Phân tích ổn định và sau ổn định của dầm bằng vật liệu có cơ tính biến thiên theo lý thuyết dầm euler bernoulli

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC XÂY DỰNG

BÁO CÁO TỔNG KẾT
ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC SINH VIÊN NĂM HỌC 2020 - 2021

PHÂN TÍCH ỔN ĐỊNH VÀ SAU ỔN ĐỊNH CỦA DẦM
BẰNG VẬT LIỆU CĨ CƠ TÍNH BIẾN THIÊN THEO LÝ
THUYẾT DẦM EULER–BERNOULLI

Sinh viên thực hiện:

Giáo viên hướng dẫn: NGUYỄN VĂN LONG

Hà Nội, 08/2021

i


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC XÂY DỰNG

BÁO CÁO TỔNG KẾT
ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC SINH VIÊN NĂM HỌC 2020 - 2021

PHÂN TÍCH ỔN ĐỊNH VÀ SAU ỔN ĐỊNH CỦA DẦM
BẰNG VẬT LIỆU CĨ CƠ TÍNH BIẾN THIÊN THEO LÝ
THUYẾT DẦM EULER–BERNOULLI
Sinh viên thực hiện:

Giáo viên hướng dẫn: NGUYỄN VĂN LONG

Cán bộ hướng dẫn

Sinh viên trưởng nhóm

(Ký, họ tên)

(Ký, họ tên)

Hà Nội, 08/2021


i

MỤC LỤC
MỤC LỤC HÌNH VẼ................................................................................................IV
MỤC LỤC HÌNH VẼ................................................................................................IV
DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU.................................................................................VIII
DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU.................................................................................VIII
DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT.......................................................................IX
DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT.......................................................................IX
MỞ ĐẦU....................................................................................................................... 1
MỞ ĐẦU....................................................................................................................... 1
CHƯƠNG 1.TỔNG QUAN VỀ DẦM BẰNG VẬT LIỆU FGM..............................3
CHƯƠNG 1.TỔNG QUAN VỀ DẦM BẰNG VẬT LIỆU FGM..............................3
1.1. Vật liệu có cơ tính biến thiên – Phân loại và ứng dụng...........................................3
1.1.1. Khái niệm về vật liệu có cơ tính biến thiên (FGM)..............................................3
1.1.2. Ứng dụng của vật liệu FGM................................................................................3
1.1.3. Tính chất biến đổi trơn của vật liệu FGM............................................................5
a. Quy luật hàm lũy thừa (P-FGM)...............................................................................6

b. Quy luật hàm mũ (E-FGM).......................................................................................8
1.2. Tổng quan các nghiên cứu về ổn định phi tuyến cho dầm bằng vật liệu FGM......10
Mở đầu........................................................................................................................ 10
1.2.1. Nghiên cứu tổng quan........................................................................................12
Các nghiên cứu về dầm bằng vật liệu FGM ở Việt Nam.............................................13
CƠ SỞ LÝ THUYẾT.................................................................................................15
CƠ SỞ LÝ THUYẾT.................................................................................................15
1.3. Mở đầu.................................................................................................................. 15
1.4. Vật liệu có cơ tính biến thiên - Các đặc trưng cơ học...........................................15


ii
1.5. Các phương trình cơ bản của lý thuyết dầm Euler-Bernoulli................................18
1.5.1. Các thành phần chuyển vị..................................................................................18
1.5.2. Các thành phần biến dạng..................................................................................18
1.5.3. Các thành phần ứng suất....................................................................................19
1.5.4. Các thành phần nội lực.......................................................................................19
1.5.5. Các phương trình cân bằng-Điều kiện biên........................................................20
1.6. Phân tích ổn định..................................................................................................22
1.6.1. Dầm liên kết hai đầu khớp (SS).........................................................................24
1.6.2. Dầm liên kết hai đầu ngàm (CC)........................................................................25
1.6.3. Dầm liên kết đầu ngàm-đầu khớp (CS)..............................................................26
1.6.4. Đầu ngàm-đầu tự do (CF)..................................................................................27
1.7. Phân tích sau ổn định............................................................................................29
1.7.1. Dầm liên kết hai đầu khớp (SS).........................................................................29
1.7.2. Dầm liên kết hai đầu ngàm (CC)........................................................................30
1.7.3. Dầm liên kết đầu ngàm-đầu khớp (CS)..............................................................31
1.7.4. Dầm liên kết hai đầu ngàm (CF)........................................................................32
KẾT QUẢ SỐ VÀ THẢO LUẬN.............................................................................34
KẾT QUẢ SỐ VÀ THẢO LUẬN.............................................................................34

1.8. Mở đầu.................................................................................................................. 34
1.9. Ví dụ kiểm chứng..................................................................................................34
1.10. Khảo sát ảnh hưởng của các tham số vật liệu, kích thước hình học và điều kiện
biên lên tải trọng tới hạn của dầm FGM......................................................................35
1.10.1. Khảo sát tải trọng mất ổn định với một số dạng mất ổn định...........................35
1.10.2. Khảo sát ảnh hưởng của chỉ số tỷ lệ thể tích, k lên tải trọng tới hạn của dầm
FGM............................................................................................................................ 38


