Tập luyện hoạt động khái quát hóa cho học sinh khá giỏi trong dạy học chủ đề bất đẳng thức ở trường trung học cơ sở

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC VINH

NGUYỄN THỊ TÂM

TẬP LUYỆN HOẠT ĐỘNG KHÁI QUÁT HÓA
CHO HỌC SINH KHÁ GIỎI TRONG DẠY HỌC CHỦ ĐỀ
BẤT ĐẲNG THỨC Ở TRƢỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Ngƣời hƣớng dẫn:
TS. NGUYỄN THỊ MỸ HẰNG
PHẦN MỞ ĐẦU

Nghệ An - 2017


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC VINH

NGUYỄN THỊ TÂM

TẬP LUYỆN HOẠT ĐỘNG KHÁI QUÁT HÓA
CHO HỌC SINH KHÁ GIỎI TRONG DẠY HỌC CHỦ ĐỀ
BẤT ĐẲNG THỨC Ở TRƢỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC
Chuyên ngành: Lý luận và Phƣơng pháp dạy học bộ mơn Tốn
Mã số: 60140111

Ngƣời hƣớng dẫn:
TS. NGUYỄN THỊ MỸ HẰNG

Nghệ An - 2017


LỜI CẢM ƠN
Luận văn này đƣợc hoàn thành dƣới sự hƣớng dẫn của cô giáo TS. Nguyễn
Thị Mỹ Hằng. Tác giả xin đƣợc bày tỏ lịng kính trọng và biết ơn sâu sắc đến
cô giáo.
Xin chân thành cảm ơn các Thầy, Cô giáo giảng dạy trong chuyên ngành
Lý luận và phƣơng pháp dạy học bộ mơn Tốn Trƣờng Đại học Vinh đã nhiệt
tình giảng dạy, giúp đỡ cho tác giả những bài học bổ ích trong q trình học tập
cũng nhƣ trong quá trình thực hiện luận văn.
Xin bày tỏ lịng biết ơn đến q thầy cơ thuộc phịng Đào tạo sau đại học Trƣờng Đại Học Vinh, Ban giám hiệu và đồng nghiệp c ng học sinh Trƣờng
THCS Ngô Sĩ Liên đã tạo điều kiện và giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và
nghiên cứu.
Xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp cổ vũ động viên để
tác giả thêm nghị lực hoàn thành luận văn.
D đã cố gắng, song luận văn cũng không tránh khỏi những khiếm khuyết
và thiếu sót, tác giả mong nhận đƣợc sự góp ý của q thầy cơ và các bạn.

Nghệ An, ngày 29 tháng 6 năm 2017
Tác giả

Nguyễn Thị Tâm


MỤC LỤC
PHẦN MỞ ĐẦU ............................................................................................. 1

Chƣơng 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN ........................................... 6
1.1. Một số vấn đề khái quát về tƣ duy ......................................................... 6
1.1.1. Khái niệm tư duy ................................................................................. 6
1.1.2. Đặc điểm của tư duy............................................................................ 6
1.2. Một số vấn đề về tƣ duy toán học .......................................................... 8
1.3. Khái quát hóa ....................................................................................... 10
1.3.1. Các thao tác tư duy cơ bản ............................................................... 10
1.3.2. Các dạng khái quát hóa trong mơn tốn........................................... 14
1.4. Một số sai lầm của học sinh trong dạy học chủ đề bất đẳng thức liên quan
đến khái quát hóa......................................................................................... 15
1.5. Một số đặc điểm của học sinh Trung học cơ sở ................................... 19
1.5.1.Đặc điểm hoạt động học tập .............................................................. 19
1.5.2. Đặc điểm của sự phát triển trí tuệ .................................................... 20
1.5.3. Một số đặc điểm nhân cách chủ yếu ................................................. 21
1.6. Kết luận chương 1 ................................................................................ 22
Chƣơng 2: TẬP LUYỆN HOẠT ĐỘNG KHÁI QUÁT HÓA CHO HỌC SINH
TRONG DẠY HỌC CHỦ ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC .................................... 23
2.1. Chƣơng trình, nội dung chủ đề bất đẳng thức ở trƣờng Trung học cơ sở23
2.1.1. Định nghĩa và một số tính chất của bất đẳng thức ở trường Trung học
cơ sở ............................................................................................................ 23
2.1.2. Một số bất đẳng thức thường gặp ..................................................... 24
2. 2. Một số biện pháp tập luyện hoạt động khái quát hóa trong dạy học chủ
đề bất đẳng thức .......................................................................................... 24
2.2.1. Biện pháp 1: Yêu cầu học sinh khái qt hóa một bài tốn cụ thể ... 24


2.2.2. Biện pháp 2: Yêu cầu học sinh giải những bài tốn có tính chất mở,
những bài tốn chứa những con số phức tạp trong tính tốn nhưng những con
số đó có một mối liên hệ nào đó. ................................................................. 36
2.2.3. Biện pháp 3: Tập luyện khái quát hóa cùng với các thao tác trí tuệ

khác ............................................................................................................. 41
2.2.4.Biện pháp 4: Tập luyện cho học sinh chuyển từ bài toán thực tiễn sang
bài toán toán học ......................................................................................... 52
2.3. Kết luận chƣơng 2 ................................................................................ 62
Chƣơng 3: THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM ...................................................... 64
3.1. Mục đích thực nghiệm sƣ phạm ........................................................... 64
3.2. Tổ chức và nội dung ............................................................................. 64
3.2.1. Tổ chức thực nghiệm ......................................................................... 64
3.2.2. Nội dung thực nghiệm ....................................................................... 64
3.3. Đánh giá kết quả thực nghiệm ............................................................. 71
Kết luận chƣơng 3 ......................................................................................... 72
KẾT LUẬN ................................................................................................... 74
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................. 75


