DẠY THÊM TOÁN LỚP 11 CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ LIÊN TỤC, ĐẠO HÀM BẰNG ĐỊNH NGHĨA, QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM – PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN, ĐẠO HÀM HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC, VI PHÂN VÀ ĐẠO HÀM CẤP CAO (BÀI TẬP + ĐÁP ÁN)

TOÁN 11

HÀM SỐ LIÊN TỤC

C. Nếu hàm số f ( x ) liên tục, tăng trên [ a; b ] và f ( a ) f ( b ) > 0 thì phương trình f ( x ) = 0

1D4-3

khơng có nghiệm trong khoảng ( a; b ) .
D. Nếu phương trình f ( x ) = 0 có nghiệm trong khoảng ( a; b ) thì hàm số f ( x ) phải liên tục trên

Contents

( a; b ) .

DẠNG 1. CÂU HỎI LÝ THUYẾT.................................................................................................................................. 1
DẠNG 2. LIÊN TỤC TẠI MỘT ĐIỂM........................................................................................................................... 3

Câu 3.

Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên đoạn [ a; b] . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Dạng 2.1 Xét tính liên tục tại điểm của hàm số............................................................................................................ 3

A. Nếu f ( a ). f (b) > 0 thì phương trình f ( x ) = 0 khơng có nghiệm nằm trong ( a; b ) .

Dạng 2.1 Điểm gián đoạn của hàm số .......................................................................................................................... 4

B. Nếu f (a ). f (b) < 0 thì phương trình f ( x ) = 0 có ít nhất một nghiệm nằm trong ( a; b ) .

Dạng 2.3 Bài toán chứa tham số................................................................................................................................... 4

C. Nếu f ( a ). f (b) > 0 thì phương trình f ( x) = 0 có ít nhất một nghiệm nằm trong ( a; b ) .

DẠNG 3. LIÊN TỤC TRÊN KHOẢNG ........................................................................................................................ 11

D. Nếu phương trình f ( x ) = 0 có ít nhất một nghiệm nằm trong ( a; b ) thì f ( a ). f (b) < 0 .

Dạng 3.1 Xét tính liên tục trên khoảng của hàm số.................................................................................................... 11

Câu 4.

Dạng 3.2 Bài toán chứa tham số................................................................................................................................. 12

Cho đồ thị của hàm số y = f ( x ) như hình vẽ sau:
y
7

DẠNG 4. CHỨNG MINH PHƯƠNG TRÌNH CĨ NGHIỆM ....................................................................................... 14

6
5

DẠNG 1. CÂU HỎI LÝ THUYẾT................................................................................................................................ 15

4

DẠNG 2. LIÊN TỤC TẠI MỘT ĐIỂM......................................................................................................................... 15

3
2

Dạng 2.1 Xét tính liên tục tại điểm của hàm số.......................................................................................................... 15

1

x

Dạng 2.1 Điểm gián đoạn của hàm số ........................................................................................................................ 16

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

-1

Dạng 2.3 Bài toán chứa tham số................................................................................................................................. 17

-2

Dạng 3.1 Xét tính liên tục trên khoảng của hàm số.................................................................................................... 24

Chọn mệnh đề đúng.
A. Hàm số y = f ( x ) có đạo hàm tại điểm x = 0 nhưng không liên tục tại điểm x = 0 .

Dạng 3.2 Bài toán chứa tham số................................................................................................................................. 26

B. Hàm số y = f ( x ) liên tục tại điểm x = 0 nhưng khơng có đạo hàm tại điểm x = 0 .

DẠNG 3. LIÊN TỤC TRÊN KHOẢNG ........................................................................................................................ 24

C. Hàm số y = f ( x ) liên tục và có đạo hàm tại điểm x = 0 .

DẠNG 4. CHỨNG MINH PHƯƠNG TRÌNH CĨ NGHIỆM ....................................................................................... 29

D. Hàm số y = f ( x ) không liên tục và khơng có đạo hàm tại điểm x = 0 .
Câu 5.

Hình nào trong các hình dưới đây là đồ thị của hàm số không liên tục tại x = 1 ?

DẠNG 1. CÂU HỎI LÝ THUYẾT
Câu 1.

(THPT THẠCH THANH 2 - THANH HÓA - LẦN 1 - 2018) Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên

( a; b ) . Điều kiện cần và đủ để hàm số liên tục trên [ a; b ] là
A. lim f ( x ) = f ( a ) và lim f ( x ) = f ( b ) .

B. lim f ( x ) = f ( a ) và
x →a
x→b
x →a
C. lim f ( x ) = f ( a ) và lim f ( x ) = f ( b ) .
D. lim f ( x ) = f ( a ) và
x →a
x→b
x →a
Câu 2.

lim f ( x ) = f ( b ) .

+

+

−

x → b−

+

−

−

x → b+

lim f ( x ) = f ( b ) .

A.

.

B.

.

(THPT LÊ HOÀN - THANH HÓA - LẦN 1 - 2018) Cho hàm số f ( x ) xác định trên [ a; b ] .
Tìm mệnh đề đúng.
A. Nếu hàm số f ( x ) liên tục trên [ a; b ] và f ( a ) f ( b ) > 0 thì phương trình f ( x ) = 0 khơng có
nghiệm trong khoảng ( a; b ) .
B. Nếu f ( a ) f ( b ) < 0 thì phương trình f ( x ) = 0 có ít nhất một nghiệm trong khoảng ( a; b ) .
1

2


C. Hàm số liên tục tại x = 1 .

D. Hàm số liên tục tại x =

1
.
2

Câu 11. (THPT NAM TRỰC - NAM ĐỊNH - 2018) Hàm số nào sau đây liên tục tại x = 1 :
x 2 + x +1
x2 − x − 2

x 2 + x +1
x +1
A. f ( x ) =
. B. f ( x) =
. C. f ( x ) =
. D. f ( x ) =
.
x −1
x 2 −1
x
x −1
Dạng 2.1 Điểm gián đoạn của hàm số
C.
Câu 6.

.

D.

.

Câu 12.

(Thi thử SGD Hưng Yên) Cho các mệnh đề:
1. Nếu hàm số y = f ( x ) liên tục trên ( a; b ) và f ( a ) . f ( b ) < 0 thì tồn tại x0 ∈ ( a; b ) sao cho

(

f ( x0 ) = 0 .

2. Nếu hàm số y = f ( x ) liên tục trên [ a ; b ] và f ( a ) . f ( b ) < 0 thì phương trình f ( x ) = 0 có
nghiệm.
3. Nếu hàm số y = f ( x ) liên tục, đơn điệu trên [ a; b ] và f ( a ) . f ( b ) < 0 thì phương trình
f ( x ) = 0 có nghiệm duy nhất.
A. Có đúng hai mệnh đề sai.
C. Cả ba mệnh đề đều sai.

Câu 13.

Câu 8.

Câu 14.

B. Cả ba mệnh đề đều đúng.
D. Có đúng một mệnh đề sai.

Câu 15.

1 − x3

, khi x < 1
Cho hàm số y =  1 − x
. Hãy chọn kết luận đúng
1
, khi x ≥ 1

A. y liên tục phải tại x = 1 .
B. y liên tục tại x = 1 .
C. y liên tục trái tại x = 1 .
D. y liên tục trên ℝ .

C. y = x 4 − 2 x 2 + 1

x
gián đoạn tại điểm x0 bằng?
x +1
A. x0 = 2018 .
B. x0 = 1 .
C. x0 = 0

D. y = tan x .

Hàm số y =

D. x0 = −1 .

x −3
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
x2 −1
A. Hàm số không liên tục tại các điểm x = ±1 . B. Hàm số liên tục tại mọi x ∈ ℝ .
C. Hàm số liên tục tại các điểm x = −1 .
D. Hàm số liên tục tại các điểm x = 1 .
Cho hàm số y =

( )

 x 2 − 7 x + 12
khi x ≠ 3

Cho hàm số y = 

. Mệnh đề nào sau đây đúng?
x−3
 −1
khi x = 3

A. Hàm số liên tục nhưng khơng có đạo hàm tại x0 = 3 .

C. f ( x ) liên tục tại x = 0 .

D. f ( x ) gián đoạn tại x = 0 .

− x cos x, x < 0
 2
 x
Câu 17. (THPT HAI BÀ TRƯNG - HUẾ - 2018) Cho hàm số f ( x ) = 
, 0 ≤ x < 1 . Khẳng định nào
1 + x
3
 x , x ≥ 1
sau đây đúng?
A. Hàm số f ( x ) liên tục tại mọi điểm x thuộc ℝ .

 x−2
khi x ≠ 2

Cho hàm số f ( x ) =  x + 2 − 2
. Chọn mệnh đề đúng?
4
khi x = 2


A. Hàm số liên tục tại x = 2 .
B. Hàm số gián đoạn tại x = 2 .
C. f ( 4 ) = 2 .
D. lim f ( x ) = 2 .

B. Hàm số f ( x ) bị gián đoạn tại điểm x = 0 .
C. Hàm số f ( x ) bị gián đoạn tại điểm x = 1 .
D. Hàm số f ( x ) bị gián đoạn tại điểm x = 0 và x = 1 .
Dạng 2.3 Bài toán chứa tham số

x→2

Câu 10.

Hàm số nào sau đây gián đoạn tại x = 2 ?
3x − 4
.
B. y = sin x .
x−2

1 − cos x
khi x ≠ 0

Câu 16. (THPT CHUYÊN BẮC NINH - LẦN 1 - 2018) Cho hàm số f ( x ) =  x 2
.
1
khi x = 0
Khẳng định nào đúng trong các khẳng định sau?
A. f ( x ) có đạo hàm tại x = 0 .
B. f 2 < 0 .

B. Hàm số gián đoạn và khơng có đạo hàm tại x0 = 3 .
C. Hàm số có đạo hàm nhưng khơng liên tục tại x0 = 3 .
D. Hàm số liên tục và có đạo hàm tại x0 = 3 .
Câu 9.

)

A. y =

DẠNG 2. LIÊN TỤC TẠI MỘT ĐIỂM
Dạng 2.1 Xét tính liên tục tại điểm của hàm số

Câu 7.

(THPT THUẬN THÀNH - BẮC NINH - 2018) Hàm số nào dưới đây gián đoạn tại điểm
x0 = −1 .
2x −1
x
x +1
A. y = ( x + 1) x 2 + 2 . B. y =
.
C. y =
.
D. y = 2
.
x +1
x −1
x +1

2x −1
. Kết luận nào sau đây đúng?
x3 − x
A. Hàm số liên tục tại x = − 1 .
B. Hàm số liên tục tại x = 0 .
Cho hàm số f ( x ) =

3

4


 x2 − 4
khi x ≠ −2

Câu 18. Tìm m để hàm số f ( x) =  x + 2
liên tục tại x = −2
 m
khi x = −2

A. m = −4 .
B. m = 2 .
C. m = 4 .

Câu 27.
D. m = 0 .

A. m = 0 .

 x −1

khi x ≠ 1

Cho hàm số y = f ( x) =  x − 1
. Giá trị của tham số m để hàm số liên tục tại điểm
2 m + 1 khi x = 1

3

Câu 19.

x0 = 1 là:
A. m = −

1
.
2

B. m = 2 .
2

 x + 3x + 2 khi
Câu 20. Để hàm số y = 
khi
4 x + a
A. −4 .
B. 4.
Câu 21.

Câu 22.

C. m = 1 .

khi x ≠ 1

Câu 29.

liên tục tại x = 1.

Câu 30.

khi x = 1

D. m = 2 .


x 2016 + x − 2
khi x ≠ 1

Cho hàm số f ( x ) =  2018 x + 1 − x + 2018
. Tìm k để hàm số f ( x ) liên tục tại
k
khi x = 1

x =1.

A. k = 2 2019 .

B. k =

2017. 2018

.
2

C. k = 1 .

D. k =

20016
2019 .
2017

Câu 31.

Câu 32.

 x −1
khi x ≠ 1

Câu 23. Cho hàm số f ( x ) =  x − 1
. Tìm a để hàm số liên tục tại x0 = 1 .
a
khi x = 1

1
1
A. a = 0 .
B. a = − .
C. a = .
D. a = 1 .
2

2

B. m = −1 .

 x+2 −2

Tìm a để hàm số f ( x ) =  x − 2
2 x + a

15
15
A.
.
B. − .
4
4

2

C.

1
.
4

D. 1 .

C. m = 3 .

2

Câu 34.

C. P = 5 .

liên tục tại x = 2 ?

khi x = 2

B. m = −5 .

 ax 2 + bx − 5 khi
Câu 26. Biết hàm số f ( x ) = 
khi
 2ax − 3b
P = a − 4b .
A. P = −4 .
B. P = −5 .

liên tục tại x = 1 Tính giá trị của biểu thức

liên tục tại điểm x = 1 ?
khi x = 1
D. 1.

(Chuyên Lê Thánh Tơng-Quảng Nam-2018-2019) Tìm giá trị của tham số
 x 2 + 3x + 2
khi x < − 1

liên tục tại x = − 1 .

f ( x ) =  x2 − 1
 mx + 2
khi x ≥ − 1



3x + b khi x ≤ −1
Biết hàm số f (x ) = 
liên tục tại x = −1 . Mệnh đề nào dưới đây đúng?


x + a khi x > −1


A. a = b − 2 .
B. a = −2 − b .
C. a = 2 − b .
D. a = b + 2 .
 3− x
khi x ≠ 3

Câu 25. Cho hàm số f ( x ) =  x + 1 − 2
. Hàm số đã cho liên tục tại x = 3 khi m = ?
m
khi x=3

A. −1.
B. 1 .
C. 4 .
D. −4 .

x >1

khi x ≠ 1

 3x 2 + 2 x − 1 − 2

, x ≠1
Cho hàm số f ( x ) = 
. Hàm số f ( x ) liên tục tại x0 = 1 khi
x2 − 1
4 − m
x =1

A. m = 3 .
B. m = −3 .
C. m = 7 .
D. m = −7 .

 x2 + 4 − 2

x2
Câu 33. Cho hàm số f ( x ) = 
 2a − 5

4
liên tục tại x = 0 .
3
4
A. a = − .
B. a = .

4
3

x ≤1

khi x ≠ 2

D. m = 2 .



x 2 − 3x + 2

khi x > 2

Cho hàm số f ( x) = 
, m là tham số. Có bao nhiêu giá trị của m để
 x + 2 −2


2

m
x
−
4
m
+
6
khi

x
≤
2


hàm số đã cho liên tục tại x = 2 ?
A. 3 .
B. 0 .
C. 2 .
D. 1

A. m = −3 .

Câu 24.

C. m = 1

 x 2 − 3x + 2

Câu 28. Có bao nhiêu số tự nhiên m để hàm số f ( x ) =  x − 1
 2
m + m − 1
A. 0.
B. 3 .
C. 2 .

D. m = 0 .

x ≤ −1
liên tục tại điểm x = −1 thì giá trị của a là

x > −1
C. 1.
D. −1 .

 x3 − x 2 + 2 x − 2

Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số f ( x ) = 
x −1
3 x + m

A. m = 0 .
B. m = 6 .
C. m = 4 .

 x2 − x
khi x ≠ 1

Tìm m để hàm số f ( x) =  x − 1
liên tục tại x = 1
 m − 1 khi x = 1


2

khi x ≠ 0

m

để hàm số

D. m = 5 .
2

. Tìm giá trị thực của tham số a để hàm số f ( x )

khi x = 0

4
C. a = − .
3

D. a =

3
.
4

 x 2 − 2 x + 3 khi x ≠ 1
Cho hàm số f ( x ) = 
. Tìm m để hàm số liên tục tại x0 = 1 .
3 x + m − 1 khi x = 1
A. m = 1 .
B. m = 3 .
C. m = 0 .
D. m = 2 .

D. P = 4 .
5

6

 x 2 − 3x + 2
khi x ≠ 2

Câu 35. Cho hàm số f ( x) =  x − 2
. Hàm số liên tục tại x = 2 khi a bằng
a
khi x = 2

A. 1 .
B. 0 .
C. 2 .
D. −1 .
Câu 36.

 x2 − 3x + 2
khi x < 2
 2
Câu 43. Tìm các giá trị của tham số m để hàm số f ( x ) =  x − 2 x
liên tục tại điểm
mx + m + 1 khi x ≥ 2

x = 2.
1
1
1
1
A. m = .
B. m = − .

C. m = − .
D. m = .
6
6
2
2

 3− x
khi x ≠ 3

Cho hàm số f ( x ) =  x + 1 − 2
. Hàm số liên tục tại điểm x = 3 khi m bằng:
mx + 2
khi x = 3

A. −2 .
B. 4 .
C. −4 .
D. 2 .

Câu 44.

 x 2 − 16
khi x > 4

Câu 37. Tìm m để hàm số f ( x ) =  x − 4
liên tục tại điểm x = 4 .
 mx + 1 khi x ≤ 4

7

7
A. m = .
B. m = 8 .
C. m = − .
D. m = −8 .
4
4

Câu 38.

3
A. a = − .
4

(THPT Yên Mỹ Hưng Yên lần 1 - 2019) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số
liên tục tại x = 2 .

A. m = 3 .

B. m = 2 .

C. m = − 2 .

D. Không tồn tại m .



x + 3 −m



khi x ≠ 1
Câu 39. (THPT THUẬN THÀNH 1) Cho hàm số f (x ) = 
. Để hàm số liên tục
 x −1

n
khi x = 1



tại x 0 = 1 thì giá trị của biểu thức (m + n ) tương ứng bằng:
A.

3
.
4

B. 1.

1
C. − .
2

D.

