Bài giảng Toán ứng dụng - P16

Cao Hào Thi 89
Chương 8
KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT THỐNG KÊ
(Tests of Hypotheses)
Thông thường đối với tham số θ chưa biết của tập hợp chính ta có thể đưa ra nhiều giả
thuyết về θ.
Vấn đề đặt ra là làm thế nào kiểm định được giả thuyết nào thích hợp với các số liệu của
mẫu quan sát được (x
1
, x
2,
…, x
n
).
8.1 NHỮNG KHÁI NIỆM VỀ KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT THỐNG KÊ
8.1.1 Giả thuyết thống kê ( Statistical Hypothesis)

Là một giả sử hay một phát biểu có thể đúng, có thể sai liên quan đến tham số của một
hay nhiều tập hợp chính.
8.1.2 Giả thuyết không (giả thuyết đơn) và giả thuyết ngược lại (đối thuyết)

(Null Hypothesis & Alternative Hypothesis)
Giả thuyết không: là sự giả sử mà ta muốn kiếm định thường được ký hiệu là H
o.
Giả thuyết ngược lại: Việc bác bỏ giả thuyết không sẽ dẫn đến việc chấp nhận giả
thuyết ngược lại. Giả thuyết ngược lại thường được ký hiệu là H
1.
Ví dụ
Kiếm định giả thuyết H
o
: θ ≥ θ

o
có thể θ = θ
o
Với H
1
: θ < θ
o

Kiếm định giả thuyết H
o
: θ ≤ θ
o
có thể θ = θ
o
Với H
1
: θ > θ
o

Kiếm định giả thuyết H
o
: θ = θ
o
Với H
1
: θ ≠ θ
o

8.1.3 Các loại sai lầm trong việc kiểm định giả thuyết thống kê
Việc kiểm định giả thuyết thống kê có thể phạm phải 2 loại sai lầm

a) Sai lầm loại I (type I error)
Là loại sai lầm mà chúng ta phạm phải trong việc bác bỏ giả thuyết H
o
khi H
o
đúng.
Xác suất của việc bác bỏ H
o
khi H
o
đúng là xác suất của sai lầm loại I và được ký hiệu
là α
α = P ( bác bỏ H
o
/ H
o
đúng) = P(type I error)
α : còn được gọi là mức ý nghĩa ( level of significance)
α = 0,05; 0,01 ; 0,001 …
Cao Hào Thi 90
b) Sai lầm II (type II error)
Là loai sai lầm mà chúng ta phạm phải khi không bác bỏ giả thuyết H
o
khi H
o
sai.
Xác suất của việc không bác bỏ H
o
khi H
o

sai là xác suất của sai lầm loại II và được ký
hiệu là β.
β = P (không bác bỏ H
o
/H
o
sai) = P(type II error)

Bản chất của Ho Quyết định về
giả thuyết không Ho
Ho đúng Ho sai

Không bác bỏ
(chấp nhận )

Quyết định đúng
Prob = 1- α
P (không bác bỏ Ho / Ho) = 1-α
Sai lầm loại II
Prob = β

Bác bỏ

Sai lầm loại I
Prob = α
(α = mức ý nghĩa kiểm định)
Quyết định đúng
Prob = 1 - β
(1 - β: năng lực kiểm định)

8.1.4 Miền bác bỏ và miền chấp nhận
( Rejection Region & Acceptance Region )
Tất cả các giá trị có thể có của các đại lượng thống kê trong kiểm định có thể chia làm 2
miền: miền bác bỏ và miền chấp nhận.
 Miền bác bỏ là miền chứa các giá trị làm cho giả thuyết Ho bị bác bỏ.
 Miền chấp nhận là miền chứa các giá trị giúp cho giả thuyết Ho không bị bác bỏ.
Trong thực tế khi Ho không bị bác bỏ cùng nghĩa là nó được chấp nhận.
Giá trị chia đôi hai miền được gọi là giá trị giới hạn (Critical value)
8.1.5 Kiểm định một đầu và kiểm định 2 đầu

