Bài 6 bài TOÁN đồ THỊ TRONG DAO ĐỘNG điều hòa

CHƯƠNG 1
BÀI 6: BÀI TOÁN ĐỒ THỊ TRONG DAO ĐỘNG ĐIỀU HỊA
Mục tiêu
 Kiến thức
+ Trình bày được cách vẽ đồ thị hình sin trong dao động điều hịa và đồ thị mối quan hệ giữa các
đại lượng dao động điều hịa.
+ Trình bày được hai cách xác định được độ lệch pha giữa hai dao động từ đồ thị.
 Kĩ năng
+

Rèn luyện được kĩ năng quan sát, phân tích, so sánh, tư duy logic.

+ So sánh được pha của hai dao động từ đồ thị.

I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Bài tốn đồ thị hình sin trong dao động điều hịa
Hình dáng đồ thị dao động
Xét

một

chất

điểm

dao

động

điều

hịa

x  A cos  t    . Phương trình được biểu diễn bởi đồ

thị li độ theo thời gian là một đường hình sin và gọi là
dao động hình sin.
Trục tung biểu diễn li độ của dao động biến thiên trong
khoảng từ  A đến A, trục hoành là trục thời gian, với T
là chu kì của dao động.
Một số vị trí đặc biệt trên đồ thị
Vị trí ban đầu t  0 có li độ x 0 bất kì
 x 0  A cos      arccos

x0
A

Nếu sau đó đồ thị đi lên (x tăng) thì   0 cịn nếu đồ thị
sau đó đi xuống (x giảm) thì   0 .
 Thời điểm t1 có li độ x   A
 A  A cos  t1     cos  t1     1 .

 Thời điểm t 2 có li độ x  0  cos  t 2     0 .
 Thời điểm t 3 có li độ x   A  cos  t 3     1 .
Từ các mối quan hệ suy được trên sẽ suy ra được các đại
lượng cần tìm.
Trang 1


Tuy nhiên, khi làm các bài toán về đồ thị, thường sử
dụng mối quan hệ giữa chuyển động tròn đều và dao

động điều hịa để xử lí nhanh hơn.
Một số thời điểm đặc biệt trên đồ thị và đường tròn
Xét một chất điểm dao động điều hịa theo phương trình
x  A cos  t    .

 Tại t  0 , nếu x  x 0  0 và đồ thị hướng lên vị trí
ban đầu M0 của chuyển động trịn đều tương ứng thuộc
góc phần tư thứ IV, dao động tới biên dương tại thời
điểm t1 , qua vị trí cân bằng lần đầu tiên tại thời điểm

t 2 , rồi về tới biên âm tại thời điểm t 3 .
 Tại t  0 , nếu x  x 0  0 và đồ thị hướng lên vị trí
ban đầu M0 của chuyển động trịn đều tương ứng thuộc
góc phần tư thứ III, dao động tới vị trí cân bằng tại thời
điểm t1 , lên tới biên dương lần đầu tiên tại thời điểm t 2 ,
rồi về vị trí cân bằng lần thứ hai tại thời điểm t 3 .
 Tại t  0 , nếu x  x 0  0 và đồ thị đi xuống thì vị trí
ban đầu M0 của chuyển động trịn đều tương ứng thuộc
góc phần tư thứ I, dao động qua vị trí cân bằng lần đầu
tiên tại thời điểm t1 , tới biên âm tại thời điểm t 2 , rồi
qua vị trí cân bằng lần thứ hai tại thời điểm t 3 .
 Tại t  0 , nếu x  x 0  0 và đồ thị đi xuống thì vị trí
ban đầu M0 của chuyển động trị đều tương ứng thuộc
góc phần tư thứ II, dao động tới biên âm tại thời điểm

t1 , qua vị trí cân bằng tại thời điểm t 2 , rồi về tới biên
dương tại thời điểm t 3 .
2. So sánh hai đồ thị hình sin trong dao động cơ học.
Độ lệch pha của hai dao động
Xét hai chất điểm dao động điều hòa cùng tần số trên

trục Ox có đồ thị dao động như hình vẽ.