iii
1.10.3. Khảo sát ảnh hưởng của tỷ số kích thước dầm, L/h lên tải trọng tới hạn của
dầm FGM..................................................................................................................... 40
1.11. Khảo sát ảnh hưởng của các tham số vật liệu, kích thước hình học và điều kiện
biên lên đường cong sau ổn định của dầm FGM..........................................................41
1.11.1. Khảo sát ảnh hưởng của chỉ số tỷ lệ thể tích, k lên đường cong sau ổn định của
dầm FGM..................................................................................................................... 41
1.11.2. Khảo sát ảnh hưởng của tỷ số kích thước dầm, L/h lên đường cong sau ổn định
của dầm FGM..............................................................................................................43


iv

MỤC LỤC HÌNH VẼ
HÌNH 1-1: MƠ HÌNH DẦM LÀM TỪ VẬT LIỆU CĨ CƠ TÍNH BIẾN THIÊN
FGM.............................................................................................................................. 3
HÌNH 1-2: VẬT LIỆU FGM CHẾ TẠO CHI TIẾT TRONG ĐỘNG CƠ ĐỐT
TRONG VÀ PHẢN LỰC............................................................................................5
HÌNH 1-3: VẬT LIỆU FGM CHẾ TẠO CHI TIẾT TRONG LĨNH VỰC Y TẾ. . .5
HÌNH 1-4: BIẾN THIÊN CỦA MÔ ĐUN ĐÀN HỒI E THEO CHIỀU CAO DẦM
P-FGM.......................................................................................................................... 7

HÌNH 1-5: BIẾN THIÊN CỦA MƠ ĐUN ĐÀN HỒI E THEO CHIỀU CAO DẦM
E-FGM.......................................................................................................................... 8
HÌNH 1-6: BIẾN THIÊN CỦA MƠ ĐUN ĐÀN HỒI E THEO CHIỀU CAO DẦM
S-FGM.......................................................................................................................... 9
HÌNH 1-7: CỘT , DẦM TRONG NHÀ DÂN DỤNG..............................................10
HÌNH 1-8: CỘT , DẦM TRONG NHÀ CƠNG NGHIỆP.......................................11
HÌNH 1-9: DẦM ĐỠ MÁI.........................................................................................11
HÌNH 2-10: VỊ TRÍ MẶT TRUNG BÌNH VÀ MẶT TRUNG HỊA CỦA DẦM
FGM............................................................................................................................ 15
HÌNH 2-11. VỊ TRÍ MẶT TRUNG BÌNH VÀ MẶT TRUNG HỊA CỦA DẦM
VẬT LIỆU P-FGM....................................................................................................16
HÌNH 2-12: BIẾN THIÊN CỦA Z0 THEO CHỈ SỐ TỶ LỆ THỂ TÍCH K CHO
HAI NHĨM VẬT LIỆU FGM..................................................................................17
HÌNH 2-13: BIẾN DẠNG CỦA DẦM EULER-BERNOULLI..............................18
HÌNH 3-14: DẠNG MẤT ỔN ĐỊNH CỦA DẦM FGM ĐIỀU KIỆN BIÊN ĐẦU
NGÀM - ĐẦU TỰ DO (CF)......................................................................................35
HÌNH 3-15: DẠNG MẤT ỔN ĐỊNH CỦA DẦM FGM ĐIỀU KIỆN BIÊN HAI
ĐẦU KHỚP (SS)........................................................................................................36


v
HÌNH 3-16: DẠNG MẤT ỔN ĐỊNH CỦA DẦM FGM ĐIỀU KIỆN BIÊN ĐẦU
NGÀM - ĐẦU KHỚP (CS)........................................................................................36
HÌNH 3-17: DẠNG MẤT ỔN ĐỊNH CỦA DẦM FGM ĐIỀU KIỆN BIÊN HAI
ĐẦU NGÀM (CC)......................................................................................................37
HÌNH 3-18: BIẾN THIÊN CỦA LỰC TỚI HẠN, NTH [KN] CỦA DẦM FGM
THEO CHỈ SỐ TỶ LỆ THỂ TÍCH, K (L/H = 50)..................................................40
HÌNH 3-19: BIẾN THIÊN CỦA LỰC TỚI HẠN NTH [KN] CỦA DẦM FGM
THEO TỶ SỐ KÍCH THƯỚC, L/H (K = 2)............................................................41
HÌNH 3-20. SO SÁNH ẢNH HƯỞNG CỦA CHỈ SỐ K LÊN ĐƯỜNG CONG

SAU ỔN ĐỊNH CỦA DẦM CF.................................................................................41
HÌNH 3-21: ẢNH HƯỞNG CỦA CHỈ SỐ TỶ LỆ THỂ TÍCH, K (L/H = 50) LÊN
ĐƯỜNG CONG SAU ỔN ĐỊNH CỦA DẦM FGM................................................43
HÌNH 3-22: ẢNH HƯỞNG CỦA TỶ SỐ KÍCH THƯỚC, L/H LÊN ĐƯỜNG
CONG SAU ỔN ĐỊNH CỦA DẦM FGM (K = 2)...................................................45


