RÈN LUYỆN NĂNG LỰC TƯ DUY TOÁN HỌC CHO HỌC SINH THÔNG QUA DẠY HỌC CÁC BÀI TOÁN THỰC TIỄN LIÊN QUAN ĐẾN PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH – ĐẠI SỐ 10

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ
KHOA SƯ PHẠM
BỘ MÔN SƯ PHẠM TOÁN HỌC
------------

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP

Đề tài:

RÈN LUYỆN NĂNG LỰC TƯ DUY
TỐN HỌC CHO HỌC SINH THƠNG QUA
DẠY HỌC CÁC BÀI TỐN THỰC TIỄN
LIÊN QUAN ĐẾN PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ
PHƯƠNG TRÌNH – ĐẠI SỐ 10
Giáo viên hướng dẫn

Sinh viên thực hiện

GS. TS. Nguyễn Phú Lộc

Hà Nguyễn Huỳnh Anh
MSSV: B1700002
Lớp: SP Toán học K43

Cần Thơ, 2021
i


DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT
CTGDPT

Chương trình giáo dục phổ thông

THPT

Trung học Phổ thông

SGK

Sách giáo khoa

i


DANH MỤC CÁC BẢNG
Bảng 1.1: Các thành tố của năng lực toán học. ............................................................. 15
Bảng 3.1: Tỉ lệ phần trăm của lớp thực nghiệm 10A3. ................................................. 50
Bảng 3.2: Tỉ lệ phần trăm của lớp đối chứng 10A2. ..................................................... 51
Bảng 3.3: Kết quả bài kiểm tra thực nghiệm và lớp đối chứng. .................................... 59
Bảng 3.4: Kết quả thống kê tỉ lệ phần trăm của lớp thực nghiệm và lớp đối chứng. .... 60
Bảng 3.5: Tổng hợp kết quả kiểm định giả thuyết ........................................................ 61

ii


DANH MỤC CÁC HÌNH
Hình 1.1: Sơ đồ mơ phỏng các dạng khái qt hố ....................................................... 11
Hình 1.2: Sơ đồ các giai đoạn của một hành động tư duy............................................. 13
Hình 1.3: Quy trình của mơ hình hố của Blum ........................................................... 24
Hình 1.4: Chu trình Mơ hình hố theo 4 pha của tác giả Nguyễn Phú Lộc .................. 27
Hình 2.1: Du lịch hè của An .......................................................................................... 34

iii


MỤC LỤC
DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT .................................................................................. i
DANH MỤC CÁC BẢNG ..............................................................................................ii
DANH MỤC CÁC HÌNH ............................................................................................. iii
MỤC LỤC ...................................................................................................................... iv
LỜI CẢM ƠN ................................................................................................................vii
MỞ ĐẦU ......................................................................................................................... 1
1. Lí do chọn ................................................................................................................ 1
2. Mục đích nghiên cứu ................................................................................................ 2
3. Giả thuyết nghiên cứu .............................................................................................. 3
4. Nhiệm vụ nghiên cứu ............................................................................................... 3
5. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu ............................................................................ 3
5.1. Đối tượng nghiên cứu ........................................................................................ 3
5.2. Phạm vi nghiên cứu ........................................................................................... 3
6. Phương pháp nghiên cứu.......................................................................................... 3
7. Cấu trúc luận văn ..................................................................................................... 4
Chương 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN ......................................................................................... 5
1.1. Các khái niệm về năng lực tư duy toán học .......................................................... 5
1.1.1. Khái niệm năng lực ......................................................................................... 5
1.1.2. Các vấn đề cơ bản về tư duy ........................................................................... 7
a) Khái niệm tư duy ............................................................................................... 7
b) Đặc điểm của tư duy ......................................................................................... 8
c) Các thao tác của tư duy ................................................................................... 10
d) Quá trình của tư duy........................................................................................ 11
1.1.3. Năng lực tư duy toán học .............................................................................. 13
a) Năng lực tư duy ............................................................................................... 13

b) Năng lực tư duy toán học ................................................................................ 14
1.2. Bài toán thực tế ................................................................................................... 19
1.2.1 Mối liên hệ giữa toán học với thực tiễn ......................................................... 19
1.2.2. Khái niệm bài toán thực tế ............................................................................ 20
iv


1.2.3. Vai trị của bài tốn thực tiễn trong q trình dạy học ................................. 20
1.2.4. Quy trình giải bài tốn thực tiễn ................................................................... 21
1.3. Mơ hình hố tốn học.......................................................................................... 22
1.3.1. Khái niệm về mơ hình................................................................................... 22
1.3.2. Khái niệm về mơ hình hố tốn học ............................................................. 23
1.3.4. Khái niệm về dạy học mơ hình hố tốn học ............................................... 26
1.4. Rèn luyện năng lực tư duy toán học cho học sinh .............................................. 27
1.5. Kết luận ............................................................................................................... 29
Chương 2. ...................................................................................................................... 30
THIẾT KẾ CÁC TÌNH HUỐNG DẠY HỌC PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG
TRÌNH THEO ĐỊNH HƯỚNG PHÁT TRIỂN TƯ DUY TOÁN HỌC CHO HỌC SINH
....................................................................................................................................... 30
2.1 TỔNG QUAN CHƯƠNG TRÌNH SGK ............................................................. 31
2.1.1. Tổng quan về chương III: Phương trình và hệ phương trình........................ 31
2.2. CÁC TÌNH HUỐNG SƯ PHẠM........................................................................ 32
2.2.1. Tình huống 1: “Du lịch hè của An” .............................................................. 32
2.2.2. Tình huống 2: “Lượng sản phẩm của xí nghiệp” ......................................... 37
2.2.3. Tình huống 3: “Vận chuyển xi măng” .......................................................... 43
Chương 3. ...................................................................................................................... 49
THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM ........................................................................................ 49
3.1. Mục đích, nhiệm vụ thực nghiệm ....................................................................... 49
3.1.1. Mục đích ....................................................................................................... 49
3.1.2. Nhiệm vụ....................................................................................................... 49