9
.
4

Câu 48.

 x2 − x − 2
khi x > −1

Tìm m để hàm số f ( x) =  x + 1
liên tục tại x = − 1.
mx − 2m 2 khi x ≤ −1


 3
A. m ∈ 1; −  .
 2

B. m ∈ {1} .

 3
C. m ∈ −  .
 2

4
.
3

4
C. a = − .
3

D. a =

3

.
4

 x2 −1
khi x ≠ 1

Câu 46. (Chuyên - Vĩnh Phúc - lần 3 - 2019) Tìm a để hàm số f ( x ) =  x − 1
liên tục tại

khi x = 1
a
điểm x0 = 1 .
A. a = 1 .
B. a = 0 .
C. a = 2 .
D. a = −1 .
Câu 47.

cos 3x − cos 7 x
Câu 41. Giới hạn lim
. Tìm giá trị của m để hàm số liên tục tại x = 3 ?
x →0
x2
A. 40 .
B. 0 .
C. −4 .
D. 20 .

B. a =

 ax 2 + 1 − bx − 2
1
khi x ≠

3
2 , ( a, b, c ∈ ℝ ) . Biết hàm số liên tục tại x = 1 .
Câu 45. Cho hàm số f ( x ) =  4 x − 3 x + 1
2
1
c
khi x =
 2
2
Tính S = abc .
A. S = −36 .
B. S = 18 .
C. S = 36 .
D. S = −18 .

 x3 − 6 x 2 + 11x − 6
khi x ≠ 3

Câu 40. Cho hàm số f ( x ) = 
. Tìm giá trị của m để hàm số liên tục tại
x−3
m
khi x = 3

x = 3?
A. m = 1 .

B. m = 2 .
C. m = 3 .
D. m = 0 .

Câu 42.

 x2 + 4 − 2
khi x ≠ 0

x2
Cho hàm số f ( x ) = 
. Tìm các giá trị thực của tham số a để hàm số
2a − 5 khi x = 0

4
f ( x ) liên tục tại x = 0 .

(THPT Chuyên Thái Bình - lần 3 - 2019) Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số
 x2 − x − 2
khi x ≠ 2

liên tục tại x=2.
f ( x) =  x − 2
m
khi
x
=2

A. m = 3.
B. m = 1.

C. m = 2.
D. m = 0.

 2 x 2 − 3x + 1
khi x ≠ 1

Để hàm số f ( x ) =  2 ( x − 1)
liên tục tại x = 1 thì giá trị m bằng
m
khi x = 1

A. 0,5 .
B. 1,5 .
C. 1.
D. 2 .

 x2 + x − 2
khi x ≠ 1

Câu 49. (THPT CHUYÊN BẮC NINH - LẦN 1 - 2018) Cho hàm số f ( x ) =  x − 1
.
3m
khi x = 1

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số gián đoạn tại x = 1.
A. m ≠ 2.
B. m ≠ 1.
C. m ≠ 2.
D. m ≠ 3.

 3
D. m ∈ −1;  . .
 2

7

8


Câu 50.

(THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG - PHÚ THỌ - LẦN 1 - 2018) Tìm tất cả các giá trị của m
 1− x − 1+ x
khi x < 0

x
để hàm số f ( x ) = 
liên tục tại x = 0 .
m + 1 − x
khi x ≥ 0

1+ x
A. m = 1 .
B. m = − 2 .
C. m = −1 .
D. m = 0 .

Câu 57.

(THPT TRẦN PHÚ - ĐÀ NẴNG - 2018) Tìm giá trị của tham số m để hàm số

 3x + 1 − 2
khi x ≠ 1

liên tục tại điểm x0 = 1 .
f ( x ) =  x −1
m
khi
x
=
1

3
1
A. m = 3 .
B. m = 1 .
C. m = .
D. m = .
4
2

 eax − 1
khi x ≠ 0

Câu 51. (TOÁN HỌC VÀ TUỔI TRẺ SỐ 1 - 2018) Cho hàm số f ( x ) =  x
. Tìm giá
1
khi x = 0
 2
trị của a để hàm số liên tục tại x0 = 0 .
1

1
A. a = 1 .
B. a = .
C. a = −1 .
D. a = − .
2
2

Câu 58.

(THPT HÀ HUY TẬP - HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018) Cho hàm số
 x+3−2
khi ( x > 1)

. Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm số f ( x )
f ( x ) =  x −1
m 2 + m + 1
khi ( x ≤ 1)

4
liên tục tại x = 1 .
A. m ∈ {0;1} .
B. m ∈ {0; −1} .
C. m ∈ {1} .
D. m ∈ {0} .

Câu 52.

Câu 53.

 ax 2 − (a − 2) x − 2
khi x ≠ 1

(THPT HẬU LỘC 2 - TH - 2018) Cho hàm số f ( x) = 
. Có tất cả
x+3 −2
8 + a 2
khi
x
=
1

bao nhiêu giá trị của a để hàm số liên tục tại x = 1 ?
A. 1 .
B. 0 .
C. 3 .
D. 2 .

Câu 59. (THPT KINH MƠN - HẢI DƯƠNG - LẦN 1 - 2018) Tìm a để hàm số liên tục trên ℝ :
khi x ≤ 1
2 x + a

f ( x ) =  x3 − x 2 + 2 x − 2
khi x > 1.

x −1

A. a = −2 .
B. a = 1 .
C. a = 2 .

D. a = −1 .

(THPT CHUYÊN HỒNG VĂN THỤ - HỊA BÌNH - 2018) Giá trị của tham số a để hàm số
 x+2 −2
khi x ≠ 2

y = f ( x) =  x − 2
liên tục tại x = 2 .
a + 2 x
khi x = 2


Câu 60.

A.

1
.
4

B. 1 .

C. −

15
.
4

A. m = 3 .

D. 4 .

 x 2 + 1 khi x ≤ 1
Câu 54. (PHAN ĐĂNG LƯU - HUẾ - LẦN 1 - 2018) Hàm số f ( x ) = 
liên tục tại điểm
 x + m khi x > 1
x0 = 1 khi m nhận giá trị
A. m = −2 .
B. m = 2 .
C. m = −1 .
D. m = 1 .

Câu 55.

(CHUYÊN TRẦN PHÚ - HẢI PHÒNG - LẦN 1 - 2018) Cho hàm số
 2x +1 − x + 5
khi x ≠ 4

f ( x) = 
. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số a để hàm số
x−4
a + 2
khi
x
=
4

liên tục tại x0 = 4 .
5
A. a = .

2

Câu 56.

B. a = −

11
.
6

C. a = 3 .

D. a = 2 .

B. m = 1 .

C. m = ± 3 .

D. m = ±1 .

 x2 + 4x + 3

(THPT LÝ THÁI TỔ - BẮC NINH - 2018) Tìm m để hàm số f ( x) =  x + 1

mx + 2
liên tục tại điểm x = −1 .
A. m = 2 .
B. m = 0 .
C. m = −4 .
D. m = 4 .

 x3 − 8
khi

Câu 62. (THPT HẢI AN - HẢI PHÒNG - LẦN 1 - 2018) Cho hàm số f ( x ) =  x − 2

2m + 1 khi
m để hàm số liên tục tại điểm x0 = 2 .
3
11
13
1
A. m = .
B. m = .
C. m = .
D. m = − .
2
2
2
2
Câu 61.

khi x > −1
khi x ≤ −1

x≠2

. Tìm

x=2

Câu 63. (THPT

(THPT CHUN THÁI BÌNH - LẦN 5 - 2018) Tìm tham số thực m để hàm số y = f ( x )

 x 2 + x − 12
khi x ≠ −4

=  x+4
liên tục tại điểm x0 = −4 .
mx + 1
khi x = −4

A. m = 4 .
B. m = 3 .
C. m = 2 .

(THPT CHUYÊN HẠ LONG - LẦN 1 - 2018) Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số
 x2 − x − 2
khi x ≠ 2

liên tục tại x = 2 .
f ( x) =  x − 2
 2
khi x = 2
m

D. m = 5 .
9

CHUYÊN THĂNG LONG - ĐÀ LẠT - 2018) Cho hàm số

− x 2 + 2 x + 8
khi x ≠ −2

f ( x) = 
x+2
( m∈ ℝ ) . Biết hàm số f ( x ) liên tục tại x0 = −2 . Số giá trị
m2 x 2 + 5mx khi x = −2

nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán là
A. 3 .
B. 2 .
C. 1.
D. 0 .
10


Câu 71. (CHUYÊN VINH - LẦN 1 - 2018) Hàm số nào trong các hàm số dưới đây không liên tục trên
ℝ?
x
x
A. y = x .
B. y =
.
C. y = sin x .
D. y =
.
x +1
x +1

DẠNG 3. LIÊN TỤC TRÊN KHOẢNG

Dạng 3.1 Xét tính liên tục trên khoảng của hàm số

Câu 64.

Trong các hàm số sau, hàm số nào liên tục trên ℝ ?

A. y = x3 − x .
Câu 65.

?
A. 1 .

Câu 67.

C. y =

2x −1
.
x −1

D. y = x 2 − 1 .

(PHAN ĐĂNG LƯU - HUẾ - LẦN 1 - 2018) Cho bốn hàm số f1 ( x ) = 2 x 3 − 3 x + 1 ,

f2 ( x ) =

Câu 66.

B. y = cot x .

3x + 1
, f3 ( x ) = cos x + 3 và f 4 ( x ) = log 3 x . Hỏi có bao nhiêu hàm số liên tục trên tập ℝ
x−2
B. 3 .

C. 4 .

sin x neu cos x ≥ 0
Câu 72. (THPT CHUYÊN KHTN - LẦN 3 - 2018) Cho hàm số f ( x ) = 
. Hỏi
1 + cos x neu cos x < 0
hàm số f có tất cả bao nhiêu điểm gián đoạn trên khoảng ( 0; 2018 ) ?

A. 2018 .
Dạng 3.2 Bài toán chứa tham số

D. 2 .

Trong các hàm số sau, hàm số nào liên tục trên ℝ ?
x2 + 3
A. f ( x ) = tan x + 5 .
B. f ( x ) =
.
C. f ( x ) = x − 6 .
5− x

D. f ( x ) =

Câu 73.

x+5
.
x2 + 4

4
3

Câu 74.

D. Hàm số gián đoạn tại x0 = 2 .
Câu 68.

Hàm số nào sau đây liên tục trên ℝ ?

A. f ( x ) = x .

B. f ( x ) = x 4 − 4 x 2 .

C. f ( x ) =

x4 − 4 x2
x4 − 4x2
. D. f ( x ) =
.
x +1
x +1

 x2
 x khi x < 1, x ≠ 0


Câu 69. (THPT XUÂN HÒA - VP - LẦN 1 - 2018) Cho hàm số f ( x ) = 0
. Khẳng
khi x = 0

x
khi
x
≥
1


định nào đúng
A. Hàm số liên tục tại mọi điểm trừ các điểm thuộc đoạn [ 0;1] .

B. Hàm số liên tục tại mọi điểm trừ điểm x = 0 .
C. Hàm số liên tục tại mọi điểm thuộc ℝ .
D. Hàm số liên tục tại mọi điểm trừ điểm x = 1 .
Câu 70.

sin π x khi x ≤ 1
(THPT NGUYỄN HUỆ - NINH BÌNH - 2018) Cho hàm số f ( x ) = 
. Mệnh
 x + 1 khi x > 1
đề nào sau đây là đúng?
A. Hàm số liên tục trên ℝ .
B. Hàm số liên tục trên các khoảng ( −∞; −1) và ( −1; +∞ ) .
D. Hàm số gián đoạn tại x = ±1 .
11

D. 321 .

1
3

4
3

B. m = − .

2
3

C. m = .

D. m = .

(KSCL LẦN 1 CHUYÊN LAM SƠN - THANH HÓA_2018-2019) Cho hàm số
 3 4x − 2
, x≠2

. Xác định a để hàm số liên tục trên R.
f ( x) =  x − 2
 ax + 3
,
x
=
2

1
4

4
A. a = −1 .
B. a = .
C. a = .
D. a = − .
6
3
3

 x2 − 1
khi x ≠ 1

Câu 75. Cho hàm số f ( x ) =  x − 1
. Tìm m để hàm số f ( x ) liên tục trên ℝ .
m − 2 khi x = 1

A. m = 1 .
B. m = 2 .
C. m = 4 .
D. m = −4 .
Câu 76.

(LƯƠNG

TÀI 2 BẮC NINH LẦN 1-2018-2019)
 x2 + 2 x − 2 khi x ≥ 2
y = f ( x) = 
liên tục trên ℝ ?
2
khi x < 2

5 x − 5m + m
A. m = 2; m = 3 .
B. m = −2; m = −3 .
C. m = 1; m = 6 .

Tìm

m

để

hàm

số

D. m = −1; m = −6 .

 3x + a − 1 khi x ≤ 0

Câu 77. Cho hàm số f ( x ) =  1 + 2 x − 1
. Tìm tất cả giá trị thực của a để hàm số đã cho liên
khi x > 0

x

tục trên ℝ .
A. a = 1 .
B. a = 3 .
C. a = 4 .
D. a = 2 .

Câu 78.

C. Hàm số liên tục trên các khoảng ( −∞;1) và (1; +∞ ) .

C. 642 .

 2 3 x − x −1
,x ≠1

Tìm m để hàm số y =  x − 1
liên tục trên ℝ .
mx + 1
,x = 1


A. m = − .

 − x 2 + x + 3 khi x ≥ 2
Cho hàm số y = 
. Chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:
khi x < 2
5 x + 2
A. Hàm số liên tục tại x0 = 1 .
B. Hàm số liên tục trên ℝ .
C. Hàm số liên tục trên các khoảng ( −∞;2) , ( 2; + ∞) .

B. 1009 .

 x 3 − 3x 2 + 2 x


 x ( x − 2)

a
Cho biết hàm số f ( x ) = 

b



khi x ( x − 2 ) ≠ 0
khi

x=0

khi

x=2

liên tục trên ℝ . Tính T = a 2 + b 2 .

12


A. T = 2 .
Câu 79.

B. T = 122 .

C. T = 101 .

D. T = 145 .

(TOÁN HỌC TUỔI TRẺ SỐ 5) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số sau liên tục
trên ℝ

Câu 86.

 x −1
khi x > 1

f ( x ) =  ln x
m.e x −1 + 1 − 2mx 2 khi x ≤ 1

A. m = 1 .

B. m = −1 .

1
C. m = .
2

Câu 87.

D. m = 0 .

Câu 80. (THPT CHUYÊN THÁI BÌNH - LẦN 4 - 2018) Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để
2 2
khi x ≤ 2
 m x

hàm số f ( x ) = 
liên tục trên ℝ ?
(1 − m ) x khi x > 2
A. 0 .
Câu 81.

B. 2 .

C. 3 .

D. 4 .

 x − m
(THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC - LẦN 4 - 2018) Cho hàm số f ( x ) = 
mx + 1
Tìm tất cả các giá trị của m để f ( x ) liên tục trên ℝ.
A. m = 1 .
B. m = 0 .
C. m = −1 .
D. m = −2 .

khi x ≥ 0
khi x < 0

.

 x2 − 4 x + 3
khi x > 1

Câu 82. (THPT YÊN LẠC - LẦN 4 - 2018) Tìm P để hàm số y =  x − 1

liên tục trên
6 Px − 3
khi x ≤ 1

ℝ.
5
1
1
1
A. P = .
B. P = .
C. P = .
D. P = .
6
2
6
3
Câu 83.

Câu 85.

(THPT CHUYÊN BIÊN HÒA - HÀ NAM - 2018) Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số
 x +1 −1
khi x > 0

liên tục trên ℝ .
f ( x) = 
x
 2
x

+
1
−
m
khi
x
≤
0

3
1
1
A. m = .
B. m = .
C. m = −2 .
D. m = − .
2
2
2

(SỞ GD&ĐT BÌNH THUẬN - 2018) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số
 x 2 − 16
khi x > 4

f ( x) =  x − 4
liên tục trên ℝ .
mx + 1 khi x ≤ 4

7
7

A. m = 8 hoặc m = − . B. m = .
4
4
7
7
C. m = − .
D. m = −8 hoặc m = .
4
4

 x 2 + ax + b khi x < −5

khi − 5 ≤ x ≤ 10
Câu 88. (PTNK CƠ SỞ 2 - TPHCM - LẦN 1 - 2018) Nếu hàm số f ( x ) =  x + 17
ax + b + 10 khi x > 10

liên tục trên R thì a + b bằng
A. −1.
B. 0 .
C. 1 .
D. 2 .
DẠNG 4. CHỨNG MINH PHƯƠNG TRÌNH CĨ NGHIỆM

Câu 89.

 ax + b + 1, khi x > 0
(THPT TỨ KỲ - HẢI DƯƠNG - LẦN 2 - 2018) Hàm số f ( x) = 
liên
 a cos x + b sin x, khi x ≤ 0
tục trên ℝ khi và chỉ khi

A. a − b = 1 .
B. a − b = −1 .
C. a + b = 1
D. a + b = 1

3 x + 1 khi x ≥ −1
Câu 84. (THPT YÊN LẠC - LẦN 3 - 2018) Cho hàm số y = 
, m là tham số. Tìm m
 x + m khi x < −1
để hàm số liên tục trên ℝ .
A. m = 5 .
B. m = −1 .
C. m = 3 .
D. m = −3 .

 x 2 + 16 − 5

khi x ≠ 3 . Tập
(THPT GANG THÉP - LẦN 3 - 2018) Cho hàm số y = f ( x ) = 
x −3
a
khi x = 3

các giá trị của a để hàm số đã cho liên tục trên R là:
2 
1 
3 
A.   .
B.   .
C. {0} .