vi

MỤC LỤC BẢNG BIỂU
BẢNG 1-1. TÍNH CHẤT CỦA MỘT SỐ VẬT LIỆU THÀNH PHẦN CỦA VẬT
LIỆU FGM [1, 2].......................................................................................................... 4
BẢNG 2-2: MỘT SỐ DẠNG ĐIỀU KIỆN BIÊN VỀ ĐỘ VÕNG, GÓC XOAY
CHO DẦM EULER-BERNOULLI..........................................................................23
BẢNG 2-3: MỘT SỐ KẾT QUẢ PHÂN TÍCH ỔN ĐỊNH CỦA DẦM FGM (M =
1, 2, 3,...)...................................................................................................................... 28
BẢNG 3-4: LỰC TỚI HẠN PTH (N) CỦA DẦM FGM VỚI CÁC ĐIỀU KIỆN
BIÊN KHÁC NHAU..................................................................................................34
BẢNG 3-5: TẢI TRỌNG MẤT ỔN ĐỊNH CỦA DẦM ĐẲNG HƯỚNG VỚI CÁC
ĐIỀU KIỆN BIÊN KHÁC NHAU CHO BA DẠNG MẤT ỔN ĐỊNH ĐẦU TIÊN
(L/H = 50)................................................................................................................... 37
BẢNG 3-6: LỰC TỚI HẠN, NTH [KN] CỦA DẦM FGM VỚI CÁC CHỈ SỐ TỶ
LỆ THỂ TÍCH, K KHÁC NHAU (L/H = 50)..........................................................39
BẢNG 3-7: LỰC TỚI HẠN NTH [KN] CỦA DẦM FGM VỚI CÁC TỶ SỐ KÍCH
THƯỚC, L/H KHÁC NHAU (K = 2).......................................................................40


vii

viii

DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU
b, h

Bề rộng, chiều cao tiết diện dầm chữ nhật

L

Chiều dài dầm

E, G, ρ

Mô đun đàn hồi kéo-nén, mô đun đàn hồi trượt, khối lượng riêng của
vật liệu

ν

Hệ số Poisson

e0 , em

Các hệ số rỗng

ks

Hệ số hiệu chỉnh cắt

(x, z)

Tọa độ của điểm trong hệ trục đi qua mặt trung bình

(x, zns)

Tọa độ của điểm trong hệ trục đi qua mặt trung hòa

C

Khoảng cách giữa mặt trung hịa và mặt trung bình

N x0

Lực dọc màng

u, w

Chuyển vị màng và độ võng của điểm bất kì trên dầm theo các phương x, zns

u0 , w0

Chuyển vị màng và độ võng của điểm bất kì trên mặt trung hịa của dầm theo
các phương x, zns

θx

Góc xoay của mặt cắt ngang quanh trục y

εx

Biến dạng dài tỷ đối theo phương x

γ xz

Biến dạng góc trong mặt phẳng xz

ε x0

Biến dạng màng

κx

Độ cong uốn dọc trục x của đường đàn hồi

σx

Ứng suất pháp của mặt có phương pháp tuyến x

τ xz

Ứng suất tiếp theo phương z của mặt có pháp tuyến là trục x

N x , M x , Qxz

Lực dọc trục, mô men uốn, lực cắt

N0

Tải trọng nén dọc trục

N 0*

Tải trọng mất ổn định

N th

Tải trọng tới hạn

ks

Hệ số hiệu chỉnh cắt


ix

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT
FGM

Functionally Graded Materials (vật liệu có cơ tính biến thiên)

SS

Dầm liên kết đầu hai đầu khớp

CC

Dầm liên kết đầu hai đầu ngàm

CS

Dầm liên kết đầu ngàm-đầu khớp

CF

Dầm liên kết đầu ngàm-đầu tự do

CBT

Classical beam theory (lý thuyết dầm cổ điển, hay lý thuyết dầm
Euler-Bernoulli)


x

LỜI MỞ ĐẦU
Đề tài này thuộc danh mục đề tài Nghiên cứu khoa học Sinh viên năm 20202021, theo Quyết định số 1570/QĐ-ĐHXD ngày 28 tháng 12 năm 2020 của Hiệu
trưởng trường Đại học Xây dựng. Tên đề tài “Phân tích ổn định và sau ổn định của
dầm bằng vật liệu có cơ tính biến thiên theo lý thuyết dầm Euler–Bernoulli”, mã số
XD-2021-16
ĐẶT VẤN ĐỀ
Vật liệu có cơ tính biến thiên FGM là loại vật liệu mới, với tiềm năng ứng dụng
trong nhiều lĩnh vực. Nghiên cứu ứng xử cơ học của các kết cấu bằng vật liệu FGM
nói chung và ổn định, sau ổn định của dầm FGM nói riêng là đề tài mang tính thời sự
và có tính cấp thiết. Vì thế, Nhóm sinh viên lựa chọn đề tài là: “Phân tích ổn định và
sau ổn định của dầm bằng vật liệu có cơ tính biến thiên theo lý thuyết dầm Euler–
Bernoulli”
NỘI DUNG NGHIÊN CỨU
Đề tài sử dụng lý thuyết dầm Euler-Bernoulli trong đó có xét đến yếu tố mặt
trung hịa của vật liệu để phân tích phi tuyến ổn định của dầm FGM. Lời giải giải tích
được thiết lập cho các dạng điều kiện biên khác nhau của dầm. Trên cơ sở đó, chương
trình máy tính trên nền Matlab do Nhóm tác giả lập trình giúp khảo sát số các bài toán

đánh giá ảnh hưởng của các tham số lên tải tới hạn và đường cong sau ổn định cho
dầm.
Báo cáo đề tài gồm: Mở đầu, Ba chương chính, Kết luận và kiến nghị, Tài liệu
tham khảo và Phụ lục.


