BÀI 4 TIỆM cận

BÀI 4. TIỆM CẬN
MỤC TIÊU
Kiến thức:
- Nắm được khái niệm đường tiệm cận của đồ thị hàm số, khái niệm đường tiệm cận đứng, tiệm cận
ngang của đồ thị hàm số.
- Nhận biết được các đồ thị của hàm số có tiệm cận.
- Nắm được tính chất của các đường tiệm cận với đồ thị của hàm số.
Kĩ năng:
- Biết cách xác định phương trình đường tiệm cận của hàm số cho bởi Công thức, cho bởi bảng biến
thiên.
- Biện luận số đường tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của đồ thị hàm số chứa tham số.
- Xác định các đường tiệm cận của đồ thị hàm số ẩn.
- Áp dụng các tính chất của các đường tiệm cận vào các bài toán liên quan.
I. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
Đường thẳng y = y0 được gọi là đường tiệm cận ngang (gọi tắt là tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số
y = f(x) nếu lim f  x   y0 , hoặc lim f  x   y0 .
x 

x 

Đường thẳng x  x0 được gọi là đường tiệm cận đứng (gọi tắt là tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số
y  f  x  nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:
lim f ( x)  ; lim f ( x)   ; lim f ( x)  ; lim f ( x)  

x  x0

x  x0

x  x0

x  x0

SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA

Trang 1


II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1. Xác định các đường tiệm cận của đồ thị hàm số khi biết biểu thức, bảng biến thiên, đồ thị
Bài toán 1. Xác định các đường tiệm cận dựa vào định nghĩa
►Phương pháp giải
Dựa vào định nghĩa của đường tiệm cận . Tiệm cận ngang
Đường thẳng y  y0 , là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f(x) nếu lim f  x   y0 , hoặc
x 

lim f  x   y0 .

x 

Hướng dẫn giải
Do lim f ( x)   nên đồ thị hàm số Có đúng một tiệm cận đứng là x = -1.
x 1

Chọn C.
Ví dụ : Cho hàm số y = f(x) có lim f ( x)  1 và lim f ( x)  1
x 

x 

Dựa vào định nghĩa đường tiệm cận ngang , ta có phương trình các đường tiệm caanjcuar đồ thị hàm số
y=f(x) là y = 1 và y = -1.

Bài toán 2. Xác định các đường tiệm cận của đồ thị hàm số dựa vào bảng biến thiên và đồ thị hàm
số
►Phương pháp giải
Dựa vào bảng biến thiên của hàm số y=f(x) xác định phương trình các đường tiệm cận đứng, tiệm cận
ngang, số các đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = f(x)
Chú ý:
- Ứng với điểm x  x0 , trong bảng biến thiên thì ở dịng y phải ghi các kí hiệu –  hoặc +  (khơng phải
các giá trị cụ thể) thì đường thẳng x  x0 mới là đường tiệm cậnđứng của đồ thị.
- Ứng với điểm -  hoặc +  trong bảng biến thiên thì ở dòng y phải ghi các giá trị cụ thể y0 (khơng
phải là -  hoặc +  ) thì đường thẳng y  y0 mới là đường tiệm cận ngang của đồ thị.
Ví dụ: Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau

Trang 2


Dựa vào bảng biến thiên ta có đường thẳng x  x0 là tiệm cận đứng và đường thẳng y  y0 là đường tiệm
cận ngang của đồ thị hàm số y = f(x)
►Ví dụ mẫu
Ví dụ 1: Cho hàm số y = f(x) xác định và có đạo hàm trên

\{1} . Hàm số có bảng biến thiên như hình

vẽ dưới đây

Đồ thị hàm số y = f(x) có bao nhiêu đường tiệm cận?
A. 4.
B. 1.
C. 2.
Hướng dẫn giải
Từ bảng biến thiên của hàm số, ta có

lim f ( x)  3  y  3 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

D. 3.

x 

lim f ( x)  3  y  3 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

x 

lim f ( x)    x  1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

x 1

lim f ( x)  , lim f ( x)    x  1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

x 1

x 1

Vậy hàm số có hai tiệm cận đứng là x =  1, hai tiệm cận ngang là y =  3.
Chọn A
Ví dụ 2: Cho hàm số y = f(x) xác định và có đạo hàm trên \{2;1} và có bảng biến thiên như sau:

Phương trình đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là
A. x = -2 và x =1.
B. khơng có tiệm cận đứng.
C. x = -2.
D. x = 1.
Hướng dẫn giải Từ bảng biến thiên, ta có lim  y   nên x = -2 là đường tiệm cận đứng;

x ( 2)

lim y  lim y  2 nên x = 1 khơng là đường tiệm cận đứng.

x 1

x 1

Chọn C.
Ví dụ 3: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ dưới.
Trang 3


Phương trình các đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = f(x) là
A. x =1 và y = -2.
B. x = 1 và y = 2.
C. x =-1 và y =-2.
D. x = -1 và y = 2.
Hướng dẫn giải
Dựa vào đồ thị, ta suy ra tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị lần lượt là các đường thẳng x = -1,
y = 2.
Chọn D.
Bài toán 3. Xác định các đường tiệm cận của đồ thị khi biết hàm số
►Phương pháp giải
ax  b
Tiệm cận của đồ thị hàm số y 
, c  0, ad  bc  0
cx  d
Thực hiện theo các bước sau:
 d

Bước 1. Tập xác định D  \  
 c
Bước 2. Xác định các đường tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của đồ thị.
a
a
- lim y  nên đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang là y =
x 
c
c
d
- lim y   nên đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang là x =  .
d
c
x 
c

Bước 3. Kết luận.
ax  b
có hai đường tiệm cận:
cx  d
a
d
Tiệm cận đứng x  và tiệm cận ngang y  
c
c
Chú ý:

Đồ thị hàm số y 

- Giao điểm của hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số y 

ax  b
 d a
là điểm l   ;  là tâm đối xứng
cx  d
 c c

của đồ thị.
- Hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số y 

ax  b
cùng với hai trục tọa độ tạo thành hình chữ nhật có
cx  d

a d 
ad
chu vi là 2    và diện tích là 2 .
c 
c
 c
Ví dụ: Xác định các đường tiệm cận của đồ thị hàm số y 

2x  3
x 1

Trang 4


Hướng dẫn giải :
Tập xác định D 

\{1}

Khi đó lim y  lim y  2 nên đồ thị có đường tiệm cận ngang là y = 2
x 

x 

lim y  ; lim y   nên đồ thị có đường tiệm cận đứng x =1

x 1

x 1

Vậy đồ thị hàm số y 

2x  3
, nhận đường thẳng y = 2 là tiệm cận ngang và nhận đường thẳng x = 1 là
x 1

tiệm cận đứng.
Tiệm cận của đồ thị hàm số hữu tỷ y =

f ( x)
g ( x)

Điều kiện xác định g(x)  0.
Tính các giới hạn lim y; lim y nếu thỏa mãn định. nghĩa của đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang thì
x 

x  x0

kết luận.
Chú ý:
- Đối với hàm số phân thức hữu tỷ y =

f ( x)
với
g ( x)

f ( x)  an x n  an 1 x n 1  a1 x  a0  an  0  và g ( x)  bm x m  bm 1 x m 1  b1 x  b0  bm  0 

Khi đó
+ Nếu n > m thì đồ thị hàm số khơng có tiệm cận ngang.
+ Nếu n = m thì đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y 

an
bm

+ Nếu n < m thì đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y = 0.
- Nếu đường thẳng x  x0 , là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số thì x  x0 là nghiệm của phương trình
g(x)=0 (ngược lại nghiệm của g(x)=0 chưa chắc đã là tiệm cận đứng của đồ thị). Hay nói cách khác x  x0
là các điểm gián đoạn của hàm số.
Ví dụ: Xác định các đường tiệm cận của đồ thị hàm số y 
Hướng dẫn giải
Tập xác định là D 

x 1
x  2x  3
2

\{1; 3}

Ta có lim y  0; lim y  ; lim y   Suy ra đồ thị hàm số đã cho có tiệm cận đứng là x  1; x  3
x 

x 1

x 3

và một tiệm cận ngang y = 0
Tiệm cận của đồ thị hàm số vô tỷ.
Đối với hàm số vô tỷ, bước quan trọng nhất để xác định đồ thị hàm số có tiệm cận đứng và tiệm cận
ngang là tìm tập xác định của hàm số.
Ví dụ: Xác định tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y 

1  x2
x2

Hướng dẫn giải
Tập xác định D =[-1;1]
Không tồn tại các giới hạn lim y; lim y nên đồ thị hàm số khơng có tiệm cận ngang.
x 

x 

Mặt khác do hàm số liên tục trên khoảng (-1;1) và lim y  f (1); lim y  f (1) nên hàm số liên tục trên
x 1

x 1

đoạn [-1;1]  Đồ thị hàm số khơng có tiệm cận đứng.
 Ví dụ mẫu
Trang 5


Ví dụ 1: Phương trình các đường tiệm cận của đồ thị hàm số y 
A. x  2; y  1
C. x  2; y  1 .
Hướng dẫn giải
Tập xác định D 

x 1
là
x2

B. x  1; y  2
D. x  2; y  1 .
\{2}

x 1
x 1
 ;lim
  nên x =2 là phương trình đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
x 2 x  2
x 2 x  2
x 1
x 1
lim
 lim

 1 nên y =1 là phương trình đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
x  x  2
x  x  2
Chọn C.
Ví dụ 2: Đồ thị hàm số nào sau đây nhận đường thẳng x = 2 làm tiệm cận đứng?
2x
2x
2
A. y 
B. y  2
C. y 
D. y  x  2 
x2
x2
x
Hướng dẫn giải
2x
Ta thấy hàm số y 
, có tập xác định D  \{2} và
x2
2x
2x
lim
 ; lim
  nên đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x = 2.
x 2 x  2
x 2 x  2
Chon A.
3x  1
Ví dụ 3: Tọa độ tâm đối xứng của đồ thị hàm số y 

là
x 1
A. (-1;3).
B. (-1;1).
C. (3;1).
D. (1;3).
Hướng dẫn giải
Tập xác định D  \{1}
Ta có đường tiệm cận đứng của đồ thị là x =1 và tiệm cận ngang của đồ thị là y = 3, tọa độ tâm đối xứng
của đồ thị là giao của hai đường tiệm cận /(1;3).
Chọn D.
2x 1
Ví dụ 4: Các đường tiệm cận của đồ thị hàm số y 
tạo với hai trục tọa độ một hình chữ nhật có
x 1
diện tích bằng
A. 2 (đvdt).
B. 3 (đvdt).
C. 1 (đvdt).
D. 4 (đvdt).
Hướng dẫn giải
Tập xác định D  \{1} .

Ta có lim

Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng x =1 và tiệm cận ngang là y = 2. Khi đó hình chữ nhật tạo bởi hai
đường tiệm cận và hai trục tọa độ có các kích thước là 1 và 2 nên có diện tích S=1.2=2 (đvdt).
Chọn A.
Ví dụ 5: Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y 
A. 4.

Hướng dẫn giải
Tập xác định D 
lim y  lim

x2

x2

B. 3.

C. 2.

| x 2|
là
x2
D. 1.