1

PHẦN MỞ ĐẦU

1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
1.1. Để tồn tại và phát triển, con ngƣời có nhu cầu và yêu cầu phải nhận
thức các sự vật, hiện tƣợng và kể cả chính mình. Nói cách khác, con ngƣời cần
phải tƣ duy. Mỗi sự vật và hiện tƣợng đều có những dấu hiệu, thuộc tính, do đó
khi muốn tìm hiểu chúng cần phải biết phân tích, so sánh và tổng hợp để tìm
đƣợc các dấu hiệu, thuộc tính bản chất, đặc trƣng của các sự vật và hiện tƣợng
đó. Quá trình nhận thức trên cũng là quá trình tiến hành các thao tác tƣ duy khác
nhƣ tƣơng tự hóa, tr u tƣợng hóa, khái quát hóa, đặc biệt hóa. Trong đó khái
quát hóa là hoạt động nhận thức nh m phản ánh có mục đích thế giới khách
quan vào ý thức của mỗi ngƣời mà kết quả là hình thành hệ thống khái niệm về
sự vật, hiện tƣợng, mối quan hệ nhân quả, quan hệ quy luật về quá trình t đó

hình thành học thuyết khoa học.
1.2. Trong học tập nói chung, học tập tốn nói riêng, để học sinh chủ
động, tích cực, sáng tạo trong học tập thì tất yếu phải đổi mới PPDH. Học sinh
nắm vững đƣợc kiến thức là phải khái quát hóa đƣợc đặc điểm bản chất, xác
định đƣợc mối quan hệ giữa các yếu tố cấu trúc, gọi tên đƣợc chúng là gì và sắp
xếp kiến thức theo một trình tự có hệ thống. Mỗi tri thức có tính chất lý luận nhƣ
khái niệm, định lý, quy tắc…đều là kết quả của quá trình khái qt hóa. Nếu
khơng có khái qt hóa thì khơng thể có những kết luận mang tính chất chung,
khoa học sẽ không phát triển.
1.3. Chủ đề bất đẳng thức chứa đựng tiềm năng trong việc bồi dƣỡng khái
quát hóa cho học sinh. Đây là một chủ đề hay và khó ở trƣờng phổ thông. Nếu
giáo viên biết khai thác các bài tập b ng cách phân tích đặc điểm của chúng để
tìm ra dấu hiệu chung, bản chất thì có thể tạo đƣợc hệ thống bài tập mới đa
dạng, phong phú. Có nhiều bài tốn có nội dung thực tiễn, để giải đƣợc đòi hỏi
học sinh phải biết lƣợc bỏ các yếu tố phụ, không cần thiết, chỉ giữ lại đặc điểm
tốn học của chúng. Q trình đó chính là khái quát hóa.


2

1.4. Đã có nhiều cơng trình nghiên cứu tới những thành tố cuả năng lực
khái quát hóa của học sinh, mà trong đó có nhiều tác giả nổi tiếng chẳng hạn
nhƣ Sacdacop M. N. , Đa-vƣ-dôv V.V. , Rubinxtêin X. L… Những cơng trình
này chủ yếu nghiên cứu về khoa học tâm lí, giáo dục nói chung. Các cơng trình
của Pôlya G, Đào Văn Trung, Cruchetxki V.A. nghiên cứu về giảng dạy tốn
học nói chung ở trƣờng phổ thơng.
Vì những lý do trên, chúng tôi lựa chọn đề tài: “Tập luyện hoạt động
khái quát hóa cho học sinh khá giỏi trong dạy học chủ đề bất đẳng thức ở
trường trung học cơ sở” với mong muốn trình bày một cách có hệ thống về mặt
lý luận và thực tiễn khả năng khái quát hóa của học sinh và nêu một số biện

pháp bồi dƣỡng khả năng đó, góp phần nâng cao chất lƣợng dạy học bộ mơn
Tốn ở trƣờng THCS.
2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
Mục đích của luận văn là nghiên cứu để làm sáng tỏ khả năng khái quát
hóa về các khía cạnh: khái niệm, vai trị, tính phổ dụng trong nhận thức nói
chung và trong giáo dục tốn học nói riêng, đồng thời nghiên cứu để xây dựng
các biện pháp nh m bồi dƣỡng cho học sinh khả năng này.
3. GIẢ THUYẾT KHOA HỌC
Trên cơ sở phân tích về mặt lý luận và thực tiễn khả năng khái quát hóa
của học sinh, nếu xây dựng đƣợc một số biện pháp sƣ phạm hợp lý, có cơ sở
khoa học thì có thể bồi dƣỡng cho học sinh khả năng khái qt hóa, góp phần
nâng cao chất lƣợng dạy học Tốn ở trƣờng Trung học cơ sở.
4. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU
Luận văn có nhiệm vụ làm sáng tỏ các vấn đề sau:
- Nghiên cứu nh m làm sáng tỏ khái niệm, vai trị, tính phổ dụng của khái
qt hóa trong dạy học tốn nói chung và dạy học chủ đề bất đẳng thức nói
riêng;
- Tìm hiểu thực trạng về việc tập luyện hoạt động khái qt hóa trong dạy
học tốn ở trƣờng THCS;


3

- Đề xuất các biện pháp dạy học để tập luyện hoạt động khái quát hóa cho
học sinh trong dạy học chủ đề bất đẳng thức;
- Thực nghiệm sƣ phạm để đánh giá tính khả thi và tính hiệu quả của các
biện pháp đã đề xuất.
5. PHƢƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU, ĐỐI TƢỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN
CỨU
-Phƣơng pháp nghiên cứu:

+Nghiên cứu lý luận: Tìm hiểu, nghiên cứu các tài liệu trong và ngồi
nƣớc về các vấn đề có liên quan đến đề tài.
+ Điều tra, quan sát: Nhận thức và thực trạng dạy học của giáo viên toán
THCS về tập luyện hoạt động khái quát hóa cho HS.
+Thực nghiệm sƣ phạm.
- Đề tài tập trung vào các bài toán liên quan đến bất đẳng thức.
- Áp dụng vào học sinh THCS.
6. DỰ KIẾN ĐÓNG GÓP CỦA LUẬN VĂN
6.1. Về mặt lý luận
6.1.1. Làm sáng tỏ tính phổ dụng, vai trị của khái qt hóa trong học tập
tốn.
6.1.2. Xác định một số biện pháp sƣ phạm góp phần tập luyện hoạt động
khái quát hóa cho học sinh.
6.2. Về mặt thực tiễn
Nêu đƣợc một số khó khăn và sai lầm của HS khi đứng trƣớc những vấn đề
toán học liên quan đến bất đẳng thức mà việc giải quyết những vấn đề đó địi hỏi
phải có khả năng khái qt hóa.
7. CẤU TRÚC CỦA LUẬN VĂN
Luận văn đƣợc dự kiến trình bày trong ba chƣơng:
CHƢƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Một số vấn đề khái quát về tƣ duy
1.1.1. Khái niệm về tư duy
1.1.2. Đặc điểm của tư duy