Trang 2


Có hai cách xác định độ lệch pha:
Dựa vào t1 , t 2 thuộc hai đỉnh gần nhau nhất của hai đồ
thị:
Độ lệch pha:     t 2  t1 
Dựa vào giao điểm x 0 của 2 đồ thị. Đường trịn trong có
biên độ nhỏ A1 biểu diễn cho dao động (1), đường trịn
ngồi A2 biểu diễn cho dao động (2).
Xác định vị trí giao x 0 trên trục Ox, dựng đường vng
góc tại x 0 cắt đường tròn (1) tại M1 ở nửa trên theo
chiều âm (do đồ thị (1) đang đi xuống qua x 0 ); cắt
đường tròn (2) tại M2 ở nửa dưới theo chiều dương (do
đồ thị (2) đang đi lên qua x 0 ).
Từ hình vẽ ta có độ lệch pha:

  1  2 với cos 1 

x0
x
, cos 2  0 .
A1
A2

3. Đồ thị sự phụ thuộc của các đại lượng dao động
điều hòa
Các đại lượng dao động điều hòa theo thời gian có sự

phụ thuộc vào nhau theo một biểu thức độc lập với thời

Đồ thị sự phụ thuộc của một số đại lượng:

gian, khi đó ta có thể vẽ được đồ thị sự phụ thuộc nếu
biết dạng biểu thức.
Nếu hai đại lượng b và c vuông pha (x và v, v và a,…) ta
2

2

 b   c 
có sự phụ thuộc là 
 
  1 nên đồ thị sự
 b max   cmax 

phụ thuộc có dạng hình elip.
Nếu hai đại lượng b và c cùng pha hoặc ngược pha (x và
a ngược pha, a và F cùng pha,…) ta có sự phụ thuộc
dạng b  kc với k là hệ số phụ thuộc nên đồ thị sự phụ
thuộc có dạng đoạn thẳng đi qua gốc tọa độ.
Trang 3


II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Bài toán 1: Bài toán đồ thị các đại lượng dao động điều hòa theo thời gian
Phương pháp giải
Xét đại lượng b (b có thể là x, v, a,…) dao động điều
hịa với phương trình b  B cos  t    .

Đồ thị của b có dạng hình sin theo thời gian.
Ta cần đọc được giá trị biên độ B, chu kì T và pha
ban đầu  từ đồ thị.
- Xác định biên độ B: Đọc giá trị B trên trục b ứng

Ví dụ: Tìm phương trình dao động có đồ thị như
sau:

với điểm cao nhất của đồ thị.
- Xác định pha ban đầu  :
Xét tại thời điểm t  0 : Đồ thị cắt trục b tại điểm b0 ,
suy ra b0  Bcos  . Kết hợp với hình ảnh đồ thị sau
t  0 thì b tăng hay giảm để chọn nghiệm  .

Phương

Nếu b tăng thì   0 cịn b giảm thì   0 .

x  A cos  t    .

trình

dao

động

có

dạng

- Xác định T: Nhìn vào các giá trị đề bài đã cho biết Từ đồ thị ta thấy:
trên trục thời gian t để tìm khoảng thời gian tương
ứng, từ đó xác định được T.

Biên độ A  5cm .
Ở thời điểm t  0 vật ở vị trí thấp nhất

x0  A     .
Trên trục t cho biết ở thời điểm t  1s vật đang ở
vị trí cao nhất, vậy khoảng thời gian t  1s ứng
với thời gian vật đi từ vị trí biên âm tới biên
dương nên
t  1s 

T
 T  2s     rad/s .
2

Vậy ta có phương trình dao động:
x  5cos  t    cm .

Trang 4


Ví dụ mẫu
Ví dụ 1: Một vật dao động điều hịa
trên trục Ox có đồ thị biểu diễn sự
phụ thuộc của li độ x vào thời gian t
như hình vẽ, pha ban đầu của dao
động là

A. 10t 
C. 


2


2

B. 10t 
D. 


2


2

Hướng dẫn giải
Từ đồ thị ta thấy ban đầu ( t  0 ) vật ở vị trí x  0 , đồ thị hướng xuống
nên x đang giảm    0 .
 x  A cos   0

 .
Ta có: 
2
  0

Chọn D.
Ví dụ 2: Một vật dao động điều hịa trên trục Ox có đồ thị biểu diễn sự

phụ thuộc của li độ x vào thời gian t như hình vẽ. Viết phương trình dao
động.



