Nhận biết đường bậc hai nhờ các bất biến

TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ DẦU MỘT
KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN

BÁO CÁO TỔNG KẾT
ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CỦA SINH VIÊN THAM GIA
CUỘC THI SINH VIÊN NGHIÊN CỨU KHOA HỌC
NĂM HỌC 2015-2016

NHẬN BIẾT ĐƯỜNG BẬC HAI NHỜ
••
CÁC DẤU HIỆU BẤT BIẾN

nhóm
ngành khoa học : Khoa học Tự nhiên
KHOA KHOA Thuộc
HỌC TỰ
NHIÊN

1


BÁO CÁO TỔNG KẾT
ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CỦA SINH VIÊN THAM GIA
CUỘC THI SINH VIÊN NGHIÊN CỨU KHOA HỌC
NĂM HỌC 2015-2016

NHẬN BIẾT ĐƯỜNG BẬC HAI NHỜ CÁC
••
DẤU HIỆU BẤT BIẾN
Thuộc nhóm ngành khoa học: Khoa học Tự nhiên
Sinh viên thực hiện: Huỳnh Hương

Nữ

Thảo Võ Minh

Nam

Long Trần Chí

Nam

Cơng

Số năm đào tạo: 3

Lớp, khoa: C14TO01, KHTN Năm thứ:
2 Ngành học: Sư Phạm Toán Học
Người hướng dẫn: Ths. Mai Quang Vinh

2


UBND TỈNH BÌNH DƯƠNG
NGHĨA VIỆT NAM

CỘNG HỊA XÃ HỘI CHỦ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ DẦU MỘT
phúc

Độc lập - Tự do - Hạnh

THƠNG TIN KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU CỦA ĐỀ TÀI
1. Thơng tin chung:
- Tên đề tài: Nhận biết đường bậc hai nhờ các bất biến
- Sinh viên thực hiện: Huỳnh Hương Thảo

Nữ

Võ Minh

Nam

Long Trần

Nam

Chí Cơng

Năm thứ: 2 Số năm đào tạo: 3

- Lớp: C14TO01 Khoa: KHTN
- Người hướng dẫn: Ths. Mai Quang Vinh
2. Mục tiêu đề tài:
- Tìm hiểu về đường bậc hai trong mặt phẳng với phương trình tổng quát,
và trình
bày các bất biến của đa thức bậc hai và cách nhận biết đường bậc hai
nhờ các dấu hiệu bất biến. Bên cạnh đó, tự đưa ra ít nhất chín ví dụ về
đường bậc hai để minh họa cho các dấu hiệu trên.
3. Tính mới và sáng tạo:

- Đây là một đề tài tương đối. Nó lơi cuốn các em bởi vì thơng thường để
nhận biết các đường bậc, hai chúng ta phải thực hiện qua rất nhiều bước
biến đổi thì mới biết được đó là đường gì? Thậm chí đơi khi cịn tính
tốn sai và khơng biết hướng biến đổi.
- Nhưng với cách nhận biết đường bậc hai nhờ các bất biến, chúng ta có
thể tính tốn một cách nhanh hơn, nhận biết đường bậc hai một cách
chính xác.
4. Kết quả nghiên cứu:
- Trình bày lại một số kiến thức về vectơ và tọa độ.

3


- Trình bày lại các bất biến của đa thức bậc hai và nhận biết đường bậc
hai nhờ các bất biến.
- Tự đưa ra các ví dụ về nhận biết đường bậc hai nhờ các bất biến.
5. Đóng góp về mặt kinh tế - xã hội, giáo dục và đào tạo, an ninh,
quốc phòng và khả năng áp dụng của đề tài:

4


- Đề tài sẽ là một tài liệu tham khảo rất bổ ích cho cho sinh viên ngành
sư phạm Tốn trong việc học mơn học Hình học giải tích.
- Và sẽ là tài liệu thú vị cho những ai muốn tìm hiểu về Hình học giải
tích phần nhận biết đường bậc hai một cách nhanh nhất

Ngày tháng năm 2016
Sinh viên chịu trách nhiệm chính
thực hiện đề tài

(ký, họ và tên)

Huỳnh Hương
Thảo
Nhận xét của người hướng dẫn về những đóng góp khoa học của
sinh viên thực hiện đề tài (phần này do người hướng dẫn ghi):

Ngày tháng năm 2016
Xác nhận của lãnh đạo khoa
(ký, họ và tên)

Người hướng dẫn (ký, họ
và tên)

Mai Quang
Vinh

5


UBND TỈNH BÌNH DƯƠNG

CỘNG HỊA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ DẦU MỘT

Độc lập - Tự do - Hạnh phúc

THƠNG TIN VỀ SINH VIÊN
CHỊU TRÁCH NHIỆM CHÍNH THỰC HIỆN ĐỀ TÀI

I. SƠ LƯỢC VỀ SINH VIÊN: Họ và tên: Huỳnh Hương Thảo

Ảnh 4x6

Sinh ngày: 01 tháng 06 năm 1996
Nơi sinh: Bình Dương
Lớp: C14TO01

Khóa: 2014 - 2017

Khoa: KHTN
Địa chỉ liên hệ: ấp Tân Lập, xã An Điền, thị xã Bến Cát, tỉnh Bình Dương
Điện thoại: 01634664279

