Truyền thụ tri thức, đặc biệt là tri thức phương pháp như là phương tiện và kết quả của hoạt động trong dạy học toán cho học sinh lớp 10 chuyên toán

1

bộ giáo dục và đào tạo
Trờng đại học vinh
----------------------------

Lê Phi Hùng

Truyền thụ tri thức, đặc biệt là tri thức phơng pháp
nh là phơng tiện và kết quả của hoạt động
trong dạy học Toán cho học sinh lớp 10 chuyên Toán

luận văn thạc sĩ giáo dục học

Vinh 2009
Mục lục
Mở đầu ……………………………………..………………………….

Trang
1


2
Chơng 1. Cơ sở lí luận và thực tiễn ...
1.1. Quan điểm hoạt động trong dạy học Toán ..
1.1.1. Lý thuyết hoạt động trong Tâm lý học
1.1.2. Quan điểm hoạt động trong dạy học Toán...
1.1.3. Các t tởng chủ đạo của quan điểm hoạt động..
1.1.4. Định hớng đổi mới PPDH theo hớng "Hoạt động hoá ngời học"
1.2. Tri thức và tri thức phơng pháp..
1.2.1. Khái niệm tri thức và một số dạng tri thức...

1.2.2. Tri thức phơng pháp...
1.3. Dạy học tri thức phơng pháp..
1.3.1. Vai trò và ý nghĩa của việc truyền thụ tri thức phơng pháp
trong dạy học Toán
1.3.2. Một số cấp độ về dạy học tri thức phơng pháp...
1.3.3. Một số tiến trình dạy học tri thức phơng pháp có tính chất
thuật toán một cách tờng minh...
1.3.4. Dạy học tri thức phơng pháp có tính chất tìm đoán...
1. 4. Thực trạng dạy học ở các lớp chuyên Toán
1.4.1. Việc hình thành các lớp chuyên Toán .....
1.4.2. Các kết quả đạt đợc
1.4.3. Một số vấn đề còn tồn tại hiện nay .
1.5. Kết luận chơng 1 ...
Chơng 2. Mét sè biƯn ph¸p nh»m trun thơ tri thøc, đặc biệt là tri

4
4
4
6
8
9
9
9
15
22
22
26
2
8
30

34
34
35
35
36

thức phơng pháp nh là phơng tiện và kết quả của hoạt động
trong dạy học Toán cho học sinh lớp 10 chuyên Toán ..
2.1. Đặc điểm của chơng trình môn Toán lớp 10 và chơng trình
chuyên Toán lớp 10 .
2.2. Một số định hớng s phạm của việc đề ra các biện pháp ..
2.3. Đề xuất một số biện pháp s phạm nhằm cung cấp tri thức, đặc biệt là tri
thức phơng pháp trong dạy học Toán 10 cho học sinh chuyên Toán .
2.3.1. Biện pháp 1: Lµm cho häc sinh râ ngn gèc cđa tri thøc,
con đờng khám phá tri thức nhằm khơi dậy niềm ham thích
say mê môn Toán ......
2.3.2. Biện pháp 2: Rèn luyện cho học sinh kết hợp giữa suy diễn
và dự đoán trong quá trình phát hiện giải quyết vấn đề...
2.3.3. Biện pháp 3: Rèn luyện cho học sinh khả năng liên tởng và huy
động tri thức, đặc biệt là tri thức phơng pháp trong quá trình
phát hiện và giải quyết vấn đề ....
2.3.4. Biện pháp 4: Rèn luyện học sinh khả năng khai thác sâu lời
giải bài toán, tìm tòi nhiều cách giải, phát triển bài toán
theo nhiều hớng, đề xuất các bài toán mới, các chuỗi bài
toán. Vận dụng một số kiến thức Toán học cao cấp để soi

37
3
7
41

4
1

41
5
0

65


3
sáng các bài toán ...
74
2.3.5. Biện pháp 5: Xây dựng chuyên đề gợi mở, kích thích sự
sáng tạo, sự say mê Toán học và rèn luyện khả năng tự học,
tự nghiên cứu của học sinh .....
2.4. Kết luận chơng 2 ...
Chơng 3. Thực nghiệm s phạm ....
3.1. Mục đích thực nghiƯm …………………………………………
3.2. Néi dung thùc nghiƯm ………………………………………….
3.2. Tỉ chøc thùc nghiƯm …………………………………………...
3.3. иnh gi¸ kết quả thực nghiệm …………………………………
3.4. KÕt luận chơng 3 ...
Kết luận .
Công trình đà công bố của tác giả, đồng tác giả liên quan đến luận văn
Tài liệu tham khảo ................................................................................

87
96
97

97
97
97
99
101
102
103
104

Mở đầu
1. Lí do chọn đề tài
1.1. Đất nớc ta đang trên con đờng đổi mới, cần có những con ngời phát
triển toàn diện, năng động và sáng tạo. Để đạt đợc mục tiêu đó, trớc hết bắt đầu
từ sự nghiệp giáo dục và đào tạo, đòi hỏi sự nghiệp giáo dục và đào tạo phải đổi
mới để đáp ứng nhu cầu xà hội. Đổi mới sự nghiệp giáo dục và đào tạo phụ
thuộc vào rất nhiều yếu tố, một yếu tố quan trọng là đổi mới PPDH trong đó có
PPDH môn Toán.
Nghị quyết Trung ơng 2 (khoá 8, 1997) của Ban Chấp hành Trung ơng
Đảng Cộng sản Việt Nam khẳng định: "Phải đổi mới phơng pháp giáo dục - đào
tạo, khắc phục lối truyền thụ một chiều, rèn luyện thành nếp t duy sáng tạo cho
ngêi häc…".
KÕt ln cđa Bé ChÝnh trÞ vỊ viƯc thùc hiện Nghị quyết Trung ơng 2
(2009) nêu rõ: "Tiếp tục đổi mới PPDH, khắc phục lối truyền thụ một chiều.
Phát huy PPDH tích cực, sáng tạo".


4
Luật Giáo dục (2005) cũng quy định: "Nhà nớc phát triển giáo dục nhằm
nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dỡng nhân tài", "Phơng pháp giáo dục
phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, t duy sáng tạo của ngời học".

Chơng trình môn Toán (2002) đà viết: "Môn Toán có vai trò quan trọng
trong việc thực hiện mục tiêu chung của giáo dục phổ thông Cùng với việc tạo
điều kiện cho HS kiến tạo những tri thức và rèn luyện kỹ năng Toán học cần thiết,
môn Toán có tác dụng góp phần phát triển năng lực trí tuệ chung".
1.2. Trong những năm gần đây việc đổi míi PPDH ë níc ta ®· cã mét sè
chun biÕn tích cực. Các PPDH hiện đại nh dạy học phát hiện và giải quyết
vấn đề, dạy học khám phá, dạy học kiến tạo đà đợc một số giáo viên áp dụng.
Những sự đổi mới đó nhằm tổ chức các môi trờng học tập mà trong đó HS đợc
hoạt động trí tuệ nhiều hơn, có cơ hội để khám phá và kiến tạo tri thức, qua đó
HS có điều kiện tốt hơn lĩnh hội bài học và phát triển t duy cho bản thân họ.
Tuy nhiên, thực tế cũng còn rất nhiều giáo viên vẫn còn gặp khó khăn trong
việc tiếp cận và thực hiện các PPDH mới.
1.3. Mục tiêu của những lớp chuyên Toán là phát hiện những HS có năng
lực Toán học, bồi dỡng để các em phát triển tốt về mặt này trên cơ sở giáo dục
toàn diện, góp phần đào tạo đội ngũ cán bộ khoa học kü tht giái, trong sè ®ã
mét sè cã thĨ trë thành nhân tài của đất nớc. HS các lớp chuyên Toán, ngoài nội
dung môn Toán cơ bản ở trờng phổ thông, các em còn đợc học tăng cờng một
số nội dung mở rộng, đào sâu kiến thức cơ bản trong SGK, chú trọng thêm
những ứng dụng thực tiễn của Toán học, tăng cờng một số yếu tố lôgic và Toán
học hiện đại Do những tính chất đặc thù của HS chuyên Toán và của nội
dung chơng trình chuyên Toán, cha có nhiều các công trình giáo dục đi sâu vào
nghiên cứu PPDH cho đối tợng này, trong khi chúng ta đà có rất nhiều các công
trình khoa học giáo dục bàn về PPDH nói chung. Các công trình đà thực hiện
liên quan đến chuyên Toán thờng là những công trình đi sâu vào khía cạnh kiến
thức, tìm tòi các bài toán khó để thách thức khả năng giải toán của HS, mà
cha chú trọng đến việc dẫn dắt HS kiến tạo những kiến thức đó. Một số tác giả
cũng đà đặt vấn đề nghiên cứu, xây dựng nội dung và PPDH cho đối tợng HS
khá giỏi, có thể kể ra ở đây tiêu biểu là công trình của tác giả Trần Luận (1996),
nhng chỉ đề cập đến đối tợng HS chuyên Toán cấp II.
1.4. Chơng trình môn Toán cho các lớp chuyên Toán THPT nói chung và