D.   .
5 
5 
5 

Cho phương trình 2 x 4 − 5 x 2 + x + 1 = 0 (1) . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau
A. Phương trình (1) có đúng một nghiệm trên khoảng ( −2;1) .

B. Phương trình (1) vơ nghiệm.
C. Phương trình (1) có ít nhất hai nghiệm trên khoảng ( 0; 2 ) .
D. Phương trình (1) vô nghiệm trên khoảng ( −1;1) .
Câu 90.

(THPT HẢI AN - HẢI PHỊNG - LẦN 1 - 2018) Phương trình nào dưới đây có nghiệm trong
khoảng ( 0;1)
A. 2 x 2 − 3x + 4 = 0 .
4

2

C. 3x − 4 x + 5 = 0 .
Câu 91.

5

B. ( x − 1) − x7 − 2 = 0 .
D. 3x

2017

− 8x + 4 = 0 .

(THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG - GIA LAI - LẦN 2 - 2018) Cho phương trình
4 x 4 + 2 x 2 − x − 3 = 0 (1) . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Phương trình (1) vơ nghiệm trên khoảng ( −1;1) .
B. Phương trình (1) có đúng một nghiệm trên khoảng ( −1;1) .
C. Phương trình (1) có đúng hai nghiệm trên khoảng ( −1;1) .
D. Phương trình (1) có ít nhất hai nghiệm trên khoảng ( −1;1) .

Câu 92.
13

Phương trình 3x5 + 5x3 + 10 = 0 có nghiệm thuộc khoảng nào sau đây?
A. ( −2; −1) .
B. ( −10; −2) .
C. ( 0;1) .
D. ( −1;0 ) .
14


Câu 93.

Cho phương trình 2 x 3 − 8 x − 1 = 0 (1) . Khẳng định nào sai?

Nhận thấy: lim+ y = y (1) . Suy ra y liên tục phải tại x = 1 .
x →1

A. Phương trình khơng có nghiệm lớn hơn 3 .
B. Phương trình có đúng 3 nghiệm phân biệt.
C. Phương trình có 2 nghiệm lớn hơn 2 .

D. Phương trình có nghiệm trong khoảng ( −5; −1) .
Câu 94.

Câu 8.

Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên đoạn [ a; b ] và thỏa mãn f ( a ) = b , f ( b ) = a với a, b > 0 ,

Câu 9.

a ≠ b . Khi đó phương trình nào sau đây có nghiệm trên khoảng ( a; b ) .

A. f ( x ) = 0 .
Câu 95.

B. f ( x ) = x .

D. f ( x ) = a .

lim f ( x ) = lim

 −8 + 4a − 2b + c > 0
Cho số thực a , b , c thỏa mãn 
. Số giao điểm của đồ thị hàm số
8 + 4a + 2b + c < 0
y = x 3 + ax 2 + bx + c và trục Ox là
A. 2 .
B. 0 .

Câu 96.

C. f ( x ) = − x .

C. 3 .

Câu 2.

D. 1 .

Câu 4.

DẠNG 1. CÂU HỎI LÝ THUYẾT
Theo định nghĩa hàm số liên tục trên đoạn [ a; b ] . Chọn: lim+ f ( x ) = f ( a ) và lim− f ( x ) = f ( b ) .
x→b

Chọn B
Vì theo định lý 3 trang 139/sgk.
Chọn B
Đồ thị là một đường liền nét, nhưng bị “gãy” tại điểm x = 0 nên nó liên tục tại điểm x = 0 nhưng
khơng có đạo hàm tại điểm x = 0 .
Chọn D
Vì lim+ y ≠ lim− y nên hàm số không liên tục tại x = 1 .

Câu 6.

Chọn D
Khẳng định thứ nhất sai vì thiếu tính liên tục trên đoạn [ a ; b ] .

x →1

x →1

x →1

x →1

x→1

(1 − x ) 1 + x + x 2
1 − x3
= lim−
= lim− 1 + x + x 2 = 4
1 − x x →1
1− x
x →1

(

)

(

)

x+2 +2 = 4

f (2) = 4

Vậy hàm số liên tục tại x = 2 .
Câu 10. Chọn D
1

2x −1
1
Tại x = , ta có: lim f ( x ) = lim 3
= 0 = f   . Vậy hàm số liên tục tại x = 2 .
1
1
2
x→
x→ x − 1
2
2
2
x2 + x +1
x −1
lim+ f ( x) = +∞ suy ra f ( x) không liên tục tại x = 1 .

A) f ( x ) =

x→1

x2 − x − 2
x 2 −1
x−2
lim f ( x) = lim+
= −∞ suy ra f ( x) không liên tục tại x = 1 .
x→1+
x →1 x −1
x2 + x +1
C) f ( x ) =
x

x2 + x +1
lim f ( x ) = lim
= 3 = f (1) suy ra f ( x) liên tục tại x = 1 .
x →1
x→1
x
x +1
D) f ( x) =
x −1
x +1
lim+ f ( x ) = lim+
= +∞ suy ra f ( x) không liên tục tại x = 1 .
x→1
x →1 x −1
Dạng 2.1 Điểm gián đoạn của hàm số
2x −1
Câu 12. Ta có y =
khơng xác định tại x0 = −1 nên gián đoạn tại x0 = −1 .
x +1
Câu 13. Chọn A
3x − 4
Ta có: y =
có tập xác định: D = ℝ \ {2} , do đó gián đoạn tại x = 2 .
x−2
Câu 14. Chọn D
x
Vì hàm số y =
có TXĐ: D = ℝ \ {−1} nên hàm số gián đoạn tại điểm x0 = −1 .
x +1
Câu 15. Chọn A

DẠNG 2. LIÊN TỤC TẠI MỘT ĐIỂM
Dạng 2.1 Xét tính liên tục tại điểm của hàm số
Câu 7.
Chọn A
Ta có: y (1) = 1 .
Ta có: lim+ y = 1 ; lim− y = lim−

(

B) f ( x) =

Vì f ( a ) f ( b ) > 0 nên f ( a ) và f ( b ) cùng dương hoặc cùng âm. Mà f ( x ) liên tục, tăng trên

Câu 5.

)

x→ 2

[ a; b ] nên đồ thị hàm f ( x ) nằm trên hoặc nằm dưới trục hoành trên [ a; b ] hay phương trình
f ( x ) = 0 khơng có nghiệm trong khoảng ( a; b ) .
Câu 3.

(

( x − 2) x + 2 + 2
x−2
= lim
= lim

x →2
x
→
2
x−2
x+2 −2

⇒ lim f ( x ) = f ( 2 )

(LÊ QUÝ ĐÔN - QUẢNG TRỊ - LẦN 1 - 2018) Cho các số thực a , b , c thỏa mãn
a + c > b + 1
. Tìm số giao điểm của đồ thị hàm số y = x 3 + ax 2 + bx + c và trục Ox .

a + b + c + 1 < 0
A. 0 .
B. 1 .
C. 2 .
D. 3 .

x →a

x→ 2

x→2

Câu 11.
Câu 1.

Chọn D
x 2 − 7 x + 12

= lim ( x − 4 ) = −1 = y ( 3) nên hàm số liên tục tại x0 = 3 .
lim
x →3
x →3
x −3
2
x − 7 x + 12 ) − ( 32 − 7.3 + 12 )
(
( x 2 − 7 x + 12 ) = lim ( x − 4 ) = −1 ⇒ y ' (3) = −1.
lim
= lim
x →3
x →3
x →3
x −3
x−3
Chọn A
Tập xác định: D = ℝ

)

15

16


x −3
có tập xác định ℝ \ {±1} . Do đó hàm số khơng liên tục tại các điểm x = ±1 .
x2 − 1
Câu 16. Hàm số xác định trên R

x
2sin 2
1 − cos x
1
2
Ta có f ( 0 ) = 1 và lim f ( x ) = lim
= lim
=
2
x →0
x →0
x →0
x2
2
 x
4.  
2
Vì f ( 0 ) ≠ lim f ( x ) nên f ( x ) gián đoạn tại x = 0 . Do đó f ( x ) khơng có đạo hàm tại x = 0 .

( x − 1) ( x 2015 + x 2014 + ... + x + 1 + 1) ( 2018 x + 1 + x + 2018 )
=2
x →1
2017 ( x − 1)
Để hàm số liên tục tại x = 1 ⇔ lim f ( x ) = f (1) ⇔ k = 2 2019 .
x→1

Hàm số y =

= lim

Câu 23.

Chọn C
Ta có lim f ( x ) = lim
x→1

x →1

x −1
= lim
x →1
x −1

x −1

(

)(

x −1

)

x +1

x→1

Để hàm số liên tục tại x0 = 1 khi lim f ( x ) = f (1) ⇔ a =

1 − cos x

≥ 0 nên f 2 > 0. VậyA, B,C sai.
x2
Câu 17. * f ( x ) liên tục tại x ≠ 0 và x ≠ 1 .
* T ại x = 0
x2
lim− f ( x ) = lim− ( − x cos x ) = 0 , lim+ f ( x ) = lim+
= 0 , f (0) = 0 .
x→0
x →0
x →0
x →0 1 + x
Suy ra lim− f ( x ) = lim+ f ( x ) = f ( 0 ) . Hàm số liên tục tại x = 0 .

( )

x→0

x →1

x → −1

Câu 25.

x →3

x
1
= , lim f ( x ) = lim+ x 3 = 1 .
x →1
1 + x 2 x →1+

Suy ra lim− f ( x ) ≠ lim+ f ( x ) . Hàm số gián đoạn tại x = 1 .
lim− f ( x ) = lim−

x →1

x→1

x →1

x →1

Chọn B
Hàm số liên tục tại x = −1 khi và chỉ khi lim+ y = lim− y == y ( −1)
x→−1

x →−1

⇔ lim+ ( 4 x + a ) = lim− ( x 2 + 3 x + 2 ) = y ( −1) ⇔ a − 4 = 0 ⇔ a = 4 .

x→1

x →1

x →1

x →−1

⇔ m 2 + m − 1 = −1
 m = 0 (TM)
⇔ m2 + m = 0 ⇔ 

.
 m = −1 (L)

Chọn A
Ta có: f (1) = m + 3 .

( x − 1) ( x 2 + 2 )
x3 − x 2 + 2 x − 2
= lim
= lim ( x 2 + 2 ) = 3 .
x →1
x →1
x →1
x →1
x −1
x −1
Để hàm số f ( x ) liên tục tại x = 1 thì lim f ( x ) = f (1 ) ⇔ 3 = m + 3 ⇔ m = 0 .
x →1

Câu 29.

lim f ( x ) = lim

Chọn B
Ta có f ( 2 ) = 4 + a .

Chọn A
x →1

)

Do hàm số liên tục tại x = 1 nên a + b − 5 = 2 a − 3b ⇒ a − 4b = −5 .
Chọn D
TXĐ: D = R
x2 − x
Ta có lim f ( x) = lim
= lim x = 1
x→1
x →1 x − 1
x →1
Và f (1) = m − 1.
Hàm số liên tục tại x = 1 ⇔ m − 1 = 1 ⇔ m = 2
Câu 28. Chọn D
x 2 − 3x + 2
( x − 1)( x − 2 ) = lim x − 2 = −1 .
lim
= lim
(
)
x →1
x →1
x →1
x −1
x −1
Để hàm số f ( x ) liên tục tại điểm x = 1 cần: lim f ( x ) = f (1)

x →1

Ta có: lim

x →3

Câu 27.

x3 − 1
= lim( x 2 + x + 1) = 3
x − 1 x →1
Để hàm số liên tục tại điểm x0 = 1 thì f (1) = lim y ⇒ 2 m + 1 = 3 ⇔ m = 1 .

Câu 22.

(

= lim − x + 1 − 2 = −4

lim+ f ( x ) = lim+ ( 2 ax − 3b ) = 2a − 3b .

lim y = lim

x →−1

)

Suy ra, m = −4 .
Câu 26. Chọn B
Ta có: lim− f ( x ) = lim− ( ax 2 + bx − 5) = a + b − 5 = f (1) .

 x2 − 4 
Hàm số liên tục tại x = −2 khi và chỉ khi lim 
 = lim m = m ⇔ m = −4

x →−2
 x + 2  x →−2
Câu 19. Chọn C
Ta có f (1) = 2 m + 1

Câu 21.

x →3

x →3

x →1

Dạng 2.3 Bài toán chứa tham số
Câu 18. Chọn A

Câu 20.

(

lim f ( x ) = lim

2

x →1

x → −1

Chọn D
f ( 3) = m

(3 − x ) x + 1 + 2
3− x
= lim
x −3
x + 1 − 2 x →3
Để hàm số liên tục tại x = 3 thì lim f ( x ) = f ( 3 )

x →0

x →1

1
.
2

Câu 24. Chọn A
lim− f (x ) = f (−1) = b − 3 ; lim+ f (x ) = a − 1 . Để liên tục tại x=-1 ta có b − 3 = a − 1 ⇔ a = b − 2

* T ại x = 1
x →1

1
1
= .
x +1 2

= lim

x→ 0

∀x ≠ 0 f ( x ) =

2019

Ta tính được lim f ( x ) = lim

(x
x 2016 + x − 2
= lim
x
→
1
2018 x + 1 − x + 2018

2016

− 1 + x − 1)

(

2018 x + 1 + x + 2018

x →2

)

2017 x − 2017

x→2

x+2−4

( x − 2) (

x+2 +2

)

= lim
x→2

1
1
= .
x+2 +2 4

Hàm số đã cho liên tục tại x = 2 khi và chỉ khi f ( 2 ) = lim f ( x ) ⇔ 4 + a =
x→2

17

1
15
⇔a=− .
4
4
18

Vậy hàm số liên tục tại x = 2 khi a = −

Câu 30.

15
.
4

Hàm số f ( x ) liên tục tại x = 0 ⇔ lim f ( x) = f (0) ⇔ 2a −
x →0

Chọn D
Ta có

(

)

Câu 34.

(

)

x+2 +2 = 4

x→2

(

)

)

x →1

Chọn A
Hàm số liên tục tại x = 2 ⇔ lim f ( x) = f (2) .
x→2

x →2

Vậy có một giá trị của m thỏa mãn hàm số đã cho liên tục tại x = 2 .
Câu 31. Chọn A
Tập xác định D = ℝ , x0 = 1∈ ℝ .

Ta có f (2) = a, lim f ( x) = lim
x →2

Câu 36.

Ta có f (1) = 4 − m .

( x − 1)( 3x + 5)
3x 2 + 2 x − 1 − 2
lim f ( x ) = lim
= lim
x →1
x →1
x →1

( x + 1)( x − 1)
x
+
1
x
( )( − 1) 3x2 + 2 x − 1 + 2

(

3x + 5

= lim

( x + 1) (
Hàm số f ( x )
x →1

3x2 + 2 x − 1 + 2

)

Chọn A
Tập xác định D = R .

3− x
= lim  − x + 1 + 2  = −4 .

x + 1 − 2 x →3 
Hàm số đã cho liên tục tại điểm x = 3 ⇔ lim f ( x ) = f ( 3) ⇔ 3m + 2 = −4 ⇔ m = −2 .

)

(

x →3

)

x →3

Câu 37.

=1

Chọn A
Ta có lim− f ( x ) = f ( 4 ) = 4m + 1 ; lim+ f ( x ) = lim+
x→ 4

x →4

x →4

x 2 − 16
= lim+ ( x + 4 ) = 8 .
x→ 4
x−4

Hàm số liên tục tại điểm x = 4 ⇔ lim− f ( x ) = lim+ f ( x ) = f ( 4 ) ⇔ 4m + 1 = 8 ⇔ m =

x →1

x →4

Câu 38.

x →4

7
.
4

Chọn A
Ta có lim+ f ( x ) = lim+
x→ 2

+ lim + f ( x ) = −m + 2 .

x→2

x ( x − 2)
x2 − 2x
= lim+
= lim+ x = 2 .
x →2
x →2
x−2
x−2

lim f ( x ) = lim− ( mx − 4) = 2m − 4

x→( −1)

x →2−

2

x + 3x + 2
( x + 1)( x + 2 ) = lim x + 2 = −1 .
+ lim − f ( x ) = lim −
= lim
x →( −1)
x →( −1)
x → ( −1) ( x − 1)( x + 1)
x → ( −1) x − 1
x2 −1
2
−

x →2

−

x→( −1)

x→( −1)

2

Câu 39.

2

Câu 33.

.

Chọn D
Tập xác định: D = ℝ .

2

= lim
x→0

(

x2 + 4 − 2
x

2

1
x2 + 4 + 2

(
=

)(

2

x2 + 4 + 2

x +4 +2

)

x →2

Chọn D
Ta có: f (1) = n.

lim f (x ) = lim
x →1

x2 + 4 − 2
lim f ( x) = lim
= lim
x→0
x→0
x →0
x2

x →2

Hàm số liên tục tại x = 2 khi lim− f ( x ) = lim− f ( x ) ⇔ 2m − 4 = 2 ⇔ m = 3 .

- Hàm số liên tục tại x = −1 ⇔ f ( −1) = lim + f ( x ) = lim − f ( x) ⇔ − m + 2 = −1 ⇔ m = 5 .

x2 ( x 2 + 4 + 2)

5
f (0) = 2a − .
4

x 2 − 3x + 2
= lim( x − 1) = 1 . Do đó a = 1
x →2
x−2

x →3

liên tục tại x0 = 1 khi và chỉ khi lim ( x ) = f (1) ⇔ 4 − m = 1 ⇔ m = 3 .

x +4−4

x→ 2

Ta có f ( 3) = 3m + 2 và lim f ( x ) = lim

Chọn D
- Ta có:
+ f ( −1) = −m + 2 .

x →0

(

Hàm số liên tục tại x0 = 1 ⇔ lim f ( x ) = f (1) ⇔ 2 = m + 2 ⇔ m = 0 .