Email:

II. QUÁ TRÌNH HỌC TẬP

* Năm thứ 1:
Ngành học: Sư phạm Tốn Học

Khoa: KHTN

Kết quả xếp loại học tập: Khá
Sơ lượt thành tích:
Ngày tháng năm 2016
Xác nhận của lãnh đạo khoa
(ký, họ và tên)

Sinh viên chịu trách nhiệm chính

thực hiện đề tài
(ký, họ và tên)

Huỳnh Hương Thảo


TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ DẦU MỘT

CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Độc lập - Tự do - Hạnh phúc

Thủ Dầu Một, ngày tháng năm 2016
Kính gửi: Ban tổ chức Giải thưởng “Tài năng khoa học trẻ Đại học Thủ Dầu
Một”
Tên chúng em là:
1. Huỳnh Hương Thảo
Sinh ngày 01 tháng 06 năm 1996
Sinh viên năm thứ: 2 Tổng số năm đào tạo: 3 Lớp, khoa : Lớp C14TO01, Khoa
KHTN Ngành học: Sư phạm Toán Học
2. Võ Minh Long
Sinh ngày 16 tháng 05 năm 1996
Sinh viên năm thứ: 2 Tổng số năm đào tạo: 3 Lớp, khoa : Lớp C14TO01, Khoa
KHTN Ngành học: Sư phạm Toán Học
3. Trần Chí Cơng
Sinh ngày 25 tháng 2 năm 1996
Sinh viên năm thứ: 2 Tổng số năm đào tạo: 3 Lớp, khoa : Lớp C14TO01, Khoa
KHTN Ngành học: Sư phạm Toán Học

Thông tin cá nhân của sinh viên chịu trách nhiệm chính: Họ và tên:
Huỳnh Hương Thảo
Địa chỉ liên hệ: ấp Tân Lập, xã An Điền, thị xã Bến Cát, tỉnh Bình Dương
Điện thoại: 01634664279 Email:
Chúng em làm đơn này kính đề nghị Ban tổ chức cho chúng em được gửi đề tài nghiên
cứu khoa học để tham gia xét Giải thưởng “Tài năng khoa học trẻ Đại học Thủ Dầu Một”


năm 2016.
Tên đề tài:

Nhận biết đường bậc hai nhờ các bất biến
Em (chúng em) xin cam đoan đây là đề tài do em (chúng em) thực hiện dưới sự hướng dẫn
của Ths. Mai Quang Vinh; đề tài này chưa được trao bất kỳ một giải thưởng A
1
1r J•J1
Ả
1Ầ
X11
1 *? •
1X1
w
-> Ầ r
i Ẩ.
i
1 •
nào khác tại thời điểm nộp hồ sơ và không phải là luận văn, đồ án tốt nghiệp.
Nếu sai, em (chúng em) xin chịu trách nhiệm trước khoa và Nhà trường.
Xác nhận của lãnh đạo khoa Người làm đơn
(ký, họ và tên)

Huỳnh Hương Thảo

A Ạ
DANH SÁCH NHỮNG THNH VIấN THAM GIA NGHIấN CU TI
_ <_

"ã ô

STT
H và tên
1
Võ Minh Long
2

Trần Chí Cơng

_r,

MSSV
141140209004
6141140209000
7

Lớp
C14TO01

Khoa
KHTN

C14TO01

KHTN

MỤC LỤC
••
Mở đầu
1.
2.............................................................................................................................


3.
1.
ix


4.

Mở đầu

5. 1. Lý do chọn đề tài
6.

Đường bậc hai là một trong những đối tượng nghiên cứu chính trong học phần

Hình học giải tích. Và việc nhận biết các đường bậc hai với phương trình tổng quát là một
bài tốn quan trọng và cần thiết. Thơng thường là phải đưa phương trình tổng quát của
đường bậc hai về dạng chính tắc thì mới có thể nhận dạng được nó. Đây là một công việc
không đơn giản và khá cồng kềnh mà đa phần người học đều gặp khó khăn. Vì vậy, chúng
em thực hiện đề tài nghiên cứu “nhận biết đường bậc hai nhờ các dấu hiệu bất biến” với

mục tiêu có thể nhận biết được đường bậc hai với phương trình tổng qt mà khơng cần
đưa về phương trình chính tắc.
7. Nội dung này hầu như người học khơng được học trong chương trình Hình học
giải tích.
2. Mục tiêu của đề tài
8.

Tìm hiểu về đường bậc hai trong mặt phẳng với phương trình tổng quát, và

trình bày các bất biến của đa thức bậc hai và cách nhận biết đường bậc hai nhờ các dấu
hiệu bất biến. Bên cạnh đó, tự đưa ra ít nhất chín ví dụ về đường bậc hai để minh họa cho
các dấu hiệu trên.
3. Phương pháp nghiên cứu
9.