4

1.2. Một số vấn đề về tƣ duy toán học
1.3. Khái quát hóa
1.3.1. Các thao tác tư duy cơ bản

1.3.2. Các dạng khái qt hóa trong mơn Tốn
1.4. Một số sai lầm của học sinh trong dạy học chủ đề bất đẳng thức
(Phần này chủ yếu chủ yếu phân tích các sai lầm liên quan đến khái quát
hóa)
1.5. Đặc điểm của học sinh Trung học cơ sở
1.6. Kết luận Chƣơng 1.
CHƢƠNG 2: TẬP LUYỆN HOẠT ĐỘNG KHÁI QUÁT HÓA CHO
HỌC SINH TRONG DẠY HỌC CHỦ ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC
2.1. Chƣơng trình, nội dung chủ đề bất đẳng thức ở trƣờng Trung
học cơ sở
2. 2. Một số biện pháp tập luyện hoạt động khái quát hóa trong dạy học
chủ đề bất đẳng thức
2.2.1. Biện pháp 1: Yêu cầu học sinh khái qt hóa một bài tốn cụ thể
a) Hướng dẫn học sinh tìm ra dấu hiệu chung và bản chất của của các
yếu tố và quan hệ trong một hoặc một lớp bất đẳng thức.
b) Khuyến khích học sinh đề xuất bài toán mới trên cơ sở khai thác bài
toán đã cho.
2.2.2. Biện pháp 2: Yêu cầu học sinh giải những bài tốn có tính chất mở,
những bài tốn chứa những con số phức tạp trong tính tốn nhưng những con
số đó có một mối liên hệ nào đó.
2.2.3. Biện pháp 3: Tập luyện khái quát hóa cùng với các thao tác trí tuệ
khác.
2.2.4. Biện pháp 4: Tập luyện cho học sinh chuyển từ bài toán thực tiễn
sang bài toán toán học
2.3. Kết luận chƣơng 2.
CHƢƠNG 3: THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM


5

3.1. Mục đích thực nghiệm.
3.2. Tổ chức và nội dung thực nghiệm.
3.3. Đánh giá kết quả thực nghiệm.


6

Chƣơng 1
CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Một số vấn đề khái quát về tƣ duy
1.1.1. Khái niệm tư duy
Để tồn tại và phát triển trong cuộc sống, con ngƣời cần phải nhận thức các
hiện tƣợng, các sự vật, các quá trình của tự nhiên, của xã hội và của chính bản
thân để hiểu về bản chất, mối liên hệ, quan hệ có tính quy luật của chúng. Q
trình nhận thức đó bao gồm nhận thức cảm tính và nhận thức lý tính. Q trình
nhận thức lý tính đƣợc gọi là tƣ duy.
Có nhiều định nghĩa, cách diễn đạt khác nhau về tƣ duy của các nhà tâm
lý học. X. L. Rubinstein cho r ng: "Tƣ duy - đó là sự khôi phục trong ý nghĩ của
chủ thể về khách thể với mức độ đầy đủ hơn, toàn diện hơn so với các tƣ liệu
cảm tính xuất hiện do tác động của khách thể" (dẫn theo [17, tr. 246]). Trong các
tài liệu [17], [18], [19], các tác giả cho r ng: "Tƣ duy là quá trình nhận thức
phản ánh những thuộc tính bản chất, những mối liên hệ có tính quy luật của sự
vật và hiện tƣợng trong hiện thực khách quan". "Tƣ duy là một quá trình tâm lý
liên quan chặt chẽ với ngơn ngữ - q trình tìm tịi và sáng tạo cái chính yếu,
q trình phản ánh một cách t ng phần hay khái quát thực tế trong khi phân tích
và tổng hợp nó. Tƣ duy sinh ra trên cơ sở hoạt động thực tiễn, t nhận thức cảm
tính và vƣợt xa giới hạn của nó" (dẫn theo [13, tr. 8]).
1.1.2. Đặc điểm của tư duy
Theo [17], [18], [19], tƣ duy có những đặc điểm cơ bản sau đây:
- Tính "có vấn đề" của tƣ duy.

Tƣ duy chỉ xuất hiện khi gặp những hoàn cảnh, những tình huống "có vấn
đề". Tình huống "có vấn đề" là tình huống chứa đựng một mục đích, một vấn đề
mới mà những hiểu biết cũ, phƣơng pháp hành động cũ không đủ sức giải quyết.
Muốn giải quyết vấn đề mới đó, để đạt đƣợc mục đích mới đó, con ngƣời phải
tìm cách thức giải quyết mới, tức con ngƣời phải tƣ duy.


7

Ví dụ 1.1: Sau khi HS đã đƣợc học cách giải phƣơng trình bậc hai, thầy
giáo yêu cầu các em giải phƣơng trình sau:

. Giải

phƣơng trình này là một tình huống có vấn đề với các em tại thời điểm đó vì
chƣa có một thuật giải nào có thể giúp các em giải đƣợc một phƣơng trình bậc
bốn. Do đó, buộc các em phải suy nghĩ để tìm cách giải phƣơng trình trên. Các
em tìm thấy hứng thú trong việc tìm lời giải bởi vì có biểu thức đồng dạng
giúp các em liên tƣởng tới đặt ẩn phụ. Và sau khi đặt ẩn phụ
thì phƣơng trình ban đầu trở thành phƣơng trình

đã có thuật giải.

- Tính gián tiếp của tƣ duy.
Con ngƣời sử dụng ngôn ngữ để tƣ duy. Nhờ có ngơn ngữ mà con ngƣời
sử dụng các kết quả nhận thức (khái niệm, phán đoán, quy luật, ...) vào quá trình
tƣ duy để nhận thức đƣợc cái bên trong, bản chất của sự vật, hiện tƣợng. Trong
quá trình tƣ duy, con ngƣời sử dụng những công cụ, phƣơng tiện (đồng hồ, nhiệt
kế, máy móc, ...) để nhận thức đối tƣợng mà khơng thể trực tiếp tri giác chúng.
- Tính tr u tƣợng và khái quát của tƣ duy.

