Giáo án tự chọn kỳ II toán 9

Tiết 19
HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP THẾ
I. Kiến thức cần nhớ
Xét hệ phương trình
Hệ phương trình trên:
- Có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi đường thẳng (1) cắt đường thẳng (2)
hay
- Vô nghiệm khi và chỉ khi đường thẳng (1) song song với đường thẳng (2)
hay
- Vô số nghiệm khi và chỉ khi đường thẳng (1) trùng với đường thẳng (2)
hay
Tổng quát hơn, trong trường hợp các hệ số a, a’, b, b’ có thể bằng 0, ta có
a) ab’ – a’b 0: hệ có nghiệm duy nhất
b) ab’ – a’b 0: hệ vô nghiệm hoặc vô số nghiệm.
II. Bài tập
Bài 1: Vẽ hai đường thẳng (d1): x + y = 2 và (d2): 2x + 3y = 0. Hỏi đường thẳng
(d3): 3x + 2y = 10 có đi qua giao điểm của (d1) và (d2) không ?
Bài 2: Giải các hệ phương trình sau:
a)
b)
c)
d)
Bài 3: Tìm giá trị của a và b:
a) Để hệ phương trình có nghiệm là (x; y) = (1; - 5)
b) Để hệ phương trình có nghiệm là (x; y) = (3; - 1)
Bài 4: Tìm giá trị của a và b để hai đường thẳng (d1): và
(d2): cắt nhau tại điểm M(2; - 5)
Bài 5: Giải các hệ phương trình sau:
a)
b)

Bài 6: Giải hệ phương trình sau:
III. Hướng dẫn
Bài 1: Đường thẳng (d3): 3x + 2y = 10 có đi qua giao điểm của (d1) và (d2).
Bài 2:
a) (x; y) = (2; - 1)
b) ) = (1; 3)
c) (x; y) = (6; 1)
d) (x; y) = )
Bài 3:
a) a = 1; b = 17
b) a = 2; b = - 5
Bài 4: a = 8; b = - 1
Bài 5:
1


a)(x; y) =
b)
Bài 6:
(I) hoặc (II)
Giải (I) ta được nghiệm (x; y) = (1; - 3)
Giải (II) ta được nghiệm (x; y) = (3; 1)

Tiết 20
GÓC Ở TÂM. SỐ ĐO CUNG. LIÊN HỆ GIỮA CUNG VÀ DÂY
I. Kiến thức cần nhớ
*/ Góc ở tâm. Số đo cung
- Góc có đỉnh trùng với tâm đường trịn được gọi là góc ở tâm.
- Số đo của cung nhỏ bằng số đo góc ở tâm chắn cung đó.
- Số đo của cung lớn bằng 3600 trừ đi số đo cung nhỏ.

- Số đo của nửa đường tròn bằng 1800.
- Trong một đường tròn hay hai đường tròn bằng nhau:
+ Hai cung được gọi là bằng nhau nếu chúng có số đo bằng nhau.
+ Trong hai cung, cung nào có số đo lớn hơn được gọi là cung lớn hơn
-Nếu C là một điểm trên cung AB thì: sđ AB = sđ AC+ sđ CB
*/ Liên hệ giữa cung và dây
- Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay hai đường tròn bằng nhau:
+ Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau.
+ Hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau.
- Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay hai đường tròn bằng nhau:
+ Cung lớn hơn căng dây lớn hơn.
2


+ Dây lớn hơn căng cung lớn hơn.
- Nếu hai tam giác có hai cạnh tương ứng bằng nhau từng đơi một nhưng các góc xen giữa
khơng bằng nhau thì cạnh thứ ba không bằng nhau và cạnh nào đối diện với góc lớn hơn là cạnh
lớn hơn.
- Nếu hai tam giác có hai cạnh tương ứng bằng nhau từng đơi một nhưng cạnh thứ ba khơng
bằng nhau thì góc xen giữa hai cạnh đó cũng khơng bằng nhau và góc nào đối diện với cạnh lớn
hơn là góc lớn hơn.
II. Bài tập
Bài 1: Cho tam giác OAO’ vuông cân ở A. Vẽ hai đường trịn bán kính OA và O’A cắt nhau tại
điểm thứ hai I (Khác điểm A).
a) Tứ giác OAO’I là hình gì ? Vì sao ?
b) Tính số đo cung nhỏ AI và cung lớn AI của mỗi đường trịn.
c) Có nhận xét gì về các cung nhỏ AI và cung lớn AI của mỗi đường tròn trên ?
Bài 2: Cho tam giác cân ABC (AB = AC). Trên tia đối của tia BA lấy điểm D. Vẽ đường tròn
tâm O ngoại tiếp tam giác BCD.
a) So sánh số đo các cung DB, BC và DC

b) Kẻ OI, OH, OK lần lượt vng góc với DC, DB, BC. So sánh các đoạn OI, OH, OK.
Bài 3: Cho tam giác ABC, AB < AC. Vẽ đường tròn đường kính BC cắt AB, AC lần lượt ở E và
D. Chứng minh BD < CE.
Bài 4: Cho đường tròn (O) có hai dây AB, CD vng góc với nhau. Gọi M là trung điểm của
BC. Chứng minh rằng OM = AD.
Bài 5: Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 10cm. Một đường thẳng song song với AB
và cách AB 3cm, cắt nửa đường tròn tại C và D (C thuộc AD ).
a) Tứ giác ACDB là hình gì ?
b) Tính độ dài AC, CD, DB.
Bài 6: Cho đường trịn tâm O, đường kính AB, dây CD song song với AB (C thuộc cung AD).
Qua M là điểm chính giữa cung CD kẻ các dây ME, MF sao cho ME // AC, MF // BD. Chứng
minh rằng
a) Tam giác MEF cân.
b) Tam giác MEF và hình thang ABCD có diện tích bằng nhau.
III. Hướng dẫn
Bài 1:
A
a) Tứ giác OAO’I là hình vng
b) Tứ giác OAO’I là hình vng
=>
O
O'
Trong đường trịn(O) có góc ở tâm
Số đo cung nhỏ AI = sđ
Số đo cung lớn AI = 3600 – 900 = 2700
I
Trong đường trịn(O’) có góc ở tâm
=> số đo cung nhỏ AI = sđ
Số đo cung lớn AI = 3600 – 900 = 2700
c) Hai đường tròn (O) và (O’) bằng nhau vì có bán kính bằng nhau. Do đó