Đọc thật kĩ các tài liệu liên quan và nắm vững các dấu hiệu nhận biết đường bậc

hai. Từ đó, có thể tự đưa ra các ví dụ để minh họa.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
> Đối tượng: Đường bậc hai, các bất biến của đa thức bậc hai, nhận biết đường bậc hai
nhờ các dấu hiệu bất biến.
> Phạm vi: Đường bậc hai trong mặt phẳng với hệ tọa độ trực chuẩn.
5. Bố cục của đề tài
10. Đề tài được chia làm 2 chương:
11.

Chương 1. Một số kiến thức về vectơ và tọa độ

12.

Chương 2. Nhận biết đường bậc hai nhờ các dấu hiệu bất biến

13.

Chương 1. MỘT SỐ KIẾN THỨC VỀ VECTƠ VÀ TỌA ĐỘ

10


1.1 Khái niệm vectơ. Các phép toán đối với vectơ
1.1.1

Khái niệm vectơ

14. Định nghĩa 1.1.1. Trong mặt phẳng hoặc trong không gian, cho hai điểm A,B. Đoạn
thẳng AB được sắp thứ tự hai điểm mút được gọi là một vectơ (hay một đoạn thẳng có
hướng). Một điểm được gọi là điểm đầu, điểm còn lại được gọi là điểm cuối. Đường thẳng
(AB) được gọi là giá của vectơ AB.
15. Nếu A là điểm đầu, B là điểm cuối thì vectơ được kí hiệu là AB.
16. Độ dài của đoạn thẳng AB được gọi là độ dài hay module của AB và kí hiệu độ dài của
AB là |AB|. Suy ra hai vectơ AB và BA có độ dài bằng nhau.
17. Định nghĩa 1.1.2. Hai vectơ AB và CD được gọi là hai vectơ cùng phương hay cộng
tính nếu các đường thẳng AB và CD song song hoặc trùng nhau.
18. Hai vectơ cùng phương AB và CD được gọi là cùng hướng nếu xảy ra một trong hai
trường hợp sau đây (xem hình 1.1).
(i) Nếu hai đường thẳng AB và CD song song và hai điểm B và D nằm cùng phía đối với
đường thẳng AC.
(ii) Nếu hai đường thẳng AB và CD trùng nhau và một trong hai tia AB (gốc A) và tia CD
(gốc C) chứa tia kia.
19.

*D

20.
21.

*B

C

22.
23.

ABC D

A

24.

Hình 1.1: Hai vectơ cùng hướng

25. Hai vectơ cùng phương mà khơng cùng hướng thì được gọi là hai vectơ ngược hướng.
26. Định nghĩa 1.1.3
27. Hai vectơ a b được gọi là bằng nhau, kí hiệu <5 = b, nếu chúng có cùng hướng và cùng
độ dài.
28. Vectơ đối của vectơ <5, kí hiệu -a, là vectơ ngược hướng với a và có độ dài bằng với
độ dài của a.
29. Đặc biệt, vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau như: AA, M4Mđược gọi là vectơ khơng, kí hiệu 0. Độ dài của vectơ - không bằng 0.
11

30. Quy ước: vectơ - không cùng phương và cùng hướng với mọi vectơ. Từ đó suy ra mọi
vectơ - khơng đều bằng nhau.
1.1.2
31.

Các phép tốn đối với vectơ
a) Cộng và trừ vectơ

32. Định nghĩa 1.1.4. Tổng của hai vectơ a và blà một vectơ được xác định như sau: từ
một điểm O tùy ý trong không gian, dựng vectơ OA = a, rồi từ A dựng vectơ AB = b (xem
Hình 1.2). Vectơ c = OB được gọi là vectơ tổng của hai vectơ avà b. Kí hiệu c = a + b

a
33. Tương tự, ta có thể định nghĩa tổng của n vectơ «1, 2... ^
a

34.

35.
36.

A

O

0

B

Hình 1.2: Cộng vectơ.

37. Từ định nghĩa suy ra phép cộng vectơ có các tính chất sau
38. Mệnh đề 1.1.5
(i) Giao hốn: a+ b=b + a.
(ii) Kết hợp: (a+ b)+c=a + ( b+c).
(iii)

Cộng vectơ không: ã + 0 = a.

(iv)

ã + (-ã) = 0.

39. Nhận xét 1.1.6. Vectơ tổng a + b là vectơ đường chéo của hình bình hành nên người ta
cịn nói phép cộng hai vectơ thực hiện theo quy tắc hình bình hành. Định nghĩa phép cộng
hai vectơ như vậy phù hợp với quy tắc hợp hai lực đồng qui trong cơ học.
40. Định nghĩa 1.1.7. Hiệu của hai vectơ a và b, kí hiệu a - b, là một vectơ x sao cho b + x
= a. Người ta gọi vectơ x là vectơ hiệu và viết x = <5 - b.
41. b) Nhân một số với một vectơ
42. Định nghĩa 1.1.8. Tích của một số k với một vectơ a là một vectơ, kí hiệu k.a, có độ
dài bằng |k|.|a|, cùng hướng với vectơ a nếu k > 0, ngược hướng với a nếu

12


43. k < 0 (xem hình 1.3).
44. Phép nhân một số với một vectơ có các tính chất sau:

45.