chơng trình cho lớp 10 chuyên Toán nói riêng có rất nhiều vấn đề có thể làm
nổi bật quan điểm dẫn dắt HS kiến tạo tri thức, đặc biệt là tri thức phơng pháp,


5
nh là phơng tiện và kết quả của hoạt động. Chẳng hạn, với vấn đề hàm số bậc
nhất, tính đơn điệu và đồ thị của nó là những tri thức để giải quyết các bài toán
cực trị của biểu thức bậc nhất trên một đoạn, bằng cách chỉ cần so sánh hai đầu
mút, từ đó có thể hình thành nên một tri thức phơng pháp giải quyết hiệu quả
một lớp các bài toán cực trị. Một ví dụ khác nữa đó là, từ cách giải hệ đẳng cấp
bậc hai với hai ẩn, hình thành nên tri thức phơng pháp có thể giải một lớp các hệ
phơng trình mà trong đó tõ hƯ ®· cho ta cã thĨ ®a ®Õn mét phơng trình đẳng cấp
thuần nhất của hai biến
Từ những lí do trên chúng tôi quyết định lựa chọn đề tài của luận văn là:
"Truyền thụ tri thức, đặc biệt là tri thức phơng pháp nh là phơng tiện và kết
quả của hoạt động trong dạy học Toán cho học sinh lớp 10 chuyên Toán"
với mong muốn đóng góp một phần nhỏ vào việc dạy học môn Toán cho đối tợng là học sinh lớp 10 chuyên Toán.
2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích nghiên cứu của luận văn là thông qua nghiên cứu lí luận và
thực tiễn, đề xuất một số biện pháp s phạm góp phần vào việc dạy học tri thức
và tri thức phơng pháp cho học sinh chuyên Toán lớp 10 nhằm nâng cao chất lợng dạy học.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
3.1. Hệ thống hoá một số vấn đề về tri thức, tri thức phơng pháp, tri thức
đối với hoạt động t duy và việc dạy học tri thức phơng pháp.
3.2. Nghiên cứu mục tiêu đào tạo và chơng trình môn Toán của trờng THPT
chuyên.
3.3. Thiết kế, đề xuất một số biện pháp s phạm để thể hiện việc truyền
thụ tri thức, đặc biệt là tri thức phơng pháp nh là phơng tiện và kết quả của hoạt
động trong dạy học Toán cho học sinh lớp 10 chuyên Toán.
4. Phơng pháp nghiên cứu

4.1. Nghiên cứu các tài liệu vỊ c¸c lÜnh vùc: To¸n häc, PPDH To¸n, Gi¸o
dơc häc, Tâm lý học liên quan đến đề tài luận văn; các văn bản, ch ơng trình
quy định môn Toán chung và cho các lớp chuyên Toán.
4.2. Điều tra, quan sát thực trạng dạy học cho HS chuyên Toán ở một số
trờng THPT chuyên.
4.3. Tổ chức thực nghiệm s phạm.
5. Giả thuyÕt khoa häc


6
Trên cơ sở khung chơng trình và các tài liệu môn Toán đợc giảng dạy ở
các lớp 10 chuyên Toán, nếu xác định đợc các biện pháp s phạm thích hợp nhằm
tạo điều kiện cho học sinh sử dụng tri thức, đặc biệt là tri thức phơng pháp trong
tiến trình hoạt động chiếm lĩnh các tri thức mới thì sẽ góp phần năng cao hiệu
quả dạy học môn Toán.
6. Dự kiến đóng góp của luận văn
6.1. Về mặt lí luận: Đa ra đợc một số định hớng và biện pháp khả thi đối
với việc dạy học ở các lớp chuyên Toán, đặc biệt là lớp 10 chuyên Toán.
6.2. Về mặt thực tiễn: Có thể sử dụng luận văn làm tài liệu tham khảo
cho giáo viên Toán nhằm nâng cao hiệu quả dạy học.
7. Cấu trúc của luận văn
Ngoài các phần mở đầu, kết luận và danh mục tài liệu tham khảo, luận
văn có 3 chơng:
Chơng 1: Cơ sở lí luận và thực tiễn
Chơng 2: Một số biện pháp nhằm truyền thụ tri thức, đặc biệt là tri thức
phơng pháp nh là phơng tiện và kết quả của hoạt động trong dạy học Toán cho
học sinh lớp 10 chuyên Toán
Chơng 3: Thực nghiệm s phạm.
Chơng 1
Cơ sở lí luận và thực tiễn

1.1. Quan điểm hoạt động trong dạy học Toán
1.1.1. Lý thuyết hoạt động trong Tâm lý học (Theo các tài liệu [21],
[12], [18]).
Dựa trên quan điểm duy vật lịch sử vỊ con ngêi: "Trong tÝnh hiƯn thùc
cđa nã, b¶n chÊt con ngời là tổng hoà các mối quan hệ xà hội" (Các Mác), mô
hình lý luận xây dựng trên phạm trù HĐ đà trả lại cho tâm lý học con ngêi cơ
thĨ, con ngêi x· héi − lÞch sư, con ngời HĐ.
HĐ trở thành khái niệm then chốt trong hệ thống khái niệm của tâm lý
học kiểu mới tâm lý học khách quan, khoa học.
Vận dụng những nguyên lý duy vật biện chứng và duy vật lịch sử vào tâm
lý học với tính cách là một khoa học cụ thể, L.X.Vgôtxki đà chỉ ra rằng, muốn
xây dựng một khoa học tâm lý thực sự khách quan, trớc hết khoa học đó phải


7
hiĨu con ngêi nh mét tån t¹i x· héi − lịch sử và lao động có ý thức, chứ không
phải là "một cái túi chứa đựng đầy những phản xạ". Tâm lý ý thức con ngời đợc
nghiên cứu, tìm hiểu trong sự phân tích những hình thái hành vi có chất lợng
khác hẳn với những hình thái hành vi của động vật. Thành phần của hành vi con
ngời là kinh nghiệm lịch sử, kinh nghiệm xà hội và kinh nghiệm lao động. Từ
đây đa ra phơng pháp tiếp cận lịch sử trong tâm lý học và kết quả của sự vận
dụng phơng pháp tiếp cận này vào các công trình nghiên cứu tâm lý ngời là xây
dựng nên lý thuyết văn hoá lịch sử mà ngày nay, đầu thế kỷ XXI, giới tâm lý
học thế giới đều rất quan tâm.
Phát triển lý thuyết văn hoá lịch sử, vận dụng sáng tạo phơng pháp tiếp
cận lịch sử vào các công trình nghiên cứu tâm lý của mình, A.N. Lêônchiep đÃ
xây dựng nên tâm lý học hoạt động. Đó là tâm lý học với phơng pháp tiếp cận
lấy HĐ có đối tợng làm mô hình nghiên cứu, lý giải, hình thành, phát triển tâm lý,
nhân cách ngời (theo Phạm Minh Hạc [12]).
Toàn bộ lý thuyết tâm lý học về HĐ, cấu trúc vĩ mô của HĐ và đối tợng

đà đợc A.N.Lêônchiep trình bày tóm tắt trong tác phẩm "Hoạt động ý thức
Nhân cách". Cống hiến lớn nhất của ông là xây dựng nên phơng pháp tiếp cận
HĐ.
Đối tợng của HĐ là động cơ thực sự của HĐ. Dĩ nhiên, nó có thể là vật
chất hay tinh thần, là có trong tri giác hay chỉ có trong tởng tợng, trong ý nghĩ.
Nh vậy, khái niệm HĐ gắn liền một cách tất yếu với khái niệm động cơ. Không
có HĐ nào không có động cơ; HĐ "không động cơ" không phải là HĐ thiếu

Môi trường

quan.