1

MỞ ĐẦU
Lý do chọn đề tài
Việc nghiên cứu, chế tạo các vật liệu mới sở hữu các tính chất đặc biệt mà vật
liệu truyền thống không đáp ứng được là xu hướng phát triển của khoa học công nghệ
thời đại cơng nghiệp 4.0. Vật liệu có cơ tính biến thiên là một loại composite thế hệ
mới với các tính chất vật liệu biến đổi liên tục theo chiều dày kết cấu để phù hợp với
yêu cầu thực tế. Vật liệu có cơ tính biến thiên được dùng để chế tạo các lớp vật liệu
cách nhiệt, các chi tiết đặc biệt trong các máy cơng cụ, vũ khí, chế tạo mơ hình thử
nghiệm, trong y tế...Việc nghiên cứu ứng xử cơ học cho kết cấu bằng vật liệu có cơ
tính biến thiên đã và đang được nhiều các nhà khoa học quan tâm phân tích.
Với các lý do đó, nhóm nghiên cứu đã lựa chọn đề tài “Phân tích ổn định và
sau ổn định của dầm bằng vật liệu có cơ tính biến thiên theo lý thuyết dầm EulerBernoulli” làm nội dung nghiên cứu.
Mục tiêu nghiên cứu của đề tài
-

Tìm hiểu về vật liệu có cơ tính biến thiên, các cơ tính của vật liệu;
Thiết lập các hệ thức cơ bản, phương trình chủ đạo cho bài tốn ổn định và sau ổn

-

định của dầm bằng vật liệu có cơ tính biến thiên;
Xây dựng nghiệm giải tích cho bài tốn ổn định và sau ổn định của dầm;

Lập chương trình máy tính sử dụng phần mềm Matlab, khảo sát số các lớp bài
toán nhằm đánh giá ảnh hưởng của các tham số hình học, vật liệu, ... lên ứng xử

-

ổn định và sau ổn định của dầm bằng vật liệu có cơ tính biến thiên.
Đưa ra các nhận xét, đánh giá chung cho từng bài tốn khảo sát cụ thể.

Mục đích nghiên cứu của đề tài
-

Xây dựng nghiệm giải tích xác định tải trọng mất ổn định, từ đó tìm ra tải trọng tới
hạn; phân tích đường cong sau ổn định của dầm bằng vật liệu FGM với các dạng

-

điều kiện biên khác nhau.
Khảo sát số, đưa ra đánh giá về ảnh hưởng của điều kiện biên, các tham số vật
liệu, kích thước hình học lên tải trọng tới hạn và đường cong sau ổn định của dầm.

Đối tượng và phạm vi nghiên cứu


2
-

Đối tượng nghiên cứu: Dầm bằng vật liệu FGM, tiết diện chữ nhật đều, với các

-

điều kiện biên khác nhau.
Phạm vi nghiên cứu: Phân tích phi tuyến ổn định của dầm bằng vật liệu FGM chịu
nén dọc trục.

Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu sử dụng trong đề tài là nghiên cứu lý thuyết và thực
nghiệm số. Nghiệm giải tích được xây dựng dựa trên lý thuyết dầm Euler-Bernoulli
trong đó mặt trung hòa được sử dụng làm hệ trục tham chiếu. Các kết quả tính tốn số
dựa trên chương trình tính viết trên nền Matlab do nhóm tác giả tự lập. Phương pháp
giải tích nghiệm trực tiếp: Xây dựng nghiệm chính xác dựa trên hệ phương trình vi
phân theo chuyển vị, áp dụng cho các dạng điều kiện biên khác nhau để xác định tải
trọng mất ổn định và đường cong sau ổn định cho dầm.
Kết quả đạt được và vấn đề còn tồn tại
-

Tổng quan nghiên cứu về ổn định, sau ổn định của dầm bằng vật liệu FGM.

-

Hệ thống hóa các hệ thức cơ bản và phương trình chủ đạo, điều kiện biên của lý
thuyết dầm Euler-Bernoulli.

-

Xây dựng lời giải giải tích xác định tải trọng mất ổn định, tải trọng tới hạn cho
dầm chịu nén dọc trục có các dạng điều kiện biên khác nhau.

-

Viết code chương trình bằng phần mềm Matlab để tính tốn số.

Khảo sát ảnh hưởng của các tham số vật liệu (chỉ số tỷ lệ thể tích, p); tham số hình học
(tỷ số kích thước dầm L/h); điều kiện biên (4 dạng điều kiện biên với các liên kết lý
tưởng được thực hiện bao gồm SS, CC, CS, CF), lên tải trọng tới hạn và đường cong
sau ổn định của dầm.


3

CHƯƠNG 1. TỔNG QUAN VỀ DẦM BẰNG VẬT LIỆU FGM
1.1. Vật liệu có cơ tính biến thiên – Phân loại và ứng dụng
1.1.1. Khái niệm về vật liệu có cơ tính biến thiên (FGM)
Vật liệu composite là loại vật liệu được cấu thành từ hai hay nhiều nhiều loại
vật liệu thành phần khác nhau nhằm đạt được các tính chất ưu việt hơn các vật liệu
thành phần như: độ cứng, độ bền riêng cao, khả năng kháng nhiệt tốt, có khối lượng
nhẹ và khả năng chống ăn mịn hóa học tốt [1], . . .
Vật liệu có cơ tính biến thiên cịn có tên khác là vật liệu biến đổi chức năng
(FGM – Functionally Graded Materials) là một loại composite thế hệ mới với các tính
chất vật liệu biến đổi liên tục theo chiều dày kết cấu để phù hợp với yêu cầu thực tế.
Được nghiên cứu lần đầu tiên vào năm 1984 tại viện khoa học vật liệu Nhật Bản với
vai trị là một loại vật liệu mới có khả năng chống nhiệt cao, cho đến nay vật liệu có cơ
tính biến thiên đã phát triển ở nhiều nơi trên thế giới.