A. x  4 cos  t   cm
4




B. x  2 cos  t   cm
4




C. x  4 cos  t   cm
4




D. x  2 cos  t   cm
4


Hướng dẫn giải
Dựa vào hình vẽ ta thấy biên độ A  4cm .
Ở thời điểm t  0 , chất điểm ở vị trí có trạng thái:



 x  2 2  4cos 
    rad .

4

v  0    0
Thời gian vật đi từ vị trí ban đầu tới vị trí biên gần nhất:

Trang 5


1
T
t  s   T  2s     rad/s .
4
8


Vậy phương trình dao động của vật: x  4 cos  t   cm .
4


Chọn A.
Ví dụ 3: Một chất điểm dao động điều
hịa có đồ thị li độ như hình vẽ. Tìm
phương trình dao động của vật?
2 


A. x  4 cos  2t   cm
3 


7 

B. x  4 cos  t 
 cm
4 

3 

C. x  4 cos  2t   cm
4 

3 

D. x  4 cos  t   cm
4 


Hướng dân giải
Biên độ dao động A  4cm .
Vị trí x  2 2 cm trên đường tròn biên độ 4 cm   


rad .
2

 19 13  
Suy ra:         2 rad/s .
 24 24  2

Ban đầu có li độ âm và đồ thị giảm nên
được biểu diễn bởi điểm M0 trên đường
tròn.
Pha dao động tại N:
N  t N    2 




13

 2.    2 
2
24
4

2
rad .
3

2 

Vậy phương trình dao động: x  4 cos  2t   cm .
3 


Chọn A.
Ví dụ 4: Một chất điểm dao động điều hòa theo trục Ox với O trùng với vị
trí cân bằng của chất điểm. Đường biểu diễn sự phụ thuộc li độ chất điểm
theo thời gian t cho ở hình vẽ. Phương trình vận tốc của chất điểm là:

Trang 6




A. v  30 cos  5t   cm/s
6




B. v  60 cos 10t   cm/s
3




C. v  60 cos 10t   cm/s
6




D. v  30 cos  5t   cm/s
3



Hướng dẫn giải
Từ đồ thị, ta thấy điểm cao nhất của đồ thị ứng với x  6cm  A .
Tại thời điểm ban đầu ( t  0 ) vật đi qua vị trí x  3cm theo chiều
dương, sau khoảng thời gian 0,2 s thì trạng thái này lặp lại. Vậy chu kì của
2
dao động: T  0, 2s   
 10 rad/s .
T
 x  3  6 cos 
2

Trạng thái của vật tại thời điểm ban đầu: 
3
v  0

Phương trình dao động của vật:
2 



x  6 cos 10t 
  cm   v  60 cos 10t    cm/s  .
3 
6



Chọn C.

Bài toán 2: Đồ thị của nhiều đại lượng dao động trên cùng một hình vẽ
Phương pháp giải
Để xác định độ lệch pha giữa hai dao động từ đồ Ví dụ: Hai chất điểm tham gia đồng thời hai dao
thị, ta dựa vào lý thuyết sau:

động điều hịa cùng phương có đồ thị như hình vẽ.

 Nếu đồ thị cho biết hai thời điểm t1 và t 2 ứng Tìm độ lệch pha của hai dao động?
với hai đỉnh gần nhau nhất của hai đồ thị, ta áp
dụng công thức:     t 2  t1  .
 Nếu đồ thị cho biết vị trí gặp nhau thì ta làm theo
các bước sau:

Bước 1: Xác định A1 , A2 , x 0 từ đồ thị.

Hướng dẫn giải
Bước 1: Từ hình vẽ ta thấy:

A1  8cm, A2  10cm, x 0  4cm .

Trang 7


x0

cos 1  A

1
Bước 2: Tìm 1 , 2 : 
cos   x 0

2

A2

4



cos 1  8
1 
Bước 2: Ta có: 

3
4
cos  
2  1,16
2

10

Bước 3: Độ lệch pha   1  2

Bước 3: Độ lệch pha:

Nếu bài yêu cầu tính khoảng cách xa nhất của hai

  1  2 


 1,16  2, 2 rad .