- Cung nhỏ AI của đường trịn (O) = cung nhỏ AI của đường tròn (O’)
AI

AI
3


- Cung lớn
của đường tròn (O) = cung lớn
của đường tròn (O’)
Bài 2:
a) Tam giác cân ABC cân ở A nên
_
B
=> nên trong tam giác BCD có BD < CD và
H
K
BC < CD do đó DB < DC và BC < DC
I
b) Do BD < CD nên OI < OH, BC < CD nên OI < OI. Do đóD
- Nếu DB = BC thì OH = OK > OI
O
- Nếu DB < BC thì OH < OK > OI
- Nếu DB > BC thì OK < OH > OI
Bài 3:
A
F
Gọi I là điểm đối xứng với B qua AC, F là điểm đối
xứng với C qua AB, ta có ,
E

Vì AB < AC nên > do đó >
Tam giác BCF và tam giác CBI có BF = BC = CI
và > nên CF > BI => CE > BD
B
O

Bài 4:
Kẻ đường kính CE
OM là đường trung bình của tam giác BCE => OM = BE
Ta có
=> AB // DE (cùng vng góc với CD) => AD = BE
=> AD = BE do đó OM = AD.
Bài 5:
a) ACDB là hình thang cân
b) Kẻ CH AB. Đặt AH = x thì HB = AB – AH = 10 – x
ACB vuông tại C => CH2 = AH.HB
Do đó 32 = x.(10 – x) <=> x = 1 hoặc x = 9
Do AH < HB nên AH = 1cm
(cm) => BD = (cm)
CD = AB – 2AH = 8(cm)
Bài 6:
a) ME // AC => MC = AE
MF // DB => MD = FB
Ta có MC = MD nên AE = BF
Mặt khác CD // AB =>
AC = BD
=>
=> ME = MF =>
Tam giác MEF cân tại M.
ME = MF

b) Kẻ đường kính MN cắt CD, FE tại I và H
=> MN CD, MN EF
Ta có sđ MD + sđ DB = => sđ
sđ + =DB=> DO OF
BF
=> (1)
Và (2)
4

A
_
C

I
D

C

C
M
A

B
O

D

C
A

H

E

D

O

B

M
C
I
A

D

B

O
H
F

E
N


Từ (1) và (2) => => OID = FHO => FH = OI; ID = OH (3)
Mà SABDC = (OB + DI).OI
SMEF = (MO + OH).FH

Mà từ (3) ta có: FH = OI; ID = OH và OB = OM = bán kính
=> SABDC = SMEF

Tiết 21
GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP CỘNG ĐẠI SỐ
I. Bài tập
Bài 1: Giải các hệ phương trình sau:
a)
b)
c)
d)
Bài 2: Giải các hệ phương trình sau:
a)
b)
c)
d)
Bài 3: Giải các hệ phương trình sau theo 2 cách:
Cách 1: đưa hệ phương trình về dạng
Cách 2: đặt ẩn phụ (chẳng hạn: 3x – 2 = a, 3y + 2 = b)
a)
b)
Bài 4: Giải các hệ phương trình sau bằng cách đặt ẩn số phụ:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Bài 5: Tìm giá trị của m để nghiệm của hệ phương trình
cũng là nghiệm của phương trình 3mx - 5y = 2m + 1

Bài 6: Nghiệm chung của ba phương trình đã cho được gọi là nghiệm của hệ gồm ba phương
trình ấy. Giải hệ phương trình là tìm nghiệm chung của tất cả các phương trình trong hệ. Giải
các hệ phương trình sau:
5


a)
b)
II.Hướng dẫn
Bài 1:
a)
b)
c) (x; y) =
d) (x; y) =
Bài 2:
a) (x; y) =
b) Hệ phương trình vơ nghiệm
c) Hệ phương trình vơ nghiệm
d) (s; t) = (3; 2)
Bài 3:
a) (x; y) =
b) (x; y) =
Bài 4: Giải các hệ phương trình sau bằng cách đặt ẩn số phụ:
a) (x; y) =
b) (x; y) =
c) (x; y) =
d) (x; y) =
e) (x; y) =
f) (x; y) =
Bài 5: Giải hệ ta được

Thay giá trị của x, y vào phương trình 3mx - 5y = 2m + 1 tìm được m = 1.
Bài 6:
Chọn hai trong ba phương trình của hệ để lập thành một hệ có nghiệm duy nhất. Giải hệ này ta
tìm được nghiệm (x0; y0)
- Nếu (x0; y0) cũng là nghiệm của phương trình cịn lại thì đó cũng là nghiệm của hệ phương
trình đã cho.
- Nếu (x0; y0) khơng phải là nghiệm của phương trình cịn lại thì hệ phương trình đã cho vơ
nghiện.
a) (x; y) = (3; 5)
b) Vơ nghiệm.

Buổi 22 + 23
GIẢI BÀI TỐN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH
I. Bài tập
Dạng chuyển động
Bài 1:Một ca nô dự định đi từ A đến B trong một thời gian đã định. Nếu vận tốc ca nô tăng 3
km/h thì ca nơ đến nơi sớm hơn 2 giờ. Nếu vận tốc ca nơ giảm 3km/h thì ca nơ đến nơi chậm 3
giờ. Tính chiều dài khúc sơng AB.
Bài 2: Một ca nô chạy trên sông trong 7 giờ, xi dịng 108km và ngược dịng 63km. Một lần
khác, ca nơ đó cũng chạy trong 7 giờ, xi dịng 81km và ngược dịng 84km. Tính vận tốc riêng
của ca nơ và vận tốc của dòng nước (biết vận tốc riêng của ca nơ và vận tốc của dịng nước
trong cả hai lần là như nhau)
6


Bài 3: Quãng đường AB gồm một đoạn lên dốc dài 4km, một đoạn xuống dốc dài 5km. Một
người đi xe đạp từ A đến B hết 40 phút và đi từ B về A hết 41 phút (vận tốc lên dốc và vận tốc
xuống dốc lúc đi và về như nhau). Tính vận tốc lúc lên dốc và lúc xuống dốc.
Bài 4: Một ca nô xuôi khúc sông dài 40km rồi ngược khúc sông ấy hết 4 giờ rưỡi. Biết thời gian
ca nô xuôi 5km bằng thời gian ca nơ ngược 4km. Tính vận tốc của dịng nước.

