Bài giảng Toán ứng dụng - P13

Cao Hào Thi 67

Chương 7:
LỢI ÍCH VÀ CHI PHÍ BIÊN
(Marginal Benefit and Cost)
1. Gia số, đường tiếp tuyến và tỷ lệ thay đổi:
(Increments, Tangent Lines and Rates of Change)
1.1 Gia số:
x
∆
y
∆
x
y = f(x)
f(x
2
)
x
2
f(x
1
)
x
1
0

Cho hàm y = f(x)
∆x = x
2
- x
1

∆y = f(x
2)
- f(x
1
) = f(x
1
+∆x) - f(x
1
)
∆y là sự thay đổi của y khi biến x thay đổi một lượng ∆x.
Ví dụ: Cho hàm y
x
=
2
2

a/ Tìm ∆x, ∆y và
∆
∆
y
x
đối với x
1
= 1 và x
2
= 2
b/ Tìm
()
fx x fx
x

11
+−∆
∆
()
với x
1
= 1 và ∆x = 2
Giải:

a/ ∆x = x
2
- x
1
= 2 - 1 = 1
∆y = f(x
2
) - f(x
1
) = f(2) - f(1) =
2
2
1
2
3
2
22
−=
∆
∆
y

x
==
3
2
1
3
2

b/
()
()
fx x fx
x
ff
11
12 1
2
9
2
1
2
2
2
+−
=
+−
=
−
=
∆

∆
()
()

Cao Hào Thi 68

1.2 Độ dốc và đường tiếp tuyến:
0123
10
20
x
y
tiếp tuyến
cát tuyến
∆
y
∆
x
P
2
P
1

a. Độ dốc đường cát tuyến:
(Secant line) P
1
(x
1
,y
1

) và P
2
(x
2
,y
2
)
( )
m
yy
xx
fx x fx
x
y
x
=
−
−
=
+−
=
21
21
11
∆
∆
∆
∆
()

b. Độ dốc đường tiếp tuyến:
(Tangent line)
m
y
x
=
→
lim
∆Χ
∆
∆
0
= lim
()()
∆Χ
∆
∆
→
+ −
0
11
fx x fx
x

Độ dốc của tiếp tuyến cũng là độ dốc của đồ thị tại điểm (x
1
, f(x
1
)).
Ví dụ:

Cho hàm số y = f(x) = x
2
. Tìm độ dốc và phương trình của tiếp tuyến tại x = 1.
Vẽ đồ thị của hàm số f, đường tiếp tuyến tại điểm (1, f(1)) và đường cát tuyến đi qua 2
điểm (1, f(1)) và (2, f(2)).
Giải:

+ Tính gia số
∆
x,
∆
y và
∆
∆
y
x

∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆∆
∆
∆
y
x
fxf
x

x
x
xx
x
x=
+−
=
+−
=
++−
=+
()()()111112 1
2
22 2

+ Tính độ dốc của đường tiếp tuyến
m
y
x
x==+=
→→
lim lim
∆Χ ∆Χ
∆
∆
∆
00
22

+ Tính tọa độ tiếp điểm: x = 1 ⇒ f(x) = f(1) = 1

2
= 1 ⇒ tiếp điểm (1,1)
+ Phương trình tiếp tuyến
y - y
1
= m(x-x
1
)
y - 1 = 2(x - 1)
y = 2x – 1
Cao Hào Thi 69

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-
2
2
4
6
8
10
12
x
y

+ Phương trình cát tuyến
x
1
= 1 ⇒ y
1
= f(1) = 1

2
= 1
x
2
= 2 ⇒ y
2
= f(2) = 2
2
= 4

yy
yy
xx
xx
−
−
=
−
−
1
21
1
21

⇔

yx−
−
=
−

−
1
41
1
21

Vậy: y = 3x - 2
1.3 Tỉ lệ thay đổi
(tốc độ thay đổi)
Cho hàm y = f(x)
Tỉ lệ thay đổi trung bình (Average Rate) =
∆
∆
∆
∆
y
x
fx fx
xx
fx x fx
x
=
−
−
=
+−
() () ( ) ()
21
21
11