Hình 1-1: Mơ hình dầm làm từ vật liệu có cơ tính biến thiên FGM
Vật liệu có cơ tính biên thiên có thể cấu thành từ một số vật liệu thành phần như
vật liệu nền, các hạt , các sợi . . . có cơ tính khác nhau. Tuy nhiên loại vật liệu có cơ
tính biến thiên điển hình và được nghiên cứu nhiều trong những năm gần đây là loại
vật liệu có cơ tính biến thiên hai thành phần, loại vật liệu này được cấu thành từ các
vật liệu ceramic và kim loại. Đây cũng là loại vật liệu có cơ tính biến thiên mà đề tài
này tập trung nghiên cứu.

1.1.2. Ứng dụng của vật liệu FGM
Vật liệu có cơ tính biến thiên (FGM) ra đời để khắc phục được những nhược điểm
của vật liệu composite nhiều lớp thông thường như sự tập trung ứng suất tạo bề mặt


4
tiếp xúc giữa các lớp. Vật liệu có cơ tính biến thiên điển hình thường được tạo ra từ hai
thành phần vật liệu là ceramic và kim loại trong đó tỷ lệ thể tích của mỗi thành phần
biến đổi một cách trơn và liên tục từ mặt này sang mặt kia của chiều dày kết cấu cho
phù hợp với yêu cầu làm việc thực tế của kết cấu. Do có mô đun đàn hồi E cao, hệ số
truyền nhiệt K và hệ số giãn nở vì nhiệt α thấp nên thành phần ceramic làm cho vật
liệu FGM có độ cứng cao và khả năng kháng nhiệt rất tốt. Trong khi đó thành phần
kim loại là cho vật liệu FGM trở nên mềm dẻo hơn, bền hơn và khắc phục sự rạn nứt
do tính giịn của vật liệu ceramic khi chịu nhiệt độ cao (xem bảng 1.1)
Bảng 1-1. Tính chất của một số vật liệu thành phần của vật liệu FGM [1, 2]
Vật liệu

Các tính chất
E

ν

[GPa]

α

κ

ρ

[ºC ]

[W/m.K]

[kg/m ]

-1

3

Kim loại (Metal):
Stainless steel (SUS 304)

207.7

0.3177

12.46×10-6

15.379

8166

Aluminum (Al)

70.0

0.30

23.0×10-6

204

2707

Titanium alloy (Ti-6Al-4V)

105.7

0.298

6.9×10-6

18.1

4429

Silicon nitride (Si3N4)

322.2

0.24

3.2×10-6

13.723

2370

Zirconia (ZrO2)

151

0.30

10×10-6

2.09

3000

Alumina (Al2O3)

380

0.26

7.2×10-6

10.4

3750

Gốm (Ceramic):

Năm 1984, các nhà khoa học tại Viện khoa học vật liệu Nhật Bản đã nghiên cứu
vật liệu FGM với vai trị là một loại vật liệu mới có khả năng cách nhiệt, chống nhiệt
cao. Đến nay vật liệu có cơ tính biến thiên đã phát triển ở nhiều nơi trên thế giới. Vật
liệu có cơ tính biến thiên được dùng để chế tạo các lớp vật liệu cách nhiệt, các chi tiết
đặc biệt trong các máy cơng cụ, vũ khí, chế tạo mơ hình thử nghiệm, trong y tế...[1].

5
Hình 1-2: Vật liệu FGM chế tạo chi tiết trong động cơ đốt trong và phản lực

Vít cố định xương

Xương nhân tạo

Hình 1-3: Vật liệu FGM chế tạo chi tiết trong lĩnh vực y tế
Các kết cấu dạng tấm, vỏ là các kết cấu được sử dụng rộng rãi trong các ngành
công nghiệp hàng không (khung, dầm máy bay, vỏ cabin, khoang hành lý, ống
tuốcbin...); công nghiệp tàu thuỷ (thân, vỏ tàu ...); công nghiệp xây dựng (xà, dầm,
khung cửa, vòm che, mái che, ...); các hệ thống cơ nhiệt (xylanh, ống xả, ...); các kết
cấu chịu mài mòn (băng tải, ổ trục...)... đây là các lĩnh vực mà công nghiệp nước ta đã
có những thành tựu đáng khích lệ đặc biệt là các nghiên cứu tính tốn nền tảng. Trong
nhiều ngành, chúng ta đã tiếp cận được với công nghệ tiên tiến của thế giới nên việc
nghiên cứu, phát triển ứng dụng kết cấu tấm làm bằng vật liệu có cơ tính ở Việt Nam
chúng ta có một tiềm năng ứng dụng to lớn trong nhiều ngành, nhiều lĩnh vực.
1.1.3. Tính chất biến đổi trơn của vật liệu FGM
Trong các tài liệu, các nhà nghiên cứu sử dụng các phương pháp luận khác nhau
để nhận được các thuộc tính biến đổi trơn của vật liệu FGM. Mặc dù vậy các tác giả
đều cho rằng các đặc trưng cơ học vật liệu có thể biến thiên theo quy luật hàm lũy
thừa, hàm mũ, hay hàm sigmoid theo phương chiều cao dầm.
Đối với vật liệu có cơ tính biến thiên hai thành phần tạo thành từ sự kết hợp của
kim loại và ceramic tỷ lệ thể tích của các thành phần vật liệu được giả thiết biến đổi
theo quy luật xác định. Hàm đặc trưng cho các hằng số vật liệu (mô đun đàn hồi, hệ số
Poisson, khối lượng riêng, hệ số giãn nở nhiệt… của vật liệu) dầm FGM giả thiết dưới
dạng [6]:
P ( z ) = Vc ( z ) Pc + Vm ( z ) Pm