Câu 35.

Để hàm số liên tục tại x = 2 thì
lim+ f ( x) = lim− f ( x) = f (2) ⇔ 2m2 − 4m + 6 = 4 ⇔ 2m2 − 4m + 2 = 0 ⇔ m = 1

= lim

x →1

x →1

f (2) = 2m 2 − 4m + 6

x →2

Chọn C
TXĐ D = ℝ
Ta có f (1) = 2 + m .
lim f ( x ) = lim x 2 − 2 x + 3 = 2 .

lim f ( x) = lim− m 2 x − 4m + 6 = 2m 2 − 4m + 6

x → 2−

Câu 32.

3
.
4

Vậ y a =

( x − 2)( x − 1) x + 2 + 2
x 2 − 3x + 2
lim f ( x) = lim+
= lim
= lim+ ( x − 1)
x → 2+
x →2
x →2
x−2
x + 2 − 2 x →2+

5 1
3
= ⇔a= .
4 4
4

x →1

x + 3 − m2

(x − 1)(

x +3 +m

)

.

Hàm số liên tục tại x = 1 ⇔ lim f (x ) = f (1) ⇔ n = lim
x →1

)

x →1

x + 3 − m2

(x − 1)(

x +3 +m

)

(1).

m = 2
lim f (x ) tồn tại khi 1 là nghiệm của phương trình: 1 + 3 − m 2 = 0 ⇒ 
.
x →1
m = −2
x −1
1
1
+ Khi m = 2 thì (1) ⇒ n = lim
⇒ n = lim
⇒n = .
x →1
x →1

4
x
+
3
+
2
(x − 1) x + 3 + 2

1
.
4

(

19

)

20


1

+ Khi m = −2 thì (1) ⇒ n = lim
x →1

x + 3 −2

( a − b 2 ) x 2 − 4bx − 3 = m ( 2 x − 1)2
 m = −3


1

Để hàm số liên tục tại x = ⇒ 
⇔ b = − 3 .
a
b
2

+1 + + 2 ≠ 0
 a = −3

2
 4

suy ra không tồn tại n.

1 9
Vậ y m + n = 2 + = .
4 4
Câu 40. Chọn B
Ta có: f ( 3 ) = m .
3

x→

2

(

Lời giải

x2 −1
= lim ( x + 1) = 2 .
x →1
x →1 x − 1
x →1
f ( x ) liên tục tại x0 = 1 khi và chỉ khi lim f ( x ) = f (1) ⇔ a = 2 .

lim f ( x ) = lim

x →1

x→−1

Câu 47.

m = 1
⇔ −m − 2m2 = −3 ⇔ 2m2 + m − 3 = 0 ⇔ 
.
m = − 3

2
 3
Vậy các giá trị của m là m ∈ 1; −  .
 2
Câu 43. Chọn B
x 2 − 3x + 2
( x − 2)( x − 1) = lim x − 1 = 1
= lim

Ta có: lim 2
.
x →2
x→ 2
x →2
x − 2x
x ( x − 2)
x
2

x →0

( x − 1)( 2 x − 1) = lim 2 x − 1 = 1 .
2 x2 − 3x + 1
= lim
x →1
x →1
x →1
x →1
2 ( x − 1)
2 ( x − 1)
2
2
1
Để hàm số f ( x ) liên tục tại x = 1 thì lim f ( x ) = f (1) ⇔ m = .
x →1
2
Câu 49. Tập xác định của hàm số là ℝ.

1

1
⇔m=− .
2
6

Hàm số gián đoạn tại x = 1 khi lim f ( x ) ≠ f (1) ⇔ lim
x →1

x2 + 4 − 2
= lim
x →0 2
x2
x

⇔ lim


 1
1
= lim 
= .
2
x →0
2
x
+
4
+
2
x +4 +2


 4
x2

(

x→1

)

x →0

Câu 50.

2

)
(
ax + 1 − bx − 2
=
4 x − 3x + 1
( 2 x − 1) ( x + 1) (
2

ax + 1 − ( bx + 2 )

2

3

2

2

ax 2 + 1 + bx + 2

)

=

2

x −1

x →1

x2 + x − 2
≠ 3m
x −1

( x + 2) ≠ 3m ⇔ 3 ≠ 3m ⇔ m ≠ 1.

Ta có
x →0 +

( a − b2 ) x2 − 4bx − 3
( 2 x − 1) ( x + 1) (

( x − 1)( x + 2) ≠ 3m ⇔ lim

x→1

1− x 

lim f ( x ) = lim+  m +
 = m +1 .
x →0 
1+ x 
 1− x − 1+ x 
lim f ( x ) = lim− 
 = lim−
x → 0−
x →0
x

 x→ 0 x

5 1
3
= ⇔a= .
4 4
4

Chọn A
Ta có

Chọn A
f (1) = m .
lim f ( x ) = lim

Hàm số f ( x ) liên tục tại x = 0 khi lim f ( x ) = f ( 0 ) ⇔ 2a −

Câu 45.

x2 − x − 2
( x − 2)( x + 1)
= lim
= lim( x + 1) = 3.
x →2
x →2
x−2
x−2

f ( x) = f (2) ⇔ m = 3.
Hàm số liên tục tại x=2 ⇔ lim
x →2
Câu 48.

Chọn D
5
+ Ta có f ( 0 ) = 2a − .
4
x →0

Chọn A
Ta có: lim
x→2

f ( 2 ) = 3m + 1 .

+ lim f ( x ) = lim

)

Chọn C
Tập xác định D = R .
f (1) = a .

( x + 1)( x − 2)
x2 − x − 2
= lim+
= lim+ ( x − 2) = −3.
x →−1
x →−1
x →−1
x→−1
x +1
x +1
Hàm số liên tục tại x = −1 khi và chỉ khi lim− f ( x) = lim+ f ( x) = f (−1)

Câu 44.

)

Câu 46.

* lim+ f ( x ) = lim+

Để hàm số liên tục tại điểm x = 2 ⇔ 3m + 1 =

(

2

−3
c
= lim
=
= −2 = ⇒ c = −4 .
1
2
3
2
x → ( x + 1)
−
3
x
+
1
−
3
x
+
2
2
2
Vậy S = abc = −3 ( −3)( −4 ) = −36 .

x →−1

x→−1

2

−3

x − 6 x + 11x − 6
lim f ( x ) = lim
= lim ( x 2 − 3 x + 2 ) = 2 .
x →3
x →3
x →3
x −3
Câu 41. Chọn B
cos 3x − cos 7 x
2sin 5 x sin 2 x
Ta có: lim
= 2.5.2 = 20 .
= lim
x →0
x →0
x2
x2
Câu 42. Chọn A
Tập xác định D = R .
* f (−1) = −m − 2m2
* lim− f ( x) = lim− (mx − 2m 2 ) = − m − 2 m 2 .
x →−1

ax 2 + 1 − bx − 2

−12 x 2 + 12 x − 3
= lim1
3
2
4 x − 3x + 1
x → ( 2 x − 1) ( x + 1)
−3x 2 + 1 − 3 x + 2

Khi đó lim1

ax 2 + 1 + bx + 2

)

.

−2 x

(

1− x + 1+ x

)

= lim−
x →0

−2

(

1− x + 1+ x

)

= −1 .

f (0) = m + 1

Để hàm liên tục tại x = 0 thì lim+ f ( x ) = lim− f ( x ) = f ( 0 ) ⇔ m + 1 = −1 ⇒ m = −2 .
x→0

Câu 51.
21

x →0

Tập xác định: D = ℝ .
22


e ax − 1
e ax − 1
= lim
.a = a .
x →0
x →0
x
ax

lim f ( x ) = lim
x →0

Câu 58.

1
1
; hàm số liên tục tại x0 = 0 khi và chỉ khi: lim f ( x ) = f ( 0 ) ⇔ a = .
x →0
2
2
Tập xác định: D = [ −3; + ∞ ) .
f ( 0) =

Câu 52.

lim f ( x ) = lim
x →1

ax 2 − ( a − 2 ) x − 2
x+3−2

x →1

= lim

( x − 1)( ax + 2 ) (

x+3 + 2

x −1

x →1

= lim ( ax + 2 )
x →1

(

Câu 59.

).

)

x →1

x →1

x →1

x →1

)

Câu 60.
Câu 61.

x →1

x →1

2x +1 + x + 5

)

= lim
x →4

Câu 62.

x →( −1)

lim f ( x ) = lim

m = 3
Hàm số liên tục tại x0 = −2 khi và chỉ khi 4m 2 − 10m = 6 ⇔ 4m 2 − 10m − 6 = 0 ⇔ 
m = − 1

2
Mà m là số nguyên nên m = 3 .

x →−4

⇔ m = 2.

3x + 1 − 2
3x + 1 − 22
3
3

= lim
= lim
= .
x
→
1
x −1
( x − 1) 3 x + 1 + 2 x →1 3x + 1 + 2 4

DẠNG 3. LIÊN TỤC TRÊN KHOẢNG
Dạng 3.1 Xét tính liên tục trên khoảng của hàm số
Câu 64. Chọn A
Vì y = x3 − x là đa thức nên nó liên tục trên ℝ .

)

Với f (1) = m ta suy ra hàm số liện tục tại x = 1 khi m =

x → ( −1)

⇔ m = 0.
f ( 2 ) = 2m + 1 .

( x − 2) ( x2 + 2 x + 4 )
x3 − 8
= lim
= lim ( x 2 + 2 x + 4 ) = 12 .
x →2
x→2 x − 2
x→2

x →2
x−2
11
Hàm số liên tục tại x0 = 2 ⇔ f ( 2 ) = lim f ( x ) ⇔ 2m + 1 = 12 ⇔ m = .
x →2
2
− x2 + 2x + 8
2
Câu 63. TXĐ: D = ℝ ; có: lim f ( x ) = lim
= 6, f ( 2 ) = 4 m − 10m .
x →−2
x →−2
x+2

1
11
=a+2 ⇔ a = − .
6
6

Hàm số f ( x ) liên tục tại điểm x0 = −4 khi và chỉ khi lim f ( x ) = f ( −4 ) ⇔ −4m + 1 = −7

(

x2 − x − 2
= m 2 ⇔ 3 = m2 ⇔ m = ± 3 .
x−2
( x + 1)( x + 3)
x2 + 4 x + 3
= lim +

Ta có: lim + f ( x ) = lim +
= lim + ( x + 3 ) = 2 .
x→( −1)
x→( −1)
x →( −1)
x →( −1)
x +1
x +1
lim − f ( x ) = lim − ( mx + 2 ) = − m + 2 .
x→ 2

x →2

x →( −1)

Tập xác định: D = ℝ .
Ta có:
( x − 3)( x + 4 ) = lim x − 3 = −7 .
x 2 + x − 12
+ lim f ( x ) = lim
= lim
(
)
x →−4
x →−4
x →−4
x →−4
x+4
x+4
+ f ( −4 ) = −4 m + 1 .

x →1

x →1

Để hàm số đã cho liên tục tại điểm x = − 1 thì lim + f ( x ) = lim − f ( x ) = f ( −1) ⇔ 2 = − m + 2

1
1
=
2x +1 + x + 5 6

f ( 4) = a + 2 .
x →4

)

f ( −1) = − m + 2 .

Lời giải
x−4

Hàm số liên tục tại x0 = 4 khi: lim f ( x ) = f ( 4 ) ⇔

(

Hàm số f ( x ) liên tục tại ⇔ lim f ( x ) = f ( 2 ) ⇔ lim

x →( −1)

Câu 55.

(

)

x →1

⇔ lim− f ( x ) = lim+ f ( x ) = f (1) ⇔ 2a + 1 = 3 ⇔ a = 1 .

thì lim+ f ( x ) = lim− f ( x ) ⇔ 2 = m + 1 ⇔ m = 1 .

2x +1 − x + 5
lim f ( x ) = lim
= lim
x →4
x →4
x →4
x−4
( x − 4)

(

( x − 1) x 2 + 2
x3 − x 2 + 2 x − 2
= lim+
= lim+ x 2 + 2 = 3 .
x
→
1

x →1
x −1
x −1
Hàm số f ( x ) liên tục trên ℝ ⇔ hàm số f ( x ) liên tục tại x = 1
x →1

1
15
⇔a=− .
x →2
4
4
Ta có lim+ f ( x ) = lim+ ( x 2 + 1) = 2 ; lim− f ( x ) = lim− ( x + m ) = 1 + m . Để hàm số liên tục tại x0 = 1
x →1

x →1

+ lim+ f ( x ) = lim+

Hàm số liên tục tại x = 2 ⇔ lim f ( x ) = f ( 2 ) ⇔ a + 4 =

Ta có lim

Khi x < 1 thì f ( x ) = 2 x + a là hàm đa thức nên liên tục trên khoảng ( −∞;1) .

+ lim− f ( x ) = lim− ( 2 x + a ) = 2 + a .

(

Câu 57.

x+3−2
= lim+
x →1
x −1

Xét tính liên tục của hàm số tại điểm x = 1 , ta có:
+ f (1) = 2 + a .

x + 3 + 2 = 4( a + 2) .

Vậy có 2 giá trị của a để hàm số đã cho liên tục tại x = 1 .
x+2 −2
x−2
1
1
= lim
= lim
= .
Câu 53. Ta có: lim f ( x ) = lim
x →2
x →2
x →2
x−2
( x − 2 ) x + 2 + 2 x→ 2 x + 2 + 2 4

Câu 56.

x →1

Khi x > 1 thì f ( x ) =

a = 0
Hàm số đã cho liên tục tại x = 1 khi lim f ( x ) = f (1) ⇔ 4 ( a + 2 ) = 8 + a 2 ⇔ 
.
x →1
a = 4

x →1

x →1

x3 − x 2 + 2 x − 2
là hàm phân thức hữu tỉ xác định trên khoảng (1; + ∞ ) nên
x −1
liên tục trên khoảng (1; + ∞ ) .

.

f (1) = 8 + a 2 .

Câu 54.

1
1
1
= ; f (1) = lim− f ( x ) = m2 + m + .
x →1
4
x+3+2 4

1 1
 m = −1
2
Để hàm số f ( x ) liên tục tại x = 1 thì m + m + = ⇔ 
.
4 4
m = 0
Ta có lim+ f ( x ) = lim+

3
.
4
23

24


Câu 65.

* Ta có hai hàm số f 2 ( x ) =

3x + 1
và f 4 ( x ) = log 3 x có tập xác định khơng phải là tập ℝ nên
x−2

không thỏa yêu cầu.
* Cả hai hàm số f1 ( x ) = 2 x3 − 3 x + 1 và f3 ( x ) = cos x + 3 đều có tập xác định là ℝ đồng thời liên
tục trên ℝ .
Câu 66. Chọn D
x+5

Hàm số f ( x ) = 2
là hàm phân thức hữu tỉ và có TXĐ là D = ℝ do đó hàm số
x +4
x+5
f ( x) = 2
liên tục trên ℝ .
x +4
Câu 67. Chọn B
+ Với x > 2 , ta có f ( x ) = − x 2 + x + 3 là hàm đa thức

⇒ hàm số f ( x ) liên tục trên khoảng ( 2; + ∞ ) .
⇒ hàm số f ( x ) liên tục trên khoảng ( −∞; 2 ) .

2
2 3 x − x −1
= lim
x →1
x →1
x −1

x →2

x→2

x→ 2

⇒ Hàm số không liên tục trên ℝ .
Câu 68. Chọn B
Vì hàm số f ( x ) = x 4 − 4 x 2 có dạng đa thức với TXĐ: D = ℝ nên hàm số này liên tục trên ℝ

Tập xác định D = ℝ .
• Nếu x ≠ 0 , x ≠ 1 thì hàm số y = f ( x ) liên tục trên mỗi khoảng ( −∞;0 ) , ( 0;1) và (1; +∞ ) .
• Nếu x = 0 thì f ( 0 ) = 0 và lim− f ( x ) = lim−
x →0

x →0

x2
x2
= lim x = 0; lim+ f ( x ) = lim+
= lim+ x = 0 .
x→0
x →0 x
x →0
x x → 0−

3

Do đó, hàm số y = f ( x ) liên tục tại x = 0 .

lim f ( x ) = lim
x →2


x
= lim− x = 1
 lim− f ( x ) = lim
x →1− x
x →1
• Nếu x = 1 thì f (1) = 1 và  x→1

⇒ lim f ( x ) = 1 = f (1) .
x →1
 lim f ( x ) = lim x = 1
 x→1+
x →1+
Do đó, hàm số y = f ( x ) liên tục tại x = 1 .
2

x→2

= lim
x→2

Ta có: lim+ ( x + 1) = 2 và lim− sin π x = 0 ⇒ lim+ f ( x ) ≠ lim− f ( x ) do đó hàm số gián đoạn tại
x →1

x →1

x →1

x =1.
Tương tự: lim − ( x + 1) = 0 và lim + sin π x = 0

= lim
x→2

x→( −1)

⇒ lim + f ( x ) = lim − f ( x ) = lim f ( x ) = f ( −1) do đó hàm số liên tục tại x = −1 .
x → ( −1)

x −1

= lim

x →1 3

4x − 2
x−2

2
4 x − 2  3 4 x + 2 3 4 x + 4



= lim
2


x→2
3
3
( x − 2 )  4 x + 2 4 x + 4



(

Vậy hàm số y = f ( x ) liên tục trên ℝ .

x → ( −1)

)

x − 1 − ( x − 1)

f ( 2 ) = 2a + 3.

x→0

x →( −1)

3

Tại x = 2 , ta có:

Suy ra: lim f ( x ) = 0 = f ( 0 ) .

x →1

(

2
2
1
−1 = −1 = − .
3
3
x2 + 3 x + 1
1

4
Đề hàm số liên tục tại x = 1 thì lim y = y (1) ⇔ m + 1 = − ⇔ m = − .
x →1
3
3
4
Vậy với m = − thì hàm số liên tục trên ℝ .
3
Câu 74. Chọn D
Tập xác định của hàm số là D = R.
3
3
4x − 2
4x − 2
Nếu x ≠ 2 , ta có f ( x ) =
. Hàm số f ( x ) =
xác định và liên tục trên mỗi khoảng
x−2
x−2
( −∞; 2) và ( 2; + ∞ ) .