- = k~ẫ (k > 0)

— = k~ẫ
(k <
0)

46.
)(
Hình 1.3: Nhân một số với vectơ.
—

47.

48. Mệnh đề 1.1.9
(i) a= a.
(ii) (-1)a = -a.
(iii)

k(ia) = (kl)a.

(iv)

k(a+ b) = ka + kb.

(v) (k + l)a = ka + la.
1.2 Hệ tọa độ trực chuẩn trong mặt phẳng
49. • •
•
• o•í

1.2.1
Định nghĩa
50.

o

Định nghĩa 1.2.1. Hệ tọa độ affine (O; i, j có cơ sở vectơ { i, "j } gồm hai vectơ đơn vị

trực giao với nhau được gọi là hệ tọa độ trực chuẩn (xem Hình 1.4)
51.

À

y

52.
53.

►x

Hình 1.4: Hệ tọa độ trực chuẩn trong mặt phẳng.

54. Hệ tọa độ trực chuẩn còn được gọi là hệ tọa độ Descartes vng góc.
55. Những tính chất đúng với hệ tọa độ affine cũng đúng với hệ tọa độ trực chuẩn.
56. Tuy nhiên, hệ tọa độ trực chuẩn có những tính chất riêng khơng cịn đúng trong một hệ
tọa độ affine bất kì.
1.2.2.

Biểu thức tọa độ của tích vơ hướng. Đổi hệ tọa độ trực chuẩn

57. Biểu thức tọa độ của tích vơ hướng
58. Mệnh đề 1.2.2. Trong mặt phẳng Oxy, cho hai vectơ u = (X1, yi),v = (x2, y2). Khi đó, ta
có
13


59.

u. j = X1X2+ yiy2.

60. Chứng minh. Ta có
61.

u. j = ( Xii+ yi j).( x2i + y2"j )

62.

= xix2+ yiy2.

63. Từ Mệnh đề i.2.2 ta có thể thu được một số công thức sau đây.
64. Mệnh đề 1.2.3. Trong mặt phẳng (Oxy), cho u = (xi, yi) và V = (x2, y2). Khi đó, ta có:
(i) u2 = X12 + yi2, hay |u | =7 X i2+y i2.
(ii) Nếu uvàV khác 0 thì
65.
66.

... / .-t .tx u V i 2 y 1 y 2
, =
. u VỊ VVỊ ■. ~ /
2y2

67.
■ Vỏ Vóó 7Xi + yi . 7x2 +y2
x x

+

cos( u V)

u

/

2 y2•

V

68. Đổi hệ tọa độ trực chuẩn
69. Vì hệ tọa độ trực chuẩn cũng là mục tiêu affine nên ta có cơng thức đổi tọa độ từ hệ
tọa độ trực chuẩn (O;i, j) sang hệ tọa độ (O';i', j') như sau
70.

x=ai x'+a2y'+a0 ,

71. y=bi x'+b2y'+b0
{

72. trong đó i' = (ai, bi), ~j' = (d2, b2) và OO ' = (ao, bo) đối với hệ tọa độ (O;i, j).
73. Do các hệ tọa độ là trực chuẩn nên i'2 = j'2 =i và i'. j'=0.
74.

Hay

ai2 + bi2 = i, a2 + b2 = i, aa + bib2 = 0.

75.

Do vậy, ta có thể tìm được các góc a, p sao cho ai = cosa, bi

= sina và a2 = cosp, b2 = sinp. Suy ra cos(p - a) = 0 (aa + b]Ò2 = 0)
76.
77.

r

<s> p = a + n + 2kn hoặc p = a + 3n + 2kn.

n __

I cosa
— sina => detA =
sina cosa

i.

79.
78.
80.• Nếu p = a + 2 + 2kn thì
81. Do đó, công thức đổi tọa độ
82.

X = X cosa—y sina + a 0
y = X sin a+cosa+ b0

(i.5)

83.
r
3n
84. • Nếu thì p = a + 2 + 2kn
85.
86.
87.
88. Do đó, cơng thức đổi tọa độ

cosa sina

A = ( ) => detA = -1.
sina -cosa

14


89.

x=x'cosa+y' sina+a0

{

'
90.

(1.6) y=x sina-cosa+b
91.
y=x sina-cosa+b0
92. Chú ý. Phép đổi tọa độ (1.5) bảo toàn hướng hệ tọa độ ban đầu, cịn phép đổi tọa độ
0.

(1.6) sẽ làm đảo hướng.
93. Ví dụ 1.2.4. Trong mặt phẳng, cho hai hệ tọa độ trực chuẩn (O; i , "j ) và (O';i', j'). Biết

72i 72 ■j.

94.
95.

j

96.