Cấu trúc tâm lý

Tác giả Đỗ Ngọc Đạt đà mô hình hoá cấu trúc của HĐ nh sau [9]:
Động cơ

Mục tiêu

Cấu trúc vật lý

Hoạt động

Hành động

Đối tượng

Thao tác

XÃ hội

Chủ thể
động cơ mà là HĐ với một động cơ ẩn giấu về mặt chủ quan hoặc về mặt khách


8

Sơ đồ 1.1
Thành phần cơ bản "hợp thành" những HĐ riêng rẽ của con ngời là
những hành động thực hiện HĐ ấy. Chúng ta gọi hành động là quá trình bị chi
phối bởi biểu tợng về kết quả đạt đợc, nghĩa là quá trình nhằm một mục đích đợc ý thức. Khái niệm mục đích quan hệ với khái niệm hành động cũng giống
nh khái niệm động cơ quan hệ với khái niệm HĐ.
Phơng thức thực hiện hành động gọi là thao tác.
Các thuật ngữ "hành động" và "thao tác" thờng không phân biệt nhau, nhng trong khung cảnh phân tích HĐ về mặt tâm lý thì phân biệt rành mạch hai
thuật ngữ ấy là hoàn toàn cần thiết. Hành động liên quan đến mục đích, còn
thao tác liên quan đến điều kiện.
"Tuy vậy, thao tác vẫn không phải là "phần riêng rẽ" của hành động,
giống nh hành động so với HĐ" [18, tr. 124].
HĐ luôn có tính hớng đích và hành động là quá trình hiện thực hoá mục
đích, còn thao tác do điều kiện quy định. Do đó, sự khác nhau giữa mục đích và
điều kiện quy định sự khác nhau giữa hành động và thao tác. Nhng sự khác
nhau đó chỉ là tơng đối, bởi để đạt một mục đích ta có thể dùng các phơng tiện
khác nhau. Khi đó, hành động chỉ thay đổi về mặt kỹ thuật, tức là cơ cấu thao
tác chứ không hề thay đổi bản chất. Về mặt tâm lý, hành động sinh ra thao tác,
nhng thao tác không phải là phần riêng lẻ của hành động. Sau khi đợc hình
thành, thao tác có khả năng tồn tại độc lập và có thể tham gia vào nhiều hành
động khác.
Theo A.N.Lêônchiep, cấu trúc chức năng của HĐ bao gồm các thành tố
có thể mô hình hoá nh sau:

9
Hoạt động

Động cơ

Hành động

Mục đích
Nhiệm vụ

Thao tác

Phương tiện

(Về phía chủ thể)

(Về phía đối tượng)

Sơ đồ 1.2
Mối liên hệ bên trong của HĐ là mối liên hệ giữa: Hoạt động Hành
động Thao tác, tơng ứng với mối liên hệ giữa: Động cơ Mục đích Phơng
tiện.
1.1.2. Quan điểm hoạt động trong dạy học Toán
Có thể vận dụng lý luận của A.N.Lêônchiep về HĐ tâm lý để giải quyết
hàng loạt vấn đề về lý luận và thực tiễn dạy học, trong đó, chủ yếu là việc hình
thành HĐ học tập cho ngời học, đặc biệt là các ngời học nhỏ tuổi. Xung quanh
vấn đề này, trớc hết cần hình thành cho ngời học các đơn vị chức năng của HĐ
học tập: động cơ, mục đích học tập, để qua đó hình thành thao tác, hành động
và HĐ học. Trong quá trình đó, hình thành hành động học là khâu trung tâm.

Sau khi đà có HĐ học cần chuyển từ HĐ thứ yếu lên mức HĐ chủ đạo trong
quá trình phát triển của ngời học.
Mỗi nội dung dạy học đều liên hệ mật thiết với những HĐ nhất định. Đây
là những HĐ đà đợc tiến hành trong quá trình hình thành và vận dụng nội dung
đó. Phát hiện đợc những HĐ tiềm tàng trong một nội dung là vạch đợc một con
đờng để truyền thụ nội dung đó và thực hiện những mục đích dạy học khác,
đồng thời cụ thể hoá những mục đích dạy học nội dung và chỉ ra cách kiểm tra
việc thực hiện những mục đích này. Cho nên điều cơ bản của PPDH là khai thác
đợc những HĐ tiềm tàng trong nội dung để đạt đợc những mục đích dạy học.
Khi đó giúp ngời học con đờng chiếm lĩnh nội dung và đạt đợc những mục đích
dạy học khác, tức là kết hợp truyền thụ tri thức với truyền thụ tri thức phơng
pháp.


10
Hoạt động của ngời học đóng vai trò quan trọng trong quá trình dạy học.
Mỗi nội dung dạy học đều liên hệ với những HĐ nhất định. Trớc hết, đây là
những HĐ đà đợc tiến hành trong quá trình lịch sử hình thành và ứng dụng
những tri thức đợc bao hàm trong nội dung này, cũng chính là những HĐ để ngời học có thể kiến tạo và ứng dụng những tri thức trong nội dung đó. Trong quá
trình dạy học, ta còn phải kể tới cả những HĐ có tác dụng củng cố tri thức, rèn
luyện những kỹ năng và hình thành những thái độ liên quan.
Quan điểm này thể hiện rõ nét mối liên hệ giữa mục đích, nội dung và
PPDH. Nó hoàn toàn phù hợp với luận điểm cơ bản của giáo dục học cho rằng
con ngời phát triển trong HĐ và học tập diễn ra trong HĐ.
Theo các tác giả Phạm Gia Đức và Nguyễn Đức Quang "Dạy học một nội
dung nào đó là khai thác, lựa chọn những HĐ tiềm tàng trong nội dung này. Từ
đó tổ chức, điều khiển HS thực hiện những HĐ này trên cơ sở đảm bảo những
thành phần tâm lý cơ bản của HĐ" (dẫn theo [21]).
Con ngời sống trong HĐ, học tập diễn ra trong HĐ. Trong dạy học môn
Toán điều đó đợc gọi là học tập trong HĐ và bằng HĐ.

PPDH mới là phơng pháp tổ chức HĐ có đối tợng. Do đó việc xác định đợc đối tợng HĐ dựa trên cơ sở tổ chức HĐ của ngời học là nền tảng cơ bản để
tiến hành việc giáo dục có hiệu quả.
Việc thiết kế các HĐ, tạo môi trờng cho HS đợc học tập trong HĐ và
bằng HĐ là yêu cầu quan trọng của việc đổi mới PPDH hiện nay.
1.1.3. Các t tởng chủ đạo của quan điểm hoạt động
Theo tác giả Nguyễn Bá Kim [16, tr.134], quan điểm HĐ trong PPDH có
thể đợc thể hiện ở các t tởng chủ đạo sau đây:
a. Cho HS thực hiện, luyện tập những HĐ và HĐ thành phần tơng thích
với nội dung và mục tiêu môn học;
b. Gợi động cơ cho các HĐ học tập;
c. Dẫn dắt HS kiến tạo tri thức, đặc biệt là tri thức phơng pháp nh là phơng tiện và kết quả của HĐ.
d. Phân bậc HĐ làm căn cứ điều khiển quá trình dạy häc.


