Bài giảng Toán ứng dụng - P11

Cao Hào Thi 53
Chương 6
LÃI SUẤT
(Interest Rate)
1. Các khái niệm về lãi:
1.1 Lãi tức (tiền lời)
(Interest)
(Lãi tức) = (Tổng vốn tích lũy) - (Vốn gốc ban đầu) Principal
1.2 Lãi suất:

Khi lãi tức biểu thị theo tỉ lệ phần trăm đối với số vốn ban đầu cho một đơn vị thời
gian thì được gọi là lãi suất.
Lãi suất trong 1 đơn vị thời gian
(Lãi suất) = *100%
Vốn gốc
1.3 Sự tương tương:
Từ lãi suất, chúng ta có thể thiết lập khái niệm tương đương. Đó là những số tiền
khác nhau ở các thời điểm khác nhau có thể bằng nhau về giá trị kinh tế.
Ví dụ:
Nếu lãi suất là 12% một năm thì 1 triệu đồng hôm nay sẽ tương đương với 1,12 triệu
đồng sau một năm.
Tổng tiền lũy tính = 1+1*12% = 1,12 triệu đồng.
1.4 Lãi tức đơn (Simple Interest)
Khi lãi tức chỉ tính theo số vốn gốc mà không tính thêm lãi tức lũy tích, phát sinh từ
lãi ở các thời đoạn trước, người ta gọi là lãi tức đơn.
1.5 Lãi tức ghép
(Compound Interest)
Trong tính toán lãi tức ghép, lãi tức ở mỗi thời đoạn được tính theo số vốn gốc và cả
tổng số tiền lãi lũy tích được trong các thời đoạn trước đó.
Như vậy, lãi tức ghép phản ánh được hiệu quả giá trị theo thời gian của đồng tiền cho
cả phần tiền lãi trước đó.

Cách tính lãi tức ghép thường được dùng cho thực tế.
2. Lãi tức đơn:

2.1 Lãi tức đơn I
I = P r t
P: số vốn gốc hay trị giá hiện tại (Present Value)
r: lãi suất đơn tính theo thời đoạn (năm, quý, tháng...)
t: số thời đoạn vay.
Cao Hào Thi 54
Ví dụ: Một người vay 1 triệu đồng với lãi suất đơn 4% tháng và sẽ trả cả vốn lẫn lãi sau 6
tháng. Hỏi anh ta phải trả bao nhiêu tiền?
Giải:
Tiền lời trong 6 tháng:
I = Prt = 1000000 × 0.04 × 6 = 240000đ
Số tiền phải trả:
F = P + I = 1000000 + 240000 = 1240000đ
2.2 Tổng vốn lũy tích (Amount) hay giá trị tương lai F (Future Value):
F = P + I = P + Prt
F = P(1 + rt)
Ví dụ:
Tìm tổng số tiền phải trả (kể cả vốn gốc lần tiền lãi) của món nợ 800$ lãi suất đơn 12%
năm sau 4 tháng?
P = 800
r = 12% năm

t ==
4
12
1
3

năm
Số tiền phải trả:
F = P(1 + rt) = 800 (1 + 0.12×
3
1
) = 848$
Ví dụ:

Ông A cho Công ty X vay một số tiền với lãi suất đơn 10% năm. Sau 9 tháng Công ty trả
cho ông A số tiền là 5000$. Hỏi ông A đã cho Công ty vay bao nhiêu tiền?
Giải:

F = P(1+rt)
F = 5000$
r = 10% năm.

t ==
9
12
075. năm

P
F
rt
=
+
=
+
=
1

5000
101075
465116$
.*.
.
Ví dụ:

Nếu bạn hùn vốn vào môt doanh nghiệp với số tiền 960$. Sau 6 tháng bạn nhận được số
tiền gồm cả vốn lẫn lãi là 1000$. Hỏi lãi suất đơn tính cho mỗi năm là bao nhiêu?
F = P(1+rt)
F = 1000$
Cao Hào Thi 55
P = 960$

t ===
6
12
1
2
05. năm

r
FP
t
=
−
=
−
==
//

.
.
1 1000 960 1
05
40
480
0 0833

r = 8.33% năm
3. Lãi tức ghép:
3.1 Lãi tức ghép:
Nếu P là vốn gốc và r là lãi suất ghép tính theo năm và ghép lãi theo năm.
Đến cuối năm thứ 1 tổng vốn tích lũy sẽ là: P
1
= P(1+r)
Cuối năm thứ 2: P
2
= P
1
(1+r) = P(1+r)
2

Cuối năm thứ 3: P
3
= P
2
(1+r) = P(1+r)
3
Tương tự, đến cuối năm thứ n: P
n

= P(1+r)
n

P
n
= F = giá trị tương lai của giá trị hiện tại P sau n năm.
Ví dụ:
Nếu số tiền 1000$ được đầu tư với lãi suất ghép là 8% năm ghép lãi theo năm thì
sau 5 năm thì tổng vốn tích lũy (gồm cả vốn lẫn lãi) sẽ là bao nhiêu?
Giải:

F = P(1+r)
n
= 1000(1+0.08)
5
= 1469.33$
Nếu r là lãi suất đơn thì:
F = P(1+rt) = 1000(1+0.08×5) = 1400$
3.2 Lãi suất thực và lãi suất danh nghĩa
(effective rate & nominal rate)
a. Lãi suất thực và lãi suất danh nghĩa:
Thông thường giá trị lãi suất là tiền lãi trong thời đoạn 1 năm hay còn gọi thời đoạn
phát biểu lãi là 1 năm.
Thực tế, thời đoạn phát biểu lãi có thể ít hơn 1 năm.
Ví dụ:

Lãi suất 12% năm, ghép lãi theo quý, 6 tháng lãnh lãi một lần
+ Thời đoạn phát biểu lãi: 1 năm
+ Thời đoạn ghép lãi: quý
+ Thời đoạn trả lãi: 6 tháng

Khi thời đoạn phát biểu lãi phù hợp với thời đoạn ghép lãi thì đó là lãi suất thực
. Nếu thời
đoạn phát biểu lãi khác thời đoạn ghép lãi thì đó là lãi suất danh nghĩa.
Lãi suất danh nghĩa trong một thời kỳ = Lãi suất danh nghĩa trong một thời đoạn × Số
thời đoạn trong thời kỳ.
Cao Hào Thi 56
Ví dụ:
a/ Lãi suất danh nghĩa 3% quý.
⇒ Lãi suất danh nghĩa theo năm là = 3%*4 = 12% năm
b/ Lãi suất I=12% quý ⇒ Lãi suất thực là 12% ghép lãi theo quý.
c/ Lãi suấ I=20% năm, ghép lãi theo quý ⇒ Lãi suất danh nghĩa thời đoạn ghép lãi
là quý ⇒ Lãi suất thực là 5% quý
b. Tính toán lãi suất thực và lãi suất danh nghĩa:

Tính chuyển lãi suất thực theo những thời đoạn khác nhau:
Gọi i
1
là lãi suất thực ở thời đoạn ngắn (VD: tháng)
i
2
là lãi suất thực ở thời đoạn dài (VD: năm)
m là số thời đoạn ngắn có trong thời đoạn dài (VD: m = 12)
P là vốn gốc, sau 1 thời đoạn dài hay sau m thời đoạn ngắn, ta có:
P(1+i
2
)
1
= P(1+i
2
)

m
i
2
= (1 + i
1
)
m
- 1

Tính chuyển lãi suất danh nghĩa sang lãi thực:
Bước 1
: Từ lãi suất danh nghĩa tính chuyển sang lãi suất thực trong thời đoạn ghép lãi.
Bước 2:
Tính chuyển lãi suất thực trong thời đoạn ghép lãi sang lãi suất thực trong thời
đoạn tính toán.

i
r
m
m
=+
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
−11
1
2

Với: i = lãi suất thực trong thời đoạn tính toán.
r = lãi suất danh nghĩa trong thời đoạn phát biểu
m
1
= số thời đoạn ghép lãi có trong thời đoạn phát biểu.
m
2
= số thời đoạn ghép lãi có trong thời đoạn tính toán.
Ví dụ:
Lãi suất r = 15% năm, ghép lãi theo quý.
⇒ Lãi suất thực theo quý là:
15
4
% quý
⇒ Lãi suất thực tế theo 6 tháng:
1
015
4
1 7 64%
2
+
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
−=
.

.
⇒ Lãi suất thực theo năm là:
1
015
4
4 1 1586%
4
+
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
−=
.
.
Cao Hào Thi 57
Ví dụ: Số tiền 10000$ được gửi đi tiết kiệm với lãi suất 9% năm, ghép lãi theo tháng (9%
per annual, compounded montlily). Hỏi sau bao nhiêu tháng sẽ có được số tiền là 12000$.
F = P(1+i)
n

F = P
1
009
12
+
⎛
⎝

⎜
⎞
⎠
⎟
.
n

12000 = 10000(1+0.0075)
n

1.2 = 1.0075
n

ln 1.2 = n ln10075

n ===
ln .
ln
.
.
.
12
10075
01823
0 0075
24 31 tháng
n = 25 tháng.
Tóm lại:
F = P(1+i)
n

()
P
F
i
n
=
+1

Ví dụ:
Một người lập 1 số tiết kiệm gửi đầu tiên 1 triệu đồng. Sau 4 năm gửi 3 triệu
đồng, sau 6 năm gửi 1,5 triệu đồng. Lãi suất là 12% năm ghép lãi nửa năm 1 lần. Hỏi sau
10 năm người đó có được bao nhiêu?
012345678910
1 triệu Đ
1.5 triệu Đ
3 triệu Đ
F = ?

Giải:

Lãi suất thực 1 năm là: i =
1
012
2
1 01236
2
+
⎛
⎝

⎜
⎞
⎠
⎟
−=
.
.
i = 12.36% năm
Giá trị tương lai F nhận được:
F = 1(F/P, 12.36%, 10) + 3(F/P, 12.36%, 6) + 1.5(F/P, 12.36%, 4)
= 1(1+0.1236)
10
+ 3(1+0.1236)
6
+ 1.5(1+0.1236)
4

= 11.634 trĐ