= 2 - 2 j,
ĩ' = 1 i +
1

2j

7

,

ÕO'=i—2 j.

a) Hãy viết công thức đổi tọa độ từ hệ tọa độ (O; i ,j6 sang (O'; i', j').
b) Hãy viết công thức đổi tọa độ từ hệ tọa độ (O'; i', j') sang (O; i,j6.
97.

Giải.

98. a) Theo giả thiết, ta có
o'V1 .

99.

_ /72 72X và ĩ' \ / i

i — í72

72X
101.

100.
Do đó, cơng thức đổi mục tiêu cần tìm là

o

■)6

= (1, -2),

i V6

=

(o,i j)6

) và

j

^(oyj)^

(

2’ 2)-

102. x_ 72 x' 72 y' 1
103. x22
= x + y +1
104. y_ —72 x\ 72 y 2
y=

106.

x + y —2.

105. 22
b) Từ công thức đổi mục tiêu ở câu (a), ta giải x ' , y' theo x, y và thu được cơng

thức đổi mục tiêu cần tìm là
107.

- 7.2.. Ji

3 72
108. x =^— xyz — '
109.
22 2

1 „, 72 „, 72
y=_x+_y+_.
222
1.2.3 Phép quay hệ tọa độ quanh gốc tọa độ
Đổi hệ tọa độ trực chuẩn (O; i , .) sang hệ tọa độ mới (O; i ', .') gọi là phép quay hệ tọa độ
một góc a, ở đó a= 6), p=U)
.

n

n

3n

với p = a + 2 + 2kn hay p = a + 2 + 2kn.
15


110.
Áp dụng các công thức (1.5)
và (1.6) với a0 = b0 = 0 ta thu được công
thức của
111.

x=x '.

y=-y
'

phép quay.
112.

r

n _„

„„_

3 n __

113.

• Nếu p = a + 2 + 2kn thì p = a + 2 + 2kn.

114.

Do đó, công thức phép quay
115.

x = x cosa — y sina
y = x sin a+cosa.

• Nếu p = a + ~2 + 2kn thì => detA = -1.
)
117. cosa

116.

T

i

(b)
(a)
O

□ la
O

sina sina — cosa

118.
119.
120.
121.
122.
123.
124.
125. Vậy công thức đổi hệ tọa độ cần tìm là

1.3 Hệ tọa độ trực chuẩn trong khơng gian
126. • • • • “ “ “
1.3.1
Định nghĩa
127.

Định nghĩa 1.3.1. Nếu mục tiêu affine (O;'i, J ,kicó cơ sở vectơ (i, k,J6 gồm những

vectơ đơn vị và đôi một trực giao với nhau, tức là i2=k '=k2= 1 và i. k = i .k = kk .kj = 0 thì được
gọi là một mục tiêu trực chuẩn hay hệ tọa độ trực chuẩn (cịn gọi là hệ tọa độ Descartes
vng góc).
1.3.2
128.

Biểu thức tọa độ của tích vơ hướng. Đổi hệ tọa độ trực chuẩn

Mệnh đề 1.3.2. Trong không gian Oxyz, cho uk= (x1, y1, z1) và vk = (x2, y2, z2). Khi đó,

ta có
129.

u. v= 6 X1X2 +

130.

Chứng minh.

131.

Ta có

cosa sina
sina — cosa

y1y2 + Z1Z2.

16


J

133.
134.

k

132. u. v=6 (X1.i+ y1.J+ Z1. ).( X2.i + y2.J + Z2. )
= x1x2 + y1y2 + Z1Z2.

Từ mệnh đề 1.3.2, ta có thể thu được một số cơng thức sau

135. Mệnh đề 1.3.3. Trong không gian Oxyz, cho u = (X1, y1, Z1) và v = (x2, y2, Z2). Khi đó,
ta có
136.

(i) u 2=x 2+ y 2+ z2 hay |u| = V x2+y2+z 2

137.

(ii) Nếu u 0 và v0thì
cos(u,v) =

140.

138.
139.

uv

x

1

.x

2

+y

1

.y

2

+z

1

.z

2

Đổi hệ tọa độ trực chuẩn

Trong không gian cho hai hệ tọa độ trực chuẩn (O; i,k ,k 6 và (O; ij' ,k') và điểm M. Gọi

(x, y, Z) và (x',y',z'6 lần lược là tọa độ của điểm M đối với hai hệ tọa độ ( O; i,J ,k 6 và (O; i ',
j' ,k ') tương ứng. Sau đây ta sẽ tìm mối liên hệ giữa hai hệ tọa độ trên của điểm M.

141.

Giả sử đối với hệ tọa độ (O;i , j, k 6, ta có O'(ao, bo,co), i '=(a1, b1, c1),

142. j'=(a2, b2, c2) và k'=(a3,b3, c3).

||

y12+2 2zx1 1.+

x+
y+
z

222 2
2
2

17


143.

Vì (O ;i, "i ,k 6 và (O;i', j' ,k') cũng là mục tiêu affine nên ta có cơng thức đổi mục tiêu

là

144.
145.