11
Những t tởng chủ đạo này thể hiện tính toàn diện của mục đích dạy học.
Việc kiến tạo một tri thức, rèn luyện một kỹ năng, hình thành một thái độ là
nhằm giúp học sinh HĐ trong học tập cũng nh trong đời sống. Nh vậy, những
mục đích thành phần đợc thống nhất trong HĐ, điều này thể hiện mối quan hệ
hữu cơ giữa chúng với nhau. Tri thức, kỹ năng, thái độ một mặt là điều kiện và
mặt khác là đối tợng biến đổi của HĐ. Hớng vào HĐ theo các t tởng chủ đạo
trên không hề làm phiến diện mục đích dạy học mà trái lại, còn đảm bảo tính
toàn diện của mục đích đó.
Những t tởng chủ đạo trên hớng vào việc tập luyện cho HS những HĐ và
HĐ thành phần, gợi động cơ HĐ, xây dựng tri thức, đặc biệt là tri thức phơng
pháp, phân bậc HĐ nh là các thành tố cơ sở của PPDH.
Sở dĩ chúng đợc gọi là những thành tố cơ sở của PPDH bởi vì dựa vào nó,
ta có thể tổ chức cho học sinh HĐ tự giác, tích cực, chủ động và sáng tạo, đảm
bảo sự phát triển nói chung và kết quả học tập nói riêng. Tuy nhiên, cũng cần
chú ý rằng chúng cha xác định PPDH một cách đơn trị.

1.1.4. Định hớng đổi mới PPDH theo hớng "Hoạt động hoá ngời học"
Định hớng chung cho sự đổi mới PPDH là tích cực hoá HĐ học tập của
HS gắn víi viƯc tỉ chøc cho ngêi häc häc tËp trong HĐ và bằng HĐ tự giác, chủ
động, tích cực, sáng tạo, đợc thực hiện độc lập hoặc trong giao lu.
"PPDH cần hớng vào việc tổ chức cho HS học tập trong HĐ và bằng HĐ
tự giác, tích cực, chủ động và sáng tạo".
Định hớng này có thể gọi tắt là học tập trong HĐ và bằng HĐ, hay gọn
hơn là "HĐ hoá ngời học" [66, tr. 124].
HĐ liên hệ với các yếu tố: Chủ thể - Đối tợng - Mục tiêu - Phơng tiện Kết quả - Thầy giáo.
Cụ thể hoá định hớng đổi mới PPDH liên hệ với những yếu tố này, có thể
nêu bật những hàm ý sau đây, đó cũng là những đặc điểm của PPDH hiện đại:
a. Xác lập vị trí chủ thể của ngời học, bảo đảm tính tự giác tích cực, chủ
động và sáng tạo của HĐ học tập đợc thực hiện độc lập hc trong giao lu.


12
b. Tri thức đợc cài đặt trong các tình huống cã dơng ý s ph¹m.
c. D¹y viƯc häc, d¹y tù học thông qua toàn bộ quá trình dạy học.
d. Tự tạo và khai thác phơng tiện dạy học để tiếp nối và gia tăng sức
mạnh của con ngời.
e. Tạo niềm lạc quan học tập dựa trên lao động và thành quả của bản thân
ngời học.
f. Xác định vai trò mới cđa ngêi thÊy víi t c¸ch ngêi thiÕt kÕ, ủ thác,
điều khiển và thể chế hoá.
1.2. Tri thức và tri thức phơng pháp
1.2.1. Khái niệm tri thức và một số dạng tri thức
a. Khái niệm tri thức
Theo Từ điển Tiếng Việt [33]: "Tri thức là những điều hiểu biết có hệ
thống về sự vật, hiện tợng tự nhiên hoặc xà héi".

Nh vËy, hiÓu theo mét nghÜa chung nhÊt, tri thøc là những điều hiểu biết
có hệ thống về sự vật, hiện tợng trong tự nhiên và xà hội.
"Tri thức là sản phẩm của HĐ lao động xà hội và t duy của con ngời, làm
tái hiện lại trong t tởng, dới hình thức ngôn ngữ những mối liên hệ khách quan
hợp quy luật của thế giới khách quan đang đợc cải biến trên thực tế". (Từ điển
Triết học).
Tri thức là kết quả của quá trình con ngời nhận thức thực tại khách quan
đà đợc kiểm nghiệm qua thực tiễn, là phản ánh trung thực thực tại khách quan
trong ý thức con ngời dới hình thức những biểu tợng và khái niệm, đợc diễn đạt
trong ngôn ngữ. Tri thức là kết quả của quá trình t duy tích cực, tri thức không
bao giờ là một cái gì cứng đờ và bất biến mà ngày càng đợc phát triển. Sự phát
triển của tri thức trong quá trình nhận thức đợc tiến hành theo con đờng chính
xác hoá chúng, bổ sung, đào sâu, phân hoá chúng, đem lại cho chúng tính hệ
thống và khái quát. Muốn có tri thức, con ngời phải tiến hành hoạt động nhận
thức.
b. Một số dạng tri thức
+ Tri thức thông thờng: là những hiểu biết đợc tích luỹ từ kinh nghiệm
sống thờng ngày. Nhờ những tri thức thông thờng, con ngời có đợc những hình


13
dung thực tế về các sự vật. Những tri thức thông thờng ngày càng đợc đa dạng
và phong phú thêm. Chúng chứa đựng những mặt riêng biệt, đúng đắn về thế
giới khách quan và là cơ sở cho sự hình thành các tri thức khoa học.
Tuy nhiên, theo giáo s Đặng Vũ Hoạt, thì tri thức thông thờng "mặc dầu
có mang lại những phản ánh riêng biệt đúng đắn về thế giới khách quan nhờ con
đờng kinh nghiệm chủ nghĩa, song nhìn chung là có tính tự phát, hời hợt, chủ
quan, dựa trên những nguyên tắc thủ cựu và những khái quát quy nạp giản đơn
về những sự vật, hiện tợng đợc tri giác".
+ Tri thức khoa học: là những hiểu biết đợc tích luỹ từ quá trình nghiên

cứu khoa học. Tri thức khoa học đợc biểu diễn dới dạng các khái niệm, phạm
trù, tiên đề, quy luật, định luật, định lý, lý thuyết, học thuyết
Những tri thức khoa học thc bÊt kú mét lÜnh vùc tri thøc cơ thĨ nào,
nếu đợc thực hiện ở mức độ đầy đủ, bao giờ cũng trải qua hai quá trình: kinh
nghiệm và lý ln. Ngêi ta cịng cã thĨ chia ra tri thøc kinh nghiƯm vµ tri thøc
lý ln.
 Tri thøc kinh nghiƯm: là những tri thức đợc chủ thể (con ngời) thu nhận
trực tiếp trong quá trình HĐ thực tiễn. Trong nhận thức khoa học, tri thức kinh
nghiệm là những kết quả, số liệu, dữ liệu thu thập đợc qua thực nghiệm. Tri
thức kinh nghiệm nảy sinh một cách trực tiếp từ thực tiễn, giúp con ngời kịp
thời điều chỉnh phơng hớng cho cách thức HĐ của mình. Nhng tri thức kinh
nghiệm thể hiện nhiều hạn chế. ở trình độ nhận thức kinh nghiệm cha thể nắm
đợc cái tất yếu, các mối quan hệ bản chất giữa các sự vật hiện tợng; cha phân
biệt đợc những cái cơ bản và những cái không cơ bản, giữa bản chất và hiện tợng. Vì vậy, khi nhận thức chân lý không thể chỉ dừng lại ở mức độ kinh
nghiệm mà cần chuyển lên trình độ nhận thức cao hơn là nhận thức lý luận.
Tri thức lý luận: là những tri thức phản ánh hiện thực trong bản chất,
trong những mối liên hệ bên trong mang tÝnh quy lt. So víi tri thøc kinh
nghiƯm thì tri thức lý luận khái quát hơn, thể hiện chân lý sâu sắc hơn, chính
xác hơn và đầy đủ hơn, nghĩa là "có tính bản chất hơn". Vì lý do đó, phạm vi