Tƣ duy có khả năng tr u xuất khỏi sự vật, hiện tƣợng những thuộc tính,
những dấu hiệu cá biệt, cụ thể, chỉ giữ lại những thuộc tính chung, bản chất cho
nhiều sự vật và hiện tƣợng. Trên cơ sở đó mà khái quát những sự vật, hiện tƣợng
riêng lẻ, nhƣng có những thuộc tính bản chất chung thành một nhóm, một loại,
một phạm tr .
Ví dụ 1.2: Cơng thức tính diện tích tam giác
dài đƣờng cao hạ t đỉnh A,

, trong đó

là độ

là độ dài cạnh đối diện đỉnh A (diện tích tam giác

b ng một nửa đƣờng cao nhân với cạnh đáy). Để có đƣợc cơng thức tổng qt
trên, chúng ta đã gạt bỏ những chi tiết không quan trọng nhƣ tam giác gì, làm
b ng chất liệu nào, độ dài các cạnh có mối quan hệ nhƣ thế nào, đặt trong phẳng
hay trong không gian,... mà chỉ giữ lại yếu tố bản chất là độ dài đường cao và độ
dài cạnh đáy để có đƣợc cơng thức mang tính khái quát trên.
- Tƣ duy liên quan chặt chẽ với ngôn ngữ.


8

Nếu khơng có ngơn ngữ thì q trình tƣ duy ở con ngƣời không thể diễn
ra đƣợc, đồng thời các sản phẩm của tƣ duy (khái niệm, phán đoán, quy luật, ...)
cũng không đƣợc chủ thể và ngƣời khác tiếp nhận. Ngôn ngữ cố định lại các kết
quả của tƣ duy, là vỏ vật chất của tƣ duy và là phƣơng tiện biểu đạt kết quả của
tƣ duy. Ngƣợc lại, nếu khơng có tƣ duy thì ngơn ngữ chỉ là chuỗi âm thanh vô
nghĩa. Tuy nhiên, ngôn ngữ không phải là tƣ duy, ngôn ngữ chỉ là phƣơng tiện

của tƣ duy.
- Tƣ duy có quan hệ mật thiết với nhận thức cảm tính.
Tƣ duy bắt đầu t nhận thức cảm tính, nhà tâm lý học X. L. Rubinstein đã
viết: "Nội dung cảm tính bao giờ cũng có trong tƣ duy tr u tƣợng, tựa hồ nhƣ
làm thành chỗ dựa cho tƣ duy".
Tƣ duy là một quá trình tâm lý, nghĩa là tƣ duy có nảy sinh, diễn biến và
kết thúc.
1.2. Một số vấn đề về tƣ duy toán học
Cũng nhƣ những lĩnh vực khác của đời sống xã hội, toán học với tƣ cách
là một khoa học có nguồn gốc t thực tiễn và có ứng dụng vơ c ng đa dạng,
phong phú trong thực tiễn với những đặc điểm về đối tƣợng và phƣơng pháp
nghiên cứu cũng là một đối tƣợng của tƣ duy, và nhƣ là một tất yếu, xuất hiện tƣ
duy toán học.
"Để nhận thức đƣợc mặt nội dung của hiện thực cần có tƣ duy biện chứng,
và để nhận thức mặt hình thức của hiện thực cần có tƣ duy lơgic. Do đó, tƣ duy
tốn học là sự thống nhất giữa tƣ duy biện chứng và tƣ duy lơgic. Theo đó, tƣ
duy tốn học cũng có những cặp phạm tr quan trọng: cụ thể - tr u tƣợng, nhận
thức cảm tính - nhận thức lý tính, cái chung - cái riêng, cái bản chất - cái khơng
bản chất" [8, tr. 60-61]. Luận điểm nói trên cần đƣợc vận dụng một cách cụ thể
và thích hợp vào việc dạy học nh m phát triển tƣ duy toán học cho học sinh.
Giáo dục toán học cho HS nh m đạt các mục tiêu:
- Truyền thụ cho HS những kiến thức cơ bản đƣợc chọn lựa cho ph hợp
với đặc điểm của đối tƣợng Tốn học một cách có hệ thống;
- Rèn luyện cho HS những kỹ năng, kỹ xảo toán học;


9

- Phát triển tƣ duy toán học cho HS (dẫn theo [14, tr. 12]).
Tƣ duy toán học là một mục tiêu quan trọng trong hoạt động toán học của

HS, nhƣng nếu thiếu sự phát triển một cách có phƣơng hƣớng thì khơng thể đạt
đƣợc mức độ mong muốn về kiến thức và kỹ năng trong q trình dạy học tốn.
Nhiều nhà toán học đã bày tỏ ý kiến về tƣ duy tốn học nhƣ sau:
Viện sĩ B. V. Gơnhedencơ đƣa ra một số yêu cầu đối với tƣ duy toán học,
đó là:
- Năng lực nhìn thấy sự khơng rõ ràng của quá trình suy luận;
- Thấy đƣợc sự thiếu vắng các mắt xích cần thiết của chứng minh;
- Có thói quen lý giải lôgic một cách đầy đủ;
- Phân chia rõ ràng tiến trình suy luận, sự cơ đọng, sự chính xác của các
ký hiệu (dẫn theo [14, tr. 15]).
Nhà toán học A. Ia. Khinsin cho r ng những nét độc đáo của phong cách
tƣ duy toán học là:
- Suy luận theo sơ đồ lôgic chiếm ƣu thế;
- Khuynh hƣớng đi tìm con đƣờng ngắn nhất dẫn đến mục đích; phân chia
rành mạch các bƣớc suy luận;
- Sử dụng chính xác các ký hiệu;
- Tính có căn cứ đầy đủ trong các lập luận, đặc biệt không bao giờ chấp
nhận những khái qt khơng có suy luận, những phép tƣơng tự khơng có cơ sở
(dẫn theo [8, tr. 127]).
A. I. Marcusêvich nhấn mạnh đến những kỹ năng cần đƣợc bồi dƣỡng cho
HS trong dạy học Toán là:
- Kỹ năng loại bỏ những chi tiết không căn bản chỉ để giữ lại bản chất của
vấn đề, chẳng hạn kỹ năng tr u tƣợng hóa;
- Kỹ năng rút ra hệ quả lơgic t những tiền đề đã cho;
- Kỹ năng phân tích vấn đề thành những trƣờng hợp riêng;
- Kỹ năng khái quát hóa kết quả nhận đƣợc và đặt ra vấn đề mới ở dạng
khái quát;