\{2}

| x 2|
   Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = 2.
x2

Trang 6


x 2
 1  Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y =1.
x  x  2

lim y  lim

x 

2x
 1  Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y = -1.
x 
x  x  2
Vậy số đường tiệm cận của đồ thị hàm số là 3.
Chọn B.
x 1
Ví dụ 6: Đồ thị của hàm số y  2
có bao nhiêu đường tiệm cận?
x  2x  3
A. 3.
B. 2.
C. 1.
Hướng dẫn giải
Tập xác định D  \{1; 3} .
lim y  lim

D. 0.

x 1
 0 nên đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y = 0.
x  2x  3
 lim y  ; lim y    Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x = 1;

Ta có lim

x 

2

x 1

x 1

+  lim y  ; lim y    Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x = -3.
x 3

x 3

Vậy đồ thị hàm số có ba tiệm cận.
Chọn A.
| x | 1
Ví dụ 7: Đồ thị hàm số y 
có bao nhiều đường tiệm cận?
| x | 1
A. 1.
B. 2.
C.4.
Hướng dẫn giải
Tập xác định D  \{1}

D. 3.

Ta có lim y  lim y  1  Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y = 1.
x 

x 

lim y  ; lim y    Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x =1.

x 1

x 1

lim y  ; lim y    Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x = -1.

x 1

x 1

Vậy đồ thị hàm số có ba đường tiệm cận
Chọn D.
Ví dụ 8: Đồ thị hàm số y 
A. 1.
Hướng dẫn giải
Tập xác định D 

x

2

 3x  2  sin x
x3  4 x
B. 2.

có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?

C. 3.

D. 4.

\{0; 2}

 x 2  3x  2   sin x   02  3.0  2
1
Ta có lim y  lim 

1   nên x = 0 không phải là đường tiệm cận



2
2
x 0
x 0
0 4
2
 x  4   x  
đứng.

x
lim y  lim
x 2

2

 3x  2  sin x

x 2

đứng.

lim y 

x
lim

x  4x
3

2

( x  1)sin x sin 2

nên đường thẳng x = 2 không là đường tiệm cận
x 2
x( x  2)
8

 lim

 3x  2  sin x

  nên đường thẳng x = -2 là tiệm cận đứng của đồ thị.
x3  4 x
Vậy hàm số chỉ có một đường tiệm cận đứng là x = -2.
x 2

x 2



Trang 7


Chọn A.
Ví dụ 9: Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y 
A. 3.

B. 4.

x9 3
là
x2  x

C. 2.

D. 1.

Hướng dẫn giải
Tập xác định D  [9; ) \{0; 1} .
Khi đó, ta có
x 9 3
 , lim
x 1
x2  x

lim

x 1

x 9 3
   x  1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
x2  x

x 9 3
1
1
 lim
 và lim
2
x 0 ( x  1)( x  9  3)
x 0
x x
6

lim

x 0

x 9 3 1

x2  x
6

=> x = 0 không phải là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
lim

x 

x 9 3
 0  y  0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
x2  x

Chọn C
Chú ý: Khơng tồn tại lim y vì trong tập xác định khơng có x tiến tới -∞
x 

Ví dụ 10: Đồ thị hàm số y 
A. 4.

16  x 2
có bao nhiêu đường tiệm cận?
x( x  16)

B. 2.

C. 0.

D. 1.

Hướng dẫn giải
Tập xác định D=[-4;4] \{0}.
Do lim y  ; lim y   nên đường thẳng x  0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
x 0

x 0

Vậy đồ thị hàm số có một đường tiệm cận.
Chọn D.
Ví dụ 11: Đồ thị hàm số y 
A. 0.

B. 1.

x 1
có bao nhiêu đường tiệm cận?
| x | 1
C.2.

D. 3.

Hướng dẫn giải
Tập xác định D=(-1+∞)\ {1}
Ta có:
lim y  lim

x 

x 

x 1
 0  Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y =0.
x 1

Trang 8

lim y  lim

x 1

x 1

x 1
 ;lim y  
x 
x 1

=> Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x =1.

lim y  lim

x  f

x 1

x 1
  lim
x 1
x 1

1
 
x 1

=> Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x =-1.

Vậy đồ thị hàm có ba đường tiệm cận.
Chọn D.
Ví dụ 12: Phương trình các đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

y

2x  1  x2  1
là
x 3

A. y  1

B. y = 3 và y = 1.

C. y  2

D. y  3 .

Hướng dẫn giải Tập xác định D= R \{3}.

2x  1  x2  1
Ta có lim y  lim
 lim
x 
x 
x 
x 3

2

1
1
 1 2
x
x 3
3
1
x

=> y = 3 là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

1
1
2   1 2
2x 1  x 1
x
x 1
lim y  lim
 lim
x 
x 
x 
3
x 3
1
x
2

=> y = 1 là đường tiệm cận ngang.
Chọn B.

6 x  1  x2  2
Ví dụ 13: Biết các đường tiệm cận của đường cong (C): y 
và
x 5
trục tung cắt nhau tạo thành một đa giác (H). Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. (H) là một hình chữ nhật có diện tích bằng 8.
B. (H) là một hình vng có diện tích bằng 4.
C. (H) là một hình vng có diện tích bằng 25.
D. (H) là một hình chữ nhật có diện tích bằng 10.
Hướng dẫn giải
Tập xác định (;  2]  [ 2; ) \{5}

6 x  1  x2  2
 5  y  5 là tiệm cận ngang của (C).
x 
x 5

Ta có lim y  lim
x 

Trang 9


6 x  1  x2  2
 7  y  7 là tiệm cận ngang của (C).
x 
x 5

lim y  lim

x 

lim y  ; lim y    x  5 là tiệm cận đứng của ©

x 5

x 5

Vậy đơ thị có ba đường tiệm cận là y = 5; y = 7; x = 5 cùng với trục tung tạo thành một hình chữ nhật có
kích thước 2x 5 nên có diện tích bằng 10.
Chọn D.
Ví dụ 14: Cho hàm số y  x  x 2  2 x  3 . Khi đó, đồ thị hàm số
A. có tiệm cận đứng và khơng có tiệm cận ngang.
B. có tiệm cận ngang và khơng có tiệm cận đứng.
C. có tiệm cận đứng và tiệm cận ngang.
D. khơng có cả tiệm cận đứng và tiệm cận ngang.
Hướng dẫn giải
Tập xác định D 
Do hàm số liên tục trên

nên đồ thị khơng có tiệm cận đứng.
2x  3

Ta có lim y  lim ( x  x 2  2 x  3)  lim
x 

x 

x  2x  3  x

x 

2

 1

y = -1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

lim y  lim ( x  x 2  2 x  3)  

x 

x 

Vậy đồ thị chỉ có một đường tiệm cận ngang là y  1.
Chọn B.
Ví dụ 15: Phương trình các đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y 
A. y = 1 và y = -1.