'''

x=a1x'+a2 x'+a3 x'+a0 y=b1x'+b2 x'+b3 x'+b0 z=c1x'+c2x'+c3 x'+c0.

Ma trận của phép đổi hệ tọa độ trên là
146.
147.148.149.
1
2
3
150.151.
152.
153.
1
2
3
A 154.
155.156.157.

158.
159.

a

a

a

b

b

b

Và ta có ma trận chuyển vị của A là
160.
161.162.163.
164. 165.166.167.
2
2
2
AT 168.
169.171.172.
173. J
J
J
a

b

c

174.
175. Do (O ;i,k ,k 6 và (O;i j' ,k ') là các hệ tọa độ trực chuẩn nên các điều kiện
222 a1+b1+
c1=
1

222 a2+b2+
c2=
1
222 a3+b3+
c3= 1

hay

=0

a1 a3+b1
và b3+c1 c3=0 a2 a3+b2
b3+c2 c3=0.
a

1

a

+b

b

+c

2 12 1

c

2

176.177.
i 2= j2= k 2= 1 và i . j = i . k = k . j = 0
178.
179.
Theo các điều kiện trên, ta có

192.
193.

Suy ra

180. 181.
182.183.
184. A
186.187.
188. 189.
190.191.
185.

18


194.

Chương 2. NHẬN BIẾT ĐƯỜNG BẬC HAI NHỜ CÁC DẤU HIỆU BẤT
BIẾN

195.

2.1 Đường bậc hai trong mặt phẳng với hệ tọa độ trực chuẩn
196.
” • ”
•
1 9 • •
•
•
197.
Giả sử đối với hệ tọa độ trực chuẩn Oxy, đường bậc hai (C) có phương trình
198.

199.

a11x2 + 2a12xy + a22y2 + 2a1x + 2a2y + a0 = 0.

Khi đó, các vấn đề về giao điểm bậc hai và đường thẳng, tâm, tiếp tuyến, phương tiệm

cận, đường tiệm cận và đường kính của đường bậc hai liên hợp với một phương ( khác với
phương tiệm cận) được xét hoàn toàn tương tự như đối với đường bậc hai trong mặt phẳng
với trục affine. Trong mục này, chỉ xét vấn đề tìm một hệ tọa độ trực chuẩn mới sao cho đối
với hệ tọa độ trực chuẩn đó phương trình của (C) đơn giản hơn (dạng chính tắc).
200.

Đổi hệ tọa độ từ Oxy thành Ox'y' với công thức
201.

x=x' cosu-y'sinu y=x'sinu+ y'cosu.

202.

Ta thu được phương trình của (C) đối với hệ tọa độ Ox'y' như sau:
a'11x'2 + 2a'12x'y'+ a'22y'2 + 2a'1x'
(2.1)

203.
+ 2a'2y' + a'0 = 0,
204.

trong đó
a'11 = a11 cos2 u + 2a12 cos
(2.2)

205.
u sin u + a22 sin2 u
206.
aiisinucosu + ai2COS2u - ai2sin2u + a22 sinucosu = 0

a
12
( 2.3)

207.
2a12 sin u cos u + a22 cos2 u

a'22 = a11 sin2 u +
( 2.4)

-

208.

a'1 = a1cosu +
( 2.5)

209.

a'2 = - a1sin u +
( 2.6)

210.

a'0
( 2.7)

a2sinu
a2cosu

211.

=

=

a0.

Phương trình ( 2.1) khơng chứa số hạng chữ nhật x'y' khi và chỉ khi a''12 = 0, tức là
a 12 = - ail sinucosu + ai2COS2u - ai2sin2u + a22sinucosu
212.
2a

12

Suy ra tan2u =-——,

a11-a22

= 2(a22 - ail) sin2u + ai2cos2u = 0.
213. Ấ
-.A n
214. nếu ail = a22 thì ta chọn u =4, do đó ta ln chọn được góc
215.

u thỏa mãn đẳng thức trên.
19


216.
Biết tan2u ta có thể tìm được sinu, cosu; sau đó thay vào (2.2) - (2.7) ta tìm
đượccác hệ số của phương trình (2.1). Khi đó, phương trình (2.1) có a'12 = 0, hay ta có thể viết
217. a'12 = - ( a11cos u + a12sinu) sinu + (a12cos u + a22sin u) cosu = 0.
218.
a11cosu+a12 sinu a12cosu+a22sinu
Suy ra ------ --------------------------- = ;—22
220. cosu sinu

219.
221.

Đặt

222.

S a 11cos u+a 12 sinu
223.

224.
225.
226.
227.

cosu

a 12 cosu + a22 sinu
sinu

(2.8)

Ta thu được

(a11-s)cosu+ a12sinu=0
a12cosu +(a22-s) sinu=0.
Ta có thể xem hệ trên là một hệ hai phương trình với hai ẩn sinu và cosu. Vì

sinu và cosu khơng thể đồng thời bằng 0 nên hệ có nghiệm khi và chỉ khi
a

11-s
12

a

a

12

a22-s =0

228.
229.
230.

hay s2-(a11+a22)s+a11 a12-a212=0.

