TÍNH nửa LIÊN tục của ÁNH xạ NGHIỆM của bài TOÁN cân BẰNG NGẪU NHIÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ DẦU MỘT
KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Tên đề tài: PHÂN TÍCH ỔN ĐỊNH NGHIỆM CHO
BÀI TỐN CÂN BẰNG NGẪU NHIÊN VÀ
ÁP DỤNG VÀO BÀI TOÁN TỐI ƯU NGẪU NHIÊN
Mã số: 233/HĐ-NCKHPTCN

Tên báo cáo chuyên đề: TÍNH NỬA LIÊN TỤC
CỦA ÁNH XẠ NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN
CÂN BẰNG NGẪU NHIÊN

Chủ nhiệm đề tài: TS. Nguyễn Xuân Hải
Người chủ trì thực hiện chuyên đề: TS. Nguyễn Xuân Hải, Khoa Khoa
học tự nhiên

Bình Dương, Tháng 9 Năm 2015


Mục lục
Trang
Đặt vấn đề
Nội dung nghiên cứu và kết quả đạt được
Kết luận
Tài liệu tham khảo

1
1
5
6

1. Đặt vấn đề
Gọi Xcũ n, s và p(Q) là tập tất cả các độ đo xác suất Borel trên Q . Gọi K:XX

p(Q)" Xlà một ánh xạ đa trị và f :Q X X X Xu{ ± O)} sao cho, với mỗi x, y e X, f (., x,
y) là hàm đo được. Chúng tơi xét bài tốn cân bằng ngẫu nhiên phụ thuộc tham số độ đo
xác suất dưới đây:
(SEP) Tìm x G X sao cho x e K(x, /Ả) và E f (a, x, Ả) < 0, Vy e K(x, /Ả) ,
ở đây EẢ f (a, x, y) =

1 f (a, x, y ')ụ(dữ) là giá trị kì vọng của f (., x, y) theo độ

đo O

ả.
Với bài toán (SEP), định nghĩa
S(Ả)={X G X:x E K(X,Ả),

J f (a,x,y)Ả(da) < 0, Vy 6 K( , )}. (1)
E

XẢ

Khi đó S xác định một ánh xạ đa trị từ p(Q) vào X và được gọi là ánh xạ nghiệm
của bài toán (SEP).
Nội dung của chuyên đề này là nghiên cứu tính nửa liên tục của ánh xạ nghiệm
S(ả) theo tham số độ đo xác suất ả.
2. Nội dung nghiên cứu và kết quả đạt được
Ta sử dụng các kết quả sau trong chuyên đề 1.
Bổ đề 2.1 Với mỗi CŨEQ. và y GX, nếu f(ạ,.,y) là Isc thì T(Ả,y) là tập đóng trong X với

mọi Ả

e

p(Q).

Từ bây giờ trở đi, với bài tốn (SEP) ta ln giả thiết thêm X là tập con compact
của □ n, ánh xạ đa trị K có các ảnh đóng, và f (ạ,.,y) là lsc với mọi (ạ,y) eQxX. Bổ đề
2.2 Với không gian

(ỷ/Q), p), nếu ánh xạ K: X X@(Q)" X là liên tục theo biến thứ

nhất thì nó là ánh xạ đóng và nửa liên tục dưới.
Bổ đề 2.3 Với khơng gian o(fì),ơ„), nếu ánh xạ K: XX@(Q)" X là liên tục theo biến
thứ nhất thì nó là ánh xạ đóng và nửa liên tục dưới.
Bổ đề 2.4 Với không gian o(Q),^), ánh xạ K: @(Q) " X được xác định bởi (2) là đóng,
và do K có các ảnh đóng nên K là nửa liên tục trên.


Đầu tiên ta có kết quả sau về tính chất tôpô của tập nghiệm.