B. y = 1.

C. y = -1.

D. Khơng có tiệm cận ngang

|x|
x2 1

là

Hướng dẫn giải
Tập xác định (; 1)  (1; )
Ta có: lim y  lim
x 

x 

x
x2 1

 1 và lim y  lim
x 

x 

x
x2 1

1

=> y  1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Chọn B.
Bài tập tự luyện dạng 1
Câu 1: Cho hàm số y  f  x  có lim f ( x)  2 và lim f ( x)  2 . Mệnh đề nào sau đây đúng?
x 

x 

Trang 10

A. Đồ thị hàm số đã cho có hai đường tiệm cận ngang là các đường thẳng y = 2 và y = -2.
B. Đồ thị hàm số đã cho khơng có đường tiệm cận ngang.
C. Đồ thị hàm số đã cho có đúng một đường tiệm cận ngang.
D. Đồ thị hàm số đã cho có hai đường tiệm cận ngang là các đường thẳng x= 2 và x = -2.
Câu 2 : Hàm số y = f(x) xác định với mọi x ≠ ±1, có lim f ( x)  , lim  f ( x)  , lim f ( x)  ,
x 1

x ( 1)

x 

lim f ( x)   . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

x 

A. Đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng.
B. Đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng.
C. Đồ thị hàm số khơng có tiệm cận đúng.
D. Đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang.
Câu 3 : Cho hàm số y = f(x) có lim f ( x)   và lim f ( x)  2 . Mệnh đề nào sau đây đúng?
x 3

x 3

A. Đường thẳng y  2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y  f  x 
B. Đồ thị hàm số y  f  x  không có tiệm cận đứng.
C. Đường thẳng x  3 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y  f  x 
D. Đường thẳng x  3 không phải là tiệm cận của đồ thị hàm số y  f  x 

Câu 4: Cho hàm số f  x  xác định và liên tục trên

\ 1 có bảng biến thiên như sau

Mệnh đề nào sau đây sai?
A. Đồ thị hàm số khơng có tiệm cận ngang.
B. Hàm số khơng có đạo hàm tại x = -1.
C. Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x =1.
D. Đồ thị hàm số khơng có tiệm cận đứng.
Câu 5: Cho hàm số y  f  x  xác định trên R \{1}, liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến
thiên như hình dưới.

Trang 11


Đồ thị hàm số đã cho có bao nhiêu đường tiệm cận?
A. 3.

B. 1.

Câu 6: Cho hàm số y  f  x  xác định trên

C. 2.

D. 4.

\ 0 , liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến

thiên như sau

Hỏi đồ thị hàm số có bao nhiêu đường tiệm cận?
A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Câu 7: Cho hàm số f  x  có bảng biến thiên như sau

Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là
A. 3.

B. 4.

C. 1.

D. 2.

Câu 8: Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên như hình vẽ. Đồ thị của hàm số đã cho có bao nhiêu
đường tiệm cận?

Trang 12


A. 3.

B. 4.

C. 1.

D. 2.

Câu 9: Tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y  f  x  có bảng biển thiên
như sau

A. 0.

B. 1.

C. 3.

D. 2.

Câu 10: Phương trình đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y 
A. y= - 1.

B. x = -1.

Câu 11: Đồ thị của hàm số y 
A. 2.

C. x =1.

D. y = 1.

x2
có bao nhiều đường tiệm cận?
3 x

B. 3.

C. 1.

D. 4.

Câu 12: Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y 
A. y= - 2.

x2
là
1 x

B. x = 1.

2x 1
là
x 1

C. y =2.

D. x = -1.

Câu 13: Hàm số nào dưới đây có đồ thị nhân đường thẳng x = 2 là đường tiệm cận?
A. y 

5x
.
2 x

B. y  x  2 

1
.
x 1

C. y 

2
.
x2

D. y 

Câu 14: Tọa độ giao điểm của hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số y 
 3 5
A.   ;  .
 2 2

 5 3
B.   ;   .
 2 2

 3 5
C.   ;   .
 2 2

1
.

x 1

2  5x
là
2x  3

3 5
D.  ;   .
2 2

Câu 15: Tổng khoảng cách từ điểm M 1; 2  đến hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số y 

2x 1
là
x 1

Trang 13


A. 4.

B. 2.

Câu 16: Đồ thị hàm số y 
A. 2.

C. 1.

D. 3.

2x
có bao nhiêu đường tiệm cận ngang?
x 1
2

B. 1.

C. 3.

D. 0.

Câu 17: Đường thẳng y = -1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số nào sau đây?

1 x
A. y 
.
1 x

2x  2
2 x 2  3x  2
B. y 
. C. y 
.
x2
2 x

Câu 18: Phương trình đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y 
A. x = 2.

B. x  1.

C. y  1.

1  x2
D. y 
.
1 x
x2  2x  3
là
2x  4
D. x  1.

Câu 19: Phương trình đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y 
A. y  2 .

B. x 

Câu 20: Đồ thị hàm số y 
A. 1.

1
.
2

1
.
2

D. y 

3
.
2

x2  5x  6
có bao nhiêu đường tiệm cận đúng?
x 2  3x  2

B. 3.

Câu 21: Cho hàm số y 

C. y 

2x
3x

x  1 2x 1

C. 0.

D. 2.

2 x 2  3x  2
. Mệnh đề nào sau đây sai?
x2  2x  3

A. Đồ thị hàm số có ba đường tiệm cận.
B. Đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng là x  1 và x  3.
C. Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y 

1
2

D. Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y  2.
Câu 22: Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y 
A. 1.