14
áp dụng và ứng dụng tri thức lý luận cũng réng r·i h¬n rÊt nhiỊu so víi tri thøc
kinh nghiƯm, kinh nghiệm kết thúc ở đâu thì lý luận bắt đầu tiếp nối từ đó.
Tuy vậy, trong HĐ dạy học, GV cũng cần phải coi trọng tri thức kinh
nghiệm của HS trong việc giúp HS nắm vững các tri thức, đặc biệt là các tri thức
phơng pháp. Thông qua quá trình đó, GV cố gắng hệ thống hoá các kinh
nghiệm của các em thành các lý luận khái quát, giúp các em nhận thức tri thức
một cách toàn diện và sâu sắc hơn.
c. Một số dạng tri thức trong dạy học Toán

Học Toán là HĐ trong đó chủ thể là HS và đối tợng là các dạng tri thức
Toán học. Dạy Toán là HĐ mà chủ thể là GV và đối tợng là HĐ học Toán của
HS.
Để có đợc chơng trình Toán học ở trờng phổ thông, ngời ta phải làm một
phép chuyển hoá s phạm, biến tri thức khao học Toán học thành tri thức để dạy
học (còn gọi là tri thức giáo khoa). Phép chuyển hoá s phạm này thờng đợc thực
hiện bởi các nhà nghiên cứu, bởi các nhà giáo dục học, các Hội đồng khoa học
bộ môn và các nhà viết SGK. Tuy nhiên, tri thức giáo khoa chỉ mới là một dạng
"bán thành phẩm", nó mới là tri thức môn học chứ cha thể là tri thức dạy học
(ngời giáo viên không thể lấy nguyên xi nội dung SGK làm bài giảng của
mình). Vì thế, phải có một bớc chuyển hoá s phạm nữa, biến tri thức giáo khoa
thành tri thức dạy học. Bớc này đợc thực hiện bởi chính ngời GV. ở bớc này,
ngời GV phải HĐ hoá nội dung SGK, hoàn cảnh hoá tri thức giáo khoa, soạn
thảo các tình huống dạy học, tổ chức môi trờng dạy học
Theo tác giả Nguyễn Bá Kim [16], ngời ta thờng phân biệt bốn dạng tri
thức sau trong dạy học Toán:
Tri thức sự vật;
Tri thức phơng pháp;
Tri thức chuẩn;
Tri thức giá trị.
+ Tri thøc sù vËt: lµ tri thøc vỊ "toµn bé những yếu tố và quá trình đợc
sắp xếp theo một trật tự nhất định, cấu thành sự vật hoặc hiện tợng" (Từ điển


15
Triết học). Trong môn Toán, tri thức sự vật là tri thức về một khái niệm (khái
niệm về một đối tợng hoặc một quan hệ toán học), một vấn đề Toán học đợc
trình bày trực diện (nh là định nghĩa, định lý) hoặc một ứng dụng Toán học
Cần chú ý rằng các tri thức sự vật mà ta nói trên đây là những tri thức cụ
thể trong dạy học Toán. Các khái niệm, định nghĩa, định lý đ ợc trình bày

trong SGK phải đợc truyền thụ cho HS thông qua quá trình HĐ dạy học Toán.
Dạy Toán là dạy HĐ Toán học, do đó HS cần thiết đợc biết các quá trình hình
thành các khái niệm, định lý, biết vận dụng kiến thức, có niềm tin vào khả năng
Toán học của mình. Đặc trng của tri thức Toán học là trừu tợng hoá cao độ và
lôgic chặt chẽ. Vì vậy trong HĐ dạy học, ngoài suy diễn lôgic, cần thiết phải
coi trọng nguyên tắc trực quan, quy nạp, trực giác toán học. Dạy học Toán cần
phải cân đối các quan hệ giữa trực quan và trừu tợng, giữa ớc lợng, dự đoán và
các suy luận có lý.
+ Tri thức phơng pháp: đợc hiểu là tri thức về "hệ thống các nguyên tắc,
hệ thống các thao tác có thể nhằm đi từ những điều kiện nhất định ban đầu tới
một mục đích xác định".
Hệ thống các nguyên tắc, các thao tác nói trên đợc rút ra từ tri thức sự
vật, từ tri thức về các quy luật khách quan để con ngời điều chỉnh HĐ nhận thức
và HĐ thực tiễn. Tri thức phơng pháp không có sẵn trong thế giới hiện thực mà
do con ngời lĩnh hội đợc trên cơ sở những quy luật khách quan đà đợc nhận thức
và đợc trình bày thành lý luận.
Trong dạy học Toán, tri thức phơng pháp là tri thức có ý nghĩa công cụ,
phơng tiện để tiến hành các HĐ nhằm phát hiện, tìm tòi, lĩnh hội tri thức sự vật.
Tri thức phơng pháp có liên hệ với hai loại phơng pháp khác nhau về bản chất:
những phơng pháp có tính chất thuật giải (nh là phơng pháp tìm UCLN của hai
số tự nhiên, phơng pháp giải phơng trình bậc hai) và những phơng pháp có
tính chất tìm đoán (chẳng hạn phơng pháp tổng quát của G. Pôlya để giải bài
tập Toán học).
Chúng ta sẽ trở lại nghiên cứu kỹ hơn về tri thức phơng pháp trong các
phần sau.


16
+ Tri thức chuẩn: là những tri thức liên quan đến những chuẩn mực nhất
định, những quy định giúp cho viƯc häc tËp vµ giao lu tri thøc. VÝ dơ nh quy

định về những đơn vị đo lờng, quy ớc về làm tròn số cho các giá trị gần đúng
hoặc các chuẩn mực của việc trình bày giả thiết, kết luận, trình bày chứng minh
của bài toán
+ Tri thức giá trị: có nội dung là những mệnh đề đánh giá, bình luận
khi xem xét một nội dung nào đó. Ví dụ, chúng ta có thể đáng giá: "Bất đẳng
thức Côsi là bất đẳng thức kinh điển, có nhiều ứng dụng nhất trong Toán học"
hoặc bình luận "Phơng pháp toạ độ là phơng pháp giải toán mang tính chất hiện
đại"
d. Mối quan hệ giữa tri thức và t duy trong quá trình dạy học
T duy là một khái niệm khá quen thc trong ®êi sèng x· héi cđa con ngêi. Nãi ®Õn t duy ngêi ta nghÜ ngay ®Õn mét quá trình suy nghĩ, nhận thức nào
đó. Nhận thức cảm tính có vai trò quan trọng trong đời sống tâm lý cđa con ngêi, cung cÊp nh÷ng vËt liƯu cho các HĐ tâm lí cao hơn. Tuy nhiên, chỉ đơn thuần
nhận thức cảm tính sẽ không thể giải quyết đợc nhiều vấn đề thực tế đặt ra đợc.
Muốn hiểu biết và cải tạo đợc thế giới, con ngời phải đạt tới mức độ nhận thức cao
hơn, đó là nhận thức lý tính hay còn gọi là t duy.
T duy có tác dụng to lớn trong đời sống xà hội. Ngời ta dựa vào t duy để
nhận thức những quy luật khách quan của tự nhiên, xà hội và lợi dụng những
quy luật đó trong HĐ thực tiễn của mình.
HS chỉ có thể thực sự lĩnh hội đợc tri thức khi t duy tích cực của bản thân HS
đợc phát triển và nhờ sự hớng dẫn của GV các em biết phân tích và khái quát tài liệu
có nội dung sự kiện cụ thể và rút ra đợc những kết luận cÇn thiÕt.
Chóng ta lÜnh héi mét tri thøc cơ thĨ thực sự khi ngoài sự hiểu biết về
các sự kiện và các quy luật của tri thức ấy còn hiểu biết rằng vì sao có hiện tợng
ấy, cái gì chế ớc nó, trên cơ sở khái quát hoá làm thế nào rút ra đợc những quy
luật của nó, quy luật ấy đợc chứng minh và khẳng định ra sao? Điều ấy đòi hỏi
phải có sự tái hiện trong t duy tiến trình giải quyết một vấn đề đang nghiên cứu
và tách ra đợc cái bản chất của nó. Trong khoa học vấn đề đó tuy đà đợc giải