Dạng tốn phần trăm
Bài 1: Hai trường A và B của một thị trấn có 210 học sinh thi đỗ vào lớp 10, với tỉ lệ trúng
tuyển 84%. Tính riêng thì trường A đỗ 80%, trường B đỗ 90%. Tính xem mỗi trường có bao
nhiêu học sinh lớp 9 dự thi.
Bài 2: Hai tổ sản xuất phải làm được 900 sản phẩm trong một thời gian quy định. Do tổ một
làm vượt mức kế hoạch 20%, tổ hai làm vượt mức kế hoạch 30% nên hai tổ làm được 1130 sản
phẩm. Tính số sản phẩm mỗi tổ làm theo kế hoạch.
Dạng toán về cơng việc, về vịi nước (chung – riêng)
Bài 1: Hai người làm chung một cơng việc thì sau 16 giờ sẽ xong việc. Nếu người thứ nhất làm
một mình trong 3 giờ và người thứ hai làm một mình trong 6 giờ thì cả hai người làm được
cơng việc. Tính thời gian mỗi người làm một mình xong tồn bộ cơng việc.
Bài 2: Hai vịi nước cùng chảy vào một bể khơng có nước thì sau 1 giờ 30 phút sẽ đầy bể. Nếu
mở một mình vịi 1 trong 15 phút khố lại rồi mở tiếp vịi 2 trong 20 phút thì cả hai vịi chảy
được bể. Tính thời gian mỗi vịi chảy một mình đầy bể.
Bài 3: Hai tổ cùng làm chung một cơng việc thì trong 12 giờ thì xong. Nhưng hai tổ cùng làm
trong 4 giờ thì tổ (I) đi làm việc khác, tổ (II) làm nốt trong 10 giờ thì xong cơng việc. Hỏi mỗi
tổ làm riêng trong bao lâu thì xong cơng việc ?
Bài 4: Hai vịi nước chảy vào một bể khơng có nước. Nếu cho vòi thứ nhất chảy trong 3 giờ rồi
khố lại, sau đó cho vịi thứ hai chảy tiếp vào bể 8 giờ nữa thì đầy bể. Nếu vịi thứ nhất chảy
vào bể trong 1 giờ rồi mở thêm vịi thứ hai chảy tiếp trong 4 giờ nữa thì được bể. Tính thời
gian mỗi vịi chảy một mình đầy bể.
Dạng tốn về diện tích
Bài 1: Một mảnh đất hình chữ nhật có chiều dài lớn hơn chiều rộng 3m. Nếu tăng chiều dài
thêm 2m và giảm chiều rộng 1m thì diện tích mảnh đất khơng đổi. Tính chiều dài và chiều rộng
ban đầu của mảnh đất.
Bài 2: Một miếng đất hình chữ nhật. Nếu tăng chiều rộng thêm 2m và chiều dài thêm 2m thì
diện tích tăng thêm 60m2, nếu giảm chiều rộng đi 3m và chiều dài đi 5m thì diện tích giảm đi
85m2. Tính kích thước miếng đất.
II. Hướng dẫn
Dạng chuyển động

Bài 1:Gọi vận tốc dự định của ca nô là x km/h, thời gia dự định đi khúc song AB là y giờ, thì
khúc sơng AB dài xy km (x > 3, y > 2)
Theo đầu bài ta có hệ phương trình:
Giải hệ phương trình ta được x = 15, y = 12 (tmđk) => Khúc sông AB dài 15.12 = 180km.
Bài 2:
Gọi vận tốc riêng của ca nơ và vận tốc dịng nước lần lượt là x km/h và y km/h (x > y > 0)
Vận tốc khi ca nơ xi dịng là x + y km/h, vận tốc khi ca nơ ngược dịng là x - y km/h.
7


Theo đầu bài ta có hệ phương trình
Giải hệ phương trình ta có x = 24, y = 3 (tmđk x > y > 0)
Bài 3: Gọi vận tốc lên dốc và xuống dốc theo thứ tự là x và y km/h (x > 0, y > 0)
Theo đầu bài ta có hệ phương trình
Giải hệ phương trình ta có x = 12, y = 15 (tmđk x > y > 0)
Bài 4: Gọi thời gian ca nơ xi dịng 1km là x giờ, thời gian ca nơ ngược dịng 1km là y giờ
(x > 0, y > 0)
Theo đầu bài ta có hệ phương trình:
Giải hệ phương trình ta có x = , y = (tmđk x > y > 0)
Vậy vận tốc ca nơ xi dịng là 20km/h, ngược dòng là 16km/h. Vận tốc dòng nước là
(20 – 16) : 2 = 2km/h
Dạng toán phần trăm
Bài 1: Gọi số học sinh của trường A và trường B dự thi theo thứ tự là x và y
Số học sinh của cả hai trường là 210. = 250
Theo đầu bài ta có hệ phương trình:
Giải hệ phương trình ta có x = 150, y = 100 (tmđk)
Bài 2: Gọi số sản phẩm tổ 1 và tổ 2 phải làm theo kế hoạch lần lượt là x và y
(x, y; x, y < 900)
Theo đầu bài ta có hệ phương trình:
Giải hệ phương trình ta có x = 400; y = 500 (tmđk)

Dạng tốn về cơng việc, về vịi nước (chung – riêng)
Bài 1: Gọi thời gian người thứ nhất làm một mình xong cơng việc là x giờ (x > 16)
thời gian người thứ hai làm một mình xong cơng việc là y giờ (y > 16)
Ta có hệ phương trình
Giải hệ phương trình ta được x = 24; y = 48 (tmđk)
Bài 2: Gọi thời gian vòi 1 chảy một mình đầy bể là x giờ (x > )
thời gian vịi 2 chảy một mình đầy bể là 9 giờ (y > ). Ta có hệ phương trình
Giải hệ phương trình ta được x = 3,75 = 3 giờ 45 phút, y = 2,5 = 2 giờ 30 phút
Bài 3: Gọi thời gian tổ (I) làm một mình hồn thành công việc là x giờ (x > 12)
thời gian tổ (II) làm một mình hồn thành cơng việc là y giờ (y > 12)
Ta có hệ phương trình
Giải hệ phương trình ta được x = 60; y = 15 (tmđk)
Bài 4: Gọi thời gian vịi 1 chảy một mình đầy bể là x giờ (x > )
thời gian vòi 2 chảy một mình đầy bể là 9 giờ (y > 0 ). Ta có hệ phương trình
8