(one – tailed test & two – tailed test)
a) Kiểm định một đầu

Khi giả thuyết ngược lại H
1
có tính chất 1 phía (one – sided) thì việc kiểm định được gọi
là kiểm định 1 đầu.
H
o
: θ ≤ θ
o
hay H
o
: θ ≥ θ
o


H
1
: θ > θ

o
H
1
: θ < θ
o

b) Kiểm định hai đầu:
Khi giả thuyết ngược lại H
1
có tính chất 2 phía (two – sided) thì việc kiểm định được gọi
là kiểm định 2 đầu.
H
o
: θ = θ
o


H
1
: θ ≠ θ
o

Cao Hào Thi 91
8.2 CÁC BƯỚC CỦA VIỆC KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT THỐNG KÊ:
Gồm 6 bước:
Bước 1: Thành lập giả thuyết Ho
Ví dụ:
H
o
: θ = θ

o
H
o
: θ ≤ θ
o
H
o
: θ ≥ θ
o

Bước 2: Thành lập giả thuyết H
1
Ví dụ:
H
1
: θ < θ
o
H
1
: θ > θ
o
H
1
: θ ≠ θ
o
Bước 3: Xác định mức ý nghĩa α
Bước 4: Chọn các tham số thống kê thích hợp cho việc kiếm định và xác định các miền
bác bỏ, miền chấp nhận và giá trị giới hạn.
Bước 5: Tính toán các giá trị của các tham số thống kê trong việc kiểm định dựa trên số
hiệu của mẫu ngẫu nhiên.

Bước 6: Ra quyết định: Nếu các giá trị tính toán rơi vào miền bác bỏ Ho thì ra quyết định
bác bỏ Ho. Ngược lại sẽ chấp nhận Ho.
8.3 KIỂM ĐỊNH GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH µ CỦA PHÂN PHỐI CHUẨN N(µ,σ
2
)
KHI ĐÃ BIẾT σ
2

Cho ( x
1
, x
2
, …, x
n
) là mẫu ngẫu nhiên cỡ n được lấy từ tập họp chính tuân theo phân
phối chuẩn N (µ,σ
2
) trong đó σ
2
đã biết.
8.3.1 Trường hợp 1
Ho : µ = µ
o
hay µ ≥ µ
o

H
1
: µ < µ
o

Z
α
Không bác bỏ H
0
0
Bác bỏ H
0

Cao Hào Thi 92
Miền bác bỏ R: Bác bỏ Ho nếu Z
tt
=
n
X
/
0
σ
µ
−
< -
α
Z
8.3.2 Trường hợp 2:
Ho : µ = µ
o
hay µ ≤ µ
o

H

1
: µ > µ
o

Z
α
Không bác bỏ H
0
0
Bác bỏ H
0
α

Miền bác bỏ R: Bác bỏ Ho nếu Z
tt
=
n
X
/
0
σ
µ
−
>
α
Z
8.3.3 Trường hợp 3:
Ho :
0
µ=µ

H
1
:
0
µ≠µ
-Z
α/2
Không bác bỏ H
0
0
Bác bỏ H
0
α/2 α/2
Z
α/2
Bác bỏ H
0

Miền bác bỏ R: Bác bỏ Ho nếu Z
tt
< -
2/
α
Z hoặc Z
tt
>
2/
α
Z
Với : Z

tt
=
n
X
/
0
σ
µ
−

Thí dụ

Trong một nhà máy bánh kẹo, một máy tự động sản xuất ra các thanh sô cô la với trọng
lượng qui định 250g. Biết rằng trọng lượng các thanh sô cô la được sản xuất ra có phân
bố chuẩn N(µ,5
2
). Trong một ngày bộ phân kiểm tra kỹ thuật chọn một mẫu ngẫu nhiên
gồm 16 thanh sô cô la và tính trọng lượng trung bình của chúng được 244g. Có thể khẳng
Cao Hào Thi 93
định máy tự động sản xuất ra các thanh sô cô la có trọng lượng nhỏ hơn qui định không?
Với mức ý nghĩa α=0,05 kiểm định giả thuyết thống kê tương ứng.
Giải
1/ Ho : µ = 250g
2/ H
1
: µ < 250g
3/ α = 0,05
4/
==
05,0