3.2. Tổ chức thực nghiệm........................................................................................... 49
3.2.1. Đối tượng thực nghiệm ................................................................................. 49
3.2.2. Tiến trình thực nghiệm ................................................................................. 49
3.2.3. Thực nghiệm của tình huống thực tế “Lượng sản phẩm của xí nghiệp” ...... 50
a) Thang điểm của tình huống thực tế “Lượng sản phẩm của xí nghiệp”........... 50
b) Kết quả thực nghiệm của tình huống .............................................................. 50
3.3. Kết quả thực nghiệm sư phạm ............................................................................ 58
3.3.1. Phân tích định tính ........................................................................................ 58
3.3.2. Phân tích định lượng ..................................................................................... 59
v


3.5. Kết luận Chương 3 .............................................................................................. 62
PHẦN KẾT LUẬN ....................................................................................................... 63
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................................. 65
PHỤ LỤC ...................................................................................................................... 68
PHIẾU HỌC TẬP ......................................................................................................... 68

vi


LỜI CẢM ƠN
Sau bốn năm học tập chuyên ngành Sư phạm Toán học tại trường Đại học Cần
Thơ, với những kiến thức quý báu từ các quý thầy/cô đã giúp em tự tin để thực hiện luận
văn này.
Em xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến q thầy/cơ. Đặc biệt cho em được bày tỏ
lịng kính trọng và biết ơn đến GS. TS. Nguyễn Phú Lộc, người thầy đã nhiệt huyết, tận
tâm, hết lòng giúp đỡ và tạo mọi điều kiện về tài liệu cũng như giúp em sửa chữa, giải
đáp các thắc mắc trong suốt quá trình làm luận văn.
Đồng thời em xin được gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban giám hiệu cùng quý

thầy/cô của trường THPT An Khánh đã nhiệt tình giúp đỡ và tạo điều kiện cho em để
hoàn thành việc khảo sát thực nghiệm sư phạm.
Cuối cùng hơn cả những lời cảm ơn em xin được gửi đến gia đình của em, những
lúc gặp khó khăn gia đình ln bên cạnh động viên, khích lệ và tạo điều kiện tốt nhất để
em có thể yên tâm, vững tin mà hoàn thành luận văn này.
Mặc dù trong quá trình thực hiện luận văn của em đã cố gắng hồn thành, nhưng
cịn nhiều tố như: thời gian, trình độ chun mơn cũng như kinh nghiệm cịn hạn chế
nên khó tránh khỏi việc thiếu sót. Em rất vui khi nhận được các ý kiến đóng góp quý
báu của các quý thầy/cô ban phản biện và các bạn để kết quả luận văn được hoàn thiện
hơn, cải thiện để đem lại hiệu quả cao hơn.
Em xin chân thành cảm ơn!
Cần Thơ, ngày … tháng … năm …
Tác giả luận văn

Hà Nguyễn Huỳnh Anh

vii


MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn
Để thực hiện đổi mới căn bản, tồn diện giáo dục và đào tạo, địi hỏi giáo dục
phổ thông cần chuyển từ nền giáo dục theo hướng tiếp cận nội dung sang tiếp cận năng
lực người học. Định hướng quan trọng trong đổi mới phương pháp dạy học nói chung
và đổi mới phương pháp dạy học ở THPT nói riêng là phát huy tính tích cực, tự lực và
sáng tạo, phát triển năng lực hành động, năng lực hợp tác của người học. Đó cũng là
những xu hướng tất yếu trong giai đoạn hiện nay.
Toán học có liên hệ mật thiết với thực tiễn và có ứng dụng rộng rãi trong rất nhiều
lĩnh vực khác nhau của khoa học, công nghệ cũng như trong sản xuất và đời sống. Với
vai trị đặc biệt, Tốn học trở nên thiết yếu đối với mọi ngành khoa học, góp phần làm

cho đời sống xã hội ngày càng hiện đại và văn minh hơn. Để theo kịp sự phát triển mạnh
mẽ của khoa học và công nghệ, chúng ta cần phải đào tạo những con người lao động có
hiểu biết, có kỹ năng và ý thức vận dụng những thành tựu của Toán học trong điều kiện
cụ thể nhằm mang lại những kết quả thiết thực. Mối liên hệ giữa tốn học và thực tiễn
đóng vai trị quan trọng trong quá trình tạo động cơ và hình thành tri thức toán học cho
học sinh. Để làm sáng tỏ mối liên hệ này, học sinh cần hiểu và vận dụng những kiến
thức tốn học đã học để giải thích, dự đốn, kiểm chứng và mơ hình hố các vấn đề
trong cuộc sống.
Với sư quan tâm, lo lắng đó, Đảng và Nhà nước cũng đã có những hành động
thiết thực thể hiện qua các thông tư nghị quyết, bộ luật nhằm quy định chung cũng như
những định hướngphát triển thích đáng cho nền giáo dục nước nhà. Cụ thể là ở khoản 2
điều 3 Luật giáo dục 2019 nêu rõ: “Hoạt động giáo dục được thực hiện theo nguyên lý
học đi đôi với hành, lý luận gắn liền với thực tiễn, giáo dục nhà trường kết hợp với giáo
dục gia đình và giáo dục xã hội”. [32]
Về phương pháp giáo dục, ở khoản 2 điều 5 Luật giáo dục 2005: “Phương pháp
giáo dục phải phát huy tính tích cực, tự giác chủ động, tư duy sáng tạo của người học,
bồi dưỡng cho người học năng lực tự học, khả năng thực hành, lịng say mê học tập và
ý chí vươn lên”. [31]
1


