Bài giảng Toán ứng dụng - P15

Cao Hào Thi 79
Chương 8
HÀM NHIỀU BIẾN
(Functions of Several Variables)
1. Hàm của hai dạng nhiều biến độc lập:
+ Hàm của 2 biến độc lập: j = f(x,y) → S = xy
+ Hàm của nhiều biến độc lập: u = f(x,y,z) → V = xyz
u = f(w,x,y,z)
Ví dụ: Hàm chi phí của hai sản phẩm
Một Công ty sản xuất 2 loại sản phẩm A và B. Hàm chi phí mỗi tuần của mỗi loại sản
phẩm như sau:
Sản phẩm A: C(x) = 500 + 70x , x số lượng sản phẩm A
Sản phẩm B: C(y) = 200 + 100y , y số lượng sản phẩm B
Hàm chi phí của hai sản phẩm A và B là C(x,y)
C(x,y) = C(x) + C(y)
C(x,y) = 700 + 70x + 100y
Tính chi phí để sản xuất ra 10 sản phẩm A và 5 sản phẩm B:
C(10,5) = 700 = 70*10 + 100*5 = 1900$
C(20,10) = 3100$
Ví dụ: Các hàm doanh thu, chi phí và lợi nhuận
Gọi p là giá của sản phẩm A
q là giá của sản phẩm B
p và q được xác định như sau:

pxy
qxy
=−+
=+−
⎧
⎨
⎩

210 4
300 12
⇒
4 210
12 300
xy p
xyq
−= −
−=−
⎧
⎨
⎩


x
p
q
=
−−
−−
−
−
210 1
300 12
41
112

y
p
q

=
−
−
−
−
4 210
1 300
41
112

a/ Hàm doanh thu hàng tuần R(x,y)
R(x,y) = px + qy = (210-4x+y)x + (300+x-12y)y
R(x,y) = 210x+300y-4x
2
+2xy-12y
2

Xác định doanh thu ở mức 20m sản phẩm A và 10 sản phẩm B.
R(20,10) = 4800$
Cao Hào Thi 80
b/ Hàm lợi nhuận hàng tuần P(x,y)
P(x,y) = R(x,y) - C(x,y)
P(x,y) = 140x+200y-4x
2
+2xy-12y
2
-700
P(20,10) = 1700$
2. Đạo hàm riêng phần: (Partial Derivatives)
2.1 Đạo hàm riêng phần bậc 1

Cho z = f(x,y)
a. Đạo hàm riệng phần theo biến x được ký hiệu:
∂
∂
Ζ
Χ
, f
x
hay f
x
(x,y)
∂
∂
Ζ
Χ
∆Χ
∆
∆
=
+ −
→
lim
(,)(,)
0
fx xy fxy
x

b. Đạo hàm riêng phần theo biến y được ký hiệu
∂
∂

Ζ
Υ
, f
y
hay f
y
(x,y)
∂
∂
Ζ
Υ
∆Υ
∆
∆
=
+ −
→
lim
(, ) (,)
0
fxy y fxy
y

Ví dụ:

P(x,y) = 140x+ 200y-4x
2
+2xy-12y
2
-700

∂
∂
Ρ
Χ
= P
x
(x,y) = 140-8x+2y
P
x
(15.10) = 40
Ở mức sản lượng A là 15,B = 10. Nếu gửi nguyên sản lượng B, khi sản lượng A
tăng 1 đơn vị thì chi phí tăng 40$.
2.2 Đạo hàm riêng phần 2:
(Second order Partial Derivative)
Cho z = f(x,y) thì ta có các đạo hàm riêng phần như sau:
()
∂
∂
∂
∂
∂
∂
2
2
z
x
x
z
x
fxy f=

⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
==
ΧΞ ΧΧ
,

()
∂
∂
∂
∂
∂
∂
2
2
z
y
y
z
y
fxy f=
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠

⎟
==
ΥΥ ΥΥ
,
()
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂∂
∂
∂
∂
∂
2
2
z
xyz x
z
y
fxy fxy
z
yx y
z
x
fxy f
ff

=
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
==
=
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
==
⎫
⎬
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
=
ΧΥ
ΥΧ ΥΧ
ΧΥ ΥΧ
(,)
,

Cao Hào Thi 81
Ví dụ: Cho z=f(x,y) = 3x
2
-2xy
3
+1. Tìm
a/
∂
∂
2
z
xyz
,
∂
∂∂
2
z
yx
f
xy
(2,1) b/
∂
∂
2
2
x
,
∂
∂
2