3

chất điểm thì áp dụng cơng thức (đã học ở bài 5):
max    A12  A 22  2A1A 2 cos   

Ví dụ mẫu
Ví dụ 1: Cho đồ thị li độ hai dao động điều hòa với chu kì 1,2 s. Tìm
khoảng cách xa nhất giữa hai chất điểm trên phương dao động?
A. 2 cm

B. 5 cm

C. 7 cm

D. 8 cm

Hướng dẫn giải
Từ đồ thị ta thấy hai đỉnh gần nhau nhất của hai đồ thị ứng với thời điểm

t1  0,3s và t 2  0,7s .
Độ lệch pha của hai dao động:     t 2  t1  

2
2
 0, 7  0,3  rad .
1, 2
3

Khoảng cách xa nhất giữa hai chất điểm trên phương dao động:

max    A12  A 22  2A1A 2 cos     25  9  2.3.5cos

2
 7 cm .
3

Chọn C.
Ví dụ 2: Hai chất điểm tham gia đồng thời hai dao động điều hịa cùng
phương có đồ thị như hình vẽ. Tìm khoảng cách xa nhất trên phương dao
động?

Trang 8


A. 2 cm

B. 4 cm

C. 6 cm

D. 4 3 cm

Hướng dẫn giải
Từ đồ thị ta thấy hai vật giao nhau ở tọa độ x 0  2cm , hai chất điểm dao
động cùng biên độ A  4cm .
Như vậy tại cùng một thời điểm t có điểm cắt

M1 thuộc (1) theo chiều âm, điểm cắt M2 thuộc
(2) theo chiều dương.
Ta có: cos 1 

x0 1

  cos 2  1  2  .
A 2
3

Độ lệch pha của hai dao động:   1  2 

2
rad .
3

Khoảng cách xa nhất của hai vật trên phương dao động:

max  16  16  2.4.4cos

2
 4 3 cm .
3

Chọn D.
Ví dụ 3: Hai chất điểm tham gia đồng thời hai dao động điều hịa cùng
phương và có đồ thị như hình vẽ. Tìm khoảng cách xa nhất giữa hai chất
điểm.
A. 3 2 cm

B. 3 cm

C. 3 3 cm

D. 6 cm

Hướng dẫn giải
Từ đồ thị ta có A1  3cm, A2  6cm, x 0  3cm .
 x1  x 0  A1  1  0


A
Tại thời điểm t hai vật gặp nhau tại x 0 có  x 2  x 0  2

2  2 

3
 2  0

Độ lệch pha của hai dao động:   2  1 


rad .
3

Khoảng cách xa nhất giữa hai chất điểm:

max  A12  A 22  2A1A 2 cos    9  36  2.3.6cos


 3 3 cm .
3

Chọn C.
Trang 9


Bài toán 3: Đồ thị mối quan hệ giữa các đại lượng x, v, a
Phương pháp giải
Để vẽ được đồ thị cũng như đọc được các giá trị từ đồ thị đã cho, ta cần tìm được sự phụ thuộc giữa các
đại lượng và nhận biết được hình dáng đồ thị tương ứng với sự phụ thuộc đó.
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1: Đồ thị biểu diễn mối quan hệ giữa li độ và vận tốc của một vật
dao động điều hịa có dạng
A. đường hyperbol.

B. đường thẳng.

C. đường elip.

D. đường parabol.

Hướng dẫn giải
Từ phương trình li độ và vận tốc, ta thu được:
2
2

 x  A cos  t  0 
x  v 
  

 1
A


A
v


A
sin

t









0


2

2

x v
Sự phụ thuộc của x và v có dạng:       1
a  b
Vậy đồ thị biểu diễn mối quan hệ x và v có dạng elip.
Chọn C.

Ví dụ 2: Một vật có khối lượng m  0,01kg dao động điều hịa quanh vị
trí x  0 dưới tác dụng của lực được
chỉ ra trên đồ thị như hình vẽ. Chu
kì dao động của vật bằng:
A. 0,256 s

B. 0,152 s

C. 0,314 s

D. 1,255 s

Hướng dẫn giải
Ta có mối quan hệ giữa lực kéo về và li độ x là:

F  ma  m2 x   

F
.
mx

Dựa vào đồ thị ta thấy ở thời điểm li độ x  0, 2m thì lực kéo về có giá
trị là F  0,8 N . Thay vào biểu thức mối quan hệ trên ta có:

Trang 10




F

0,8

 20 rad/s .
mx
0, 01.0, 2

Chu kì của dao động: T 

2
 0,314s .