(1-1)


6

trong đó:
Pc là hằng số vật liệu của vật liệu mặt trên tấm (z = h/2)
Pm là hằng số vật liệu của vật liệu mặt dưới tấm (z = -h/2)
P(z) là hằng số vật liệu của vật liệu tại tọa độ z bất kỳ
Vc(z): Tỷ phần thể tích của thành phần gốm;
Vm(z): Tỷ phần thể tích của thành phần kim loại.
Giữa tỷ phần thể tích của thành phần gốm và tỷ phần thể tích thành phần kim
loại có liên hệ:
Vc ( z ) + Vm ( z ) = 1

(1-2)

Quy luật phân bố của hàm tỷ phần thể tích các thành phần vật liệu là cơ sở để
phân loại vật liệu FGM.
Dưới đây, trong khuôn khổ đề tài ta xét dầm bằng vật liệu FGM với mặt trên là
bề mặt giàu gốm, mặt dưới là bề mặt giàu kim loại. Tính chất cơ học của một số vật
liệu thành phần của vật liệu FGM được chỉ ra trong bảng 1.1 [3].
Bảng 1.1. Tính chất một số vật liệu thành phần của vật liệu FGM.
Vật liệu

Các tính chất
E (GPa)

ν

ρ (kg/m3)

Kim loại (Metal):

70

0.3

2702

Aluminum (Al)

70

0.3

2702

Titanium alloy (Ti6Al4V)

105.7

0.3

4429

Stainless steel (SUS304)

207.78

0.32

8166

Alumina (Al2O3)-1

380

0.3

3800

Alumina (Al2O3)-2

320.2

0.26

3750

Zirconia (ZrO2)-1

200

0.3

5700

Zirconia (ZrO2)-2

151

0.3

3000

322.27

0.24

2370

Gốm (Ceramic):

Silicon nitride (Si3N4)

a. Quy luật hàm lũy thừa (P-FGM)


7
Đặc trưng cơ học của vật liệu P-FGM theo quy luật hàm lũy thừa được các nhà
khoa học sử dụng rất rộng rãi trong các nghiên cứu [4]. Với tấm FGM có chiều dày
khơng đổi, các tính chất vật liệu P( z ) biến đổi theo phương chiều dày (z) theo quy luật
hàm lũy thừa được viết dưới dạng:

P ( z ) = Pm + ( Pc − Pm ) Vc ( z )

(1-3)

Hình 1-4: Biến thiên của mơ đun đàn hồi E theo chiều cao dầm P-FGM
trong đó, hàm tỷ lệ thể tích thành phần gốm Vc ( z ) tuân theo quy luật hàm lũy
thừa:
k

 z 1
Vc ( z ) =  + ÷
 h 2

(1-4)

với k là chỉ số tỷ lệ thể tích.
Giá trị của chỉ số tỷ lệ thể tích k có thể thay đổi từ “0” cho đến “∞” biểu diễn sự
chuyển tiếp vật liệu từ bề mặt giàu gốm đến bề mặt giàu kim loại. Khi k = 0 tương ứng
với tấm thuần nhất bằng vật liệu gốm và k = ∞ tương ứng với tấm thuần nhất bằng vật
liệu kim loại.
Biến thiên của mô đun đàn hồi E theo chiều dày của tấm bằng vật liệu FGM với
các vật liệu thành phần Al/Al 2O3-1 ứng với các chỉ số tỷ lệ thể tích k khác nhau được
thể hiện trên đồ thị Hình 1 -4. Ta thấy với k < 1, mô đun đàn hồi biến thiên rất nhanh
tại các lớp gần mặt trên của tấm; ngược lại, với k > 1, mô đun đàn hồi biến thiên rất


8
nhanh tại các lớp gần mặt dưới của tấm; khi k = 1 là trường hợp các thành phần
ceramic và kim loại phân bố tuyến tính theo chiều dày thành kết cấu.
b. Quy luật hàm mũ (E-FGM)
Mơ hình vật liệu FGM này được hầu hết các nhà khoa học sử dụng khi phân
tích về cơ học phá hủy [5, 6]. Theo quy luật này, các tính chất vật liệu P( z ) được thể
hiện bằng quy luật hàm mũ với cơ số tự nhiên:

P ( z ) = Pc e

 2z 
− k  1− ÷
 h 

(1-5)

1 P 
trong đó k = ln  c ÷ là tham số vật liệu của vật liệu E-FGM.
2  Pm 

Hình 1-5: Biến thiên của mô đun đàn hồi E theo chiều cao dầm E-FGM
Trên Hình 1 -5 là đồ thị biểu diễn sự biến thiên của mô đun đàn hồi E dọc
chiều dày của tấm theo quy luật hàm mũ. Có thể thấy rằng khi k nhỏ (gần với giá trị 0),
biến thiên của mô đun đàn hồi E gần như tuyến tính; sự biến thiên phi tuyến thật sự rõ
ràng khi k đủ lớn (gần với giá trị 1).
c. Quy luật hàm sigmoid (S-FGM)