Mệnh đề 2.1 Cho ụep(Q), giả sử tập là E := {x t X: x t K(x,ụ)} đóng và K(.,ụ) là Isc
và với mỗi meQ, f(&,.,.~) là Isc. Khi đó tập nghiệm S(ụ) được xác định bởi (1) là
đóng.
Chứng minh. Giả sử {xn }^J c S(ụ) là một dãy bất kì sao cho xn — x. Ta chứng tỏ x

e

S(ụ). Bởi cơng thức (1), với mọi n,x tE. Vì E đóng, ta có x tE, nghĩa là x G K(x,ụ) •

ụ

Bây giờ lấy bất kì y

e K(x,ụ) • Vì K(., ụ) là lsc, tồn tại dãy {yn }” 1 với y G K(x,ụ) sao
=

cho yw — y • Từ tính nửa liên tục dưới của f (m,.,.) và bổ đề Fatou ta có:
(dm) < 0.
Vậy x

G S(ụ). LI

Từ đây trở đi, với bài tốn (SEP) ta ln giả sử tất cả các điều kiện trong định
nghĩa của bài toán ở Mục 1, các điều kiện nói đến trong Mục 2; giả thiết thêm X là tập
con compact của □ n, ánh xạ đa trị K có các ảnh đóng, và f (m,.,y) là lsc với mọi (m,y)

tQxX và các giả thiết trong Bổ đề 2.2-2.3 luôn được thỏa mãn. Ta giả thiết thêm rằng,
với mỗi m tQ, f (m,.,.) là liên tục.
Định lí 2.1 Với ánh xạ K: X

X (p(Q),p) " X, ánh xạ nghiệm S được xác định bởi công

thức (1), từ(p(Q),p) vào X là nửa liên tục trên.
Chứng minh. Giả sử tồn tại ụ01 p(Q) sao cho S khơng usc tại ụo. Khi đó tồn tại lân cận
mở U của S(ụ) trong X và tồn tại các dãy \ụn,{xnthỏa: ụn—ụ và với mọi n, xn tS( ụn)
nhưng x Ể U. Ta có

x

0

Ểr(ụo, yo )=<

m,x,yo)ụo(dm)<0 >.
với


h

( ( n ụ) ( n ụo)) <
K

x ,

,K

x ,

su

PxtX h

( ( ụ ) ( ụo ))< p(ụ ụ ) — °.
K

x,

,K

x,

Suy ra, với mọi n, tồn tại x*n tK(xn,ụ°) sao cho ||x„ -x'nII

—— 0. Vì Xlà compact, do

đó ta có thể giả sử x'n — x°. Khi đó xn — x0. Do Bổ đề 2.2, ánh xạ K là đóng. Hơn nữa,
với mọi n,xn t K(x/;, ụ) . Suy ra x01K(x0, ụ) . Bây giờ giả sử tồn tại


yn eK(xn,Pn) cho mọi n, và yn y0. Hơn nữa, r(p,.) là liên tục
(do f (a,x,.) liên tục). Vì vậy ta có :

(r( Pn yn) rp yo))
r
r
r
r
< ( (p yn) (p yn))+ ( (p yn) (p yo))
rp
r
< ( ( y) r(n y))+n (r(n y„n (n yo)))
h

h

,

,

,

,

h

sup

h

,

,

,

y eX

(r(p y„) r(Po yo )H .
Nhưng khi h(r(P ,y ),r(p, yo))^0 ta có

,

n

xn eh(r(

,

0

n

Pn,yn ) cB(r(p,y0),s) với n đủ lớn.

Điều này mâu thuẫn với xn xo . Vậy x0

<=r(p0,y) với mọi yeK( x0,P) . Do đó x eS(P) c

U. Điều này mâu thuẫn với .\y x0 và giả thuyết .\y Ể U với mọi n. Vậy S là usc. LI
Định lí 2.2 Với ánh xạ K: XX(p(Q),ơ/;)" X, giả sử với mọia.aeQ và với mọix,y e X, f
(a,.,.)là nửa liên tục dưới, và
|f(a,x,y)-f(a,x,y)|<||a-a||max{1,||a|p 1,|ar }.

(3)

Khi đó ánh xạ nghiệm S được xác định bởi công thức (1), từ(Q),ơp) vào X, là nửa liên
tục trên.
Chứng minh. Giả sử S không usc tại P e (Q). Thế thì tồn tại một lân cận mở U của
S(p0) và các dãy {P„ }”=1 ,{xn }“=1 thỏa mãn: Pn ^P và với mọi n,xn eS(Pn ) nhưng xn

éU. Lý luận tương tự như phần đầu trong chứng minh định lí 3.1 ta có thể giả sử xw x e
K (x, P). Bây giờ ta chứng minh

VyeK(xo,Po),

J a ,y P
f(

x

0

)

(da)

o

<0 .