Hơn nữa, Bộ giáo dục yêu cầu học sinh cần sư dụng năng lực tư duy toán học để
giải được các bài toán thực tiễn đồng thời đưa ra lời giải trong ngữ cảnh thực tế và kiểm
tra nó có phù hợp với thực tế hay khơng.
Trong chương trình tốn phổ thơng, hệ phương trình bậc nhất hai ẩn là một chủ
đề quan trọng xuyên suốt từ bậc tiểu học đến bậc trung học. Nó khơng chỉ xuất hiện
trong chương trình mơn tốn mà cịn hiện diện như một cơng cụ trong nhiều môn học
khác và trong thực tiễn cuộc sống. Ngày nay, mục đích lớn nhất của việc dạy học toán
là phải mang lại cho học sinh những kiến thức phổ thông, những kỹ năng cơ bản để bước
vào cuộc sống sau này. Ngoài ra, đa số học sinh phổ thơng sau này khơng phải là người

làm tốn mà là người sử dụng toán cho nên việc dạy học toán cần phải chuẩn bị cho học
sinh khả năng áp dụng kiến thức linh hoạt vào thực tiễn cuộc sống. Đối với các em học
sinh THPT hiện nay, các em có thể giải một bài tốn với những kỹ năng phức tạp, tuy
nhiên khi các em đối mặt với một bài tốn thực tiễn lại gặp nhiều lúng túng, khó khăn
trong việc áp dụng các kiến thức toán học để giải quyết vấn đề của bài toán.
Trong những năm gần đây, nhiều nghiên cứu chỉ ra cách rèn luyện và phương pháp dạy
học về vấn đề “Phương trình. Hệ phương trình”. Sau đây là một số cơng trình nghiên
cứu:
+ Luận văn thạc sĩ khoa học giáo dục: “Rèn luyện kỹ năng vận dụng mơ hình hóa
tốn học hóa tốn học cho : Trường hợp hệ phương trình bậc nhất hai ẩn” của tác giả
Hoàng Thụy Vân An (2019).
+ Luận văn thạc sĩ khoa học giáo dục: “Phát triển một số năng lực tư duy tốn
học cho lớp 10 thơng qua dạy học bất đẳng thức” của tác giả Thạch Hồng Sơn (2019).
Phương trình – Hệ phương trình là chuyên đề mà chúng ta thường gặp trong các
kỳ thi, nó rất đa dạng và phong phú đặc biệt là khi đưa các kiến thức của phương trình
và hệ phương trình vào các bài tốn thực tiễn thì chúng có nhiều phương pháp giải khác
nhau.
2. Mục đích nghiên cứu

2


Nghiên cứu về rèn luyện năng lực tư duy toán học thơng qua dạy học bài tốn
thực tiễn; qua đó, góp phần rèn luyện kỹ năng vận dụng các kiến thức toán học vào cuộc
sống thực tế.
3. Giả thuyết nghiên cứu
Nếu giáo viên vận dụng tốt các tình huống thực tiễn liên quan đến phương trình
và hệ phương trình thì có thể thiết kế các tình huống dạy học góp phần rèn luyện tư duy
toán học cho học sinh trong quá trình dạy học.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu

– Tìm hểu cơ sở lý luận về năng lực tư duy toán học.
– Nghiên cứu phân tích chương trình SGK liên quan đến phương trình, hệ phương trình
trong Đại số 10 cơ bản.
– Thiết kế các tình huống dạy học nhằm rèn luyện khả năng vân dụng các kiến thức toán
học trong dạy học phương trình và hệ phương trình.
– Thực nghiệm và đánh giá tính khả thi, hiệu quả của các tình huống dạy học được thiết
kế.
5. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
5.1. Đối tượng nghiên cứu
Nghiên cứu Chương III: Phương trình. Hệ phương trình, các bài tốn thực tiễn
liên quan đến phương trình, hệ phương trình trong chương trình Đại số 10.
Nghiên cứu các biện pháp rèn luyện năng lực tư duy tốn học cho học sinh thơng
qua dạy học phương trình và hệ phương trình.
5.2. Phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu các bài toán thực tiễn liên quan đến phương trình và hệ phương trình trong
chương trình Đại số 10.
Thực nghiệm ở trường THPT An Khánh trực thuộc Thành phố Cần Thơ.
6. Phương pháp nghiên cứu
3


– Phương pháp nghiên cứu lý luận:
+ Nghiên cứu các sách tâm lí học, sách lý luận về phương pháp dạy học, các cơng
trình khoa học liên quan đến vấn đề rèn luyện năng lực tư duy toán học cho học sinh.
+ Nghiên cứu các văn kiện nghị quyết của Đảng và Nhà nước về định hướng rèn
luyện và phát triển giáo dục.
+ Nghiên cứu, phân tích, tổng hợp và hệ thống hóa các bài tốn, tài liệu, giáo
trình lý luận dạy học mơn Tốn, SGK tốn Đại số 10 cơ bản.
– Phương pháp thực nghiệm: tiến hành thực nghiệm sư phạm để kiếm chứng tính khả
thi của việc vận dụng một số biện pháp mà luận văn đề ra về rèn luyện năng lực tư duy