Giải hệ phương trình ta được x = 9; y = 12
Dạng tốn về diện tích
Bài 1: Gọi chiều dài và chiều rộng mảnh đất ban đầu lần lượt là x và y (m) (x > 0, y > 1)
Ta có hệ phương trình
Giải hệ phương trình ta được x = 8, y = 5
Bài 2: Gọi chiều dài và chiều rộng mảnh đất ban đầu lần lượt là x và y (m) (x > 5, y > 3)
Ta có hệ phương trình
Giải hệ phương trình ta được x = 20, y = 8

Tiết 24 + 25
GÓC NỘI TIẾP. GÓC TẠO BỞI TIA TIẾP TUYẾN VÀ DÂY CUNG
I. Kiến thức cần nhớ:
*/ Góc nội tiếp

- Góc nội tiếp là góc có đỉnh nằm trên đường trịn và hai cạnh chứa hai dây cung của đường trịn
đó.
- Cung nằm bên trong góc gọi là cung bị chắn.
- Số đo góc nội tiếp bằng nửa số đo cung bị chắn
- Trong một đường tròn:
9


+ Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau
+ Các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau.
+ Góc nội tiếp chắn nửa đường trịn là góc vng
+ Góc nội tiếp (nhỏ hơn hoặc bằng 900) có số đo bằng nửa số đo của góc ở tâm cùng chắn một
cung
*/ Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung:
Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung là góc có đỉnh nằm trên đường trịn và một cạnh là tiếp
tuyến còn cạnh kia chứa dây cung của đường tròn đó.
Số đo góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung bằng nửa số đo cung bị chắn.
*/ Trong một đường trịn, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một
cung thì bằng nhau.
II. Bài tập
Bài 1: Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn (O). Tia phân giác góc A cắt BC tại F, cắt đường
tròn tại E. Chứng minh:
a) Tam giác BEC cân.
b)
c) AB.AC = AE.AF
d) AF2 = AB.AC – BF.CF
Bài 2: Từ một điểm A nằm ngồi đường trịn (O). Kẻ hai tiếp tuyến AB, AC (B, C là tiếp điểm).
Gọi M là trung điểm AC. Đoạn thẳng MB cắt đường tròn tại K (khác B). Tia AK cắt đường tròn
tại D (khác K). Chứng minh rằng BD // AC.
Bài 3: Hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Qua A vẽ cát tuyến CAD với hai đường

tròn ( C (O), D (O’)).
a) Chứng minh rằng khi cát tuyến quay xung quanh điểm A thì có số đo không đổi.
b) Từ C và D vẽ hai tiếp tuyến với đường tròn. Chứng minh rằng hai tiếp tuyến này hợp với
nhau một góc có số đo khơng đổi khi cắt tuyến CAD quay xung quanh điểm A.
Bài 4: Từ một điểm M cố định ở bên ngoài đường tròn (O) ta kẻ một tiếp tuyến MT và một cát
tuyến MAB của đường trịn đó.
a) Chứng minh rằng ta ln có MT2 = MA.MB và tích này khơng phụ thuộc vào vị trí của cát
tuyến MAB.
b) Khi cát tuyến MAB đi qua tâm O, tính bán kính của đường tròn nếu MT = 20cm,MB = 50cm
Bài 5: Từ điểm M nằm ngồi đường trịn (O), vẽ hai tiếp tuyến MA, MB và cát tuyến MCD với
đường tròn (O). Gọi I là giao điểm của AB và CD. Chứng minh rằng:
Bài 6: Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn (O). Tia phân giác của góc BAC cắt (O) tại D.
Đường tròn (D; DB) cắt AB, AC lần lượt tại Q, P. Chứng minh AO  PQ
Bài 7: Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh là a, b, c nội tiếp đường tròn (O; R).
abc
S ABC 
4R
Chứng minh:
Bài 8: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Lấy điểm M bất kì trong tam giác, các tia
AM, BM, CM cắt đường tròn tại I, K, H. Chứng minh:
S IHK MI .MK .MH

S ABC MA.MB.MC
10


)
)

III. Hướng dẫn

A
Bài 1:
BE =
CE
= CE
a) =>
=> BE
Do đó tại E.
O
b) Ta có: ,
F
B
=>
c) Ta có và nên AEB ACF (g.g)
E
=> hay AB.AC = AE.AF (1)
d) Ta có: và => AFC
BFE (g.g)
=> hay BF.CF = AF.EF (2)
Từ (1) và (2) ta có: AB.AC – BF.CF = AE.AF - AE.EF = AF.( AE – EF) = AF2
S

S

C

Bài 2:
Ta có : => MCA MBC (g.g)
=> => (vì MA = MC)
Mà chung nên MAK MBA (c.g.c)

B

S

D

O

S

K

Mặt khác => = => BD // AC.
Bài 3:
a) Trong tam giác CBD có

/

A

C

M

sd �
AnB � sd �
AmB
�
C

D
2
2
;
� �
�
�
Vì AnB và AmB cố định nên C , D có giá trị khơng đổi

C
A
O

=> có giá trị khơng đổi, khơng phụ thuộc vào
vị trí của cát tuyến CAD khi cát tuyến đó quay xung
quanh điểm A.
b) Gọi M là giao điểm của hai tiếp tuyến tại C và D của
(O) và (O’). Ta có:
= (1) (củng chắn cung nhỏ CA của (O))
= (2) (củng chắn cung nhỏ DA của (O’))
Từ (1) và (2) => + = + = (không đổi)
=> khơng đổi (tổng các góc trong một tam giác)
Bài 4:

m

B

MT MB


MA => MA MT

=> MT2 = MA.MB
Vì cát tuyến MAB kẻ tuỳ ý nên ta ln có MT2 = MA.MB
khơng phụ thuộc vào vị trí của cát tuyến MAB
11

n
B

S

a) MT

M

/

M

A

O

T

O'

D

b) Gọi bán kính của (O) là R
Theo phần a ta có:
MT2 = MA.MB = (MB – 2R).MB => R = 21cm
Bài 5:
Ta có