B. 2.

2 x  2017
là
| x | 1

C. 3.

D. 4.

Câu 23: Số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị tham số y 
A. 2.

B. 1.

C. 3.

Câu 24: Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y 
A. 0.

B. 2.

Câu 25: Đồ thị hàm số y 
A. 3.

B. 1.

C. 3.

x3  1
là
x2  x  2

D. 0.

1  4  x2
là
x2  2 x  3
D. 1.

x2  2 x  3
có bao nhiêu đường tiệm cận?
x2
C. 2.

D. 4.
Trang 14


Câu 26 : Phương trình các đường tiệm cận của đồ thị hàm số y 
A. x  1; y  2.

B. x  1.
x 1

Câu 27: Đồ thị hàm số y 
A. 2.

4  x2

C. x  0; y  1.

4  x 1
là
x 1
D. x  1; y  1

có bao nhiêu đường tiệm cận?

B. 0.

C. 1.

D. 4.

Câu 28: Đồ thị hàm số nào sau đây có đúng hai đường tiệm cận ngang?

A. y 

x2  x
.
| x | 2

B. y 

x2
| x | 2

C. y 

| x | 2
.
x 1

D. y 

4  x2
.
x 1

Câu 29: Gọi n, d lần lượt là số đường tiệm cận ngang và số đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

y

1 x
. Giá trị của n, d là
( x  1) x

A. n = 1; d = 2.

B. n = 0; d = 1

Câu 30: Đồ thị hàm số y 
A. 1.

C. n= 0; d = 2.

D. n = d = 1.

3x 2  2
có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận?
2x 1  x

B. 4.

C. 3.

D. 2.

Câu 31: Phương trình các đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y 
A. y  1.

B. y  1 và y  1

C. y  2

2x 1
4 x2  3

là

D. y  2 và y  2

Câu 32: Đồ thị hàm số y  2 x  1  4 x 2  4 có bao nhiêu đường tiệm cận ngang?
A. 1.

B. 0.

Câu 33: Đồ thị hàm số y 
A. 2.

B. 1.

C. 3.
2x
x 1  x
2

D. 2.

Có bao nhiêu đường tiệm cận?
C. 3.

D. 4

Câu 34: Đồ thị hàm số y  4 x 2  4 x  3  4 x 2  1 có bao nhiêu đường tiệm cận ngang?
A. 2.

B. 0.

Câu 35: Đồ thị hàm số y 
A. 2.

B. 1.

C. 1.

D. 3

x2  4
có bao nhiêu đường tiệm cận?
2 x2  5x  2
C. 3.

D. 4

Trang 15


ĐÁP ÁN
1-A

2-A

3-C

4-D

5-A

6-B

7-A

8-C

9-C

10-A

11-A

12-D

13-C

14-A

15-B

16-B

17-A

18-A

19-C

20-A

21-C

22-B

23-B

24-D

25-C

26-B

27-A

28-C

29-C

30-D

31-B

32-A

33-B

34-A

35-A

Dạng 2. Xác định các đường tiệm cận của đồ thị hàm số chứa tham số
Bài toán 1: Tiệm cận của đồ thị hàm số y 

ax  b
cx  d

► Phương pháp giải:
Để tồn tại các đường tiệm cận của đồ thị hàm số y 

ax  b
thì c ≠ 0 và ad – bc  0 . Khi đó phương
cx  d

trình các đường tiệm cận là
+ Tiệm cận đứng x  

d
c

+ Tiệm cận ngang y 

a
c

Ví dụ: Tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y 
A. m  2.

B. m  2.

C. m  2.

2x  4

có tiệm cận đứng là
xm
D. m  2

Hướng dẫn giải
Điều kiện để đồ thị hàm số có tiệm cận là

2m – 4  0  m   2.
Chọn B.
► Ví dụ mẫu
Ví dụ 1: Giá trị của tham số thực m để đồ thị hàm số y 
A. m  1.

B. m  0.

C. m  2.

(2m  1) x  1
có đường tiệm cận ngang y = 3 là
xm
D. m  3

Hướng dẫn giải
Điều kiện để đồ thị hàm số có tiệm cận là

m(2m 1) 1  0  2m2  m  1  0  m 
Phương trình đường tiệm cận ngang là y  2m 1 nên có 2m 1  3  m  2
Chọn C.
Trang 16

Ví dụ 2: Tập hợp các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y 
A.

.

\ 0 .

B.

C.

\ 1 .

x 1
có tiệm cận đứng là
mx  1

D.

\ 0;1 .

Hướng dẫn giải

m  0
m  0

Điều kiện để đồ thị hàm số có tiệm cận là 
m  1
1  m  0

Chọn D.
Ví dụ 3. Tập hợp các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y 
A.

.

 1
B. 0; 
 3

x 3
không có tiệm cận đứng là
mx  1
1 
C.  
3

D. {0}.

Hướng dẫn giải
Điều kiện để đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng là
Chọn B.

ax  b
. Biết đồ thị hàm số đã cho đi qua điểm A  0; 1 và có đường tiệm cận
x 1
ngang là y =1. Giá trị a+ b bằng
Ví dụ 4: Cho hàm số y 

A. 1.

B. 0.

C. 3.

D. 2

Hướng dẫn giải
Điều kiện để đồ thị hàm số có tiệm cận là a - b ≠ 0.
Do đồ thị hàm số đi qua điểm A(0;-1) nên b = -1.
Đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang là y = a => a =1 (thỏa mãn điều kiện) Vậy a+b =0.
Chọn B.