⇒ lim+ f ( x ) ≠ lim− f ( x ) ⇒ không tồn tại lim f ( x ) ⇒ hàm số gián đoạn tại x0 = 2 .

Câu 70.

Dạng 3.2 Bài toán chứa tham số
Câu 73. Chọn A

x →1

lim− f ( x ) = lim− ( 5 x + 2 ) = 12

Câu 69.

Vì f là hàm lượng giác nên hàm số f gián đoạn khi và chỉ khi hàm số f gián đoạn tại x làm
π
π
1
2018
cho cos x = 0 ⇔ x = + kπ ( k ∈ ℤ ) ∈ ( 0; 2018 ) ⇔ 0 < + kπ < 2018 ⇔ 0 < + k <
2
2
2
π
1
2018 1
⇔− − ⇔ 0 ≤ k ≤ 641 .
π
2
2

lim y = lim

x→2

x→ 2

Câu 72.

x
là ℝ \ {1} .
x +1
Hàm số liên tục trên từng khoảng ( −∞;1) và (1; +∞ ) nên hàm số không liên tục trên ℝ .
Tập xác định của hàm số y =

2 3 x − x −1
liên tục trên khoảng ( −∞;1) và (1; +∞ ) .
x −1
+) Xét x = 1 , ta có y (1) = m + 1 và

+ T ại x = 2
lim+ f ( x ) = lim+ ( − x 2 + x + 3) = 1
x →2

Câu 71.

+) Xét x ≠ 1 , hàm số y =

+ Với x < 2 , ta có f ( x ) = 5 x + 2 là hàm đa thức

x →2

Vậy hàm số đã cho liên tục trên các khoảng ( −∞;1) và (1; +∞ ) .

=

x →−1

Với x ≠ ± 1 thì hàm số liên tục trên tập xác định.

25

)( )
( )

3

4 ( x − 2)

( x − 2 ) 


(

3

4x

)

2

+ 2 3 4 x + 4


4

(

3

4x

)

2

+ 2 3 4x + 4

1
3
26


1
4
Hàm số liên tục tại x = 2 khi và chỉ khi lim f ( x ) = f ( 2 ) ⇔ 2a + 3 = ⇔ a = − .
x →2
3
3
4
Vậy hàm số liên tục trên R khi và chỉ khi a = − .
3
Câu 75. Chọn C
x2 − 1
Do lim f ( x ) = lim
= lim ( x + 1) = 2 nên hàm số liên tục tại x = 1 khi
x →1
x →1 x − 1
x →1

lim f ( x ) = f (1) ⇔ m − 2 = 2 ⇔ m = 4 . Khi đó hàm số liên tục trên ℝ .

Hàm số f ( x ) liên tục trên ℝ khi và chỉ khi hàm số f ( x ) liên tục tại x = 1
⇔ lim+ f ( x ) = lim− f ( x ) = f (1) .
x →1

x →2

x →2

x →2

(

)

∀x0 ∈ ( 2; + ∞ ) : lim x0 2 + 2 x0 − 2 = x0 2 + 2 x0 − 2 = f ( x0 ) ⇒ hàm số liên tục trên ( 2;+ ∞ ) .

lim f ( x ) = lim+

x →0+

+ Xét trên ( −∞; 2) khi đó f ( x ) = 5x − 5m + m2 là hàm đa thức liên tục trên ℝ ⇒ hàm số liên tục

(

)

x→2

1+ 2x −1
= lim+
x →0
x
x

x→ 2

x − 3x + 2 x
= lim
x→ 2
x ( x − 2)

Câu 83.

2x

(

)

1+ 2x +1

= lim+
x →0

2
= 1;
1+ 2x +1

x→1

x →1

x →1

1
.
6

Khi x < 0 thì f ( x ) = a cos x + b sin x liên tục với x < 0 .
Tại x = 0 ta có f ( 0 ) = a .
lim f ( x ) = lim+ ( ax + b + 1) = b + 1 .

x →0+

x ( x − 1)( x − 2 )
x ( x − 2)

= f ( 2 ) ⇔ lim

x ( x − 1)

x→2

x

x→0

lim− f ( x ) = lim− ( a cos x + b sin x ) = a .

x→0

x→0

Để hàm số liên tục tại x = 0 thì lim+ f ( x ) = lim− f ( x ) = f ( 0 ) ⇔ a = b + 1 ⇔ a − b = 1 .
x →0

Câu 84.

x→ 0

Ta có hàm số liên tục trên các khoảng ( −∞; − 1) và ( −1; + ∞ ) .
Xét tính liên tục của hàm số tại x = −1 .
Có y ( −1) = −2 = lim+ y và lim− y = −1 + m .
x →− 1

= b ⇔ b = 1.

x→−1

Để hàm số liên tục trên ℝ thì y ( −1) = lim+ y = lim− y ⇔ −2 = −1 + m ⇔ m = −1 .
x →−1

Câu 85.

Ta thấy hàm số f ( x ) liên tục trên các khoảng ( −∞;1) và (1; + ∞ ) .
x→1

x →1

Khi x > 0 thì f ( x ) = ax + b + 1 liên tục với mọi x > 0 .

Vậy T = a 2 + b 2 = 1 + 1 = 2 .
Câu 79. Tập xác định D = ℝ , f (1) = 1 − m .

lim+ f ( x ) = lim+

x →1

x →1

x ( x − 1)( x − 2 )
( x −1)( x − 2 ) = a
x 3 − 3x 2 + 2 x
lim f ( x ) = lim
= lim
= f ( 0 ) ⇔ lim
⇔ a = −1 .
x →0
x →0
x →0
x →0
x ( x − 2)
x ( x − 2)
x−2
2

x →1

Do đó lim+ f ( x ) = lim− f ( x ) = f (1) ⇔ 6 P − 3 = −2 ⇔ P =

Hàm số liên tục trên ℝ khi và chỉ khi hàm số liên tục tại x = 0 ⇔ a − 1 = 1 ⇔ a = 2 .
Câu 78. Chọn A
Vì hàm số f ( x ) liên tục trên ℝ suy ra hàm số cũng liên tục tại x = 0 và x = 2 . Do đó

3

x →1

f (1) = 6 P − 3

x→0

x→ 0

x→0

x2 − 4x + 3
= lim+ ( x − 3) = −2
x →1
x −1
lim− f ( x ) = lim− ( 6 Px − 3 ) = 6 P − 3

lim f ( x ) = lim− ( 3 x + a − 1) = a − 1 ;

lim f ( x ) = lim+

x →0

lim+ f ( x ) = lim+

m = 2
⇔ lim+ f ( x ) = lim− f ( x ) = f ( 2) ⇔ m2 − 5m + 10 = 4 ⇔ m2 − 5m + 6 = 0 ⇔ 
.
x →2
x →2
m = 3
Câu 77. Chọn D
Hàm số liên tục tại mọi điểm x ≠ 0 với bất kỳ a.
Với x = 0 Ta có f ( 0 ) = a − 1;

x →2

x →0

Hàm số y = f ( x ) liên tục trên ℝ ⇒ y = f ( x ) liên tục tại x = 1
x →1

x→2

Để hàm số đã cho liên tục trên ℝ thì nó phải liên tục tại x0 = 2 .

lim f ( x ) = lim

)

x − m = −m ; lim− f ( x ) = lim− ( mx + 1) = 1 ; f ( 0 ) = −m .

⇒ lim+ f ( x ) = lim− f ( x ) = f (1)

lim f ( x ) = lim+ x 2 + 2 x − 2 = 4; lim− f ( x ) = lim− ( 5 x − 5m + m 2 ) = m 2 − 5m + 10 .

x → 0+

(

f ( x ) liên tục tại x = 0 ⇔ lim+ f ( x ) = lim− f ( x ) = f ( 0 ) ⇔ − m = 1 ⇔ m = −1 .

Câu 82.

+ Xét tại x0 = 2 , ta có: f ( 2 ) = 4 .

x → 0−

x →0

x→0

trên ( −∞;2 ) .

x→2

x →2

Phương trình (1) ln có hai nghiệm thực phân biệt. Vậy có hai giá trị của m .
Câu 81. Hàm số f ( x ) liên tục trên ℝ ⇔ f ( x ) liên tục tại x = 0 .

+ Xét trên ( 2;+ ∞) khi đó f ( x ) = x 2 + 2 x − 2 .

x → 2+

x→ 2

Hàm số liên tục tại x = 2 khi và chỉ khi
lim+ f ( x ) = lim+ f ( x ) = f ( 2 ) ⇔ 4m2 = (1 − m ) 2 ⇔ 4m2 + 2m − 2 = 0 (1)

Chọn A
TXĐ: ℝ .

x → x0

x →2

lim− f ( x ) = lim− ( m 2 x 2 ) = 4m 2 ; f ( 2 ) = 4m2 .

x →1

Câu 76.

x →1

⇔ 1− m = 1 ⇔ m = 0 .
Câu 80. Ta có hàm số ln liên tục ∀x ≠ 2 .
Tại x = 2 , ta có lim+ f ( x ) = lim− (1 − m ) x = (1 − m ) 2 ;

Khi x > 0 ta có: f ( x) =

x →−1

x +1 −1
liên tục trên khoảng ( 0; +∞ ) .
x

Khi x < 0 ta có: f ( x) = x 2 + 1 − m liên tục trên khoảng ( −∞; 0 ) .

x −1
= 1 , lim− f ( x ) = lim− ( m.e x −1 + 1 − 2mx 2 ) = 1 − m .
x →1
x →1
ln x

Hàm số liên tục trên ℝ khi và chỉ khi hàm số liên tục tại x = 0 .

27

28


Ta có: lim+ f ( x) = lim+
x→0

x →0

lim f ( x) = lim−

x → 0−

x →0

(

x +1 −1
= lim+
x →0
x

)

x2 + 1 − m = 1 − m = f (0) .

Do đó hàm số liên tục tại x = 0 khi và chỉ khi
Câu 86.

 f (0) = 1

Vì ta có:  f (1) = −1.
 f (2) = 15

Câu 90. Xét hàm số f ( x ) = 3 x 2017 − 8 x + 4 .

1
1
= .
x +1 +1 2

1
1
= 1− m ⇔ m = .
2

2

Hàm số liên tục trên đoạn [ 0;1] và f ( 0 ) . f (1) = 4. ( −1) = −4 ⇒ f ( 0 ) . f (1) < 0 .
Vậy phương trình 3x 2017 − 8 x + 4 = 0 có nghiệm trong khoảng ( 0;1) .

Tập xác định D = R .

x 2 + 16 − 5
xác định và liên tục trên các khoảng ( −∞;3) và ( 3; +∞ ) .
x−3
x+3
3
x 2 + 16 − 5
= .
Khi x = 3 thì f ( 3 ) = a và lim f ( x ) = lim
= lim
2
x→3
x →3
x →3
x−3
x + 16 + 5 5
3
Hàm số đã cho liên tục trên R khi và chỉ khi nó liên tục tại điểm x = 3 ⇔ a = .
5
x 2 − 16
Câu 87. *) Với x > 4 thì f ( x ) =
là hàm phân thức nên liên tục trên TXĐ của nó ⇒ f ( x ) liên
x−4
tục trên ( 4; +∞ ) .

Câu 91.

Khi x ≠ 3 thì f ( x ) =

Ta có f ( x ) liên tục trên đoạn [ −1;1] .
f ( −1) = 4 , f ( 0 ) = −3 , f (1) = 2 ⇒ f ( −1) . f ( 0 ) < 0 , f (1) . f ( 0 ) < 0 .

Như vậy phương trình f ( x ) = 0 có hai nghiệm trong khoảng ( −1;1) .
Mặt khác f ′ ( x ) = 6 x3 + 4 x − 1 . Ta có f ′ ( −1) = −11 ,

f ′′ ( x ) = 18 x 2 + 4 > 0 với ∀x ∈ ( −1;1) nên f ′ ( x ) là hàm số đồng biến trên khoảng ( −1;1) ⇒

phương trình f ′ ( x ) = 0 có duy nhất nghiệm trên khoảng ( −1;1) . Do đó f ( x ) = 0 có tối đa hai
nghiệm trên khoảng ( −1;1) .
Câu 92.

Suy ra: Hàm số f ( x ) liên tục trên ℝ ⇔ f ( x ) liên tục tại x = 4 .
⇔ lim+ f ( x ) = lim− f ( x ) = f ( 4 ) ⇔ lim+
x→4

x→4

x→ 4

x 2 − 16
= lim− ( mx + 1) = 4 m + 1 ⇔ lim+ ( x + 4 ) = 4m + 1
x→4
x→4
x−4

 f ( −2 ) = −126
Ta có: 
 f ( −1) = 2
Suy ra f ( −2 ) . f ( −1) = −126.2 = −252 < 0 ( 2 )

Với −5 < x < 10 ta có f ( x ) = x + 7 , là hàm đa thức nên liên tục trên ( −5;10 ) .
Với x > 10 ta có f ( x ) = ax + b + 10 , là hàm đa thức nên liên tục trên (10; +∞ ) .

Câu 93.

Để hàm số liên tục trên R thì hàm số phải liên tục tại x = −5 và x = 10 .
Ta có:
f ( −5 ) = 12 ; f (10 ) = 17 .

(

Do f ( −5 ) = −211, f ( −1) = 5 > 0, f ( 2 ) = −1 < 0, f ( 3 ) = 29 > 0 nên phương trình có ít nhất 3

)

Câu 94.

lim+ f ( x ) = lim+ ( x + 17 ) = 12 .

x →−5

x →−5

lim f ( x ) = lim− ( x + 17 ) = 27 .

x →10−

 f ( a ) − a   f ( b ) − b  = ( b − a )( a − b ) = − ( a − b ) < 0 .
Suy ra: phương trình f ( x ) = x có nghiệm trên khoảng ( a; b ) .
Câu 95. Chọn C
 f ( 2 ) = 8 + 4a + 2b + c < 0
Đặt f ( x ) = x 3 + ax 2 + bx + c . Khi đó 
 f ( −2 ) = −8 + 4a − 2b + c > 0

x →10

Hàm số liên tục tại x = −5 và x = 10 khi
5a + b + 25 = 12
 −5a + b = −13
a = 2
⇔
⇔
⇒ a + b = −1

10a + b + 10 = 27
10a + b = 17
b = −3
Câu 89.

có đúng 3 nghiệm trên ℝ . Do đó C sai.
Chọn B
Hàm số y = f ( x ) − x liên tục trên đoạn [ a; b ] .
2

x →10

lim+ f ( x ) = lim+ ( ax + b + 10 ) = 10a + b + 10 .

x →10

Từ (1) và ( 2 ) suy ra f ( x ) = 0 có nghiệm thuộc khoảng ( −2; −1) .
Chọn C
Hàm số f ( x ) = 2 x 3 − 8 x − 1 liên tục trên ℝ .
nghiệm trên ( −5; −1) , ( −1; 2 ) , ( 2; 3) . Mà phương trình bậc ba có tối đa 3 nghiệm nên phương trình

lim f ( x ) = lim− x 2 + ax + b = −5a + b + 25 .
x →−5

Vậy phương trình (1) có đúng hai nghiệm trên khoảng ( −1;1) .
Chọn A
Đặt f ( x ) = 3 x 5 + 5 x 3 + 10
f ( x ) liên tục trên ℝ nên f ( x ) liên tục trên [ −2; −1] (1)

7
⇔ 4m + 1 = 8 ⇔ m = .
4
Câu 88. Với x < −5 ta có f ( x ) = x 2 + ax + b , là hàm đa thức nên liên tục trên ( −∞; −5 ) .

x →−5−

f ′ (1) = 9 ⇒ f ′ ( −1) . f ′ (1) < 0 . Do đó

phương trình f ′ ( x ) = 0 có nghiệm trong khoảng ( −1;1) .

*) Với x < 4 thì f ( x ) = mx + 1 là hàm đa thức nên liên tục trên ℝ ⇒ f ( x ) liên tục trên ( −∞; 4 ) .
Do vậy hàm số f ( x ) đã liên tục trên các khoảng ( 4; +∞ ) , ( −∞; 4 ) .

Xét f ( x ) = 4 x 4 + 2 x 2 − x − 3 = 0 trên khoảng [ −1;1] .

DẠNG 4. CHỨNG MINH PHƯƠNG TRÌNH CĨ NGHIỆM
Chọn C

f ( x ) là hàm đa thức liên tục trên ℝ .