toán học cho học sinh thơng qua dạy học phương trình và hệ phương trình trong Đại số
10.
– Phương pháp điểu tra bằng bảng hỏi: sử dụng phiếu điều tra để khảo sát quan điểm
của giáo viên về các biện pháp rèn luyện năng lực tư duy tốn học thơng qua việc dạy
học phương trình hệ phương trình tron Đại số 10 cơ bản.
– Phương pháp thống kê tốn học: phân tích định tính, định lượng, từ đó rút ra kết luận
liên quan đến các nội dung.
7. Cấu trúc luận văn
Trong chương trình SGK Toán Đại số 10 đã đưa ra các bài toán thực tiễn mang
lại ý nghĩa thực tế cho một vài tri thức tốn học như phương trình, các hàm số và các
biểu thức đại số…Xu hướng tăng cường tính thực tiễn trong việc dạy học Tốn ở trường
phổ thơng đóng vai trò rất quan trọng trong việc phát triển năng lực cho học sinh.
Cấu trúc luận văn:
– Chương 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN
– Chương 2. THIẾT KẾ CÁC TÌNH HUỐNG DẠY HỌC PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ
PHƯƠNG TRÌNH THEO ĐỊNH HƯỚNG PHÁT TRIỂN TƯ DUY TOÁN HỌC CHO
HỌC SINH
– Chương 3. THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM
4


Chương 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN
1.1. Các khái niệm về năng lực tư duy toán học
1.1.1. Khái niệm năng lực
Vấn đề tư duy, năng lực tư duy, năng lực tư duy tốn học ln thu hút được nhiều
nhà nghiên cứu khoa học trên thế giới và trong nước quan tâm. Năng lực là một vấn đề
khá trừu tượng của tâm lí học. Năng lực được hiểu như là một phức hợp các đặc điểm
tâm lí cá nhân của con người đáp ứng những yêu cầu của một hoạt động nào đó và là
điều kiện để thực hiện thành cơng hoạt động đó.
Khái niệm năng lực đã được nhiều nhà nghiên cứu đề cập với nhiều cách tiếp cận

khác nhau. Sau đây, tôi sẽ hệ thống lại các khái niệm về năng lực để làm cơ sở cho
nghiên cứu của mình. Hiện nay trên thế giới có rất nhiều quan điểm và cách hiểu về
năng lực trên thế và ở Việt Nam.
Các tài liệu trong nước:
Theo tác giả Hoàng Phê trong Từ điển Tiếng Việt (1995) năng lực có thể được
hiểu theo hai nghĩa:
+ Thứ nhất, năng lực là “khả năng, điều kiện chủ quan hoặc tự nhiên sẵn có để
thực hiện một hoạt động nào đó” [12, Tr.639]. Theo đó năng lực là một khả năng được
bộc lộ thông qua việc thành thạo một hoặc một số kỹ năng nào đó của người học.
+ Thứ hai, năng lực là “phẩm chất tâm lý và sinh lý tạo cho con người khả năng
hình thành một loạt hoạt động nào đó với chất lượng cao” [12, Tr.639]. Vậy năng lực
là một cái gì đó sẵn có ở dạng tiềm năng của người học có thể giúp họ giải quyết tình
huống có thực trong cuộc sống.
Trong lĩnh vực tâm lý, năng lực là “tổng hợp những thuộc tính độc đáo của cá
nhân phù hợp với những yêu cầu đặc trưng của một hoạt động nhất định nhằm đảm bảo
cho hoạt động đó diễn ra có kết quả”. [16, Tr 23]
Tài liệu hội thảo của Chương trình giáo dục phổ thơng (CTGDPT) tổng thể trong
CTGDPT mới của Bộ Giáo dục và Đào tạo năng lực là “khả năng thực hiện thành công
5


hoạt động trong một bối cảnh nhất định nhờ sự huy động tổng hợp các kiến thức, kỹ
năng và các thuộc tính cá nhân khác như hứng thú, niềm tin, ý chí,... Năng lực của cá
nhân được đánh giá qua phương thức và kết quả hoạt động của cá nhân đó khi giải
quyết các vấn đề của cuộc sống.” [3]
Theo cách hiểu của Từ điển Bách khoa Việt Nam: “Năng lực là đặc điểm của các
nhân thể hiện mức độ thơng thạo – tức là có thể thực hiện một cách thành thục và chắc
chắn một hay một dạng hoạt động nào đó.” [7]
Các tài liệu nước ngồi:
Theo tác giả Franz Emanuel Weinert (2001), nhà tâm lý người Đức, năng lực là

“tổng hợp các khả năng và kỹ năng sẵn có hoặc học được cũng như sự sẵn sàng của
học sinh nhằm giải quyết vấn đề nảy sinh và hành động một cách có trách nhiệm, có sự
phê phán đi đến giải pháp.” [30, Tr 25]
Theo Tổ chức và hợp tác phát triển kinh tế (OECD) (2002), năng lực là “khả
năng cá nhân đáp ứng các yêu cầu phức hợp và thực hiện thành công nhiệm vụ trong
một bối cảnh cụ thể.” [28, Tr.12]
Theo tác giả Denyse Tremblay cho rằng năng lực là “khả năng hành động, thành
công và tiến bộ dựa vào việc huy động và sử dụng hiệu quả tổng hợp các nguồn lực để
đối mặt với các tình huống trong cuộc sống.” [2, Tr.5]
Từ các khái niệm trên, tôi nhận thấy khái niệm về năng lực đã được các tác giả
hoặc nhóm tác giả đưa ra tại nhừng thời điểm khác nhau, với những cách nhìn nhận khác
nhau nhưng nội hàm tương đối thống nhất và khẳng định kiến thức, kỹ năng, thái độ là
ba chất liệu quan trọng nhất để hình thành năng lực tương ứng trên cơ sở rèn luyện, trải
nghiệm những hoạt động. Trên cơ sở đó tơi đã xuất định nghĩa năng lực một cách khái
quát như sau: năng lực được cấu thành bởi nhiều kỹ năng khác nhau, vận dụng kiến
thức, khả năng hiểu và thái độ của người đó ở những tình huống khác nhau trong cuộc
sống, năng lực hình thành dựa trên các yếu tố có sẵn của cá nhân thơng qua q trình
rèn luyện học tập, thực hành năng lực ngày càng phát triển và hoàn thiện đảm bảo cho
cá nhân đạt được hiệu quả cao trong một lĩnh vực cụ thể tương ứng với năng lực mà
mình có.
6