(a  3) x  a  2019
nhận trục hoành làm tiệm cận ngang và trục
x  (b  3)
tung làm tiệm cận đúng. Khi đó giá trị của a+b bằng
Ví dụ 5: Biết rằng đồ thị của hàm số y 

A. 3.

B. 3.

C. 6.

D. 0

Hướng dẫn giải
Điều kiện để đồ thị hàm số có tiệm cận là -(a - 3)(b+ 3)-(a+ 2019 ≠0.
Phương trình các đường tiệm cận là


b  3
 x  b  3 b  3  0
(thỏa mãn điều kiện).



y

a

3
a

3

0
a

3




Vậy a+b =0.
Chọn D.
Ví dụ 6: Giá trị thực của tham số m để đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y 

x 1

2x  m

đi qua điểm A 1; 2  là
A. m  4 .

B. m  2.

C. m  4.

D. m  2
Trang 17


Hướng dẫn giải
Điều kiện để đồ thị hàm số có đường tiệm cận là m – 2 ≠ 0 <=> m ≠2.
Đường tiệm cận đứng là x  

m
m
   1  m  2 (thỏa mãn).
2
2

Chọn B.

mx  1
với tham số m  0. Giao điểm của hai đường tiệm cận của đồ thị hàm
x  2m
số thuộc đường thẳng nào dưới đây?
Ví dụ 7: Cho hàm số y 

A. x  2 y  0.

B. 2 x  y  0.

C. x  2 y  0.

D. y  2 x

Hướng dẫn giải
Điều kiện để đồ thị hàm số có đường tiệm cận là -2m2 – 1 ≠ 0 => m 
Phương trình các đường tiệm cận là x  2m; y  m nên tọa độ giao điểm của hai đường tiệm cận là l
(2m;m) thuộc đường thẳng x  2 y.
Chọn C.
Ví dụ 8: Tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y 

4x  5
có tiệm cận đứng nằm bên
xm

phải trục tung là
A. m  0 và m 

5
4

B. m  0

C. m  0 và m 

3
4

D. m  0

Hướng dẫn giải
Điều kiện để đồ thị hàm số có tiệm cận là 4m  5  0  m 

5
4

Phương trình đường tiệm cận đứng là x  m
Để tiệm cận đứng nằm bên phải trục tung thì m  0.
m  0

Vậy điều kiện cần tìm là 
5
m  4
Chọn A.
Bài tốn 2: Tiệm cận của đồ thị hàm số phân thức hữu tỷ
► Phương pháp giải
A
• Tiệm cận của đồ thị hàm số y 
với A là số thực khác 0 và f  x  là đa thức bậc n  0.
f ( x)
- Đồ thị hàm số y 

A
ln có tiệm cận ngang y  0
f ( x)

- Đường thẳng x  x0 , là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y 

A
khi và chỉ khi x0 là nghiệm của
f ( x)

f  x  hay f  x0   0.

• Tiệm cận của đồ thị hàm số y 

f ( x)
với f  x  , g  x  là các đa thức bậc khác 0.
g ( x)
Trang 18


- Điều kiện để đường thẳng y 

f ( x)
, là tiệm cận ngang là bậc f  x   bậc g  x 
g ( x)

- Điều kiện để đường thẳng x  x0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y 

f ( x)
là x0 là nghiệm của
g ( x)

g  x  nhưng không là nghiệm của f  x  hoặc x0 là nghiệm bội n của g  x  , đồng thời là nghiệm bộ m

của f  x  và m  n

2
của tham số thực m để đồ thị hàm số đã cho nhận đường thẳng
x  2mx  3m  1
x  2 là tiệm cận đứng là
A. m  3.
B. m  2. C. m  3.
D. m  2.
Hướng dẫn giải
Điều kiện: x2  2mx  3m  1  0
Đặt g ( x)  x2  2mx  3m 1
Ví dụ: Cho hàm số y 

2

Để đường thẳng x  2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho thì
g (2)  0  4  4m  3m 1  0  m  3
Chọn A.

2 x 2  3x  m
khơng có tiệm cận đứng là
xm
C. m  0; m  1.
D. m  0, m  1

Ví dụ: Giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y 
A. m  0.

B. m  1.

Hướng dẫn giải
Điều kiện x  m.
Đặt f ( x)  2x2  3x  m

m  0
Đồ thị hàm số đã cho khơng có tiệm cận đứng thì f (m)  0  2m 2  3m  m  0  
m  1
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1: Tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y 
A. m  8.

B. m  0.

C. m  4.

mx 2  2 x  1
có tiệm cận đứng là
2x 1
D. m  8

Hướng dẫn giải
Tập xác định D =

 1
\    . Đặt g ( x)  mx2  2x  1
 2

Để đồ thị hàm số có tiệm cận đứng thì x  

1
không là nghiệm của g(x)
2

m
 1
<=> g     0   2  0  m  8
4
 2

Chọn D.
Ví dụ 2: Biết đồ thị hàm số y =

x 1
m, n là tham số) nhận đường thẳng x  1 là tiệm cận
x  2mx  n  6
2

đứng, giá trị của m  n bằng
A. 6.

B. 10.

C.  4

D. 7

Hướng dẫn giải
Trang 19

Điều kiện: x2  2mx  n  6  0. Đặt g ( x)  x2  2mx  n  6
Do x = 1 là nghiệm của f(x)= x −1 nên đồ thị hàm số đã cho nhận đường thẳng x  1 là tiệm cận đứng thì
x = 1 phải là nghiệm kép của phương trình


 n  2m  7
m  1
 g (1)  2m  n  7  0
g ( x)  0   
 2

2
n  5

 m  2m  1  0
  m  n  6  0
Vậy m + n = - 4.
Chọn C.
Ví dụ 3: Biết đồ thị hàm số y 

(2m  n) x 2  mx  1
nhận trục hoành và trục tung làm hai tiệm cận. Giá
x 2  mx  n  6

trị m  n bằng
A. 8.