29

30


 f ( 2 ) < 0
⇒ f ( −2 ) . f ( 2 ) < 0 ⇒ đồ thị hàm số y = f ( x ) cắt trục Ox tại ít nhất một điểm

 f ( −2 ) > 0
trong khoảng ( −2; 2 ) .

 f ( 2 ) < 0
⇒ đồ thị hàm số y = f ( x ) cắt trục Ox tại ít nhất một điểm trong khoảng

f ( x ) = +∞
 xlim
→+∞
( 2; + ∞ ) .
 f ( −2 ) > 0
⇒ đồ thị hàm số y = f ( x ) cắt trục Ox tại ít nhất một điểm trong khoảng


f ( x ) = −∞
 xlim
→−∞
( −∞ ; − 2 ) .
Mà hàm số f ( x ) là hàm bậc ba nên đồ thị của nó cắt trục Ox tối đa tại 3 điểm.
Vậy đồ thị hàm số y = f ( x ) cắt trục Ox tại đúng 3 điểm.
Câu 96. Vì hàm số đã cho là hàm đa thức bậc ba nên đồ thị hàm số liên tục trên ℝ và số giao điểm của
đồ thị hàm số với trục Ox nhiều nhất là 3 .
Theo đề bài ta có lim y = −∞ , lim y = +∞
x→−∞

x →+∞

y ( −1) = a + c − b − 1 > 0 , y (1) = a + b + c + 1 < 0 ,

Do đó hàm số đã cho có ít nhất một nghiệm trên mỗi khoảng ( −∞; −1) , ( −1;1) , (1; +∞ ) .
Từ đó suy ra số giao điểm cần tìm là 3 .

31


TOÁN 11

ĐẠO HÀM BẰNG ĐỊNH NGHĨA

A. 12.

1D5-1
Câu 9.

PHẦN A. CÂU HỎI
Câu 1.

(THPT Chuyên Hùng Vương-Phú Thọ-lần 1-NH2017-2018) Phát biểu nào trong các phát biểu
sau là đúng?
A. Nếu hàm số y = f ( x ) có đạo hàm trái tại x0 thì nó liên tục tại điểm đó.
B. Nếu hàm số y = f ( x ) có đạo hàm phải tại x0 thì nó liên tục tại điểm đó.
C. Nếu hàm số y = f ( x ) có đạo hàm tại x0 thì nó liên tục tại điểm − x0 .
D. Nếu hàm số y = f ( x ) có đạo hàm tại x0 thì nó liên tục tại điểm đó.

Câu 2.

Câu 3.

Câu 4.

Câu 5.

1
∆y
Cho hàm số y = . Tính tỉ số
theo x0 và ∆x (trong đó ∆x là số gia của đối số tại x0 và ∆y
x
∆x
là số gia tương ứng của hàm số) được kết quả là
∆y
1
∆y
1

∆y
1
∆y
1
=−
=
A.
.
B.
.
C.
. D.
.
=
=−
∆x
x0 + ∆x
∆x x0 + ∆x
∆x x0 ( x0 + ∆x )
∆x
x0 ( x0 + ∆x )
Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm tại x0 là f ′( x0 ) . Khẳng định nào sau đây là sai?
f ( x0 + ∆ x) − f ( x0 )
f ( x + x0 ) − f ( x0 )
A. f ′( x0 ) = lim
.
B. f ′( x0 ) = lim
.
∆x →0
x → x0

∆x
x − x0
f ( x) − f ( x0 )
f (h + x0 ) − f ( x0 )
C. f ′( x0 ) = lim
.
D. f ′( x0 ) = lim
.
x → x0
h→0
x − x0
h

Câu 12.

∆x
.
2 ( 2 + ∆x )

x →3

D. f ′ ( 3 ) = 2 .

(THPT Chuyên Vĩnh Phúc-MĐ 903 lần 1-năm 2017-2018) Cho hàm số y = x3 + 1 gọi ∆x là
∆y
số gia của đối số tại x và ∆y là số gia tương ứng của hàm số, tính
.
∆x
3
2

A. 3 x 2 − 3 x.∆x + ( ∆x ) . B. 3 x 2 + 3 x.∆x + ( ∆x ) .
2

3

C. 3 x 2 + 3 x.∆x − ( ∆x ) . D. 3 x 2 + 3 x.∆x + ( ∆x ) .
Câu 8.

1
.
2

3x
. Tính f ′ ( 0 ) .
1+ x

B. f ′ ( 0) = 1 .

1
C. f ′ ( 0 ) = .
3

D. f ′ ( 0 ) = 3 .

D. −

9
.
64

lim

∆y
của hàm số f ( x ) = 3 x + 1 theo x là:
∆x
3
3
3x
.
B.
.
C.
.
3x + 1
2 3x + 1
2 3x + 1

∆x →0

Cho f ( x ) = x 2018 − 1009 x 2 + 2019 x . Giá trị của lim

(THPT Chuyên ĐHSP – Hà Nội - Lần 1 năm 2017 – 2018) Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm
f ( x ) − f ( 6)
thỏa mãn f ′ ( 6 ) = 2. Giá trị của biểu thức lim
bằng
x →6
x−6
1

Câu 14.

f ( ∆x + 1) − f (1)

∆x →0

A. 1009 .

(THPT Yên Lạc 2-Vĩnh Phúc-lần 1-năm 2017-2018) Cho hàm số y = f ( x ) xác định trên ℝ

f ( x ) − f ( 3)
= 2 . Kết quả đúng là
x −3
A. f ′ ( 2 ) = 3 .
B. f ′ ( x ) = 2 .
C. f ′ ( x ) = 3 .

D.

 x2 − 7 x + 12
khi x ≠ 3

Cho hàm số y = 
. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
x−3
 −1
khi
x
=
3


A. Hàm số liên tục nhưng khơng có đạo hàm tại x0 = 3 .

A.

thỏa mãn lim

Câu 7.

Câu 11.

Câu 13.
D. ∆y = −

1
.
3

B. Hàm số có đạo hàm nhưng khơng liên tục tại x0 = 3 .
C. Hàm số gián đoạn và khơng có đạo hàm tại x0 = 3 .
D. Hàm số liên tục và có đạo hàm tại x0 = 3 .

Tính số gia ∆y của hàm số y =
4 + ∆x
.
2 ( 2 + ∆x )

C.

 3x + 1 − 2 x
khi x ≠ 1


x −1
Câu 10. Cho hàm số f ( x ) = 
. Tính f ' ( 1) .
 −5
khi x = 1
 4
7
A. Không tồn tại.
B. 0
C. − .
50

Số gia ∆y của hàm số f ( x ) = x tại x0 = −1 ứng với số gia của biến số ∆x = 1 là
A. 2 .
B. 1 .
C. −1 .
D. 0 .

A. ∆y =
Câu 6.

A. f ′ ( 0 ) = 0 .

4

1
theo ∆x tại x0 = 2 .
x
∆x

1
B. ∆y =
.
C. ∆y =
.
2
2 ( 2 + ∆x )
( ∆x )

Cho hàm số f ( x ) =

B. 2 .

B. 1008 .

C. 2018 .

∆x

D.

1
.
2 3x + 1

bằng:

D. 2019 .

(THPT CHUYÊN QUANG TRUNG - BP - LẦN 1 - 2018) Cho hàm số

 x 2 + 1, x ≥ 1
Mệnh đề sai là
y = f ( x) = 
x < 1.
 2 x,
A. f ′ (1) = 2 .

B. f khơng có đạo hàm tại x0 = 1.

C. f ′ ( 0 ) = 2.

D. f ′ ( 2 ) = 4.

 3 − x2
 2
Câu 15. (TOÁN HỌC VÀ TUỔI TRẺ SỐ 1 - 2018) Cho hàm số f ( x ) = 
1
 x
định nào dưới đây là sai?
A. Hàm số f ( x ) liên tục tại x = 1 .

khi x < 1
. Khẳng
khi x ≥ 1

B. Hàm số f ( x ) có đạo hàm tại x = 1 .
C. Hàm số f ( x ) liên tục tại x = 1 và hàm số f ( x ) cũng có đạo hàm tại x = 1 .
2

D. Hàm số f ( x ) khơng có đạo hàm tại x = 1 .
Câu 16.

(THPT HOÀNG HOA THÁM - HƯNG YÊN - 2018) Cho hàm
 ax 2 + bx khi x ≥ 1
. Để hàm số đã cho có đạo hàm tại x = 1 thì 2a + b bằng:
f ( x) = 
 2 x − 1 khi x < 1
A. 2 .
B. 5 .
C. −2 .
D. −5 .

số

( III ) : Nếu f ( x )

Câu 17. (CHUYÊN BẮC NINH - LẦN 2 - 2018) Cho hàm số f ( x ) = x − 1 . Khẳng định nào sau đây là
khẳng định sai?
A. f (1) = 0 .
B. f ( x ) có đạo hàm tại x = 1 .
C. f ( x ) liên tục tại x = 1 .
Câu 18.

Câu 19.

B. T = 0 .

C. T = −6 .

D. T = 4 .

( x 2 + 2012) 7 1 − 2 x − 2012 a
a
= , với
là phân số
x →0
x
b
b
tối giản, a là số nguyên âm. Tổng a + b bằng
A. −4017 .
B. −4018 .
C. −4015 .
D. −4016 .
(THPT HÀ HUY TẬP - LẦN 2 - 2018) lim

3 − 4 − x

4
Câu 20. (THPT Xuân Hòa-Vĩnh Phúc-năm 2017-2018) Cho hàm số f ( x ) = 
1
 4
Khi đó f ′ ( 0 ) là kết quả nào sau đây?

A.
Câu 21.

1
.

4

B.

Câu 25.

C.

1
.
32

B. y = x 2 − 4 x + 5 .

C. y = sin x .

2 f ( x ) − xf ( 2 )

x→2

A. 0 .

x−2

(

.

D. Không tồn tại.

Câu 24.

B. f ′ ( 0 ) = 1 .

C. f ′ ( 0 ) = −2 .

)

(

)

C. S = 2 3 − 4 2 .

Chọn D
Ta có định lí sau:
Nếu hàm số y = f ( x ) có đạo hàm tại x0 thì nó liên tục tại điểm đó.

Câu 2.

Chọn D
1
1
∆x
.
∆y =
− =−
x0 + ∆x x0
x0 ( x0 + ∆x )
∆y

1
Suy ra
.
=−
∆x
x0 ( x0 + ∆x )
Chọn A
Theo định nghĩa đạo hàm của hàm số tại một điểm
Chọn C
∆y = f ( x0 + ∆) − f ( x0 ) = (−1 + 1)4 − 14 = −1 .
Chọn D
1
1
∆x
Ta có ∆y =
.
−
=−
2 + ∆x ∆x
∆x ( 2 + ∆x )
Chọn D
Theo định nghĩa đạo hàm của hàm số tại một điểm ta có
f ( x ) − f ( 3)
lim
= 2 = f ′ ( 3) .
x →3
x −3
Chọn B
Ta có :

D. y = 2 − cos x .
Câu 3.

Câu 5.

D. f ( 2 ) − 2 f ′ ( 2 ) .

( x − 1) khi x ≥ 0
(THPT Đô Lương 4-Nghệ An năm 2017-2018) Cho hàm số f ( x ) = 
có đạo
2
khi x < 0
− x
hàm tại điểm x0 = 0 là?
A. f ′ ( 0 ) = 0 .

(

B. S = 2 1 + 4 2 .

Câu 1.

2

Câu 23.

)

(

)

D. S = 2 3 + 2 2 .

Câu 26. (THPT Chuyên Lương Thế Vinh - Hà Nội – Lần 2 năm 2017 – 2018) Cho hàm số
 x 2 + ax + b
khi x ≥ 2
y= 3 2
. Biết hàm số có đạo hàm tại điểm x = 2 . Giá trị của a 2 + b 2
 x − x − 8 x + 10 khi x < 2
bằng
A. 20 .
B. 17 .
C. 18 .
D. 25 .

Câu 4.
C. 2 f ′ ( 2 ) − f ( 2 ) .

khi 0 < x < x0
 a x
(THTT số 6-489 tháng 3 năm 2018) Cho hàm số f ( x ) =  2
. Biết rằng
 x + 12 khi x ≥ x0
ta ln tìm được một số dương x0 và một số thực a để hàm số f có đạo hàm liên tục trên

A. S = 2 3 − 2 2 .

khi x = 0

.

B. f ′ ( 2 ) .

D. 1 .

PHẦN B. LỜI GIẢI

khi x ≠ 0

(THTT Số 4-487 tháng 1 năm 2017-2018) Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm tại điểm x0 = 2 .
Tìm lim

có hai nghiệm phân biệt thuộc khoảng ( a; b ) thì giữa hai nghiệm đó ln tồn tại

khoảng ( 0; +∞ ) . Tính giá trị S = x0 + a .

(THPT Chuyên Vĩnh Phúc-lần 1 MĐ 904 năm 2017-2018) Hàm số nào sau đây khơng có đạo
hàm trên ℝ ?
A. y = x − 1 .

Câu 22.

1
.
16

c ∈ ( a; b ) sao cho f ′ ( c ) =

một nghiệm của f ′ ( x ) .

Số khẳng định đúng trong ba khẳng định trên là
A. 0 .
B. 2 .
C. 3 .

D. f ( x ) đạt giá trị nhỏ nhất tại x = 1 .

 ax 2 + bx + 1, x ≥ 0
(ĐẶNG THÚC HỨA - NGHỆ AN - LẦN 1 - 2018) Cho hàm số f ( x ) = 
.
 ax − b − 1, x < 0
Khi hàm số f ( x ) có đạo hàm tại x0 = 0 . Hãy tính T = a + 2b .

A. T = −4 .

f (b) − f ( a )
.
b−a
( II ) : Nếu f ( a ) = f ( b ) thì luôn tồn tại c ∈ ( a; b ) sao cho f ′ ( c ) = 0 .

( I ) : Tồn tại một số

Câu 6.

D. Không tồn tại.

(THPT Chuyên Hùng Vương-Bình Phước-lần 2-năm 2017-2018) Cho hàm số f ( x ) liên tục

trên đoạn [ a; b ] và có đạo hàm trên khoảng ( a; b ) . Trong các khẳng định

Câu 7.

3

∆y = f ( x + ∆x ) − f ( x ) = ( x + ∆x ) + 1 − ( x 3 + 1) = 3 x 2 .∆x + 3x.∆ 2 x + ∆3 x = ∆x ( 3 x 2 + 3 x.∆x + ∆ 2 x )
3

4


∆y
2
= 3x 2 + 3x.∆x + ∆ 2 x = 3x 2 + 3 x.∆x + ( ∆x ) .
∆x
Chọn B
Hàm số y = f ( x ) có tập xác định là D và x0 ∈ D . Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn)
⇒

Câu 8.

lim

f ( x ) − f ( x0 )
x − x0

x → x0

Theo định nghĩa đạo hàm ta có lim

= f ' (1) .

∆x
Mà f ' ( x ) = 2018 x 2017 − 2018 x + 2019 ⇒ f ' (1) = 2019 .
Vậy giá trị của lim

f ( x ) − f (1)
2x − 2
= lim−
= 2;
x →1
x
−
1
x −1
Câu 14. Ta có
f ( x ) − f (1)
x2 + 1 − 2
lim
= lim+
= lim+ ( x + 1) = 2.
x →1+
x →1
x →1
x −1
x −1
−
+
Vậy f ′ 1 = f ′ 1 = f ′ (1) = 2. Suy ra hàm số có đạo hàm tại x0 = 1. Vậy B sai.

( )

f ( x ) − f ( 0)
3
= lim
.
x →0
x →0 1 + x
x
3
3
3
3
3
3
= lim+
= 3; lim−
= lim−
= 3 ⇒ lim+
= lim−
=3
Mà lim+
x→ 0 1 + x
x →0 1 + x
x →0 1 + x
x →0 1 − x
x →0 1 + x
x →0 1 + x
3
⇒ f ′ ( 0 ) = lim
= 3.
x →0 1 + x

Câu 15.

1
3 − x2
= 1 và lim+ f ( x ) = lim+ = 1. Do đó, hàm số f ( x ) liên tục tại x = 1 .
x →1
x →1 x
2
f ( x ) − f (1)
1 − x2
1+ x
lim−
= lim−
= lim−
= −1 và
x→1
x →1 2 ( x − 1)
x →1 −2
x −1
x →1

lim+
x →1

Câu 16.

Chọn D
Ta có:
x →1

x →1

(

)

−4 x − 1

(

3x + 1 + 2x

)

=

Câu 11.

16 ( 3 x + 1) − ( 3 x + 5 )
2

(

= lim−
x→1

2x −1 −1
= 2;
x −1

f ( x ) − f (1)

(

= lim+

2

4 ( x − 1) 4 3 x + 1 + 3 x + 5

)

= lim
x →1

−9

(

4 4 3x + 1 + 3x + 5

)

=−

f ( x ) − f (1)
x −1

x →1

Câu 17.