ZZ
α
16,45
⇒
-
=
α
Z
-1,645
5/ 8,4
16/5
250246
/
0
−=
−
=
−
=
n
X
Z
tt
σ
µ


=
2
σ

5
2

⇒

σ
= 5
n = 16
X
= 244g ,
0
µ
= 250g
6/ Z
tt
= -4,8 < -
05,0
Z
= -1,645
Ra quyết định: Bác bỏ giả thuyết H
o
ở mức ý nghĩa 5%. Nghĩa là: máy tự động sản xuất
sô cô la có trọng lượng nhỏ hơn qui định
⇒
Phải điều chỉnh lại máy
Thí dụ
Một máy khoan trong dây chuyền sản xuất dùng để khoan lỗ trên các bản thép. Khi máy
khoan hoạt động đúng chức năng thiết kế đường kính các lỗ khoan sẽ tuân theo phân phối
chuẩn với số trung bình là 2 inches và độ lệch chuẩn là 0,06 inches. Trong quá trình kiểm
tra định kỳ xem máy khoan có hoạt động đúng hay không, người ta lấy đo ngẫu nhiên các

lỗ đã khoan. Giả sử độ lệch chuẩn không thay đổi. Mẫu ngẫu nhiên gồm 9 lỗ khoan cho ta
đường kính trung bình củ
a mẫu là 1,95 inches.
Kiểm định giả thuyết Ho : số trung bình của tập hợp chính là 2 inches.
Với H
1
: số trung bình của tập hợp chính khác 2 inches.
Trong quá trình kiểm định dùn
α
= 5%
Giải:

1/ Ho :
µ
=
µ
0
= 2
2/ H
1
:
µ

≠
2
3/
α
= 0,05
4/
96,1

025,02/
==
ZZ
α
⇒ -96,1
2/
−=
α
Z

5/
X= 1,95; µ
0
=2; σ = 0,06; n = 9

50,2
9/06,0
295,1
/
0
−=
−
=
−
=
n
X
Z
tt
σ

µ

6/ Ta có : Z
tt
< - 96,1
2/
−=
α
Z
Ra quyết định : Bác bỏ giả thuyết Ho ở mức ý nghĩa 5%. ⇒ Máy hoạt động không đúng
chức năng thiết kế.
Cao Hào Thi 94
8.4 KIỂM ĐỊNH GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH
µ
CỦA PHÂN PHỐI CHUẨN N(
µ
,
σ
2
)
KHI CHƯA BIẾT
σ
2

Giả sử ta có mẫu ngẫu nhiên cỡ mẫu là n được lấy từ tập hợp chính tuân theo phân phối
chuẩn có số trung bình là µ. Gọi
X
và S
x
là số trung bình và độ lệch chuẩn của mẫu, ta sẽ

có 3 trường hợp kiểm định µ với mức ý nghĩa α.
8.4.1 Trường hợp 1:
Ho : µ = µ
o
hay µ ≥ µ
o

H
1
: µ < µ
o

Miền bác bỏ R : Bác bỏ Ho nếu t
n-1
< t
n-1
,
α

Với t
n-1
=
n
X
x
/
0
σ
µ
−

, t
n-1
tuân theo phân phối Student t với độ tự do n-1
8.4.2 Trường hợp 2:
Ho : µ = µ
o
hay µ ≤ µ
o

H
1
: µ > µ
o

Miền bác bỏ R: Bác bỏ Ho nếu t
n-1
> t
n-1
,
α

8.4.3 Trường hợp 3:
Ho :
0
µ=µ
H
1
:
0
µ≠µ

Miền bác bỏ R: Bác bỏ Ho nếu t
n-1
> t
n-1
,
α/2

Hay t
n-1
< - t
n-1
,
α/2
t*
n-1,
α
Không bác bỏ H
0
Bác bỏ H
0
α

t*
n-1,
α
Không bác bỏ H
0
Bác bỏ H
0
α

t*
n-1,
α/2
Không bác bỏ H
0
Bác bỏ H
0
Bác bỏ H
0
-t*
n-1,
α/2
α/2
α/2