O

A

M

T
A

D

S

MA MC

MAC MDA => MD MA
MA AC

2
=> MA = MC.MD và MD AD
MB BC

MBC MDB => MD BD

B

R

I
O

C

S

B

M

S

S

MC MC.MD MA2 MA MB AC BC



� 
�
MD 2
MD 2 MD MD AD BD (1)
Ta có MD
AC IC


IAC IDB (g.g) => BD IB
BC IB

IBC IDA (g.g) => AD ID
IC IC IB AC BC

� 
�
Suy ra ID IB ID BD AD (2)

Từ (1) và (2) =>
Bài 6:
Gọi E và I lần lượt là giao điểm của AO với PQ và (O).
Ta có =>
Mà nên =
Do + nên = 900
Vậy AO  QP

A

O
E

B

C

Q
I

D

Bài 7:
Kẻ đường kính AD và đường cao AH.
Ta có và
=> AHB
ACD(g.g) =>
=> AH =
1
abc
S ABC  BC. AH 
2
4R
Do đó

P

A

S

A
O
K
BH

C

H

O
M D

12

C

B
I


Bài 8:
Áp dụng kết quả bài 7 ta có
HI .IK .KH
AB.BC . AC
S IHK 
; S ABC 
4R
4R
S IHK HI .IK .KH

S
=> ABC AB.BC. AC (1)

S

S

S

Ta có:
MHK
MBC(g.g) => (2)
MIK
MBA(g.g) => (3)
MIH
MCA(g.g) => (4)
Từ (1), (2), (3), (4) => đpcm

Tiết 26
GÓC CĨ ĐỈNH Ở BÊN TRONG ĐƯỜNG TRỊN.
GĨC CĨ ĐỈNH Ở BÊN NGỒI ĐƯỜNG TRỊN
I. Kiến thức cần nhớ:
Số đo góc có đỉnh nằm bên trong đường trịn bằng nửa tổng số đo hai cung bị chắn.
Số đo góc có đỉnh nằm bên ngồi đường trịn bằng nửa hiệu số đo hai cung bị chắn.
II. Bài tập:
Bài 1: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Kẻ dây DM song song với dây BC sao cho
DM cắt đoạn AC ở F và O, M nằm ở hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ AC. Gọi E là giao điểm
của đường thẳng BC và AM.
a) Chứng minh tam giác ABD đồng dạng với tam giác AEC, tam giác ABE đồng dạng với tam
giác ADC.
b) Chứng minh tam giác AFD đồng dạng với tam giác AMB.
Bài 2: Cho tam giác ABC (AC < AB) nội tiếp đường trịn tâm O bán kính R. Đường phân giác
trong và ngồi của góc A cắt đường thẳng BC theo thứ tự tại D, E và AD = AE.
Hãy tính AB2 + AC2 theo bán kính R của đường tròn tâm O.
Bài 3: Cho tứ giác ABCD có bốn đỉnh thuộc đường trịn (O). Gọi M, N, P, Q lần lượt là điểm
chính giữa các cung AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng MP  NQ
13

S

S

S

Bài 4: Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O). Lấy M thuộc tia đối của tia BC. Gọi
I là giao điểm của MA với đường tròn, K là giao điểm của CI với AB. Chứng minh rằng AC2 =
AI.AM
Bài 5: Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A, B sao cho . Lấy điểm M thuộc đường tròn
(O). Kẻ MA, MB cắt đường tròn (O’) tại C và D (A nằm giữa M và C; B nằm giữa M và D).
Chứng minh rằng khi M di động thì độ dài CD khơng đổi.
III. Hướng dẫn:
Bài 1:
A
�
�
�
�
a) Do DM // BC nên BD  CM � BAD  CAM
D
F
M
�
�
�  sd BD
�
�
sd
AB


sdCM
sd
AB
sd
AD
�
AEB 


2
2
2
O
�
sd
AD
�
ABD 
E
B
C
2 =>
Mà
=> ABD AEC (g.g)
sd �
AD
�
�  AEB
�

ACD 
� ACD
2
Ta có
Mà
=> ABE ADC (g.g)
�
�
sd �
AD  sdCM
sd �
AD  sd BD
sd �
AB
�
AFD 


2
2
2
b) Ta có
sd �
AB
�
AMB 
2 =>
Mà
Lại có => AFD AMB(g.g)
Bài 2:

Gọi AD cắt đường tròn tại M. Kẻ đường kính BF.
Ta có ADE vng cân tại A nên
�  sd �
sd BM
AC
F
 450
2
=>
0
�
�
=> sd BM  sd AC  90
O
0
�
�
A
=> sdCM  sd AF  90
�
�
�
�
Mà BM  MC � AF  AC => AF = AC
D
B
Do đó AB2 + AC2 = AB2 + AF2 = BF2 = 4R2
E
C
Bài 3:

M
gọi I là giao điểm của MP và NQ.
B
Ta có
M
N
A

O

I

C

14
P
Q

D






�  1 sd MQ
�  sd NP
�
MIQ
2

1 1
�  sd �
�  sdCD
�
 � sd AB
AD  sd BC
2 2
1
 �
3600  900
4
� MP  NQ





A

Bài 4:

� sd AB
�  sd BI
� sd AI
�
sd �
AC  sd BI
�
AMC 



2
2
2
sd �
AI
�
ACI 
��
AMC  �
ACI
2
Lại có
Mà chung nên AMC ACI (g.g)
AM AC

AC
AI => AC2 = AI.AM
=>

I

O

S

K

M

C

B

Bài 5:
Ta có khơng đổi =>

C

A

�
�
�  sdCD  sd AB
CMD
2
Xét đường trịn (O’) có
�
AB khơng đổi nên sđ CD
Mà không đổi, �
=> độ dài CD khơng đổi.

