Bài giảng Toán ứng dụng - P18

Cao Haøo Thi 1

CHƯƠNG 9

TƯƠNG QUAN & HỒI QUI TUYẾN TÍNH
(Linear Correlation and Regression)

7.1. KHÁI NIỆM CHUNG
Trong các chương trước chúng ta chỉ nghiên cứu các vấn đề liên quan đến mẫu ngẫu nhiên
của một biến ngẫu nhiên X. Trong chương này, chúng ta quan tâm đến mẫu ngẫu nhiên bao
gồm các cặp giá trị của hai biến ngẫu nhiên X và Y.
Ví dụ
Để nghiên cứu về chiều cao và cân nặng của các em học sinh trong một trường, chúng ta
lấy mẫu ngẫu nhiên gồm n học sinh và thu thập các số liệu về chiều cao và cân nặng của n
học sinh. Gọi X là biến ngẫu nhiên để đo chiều cao của học sinh và Y là biến ngẫu nhiên
chỉ cân nặng của học sinh. Với n học sinh ta có n cặp giá trị (Y
i
, X
i
).

X
(m)
x
1
x
2
x
3
..... x
i

....... x
n

Y(kg) y
1
y
2
y
3 ..........
y
i
.......... y
n

Mục tiêu của chương này là nghiên cứu sự liên hệ giữa biến Y và X bằng sự phân tích
tương quan và hồi qui.
Trong phân tích tương quan người ta đề cập đến cường độ của mối quan hệ giữa hai biến Y
và X, đánh giá xem hai biến Y và X có quan hệ với nhau hay không.
Trong phân tích hồi qui người ta lại xác định quan hệ giữa hai biến Y và X dưới dạng
phương trình toán học, từ đó ta có thể dự đoán được biến Y (biến phụ thuộc, dependent
variable) dựa vào biến X (biến độc lập, independent variable)
Trong chương này, chúng ta cũng giới hạn chỉ nghiên cứu tương quan và hồi qui đơn
biến và tuyến tính, nghĩa là chỉ nghiên cứu trường hợp biến Y chỉ phụ thuộc vào 1 biến X
và dạng phương trình hồi qui là phương trình đường thẳng (khác với các tương quan và hồi
qui bội và phi tuyến).
7.2. TƯƠNG QUAN TUYẾN TÍNH (Linear Correlation)
7.2.1. Đồ thị phân tán (Scatter Diagram)
Đồ thị phân tán của biến Y đối với biến X là tập hợp các điểm M(x
i
, y

i
) trong hệ tọa độ
vuông góc.
Dựa vào đồ thị phân tán ta có thể xác định được dạng quan hệ giữa 2 biến Y và X.


Y
X
X
Y
X
Y
(D)
Cao Haøo Thi

2


7.2.2. Tương quan tuyến tính (Linear Correlation)
Trong đồ thị phân tán, nếu các điểm M(x
i
, y
i
) qui tụ xung quanh một đường thẳng (D) ta
nói hai biến ngẫu Y và X có một sự tương quan tuyến tính. Đường thẳng (D) được gọi là
đường hồi qui tuyến tính (đường hòa hợp thẳng).
7.2.3. Hệ số tương quan ρ của tập hợp chính (The Population Correlation Coefficient)
Gọi X, Y là cặp giá trị của các biến ngẫu nhiên với số trung bình là µ
x
, µ

y
và phương sai là
σ
x
2
,
σ
y
2
. Để đo lường mức độ quan hệ giữa X và Y người ta dùng đại lượng hiệp tương
quan (covariance) và hệ số tương quan (correlation coefficent).
7.2.3.1. Hiệp tương quan (Covariance)

σ
X,Y
= Cov(X,Y) = E [(x -
µ
x
)(y -
µ
y
)]

σ
µµ
xy
ixiy
i
N
Cov X Y

xy
N
==
−−
=
∑
(,)
()()
1

7.2.3.2. Hệ số tương quan của tập hợp chính


ρ
σσ
==Corr X Y
Cov X Y
xy
(,)
(,)


ρ
σ
σσ
=
xy
xy
Với
N

y
N
x
N
i
ii
y
N
i
x
x
∑
∑
=
=
−
=
−
=
1
2
2
1
2
1
2
)(
)(
µ
σ

µ
σ

hay

ρ
µ µ
µµ
=
−
−
−−
EX Y
EX EY
xy
xy
[( )( )]
[( ) ] * [( ) ]
22


ρ
µµ
µµ
=
−−
−−
−
==
∑

∑∑
()()
()*()
xy
xy
xi y
i
N
ix iy
i
N
i
N
1
1
22
11

Cao Haøo Thi

3

Tính chất
- 1 ≤ ρ ≤ 1


ρ = + 1 : X, Y tương quan tuyến tính dương tuyệt đối


ρ = - 1 : X, Y tương quan tuyến tính âm tuyệt đối

•

ρ = 0 : X, Y không tương quan tuyến tính.
7.2.4.