(2.9)

231.

Phương trình (2.9) được gọi là phương trình đặc trưng của đường bậc hai (C).

232.

Đây là một phương trình bậc hai với ẩn s. Phương trình này ln có nghiệm vì

233.

A = ( a 11-a 22)+4 a 12 > 0.

234.

Ta xét hai trường hợp

(1) A > 0: (2.9) có hai nghiệm thực phân biệt s1 và s2. Thay các giá trị này vào (2.8), ta
235.

suy ra

20


s1- a11

236.
237.

tan U1 =—-—12
a

a

s -a

2 11

12

tan U2 = \ 12

S1- a 22

a

s

a

2

12

—a

22

Hai phương xác định bởi u1 và u2 trong biểu thức trên được gọi là hai phương

chính của đường bậc hai (C). Ta sẽ chứng minh hai phương chính vng góc với nhau. Ta
có
238.s1 s2-a11(s1+s2)+a112
239.----------------------tan U1tan U2 =
2
240.
12

•

a

241.

Theo định lý Viét thì

244.

242.
243. S1 + S2 = Ỡ11+ ữ22 và S1S2 = ana22 - a 12.
Thay vào đẳng thức trên, ta được
tan u1tan u2 =

a 11 a 22-a \-a 11 (a n

245.

+a 22 j+a
a

246.
247.

2

2

= 0-1.

11

12

Như vậy, hai phương chính là hai phương của hai trục mới Ox và Ox'.

■ Nếu chọn U1 = (i, i'), tức là góc giữa hai vectơ đơn vị thuộc hai trục Ox và ox, thì

248.

a'11= s1. Hơn nữa, ta có
249.

250.

a'ii + a'22 = ail + a22 = Si + S2 (định lý Viét).

Vì a'11 = s1 nên a'22 = s2. Trong trường hợp này phương trình của (C) ứng với hệ

Ox'y' là
f' (x', y') = s1x'2 + s2y'2 + 2a'1x' +

251.
2a'2y' +a0 = 0.
252.

(2.10)

■ Nếu chọn U2 = (Ị,Ị'), thì chứng minh tương tự ta được a'ii= S2, ar22= Si.

(2) A = 0: tức là (aii - a22)2 + 4a2i2 = 0. Ta suy ra aii = a22, ai2 = 0. Lúc này
253.

(C) là đường trịn nên bất kỳ phương nào đều là phương chính của nó.

254.

Vì s2, s2 khơng đồng thời bằng 0 (nếu s1 = s2 = 0 thì (C) khơng phải là đường bậc

hai) nên có thể xảy ra hai trường hợp

• s1 = 0 hoặc s2 = 0.
• S1± 0 và S2 ± 0.
255.

Sau đây ta sẽ xét từng trường hợp.

256.

Trường hợp 1. s1 = 0 hoặc s2 = 0.

257.

Giả sử s2 = 0. Phương trình (2.10) trở thành
258.

six'2 + 2a'ix' +

2a'2y' + a'0 = 0.

(2.11)
21


259.

Phương trình chỉ cịn một số hạng hoặc khơng cịn số hạng nào chứa y'

tùy theo a'2 = 0 hoặc a'2 0.
(a) a'2 0. Phương trình (2.11) có thể viết dưới dạng
260.
261.

y' = lx'2 + mx' +n.

Lúc này, đường (C) là một parabol.

(b) a'2 = 0. Phương trình (2.11) trở thành
262.
263.

six'2 + 2a'ix' + a'0 = 0.

Phương trình này là một phương trình bậc hai nên có thể có hai nghiệm thực

phân biệt, một nghiệm kép hoặc hai nghiệm ảo liên hợp, Do đó, đường (C) có thể là một
cặp đường thẳng thực song song, một cặp đường thẳng trùng nhau hoặc một cặp đường
thẳng ảo song song.
264.

Trường hợp 2. S1± 0, S2 ± 0.

265.

Trước hết ta tìm phương trình của đường (C) đối với hệ O'x''y'', ảnh của hệ tọa

độ Ox'y' qua phép tịnh tiến theo vectơ OO', biết tọa độ của O' đối với hệ Ox'y' là O'(a,b).
266.

Ta có cơng thức của phép tịnh tiến trên là
267.

'
x

=x''+a

y'=y''+b.

268.

Thay x' và y' vào phương trình (2.10), ta thu được phương trình của (C) đối với

hệ tọa độ O'x''y'' như Sau
f''(x'', y'') = a''11x''2 + a''22y''2

269.
+ 2a''1x''+ 2a''2y'' + a''0= 0,
270.

(2.12)

trong đó
271.

a''11 = s1,

272.

a''22 = s2, a''1 = s1a + a'1, a''2 = s2b + a'2, a''0 = s1a2+ s2b2 + 2a'1a

+2a'2b+ a'0 = f' (a, b).
273.

Muốn cho (2.12) khơng có các Số hạng bậc nhất ta cần chọn điểm O'(a, b) Sao cho
s1a + a'1 = 0 và s2b + a'2 = 0

274.

hay
275.
276.