B. 9.

C. 6.

D. -6

Hướng dẫn giải
Điều kiện x2  mx  n – 6  0.
Phương trình đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là y  2m – n  2m  n  0. 1
Đặt f ( x)  (2m  n) x2  mx  1 và g ( x)  x2  mx  n  6
Nhận thấy f  0   0 với mọi m, n nên đồ thị nhận trục tung x  0 là tiệm cận đứng thì g(0)=0 <=>n – 6 =
0<=> n = 6.
Kết hợp với (1) suy ra m = 3.
Vậy m  n  9.
Chọn B.

ax 2  x  1
có đồ thị (C) (a, b là các số thực dương và ab  4. Biết rằng (C) có
4 x 2  bx  9
tiệm cận ngang y  c và có đúng một tiệm cận đứng.
Ví dụ 4: Cho hàm số y 

Giá trị của tổng T  3a  b – 24c bằng
A. 8.

B. 9.

C. 6.

D. 11

Hướng dẫn giải
Điều kiện 4 x2  bx  9  0.
Phương trình tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là y 

a
a
 c
4
4

Đồ thị (C) có một tiệm cận đứng nên ta có các trường hợp sau:
Trường hợp 1: Phương trình 4 x2  bx  9  0 có nghiệm kép x  x0 và không là nghiệm của
ax2  bx  1  0

<=> Vì b>0 nên b = 12 => a 

1
1
c
3
12

1 2
x  x 1
3
Thử lại ta có hàm số y  2
( thỏa mãn)
4 x  12 x  9
Trang 20

1
1
Vậy T = 3   12  24   11
3
12
Trường hợp 2: 4 x2  bx  9  0 có hai nghiệm phân biệt và một trong hai nghiệm thỏa mãn ax2  x 1  0
. Điều này khơng xảy ra vì ab = 4.
Chon D.
a;b>0 nên mẫu số ( nếu có) hai nghiệm đều âm, tử số hai nghiệm trái dấu.
Bài toán 3: Tiệm cận của đồ thị hàm số vô tỷ
Cho hàm số vô tỷ y  f  x  .
- Tìm tập xác định D của hàm số.
- Để tồn tại tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f(x) thì trong tập xác định D của hàm số phải chứa ít
nhất một trong hai kí hiệu - ∞ hoặc +∞ và tồn tại ít nhất một trong hai giới hạn lim y hoặc lim y hữu
x 

x 

hạn.
Ví dụ: Tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y 

(2m  1) x 2  3
x4  1

có đường tiệm cận

ngang qua điểm A 1; 3 là
A. m  0.

C. m  2.

B. m ± 1.

D. m  2

Hướng dẫn giải
Tập xác định D = R.
Ta có lim y  2m  1 nên đồ thị chỉ có một đường tiệm cận ngang y  2m  1.
x 

Để tiệm cận ngang đi qua điểm A(1;-3) thì 2m +1= - 3 <=> m= - 2.
Chọn C.
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1: Biết đồ thị hàm số y  2 x  ax2  bx  4 có tiệm cận ngang y = -1.
Giá trị 2a – b3 bằng
A. 56.

B. -56.

C. -72.

D. 72

Hướng dẫn giải
Điều kiện ax2 + bx + 4≥ 0.
Để đồ thị hàm số có tiệm cận ngang thì a>0.
Khi đó, ta có

lim y  lim (2 x  ax 2  bx  4)  

x 

x 

lim y  lim (2 x  ax  bx  4)  lim
2

x 

x 

x 

(a  4) x 2  bx  4
ax 2  bx  4  2 x

 1

a  4  0
a  4

 b

. Vậy 2a  b3  56


1
b  4
 a  2



Chọn B.
Trang 21


Để lim  1 thì bậc tử phải bằng bậc mẫu nên phải có a – 4 = 0. Khi đó lim y 
x 

x

Ví dụ 2: Có bao nhiêu giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y 

b
 a 2

mx  x 2  2 x  3
có một đường tiệm
2x 1

cận ngang là y = 2?
B. Vô số.

A. 0.

C.1.

D. 2

Hướng dẫn giải

Tập xác định D =
Ta có lim y 
x 

1 
\ 
2

m 1
m 1
; lim y 
x

2
2

 m 1
 2 2
m  3
Đồ thị hàm số có một đường tiệm cận ngang là y = 2 <=> 

m  5
 m 1  2
 2

Chọn D.
Bài tập tự luyện dạng 2
Câu 1: Biết rằng đồ thị hàm số y 

ax  1

có tiệm cận đứng là x = 2, tiệm cận ngang là y = -3. Khi đó a +
xb

b bằng
A. - 1.

B. 2.

C. 1.

Câu 2: Các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y 
A. m = 2.

B. m =

1
.
2

D. -2

(m  1) x  2m  1
khơng có tiệm cận đứng là
x 1

C. m = 1

D. m = - 1

ax  1

. Giá trị của tham số a và b để đồ thị hàm số nhận đường thẳng x = 1 làm
bx  2
1
tiệm cận đứng và đường thẳng y =
làm tiệm cận ngang là
2
Câu 3: Cho hàm số y 

A. a = 2; b = 2.

B. a=2; b=-2.

C. a = 1; b=2

D. a= - 1; b= - 2.

Câu 4: Giá trị của tham số m để đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y 

mx  1
đi qua điểm
2x  m

A(1;2) là
A. m  2

B. m  4.

C. m= - 5.

Câu 5: Có bao nhiêu giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y 

A. 0.

B. 1.

C. 3.

D. m  2.

xm
khơng có đường tiệm
mx  1
D. 2

Trang 22


Câu 6: Biết đồ thị hàm số y 

ax  1
có đường tiệm cận đứng là x = 2 và đường tiệm cận ngang là y = 3,
bx  2

giá trị của a + b bằng
A. 4.

B. 0.

C. 1.

D. 5

Câu 7: Tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y 
A. m ≠ 2

B. m ≠ -2.

C. m ≤ - 2.

mx  2
có tiệm cận đúng là
x 1
D. m < 2.