)

3 ( x + ∆x ) + 1 − 3x + 1
∆y
3
3
= lim
.
= lim
=
∆x → 0
∆x ∆x→0
∆x
3 ( x + ∆x ) + 1 + 3 x + 1 2 3x + 1

Chọn

D.

x →1

f ( x ) − f (1)
x −1

⇔ 2a + b = 2 .

f ( x ) − f (1)

f ( x ) − f (1)
1− x − 0
x −1 − 0
= lim−
= −1 và lim+
= lim+
= 1.
x →1
x →1
x →1
x −1
x −1
x −1
x −1
Do đó hàm số khơng có đại hàm tại x = 1 .
Câu 18. Ta có f ( 0 ) = 1 .
x →1

lim f ( x ) = lim+ ax 2 + bx + 1 = 1 .

x →0+

x →0

(

)

lim− f ( x ) = lim− ( ax − b − 1) = −b − 1 .

x →0

x →0

Để hàm số có đạo hàm tại x0 = 0 thì hàm số phải liên tục tại x0 = 0 nên
f ( 0 ) = lim+ f ( x ) = lim− f ( x ) . Suy ra −b − 1 = 1 ⇔ b = −2 .
x →0

x →3

Ta có: lim

= lim+

Ta có f (1) = 0 .
lim−

9
64

x 2 − 7 x + 12
= lim ( x − 4 ) = −1 = f ( 3 ) .
x →3
x−3
f ( x ) − f ( 3)
x 2 − 7 x + 12 − 0
Đạo hàm của hàm số tại x0 = 3 lim
= lim
= −1 = f (3)

x →3
x
→
3
x −3
x−3
Suy ra: Hàm số liên tục và có đạo hàm tại x0 = 3 .
Câu 12. Chọn B

Câu 13.

x −1

Theo yêu cầu bài toán: lim−

lim f ( x ) = lim

∆x →0

f ( x ) − f (1)

x →1

x →1

Chọn D
TXĐ: D = ℝ .
 x 2 − 7 x + 12
khi x ≠ 3


y = f ( x) = 
x −3
 −1
khi x = 3

x →3

f ( x ) − f (1)
1− x
−1
= lim+
= lim+
= −1 . Do đó, hàm số f ( x ) có đạo hàm tại x = 1 .
x →1 x ( x − 1)
x →1 x
x −1

lim−
lim+

3x + 1 − 2x 5
+
f ( x ) − f ( 1)
x −1
4 = lim 4 3 x + 1 − 3 x − 5
f ' (1) = lim
= lim
2
x →1
x

→
1
x →1
x −1
x −1
4 ( x − 1)
x →1

x →1

a x 2 − 1 + b ( x − 1)
( x − 1) a ( x + 1) + b 
ax 2 + bx − a − b
= lim+
= lim+
x→1
x →1
x →1
x →1
x −1
x −1
x −1
x −1
= lim+  a ( x + 1) + b  = 2a + b

−5
= f ( 1)
4

⇒ Hàm số liên tục lại x = 1 .

= lim

( )

lim− f ( x ) = lim−

Kết luận: f ′ ( 0 ) = 3.

3x + 1 − 2 x
3x + 1 − 4 x2
= lim
= lim
x →1
x −1
( x − 1 ) 3 x + 1 + 2 x x →1

= 2019 .

x →1

Chọn D

lim f ( x ) = lim

∆x

lim−

Ta có: f ′ ( 0 ) = lim

Câu 10.

f ( ∆x + 1) − f (1)

∆x →0

thì giới hạn gọi là đạo hàm của hàm số tại x0

f ( x ) − f (6)
Vậy kết quả của biểu thức lim
= f ′ ( 6 ) = 2.
x→6
x−6

Câu 9.

f ( ∆x + 1) − f (1)

∆x →0

x→0

ax 2 − 2 x + 1, x ≥ 0
Khi đó f ( x ) = 
.
ax + 1, x < 0
Xét:
f ( x ) − f ( 0)
ax 2 − 2 x + 1 − 1

+) lim+
= lim+
= lim+ ( ax − 2 ) = −2 .
x →0
x
→
0
x→ 0
x
x
f ( x ) − f (0)
ax + 1 − 1
= lim−
+) lim−
= lim− ( a ) = a .
x →0
x →0
x →0
x
x
5

6


Hàm số có đạo hàm tại x0 = 0 thì a = −2 .

( I ) đúng (theo định lý Lagrange).
( II ) đúng vì với f ( a ) = f ( b ) ,

Vậy với a = −2 , b = −2 thì hàm số có đạo hàm tại x0 = 0 khi đó T = −6 .
Câu 19. * Ta có:
7
( x 2 + 2012) 7 1 − 2 x − 2012
( 7 1 − 2 x − 1)
1 − 2 x −1
lim
= lim x 7 1 − 2 x + 2012.lim
= 2012.lim
x →0
x →0
x →0
x →0
x
x
x
* Xét hàm số y = f ( x ) = 7 1 − 2 x ta có f ( 0 ) = 1 . Theo định nghĩa đạo hàm ta có:

(

f ( x) − f ( 0)

f (b) − f ( a )
=0.
b−a
( III ) đúng vì với α , β ∈ ( a; b ) sao cho f (α ) = f ( β ) = 0 .

theo ( I ) suy ra tồn tại c ∈ ( a; b ) sao cho f ′ ( c ) =

)

Ta có f ( x ) liên tục trên đoạn [ a; b ] và có đạo hàm trên khoảng ( a; b ) nên f ( x ) liên tục trên

7

1 − 2x −1
f ′ ( 0) = lim
= lim
x →0
x →0
x−0
x
7
1 − 2x −1
2
2
2
=−
f ′ ( x) = −
⇒ f ′ ( 0 ) = − ⇒ lim
6
x
→
0
7
7
x
7
7 1− 2x

(

đoạn [α ; β ] và có đạo hàm trên khoảng (α ; β ) .
Theo ( II ) suy ra luôn tồn tại một số c ∈ (α ; β ) sao cho f ′ ( c ) = 0 .
Câu 25. Chọn B
a
+ Khi 0 < x < x0 : f ( x ) = a x ⇒ f ′ ( x ) =
. Ta có f ′ ( x ) xác định trên ( 0; x0 ) nên liên tục
2 x
trên khoảng ( 0; x0 ) .

)

( x 2 + 2012) 7 1 − 2 x − 2012
4024
 a = −4024
⇒ lim
=−
⇒
⇒ a + b = −4017 .
x →0
x
7
b = 7
Câu 20. Chọn B
Với x ≠ 0 xét:
3− 4− x 1
−
f ( x ) − f (0)
4

4 = lim 2 − 4 − x = lim 4 − ( 4 − x )
lim
= lim
x →0
x →0
x
→
0
x →0
x−0
x
4x
4x 2 + 4 − x

(

1

+ Khi x > x0 : f ( x ) = x 2 + 12 ⇒ f ′ ( x ) = 2 x . Ta có f ′ ( x ) xác định trên ( x0 ; +∞ ) nên liên tục
trên khoảng ( x0 ; +∞ ) .
+ Tại x = x0 :

)

lim

x → x0−

1
1

= lim
=
=
⇒ f ′ ( 0) = .
x →0
16
16
4 2+ 4−x
4 2+ 4−0

(

Câu 21.

1

)

(

)

lim+

 x − 1,
Ta có: y = x − 1 , do đó: y = 
1 − x,
Tại x = 1 : y′ (1+ ) = lim+

f ( x ) − f (1)

x ≥1

1,
khi đó: y′ = 
x <1
−1,

x <1

lim

x −1
= lim+
= 1.
x →1 x − 1

x − x0

Do hàm số y = f ( x ) có đạo hàm tại điểm x0 = 2 suy ra lim

Ta có

x−2
2 f ( x ) − xf ( 2 )
2 f ( x ) − 2 f ( 2 ) + 2 f ( 2 ) − xf ( 2 )
Ta có I = lim
⇔ I = lim
x→ 2
x →2

x−2
x−2
2 ( f ( x ) − f ( 2) )
f ( 2 )( x − 2 )
⇔ I = 2 f ′( 2) − f ( 2) .
⇔ I = lim
− lim
x →2
x→2
x−2
x−2
Câu 23. Chọn D
x →2

2

Ta có: f ( 0 ) = 1 ; lim+ f ( x ) = lim+ ( x − 1) = 1; lim− f ( x ) = lim− ( − x
x →0

x →0

2

= f ′ ( 2) .

x − x0

x → x0

= lim+

x → x0

a
a
=
.
x + x0 2 x0

x 2 − x02
= lim+ ( x + x0 ) = 2x0 .
x → x0
x − x0

x − x0

= lim+

f ( x ) − f ( x0 )
x − x0

x → x0

⇔

a
= 2 x0 .
2 x0

a
= 2 x0 ⇔ a = 4 x0 x0

2 x0

khi 0 < x < x0

nên hàm số f có đạo hàm liên

khi x ≥ x0

(1)

Mặt khác: Hàm số f liên tục tại x0 nên x02 + 12 = a x0

( 2)

Từ (1) và ( 2 ) suy ra x0 = 2 và a = 8 2

(

)

Vậy S = a + x0 = 2 1 + 4 2 .

Câu 26.

Chọn A
2
khi x ≥ 2
 x + ax + b
Ta có y =  3
2

 x − x − 8 x + 10 khi x < 2
khi x ≥ 2
2 x + a
⇒ y′ =  2
3 x − 2 x − 8 khi x < 2
Hàm số có đạo hàm tại điểm x = 2 ⇒ 4 + a = 0 ⇒ a = −4 .
Mặt khác hàm số có đạo hàm tại điểm x = 2 thì hàm số liên tục tại điểm x = 2 .

) =0.

Ta thấy f ( 0 ) = lim+ f ( x ) ≠ lim− f ( x ) nên hàm số không liên tục tại x0 = 0 .
x →0

x 2 + 12 − ( x02 + 12 )

Khi đó f ′ ( x0 ) =

Các hàm số còn lại xác định trên ℝ và có đạo hàm trên ℝ .
Chọn C

x →0

= lim+

 a
a

= 2 x0 và f ′ ( x ) =  2 x
2 x0
2 x


tục trên khoảng ( 0; +∞ ) .

f ( x ) − f (1)

x →0

f ( x ) − f ( x0 )

x → x0−

f ( x ) − f ( 2)

)

Hàm số f có đạo hàm trên khoảng ( 0; +∞ ) khi và chỉ khi

x >1

x −1
1− x
y′ (1 ) = lim−
= lim−
= −1 .
x →1
x →1 x − 1
x −1
+
+
Do y′ (1 ) ≠ y′ (1 ) nên hàm số không có đạo hàm tại 1.

x →1

Câu 22.

f ( x ) − f ( x0 )

x → x0

Chọn A

−

(

a x − x0
a x − a x0
f ( x ) − f ( x0 )
= lim−
= lim−
= lim−
x → x0
x → x0
x → x0
x − x0
x − x0
x − x0

x→0

Vậy hàm số khơng có đạo hàm tại x0 = 0 .

Câu 24. Chọn C
7

8


Suy ra lim+ f ( x ) = lim− f ( x ) = f ( 2 )
x →2

x →2

⇒ 4 + 2a + b = −2 ⇒ b = 2 .
Vậy a2 + b2 = 20 .

9


TỐN 11

QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM – PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN

Câu 3.

1D5-2

Tính đạo hàm của hàm số y = x ( x + 1)( x + 2)( x + 3) tại điểm x0 = 0 là:

A. y ′ (0) = 5 .
Câu 4.

Contents
PHẦN A. CÂU HỎI......................................................................................................................................................... 1
DẠNG 1. TÍNH ĐẠO HÀM TẠI ĐIỂM ......................................................................................................................... 1
DẠNG 2. TÍNH ĐẠO HÀM CỦA MỘT SỐ HÀM SỐ THƯỜNG GẶP (đa thức, chứa căn, phân thức, hàm hợp) ...... 2

Câu 5.

Dạng 2.1 Tính đạo hàm ................................................................................................................................................ 2

B. y ′ (0) = 6 .

Đạo hàm của hàm số y = 5sin x − 3cos x tại x0 =

π 
B. y′   = 5 .
2

π
2

Câu 6.

Dạng 3.2 Tiếp tuyến khi biết hệ số góc, quan hệ song song, vng góc với đường thẳng cho trước .......................... 9
Dạng 3.3 Tiếp tuyến đi qua một điểm ........................................................................................................................ 12

π 
C. y′   = −3 .
2

(TRƯỜNG THPT THANH THỦY 2018 -2019) Cho

f ' (1) + f ' ( −1) + 4 f ' ( 0 ) ?
Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. 4.
B. 7.
C. 6.

Dạng 3.4 Một số bài toán liên quan đên tiếp tuyến .................................................................................................... 13
DẠNG 4. BÀI TOÁN QUẢNG ĐƯỜNG, VẬN TỐC .................................................................................................. 16

Câu 7.

PHẦN B. LỜI GIẢI ....................................................................................................................................................... 18

A.

DẠNG 1. TÍNH ĐẠO HÀM TẠI ĐIỂM ....................................................................................................................... 18
DẠNG 2. TÍNH ĐẠO HÀM CỦA MỘT SỐ HÀM SỐ THƯỜNG GẶP (đa thức, chứa căn, phân thức, hàm hợp) .... 19
Dạng 2.1 Tính đạo hàm .............................................................................................................................................. 19

Câu 8.

Dạng 2.2 Một số bài tốn tính đạo hàm có thêm điều kiện ........................................................................................ 21
DẠNG 3. BÀI TOÁN TIẾP TUYẾN ............................................................................................................................ 23

Dạng 3.3 Tiếp tuyến đi qua một điểm ........................................................................................................................ 33

5
.
2

x+2
. Tính y′ ( 3 )
x −1
3
B. − .
4

3 − 4 − x

4
Cho hàm số f ( x ) = 
1
 4

A. Không tồn tại.

Dạng 3.1 Tiếp tuyến tại điểm ..................................................................................................................................... 23
Dạng 3.2 Tiếp tuyến khi biết hệ số góc, quan hệ song song, vng góc với đường thẳng cho trước ........................ 27

Cho hàm số y =

Câu 9.

Dạng 3.4 Một số bài toán liên quan đên tiếp tuyến .................................................................................................... 36

Cho hàm số f ( x ) =

A. −3 .

x2 + 4

π 
D. y′   = −5 .
2
f ( x ) = x 5 + x3 − 2 x − 3

3
C. − .
2

. Tính

D. 5.

D.

3
.
4

khi x ≠ 0
. Tính f ′ ( 0 ) .
khi x = 0

B. f ′ ( 0 ) =

3x + 1

5
D. y ′ ( 4) = .

4

là:

DẠNG 3. BÀI TOÁN TIẾP TUYẾN .............................................................................................................................. 7
Dạng 3.1 Tiếp tuyến tại điểm ....................................................................................................................................... 7

D. y ′ (0) = −6 .

Tính đạo hàm của hàm số y = x + x tại điểm x0 = 4 là:
9
3
A. y ′ ( 4) = .
B. y ′ (4) = 6 .
C. y ′ ( 4) = .
2
2

π 
A. y′   = 3 .
2

Dạng 2.2 Một số bài tốn tính đạo hàm có thêm điều kiện .......................................................................................... 5

C. y ′ (0) = 0 .

1
.
16

C. f ′ ( 0 ) =

1
.
4

D. f ′ ( 0 ) =

1
.
32

. Tính giá trị biểu thức f ' ( 0 ) .

B. −2 .

DẠNG 4. BÀI TOÁN QUẢNG ĐƯỜNG, VẬN TỐC .................................................................................................. 46

C.

3
.
2

D. 3 .

DẠNG 2. TÍNH ĐẠO HÀM CỦA MỘT SỐ HÀM SỐ THƯỜNG GẶP (đa thức, chứa căn, phân
thức, hàm hợp)
Dạng 2.1 Tính đạo hàm

PHẦN A. CÂU HỎI
Câu 10.

DẠNG 1. TÍNH ĐẠO HÀM TẠI ĐIỂM
Câu 1.

Câu 2.

4
Cho hàm số y =
. Khi đó y′ ( −1) bằng
x −1
A. −1 .
B. −2 .

A. y ' = 3x2 + 2 x .
C. 2 .

2x + 7
tại x = 2 ta được:
x+4
11
3
B. f ′ ( 2 ) = .
C. f ′ ( 2 ) = .
6
2

B. y ' = 3x2 + 2 .

C. y ' = 3x2 + 2 x + 1 .

D. y ' = x 2 + 2 .

Câu 11. Khẳng định nào sau đây sai
A. y = x ⇒ y ' = 1 .
B. y = x 3 ⇒ y ' = 3x 2 .
5
C. y = x ⇒ y ' = 5 x .
D. y = x 4 ⇒ y ' = 4 x 3 .

D. 1.

Tính đạo hàm của hàm số f ( x ) =

1
A. f ′ ( 2 ) =
.
36

(THPT Đoàn Thượng – Hải Dương) Tính đạo hàm của hàm số y = x3 + 2 x + 1 .

Câu 12. Hàm số y = x 3 − 2 x 2 − 4 x + 2018 có đạo hàm là
A. y′ = 3x 2 − 4 x + 2018 . B. y′ = 3x 2 − 2 x − 4 .

5
D. f ′ ( 2 ) = .
12
1

2


C. y′ = 3x 2 − 4 x − 4 .
Câu 13.

D. y′ = x 2 − 4 x − 4 .

(TRƯỜNG THPT THANH THỦY 2018 -2019)
y = − x 3 + 3mx 2 + 3 (1 − m 2 ) x + m3 − m 2 (với m là tham số) bằng

Đạo

hàm

củ a

hàm

số

A. y′ = 2 x −

4

C. y′ = 4 x 3 − 8 x .

D. y′ = −4 x 2 + 8 x

x

5x
+
− 2 x + a 2 ( a là hằng số) bằng.
2
3
1
1
A. 2 x 3 + 5 x 2 −
B. 2 x 3 + 5 x 2 +
.
+ 2a .
2x
2 2x
1
C. 2 x 3 + 5 x 2 −
.
D. 2 x 3 + 5 x 2 − 2 .
2x

Câu 15. Đạo hàm của hàm số y =

A. f ( x) = 2 x .

Câu 17. Tính đạo hàm của hàm số y = x3 − 5

(

75 2
5
.

x −
2
2 x
5
C. y′ = 3x 2 −
.
2 x

A. y′ =

A.

(x

2

+ 1) x 2 + 1

.

C. f ( x) = 2 x .

D. f ( x ) = −

B.

(x

2

C. y′ =

.

D.

2x2 − x −1

(x

2

+ 1) x 2 + 1

A.
.

B. S = 2 .

C. S = 6 .

2

( x − 1)

C. y′ =

.

−2

( x − 1)

2

D. y′ =

.

C. y ' =

−1

(x

2

+ 5)

2

.

A.