1.1.2. Các vấn đề cơ bản về tư duy
a) Khái niệm tư duy
Tư duy là một năng lực phức tạp và kỳ diệu của con người, một phạm trù của
triết học phản ánh những thuộc tính của tinh thần, giúp con người nhận thức đúng đắn
về một sựu vật hiện tượng thông qua sự cải tiến, sự biến đổi từ những cảm giác, từ những
hoạt động vật chất từ đó ứng xử theo hướng tích cực. Tư duy sẽ được phát huy một cách
hiệu quả và vấn đề được giải quyết tốt hơn trong điều kiện, hoàn cảnh thuận lợi. Kết quả

của tư duy bao giờ cũng là một ý nghĩ và được thực hiện qua ngôn ngữ. Bản chất của tư
duy là ở sự phân biệt, tồn tại độc lập của đối tượng được phản ánh với hình ảnh nhận
thức được qua khả năng hoạt động của con người nhằm phản ánh đối tượng. Khách thể
của tư duy được phản ánh với nhiều mức độ khác nhau từ thuộc tính này đến thuộc tính
khác, nó phụ thuộc vào chủ thể là con người.
Theo Từ điển Bách khoa toàn thư Việt Nam, tư duy là “sản phẩm cao nhất của
vật chất được tổ chức một cách đặc biệt là bộ não, là q trình phản ánh tích cực thế
giới quan trong các khái niệm, phán đoán, lý luận. Tư duy xuất hiện trong quá trình
hoạt động sản xuất của con người và đảm bảo phản ánh thực tại một cách gián tiếp,
phát hiện những mối liên hệ hợp quy luật. Tư duy chỉ tồn tại trong mối liên hệ không thể
tách rời khỏi hoạt động lao động và lời nói, là hoạt động chỉ tiêu biểu cho xã hội loài
người cho nên tư duy của con người được thực hiện trong mối liên hệ chặt chẽ với lời
nói và những kết quả của tư duy được ghi nhận trong ngôn ngữ.” [7]
Theo tâm lý học, tư duy là sản phẩm cao cấp nhất của loại vật chất được tổ chức
đặc biệt – bộ óc của con người. Tư duy phản ánh thế giới dưới dạng hình ảnh lý tưởng:
“Tư duy là giai đoạn cao của quá trình nhận thức, đi sâu vào bản chất và phát hiện ra
tính quy luật của sự vật bằng những hình thức như biểu tượng, khái niệm, phán đoán và
suy lý.” [20]
Theo Tiến Thành, tư duy là “sự phản ánh của bộ não con người đối với thuộc
tính bản chất và quy luật nội tại của sự vật vật khách quan. Hoạt động tư duy là hpạt
động tâm lý mà con người vạch ra thuộc tính bản chất và quy luật của nội tại khách

7


quan. Tính gián tiếp, tính khái quát và tính dựa vào ngôn ngữ là ba đặc trưng quan
trọng rõ nét của tư duy.” [16]
Trong giáo dục, tư duy là sự cải tiến, hoàn thiện hơn về bộ não để giải quyết vấn
đề mới, hay hình thành một kiến thức mới dựa trên sự cải tiến và liên hệ của những cái
cũ, cái đã có sẵn từ đó hình thành một lối tư duy mới tối ưu hơn cái cũ. Việc giải quyết

một vấn đề hay một bài tốn khi đó tư duy cũng được coi là một hoạt động của q trình
nhận thức, được bộc lộ khi có sự tác động từ nhiều giác quan khác nhau hay những điều
quen thuộc đã được lưu giữ trong não bộ.
“Tư duy nói chung, tư duy nói riêng trong dạy học mơn tốn bao giờ cũng có đối
tượng mang tính nhu cầu. Những nhu cầu có thể là cần phát hiện tri thức mới chẳng
hạn: khái niệm quy luật mới, quan hệ mới, thông qua giải quyết mâu thuẫn, vượt qua
một chướng ngại nhận thức, khắc phục những sai lầm, …” [18]. Do nhu cầu khách quan,
con người tri thức và kinh nghiệm đã có, vận dụng tổng hợp các hình thái tư duy, liên
kết, phối hợp thông tin và đưa ra phương án giải quyết vấn đề, mô thức hoạt động tư
duy đó chính là các phương thức tư duy.
b) Đặc điểm của tư duy
Tư duy do con người tiến hành với tư cách là chủ thể có những đặc điểm cơ bản sau
[20]:
– Tính có vấn đề của tư duy
Tư duy chỉ nảy sinh khi gặp hồn cảnh có vấn đề. Đó là những tình huống mà ở
đó chỉ nảy sinh những mục đích mới và những phương tiện, phương pháp hoạt động cũ
đã có trước đây trở nên khơng đủ để đạt được mục đích đó. Nhưng muốn kích thích
được tư duy thì hồn cảnh có vấn đề phải được cá nhân nhận thức đầy đủ, được chuyển
thành nhiệm vụ tư duy và mục đích của cá nhân, nghĩa là phải xây dựng được cái gì đã
biết, cái gì chưa biết, cần phải tìm và có nhu cầu tìm kiếm. Vấn đề nảy sinh sẽ là động
lực thúc đẩy con người tư duy để tìm cách giải quyết tối ưu nhất.
– Tính gián tiếp của tư duy