Hệ số tương quan r của mẫu

7.2.4.1. Hiệp tương quan của mẫu
(Sample Covariance)

1n
yyxx
YXCovS
i
n
1i
i
YX
−
−−
∑
==
=
∧
))((
),(
,

7.2.4.2. Hệ số tương quan của mẫu r
(Sample Correlation Coefficient)

r
S
SS
XY
XY
=
−


r
xxyy
xx yy
i
i
n
i
i
i
n
i
i
n
=
−−
−−
=
==
∑
∑∑

()()
()*()
1
1
2
1
2

hay

r
xy nxy
xnx yny
ii
i
n
i
i
n
i
i
n
=
−
−
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞

⎠
⎟
⎟
−
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
=
==
∑
∑∑
1
2
1
2
2
1
2
.

Ghi Chú



-1 ≤ r ≤ 1



r được dùng để ước lượng hướng và độ mạnh của mối quan hệ giữa X,Y.
⏐r⏐ > 0,8 tương quan mạnh
⏐r⏐ = 0,4 - 0,8 tương quan trung bình
⏐r⏐ < 0,4 tương quan yếu
⏐r⏐ càng lớn thì tương quan giữa X và Y càng chặt
r > 0 hướng TN - ĐB, r < 0 hướng TB - ĐN
0 < r ≤ 1 : gọi là tương quan tuyến tính thuận (X↑, Y↑)
-1 ≤ r ≤ 0 : gọi là tương quan tuyến tính nghịch (X↑, Y↓
)


r là ước lượng của ρ
Cao Haøo Thi

4

Ví dụ

Tính hệ số tương quan giữa 2 biến X, Y cho bởi bảng tương quan sau:
X 0 1 2 3 4
Y 6 7 8 9 4
Giải

Số phần tử của mẫu n = 5
x
i
y
i

(x
i
-
x
)
(y
i
-
y
)
(x
i
-
x
)
2

(y
i
-
y
)
2
(x
i
-
x
)(y
i
-

y
)
0
1
2
3
4
6
5
7
8
4

-2
-1
0
1
2
0
-1
1
2
-2
4
1
0
1
4
0
1

1
4
4

0
1
0
2
-4
10 30 10 10 -1

x
==
10
5
2

y
==
30
5
6
n = 5

1,0
1010
1
)()(
)()(
2

5
1
2
5
1
5
1
−=
×
−
=
−×−
−⋅−
=
∑∑
∑
==
=
i
i
i
i
i
i
i
yyxx
yyxx
r

r = -0,1 tương quan yếu.

7.2.5. Kiểm định giả thuyết về
ρ

Nếu chúng ta muốn kiểm định giả thuyết cho rằng các biến không có tương quan tuyến
tính thì ta phải kiểm định giả thuyết H
0
: ρ = 0. Ta có 3 trường hợp:
Cao Haøo Thi

5

Trường hợp 1
H
0
: ρ = 0
H
1
: ρ ≠ 0
R : bác bỏ H
0
nếu t
n-2
< - t
n - 2,
α
/2

hay t
n-2
> t
n-2,a/2
Với
)/()( 2nr1
r
t
2
2n
−−
=
−

r: hệ số tương quan của mẫu
n: cỡ mẫu
t
n-2
: tuân theo phân phối Student t với độ tự do n-2

Trường hợp 2
H
0
: ρ = 0
H
1
: ρ > 0
R : bác bỏ H
0
nếu t

n-2
> - t
n - 2,
α


Trường hợp 3
H
0
: ρ = 0
H
1
: ρ < 0
R : bác bỏ H
0
nếu t
n-2
< - t
n - 2,
α

Ví dụ

Lấy mẫu ngẫu nhiên 2 biến X và Y ta có các giá trị (x
i
, y
i
) cho bởi bảng sau:
X 13 18 9 25 36 19
Y 70 55 100 40 15 20

a) Tìm hệ số tương quan giữa 2 biến X, Y
b) Kiểm định giả thuyết cho rằng biến giữa X và Y không tương quan, với α = 0.05
Giải

a) Tính r
y
I
x
i
y
x
2
x
i
2
x
i
y
i

70
55
100
40
15
20
13
18
9
25

36
19
4900
3025
10000
1600
225
400
169
324
81
625
1296
361
910
991
900
1000
540
380
Tổng 300 120 20150 2856 4720