10

- Kỹ năng xây dựng sơ đồ của hiện tƣợng sao cho chỉ giữ lại những yếu tố
cần thiết cho việc giải thích vấn đề về mặt tốn học;
- Kỹ năng xây dựng các kết luận đƣợc rút ra t các suy luận, đối chiếu kết
quả đó với các điều đƣợc dự kiến;
- Kỹ năng đánh giá ảnh hƣởng của việc thay đổi các điều kiện đến sự tin
cậy,... (dẫn theo [14, tr. 16]).
1.3. Khái quát hóa
1.3.1. Các thao tác tư duy cơ bản
+) Phân tích là q trình d ng trí óc tách cái tồn thể ra t ng bộ phận theo
một dấu hiệu và thuộc tính của chúng nh m mục đích nghiên cứu chúng đầy đủ
và sâu sắc hơn. Tổng hợp là q trình d ng trí óc liên kết những bộ phận, những
thuộc tính, những thành phần đã đƣợc phân tách nhờ phân tích theo một mục
đích nhận thức thành một chỉnh thể nguyên vẹn nh m đem lại một kết quả mới,
một sự hiểu biết mới nào đó về hiện thực, thu đƣợc một sự vật và hiện tƣợng
nguyên vẹn mới.
Bàn về mối quan hệ giữa phân tích và tổng hợp, các nhà nghiên cứu đã
đƣa ra những nhận định sau:
“Phân tích và tổng hợp là hai hoạt động trí tuệ trái ngƣợc nhau nhƣng lại
là hai mặt của một quá trình thống nhất. Những hoạt động trí tuệ khác đều đƣợc
diễn ra trên nền tảng phân tích và tổng hợp” [9]. “Phân tích và tổng hợp có mối
quan hệ qua lại mật thiết với nhau, tạo thành sự thống nhất không tách rời đƣợc:
Sự phân tích đƣợc tiến hành theo hƣớng tổng hợp, cịn sự tổng hợp đƣợc thực
hiện theo kết quả của phân tích” [18]. Trƣớc hết, chúng ta thấy bức tranh tổng
quát, trong đó các chi tiết cịn mờ nhạt ít nhiều. Nhƣng d đã nắm đúng tồn bộ
tính chất chung của bức tranh các hiện tƣợng đến thế nào đi nữa, cách nhìn ấy
vẫn khơng đủ để giải thích những chi tiết kết thành toàn bộ bức tranh ấy, và
ch ng nào chúng ta chƣa giải thích nổi các chi tiết thì chúng ta cũng chƣa thể có
một quan niệm rõ rệt về bức tranh chung đƣợc.
Nhận thức luôn luôn bắt đầu t sự tri giác và sự thông hiểu cái nguyên

vẹn, t sự tổng hợp, bởi vì hiện thực cụ thể tồn tại trong các sự vật và hiện tƣợng


11

nguyên vẹn. Những tri giác tổng hợp ban đầu cung cấp cho chúng ta tri thức
tổng quát, tản mạn về các sự vật hiện tƣợng. Nhƣng sự tổng hợp ban đầu đó
thƣờng xác định đƣợc phƣơng hƣớng nghiên cứu phân tích các sự vật hoặc hiện
tƣợng. Về sau, chúng ta nghiên cứu các bộ phận của một sự vật nguyên vẹn với
các phẩm chất và thuộc tính của nó trong các mối quan hệ giữa chúng theo một
phƣơng hƣớng nhất định sẽ giúp ta có một nhận thức tổng hợp đầy đủ hơn và
sâu sắc hơn về sự vật và hiện tƣợng đó.
Đồng thời với sự tổng hợp trên, sự phân tích đi càng xa và càng sâu bao
nhiêu, thì sự tổng hợp càng trở nên đầy đủ bấy nhiêu, tri thức về sự vật hoặc
hiện tƣợng hoàn chỉnh càng đƣợc hiểu rõ và phong phú bấy nhiêu. Sự tổng hợp
đƣợc hoàn thiện sẽ ảnh hƣởng đến chất lƣợng của sự phân tích tiếp sau và giúp
cho việc nghiên cứu đầy đủ và sâu sắc hơn sự vật và hiện tƣợng với các bộ phận
của nó và mối quan hệ giữa chúng. Sự tổng hợp như là một quá trình và kết quả
của phân tích.
+) So sánh là xác định sự giống nhau và khác nhau giữa các sự vật và hiện
tƣợng trong tất cả các mối quan hệ có thể có nh m một mục đích nhận thức nào
đó.
+) “Tương tự hóa là một kiểu giống nhau nào đó. Có thể nói tƣơng tự là
giống nhau nhƣng ở mức độ xác định hơn và mức độ đó đƣợc phản ánh b ng
khái niệm” [11]. Và ơng giải thích nhƣ sau: “Sự khác nhau căn bản giữa tƣơng
tự và những loại giống nhau khác là ở ý định của ngƣời đang suy nghĩ. Những
đối tƣợng giống nhau ph hợp với nhau trong một quan hệ nào đó. Nếu bạn có ý
định quy mối quan hệ trong đó các đối tƣợng ph hợp với nhau về những khái
niệm đã định thì bạn sẽ xem những đối tƣợng giống nhau ấy nhƣ là những đối
tƣợng tƣơng tự. Và nếu bạn đạt tới những khái niệm rõ ràng, thì tức là bạn làm

sáng tỏ sự tƣơng tự”.
Chúng tơi quan niệm: Tương tự hóa là q trình d ng trí óc để kết luận về sự
giống nhau của các đối tƣợng ở một số dấu hiệu, thuộc tính khác t sự giống
nhau của các đối tƣợng ở một số dấu hiệu, thuộc tính nào đó nh m mục đích tạo
ra một kết quả mới, vƣợt qua một trở ngại.


