Bài giảng Toán ứng dụng - P17

Cao Hào Thi 84
Chương 9
TÍCH PHÂN
(Integration)

1. NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH

1.1 Nguyên hàm (Antiderivative)

a) F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên (a,b) ⇔ ∀x ∈ (a,b), F ’(x) = f(x)

Ví dụ:
F(x) =
3
x
3

f(x) = x
2

Ta có
F’(x) = x
2
= f(x) ⇒ F(x) là nguyên hàm của f(x)

b) Nếu hai hàm số F(x) và G(x) cùng là nguyên hàm của f(x) thì F(x) và G(x) sẽ
khác nhau một hằng số K; nghĩa là
F(x) = G(x) + K
Vì F’(x) = [G(x) + K]’ = G’(x) = f(x)

1.2 Bảng công thức tính nguyên hàm

Hàm số f(x) Nguyên hàm F(x)
f(x) = a F(x) = ax + C
f(x) = x
n

F(x) =
1n
x
1n
+
+
+ C (n≠1)
f(x) =
x
1

F(x) = ln|x| + C
f(x) = e
x
F(x) = e
x
+ C
f(x) = a
x

F(x) =
lna
a
x

+ C

1.3 Tích phân bất định (Indefinite Integral)

• Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x), tích phân bất định của hàm số f(x)
được ký hiệu là
∫
f(x)dx

∫
f(x)dx = F(x) + C
Cao Hào Thi 85
•
Công thức và tính chất của tích phân bất định

∫
+= Caxadx
∫
+
+
=
+
C
1n
x
dxx
1n
n
(n≠1)
∫

+= Cxlndx
x
1

∫
+=
Cedxe
xx

∫
+=
C
lna
e
dxa
x
x
a > 0
∫∫
=
f(x)dxkkf(x)dx
∫ ∫∫
±=±
dxg(x)dxf(x)g(x)]dx[f(x)

Ví dụ:

Tính
∫ ∫∫∫
−++=−+

1)dx(2xdxdx4x1)dx 2x(4x
33

=
Cx
2
x
2
4
x
4
24
+−+

= x
4
+ x
2
– x + C
Lưu ý:

Đổi biến số

du = udx
∫
+
dx1)(x
2

Đặt u = (x+1)

⇒
u’ = 1
⇒
du = dx
∫
+
dx1)(x
2
=
∫
duu
2
= C
3
1)(x
C
3
u
33
+
+
=+


Ví dụ:
Hàm chi phí
a)

Xác định hàm chi phí C(x) cho biết:
Hàm chi phí cận biên C’(x) = 0,3x

2
+ 2x và
Chi phí cố định là $2000
b)

Tìm chi phí để sản xuất 20 đơn vị sản phẩm

Giải:

a)

C(x) =
∫∫
+=
2x)dx(0,3x(x)dxC'
2

=
C
2
x
2
3
x
0,3
23
++

C(x) = 0,1x
3

+ x
2
+ C
Ta có x = 0
⇒
C(0) = C = 2000
Vậy C(x) = 0,1x
3
+ x
2
+ 2000

Cao Hào Thi 86
b)

C(20) = 0,1*20
3
+ 20
2
+ 2000 = 3200$

Ví dụ:
Hàm doanh thu
a)

Tìm R(x) biết R’(x) = 400 – 0,4x và x = 0
⇒
R(x) = 0
b)

R(1000)
Giải:

a) R(x) =
∫∫
−=
0,4x)dx(400(x)dxR' = 400x – 0,4*x
2
/2 + C
R(x) = 400x – 0,2x
2
+ C
R(0) = C = 0
R(x) = 400x – 0,2x
2

b)

R(1000) = 400
×
10
3
– 0,2
×
10
6
= 200.000 $

2. TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH (Definite Integral)

2.1 Hình thang cong
















•

Hình thang cong là hình giới hạn bởi các đường
y = f(x)
y = 0
x = a
x = b

•

Diện tích hình thang cong S
∆
S

i
= f(
ξ
i
)
∆
x
i
với
∆
x
i
= x
i
– x
i-1

S =
∑∑
=
∞→
=
→∆
∆ξ=∆
n
1i
ii
n
n
1i

i
0x
x)(flimSlim


x
0
= a x
n
= b
f(
ξ
i
)
y = f(x)
x
i-1

x
i

ξ
i

S

Cao Hào Thi 87
2.2 Tích phân xác định

a.

Định nghĩa:
Cho f là hàm liên tục và f(x)
≥
0 trên đoạn [a, b]

Nếu
1.

a = x
0

≤
x
1
≤
x
2
≤
…
≤
x
n-1
≤
x
n
= b
2.

∆

x
i
= x
i
– x
i-1
, i = 1
÷
n
3.

∆
x
i

→
0 khi n
→

∞

4.

x
i

≤

ξ
i

≤
x
i-1
, i = 1
÷
n

Thì
∑
∫
=
∞→
∆ξ=
n
1i
ii
n
b
a
x)(flimdx)x(f

được gọi là tích phân xác định của hàm số f(x) từ a đến b, với a là cận dưới và b là
cận trên của tích phân.

b. Ý nghĩa hình học của tích phân xác định

Ý nghĩa hình học của tích phân xác định là diện tích của hình thang cong
∫
=

b
a
dx)x(fS


c. Tính chất của tích phân xác định

Nếu f là hàm liên tục trên [a, b]
•

∫
=
a
a
0dx)x(f

•

∫∫
−=
a
b
b
a
dx)x(fdx)x(f

•

∫∫
=

b
a
b
a
dx)x(fkdx)x(kf

•

∫∫∫
±=±
b
a
b
a
b
a
dx)x(gdx)x(fdx)]x(g)x(f[

•

∫∫∫
+=
b
c
c
a
b
a
dx)x(fdx)x(fdx)x(f
với a

≤
c
≤
b

d. Công thức Newton Leibnitz

Nếu f(x) là liên tục trên [a, b] và F(x) là một nguyên hàm của f(x) thì
]
)a(F)b(F)x(Fdx)x(f
b
a
b
a
−==
∫

Cao Hào Thi 88
e. Định lý về giá trị trung bình
Nếu f liên tục trên [a, b]
⇒

∃
c
∈
[a, b]:
∫
−
=
b

a
dx)x(f
ab
)c(f
1
; f(c) là giá trị trung bình của f(x) trên [a,b]

Ví dụ
: Diện tích của hình thang cong giới hạn bởi: y = f(x), y = 0, x =a, x = b


∫
=
b
a
dx)x(fS







Tìm diện giới hạn bởi đường y = x, y = 0, và
a)

x = 0 và x = 2
b)

x = 2 và x = 4

Giải:


2
2
0
2
2
2
x
xdxdx)x(fS
22
2
0
2
0
2
2
0
1
=−=
⎥
⎦
⎤
===
∫∫


6

2
2
2
4
2
x
xdxdx)x(fS
22
4
2
4
2
2
4
2
2
=−=
⎥
⎦
⎤
===
∫∫



Ví dụ: Diện tích giới hạn bởi hai đường f(x) và g(x), x = a, x = b

∫
−=
b
a
dx)]x(g)x(f[S





y = x
x
y
2 4
S
2
S
1
xa b
y = f(x)
y = g(x)
S
S
y = f(x)
x
y