17
quyết nhng đối với bản thân HS coi nh các em "khám phá lại" vấn đề. Lúc này

sự chú ý và hứng thú của HS không chỉ tập trung vào kết quả đạt đợc, vào kết
luận đà có sẵn mà còn tập trung vào quá trình, tức là vào tiến trình của t duy đÃ
dẫn dắt ta đến một kết luận nào đó.
Nhờ t duy mà có thể chuyển đợc từ những tri thức sơ đẳng đầu tiên sang
những tri thức sâu sắc hơn, chuyển từ hiện tợng sang bản chất và từ bản chất
sang bản chất bậc hai Nguyên nhân là do tri thức về bản chất không nằm trên
bề mặt của hiện tợng, chỉ trong quá trình phân tích mới có thể phát hiện và tìm
ra đợc chúng. T duy càng phát triển mạnh bao nhiêu thì càng có nhiều khả
năng lĩnh hội tri thức một cách có kết quả sâu sắc và càng có nhiều khả năng
vận dụng những tri thức ấy trong HĐ thực tế bấy nhiêu. Tri thức và t duy gắn
với nhau nh sản phẩm đi đôi với quá trình. Lĩnh hội tri thức về một đối tợng nào
đó thì đấy là sản phẩm, là kết quả quá trình triển khai lôgic của hiện tợng ấy
trong t duy. Vì vậy không thể tách rời tri thức khỏi t duy, tri thức đợc bộc lộ ra
và hình thành trong t duy. Mặt khác những tri thức lĩnh hội đợc lại tham gia vào
quá trình t duy nh là một yếu tố của t duy để tiếp thu những tri thức mới khác.
Dựa vào cái đà biết và nhờ t duy con ngời suy ra đợc những tri thức mới. Tri
thức trong khi là kết quả của t duy lại đồng thời là một trong những điều kiện
của t duy. Cả hai mặt của việc dạy học quá trình và kết quả, sự phát triển kỷ
năng t duy và việc lĩnh hội tri thức thèng nhÊt biƯn chøng víi nhau. Sù ph¸t
triĨn t duy của HS diễn ra trong quá trình tiếp thu tri thức và vận dụng tri thức.
Tri thức mà các em vận dụng là mặt nội dung t duy của các em. Và mặt khác,
các kết quả HĐ t duy của HS đối với tài liệu học đợc biểu hiện ra khi lĩnh hội tri
thức mới, tri thức này lại quyết định tiến trình phát triển sau này của t duy.
Chính vì vậy mà trong quá trình dạy học, tác động của GV chỉ có hiệu quả khi
nó thúc đẩy HĐ t duy tích cực của HS đối với tài liệu ấy.
Quá trình dạy học không phải chỉ bao gồm việc GV trun thơ vµ HS ghi
nhí tri thøc. TÝnh hiƯu quả của việc dạy học, đấy không chỉ là kết quả của thông
tin HS thu nhận đợc từ bên ngoài (từ lời nói của thầy, từ bài vở trong SGK) mµ

18
còn là sản phẩm của những hành động tìm tòi, mang tính chất thông tin của
riêng HS, của t duy tích cực đối với bản thân các em.
1.2.2. Tri thức phơng pháp
Trong mục này chúng ta sẽ xem xét khái niệm tri thức phơng pháp và các
khái niệm liên quan đến nó một cách cụ thể hơn.
a. Khái niệm thuật toán
Theo nghĩa chặt: Thuật toán là một dÃy sắp thứ tự các thao tác cần thực
hiện trên một số hữu hạn các dữ liệu và đảm bảo rằng sau một số hữu hạn bớc
sẽ đạt đợc kết quả nào đó. Hơn nữa, quy trình này độc lập với dữ liệu.
Nh vậy chúng ta có thể hiểu những đặc trng cơ bản nhất của thuật toán
theo nghĩa chặt trên, đó là:
Tính hữu hạn: số bớc cần thực hiện, số dữ liệu và cả số thao tác cần
làm trong mỗi bớc đều phải hữu hạn.
Tính xác định: thể hiện ở sự rõ ràng, không mập mờ và thực thi đợc
của các thao tác cần thực hiện trong mỗi bớc.
Tính đúng đắn: với dữ liệu vào cho trớc, sau một số hữu hạn các bớc đợc thực hiện thì thuật toán phải đảm bảo đem lại kết quả và kết quả này phải
duy nhất.
Chúng ta có thể lấy ví dụ về thuật toán Ơclit để tìm UCLN của hai số tự
nhiên a và b.
+ Bớc 1: So sánh a và b. Nếu a = b thì UCLN = a. NÕu sai, qua bíc 2.
+ Bíc 2: LÊy sè lín trừ đi số nhỏ, ta đợc một hiệu số.
+ Bớc 3: Lấy số nhỏ và hiệu số trên làm hai sè a vµ b, quay vỊ bíc 1.
Râ rµng quy trình này sẽ kết thúc sau một số hữu hạn bớc và kết quả ta sẽ
thu đợc UCLN của hai số tự nhiên a, b.
Thuật toán trên dựa vào tính chất số học: với hai số tự nhiên a và b, nÕu a
> b th× UCLN(a, b) = UCLN(b, a b).
Theo nghĩa rộng: Thuật toán là một dÃy hữu hạn các bớc cần thực hiện
theo một thứ tự nhất định để giải quyết một kiểu nhiệm vụ nào ®ã.

19
Nh vËy, trong mét thuËt to¸n theo nghÜa réng, d·y các bớc cần thực hiện
theo một thứ tự nhất định có thể không mang đủ các đặc trng đà nêu ở trên của
một thuật toán theo nghĩa chặt. Cụ thể là:
Mỗi chỉ dẫn trong một bớc có thể cha mô tả một cách xác định hành
động cần thực hiện.
Có thể có những bớc không thực thi đợc.
Kết quả thực hiện mỗi bớc có thể không duy nhất (không đơn trị).
Việc thực hiện hết một dÃy hữu hạn các bớc không đảm bảo chắc chắn
đem lại kết quả.
Chúng ta xét một ví dụ về thuật toán theo nghĩa rộng: Xét tính chẵn lẻ
của một hàm số f(x).
+ Bớc 1: Tìm tập xác định D của f(x).
+ Bớc 2: XÐt xem D cã ®èi xøng qua 0 hay không (tức x D x D)?
Nếu đúng, chuyển sang bớc 3.
Nếu sai, kết luận hàm số f(x) không chẵn, không lẻ.
+ Bớc 3: Tính f(x).
+ Bớc 4: Xét xem f(−x) = f(x) víi mäi x ∈ D hay không?
Nếu đúng, kết luận f(x) là hàm số chẵn.
Nếu sai, chun sang bíc 5.
+ Bíc 5: xÐt xem f(−x) = f(x) với mọi x D hay không?
Nếu đúng, kết luận f(x) là hàm số lẻ.
Nếu sai, kết luận f(x) là hàm số không chẵn, không lẻ.
Rõ ràng, trong các bớc 4 và bớc 5, không có một chỉ dẫn nào cho biết
cách thức kiểm tra f(x) = f(x) hoặc f(x) = f(x) với mọi x D đợc hay
không. Vì thế, có nhiều trờng hợp các bớc này không thực hiện đợc nên bài toán
đặt ra ta không giải đợc.
Một ví dụ khác, phơng pháp giải bài toán bằng cách lập phơng trình. Ta
có các bớc thực hiện nh sau:

+ Bớc 1: Chọn ẩn số. đặt điều kiện cho ẩn số và biểu diễn các đại lợng
cha biết qua ẩn số cùng với các đại lợng đà biết.
+ Bớc 2: Lập phơng trình thể hiện mối liên hệ giữa các đại lợng.