12

+) Trừu tượng hóa – Khái qt hóa
Trong giáo trình Tâm lí học đại cƣơng, các tác giả cho r ng: “Trừu tượng
hố là q trình d ng trí óc gạt bỏ những mặt, những thuộc tính, những liên hệ,
quan hệ thứ yếu, không cần thiết và chỉ giữ lại những yếu tố cần thiết cho tƣ
duy. Khái quát hóa là q trình d ng trí óc để hợp nhất nhiều đối tƣợng khác
nhau thành một nhóm, một loại theo những thuộc tính, những liên hệ, quan hệ
chung nhất định” [18].
Theo tác giả Nguyễn Bá Kim: “Trừu tượng hóa là tách những đặc điểm
bản chất khỏi những đặc điểm không bản chất. Khái quát hóa là chuyển t một
tập hợp đối tƣợng sang một tập hợp lớn hơn chứa tập hợp ban đầu b ng cách nêu
bật một số đặc điểm chung của các phần tử trong tập xuất phát” [9]. Tác giả còn
nhấn mạnh: Đƣơng nhiên, sự phân biệt bản chất hay không bản chất ở đây mang
ý nghĩa tƣơng đối, nó phụ thuộc vào mục đích hành động.
Theo G. Polia [11]: “Khái quát hóa là chuyển t việc nghiên cứu một tập
hợp đối tƣợng đã cho đến việc nghiên cứu một tập hợp lớn hơn, bao gồm cả tập
hợp ban đầu”.
Theo tác giả Hồng Chúng: “Khái qt hóa là dùng trí óc tách ra cái
chung trong các đối tƣợng, sự kiện hoặc hiện tƣợng. Muốn khái quát hóa,
thƣờng phải so sánh nhiều đối tƣợng, hiện tƣợng, sự kiện với nhau”. “Khi khái
quát hóa, chúng ta tách ra cái chung trong các đối tƣợng nghiên cứu, chỉ khảo
sát cái chung này, gạt qua một bên những cái riêng phân biệt đối tƣợng này với

đối tƣợng khác, không chú ý tới những cái riêng này. Chẳng hạn, khi xem xét
hình dáng của các vật, ta gạt qua một bên kích thƣớc, màu sắc, chất liệu, cơng
dụng… của các vật đó. Đó là tr u tƣợng hóa” [2].
Theo Đào Văn Trung: “T trong những sự vật khác nhau, tìm ra những
tính chất chung của chúng và qui kết lại, phƣơng pháp tƣ duy này gọi là khái
quát” [16].
Trong Giáo dục học mơn Tốn, các tác giả cho r ng tr u tƣợng hóa biểu
thị khả năng tách những mối liên hệ nào đó t dạng những sợi dây liên kết
ch ng chịt các đối tƣợng và hiện tƣợng. Có ba loại tr u tƣợng hóa cơ bản đó là


13

tr u tƣợng hóa đồng nhất, tr u tƣợng hóa giải tích (cịn gọi là lí tƣởng hóa), tr u
tƣợng hóa khả hiện. Khái quát hóa là thao tác chuyển t khái niệm có ngoại diên
hẹp sang khái niệm có ngoại diên rộng, còn đƣợc gọi là mở rộng khái niệm [8].
Trên cơ sở các định nghĩa v a đƣa ra của các nhà khoa học, chúng tôi
thống nhất với định nghĩa: “Trừu tượng hóa là q trình d ng trí óc tách những
đặc điểm bản chất khỏi những đặc điểm khơng bản chất nh m mục đích cho q
trình khái qt hóa. Khái qt hóa là q trình d ng trí óc chuyển t một tập
hợp đối tƣợng sang một tập hợp lớn hơn chứa tập hợp ban đầu b ng cách nêu bật
một số đặc điểm chung của các phần tử trong tập xuất phát nh m mục đích tạo
ra một kết quả tổng quát, giải quyết một vấn đề”.
Trong quá trình nghiên cứu các sự vật và hiện tƣợng riêng lẻ ban đầu ta
tách ra và tr u xuất các thuộc tính và các mối liên hệ chung, bản chất, nghĩa là
tr u tƣợng hóa khỏi các dấu hiệu và các mối liên hệ không bản chất. Sau đó, nhờ
khái qt hóa các thuộc tính và các mối liên hệ chung và bản chất đó ta thu đƣợc
các tri thức khái quát, tr u tƣợng dƣới hình thức những khái niệm, những định
lí, qui tắc. Nhƣ vậy, mọi tri thức khái qt có tính chất lí luận dƣới hình thức các
khái niệm, các định lí, qui tắc mà học sinh đã tiếp nhận đƣợc trong quá trình học

tập đều đạt đƣợc b ng tr u tƣợng hóa.
Mỗi sự vật và hiện tƣợng đều có những dấu hiệu, thuộc tính bản chất và
khơng bản chất. Chỉ khi các dấu hiệu và các mối liên hệ chung, bản chất của một
nhóm những sự vật, hiện tƣợng nhất định nào đấy đƣợc khái quát hóa, ta mới
thu đƣợc các tri thức có tính chất lí luận khái qt về nhóm các sự vật hay hiện
tƣợng đó.
Nhƣ vậy “Khái quát hóa có mối quan hệ mật thiết với tr u tƣợng hóa.
Tr u tƣợng hóa là sự nêu bật và tách những đặc điểm không bản chất ra khỏi các
đặc điểm bản chất. Tr u tƣợng hóa là điều kiện ắt có nhƣng chƣa đủ để khái
quát hóa” [9]. Sự tr u tƣợng hóa là một thành phần khơng thể tách đƣợc của q
trình khái qt hóa. “Tr u tƣợng hóa và khái quát hóa liên hệ chặt chẽ với nhau.
Nhờ tr u tƣợng hóa, ta có thể khái quát hóa rộng hơn và nhận thức sự vật sâu