Tỉ lệ thay đổi tức thời (Instantaneaus) =
lim
∆Χ
∆
∆
→∞
y
x

Ví dụ:
Cho phương trình đường cầu của sản phẩm kẹo như sau:
D(x) = 100 - x
2
với 0
≤
x
≤
10$
D(x) = là số kg kẹo ở mức giá x($).
-2 2 4 6 8 10
20
40
60
80
100
x
y

a/ Tìm tỉ lệ thay đổi trung bình về lượng khi giá thay đổi từ 2$ lên 5$, nghĩa là tìm

∆
y/
∆
x
ứng với x
1
= 2$ và x
2
= 5$.
b/ Khi
∆
x→0
thì
∆
y/
∆
x có giá trị là bao nhiêu? (Đó cũng là tỉ lệ thay đổi tức thời của D(x)
ứng với x tại điểm x = 2)
Cao Hào Thi 70

Giải:
∆
x
= x
2
- x
1
= 5-2 = 3
a/
∆

∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆∆
∆
∆
y
x
Dx x Dx
x
DxD
x
y
x
x
x
xx
x
x
=
+−
=
+ −
=

−+ − −
=
−− − − +
=− −
()()
()()
()[ ]
11
22 2
22
100 2 100 2 100 4 4 100 4
4

Với ∆x = 3
⇒=−
∆
∆
y
x
7

b/
lim
∆Χ
∆
∆
→
=−
0
4

y
x

2. Đạo hàm
2.1 Định nghĩa:
Cho hàm số y = f(x), đạo hàm của hàm số f tại điểm x được ký hiệu là y’ = f’(x).

fx
fx x fx
x
'( ) lim
()()
=
+ −
→∆Χ
∆
∆
0

Nếu giới hạn f’(x) tồn tại thì f được gọi là có vi phân tại x.
Ví dụ:
Tìm đạo hàm f’(x) của hàm f tại x, cho biết f(x) = x
2

Giải:

Bước 1:
Tìm
fx x fx
x

()()+−∆
∆

fx x fx
x
xx x
x
xx x
x
xx
()()()+−
=
+−
=
+
=+
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
22 2
2
2
Bước 2
: Tìm giới hạn
fx
fx x fx

x
xxx'( ) lim
()()
lim=
+−
=+=
→→∆Χ ∆Χ
∆
∆
∆
00
22
Vậy f’(x) = 2x
2.2 Phương trình của đường tiếp tuyến

Phương trình của đường tiếp tuyến của đồ thị của hàm số y = f(x) tại x = x
1
sẽ là:
y - y
1
= m(x-x
1
) với m = f’(x
1
)
Ví dụ:
Tìm phương trình tiếp tuyến với đồ thị của hàm y = f(x) = x
2
tại x = 1
f’(x) = 2x ⇒ m = f’(1) = 2

y - f(1) = m(x-1)
y - 1 = 2(x - 1) ⇒ y = 2x – 1
2.3. Chi phí biên
(Marginal Cost)
Cao Hào Thi 71

a/ Hàm tổng chi phí C(x) = là tổng chi phí để sản xuất x đơn vị sản phẩm trong một
thời đoạn nào đó.
b/ Hàm chi phí biên C’(x)
= là tỉ lệ thay đổi chi phí ứng với sự thay đổi một đơn vị
sản phẩm (nói cách khác là lượng chi phí gia tăng để sản xuất thêm một đơn vị sản
phẩm) ở mức sản lượng là x.
Cx
Cx x Cx
x
'( ) lim
()()
=
+ −
→∆Χ
∆
∆
0

2.4 Các công thức tính theo đạo hàm
ký hiệu y’, f(x),
dy
dx

Hàm số y = f(x) Đạo hàm y = f’(x)

y = C y’= 0
y = x
n
(n số nguyên dương) y’ = nx
n-1

y = Cx y’ = C
y = u(x) ± v(x) y’ = u’(x) ± v’(x)
y = u*v y’ = u’v+uv’
y = u
n
y’ = nu
n-1
*u’
y
u
v
= y
uv uv
v
'
''
=
−
2

y
x
=
1

y
x
'=−
1
2

y
v
=
1

y
v
v
'
'
=−
2

y
ax b
cx d
=
+
+

y
ad bc
cx d
=

−
+()
2

yx=

y
x
'
=
1
2

yu=

y
u
u
'
'
=
2

y = lnx
y
x
'
=
1

y =
log
a
x
y
xa
'
ln
=
1

y = e
x
y’ = e
x

y = a
x
y’ = a
x
ln a