20
+ Bớc 3: Giải phơng trình vừa lập đợc.
+ Bớc 4: Đối chiếu điều kiện, kiểm tra kết quả và kết luận.
Trong các bớc trên, bớc 1 không có kết quả duy nhất vì có thể có nhiều
phơng án chọn ẩn khác nhau và do đó phơng trình đạt đợc ở bớc 2 cũng sẽ có
nhiều hình thức khác nhau.
Hiện nay, trong Tin học, danh từ thuật toán đợc hiểu theo nghĩa hẹp.
Trong bộ môn PPDH Toán thì danh từ này thờng đợc hiểu theo nghĩa rộng.
Chúng ta cũng cã thĨ thay thÕ danh tõ “tht to¸n” theo nghÜa rộng bằng danh
từ thuật giải.
b. Khái niệm phơng pháp
Theo từ điển Tiếng Việt [33]: "Phơng pháp là cách thức cần thực hiện để
giải quyết một kiểu nhiệm vụ nào đó".
Phơng pháp có thể đợc tích luỹ từ trong kinh nghiệm sống hoặc trong quá
trình nghiên cứu khoa học cụ thể.
Ta thờng phân biệt hai loại phơng pháp:
Phơng pháp có tính chất thuật toán: là những phơng pháp có đặc trng
của một thuật toán (theo nghĩa rộng).
Phơng pháp có tính chất tìm đoán:
ở trờng phổ thông, không phải lúc nào ta cũng tìm đợc các phơng pháp
có tính chất thuật toán để giải quyết các vấn đề. Chẳng hạn, ta không thể có đợc
thuật toán giải các phơng trình lợng giác phức tạp (không thuộc các loại phơng
trình cơ bản đà học). Khi đó cần nắm đợc một số chỉ dẫn hay một số lời khuyên
"có lý" để có thể cho phép tìm đợc lời giải bài toán đặt ra, vì những ý tởng và lời
khuyên này có thể gợi ra những ý tởng, những định hớng hợp lý cho việc tìm

kiếm lời giải.
Trong trờng hợp trên ta nói rằng đà vận dụng phơng pháp có tính chất tìm
đoán. Ngay cả trong trờng hợp một dạng toán có thuật giải nhng cha đợc khám
phá thì việc tìm kiếm này cũng thờng phải vận dụng phơng pháp tìm đoán.
Ví dụ 1.1: Học sinh thờng đợc biết thuật toán để giải hệ phơng trình hai
ẩn đối xứng loại 1 là đặt Èn phô S = x + y, P = xy (S 2 4P), nhng khi gặp bài
toán giải hệ phơng trình


21


 1
 ( x + y )  1 +  = 5
 xy 

,


1 
 x 2 + y2  1 +

 x 2 y2  = 9





(

)

th× viƯc dùng thuật toán trên không thể thực hiện đợc. Trong trờng hợp này, GV
có thể hớng dẫn học sinh tìm con đờng khác để giải quyết bài toán. Nếu khai
triển các biểu thức, hệ đợc viết dới dạng

1
1
x+ + y+ = 5
 x
y

.

2 1
2 1
x + + y + = 9
 x 2
y2
1 b =y + 1
,
®a vỊ hƯ đơn giản hơn rất nhiều. Giải hệ này tìm
y
x
a, b sau đó tính đợc x, y.
Đặt a = x +

c. Một số dạng tri thức phơng pháp thờng gặp trong HĐ dạy học Toán
Tri thức phơng pháp trong HĐ dạy học toán rất phong phú và đa dạng
nên việc phân loại các tri thức phơng pháp là rất khó khăn. Nếu có một sự phân

loại nào đó thì chỉ mang tính chất tơng đối và ớc lệ. Sau đây ta nêu lên một số dạng
tri thức phơng pháp thờng gặp trong HĐ dạy học Toán.
1) Nếu xét về mặt cơ sở định hớng cho HĐ thì ta có những tri thức phơng
pháp thờng gặp sau:
+ Những tri thức về phơng pháp tiến hành những HĐ toán học cụ thể, nh:
cộng hai phân số, giải phơnng trình bậc hai
+ Những tri thức về phơng pháp tiến hành những HĐ toán học phức hợp,
nh : định nghĩa, chứng minh
+ Những tri thức về phơng pháp tiến hành HĐ trí tuệ phổ biến trong môn
Toán nh: HĐ t duy hàm, HĐ phân chia trờng hợp
+ Những tri thức về phơng pháp tiến hành những HĐ trí tuệ chung nh: so
sánh, khái quát hoá, trừu tợng hoá


22
+ Những tri thức về phơng pháp tiến hành những HĐ ngôn ngữ, lôgic nh:
thiết lập mệnh đề đảo của một mệnh đề cho trớc, liên kết hai mệnh đề thµnh
tun hay héi cđa chóng…
2) NÕu xÐt vỊ néi dung cơ bản thì tri thức phơng pháp thờng có hai dạng:
+ Những tri thức phơng pháp có tính chất thuật toán,
+ Những tri thức phơng pháp có tính chất tìm đoán.
3) Nếu xem xét tri thức phơng pháp dới hình thức các yếu tố cần hình
thành phơng pháp cho HS ta có sơ đồ:
Tri thức phương pháp

ý tưởng về
phương
pháp giải
bài toán

Tri thức lý
thuyết biến
thành tri
thức phư
ơng pháp

Tri thức quy
trình

Các bài
toán phụ
trở thành
tri thức phư
ơng pháp

Sơ đồ 1.3
d. Mối liên hệ giữa tri thức sự vật và tri thức phơng pháp
Trong quá trình dạy học Toán ở trờng phổ thông tri thức sự vật và tri thức
phơng pháp có mối liên hệ hữu cơ với nhau.
Trớc hết đó là sự thống nhất: Tri thức sự vật và tri thức phơng pháp là
hai yêu cầu cơ bản cần phải đạt đợc khi kết thúc một quá trình dạy học (chẳng
hạn dạy học xong một tiết học, dạy học xong một chơng).
Về mặt khác nhau, nói chung:
+ Tri thức sự vật thờng đợc trình bày khá tờng minh, ngoài bài giảng của
GV HS còn có thể tìm hiểu thêm ở SGK và các tài liệu tham khảo khác.
+ Tri thức phơng pháp thờng nằm ở dạng ẩn tàng, HS cha thật hiểu đợc,
nắm đợc nên dễ dẫn đến không thể vận dụng đợc: tại sao lại chứng minh nh
vậy, trình bày nh vậy là theo cách suy nghĩ nào?...