2mx  1
với tham số m ≠ 0. Giao điểm của hai đường tiệm cận của đồ thị hàm
xm
số đã cho thuộc đường thẳng nào dưới đây?
Câu 8: Cho hàm số y 

A. 2x + y = 0.

B. y = 2x.

C. x-2y = 0.

D. x + 2y = 0.

Câu 9: Giá trị của tham số m để đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y 

x3

đi qua điểm
x  m 1

A(5;2) là
A. m  1.

B. m  6.

C. m  4.

D. m  4

mx  1
. Biết đồ thị hàm số nhận trục hoành và trục tung làm tiệm cận ngang
x  3n  1
và tiệm cận đứng. Khi đó tổng m + n bằng
Câu 10: Cho hàm số y 

B. 

A. 0.

1
.
3

C.

1
.

3

D.

2
3

Câu 11: Tất cả các giá trị thực của tham số m để đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

y

mx  5
đi qua điểm M (10; -3) là
x 1

A. m  5.

B. m  3.

C. m  3.

D. m = 

1
2

3x  1
có hai đường tiệm cận và hai
x  2m
đường tiệm cận đó cùng với hai trục tọa độ tạo thành một hình chữ nhật có diện tích bằng 1 là

Câu 12: Tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y 

A. m = 

1
.
6

B. m = 

1
.
3

C. m = 

1
.
6

D. m =

1
6

(n  3) x  n  2019
(m, n là tham số) nhận trục hoành làm tiệm cận
xm3
ngang và trục tung làm tiệm cận đứng. Tổng m – 2n bằng
Câu 13: Biết đồ thị của hàm số y 

A. 4.

B. - 3.

Câu 14: Đồ thị hàm số f ( x) 

C. - 9.

D. 6

ax  1
đi qua điểm M(1;2) và có đường tiệm cận đứng là đường thẳng x
xb

= -2. Giá trị f(-1) bằng
A. 4.

B. - 8.

C. 

1
.
2

D. 6

Câu 15: Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để hai đường tiêm cân của đô thị hàm số

Trang 23


y

2x  m 1
cắt nhau tại điểm thuộc đường thẳng y  x  1?
x  m2

A. 1.

B. - 1.

Câu 16: Đồ thị hàm số y 

C. 0.

D. 2

x2
có đường tiệm cận đứng là x = a và đường tiệm cận ngang là y = b.
3x  9

Giá trị nguyên của tham số m nhỏ nhất thỏa mãn m  a  b là
A. m = -1.

B. m = -2.

C. m = 0.

D. m = - 3

ax  1
đi qua M(2;5) và có đường tiệm cận đứng là đường thẳng x=1thì
xd

Câu 17: Biết đồ thị hàm số y 
tổng a + d bằng
A. 1.

B. 8.

C. 7.

D. 3

(a  2b) x 2  bx  1
có tiệm cận đứng là đường thẳng x =1 và
x2  x  b
tiệm cận ngang là đường thẳng y = 0. Giá trị a + 2b bằng
Câu 18: Biết đồ thị của hàm số y = y 

A. 7.

B. 8.

C. 10.

D. 6

(4a  b) x 2  ax  1
nhận trục hoành và trục tung làm hai tiệm cận thì
x 2  ax  b  12

Câu 19: Biết đồ thị hàm số y = y 
giá trị a+b bằng
A. 10.

B. 15.

C. 2.

Câu 20 : Biết đồ thị hàm số y 
A. 9.

A. 2.

x3  ax 2  bx  c
khơng có tiệm cận đứng. Giá trị b+ c bằng
( x  2)2

B. 4.

Câu 21: Biết đồ thị hàm số y 

C. 1.

B. - 1.

C. -2.

A. .

C.

15
.
16

B. 2.

Giá trị lớn nhất của biểu thức log a 1

1
.
2

B. 2.

D. 

15
.
16

5 x  1  ax  b
khơng có tiệm cận đứng. Giá trị a+2b bằng
( x  3) 2
C.

15
.
16

Câu 24: Với các số thực dương a, b để đồ thị hàm số y 

A.

D. 1.

3x  1  ax  b
khơng có tiệm cận đứng. Giá trị ab bằng
( x  1) 2

B. 2.

Câu 23: Biết đồ thị hàm số y 

D. 7.

x 4  ax 2  b
khơng có tiệm cận đứng. Giá trị ab bằng
( x  1)2

Câu 22: Biết rằng đồ thị hàm số y 
A. -2.

D. -10.

D. 

15
.
16

a  bx  2
có đúng một đường tiệm cận.
x2

b
bằng
2
C. -1.

D. -2.
Trang 24


ĐÁP ÁN
1-A

2-A

3-C

4-A

5-C

6-A

7-B

8-B

9-D

10-B

11-B

12-C

13-C

14-B

15-A

16-B

17-A

18-B

19-B

20-B

21-C

22-C

23-C

24-D

Dạng 3. Xác định các đường tiệm cận của đồ thị hàm ẩn
Bài toán 1: Biết đồ thị, bảng biến thiên của hàm số y = f(x), xác định tiệm cận của đồ thị hàm số y =
A
y
với A là số thực khác 0, g(x) xác định theo f(x)
g ( x)
Phương pháp giải
- Xác định tiệm cận đứng:
+ Số tiệm cận của đồ thị hàm số y 

A
là số nghiệm của phương trình g  x   0.
g ( x)

+ Dựa vào đồ thị, bảng biến thiên của hàm số y  f  x  để xác định số nghiệm của phương trình
g  x   0 để suy ra số đường tiệm cận đứng.

| - Xác định tiệm cận ngang: dựa vào nhảnh vô tận của đồ thị, bảng biến thiên của hàm số để xác định.
Ví dụ: Cho hàm số y  f  x  liên tục trên

và có đồ thị như hình vẽ.

Số đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y 

A. 2.

B. 3.

1
là
f ( x)  1

C. 4.

D. 1.

Hướng dẫn giải
Trang 25