277.

Đó có thể là phương trình chính tắc của một ellipSe, ellipSe ảo hay hyperbol.

■ Nếu a"o = 0, thì (2.13) trở thành S1 X" + S2y”2 = 0.
2

22


278.

Tùy theo S1 hay S2 cùng dấu hay khác dấu mà ta có thể đưa phương trình trên về

dạng (mx'' + ny")(mx" - ny'') = 0 hay (mx'' + iny")(mx" -iny'') = 0.
279.

Đó là phương trình của một cặp đường thẳng thực hay ảo cắt nhau.

280. Như vậy, đường (C) xác định bởi một phương trình bậc hai với hai biến thuộc một
281. trong chín dạng sau đây
283.
282. 1) Ellipse
284. (+ 22b = 1)- ab
285. 22
286.

2) Ellipse ảo
290.

289.

b287.
= -1)(4ab+
22
(288.
a - b = 1)- ab

3) Hyperbol

292. 22
293. (+ b =
0).

291. 4) Cặp đường thẳng ảo cắt nhau
294.
297. ab
(- b =
0)296. 5) Cặp đường thẳng thực cắt nhau
298. ab
299. 6) Parabol
300. (x2+2 pb=0).
302. ( x2301. 7) Cặp đường thẳng thực song song
a2= 0). 2
304. (x +
303. 8) Cặp đưởng thẳng ảo song song
a2=0). 2
306. (x =
305. 9) Cặp đường thẳng thực trùng nhau
307.
0).
308. Vậy, có thể chọn được hệ tọa độ trực chuẩn thích hợp sao cho ta có thể đưa phương
trình của đường bậc hai về một trong chín dạng trên, gọi là các phương trình chính tắc của
đường bậc hai trong hệ tọa độ trực chuẩn. Hơn nữa, có thể chứng minh rằng: mỗi đường bậc
hai (C) có một và chỉ một dạng phương trình chính tắc, khơng có phép biến đổi tọa độ tuyến
tính nào mà biến một đường thuộc dạng này thành đường thuộc dạng khác.
309.

Theo cách trình bày trên, ta có thể xác định được vị trí và hình dạng của các đường bậc

hai trong mặt phẳng Oxy.
2.2 Các bất biến của đa thức bậc hai
310. Ở phần trước, ta đã thực hiện các phép biến đổi hệ tọa độ khác nhau để đưa phương
trình của một đường bậc hai (C) về dạng chính tắc. Ứng với những hệ trục tọa độ khác nhau

thì phương trình của đường bậc hai cũng khác nhau. Tuy nhiên, trong các phương trình khác
nhau của cùng một đường ứng với các hệ tọa độ khác nhau có những yếu tố bất biến, tức là
những yếu tố không thay đổi. Chẳng hạn, xét đường bậc hai (C) có phương trình tổng qt
311.

a11x2 + 2a12xy + a22y2 + 2a1x + 2a2y + a0 = 0
23


312.

ứng với hệ tọa độ trực chuẩn Oxy. Phương trình của (C) ứng với hệ tọa độ trực

chuẩn Ox'y', ảnh của Oxy qua phép quay tâm O, góc u, là phương trình a'11x'2 + 2a'12x'y' +
a'22y'2 + 2a' 1x' + 2a' 2y' + a'0 = 0.
313.Dễ dàng kiểm tra được a'0 = a'0 , a'11 + a'22 = a'11 + a'22 .
314.Ta nói rằng a0 và a11 + a22 là các bất biến của đa thức
315.

f(x, y) = a11x2 + 2a12xy + a22y2 + 2a1x + 2a2y + a0

316.ứng với phép quay hệ trục tọa độ.
317.

Định nghĩa 2.2.1. * Dạng toàn phương n biến là một đa thức chứa và chỉ chứa

các số hạng bậc hai của n biến ấy.
318.

* Xét dạng toàn phương xixj. Lập ma trận các hệ số của dạng

toàn phương ấy
319.như sau
320.

a

11 a 12 ... a 1 n

321.

a

322.

a

21 a22

a

n1 an2 .

a

2n

nn

323.Định thức ứng với ma trận ấy

324.

a

11

a

12

.

a

1n

325.

a

21

a

22

.

a

2n

a

n1

a

.

a

nn

326.
327.

n2

n1

n2

nn

328.

được gọi là biệt số của dạng toàn phương xi xj.

329.

3) Dạng tuyến tính n biến là một đa thức chứa và chỉ chứa các số hạng bậc nhất

của n biến ấy.
330.Ví dụ 2.2.2. (1) Dạng tồn phương hai biến x, y có dạng
331. anx2 + 2ai2xy + a22y2.
332.Dạng tồn phương n biến x1, x2,... xn có dạng
333.
334.
335.
336.

n

s a xx
tj t

j

(qui ước aij = a).

i , j= 1

(2) Biệt số của dạng toàn phương
337.

a11x2 + 2a12xy + a22y2

338.là
24

339.
340.

a

11 a12 .

a

21 a22

25