23
Ví dụ 1.2: Định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai. Định lý này đợc phát
biểu nh sau: "Cho tam thøc bËc hai
NÕu

a.f (α) < 0

f ( x ) = ax 2 + bx + c

(a ≠ 0) và một số thực .

thì tam thức có hai nghiệm phân biệt x1, x2 (x1 < x2) và x1 < <

x2."
+ Trớc hết đây là một tri thức sự vËt, mét tÝnh chÊt quan träng cña tam
thøc bËc hai và đợc các tài liệu trình bày khá rõ.
+ Định lý này chứa đựng tiềm ẩn nhiều tri thức phơng pháp:
Đây là công cụ có hiệu quả cao trong viÖc chøng minh mét tam thøc
bËc hai cã hai nghiÖm phân biệt mà không cần đi theo cách giải thông thờng là
chứng minh biệt thức dơng. Đồng thời định lý cũng cho phép so sánh hai
nghiệm của phơng trình bËc hai víi mét sè α cho tríc.
 B»ng c¸ch nào để tìm ra số thoả mÃn điều kiện a.f() < 0, các tài liệu
đều không nêu rõ. HS phải làm thế nào để xác định đợc khi muốn sử dụng sử
dụng đợc định lý? Đây là một tri thức phơng pháp mà GV phải truyền thụ cho
HS thông qua các HĐ dạy học, ít nhất là qua các bài toán cụ thể để HS rút ra
kinh nghiệm khi giải các bài toán dạng này.
Ta xem xét cụ thể cách chứng minh các phơng trình sau có hai nghiệm
phân biệt bằng cách dựa vào định đảo về dấu cña tam thøc bËc hai.
1)

m 2 x 2 − 2( m +1) x − 4m 2 + 4m + 3 = 0

(m 0)

Phân tích tính chất của phơng trình nµy ta thÊy:
+ HƯ sè bËc hai lµ m2 ≠ 0.
+ Nếu tính biệt thức thì giá trị của nó sẽ phức tạp, không thuận lợi cho
việc xét dấu. Chúng ta có thể suy nghĩ đến phơng pháp sử dụng định lý đảo về
dấu của tam thức bậc hai.
+ Đặt f(x) là vế trái của phơng trình. Chọn số nào để xác định đợc dấu
của f()? (phơng pháp tìm đoán) Căn cứ vào các hệ số của m2 lµ x2 vµ −4, hƯ sè
cđa m lµ −2x vµ 4 ta định hớng chọn số sao cho các hệ số này triệt tiêu, ta
chọn đợc = 2. Khi ®ã f(2) = −1 < 0 ⇒ m2.f(2) = m2 < 0, từ đó có lời giải của
bài toán.


24
2)

(

)

x 2 − 2 m 2 + 1 + m 2 + 2 x + 2m 2 = 0 .

Theo kinh nghiệm của bài toán trên ta có cho HS phân tích và nhận xét về
các biểu thức có mặt trong phơng trình. Đặt vế trái của phơng trình là f(x) th×:
f ( x ) = x 2 − x − 2 m 2 x + 2m 2 − x m 2 + 2

Căn cứ vào các hệ số ta cã thĨ chän α = 1. Khi ®ã f(1) =

− m2 + 2 < 0

⇒

1.f(1) < 0 nªn ta cã f(x) = 0 cã hai nghiƯm ph©n biƯt.
3)

( x − a )( x − b) + ( x − b)( x − c) + ( x − c)( x − a ) = 0

với a, b, c là các số thực

phân biệt.
Đặt f(x) là vế trái của phơng trình, thì f(x) lµ tam thøc bËc hai cã hƯ sè
bËc hai là 3. Việc xác định số thích hợp bây giờ không thể dựa vào các đặc
điểm nh các ví dụ trớc vì ở đây có đến ba tham số. Chúng ta có thể thay một số
giá trị x đặc biệt để dự đoán:
x = 0 f(0) = ab + bc + ca,
x = a ⇒ f(a) = (a − b)(a − c),
x = b ⇒ f(b) = (b − a)(b − c),
x = c ⇒ f(c) = (c a)(c b).
Vai trò của các số a, b, c nh nhau và chúng phân biệt nên ta có thể giả sử
có sự sắp xếp a < b < c. Khi ®ã ta cã f(b) = (b − c)(b − a) < 0 ⇒ 3.f(b) < 0. VËy
sè α cần chọn là = b và bài toán đợc chứng minh.
Qua các bài toán trên, chúng ta thấy việc truyền thụ tri thức phơng pháp
cho HS đặc biệt là phơng pháp tìm đoán thờng phải rất công phu, phải th«ng
qua nhiỊu vÝ dơ cơ thĨ HS míi cã thĨ tiếp thu và vận dụng đợc.
Chúng ta có thể lấy thêm ví dụ mang tính lịch sử: Nhà toán học thiên tài
ngời Đức Gauss khi mới 7 tuổi đợc thầy giáo ra bài toán: Tính tổng của 100 số
tự nhiên đầu tiên, tức là tính tổng 1 + 2 + 3 + … + 100. ChØ trong mét thêi gian

ng¾n, cậu bé Gauss khi đó đà tìm ra đợc đáp sè lµ 5050. Trong vÝ dơ nµy, tri
thøc sù vËt là: tổng của 100 số tự nhiên bằng 5050. Tri thức phơng pháp ở đây
là dựa trên những con số cụ thể, tìm ra quy luật tổng các số hạng cách đều đầu
và cuối là 101. Có 50 cặp có tính chất đó nên tổng cần tìm là 50.101 = 5050.
Nh vậy Gauss đà tính ra kết quả một cách nhanh chóng mà không phải cộng


25
dần từng số nh các bạn khác làm. Tri thức phơng pháp này cũng đợc sử dụng rất
nhiều khi giải các bài toán khác, đặc biệt là bài toán đối với các cấp số cộng,
cấp số nhân, các dÃy số sai phân
1.3. Dạy học tri thức phơng pháp
1.3.1. Vai trò và ý nghĩa của việc truyền thụ tri thức phơng pháp trong
dạy học Toán
a. Tri thức phơng pháp đóng vai trò đặc biệt quan trọng vì chúng là cơ
sở định hớng trực tiếp cho hoạt động
Yêu cầu của lý luận dạy học hiện đại là không những truyền thụ tri thức
sự vật cho HS mà còn phải coi trọng đặc biệt việc truyền thụ tri thức phơng
pháp. Chúng ta thờng nghe có câu nói rằng phơng pháp là những cái gì còn
lại khi chúng ta đà quên đi những kiến thức đà học. Nghĩa bóng của câu nói
này đà đủ nói lên vai trò không thể thiếu của tri thức phơng pháp trong học vấn
của HS, cũng nh mục đích của dạy học nói chung là dạy học phơng pháp.
Đứng trớc một vấn đề cụ thể, nếu có đợc hệ thống các tri thức phơng pháp đầy
đủ, HS sẽ dễ dàng tiến hành nhiều HĐ tìm tòi, khám phá các tri thức mới.
Ví dụ 1.3: Phơng pháp lợng giác hoá: đối với các bài toán đại số (giải
phơng trình, hệ phơng trình, chứng minh bất đẳng thức, tính tích phân) có
chứa các biểu thức dạng

a2 x2

,

a2 + x2

(a > 0) thì ta có thể sử dụng phơng

pháp lợng giác hoá. Chẳng hạn, ta xét một số bài toán cụ thể sau, đợc phát biểu
ở dạng đại số nhng cách giải thờng gặp là lợng giác hoá:
1) Giải phơng trình
1

1 − x 2 = 4 x 3 − 3x .

dx

2) TÝnh tÝch ph©n ∫
2 2 .
0 (3 + x )
3) Chøng minh r»ng f(a,c) ≤ f(a,b) + f(b,c) víi f(x,y)=

x −y
1 + x 2 1 + y2

.

b. Tri thøc ph¬ng pháp giúp HS hình dung đợc sự hình thành và phát
triển của tri thức sự vật, hiểu rõ hơn đợc bản chất của tri thức sự vật.
Ví dụ 1.4: áp dụng khi dạy tính chất: Tổng các góc trong của một tứ
giác là 3600. Trong quá trình chuẩn bị bài học, GV yêu cầu mỗi HS đa bốn