9

Hình 1-6: Biến thiên của mơ đun đàn hồi E theo chiều cao dầm S-FGM
Các quy luật hàm lũy thừa và quy luật hàm mũ được sử dụng để mô tả các
thuộc tính biến đổi trơn của vật liệu FGM, tuy nhiên theo cả hai quy luật này, sự tập
trung ứng suất xuất hiện tại các mặt mà ở đó vật liệu liên tục nhưng thay đổi nhanh. Để
khắc phục vấn đề này, Chung và Chi [7] đề xuất một quy luật khác gọi là quy luật hàm
sigmoid, đây là sự kết hợp của hai hàm lũy thừa. Quy luật này khơng là quy luật độc
lập, nó gồm hai lớp FGM đối xứng với sự phân bố lũy thừa. Chi và Chung [8, 9] cũng
cho rằng việc sử dụng quy luật sigmoid làm giảm hệ số tập trung ứng suất trong vật

thể có vết nứt. Theo luật này, hai hàm lũy thừa được định nghĩa bởi:
k

1  2z 
h
V1 ( z ) = 1 −  1 − ÷ ,0 ≤ z ≤ ;
2
h 
2
(1-6)
k

1  2z 
h
V2 ( z ) = 1 + ÷ , − ≤ z ≤ 0
2
h 
2
và theo đó, các tính chất vật liệu P( z ) được thể hiện dưới dạng sau:

 1  2 z k 
h
P ( z ) = Pm + ( Pc − Pm ) 1 − 1 − ÷  ,0 ≤ z ≤ ;
h  
2
 2 
 1  2z 
P ( z ) = Pm + ( Pc − Pm ) 1 −  1 + ÷
h 
 2 

k

 h
,− ≤ z ≤ 0
 2

(1-7)


10
Với các giá trị khác nhau của tham số vật liệu p, đồ thị biểu diễn sự biến thiên
của mô đun đàn hồi E được thể hiện trên Hình 1 -6. Biến thiên của mô đun đàn hồi E
theo phương chiều dày tấm cho thấy mô đun đàn hồi là đường thẳng khi p = 1. Khi p ≠
1, sự biến thiên này có dạng hình chữ S nên tấm làm từ loại vật liệu này thường gọi là
tấm S-FGM.
1.2. Tổng quan các nghiên cứu về ổn định phi tuyến cho dầm bằng vật liệu FGM
Mở đầu
Dầm là một trong những cấu kiện đơn giản và thông dụng nhất trong kết cấu
cơng trình. Dầm là cấu kiện có kích thước theo một phương (phương chiều dài) lớn
hơn nhiều so với hai phương cịn lại (kích thước tiết diện).
Kết cấu dầm được sử dụng rộng rãi trong kết cấu cơng trình, dùng để làm dầm
đỡ mái, bản mặt cầu, gân gia cường các kết cấu tấm vả vỏ mỏng, làm khung chịu lực
cho nhà dân dụng (Hình 1 -7), nhà cơng nghiệp (Hình 1 -8); dầm đỡ mái (Hình 1 -9).

Hình 1-7: Cột , dầm trong nhà dân dụng


11

Hình 1-8: Cột , dầm trong nhà cơng nghiệp

Hình 1-9: Dầm đỡ mái
Dầm được sử dụng rộng rãi trong lĩnh vực xây dựng, cầu đường. Khi dầm chịu
tác dụng của tải trọng dọc trục, và giữ cho nó cân bằng, ta nói dầm ở trạng thái ổn
định. Nhưng nếu dầm không quay trở lại được trạng thái cân bằng ban đầu, ta nói dầm
bị mất ổn định. Trị số của tải trọng nén dọc trục khi dầm bắt đầu chuyển sang trạng
thái mất ổn định được gọi là tải trọng tới hạn. Do đó, việc sử dụng các vật liệu mới
trong đó có vật liệu xốp trong các kết cấu chịu lực, đặc biệt là trong các ngành hàng
không, công nghiệp ơ tơ, xây dựng dân dụng; bài tốn ổn định đàn hồi trở nên vô cùng
quan trọng. Những yêu cầu cấp bách trong các bài toán thiết kế gần đây đã thúc đẩy


12
hoạt động nghiên cứu cả trong lĩnh vực lý thuyết và thực nghiệm, các điều kiện ảnh
hưởng lên ổn định của cấu trúc dầm, tấm, vỏ. Bài toán ổn định đàn hồi, xác định tải
trọng tới hạn, lần đầu tiên được xem xét giải quyết cách đây hơn 270 năm bởi Leonard
Euler năm 1744 [10].
1.2.1. Nghiên cứu tổng quan
Vật liệu có cơ tính biến thiên (FGM) là một loại vật liệu composite tiên tiến,
thường được tạo thành từ hỗn hợp các thành phần gốm (ceramic) và kim loại (metal)
[11], trong đó tỷ phần của các vật liệu thành phần thay đổi trơn theo phương chiều dày.
Vì thế, các cơ tính của vật liệu cũng biến đổi trơn và liên tục từ mặt trên xuống mặt
dưới của cấu kiện. Điều này góp phần tránh được sự tập trung ứng suất gây ra bởi sự
gián đoạn các pha vật liệu như trong vật liệu composte lớp và composte cốt sợi. Do tận
dụng được đặc tính kháng nhiệt và kháng ăn mịn của gốm, kết hợp với độ bền dẻo của
kim loại, vật liệu FGM được sử dụng rộng rãi trong nhiều ứng dụng kỹ thuật, đặc biệt
là cho các kết cấu làm việc trong môi trường nhiệt độ cao như ngành hàng khơng vũ
trụ, các lị phản ứng nhiệt hạch và cơng nghiệp hạt nhân.
Với sự phát triển nhanh chóng trong cơng nghệ cấu trúc phần tử (structure