8


Tư duy phản ánh sự vật hiện tượng một cách gián tiếp bằng ngôn ngữ. Tư duy
được biểu hiện bằng ngôn ngữ. Các quy luật, quy tắc, các sự kiện, các mối liên hệ và sự
phụ thuộc được khái quát và diễn đạt trong các từ. Mặt khác những phát minh, những
kết quả tư duy của người khác, cũng như kinh nghiệm cá nhân của con người đều là

những công cụ để con người tạo ra cũng giúp chúng ta hiểu biết được những hiện tượng
có trong hiện thực mà không thể tri giác chúng một cách trực tiếp được. Nhờ cách tư
duy gián tiếp mà con người mở rộng khơng giới hạn khả năng nhận thức của mình,
khơng chỉ phản ánh những gì diễn ra trong hiện tại mà cịn phản ánh được cả q khứ
và tương lai.
– Tính trừu tượng và khái quát của tư duy
Tư duy có khả năng tách trừu tượng khỏi sự vật hiện tượng, những thuộc tính,
những dấu hiệu cụ thể cá biệt, chỉ giữ lại những thuộc tính thuộc bản chất nhất, chung
cho nhiều sự vật hiện tượng rồi trên cơ sở đó khái quát các sự vật và hiện tượng riêng lẻ
khác nhau, nhưng có những thuộc tính bản chất vào một nhóm, một loại phạm trù, nói
cách khác tư duy mang tính chất trừu tượng hóa và khái qt hóa. Nhờ vào đặc điểm
này mà con người có thể giải quyết được nhiệm vụ cả hiện tại và tương lại một cách
hiệu quả.
– Tư duy có quan hệ mật thiết với ngơn ngữ
Tư duy và ngơn ngữ có mối quan hệ chặt chẽ với nhau, bổ trợ cho nhau góp phần
phát triển nên văn minh nhân loại. Tư duy của con người khơng thể tồn tại ngồi ngơn
ngữ được, ngược lại ngơn ngữ cũng khơng thể có được nếu khơng dựa vào tư duy. Tư
duy và ngôn ngữ thống nhất với nhau nhưng không đồng nhất với nhau, không thể tách
rời nhau được. Tuy nhiên, ngôn ngữ không phải là bộ phận của tư duy mà có vai trị là
phương tiện biểu đạt cho tư duy.
– Tư duy có mối quan hệ mật thiết với nhận thức cảm tính
Mối quan hệ này là mối quan hệ hai chiều: Tư duy được tiến hành trên cơ sở
những tài liệu nhận thức cảm tính mang lại, kết quả của tư duy được kiểm tra bằng thực
tiễn dưới hình thức trực quan, ngược lại tư duy và kết quả của nó có ảnh hưởng đến quá

9


trình nhận thức cảm tính, nhạy cảm hơn và làm cho tri giác của con người mang lại tính
lựa chọn, tính ý nghĩa.

c) Các thao tác của tư duy
Các giai đoạn của tư duy mới chỉ phản ánh được mặt bên ngồi, cấu trúc bên
ngồi của tư duy, cịn nội dung bên trong nó diễn ra các thao tác trí tuệ, thao tác tư duy
là những quy luật bên trong của tư duy. Có các thao tác sau:
– Phân tích – Tổng hợp
+ Phân tích: q trình dùng trí óc để phân đối tượng nhận thức thành những thuộc
tính, những bộ phận, các mối liên hệ, quan hệ giữa chúng để nhận thức đối tượng sâu
sắc hơn [14], tách (trong tư tưởng) một hệ thống thành những vật, tách một vật thành
những bộ phận riêng lẻ.
+ Tổng hợp: quá trình dùng trí óc để hợp nhất những thuộc tính, liên kết (trong
tư tưởng) những bộ phận thành một vật, liên kết nhiều vật thành một hệ thống những
thành phần đã được phân tích thành một chính thể để nhận thức đối tượng bao quát hơn.
Phân tích và tổng hợp là hai hoạt động trí tuệ trái ngược nhau nhưng lại là hai
mặt của một q trình thống nhất khơng thể tách rời: phân tích được tiến hành theo
phương hướng tổng hợp còn tổng hợp được thực hiện trên kết quả của phân tích.
– So sánh: dùng trí óc xác định sự giống hay khác nhau giữa các sự vật hiện tượng. So
sánh có vai trị quan trọng trong việc nhận thức thế giới [14]. Trong quá trình dạy học,
so sánh góp phần quan trọng vào hoạt động học tập và lĩnh tri thức nói cách khác so
sánh là cơ sở vì vậy so sánh giúp chúng ta hiểu sâu hơn và có hệ thống hơn về sự vật
hiện tượng. Hơn nữa so sánh cũng có mối quan hệ chặt chẽ với phân tích và tổng hợp.
Phân tích các dấu hiệu, thuộc tính của hai sự vật đối chiếu các dấu hiệu rồi tổng hợp
xem có gì giống nhau và khác nhau.
– Trừu tượng – Khái quát hóa
+ Trừu tượng: Sức mạnh của trí tuệ được đánh giá ở năng lực trừu tượng hóa,
trừu tượng là gạt bỏ đối tượng những bộ phận, thuộc tính khơng cần thiết chỉ giữ lại
những yếu tố cần thiết để tư duy [9]. Trong toán học, trừu tượng hóa là một thao tác tư
10


duy nhằm gạt bỏ những thuộc tính, những mối quan hệ không bản chất của một đối

tượng chỉ giữ lại những thuộc tính, quy trình và những dấu hiệu bản chất của đối tượng.
+ Khái qt hóa: là q trình vận dụng tư duy liên hệ các kiến thức, các vấn đề,
các thuộc tính,… của đối tượng có sẵn nhằm hệ thống lại kiến thức một cách có sắp xếp,
có thứ tự hay nhóm lại thành từng nhóm kiến thức trên cơ sở chúng có cùng một số
thuộc tính, quan hệ chung nhất định.

