Chuyen de 6 phuong trinh luong giac

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Chuyên đề LTĐH. Thầy toán: 0968 64 65 97. ÔN TẬP LƯỢNG GIÁC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC. Chuyên đề 6. TÓM TẮT GIÁO KHOA A. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC I. Ñôn vò ño goùc vaø cung: 1. Độ:. Goùc 10 = 1 goùc beït 180. 2. Radian: (rad). .. 180 o x. O. y. 1800 = π rad. 3. Bảng đổi độ sang rad và ngược lại của một số góc (cung ) thông dụng: Độ Radia n. 00 0. 300 π 6. 450 π 4. 600 π 3. 900 π 2. 1200 2π 3. 1350 3π 4. 1500 5π 6. 1800 π. II. Góc lượng giác & cung lượng giác: 1. Ñònh nghóa: (tia ngọn) y. y. (điểm ngọn). +. B. α. t. α O. x. (Ox, Oy ) = α + k 2π (k ∈ Z). 3600 2π. O. (tia gốc). +. α M. t. x. A (điểm gốc). AB = α + k 2π. 2. Đường tròn lượng giác: 1.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Chuyên đề LTĐH. Thầy toán: 0968 64 65 97. ¼ = a + k2p Số đo của một số cung lượng giác đặc biệt: AM. M. A. →. B. →. C. →. D. →. A, C. →. B, D. →. y. 2kπ π + 2kπ 2 π + 2kπ - π + 2kπ 2 kπ π + kπ 2. B. C. −. D. y B 1. u'. x'. x. A. O. III. Định nghĩa hàm số lượng giác: 1. Đường tròn lượng giác: • A: ñieåm goác • x'Ox : trục côsin ( trục hoành ) • y'Oy : truïc sin ( truïc tung ) • t'At : truïc tang • u'Bu : truïc cotang. +. −1 C. R =1 O. t u +. 1 A −. −1 D y'. x. t'. 2. Định nghĩa các hàm số lượng giác: a. Định nghĩa: Trên đường tròn lượng giác cho AM= α . Gọi P, Q lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên x'Ox vàø y'Oy T, U lần lượt là giao điểm của tia OM với t'At và u'Bu Ta ñònh nghóa: t y t Trục sin Trục cotang U. B. u'. M. Q t x'. α. O. Trục cosin. P. T α. +. t'. cos α = OP sin α = OQ. x. A. −1 y'. u. −. Trục tang. b. Caùc tính chaát : 2. tanα. = AT. cot α = BU.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Chuyên đề LTĐH •. Thầy toán: 0968 64 65 97. Với mọi α ta có : −1 ≤ sin α ≤ 1 hay sinα ≤ 1 −1 ≤ cosα ≤ 1 hay cosα ≤ 1. π + kπ 2 • cotα xaùc ñinh ∀α ≠ kπ c. Tính tuần hoàn •. tanα xaùc ñinh ∀α ≠. sin(α + k 2π ) cos(α + k 2π ) tan(α + kπ ) cot(α + kπ ). sin α cos α tan α cot α. = = = =. (k ∈ Z ). IV. Giá trị các hàm số lượng giác của các cung (góc ) đặc biệt: Ta nên sử dụng đường tròn lượng giác để ghi nhớ các giá trị đặc biệt y. t 3. - 3. - 3 /3. -1. u'. 2π/3 3π/4 5π/6. x'. π. -1. B. 3 /3. π/2. 1. 3. 1. u. π/3 π/4. 3 /2 2 /2. π/6. 1/2. 1/2. - 3 /2 - 2 /2 -1/2. 2 /2. 3 /2. 3 /3. + x. 1 A (Ñieåm goác). O -1/2 -π/6. - 2 /2. - 3 /3. -π/4. - 3 /2. -1. -1. -π/3. -π/2. y'. t'. 3. - 3. −.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Chuyên đề LTĐH 0. Goùc. 0 0. 30 π 6 1 2. sin α. 0. cos α. 1. tan α. 0. cot α. kxñ. 0. 0. 3 2 3 3 3. 0. 0. 0. 45 π 4 2 2 2 2 1. 60 π 3 3 2 1 2. 90 π 2 1. 120 2π 3 3 2 1 − 2. 3. kxñ. 1. 3 3. 0. 0. − 3 −. 0. 135 3π 4 2 2 2 − 2 -1 -1. 3 3. V. Hàm số lượng giác của các cung (góc) có liên quan đặc biệt: Đó là các cung : 1. Cung đối nhau. : α vaø -α. 2. Cung buø nhau. : α vaø π -α. 3. Cung phuï nhau. : α vaø. 4. Cung hôn keùm. π −α 2. (toång baèng 0). π π : α vaø + α 2 2. 5. Cung hôn keùm π : α vaø π + α 1. Cung đối nhau: cos(−α ) sin(−α ) tan(−α ) cot(−α ). = cos α = − sin α = − tan α = − cot α. 150 5π 6 1 2. 