elements), kết cấu với lỗ rỗng vi mô được xem là một trong những phát triển mới nhất
về vật liệu FGM. Lỗ rỗng vi mô hình thành trong FGM do một số nguyên nhân khác
nhau nhưng chủ yếu là sự chênh lệch nhiệt độ giữa các pha vật liệu thành phần trong
quá trình chế tạo FGM [12]. Các nghiên cứu về ảnh hưởng của lỗ rỗng chủ yếu được
thực hiện nhằm phân tích các đặc trưng dao động của dầm FGM [13-17]. Liu và cộng
sự [18] nghiên cứu ổn định nhiệt của dầm sandwich FGM có lỗ rỗng vi mơ, liên kết
hai đầu ngàm sử dụng mơ hình dầm biến dạng cắt bậc cao có xét đến yếu tố mặt trung
hòa. Shafiei và Kazemi [19] nghiên cứu ổn định phi tuyến của dầm FGM có lỗ rỗng vi
mơ dựa trên mơ hình dầm Euler-Bernoulli và phương pháp vi phân cầu phương.
Shafiei, N. and M. Kazemi [20] nghiên cứu ổn định của dầm FGM tiết diện thay đổi,
có lỗ rỗng vi mơ theo hai phương sử dụng mơ hình Euler–Bernoulli và phương pháp vi
phân cầu phương. Phượng và cộng sự [21] phân tích uốn dầm FGM có lỗ rỗng vi mơ
đặt trên nền đền hồi sử dụng mơ hình dầm Timoshenko và dạng nghiệm Navier.
Gần đây, các kết cấu nhẹ sử dụng vật liệu xốp (porous material) như bọt kim loại
(metal foam) được sử dụng rộng rãi trong nhiều ngành công nghiệp như: hàng không,


13
ơ tơ, đóng tàu, xây dựng dân dụng, … Ở vật liệu xốp, các lỗ rỗng (porous) phân bố
theo một phương nhất định trong kết cấu tạo nên sự thay đổi trơn và liên tục các đặc
trưng cơ học của vật liệu. Loại vật liệu này vì thế có trọng lượng nhẹ, có khả năng hấp
thụ năng lượng tốt, thường được sử dụng để chế tạo kết cấu sandwich, tấm tường, sàn
cách âm, cách nhiệt. Do sở hữu nhiều đặc tính nổi trội như vậy nên các kết cấu sử
dụng vật liệu xốp nói chung và dầm bằng vật liệu xốp nói riêng ngày càng thu hút
được sự quan tâm nghiên cứu của các nhà khoa học trong và ngoài nước. Ứng xử tĩnh
và động của kết cấu dầm sử dụng vật liệu xốp đã được khảo sát bởi nhiều tác giả. Tang
và cộng sự [22] nghiên cứu ổn định của dầm Euler–Bernoulli với các mơ hình rỗng hai
chiều. Anirudh và cộng sự [23] xây dựng mơ hình phần tử hữu hạn dựa trên lý thuyết
dầm bậc cao và phần tử liên tục C 1 ba nút nghiên cứu uốn, ổn định và dao động riêng
của dầm cong vật liệu rỗng gia cường sợi nano carbon (graphene-reinforced

nanocomposite). Barati và Zenkour [24, 25] nghiên cứu ứng xử sau ổn định của dầm
xốp với hai quy luật phân bố lỗ rống: đối xứng và bất đối xứng, sử dụng mơ hình dầm
bậc cao cải tiến có xét đến mặt trung hịa và độ khơng hồn hảo ban đầu. Chen và cộng
sự [26] phân tích uốn và ổn định của dầm xốp với các điều kiện biên khác nhau dựa
trên mơ hình dầm Timoshenko và phương pháp Ritz.
Hầu hết các nghiên cứu trên đã xây dựng mơ hình tính với trục tọa độ quy chiếu
trùng với mặt phẳng trung bình. Nhưng do tính khơng đối xứng về các tính chất cơ học
của vật liệu FGM đối với mặt trung bình, các tương tác màng-uốn vẫn tồn tại không
như đối với vật liệu đẳng hướng. Một số tác giả [27-29] đã chỉ ra rằng hiệu ứng mànguốn trong các phương trình quan hệ sẽ được loại bỏ nếu mặt phẳng tham chiếu được
lựa chọn hợp lý. Ngoài ra một hạn chế khác trong các phân tích trước đó là các tác giả
thường khai triển nghiệm xấp xỉ dưới dạng chuỗi lượng giác, chuỗi đa thức hoặc thơng
qua nghiệm phần tử hữu hạn; vì thế độ chính xác của các lời giải ít nhiều bị hạn chế.
Các nghiên cứu về dầm bằng vật liệu FGM ở Việt Nam
Cùng với sự hội nhập mạnh mẽ của nền kinh tế Việt Nam với thế giới trong
nhiều lĩnh vực, sự phát triển của đất nước gắn liền với cơng cuộc cơng nghiệp hóa và
hiện đại hóa, nhu cầu nghiên cứu và phát triển những loại vật liệu tiên tiến có những
tính năng ưu việt thay thế cho các loại vật liệu truyền thống trở thành một cuộc chạy
đua giữa các quốc gia, các trung tâm nghiên cứu và các nhà khoa học. Các nhà khoa
học Việt Nam trong thập kỷ trở lại đây đã có những đóng góp nổi bật trong lĩnh vực cơ