2
z
y

Giải:

a/
()
∂
∂
∂
∂∂
∂
∂
z
y
xy
z
xy x
xy y=− ⇒ = − =−666
2
2
22


()
∂
∂
∂
∂∂

∂
∂
z
y
xy
z
xy y
xy y=+ − ⇒ = − − =−62 6 2 6
3
2
23 2

f
xy
(2,1) = f
yx
(2,1) = -6*1
2
= -6
b/
()
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
2

2
3
62 6
z
x
x
z
xx
xy=
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
=+− =+


∂
∂
∂
∂
∂
∂
2
2
2
612
z
y

y
z
y
xy xy=
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
=− =−
3. Cực trị của hàm hai biến:
3.1 Cực trị của hàm 2 biến:
Nếu:
1. z = f(x,y)
2. f
x
(a,b) = 0 và f
y
(a,b) = 0 ⇒ (a,b) là điểm dừng.
3. Tồn tại các đạo hàm bậc 2 của f tại vùng xung quanh điểm (a,b)
4. A = f
xx
(a,b), B = f
xy
(a,b), C = f
yy
(a,b)
Thì
1. Nếu A

C B−>
2
0
∆
6744844
và A<0 thì (a,b) là điểm cực đại địa phương (Local Maximum)
2. Nếu AC -B
2
> 0 và A>0 thì (a,b) là điểm cực tiểu địa phương
3. Nếu AC - B
2
≤ 0 thì không có điểm cực trị.
AC - B
2
< 0 thì (a,b) là điểm yên ngựa (Saddle Point)
AC - B
2
= 0 không có cực trị
Ví dụ:
Cho hàm lợi nhuận P(x,y) = -2x
2
+2xy-y
2
+10x-4y +107. Tìm mức sản lượng (x,y)
sao cho lợi nhuận lớn nhất.
Bước 1 :
Tìm điểm dừng (Critical Point)
()
()
∂

∂
∂
∂
p
x
Pxy x y
p
y
Pxy x y
==−++=
==−−=
Χ
Υ
,
,
42100
2240
⇒
x
y
=
=
⎧
⎨
⎩
3
1

(3,1) là điểm dừng
Cao Hào Thi 82

Bước 2: Tính A = f
xx
(3,1), B = f
xy
(3,1), C = f
yy
(3,1)
P
xx
(x,y) = -4 = A
P
xy
(x,y) = 2 = B
P
yy
(x,y) = -2 = C
Bước 3

AC B
A
−=>
=− <
⎧
⎨
⎩
2
40
40
⇒ (3,1) là điểm cực đại địa phương
P(3,1) = 120$

3.2 Cực trị có điều kiện - Phương pháp nhân tử Lagrange
(Lagrange Multiplier Method)
1. Thành lập bài toán
Cực đại hay cực tiểu z = f(x,y)
(Maximize or Minimize)
Với điều kiện (Ràng buộc) g(x,y) = 0
(Subject to)
2. Thành lập hàm Lagrange
F(x,y,λ) = f(x,y) + λg(x,y)
λ là hằng số chưa được xác định
3. Tìm các điểm dừng, tọa độ (x,y) của điểm lừng danh là nghiệm của hệ phương trình
()()
∂
∂
λλ
x
Fxy F xy,, ,,==
Χ
0
()()
∂
∂
λλ
y
Fxy F xy,, ,,==
Υ
0
()()
∂
∂λ

λλ
λ
z
Fxy F xy,, ,,==0 hay g(x,y) = 0
4. Tìm giá trị của hàm z = f(x,y) tại các điểm dừng
5. Tìm giá trị biên của miền xác định.
6. Giá trị lớn nhất hay bé nhất trong các điểm vừa tìm sẽ là cực trị có điều kiện.
Ví dụ:






Giả sử có sẵn 720m kẽm gai, người ta muốn rào 1 khu đất như hình vẽ. Hãy xác định x và
y để diện tích được rào có giá trị lớn nhất.
Hàng rào hiện hữu
Diện tích = xy
Chiều dài = 3x+y=720
Kẽm gai hiện có
x
x x
y
Cao Hào Thi 83
Giải:
Bước 1:
Thành lập bài toán
Maximize A = f(x,y) = x,y
Điều kiện g(x,y) = 3x+y-720 = 0
Bước 2:

Hàm lagrange
F(x,y, λ) = f(x,y) +Vg(x,y)
= xy + λ(3x+y-720)
Bước 3:
Tìm điểm dừng
F
x
= y+3λ = 0
F
y
= x+λ = 0
⇒
=−
=
=
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
λ
120
120
360
x
y

λ = 3x+y-720 = 0
Bước 4:
A(120,360) = f(120,360) = 43200m

2

Bước 5:
A(0,0) = f(0,0) = 0
Kết luận:
(120.360) là điểm cực đại
Diện tích lớn nhất là 43200m
2