M
O

O'

B
D

Tiết 27
GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CĨ CHỨA THAM SỐ
I. Bài tập:
Bài 1: Cho hệ phương trình (I)
Với giá trị nào của m thì hệ phương trình (I) có nghiệm duy nhất ? Vơ nghiệm ? Hệ có thể có vơ
số nghiệm được khơng ?
Bài 2: Cho hệ phương trình
a) Giải hệ phương trình với a = 2.
b) Tìm các giá trị của a để hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
Bài 3: Cho hệ phương trình
a) Giải hệ phương trình với m = - 2.
b) Tìm các giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất mà x và y đều là số nguyên.
15


Bài 4: Cho hệ phương trình
a) Giải hệ phương trình với m = 3.
b) Tìm các giá trị nguyên của m để hệ phương trình có nghiệm x > và y < 0.
Bài 5: Cho hệ phương trình hai ẩn x, y với m là tham số:
1) Giải hệ phương trình với m = 2) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, xét hai đường thẳng có phương trình (1) và (2).
a) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, đường thẳng (1) đi qua điểm cố định B và đường
thẳng (2) đi qua điểm cố định C.
b) Tìm m để giao điểm A của hai đường thẳng thoả mãn điều kiện góc BAC vng. Tính diện
tích tam giác ABC ứng với giá trị đó của m.
II. Hướng dẫn:
Bài 1:
1
� 1
 d1 
�y  x 

�� 2
2
�y  mx  2  d 2 
�
Xét
1
۹ m 
2
Để hpt có nghiệm duy nhất thì (d1) cắt (d2)
1
�m
2
Để hpt có nghiệm duy nhất thì (d1) // (d2)
Vì (d1) và (d2) có tung độ gốc khác nhau nên(d1) và (d2) không thể trùng nhau hay hpt khơng thể
có vơ số nghiệm.
Bài 2:
4
1�
2 ;  �
 x; y   �
�
14 �
�7
a) Với a = 2, giải hệ được nghiệm
b) Với a �0 , để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thì
a �0
�
a a
�
2

�۹���
4a a
a  4a 1 0 � 1
1 4a
a�
�
� 4
1
a �0; a �
4 thì hpt có nghiệm duy nhất.
Vậy
Bài 3:
a) HS tự giải
b) Cộng từng vế các phương trình (1) và (2) ta được (m + 1)x = 2m + 1
2m  1
m
x
; y
m 1
m 1
=> Với m -1 =>
=> m
Bài 4:
a) HS tự giải
16


8
9
  m  � m � 2;  1; 0;1; 2

4
b) m Z, 3
Bài 5:
� 3
�
1
1
;   3�
�
2
2
�
1) Với m = - giải được kết quả �
2) a) Giả sử B(x1; y1) là điểm cố định mà đường thẳng (1) ln đi qua.
Ta có mx1 – y1 = 0 với mọi m => x1 = 0, y1 = - 2
Tương tự với đường thẳng (2) ta có C(- 1; 2)
Vậy đường thẳng có phương trình (1) ln đi qua điểm cố định B(0; -2) và đường thẳng có
phương trình (2) ln đi qua điểm cố định C(- 1; 2)
b) Hệ số góc của hai đường thẳng đã cho là k1 = m, k2 = m – 2
ta có góc BAC vng nên m(m – 2) = - 1 => m = 1
1�
�3
�;  �
2�
khi đó đường thẳng (d1): y = x – 2, (d2): y = - x + 1 cắt nhau tại A �2
1
15
S ABC  AB. AC 
2
4 (đvdt)

Vậy

Tiết 28 + 29
TỨ GIÁC NỘI TIẾP
I. Kiến thức cần nhớ:
- Tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đường tròn gọi là tứ giác nội tiếp đường tròn (gọi tắt là tứ
giác nội tiếp).
- Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối diện bằng 1800.
- Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh cịn lại dưới một góc thì nội tiếp
được đường trịn.
- Tứ giác có bốn đỉnh cách đều một điểm (mà ta có thể xác định được) thì nội tiếp được đường
trịn. Điểm đó là tâm đường trịn ngoại tiếp tứ giác.
- Một tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện bằng 1800 thì tứ giác đó nội tiếp được đường trịn.
II. Bài tập
Bài 1: Cho ba đường tròn cùng đi qua một điểm P. Gọi các giao điểm khác P của hai trong ba
đường trịn đó là A, B, C. Từ một điểm D (khác điểm P) trên đường tròn (PBC) kẻ các tia DB,
DC cắt các đường tròn (PAB) và (PAC) lần lượt tại M và N. Chứng minh ba điểm M, A, N
thẳng hàng.
17


Bài 2: Cho hai đoạn thẳng AC và BD cắt nhau tại E. Biết AE.EC = BE.ED. Chứng minh bốn
điểm A, B, C, D cùng nằm trên một đường tròn.
Bài 3: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), hai đường cao BB’ và CC’. Chứng minh:
a) Tứ giác BCB’C’ là tứ giác nội tiếp.
b) OA vng góc với B’C’.
Bài 4: (định lí Ptơlêmê)
Trong một tứ giác nội tiếp thì tích hai đường chéo bằng tổng của tích các cặp đối diện.
Bài 5: Cho đường tròn (O) và đường thẳng xy khơng cắt đường trịn (O). Gọi A là hình chiếu
của O trên xy. Qua A vẽ một cát tuyến khơng đi qua O cắt đường trịn tại B và C. Tiếp tuyến tại

B và C cắt xy lần lượt tại M và N. Chứng minh rằng:
a) Các tứ giác OCNA, OBAM là các tứ giác nội tiếp.
b) AM = AN.
Bài 6: Cho tứ giác ABCD, hai đường chéo AC và BD vng góc với nhau tại O. Qua O kẻ OE,
OF, OG, OH lần lượt vng góc với AB, BC, CD, DA. Chứng minh tứ giác EFGH là tứ giác nội
tiếp.
Bài 7: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) và điểm M trên cung CD. Gọi E, F, G, H lần
lượt là hình chiếu của M trên AB, BC, CD, DA. Chứng minh:
a) Tam giác MEF đồng dạng tam giác MHG.
b) ME.MG = MF.MH.
III. Hướng dẫn
Bài 1
Nối PA, PB, PC, AM, AN ta có các tứ giác nội tiếp
AMBP, BDCP và APCN.
�  PBD
�
�
MAP
(cùng bù với MBP
)
�  PCD
�
�
PAN
(cùng bù với PCN )
�  PAN
�  PBD
�  PCD
�  1800
MAP

B

M

D

P

Suy ra
Do đó ba điểm M, A, N thẳng hàng.