D. S = 8 .

Câu 20. Cho hàm số y = 2 x 2 + 5 x − 4 . Đạo hàm y ' của hàm số là
4x + 5
2x + 5

A. y ' =
. B. y ' =
.
2 2 x2 + 5x − 4
2 2 x2 + 5x − 4
2x + 5
4x + 5
C. y ' =
. D. y ' =
.
2x2 + 5x − 4
2x2 + 5x − 4

C.

D. y′ =

−2

( x − 1)

.

D. y ' =

−2 x

(x

2

+ 5)

2

.

8 x 3 + 3 x 2 + 14 x + 5

(x

2

+ 2 x + 3)

2

2x + a
(a, b ∈ R; b ≠ 1) . Ta có f '(1) bằng:
x−b
a − 2b
a + 2b
B.
.
C.
.
(b − 1) 2
(b − 1) 2

− a + 2b

.
(b − 1) 2

Câu 27. Cho f ( x ) = 1 − 4 x +

Câu 19. Cho hàm số f ( x ) = x2 + 3 . Tính giá trị của biểu thức S = f (1) + 4 f ' (1) .
A. S = 4 .

7 x 2 − 2 x − 23
( x 2 + 2 x + 3)

Câu 26. Cho hàm số f ( x) =

1 − 3x
C. 2 .
x +1

1
.
x2

Câu 25. Tính đạo hàm của hàm số y =

là:

+ 1) x 2 + 1

B. y′ =

.

D. y′ = 2 x +

2 x 2 − 3x + 7
.
x2 + 2x + 3
−7 x 2 + 2 x + 23
7 x 2 − 2 x − 23
A. y′ =
. B. y′ =
2
2
2
( x + 2 x + 3)
( x 2 + 2 x + 3)

1
.
2x

x.

x2 + 1
1 + 3x

2

1
.
x2

2x
x −1

1
có đạo hàm bằng:
x2 + 5
1
2x
A. y ' =
.
B. y ' =
.
2
2
2
2
( x + 5)
( x + 5)

7 5
5
.
x −
2
2 x
1
D. y′ = 3x 2 −
.
2 x

x+3

2

( x − 1)

C. y′ = x +

Câu 24. Hàm số y =

B. y′ =

Câu 18. Đạo hàm của hàm số y =

1 − 3x

)

A. y′ =

1
?
2x

B. f ( x) = x .

1
.
x2

Câu 23. Tính đạo hàm của hàm số y =

3

Câu 16. Hàm số nào sau đây có đạo hàm bằng

1
.
x
1
B. y′ = x − 2 .
x

Câu 22. Tính đạo hàm của hàm số y = x2 −

A. 3 x 2 − 6mx − 3 + 3m 2 . B. − x 2 + 3mx − 1 − 3m .
C. −3 x 2 + 6mx + 1 − m2 . D. −3 x 2 + 6 mx + 3 − 3m 2 .
Câu 14. Đạo hàm của hàm số y = x 4 − 4 x 2 − 3 là
A. y′ = −4 x 3 + 8 x .
B. y′ = 4 x 2 − 8 x .

 u ( x ) ′ u ′ ( x ) .v ( x ) − v′ ( x ) .u ( x )
D. 
.
 =
v2 ( x )
 v ( x) 

C. u ( x ) .v ( x ) ′ = u ′ ( x ) .v ( x ) + v′ ( x ) .u ( x ) .

2
2
.
−
1− 4x x − 3
1
+1
2 1 − 4x

D.

− a − 2b
.
(b − 1) 2

1− x
. Tính f ′ ( x ) .
x−3
2
2
−
B.
.
2
1 − 4 x ( x − 3)
D.

−2
2
+

2 .
1 − 4 x ( x − 3)

Câu 28. Đạo hàm của hàm số y = ( 2 x − 1) x 2 + x là
A. y ' =

Câu 21. Cho các hàm số u = u ( x ) , v = v ( x ) có đạo hàm trên khoảng J và v ( x ) ≠ 0 với ∀x ∈ J . Mệnh đề
nào sau đây sai?
 1  ′ v′ ( x )
A. u ( x ) + v ( x ) ′ = u ′ ( x ) + v′ ( x ) .
B. 
.
 = 2
 v ( x)  v ( x)
3

8 x2 + 4 x − 1
2

2 x +x

.

B. y ' =

8x 2 + 4 x + 1
2 x2 + x

.

C. y ' =

4x +1
2 x2 + x

.

D. y ' =

6x2 + 2x −1
2 x2 + x

.

7

Câu 29. Đạo hàm của hàm số y = ( − x 2 + 3 x + 7 ) là
6

A. y ' = 7 ( −2 x + 3 ) ( − x 2 + 3 x + 7 ) .
6

C. y ' = ( −2 x + 3) ( − x 2 + 3x + 7 ) .

6

B. y ' = 7 ( − x 2 + 3x + 7 ) .
6

D. y ' = 7 ( −2 x + 3) ( − x 2 + 3x + 7 ) .

4


3

A. [3; +∞).

2

Câu 30. Đạo hàm của hàm số y =  x 2 −  bằng
x

2

B. y ′ = 3  x 2 −  .
x


2

2

1 
2

D. y′ = 6  x −  x 2 − 
x 
x


1 
2

C. y′ = 6  x − 2  x 2 −  .
x 
x


y′ ≥ 0, ∀x ∈ℝ là
A. 5 .
C. 3 .

2

(THPT CHUYÊN ĐH VINH - LẦN 3 - 2018) Đạo hàm của hàm số y = ( x 2 + x + 1) 3 là

f ′ ( x ) ≤ 0 với ∀x ∈ ℝ là

2
1
A. y′ =
. B. y′ = ( x 2 + x + 1) 3 .
2
3
3 3 ( x 2 + x + 1)

2x + 1

8
1

C. y′ = ( x 2 + x + 1) 3 .
3

Câu 32.

A. 1 .
Câu 41. Cho hàm số f ( x ) =

.

2 3 x2 + x + 1

B. 6 x 5 − 20 x 4 + 4 x3 .

A. 0 ≤ m ≤

C. 6 x5 + 16 x3 .

2

1

B.

.

2

C.

.

−6 x 2

2 − 3x
2 2 − 3x
2 2 − 3x
Dạng 2.2 Một số bài tốn tính đạo hàm có thêm điều kiện
Câu 34. Cho hàm số y =
A. [ −1;5] .

2

.

3x
2 − 3x 2

.

Câu 45.

D. M = ( −∞; −3 ) ∪ ( 3; +∞ ) .

Câu 36. Cho hàm số y = x3 − 3 x + 2017 . Bất phương trình y′ < 0 có tập nghiệm là:
A. S = ( −1;1) .
B. S = ( −∞; −1) ∪ (1; +∞ ) .
C. (1; +∞ ) .
4

2

f x = x + 2x − 3
Câu 37. Cho hàm số ( )
. Tìm x để
A. −1 < x < 0 .
B. x < 0 .

Câu 38.

2

B. ( y′) + 2 y. y′′ = 1 .

2

C. y. y′′ − ( y′) = 1 .

2

D. ( y′ ) + y. y′′ = 1.

Câu 46.

(THPT CHUYÊN QUANG TRUNG - BP - LẦN 1 - 2018) Cho hàm số y = x 2 − 1 . Nghiệm
của phương trình y′. y = 2 x + 1 là:
A. x = 2 .
B. x = 1 .
C. Vô nghiệm.
D. x = −1 .

Câu 47.

(THPT NGUYỄN HUỆ - NINH BÌNH - 2018) Cho y = x 2 − 2 x + 3 , y′ =
đó giá trị a.b là:
A. −4 .

D. ( −∞; −1) .

 7
D.  1;  .
 5

(TOÁN HỌC TUỔI TRẺ SỐ 6) Cho hàm số y = 1 + 3 x − x 2 . Khẳng định nào dưới đây đúng?
2

Câu 35. Cho hàm số y = x 3 + mx 2 + 3x − 5 với m là tham số. Tìm tập hợp M tất cả các giá trị của m để
y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt:
A. M = ( −3;3) .
B. M = ( −∞; −3] ∪ [ 3; +∞ ) .

7 9
C.  ;  .
5 5

a
ax − b
1
 3 − 2 x ′
(Thi thử SGD Hưng Yên) Cho 

, ∀x > . Tính .
 =
b
4
 4 x − 1  ( 4 x − 1) 4 x − 1
A. −16 .
B. −4 .
C. −1 .
D. 4 .

A. ( y′ ) + y. y′′ = −1 .

D. ( −∞; −1] ∪[5; +∞) .

C. M = ℝ .

7

B.  −∞;  .
5


Câu 43. Cho hàm số f ( x ) = x 2 − 2 x . Tìm tập nghiệm S của phương trình f ′ ( x ) ≥ f ( x ) có bao nhiêu
giá trị nguyên?
A. 1.
B. 2 .
C. 0 .
D. 3 .
Câu 44.

1 3
x − 2 x 2 − 5 x . Tập nghiệm của bất phương trình y′ ≥ 0 là
3
B. ∅ .

C. ( −∞; −1) ∪ ( 5; +∞) .

mx mx
−
+ ( 3 − m ) x − 2 . Tìm m để f ' ( x ) > 0 ∀x ∈ R .
3
2
12
12
12
B. 0 < m < .
C. 0 ≤ m < .
D. 0 < m ≤ .
5
5
5

7

A.  ; +∞  .
5


D. 6 x 5 − 20 x 4 + 16 x 3 .

D.

D. 3 .

Câu 42. Cho hàm số f ( x ) = −5 x 2 + 14 x − 9 Tập hợp các giá trị của x để f ' ( x ) < 0 là

f ( x ) = 2 − 3 x 2 bằng biểu thức nào sau đây?

−3 x

12
.
5

C. 4 .

2

2

(THPT NGUYỄN ĐỨC THUẬN - NAM ĐỊNH - LẦN 1 - 2018) Đạo hàm của hàm số

A.

B. 5 .
3

(CHUYÊN TRẦN PHÚ - HẢI PHÒNG - LẦN 2 - 2018) Đạo hàm của hàm số y = ( x 3 − 2 x 2 )
bằng:
A. 6 x 5 − 20 x 4 − 16 x 3 .

Câu 33.

D. y′ =

2x +1

B. Có vơ số giá trị nguyên m .
D. 4

Câu 40. Cho hàm số f ( x ) = − x 3 + 3mx 2 − 12 x + 3 với m là tham số thực. Số giá trị nguyên của m để

1

Câu 31.

3
( m + 2 ) x 2 + 3 x − 1, m là tham số. Số các giá trị nguyên m để
2

Câu 39. Cho hàm số y = ( m + 2 ) x 3 +

2

1 
2

A. y′ = 6  x + 2  x 2 −  .
x 
x



D. [1; +∞).

C. [4 2; +∞ ).

B. ∅.

B. −1.

C. 0 .

ax + b
2

x − 2x + 3

. Khi

D. 1 .

2

Câu 48. Cho hàm số y =
f ′( x) > 0

?
C. x > 0 .

A. {−1;3} .

D. x < −1 .

(TRƯỜNG
THPT
THANH
THỦY
2018
-2019)
Cho
y = (m − 1) x3 − 3(m + 2) x 2 − 6(m + 2) x + 1. Tập giá trị của m để y ' ≥ 0, ∀x ∈ R là

hàm

số

5

−2 x + x − 7
. Tập nghiệm của phương trình y′ = 0 là
x2 + 3
B. {1;3} .
C. {−3;1} .
D. {−3; − 1} .

Câu 49. Cho hàm số f ( x ) = ax 3 +

b
có f ′ (1) = 1, f ′ ( −2 ) = −2 . Khi đó f ′
x

( 2 ) bằng:
6


A.

12
.
5

B.

−2
.
5

C. 2 .

D. −

12
.
5

Câu 58.

trình tiếp tuyến của ( C ) tại giao điểm của ( C ) với trục tung.

x+2

Câu 50. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số y =
có đạo hàm dương trên khoảng
x + 5m
( −∞; −10 ) ?

A. 1.

B. 2.

C. 3.

(Kim Liên - Hà Nội - L1 - 2018-2019) Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y =
hoành độ x0 = −1 có hệ số góc bằng
1
A. 5 .
B. − .
5

Câu 52.

C. −5 .

D.

x +1
tại điểm có
2x − 3

(Quảng Nam-HKI-1718) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x 4 − 4 x 2 + 5 tại
điểm có hoành độ x = −1 .

A. y = 4 x − 6.
B. y = 4 x + 2.
C. y = 4 x + 6.
D. y = 4 x − 2.

Câu 54.

(THPT THUẬN THÀNH 1) Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y =

Câu 55.

C. y = 3x + 9 .

2x + 3
tại điểm có hồnh độ
x−2

 1
M 1;  là:
 3

Câu 56.

Câu 57.

B. y = −3x + 2 .

2
C. y = x − .
3

D. y = − x +

(THPT Yên Dũng 3 - Bắc Giang lần 1- 18-19) Cho hàm số y = x − 2 . Viết phương trình tiếp
x +1

tuyến của đồ thị hàm số trên tại điểm có hồnh độ x0 = 0 .
A. y = 3x − 2 .
B. y = −3x − 2 .
C. y = 3 x − 3 .

Câu 61.

D. y = 3x + 2 .

(Trường THPT Hoàng Hoa Thám - Hưng Yên, năm 2019) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị
−x + 3
tại điểm có hồnh độ x = 0 là
x −1
A. y = − 2 x + 3.
B. y = − 2 x − 3.
C. y = 2 x − 3.
D. y = 2 x + 3.

Câu 62.

(Hội 8 trường chuyên ĐBSH - Lần 1 - Năm học 2018 - 2019) Cho hàm số y = x3 − 2 x + 1 có đồ
thị ( C ) . Hệ số góc k của tiếp tuyến với ( C ) tại điểm có hồng độ bằng 1 bằng

A. k = −5 .

Câu 63.

B. k = 10 .

tại giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung có hệ số góc là
1
5
A. −1 .
B. .
C. − .
4
4

Câu 64.

7

D. k = 1 .

−x + 1
3x − 2

1
D. − .
4

x +1
có đồ thị (C ). Gọi d là tiếp tuyến của
x −1
(C ) tại điểm có tung độ bằng 3 . Tìm hệ số góc k của đường thẳng d.

1
1
A. − .
B. −2
C. 2 .
D. .
2
2

(HKI-Chuyên Long An-2019) Cho hàm số y =

Câu 65.

(Thpt Vĩnh Lộc - Thanh Hóa lần 2 -2018-2019) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị
y = x 2 + x − 2 tại điểm có hồnh độ x0 = −1 .
A. x + y − 1 = 0.
B. x − y − 2 = 0.
C. x + y + 3 = 0.
D. x − y − 1 = 0.

Câu 66.

(Chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương thi thử lần 1 (2018-2019)) Hệ số góc tiếp tuyến tại A (1; 0 )

Câu 67.

C. −3 .

D. 0 .

(Kiểm tra năng lực - ĐH - Quốc Tế - 2019) Gọi I là giao điểm giữa đồ thị hàm số y =

x +1
và
x −1

trục tung của hệ trục tọa độ Oxy . Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số trên tại I là
A. − 2 .
B. 0 .
C. −1 .
D. 2 .

Câu 68.

(THPT Cẩm Bình 2018-2019) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y =
hoành độ x = 2 là

D. y = −12 x .

C. k = 25 .

(Trường THPT Thăng Long Lần 1 năm 2018-2019) Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y =

của đồ thị hàm số y = x 3 − 3x 2 + 2 là
A. 1.
B. −1 .

(Yên Định 1 - Thanh Hóa - 2018-2019) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( C ) : y = 3x − 4 x 2 tại
C. y = 3 x − 2 .

Câu 60.

2
3

(LƯƠNG TÀI 2 BẮC NINH LẦN 1-2018-2019) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm
số y = x3 − 3x tại điểm có hoành độ bằng 2.
A. y = −9 x + 16 .
B. y = −9x + 20 .
C. y = 9 x − 20 .
D. y = 9 x − 16 .
điểm có hồnh độ x0 = 0 là
A. y = 0 .
B. y = 3 x .

D. y = −3 x − 2 .

(LÊ HỒNG PHONG HKI 2018-2019) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị
(C ) : y = x 4 − 8 x 2 + 9 tại điểm M có hồnh độ bằng -1.
A. y = 12 x + 14 .
B. y = 12 x − 14 .
C. y = 12 x + 10 .
D. y = −20 x − 22 .

D. y = − x − 2 .

1
(GIỮA KÌ I LƯƠNG THẾ VINH CƠ SỞ II 2018-2019) Cho hàm số y = x 3 + x 2 − 2 x + 1 có
3
đồ thị là ( C ) . Phương trình tiếp tuyến của ( C ) tại điểm

A. y = 3x − 2 .

C. y = 3 x − 2 .

Câu 59.

1
.
5

Câu 53.

B. y = −7 x + 30 .

B. y = 2 x + 1 .

hàm số y =

(THI HK I QUẢNG NAM 2017) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
y = x 4 − 4 x 2 + 5 tại điểm có hồnh độ x = −1.
A. y = 4 x − 6.
B. y = 4 x + 2.
C. y = 4 x + 6.
D. y = 4 x − 2.

bằng 3 , tương ứng là
A. y = 7 x + 13 .

A. y = −2 x + 1 .

D. vô số.

DẠNG 3. BÀI TOÁN TIẾP TUYẾN
Dạng 3.1 Tiếp tuyến tại điểm

Câu 51.

(Chuyên Thái Bình lần 2 - 2018-2019) Cho hàm số y = − x3 + 3x − 2 có đồ thị ( C ) . Viết phương

3x −1
tại điểm có
x −1

8