De-tiểu-luận_GT-Fourier_K40K41

Đề tiểu luận
Học phần: Giải tích Fourier
Lớp Cao học K40 và K41
Nội dung 1: Phát biểu khái niệm hàm điều hòa dưới trên một tập mở
trong C; nêu và chứng các tính chất cơ bản của nó?
Nội dung 2: Cho h(x + iy) = ex (x cos y − y sin y). Chứng minh rằng,
h là hàm điều hòa trên C, và tìm hàm chỉnh hình f trên C sao cho h = Ref .
Nội dung 3: Cho A là một tập con của không gian mêtric X. Gọi 1A
là hàm đặc trưng của tập hợp A, tức là hàm xác định như sau:
(
1 nếu x ∈ A
1A (x) =
, ∀x ∈ X.
0 nếu x ̸= A
Chứng minh rằng, hàm 1A là hàm nửa liên tục trên trên X nếu và chỉ nếu
A là một tập đóng trong X.
Nội dung 4: Cho u và v là các hàm điều hòa dưới trên một tập mở U
trong C. Khi đó
(a) max(u, v) là điều hòa dưới trên U.
(b) αu + βv là điều hòa dưới trên U với mọi α, β ⩾ 0.
Nội dung 5: Cho u1 , ..., un là các hàm điều hòa dưới trên miền D ⊂ C
và giả sử hàm u1 + ... + un đạt cực đại trên D. Chứng minh rằng, mỗi hàm
uj , j = 1, ..., n là điều hòa trên D.
——- Hết——-

1