A

C

Bài 2
AE EB

(1)
Từ giả thiết AE.EC = BE.ED => ED EC
�
�
AEB  DEC

D
N

A

S

Ta có
(2 góc đối đỉnh) (2)
�
�
Từ (1) và (2) => AEB DEC => BAE  CDE
�
�
Đoạn BC cố định, BAE  CDE , A và D ở trong cùng
một nửa mặt phẳng có bờ BC nên bốn điểm A, B, C, D
cùng nằm trên một đường tròn.
Bài 3:
18

E

B

C


A
B'
C'

O

B

C
D

B

A

C

K
O

S

S

0
�
a) BB’  AC => BB ' C  90
0
�
CC’  AB=> BC ' C  90
x
� ' C  BC
� ' C  900
BB
=>
=> hgai điểm B’, C’ nằm trên
đường trịn đường kính BC hay tứ giác BCB’C’ là
tứ giác nội tiếp.

b) Kẻ tiếp tuyến Ax => Ax  OA
Tứ giác BCB’C’ nội tiếp đường trịn đường kính BC
�
�
�
=> AC ' B '  BCA (cùng bù với BC ' E )
�
�
Mặt khác ACB  BAx
�
�
=> AC ' B '  BAx => Ax // B’C’ => Ax  OA
.
Bài 4: (định lí Ptơlêmê)
xét tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O). Qua B vẽ tia BK (K AC)
�
�
sao cho ABK  CBD
VDBC (g.g)
ta có VABK
=> AB.CD = BD.AK (1)
VDBC nên =>
Do VABK
�
�
VBKC (c.g.c)
Lại có ABD  KBC => VBAD

D

S

=> => BD.KC = AD.BC (2)
Từ (1) và (2) => AB.CD + BC.AD = BD. = BD.AC (đpcm)
Bài 5:
a) Ta có OC  CN, OB  BM (t/c tiếp tuyến),
C
OA  xy (gt)
1
=>
O
+ Tứ giác OCNA có +
Vậy tứ giác OCNA nội tiếp đường tròn.
1
+ Trên nửa mặt phẳng bờ OM có 2 điểm
B
A và B cùng nhìn đoạn OM dưới một góc
1
x
Ntrịn
A
bằng => 4 điểm O, B, A, M cùng thuộc một đường
Vậy tứ giác OBAM nội tiếp đường trịn.
b) Theo phần a ta có:
tứ giác OCNA nội tiếp đường trịn => (2 góc nt cùng chắn cung AO)
tứ giác OBAM nội tiếp đường tròn => (cùng bù với )
mặt khác VOBC cân tại O =>
=> = => OMN cân tại O => ON = OM
Bài 6:
E

Các tứ giác AEOH, BEOF, CFOG, DGOH là các tứ giác
A
nội tiếp vì có tổng các góc đối diện bằng 1800.
19

M

y

B
F
C

O

H
G
D


Do đó
�  OEH
� , OEF
�  OBF
� , OGF
�  OCF
� , OGH
�  ODA
�
OAH



 



�  HGF
�  OAD
�  ODA
�
�  OCB
�
HEF
 OBC
 900  900  1800

Suy ra
Vậy tứ giác EFGH là tứ giác nội tiếp.
Bài 7:
� �
�
HMG
ADC (Cùng bù với HDG
)
� �
EMF
ADC (Cùng bù với �
ABC )
�

�
=> HMG  EMF
Mặt khác các tứ giác MHDG, và MEBF là các tứ giác nội tiếp
�
�
�
�
Nên MHG  MDG; MEF  MBF

A

E

B

O
G
D
H

M

C
F

S

�
�
�

�
Mà MDG  MBF suy ra HMG  MEF
MH MG

Do đó MHG MEF (g.g), ta có ME MF
Hay ME.MG = MF.MH.

Tiết 30
MỘT SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
I. Bài tập:
Bài 1: Giải các hệ phương trình
a)
b)
c)
d)
Bài 2: Giải các hệ phương trình (đối xứng loại 1)
a)
b)
c)
d)
Bài 3: Giải các hệ phương trình(hệ phương trình đối xứng loại 2)
a)
b)
c)
d)
Bài 4: Giải hệ phương trình:
20


Bài 5: Giải hệ phương trình:

II. Hướng dẫn:
Bài 1
a)
Từ pt (1) ta có: y = 2x – 1, thay vào (2) ta được
2

hoặc x = 11
Với x = 1 => y = 1
2
15


Với x = 11 => y = 11
b)
Từ pt (1) ta có: y = 3 – x, thay vào (2) ta được
=> x = 1 hoặc x = 2
Với x = 1 => y = 2
Với x = 2 => y = 1
c)

�
�
�1 1 ��2 1 �
S �
;� ; �
�
� ; �
�2 2 ��7 7 �
�
Làm tương tự phần a, b. Hệ phương trình có tập nghiệm

d)
S    0;1 ;  1;0  
Hệ phương trình có tập nghiệm
Bài 2: Giải các hệ phương trình
a)
Giải hệ phương trình ta có tập nghiệm
b)
Từ phương trình (1) =>

S    1;2  ;  2;1 ;  1; 2  ;  2; 1 

�
�
�9 9�
�
�
3
3
S �
;
;
2;1


�
�
�
2 2�
�
�

�
Hệ phương trình có tập nghiệm
c)
Đặt a = x + y; b = xy (. Ta có hệ
Giải hệ phương trình ta được a = - 5 hoặc a = 3
Với a = - 5 => b = 10, không thoả mãn điều kiện
Với a = 3 => b = 2. Khi đó
S    1;2  ;  2;1 
Hệ phương trình có tập nghiệm
21


d)
Từ phương trình (1) ta có (x – 1)(2x + y) = 0 => x = 0 hoặc y = - 2x
S    1;2  ;  1; 2  ;  1;2  
Lần lượt thay vào (2) ta có tập nghiệm
Bài 3: Giải các hệ phương trình
a)
Trừ từng vế phương trình (1) cho phương trình (2) => (x – y)(x + y + 1) = 0
=> x = y hoặc x = - y – 1
�
�
� 5  1  5  1 �� 5  1 5  1 �
�
�
S �
;
;
;
 1; 1 ;  2;2  ; �

��
�
�
2
2 �� 2
2 �
�
�
�
Hệ phương trình có tập nghiệm
b)
Trừ từng vế phương trình (1) cho phương trình (2) => (x – y)(x2 + xy + y2 + 5) = 0 (3)
2
2
� y � 3y
x


50
�
�
2
2
2
4
�
�
Mà x + xy + y + 5 =
với mọi x, y
Nên (3) � x  y  0 � x  y

Hệ phương trình có tập nghiệm
c)



S   0;0  ;