14

hơn. Khơng có khái qt hóa và tr u tƣợng hóa thì khơng thể có khái niệm và tri
thức lí thuyết đƣợc” [2].
+) Đặc biệt hóa là chuyển t khái niệm có ngoại diên rộng sang khái niệm
có ngoại diên hẹp (còn gọi là giới hạn khái niệm) [8].
Đặc biệt hóa là chuyển t việc nghiên cứu một tập hợp đối tƣợng đã cho
sang việc nghiên cứu một tập nhỏ hơn chứa trong tập hợp đã cho [11].
Chúng tôi thống nhất với định nghĩa: Đặc biệt hóa là q trình dùng trí óc
chuyển t việc nghiên cứu một tập hợp đối tƣợng đã cho sang việc nghiên cứu
một tập nhỏ hơn chứa trong tập hợp đã cho nh m mục đích kiểm nghiệm lại tính
đúng đắn của khái qt hóa, giải quyết một vấn đề.
1.3.2. Các dạng khái quát hóa trong mơn tốn
Theo tác giả Nguyễn Bá Kim, những dạng khái qt hóa thƣờng gặp trong
mơn tốn có thể đƣợc biểu diễn b ng sơ đồ sau:
Khái quát hóa

Khái quát hóa t cái riêng lẻ
đến cái tổng quát

Khái quát hóa t cái tổng
quát đến cái tổng quát hơn

Khái quát hóa đến cái tổng
quát đã biết

Khái quát hóa đến cái tổng
quát chƣa biết

Chẳng hạn, khi dạy lũy th a với số mũ tự nhiên ta có thể dẫn học sinh đi
t

những trƣờng hợp riêng lẻ đến tổng quát; ví dụ: 32=3.3; 83=8.8.8;

104=10.10.10.10;

,(

là những số tự nhiên). Khi dạy phép nhân

số hữu tỉ ở lớp 7, ta có thể cho học sinh khái quát quy tắc “Tích của hai số âm là
một số dƣơng” thành mệnh đề: “Tích của một số chẵn các th a số âm là một số
dƣơng”. Đó là sự khái quát hóa t tổng quát đến tổng quát hơn.


15

Cả hai trƣờng hợp trên đều là sự khái quát đi đến kiến thức mới. Bên cạnh đó
cịn có dạng khái quát hóa đi đến kiến thức đã biết, dạng này đƣợc tiến hành
chẳng hạn khi giải những bài toán chứng minh tốn học, trong đó khái qt hóa
thể hiện ở việc liên hệ những tình huống cụ thể của bài tốn với những tiên đề,
định nghĩa, định lí thích hợp, ở việc nhận biết cái tổng quát đã biết trong những
cái cụ thể.
Ví dụ 1.3: Trong hình học phẳng, để chứng minh r ng hai đƣờng thẳng
c ng vuông góc với một đƣờng thẳng thứ ba thì song song với nhau, ngƣời ta
liên hệ tình huống “hai đƣờng thẳng c ng vng góc với đƣờng thẳng thứ ba”
với tình huống tổng quát hơn: “hai đƣờng thẳng c ng tạo thành với một cát
tuyến hai góc đồng vị b ng nhau” trong định lý đã biết: “Nếu hai đƣờng thẳng
c ng tạo thành với một cát tuyến hai góc đồng vị b ng nhau thì hai đƣờng thẳng
ấy song song với nhau”. Sự liên hệ này chính là dạng khái quát hóa đi đến kiến
thức mà học sinh cần biết.
1.4. Một số sai lầm của học sinh trong dạy học chủ đề bất đẳng thức
liên quan đến khái quát hóa
Theo [13], để khái quát hóa tốt, điều quan trọng nhất là phải biết tìm ra
dấu hiệu chung và bản chất của các đối tƣợng riêng lẻ. Một trong những nguyên
nhân sai lầm của học sinh là khơng tìm đƣợc dấu hiệu bản chất, ngộ nhận giữa
dấu hiệu chung và dấu hiệu bản chất; không tiên lƣợng đƣợc một số trƣờng hợp
suy biến của cái tổng quát...
Ví dụ 1.4: Chứng minh bất đẳng thức

Cho biết dấu “=” xảy ra khi nào? Hãy mở rộng bài toán trên.
Học sinh:

Đẳng thức xảy ra
Bất đẳng thức trên có sự tổng quát:

16

(1)
Đẳng thức xảy ra
Nguyên nhân sai lầm: Học sinh đã tổng qt hóa bài tốn mà ko tiên
lƣợng đƣợc một số trƣờng hợp suy biến khi dấu “=” xảy ra.
Đẳng thức (1) xảy ra

Thật vậy, khơng mất tính tổng qt, giả

sử
Áp dụng bất đẳng thức

(Đẳng thức (2) xảy ra
Và do

Chứng minh (2) b ng quy nạp theo k)

ta có:

Xét hiệu :

(Do

)

T (2) và (4) ta có bất đẳng thức:
(5)
Phối hợp (2) và (5) ta đƣợc

Đẳng thức xảy ra
Ví dụ 1.5 ([3], tr 17): So sánh

Học sinh làm nhƣ sau:
Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si cho hai số

ta có:


17

Đẳng thức xảy ra
Sai lầm áp dụng định lý Cô-si đã học mà ko quan tâm đến điều kiện của các
số

trong bất đẳng thức Cơ-si:

Lời giải đúng:
vơ nghĩa

-Nếu
-Nếu

thì áp dụng bất đẳng thức Cơ-si cho hai số dƣơng

ta có

Đẳng thức xảy ra
-Nếu
Ví dụ 1.6:T bất đẳng thức

Khơng ít em đã đƣợc ra kết luận tổng quát hóa sai lầm:

Nguyên nhân là các em đã ngộ nhận
Ví dụ 1.7: Chứng minh bất đẳng thức:
với
Chúng tôi nêu hai cách giải cho bài tốn này khơng phải vì mục đích cho
ra nhiều lời giải, mà với mỗi cách giải sẽ gợi nên một phƣơng hƣớng khái qt
hóa bài tốn.
Cách 1: Ta có


18

là một tam

Cách 2: Xét
thức bậc hai đối với

có

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta đƣợc

, t đó suy ra điều

phải chứng minh.
Học sinh có thể khái quát hóa bài toán t cách giải 2 nhƣ sau: Do
số cố định nên mở rộng cho

là một

số hạng tiếp theo ta đƣợc:
với

Với cách giải tƣơng tự
Xét hiệu:
Đây là một tam thức bậc hai đối với a. Muốn tam thức này luôn không âm
thì

(1)
Theo bất đẳng thức Bunhiacơpxki thì:

.
Nếu

thì:

Suy ra (1) ln đƣợc thỏa mãn.
Nhƣng với

, nếu chọn

thì

nên tồn tại

những giá trị của a làm cho giái trị của tam thức f(a) âm, cụ thể ta có thể lấy
thì

khi đó ta có nên bất đẳng

thức đƣợc khái qt khơng đúng.
Vậy bài tốn tổng quát nhƣ thế nào? Ta trở lại với cách giải 1 vì vế trái có
lặp lại bốn lần và cộng lại thì b ng

.Nhƣng nếu số hạng ở vế trái nhiều

hơn hay ít hơn thì sự phân tích trên khơng đúng nữa, nếu tăng số hạng lên n số


19

thì cần phải có n lần

có tổng b ng

khi đó với cách viết tƣơng tự ta

đƣợc:

Vậy bất đẳng thức đƣợc khái quát đúng là:
.
1.5. Một số đặc điểm của học sinh Trung học cơ sở
Theo [17], [18], [19] một số đặc điểm của lứa tuổi HS THCS nhƣ sau:
1.5.1.Đặc điểm hoạt động học tập
a.Trẻ càng lớn lên, hoạt động học tập càng có vị trí quan trọng trong cuộc
sống của trẻ và vai trị của nó trong sự phát triển của trẻ ngày càng to lớn.
Học tập là hoạt động chủ đạo của học sinh, nhƣng vào tuổi thiếu niên, việc học
tập của các em có những thay đổi cơ bản.
Việc học tập ở trƣờng trung học cơ sở là một bƣớc ngoặc quan trọng trong đời
sống của trẻ. Ở các lớp dƣới, trẻ học tập các hệ thống các sự kiện và hiện tƣợng,

hiểu những mối quan hệ cụ thể và đơn giản giữa các sự kiện và hiện tƣợng đó. Ở
trƣờng trung học cơ sở, việc học tập của các em phức tạp hơn một cách đáng kể.
Các em chuyển sang nghiên cứu có hệ thống những có sở của các khoa học, các
em học tập có phân môn… Mỗi môn học gồm những khái niệm, những quy luật
đƣợc sắp xếp thành một hệ thống tƣơng đối sâu sắc. Điều đó địi hỏi các em phải
tự giác và độc lập cao.
b.Quan hệ giữa giáo viên và học sinh cũng khác trƣớc. Các em đƣợc học
với nhiều giáo viên. Các giáo viên có cách dạy và yêu cầu khác nhau đối với học
sinh, có trình độ nghề nghiệp và phẩm chất, uy tín khác nhau. Quan hệ giữa giáo
viên và học sinh “xa cách” hơn so với bậc tiểu học. Sự thay đổi này tạo ra những
khó khăn nhất định cho các em nhƣng nó cũng tạo điều kiện cho các em phát
triển dần phƣơng thức nhận thức ngƣời khác.
c.Thái độ tự giác đối với học tập ở tuổi thiếu niên cũng tăng lên rõ rệt. Ở
học sinh tiểu học, thái độ đối với môn học phụ thuộc vào thái độ của các em đối
với giáo viên và điểm số nhận đƣợc. Nhƣng ở tuổi thiếu niên, thái độ đối với
môn học do nội dung môn học và sự đòi hỏi phải mở rộng tầm hiểu biết chi
phối. Thái độ đối với mơn học đã đƣợc phân hóa (mơn “hay”, môn “không
hay”.).


20

Ở đa số thiếu niên, nội dung khái niệm “học tập” đã đƣợc mở rộng, ở
nhiều em đã có yếu tố tự học, có hứng thú bền vững đối với mơn học, say mê
học tập. Tuy nhiên, tính tị mị, ham hiểu biết nhiều có thể khiến hứng thú của
thiếu niên bị phân tán và khơng bền vững và có thể hình thành thái độ dễ dãi,
khơng nghiêm túc đối với các lĩnh vực khác trong cuộc sống.
Trong giáo dục, giáo viên cần thấy đƣợc mức độ phát triển cụ thể ở mỗi em để
kịp thời động viên, hƣớng dẫn thiếu niên khắc phục những khó khăn trong học
tập và hình thành nhân cách một cách tốt nhất. Mặt khác, cần chú ý tới tài liệu

học tập : Tài liệu học tập phải súc tích về nội dung khoa học, phải găn với cuộc
sống của các em, làm cho các em hiểu rõ ý nghĩa của tài liệu học, phải gợi cảm,
gây cho học sinh hứng thú học tập và phải trình bày tài liệu, phải gợi cho học
sinh có nhu cầu tìm hiểu tài liệu đó, phải giúp đỡ các em biết cách học, có
phƣơng pháp học tập ph hợp.
Thái độ học tập có ý thức đã thúc đẩy sự phát triển tính chủ động của các
q trình nhận thức và năng lực điều khiển bản thân của HS trong hoạt động học
tập.
1.5.2. Đặc điểm của sự phát triển trí tuệ
a. Tri giác của các em đã có khả năng phân tích, tổng hợp các sự vật, hiên
tƣợng phức tạp hơn khi tri giác sự vật, hiện tƣợng. Khối lƣợng tri giác tăng lên,
tri giác trở nên có kế hoạch, cơ trình tự và hồn thiện hơn.
b. Trí nhớ của thiếu niên cũng đƣợc thay đổi về chất. Đặc điểm cơ bản
của trí nhớ ở lứa tuổi này là sự tăng cƣờng tính chấtchủ định, năng lực ghi nhớ
có chủ định đƣợc tăng lên rõ rệt, cách thức ghi nhớ đƣợc cải tiến, hiệu suất ghi
nhớ cũng đƣợc nâng cao.
Học sinh trung học cơ sở có nhiều tiến bộ trong việc ghi nhớ tài liệu tr u
tƣợng, t ngữ. Các em có những kỹ năng tổ chức hoạt động tƣ duy, biết tiến
hành các thao tác nhƣ so sánh, hệt thống hóa, phân loại nh m ghi nhớ tài liệu.
Kỹ năng nắm vững phƣơng tiện ghi nhớ của thiếu niên đƣợc phát triển ở mức độ
cao, các em bắt đầu biết sử dụng những phƣơng pháp đặc biệt để ghi nhớ và nhớ
lại. Tốc độ ghi nhớ và khối lƣợng tài liệu đƣợc ghi nhớ tăng lên. Ghi nhớ máy