Hình 1.1: Sơ đồ mơ phỏng các dạng khái qt hố. [19]
Trừu tượng vá khái qt có mối quan hệ mật thiết với nhau, là hình thức cao hơn
của phân tích và tổng hợp. Để phát triển năng lực trừu tượng và khái quát, trước hết cần
luyện tập khả năng phân tích và tổng hợp.
d) Q trình của tư duy
Quá trình tư duy bao gồm nhiều giai đoạn kế tiếp nhau khi cá nhân gặp phải tình
huống có vấn đề và nhận thức được vấn đề cho đến khi vấn đề đó được giải quyết:
– Giai đoạn xác định được vấn đề, biểu đạt nó thành nhiệm vụ của tư duy. Khi gặp một
tình huống có vấn đề, chủ thể tư duy phải ý thức được đó là tình huống có vấn đề đối
với bản thân mình, tức là đặt ra vấn đề cần giải quyết; phải phát hiện ra mâu thuẫn chứa
đựng trong tình huống có vấn đề – mâu thuẫn giữa cái đã biết với cái phải tìm; phải tạo
ra nhu cầu cần giải quyết và tìm thấy những tri thức đã có trong vốn kinh nghiệm cá

11


nhân có liên quan tới vấn đề; sử dụng các tri thức đó vào giải quyết vấn đề trên cơ sở đó
đề ra nhiệm vụ tư duy.
– Huy động các tri thức, vốn kinh nghiệm có liên quan tới vấn đề làm xuất hiện trong
đầu chủ thể tư duy những mối liên tưởng xung quanh vấn đề đang giải quyết.
– Sàng lọc các liên tưởng, gạt bỏ những cái không cần thiết, hình thành giả thuyết về
các cách giải quyết vấn đề có thể có đối với nhiệm vụ đang tư duy.
– Kiểm tra giả thuyết về cách giải quyết vấn đề để từ đó chính xác hóa, khẳng định giả
thuyết hoặc phủ định nó. Nếu giả thuyết đúng thì tiến hành giải quyết vấn đề. Nếu giả

thuyết sai thì phủ định nó để hình thành giả thuyết mới về cách giải quyết vấn đề.
– Giải quyết vấn đề để đi đến kết quả, kiểm tra lại kết quả.
Nhà tâm lí học người Nga – K. K. Platơnốp đã tóm tắt các giai đoạn của một quá
trình tư duy bằng sơ đồ dưới đây:

12


Hình 1.2: Sơ đồ các giai đoạn của một hành động tư duy. [14]
1.1.3. Năng lực tư duy toán học
a) Năng lực tư duy
Năng lực tư duy chính là khả năng suy nghĩ và giải quyết vấn đề để đạt được
những kết quả tốt nhất. Những người sở hữu năng lực tư duy có tính linh hoạt cao, biết
lắng nghe và quan sát, quyết định hiệu quả.
Năng lực tư duy là sản phẩm của quá trình phát triển ngày càng cao của các yếu
tố tự nhiên, lịch sử nhân loại, là một khả năng, phẩm chất tâm sinh lý của óc người, vừa
như là cái tự nhiên bẩm sinh, vừa như là sản phẩm của lịch sử. Nói cách khác năng lực
tư duy ngày nay được nâng cao theo sự phát triển của con người.
Năng lực tư duy là tổng hợp những khả năng những khả năng ghi nhớ, tái hiện,
trừu tượng hóa, khái quát hóa, tưởng tượng, suy luận – giải quyết vấn đề, xử lý tình
13


huống trong quá trình phản ánh, phát triển tri thức và vận dụng chúng vào thực tiễn. Hơn
nữa, năng lực tư duy con người là yếu tố bẩm sinh nhưng nếu cho rằng, vì là bẩm sinh
nên khơng cần nâng cao, khơng cần đổi mới, khơng cần phát huy thì chưa đúng. Trên
thực tế yếu tố bẩm sinh có vai trò rất quan trọng nhưng chỉ ở dạng khả năng, có thể rèn
luyện nâng cao và phát huy. Nói rèn luyện và phát triển năng lực tư duy trước hết là
nâng cao trình độ tri thức, để tạo nền cho năng lực tư duy, phải nâng cao trình độ hiểu
biết khoa học, trình độ hiểu biết cuộc sống, nâng cao trình độ tư duy lý luận - nhất là

