
Cao Hào Thi 33

ax by cz d
ax by cz d
ax by cz d
111 1
222 2
333 3
++=
++=
++=
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪

a. Định thức cấp 3
Định thức cấp 3 tương ứng với bảng các phần tử
abc
abc
abc
111
222
333
⎛
⎝
⎜

⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
được xác định sau:
abc
abc
abc
a
bc
bc
b
ac
ac
c
ab
ab
111
222
333
1
22
33
1
22
33
1

22
33
=−+

Lưu ý:
Định thức con của phần tử cho trước của định thức cấp 3 là định thức cấp 2 nhận được từ
định thức cấp 3 bằng cách bỏ hàng và cột chứa phần tử đã cho.
+ Dấu thêm vào định thức con:
+-+
-+-
+-+

+ Một số cách tính định thức cấp 3
- Thêm vào 2 cột

abcab
abcab
abcab
111 11
222 22
333 33
= a
1
b
2
c
3
+b
1
c

2
a
3
+c
1
a
2
a
3
-a
3
b
2
c
1
-b
3
c
2
a
1
-c
3
a
2
b
1


- Thêm vào 2 hàng

abc
abc
abc
abc
abc
111
222
333
111
222

- Công thức Sarus

abc
abc
abc
111
222
333

b. phương pháp Cramer
2 cột
thêm vào
-
-
+
+
+

-
- - -
+ + +