(4)

Q

Thật vậy, vì K là lsc (Bổ đề 2.3) với bất kỳ y eK (x0, P), tồn tại dãy {yw }”=1 với yn

eK(xn, Pn ) với mọi n, và yn y . Do (3), với mọi x,y e X,f(.,x,y) e M p (Q). Điều này cùng
với tính nửa liên tục dưới của f (a,.,.) và bổ đề Fatou ta có


J f (a, x , y) P (da) < liminf J f (a, x , y
o

Q

o

n

Q

n

)Po (d a)


Vậy (4) đúng. Do đó x0 eS( A0) và như vậy x0 eU, mâu thuẫn với xn
x0 và xn £ U
(
= lim
infn. □ f a, Xn,yn — An +Ao) ) +
với
mọi
a n, yn )A„ ( )
Q
(
Trong trường hợp K: X X (p (Q),^)" X được xác định bởi (2) ta có kết quả sau.
Định lí 2.3 Nếu ánh xạ đa trị T: X X (p(Q),^) " X được xác định bởi

J

< lim inf
n^w

)(

J

f

(

a n, yn An
x

QQ

J

( da

x

da

J J fy(aA,x,y( ))A(da) < 0}

(
)+
a
T(A)={X e X:x e K(A),
)(

f

da

f

x

,

n

n

)

n

da

Q

là đóng, thi ánh xạ nghiệm S được xác định bởi công thức (1), từ(pp(Q),

J

liminf
sup
là
liên tục
trên. g( )( An - A0
n^w
g e M p ( Q)

a

)( da

)

+

J

f(

) vào X,

a n, yn ÌAn ( )
x

da

QQ
Chứng minh. Từ các
điều kiện của Định lí 3.3 ta thấy các điều kiện trong Mệnh đề 3.1
< limmãn. Do đó, theo Mệnh đề 3.1, ánh xạ nghiệm S có các ảnh đóng trong tập
thỏa
(
X An A0 +
a n yn )An ( )
inf
n^w
Q

_ Ta có, với mọi
Q Ae Pp ( ),
compact X.
(

= liminf
n^w

,

)

J

J f(a, xn , yn ÌAn

f

x ,

()
da

S(A)=K(A) !-x e X: Vy e K(A),
n

da

J f (a,x,y)ụ(do) < 0}=K( ) n T( ). (5)
A

A

Q

Vì K là ánh xạ đóng (do Bổ đề 2.4) và T là đóng nên từ (5) suy ra S cũng là ánh xạ
đóng. Hơn nữa S có các ảnh compact nên suy ra nó là usc. LI
Nhận xét 2.1 Dùng bổ đề Fatou ta dễ dàng chứng minh được ánh xạ T trong Định lí
3.3 là đóng nếu K là liên tục và với mỗi aeQ, f(a,.,.) là nửa liên tục dưới.
3. Kết luận
Các kết quả trong chuyên đề này là nội dung chính của đề tài. Các kết quả này là
mới, và theo hiểu biết của chúng tơi thì chưa có những nghiên cứu trên thế giới về nội
dung này


4.

Tài liệu tham khảo
[1] Cho, G.M., 1995. Stability of the Multiple Objective Linear Stochastic
Programming Problems. Bulletin of the Korean Mathematical Society. 32: 287296.
[2] Henrion, R. and W. Romisch, 1999. Metric Regular and Quantitative Stability
in

Stochastic

Programs

with

Probabilistic

Constraints.

Mathematical

Programming. 84: 55-88.
[3] Nemirovski, A. et al., 2009. Robust Stochastic Approximation Approach to
Stochastic Programming. SIAM Journal on Optimization. 19: 1574-1609.
[4] Rachev, S. T., 1991. Probability Metrics and the Stability of Stochastic Models.
Wiley, Chichester, U.K. 493pp.
[5] Rachev, S. T. and W. Romisch, 2002. Quantitative Stability in Stochastic
Programming: the Method of Probability Metrics. Mathematics of Operation
Reseach. 27: 792-818.
[6] Romisch, W. and R. J-B. Wets, 2007. Stability of £-Approximate Solutions to
Convex Stochastic Programs. SIAM Journal on Optimization. 18(3): 961-979.
[7] Shapiro, A., 2008. Stochastic Programming Approach to Optimization under
Uncertainty. Mathematical Programming. 112(B): 183-220.

Người thực hiện chuyên đề

TS. Nguyễn Xuân Hải