trình độ tư duy lý luận triết học. Hơn nữa, không chỉ là lý luận trong kinh điển, mà quan
trọng là lý luận và phương phápthông qua việc giải quyết những vấn đề thực tiễn. Do
đó, việc nâng cao nội dung tri thức không tách rời phương pháp tư duy. Phương pháp tư
duy được đổi mới, nâng cao để làm công cụ rèn luyện và phát triển năng lực tư duy. Tất
nhiên, khơng có một phương thức tồn tại nào của tư duy lại tách rời nội dung biện chứng
của nó.
Tóm lại, năng lực tư duy là một trong những yếu tố quyết định thành công trong
thời đại công nghệ 4.0, kỷ ngun của khoa học cơng nghệ. Q trình giáo dục cần được
chú trọng tới đánh giá để phát huy được những tố chất và tiềm năng này.
b) Năng lực tư duy toán học
Năng lực toán học là khả năng nhận biết ý nghĩa, vai trị của kiến thức tốn học
trong cuộc sống, như khả năng vận dụng tư duy toán học để giải quyết các vấn đề của
thực tiễn đáp ứng nhu cầu đời sống hiện tại và tương lai một cách linh hoạt; khả năng
phân tích, suy luận, khái qt hóa, trao đổi thơng tin một cách hiệu quả thơng qua việc
đặt ra, hình thành và giải quyết vấn đề tốn học trong các tình huống, hồn cảnh khác
nhau.
Theo chúng ta đã biết mỗi mơn học đều có một đặc thù riêng. Nếu như môn khoa
học xã hội thiên về trí nhớ, cảm nhận cá nhân,… thì mơn khoa học tự nhiên lại địi hỏi
sự tìm tịi, tư duy linh hoạt trong giải quyết vấn đề. Đặc biệt toán học là môn cơ bản là
nền tảng của các môn khoa học tự nhiên, môn học rất quan trọng trong hệ thống giáo
dục của nước ta. Mơn Tốn có khả năng to lớn góp phần phát triển năng lực trí tuệ, rèn
luyện khả năng tư duy logic, độc lập suy nghĩ, tự học và giải quyết vấn đề cho học sinh.
Toán học là một sự liên quan giữa các vấn đề nào đó được thể hiện bằng một phép tính
14


hay nhiều phép tính, vì thế phát triển năng lực tư duy toán học cho học sinh là một yếu
tố hết sức cần thiết.
Năng lực toán học bao gồm các thành tố: năng lực tư duy và lập luận toán học;
năng lực mơ hình hố tốn học; năng lực giải quyết vấn đề toán học; năng lực giao tiếp

toán học; năng lực sử dụng cơng cụ, phương tiện học tốn. Mỗi một thành tố của năng
lực toán học cần được biểu hiện cụ thể bằng các tiêu chí, chỉ báo. Điều này có độ phức
tạp cao và được minh hoạ trong bảng 1.1. [15]
Bảng 1.1: Các thành tố của năng lực toán học.
Các thành tố của năng lực toán học

Các tiêu chí, chỉ báo
Thể hiện qua việc thực hiện được các
hành động:
– So sánh; phân tích; tổng hợp; đặc biệt
hố, khái quát hoá; tương tự; quy nạp;
diễn dịch.

Năng lực tư duy và lập luận toán học
– Chỉ ra được chứng cứ, lí lẽ và biết
lập luận hợp lí trước khi kết luận.
– Giải thích hoặc điều chỉnh cách thức
giải quyết vấn đề về phương diện toán
học.
Thể hiện qua việc thực hiện được các
hành động:
– Sử dụng các mơ hình tốn học (gồm
Năng lực mơ hình hố tốn học

cơng thức, phương trình, bảng biểu, đồ
thị,...) để mơ tả các tình huống đặt ra trong
các bài toán thực tiễn.
– Giải quyết các vấn đề tốn học trong
mơ hình được thiết lập.
15

– Sử dụng các mơ hình tốn học (gồm
cơng thức, phương trình, bảng biểu, đồ
thị,…) để mơ tả các tình huống đặt ra
trong các bài toán thực tiễn q.
– Giải quyết các vấn đề tốn học trong
mơ hình được thiết lập.
– Thể hiện và đánh giá lời giải trong
ngữ cảnh thực tế và cải tiến mơ hình nếu
cách giải quyết không phù hợp.
Thể hiện qua việc thực hiện được các
hành động:
– Nhận biết, phát hiện được vấn đề cần
giải quyết bằng toán học.
– Đề xuất, lựa chọn được cách thức,
Năng lực giải quyết vấn đề toán học

giải pháp giải quyết vấn đề.
– Sử dụng được các kiến thức, kỹ năng
toán học tương thích (bao gồm các cơng
cụ và thuật tốn) để giải quyết vấn đề đặt
ra.
– Đánh giá giải pháp đề ra và khái quát
hoá cho vấn đề tương tự.
Thể hiện qua việc thực hiện được các
hành động:
– Nghe hiểu, đọc hiểu và ghi chép

Năng lực giao tiếp toán học

được các thơng tin tốn học cần thiết được
trình bày dưới dạng văn bản tốn học hay
do người khác nói hoặc viết ra.

16


– Trình bày, diễn đạt (nói hoặc viết)
được các nội dung, ý tưởng, giải pháp
toán học trong sự tương tác với người
khác (với yêu cầu thích hợp về sự đầy đủ,
chính xác).
– Sử dụng hiệu quả ngơn ngữ tốn học
(chữ số, chữ cái, kí hiệu, biểu đồ, đồ thị,
các liên kết logic,...) kết hợp với ngôn ngữ
thông thường hoặc động tác hình thể khi
trình bày, giải thích và đánh giá các ý
tưởng toán học trong sự tương tác (thảo
luận, tranh luận) với người khác.
Thể hiện qua việc thực hiện được các
hành động:
– Biết tên gọi, tác dụng, quy cách sử
dụng, cách thức bảo quản các đồ dùng,
phương tiện trực quan thông thường,
phương tiện khoa học công nghệ (đặc biệt
là phương tiện sử dụng công nghệ thông
tin) phục vụ cho việc học tốn.
Năng lực sử dụng cơng cụ, phương tiện
– Sử dụng thành thạo và linh hoạt các

học tốn

cơng cụ và phương tiện học toán, đặc biệt
là phương tiện khoa học cơng nghệ để tìm
tịi, khám phá và giải quyết vấn đề toán
học (phù hợp với đặc điểm nhận thức lứa
tuổi).
– Chỉ ra được các ưu điểm, hạn chế của
những công cụ, phương tiện hỗ trợ để có
cách sử dụng hợp lí.
17