Chọn C.

Bài tập tự luyện
Câu 1: Vận tốc của một vật dao động điều hòa phụ thuộc vào thời gian theo đồ thị như hình vẽ. Mốc thời
gian được chọn là lúc chất điểm
A. ở biên dương.
B. qua vị trí cân bằng theo chiều dương.
C. ở biên âm.
D. qua vị trí cân bằng theo chiều âm.
Câu 2: Cho một chất điểm dao động điều hòa, sự phụ thuộc của li độ vào thời gian được biểu diễn trên đồ
thị như hình vẽ. Lấy gần đúng 2  10 . Phương trình gia tốc của chất điểm là
5 

A. a  20 cos  t   cm/s 2
6 

5 


B. a  20 cos  t   cm/s 2
6 

5 

C. a  40 cos  t   cm/s 2
6 

  5 
D. a  40 cos  t   cm/s 2
6 
2

Câu 3: Đồ thị li độ theo thời gian của chất điểm 1 (đường 1) và chất
điểm 2 (đường 2) như hình vẽ, tốc độ cực đại của chất điểm 2 là
3 cm/s . Không kể thời điểm t  0 , thời điểm hai chất điểm có cùng li
độ lần thứ 4 là
A. 4,0 s

B. 3,25 s

C. 3,75 s

D. 4,67 s

Câu 4: Cho một chất điểm dao động điều hòa, sự phụ thuộc của li độ vào thời gian được biểu diễn trên đồ
thị như hình vẽ. Phương trình li độ của chất điểm là


A. x  6 cos 1, 25t   cm

3



B. x  6 cos  2,5t   cm
3



C. x  6 cos  5t   cm
3


Trang 11




D. x  6 cos  2,5t   cm
3


Câu 5: Đồ thị biểu diễn sự biến thiên của vận tốc theo li độ trong dao động điều hịa có hình dạng nào sau
đây?

A. Parabol

B. Trịn

C. Elip

D. Hyperbol

Câu 6: Đồ thị nào sau đây cho biết mối liên hệ đúng giữa gia tốc a và li độ x trong dao động điều hịa của
một chất điểm?

A. Hình I

B. Hình III

C. Hình IV

D. Hình II

Câu 7: Một vật dao động điều hịa quanh vị trí cân bằng, đồ
thị biểu diễn sự phụ thuộc của vận tốc vào li độ như trên hình
vẽ. Chu kì dao động của vật bằng:
A. 0,5  s 

B.   s 

C. 0,5  s 

D. 1  s 

Câu 8: Hai vật có cùng khối lượng 100g dao động điều hòa cùng tần số dọc theo hai đường thẳng song
song kề nhau và song song với trục Ox. Vị trí cân bằng của hai
dao động đều nằm trên một đường thẳng qua O và vuông góc với
Ox. Đồ thị (1), (2) lần lượt biểu diễn mối quan hệ giữa lực kéo về
Fkv và li độ x của vật 1 và vật 2. Biết tại thời điểm t, li độ của vật

1 bằng đúng biên độ của vật 2. Tìm tốc độ của vật 1 ở thời điểm t
đó?
A. 10 3 cm/s

B. 10 cm/s

C. 20 3 cm/s

D. 20 cm/s

Câu 9: Hai vật M1 và M2 dao động điều hịa cùng tần số. Hình bên là đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của
li độ x1 của M1 và vận tốc v 2 của M2 theo thời gian t. Hai dao động của M2 và M1 lệch pha nhau:
A.


3

B.

2
3

C.

5
6

D.



6

Trang 12


Câu 10: Một chất điểm tham gia đồng thời hai dao động điều hòa mà sự phụ thuộc của li độ vào thời gian
được biểu diễn trên đồ thị như hình vẽ. Lấy gần đúng 2  10 . Phương trình dao động của chất điểm là
A. x  9 cos  3t    cm
B. x  10 cos  3t  1, 45  cm
C. x  9 cos  3t  1, 45  cm
D. x  10 cos  3t    cm

ĐÁP ÁN
1-D

2-C

3-A

4-D

5-C

6-A

7-A

8-A

9-C

10 - B

Trang 13