11; 11 ;  11;  11

Trừ từng vế phương trình (1) cho phương trình (2) =>
S    0;0  ;  2;2  
Hệ phương trình có tập nghiệm
d)
Trừ từng vế phương trình (1) cho phương trình (2) =>
Với x + y = 0 => hoặc
Với x – y + 2 = 0 => hoặc
Bài 4: Giải hệ phương trình:
(*)
Nhân vế với vế của ba phương trình ta được
1) = 8. Kết hợp với (*) =>
2) = - 8. Kết hợp với (*) =>
Bài 5: Giải hệ phương trình:

x y
�
x y4

�

 x  y   x  y  4  0 � �

22

x y0
�
x y20
�

 x  y   x  y  2  0 � �

Đk . Ta có các vé đều khơng âm, bình phương các vế ta được
Trừ từng vế:
= <=> = <=> x = y
Thay vào một trong hai phương trình trên ta có




<=> = 23 – x <=> x = 11
Vậy hpt có nghiệm là x = y = 11

Tiết 31
HÀM SỐ y = ax2 (a ≠ 0) VÀ ĐỒ THỊ HÀM SỐ y = ax2 (a ≠ 0)
I. Kiến thức cần nhớ:
Hàm số y = ax2 (a ≠ 0)
Hàm số xác định với mọi giá trị x thuộc R
Tính chất biến thiên

Nếu a > 0 thì hàm số nghịch biến khi x < 0, đồng biến khi x > 0
Nếu a < 0 thì hàm số đồng biến khi x < 0, nghịch biến khi x > 0
Đồ thị của hàm số là đường parabol với đặc điểm:
Đỉnh O(0; 0)
Trục đối xứng Oy
Nếu a > 0 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành, nhận gốc toạ độ làm điểm thấp nhất.
23


Nếu a < 0 thì đồ thị nằm phía dưới trục hoành, nhận gốc toạ độ làm điểm cao nhất.
II. Bài tập
Bài 1: Cho hàm số y = x2 có đồ thị là parabol(P) và hàm số y = x + 2 có đồ thị là đường thẳng d.
a) Vẽ đồ thị hai hàm số đã cho trên cùng một hệ trục toạ độ.
b) Gọi A và B là giao điểm của (d) với (P). Tính diện tích tam giác AOB.
1 2
x
Bài 2: Cho hàm số y = f(x) = 2
a) Vẽ đồ thị của hàm số
� 9�
3; �
�
2 �có thuộc đồ thị hàm số hay không ?
�
b) Điểm A
c) Khơng làm tính, căn cứ vào tính đồng biến nghịch biến của hàm số hãy so sánh f(- 3) và f
�5
�
� ; y0 �
�thuộc đồ thị. Dùng thước kẻ xác định điểm Q trên trục Oy biểu diễn. Ước
d) Điểm B �2

lượng giá trị gần đúng của y0. Tính y0 nhờ công thức của hàm số đã cho. So sánh hai kết quả
Bài 3: Cho hàm số y = ax2. Điểm A(2; - 1) thuộc đồ thị.
a) Xác định hệ số a.
b) Đặt hàm số ứng với a vừa tìm được là y = f(x). Dùng tính đồng biến nghịch biến của hàm số
hãy so sánh f(- 1) và f
c) Vẽ đồ thị hàm số y = f(x)
9�
�
�3;  �
4 �có thuộc đồ thị hay khơng ? Dùng tính chất của đồ thị suy ra hoành độ của
d) Điểm M �
9

một điểm khác mà tung độ bằng 4
1
5
y  x2
y  x 1
4 và hàm số
4
Bài 4: Cho hàm số
a) Vẽ đồ thị hai hàm số trong cùng một mặt phẳng toạ độ Oxy
b) Xác định toạ độ giao điểm hai hàm số trên bằng cách tính tốn.
2
Bài 5: Cho hàm số y  2 x có đồ thị (P) và hàm số y  x  1 có đồ thị (D)
a) Vẽ (P) và (D) trên cùng hệ trục toạ độ.
b) Tìm toạ độ giao điểm của (P) và (D).
III. Hướng dẫn
Bài 1:
a) Hình vẽ

b) Xét phương trình
có 1 – (- 1) + (- 2) = 0 nêm có nghiệm là x1 = - 1; x2 = 2
suy ra d cắt (P) tại A(- 1; 1) và B(2; 4)
Gọi E, H là hình chiếu của A, B trên Ox thì E(- 1; 0); H(2; 4)
nên OE = |- 1| = 1; AE = 1; OH = 2; HB = 4
EH = EO + OH = 1 + 2 = 3
24

6

y x  = x 2

y x  = x+2

4
4

B

22
A
-2

E
-1

0

1

H
2


SAOB = SABHE –SOAE – SOBH = 3
Bài 2:
a) Đồ thị của hàm số
� 9�
3; �
�
2 �có thuộc đồ thị hàm số
�
b)Điểm A
c) Vì hàm số đã cho nghịch biến khi x < 0 và – 3 <
nên f(-3) > f
d)
1 2
x
theo công thức y = f(x) = 2

6

y=

1
2

x2

4

2

1
O

2

1 �5 � 25
y0  � �
�3,13
2
2
4
�
�
ta có:
Bài 3: Cho hàm số y = ax2. Điểm A(2; - 1) thuộc đồ thị.
1

a) a = 4
b) Vì hàm số đã cho đồng biến khi x < 0 và – 1 >
nên f(-1) > f

1

-5

2

O

1
c) Đồ thị hàm số y = 4 x2
9�
�
�3;  �
4 �có thuộc đồ thị hàm số
d) Điểm M �
Điểm khác M là M’ có hồnh độ là 3.

1



-2

y=

-1
4

x2

-4

1 2
5
x
y  x 1

4 và hàm số
4
Bài 4: Cho hàm số
a) Đồ thị hai hàm số trong cùng một mặt phẳng
toạ độ Oxy
1 2 5
x  x 1
x
b) Xét phương trình 4
1 2 5
x  x  1 � x 2  5x  4  0
x
Ta có 4
Phương trình có nghiệm x1 = 1; x2 = 4
1
x1  1 � y1  ; x2  4 � y2  4
4
Với
� 1�
1; �
;
�
4
�
�
Vậy toạ độ giao điểm của đồ thị hai hàm số là
y

6

y=
y=

-1
4

x2

4

2

O

-5

25

1

 4; 4 

-2

5

5
4

x