3 2 3 − 3 − 3 −. Thầy toán: 0968 64 65 97 1800 3600 π 2π 0. 0. -1. 1. 0. 0. kxñ. kxñ. π π & − ,…) 6 6 π 5π & (Vd: ,…) 6 6. (Vd:. ( toång baèng π ). ( toång baèng. 0. π ) 2. (Vd:. π π & ,…) 6 3. (Vd:. π 2π & ,…) 6 3. (Vd:. π 7π & ,…) 6 6. 2. Cung buø nhau :. Đối cos. Buø sin. 3. Cung phuï nhau :. cos(π − α ) sin(π − α ) tan(π − α ) cot(π − α ). = − cos α = sin α = − tan α = − cot α. 4. Cung hôn keùm 4. π 2.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Chuyên đề LTĐH. Thầy toán: 0968 64 65 97. π cos( − α ) = sin α 2 π sin( − α ) = cos α 2 π tan( − α ) = cotα 2 π cot( − α ) = tan α 2 5. Cung hôn keùm π : cos(π + α ) sin(π + α ) tan(π + α ) cot(π + α ). Phuï cheùo. = − cos α = − sin α = tanα = cot α. π Hôn keùm 2 sin baèng cos cos bằng trừ sin. π cos( + α ) 2 π sin( + α ) 2 π tan( + α ) 2 π cot( + α ) 2. = − sin α = cos α = −cotα = − tan α. Hôn keùm π tang , cotang. VI. Công thức lượng giác: 1. Các hệ thức cơ bản: cos2α + sin 2 α = 1 sinα tanα = cosα cosα cotα = sinα. 1 cos2α 1 1 + cot 2α = sin 2 α tanα . cotα = 1 1 + tan 2α =. 2. Công thức cộng : cos(α + β ) = cos α .cos β − sin α .sin β cos(α − β ) = cos α .cos β + sin α .sin β sin(α + β ) = sin α .cos β + sin β .cos α sin(α − β ) = sin α .cos β − sin β .cos α tanα +tanβ tan(α +β ) = 1 − tan α .tan β tanα − tanβ tan(α − β ) = 1 + tan α .tan β. 3. Công thức nhân đôi:. 5. cos2 a =. 1 + cos 2a 2. sin 2 a =. 1 - cos 2a 2. 1 sin α cos α = sin 2α 2.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> Chuyên đề LTĐH. 2. Thầy toán: 0968 64 65 97. 2. cos 2α = cos α − sin α = 2 cos2 α − 1 = 1 − 2sin 2 α = cos4 α − sin 4 α sin 2α = 2 sin α .cos α 2 tan α tan 2α = 1 − tan 2 α. 4 Công thức nhân ba: cos 3α = 4 cos 3 α − 3cos α sin 3α = 3sin α − 4sin 3 α. cos 3 α =. cos 3α + 3 cos α 4. sin 3 α =. 3 sin α − sin 3α 4. 5. Công thức hạ bậc: cos2 a =. 1 + cos 2a ; 2. sin 2 a =. 6.Công thức tính sin α ,cos α ,tgα theo t = tan. sin a =. 2t ; 1 + t2. 1 - cos 2a ; 2. α 2. cos a =. 1 - t2 ; 1 + t2. t an a =. 7. Công thức biến đổi tích thành tổng : 1 [ cos(α + β ) + cos(α − β )] 2 1 sin α .sin β = [ cos(α − β ) − cos(α + β )] 2 1 sin α .cos β = [ sin(α + β ) + sin(α − β )] 2 cos α .cos β =. 8. Công thức biến đổi tổng thành tích : 6. t an 2 a =. 2t 1 - t2. 1 - cos 2a 1 + cos 2a.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> Chuyên đề LTĐH. α +β α −β .cos 2 2 α +β α −β cos α − cos β = −2sin .sin 2 2 α +β α −β sin α + sin β = 2sin .cos 2 2 α +β α −β sin α − sin β = 2 cos .sin 2 2 sin(α + β ) tan α + tan β = cos α cos β sin(α − β ) tan α − tan β = cos α cos β. Thầy toán: 0968 64 65 97. cos α + cos β = 2 cos. 9. Các công thức thường dùng khác:. π π cos α + sin α = 2 cos(α − ) = 2 sin(α + ) 4 4 π π cos α − sin α = 2 cos(α + ) = − 2 sin(α − ) 4 4. 3 + cos 4a 4 5 + 3 cos 4a cos6 a + sin 6 a = 8 cos4 a + sin 4 a =. B. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC. Các bước giải một phương trình lượng giác. Bước 1: Tìm điều kiện (nếu có) của ẩn số để hai vế của pt có nghĩa Bước 2: Sử dụng các phép biến đổi tương đương để biến đổi pt đến một pt đã biết cách giải Bước 3: Giải pt và chọn nghiệm phù hợp ( nếu có) Bước 4: Kết luận I. Ñònh lyù cô baûn: ( Quan troïng ) sinu=sinv cosu=cosv.  u = v+k2π ⇔   u = π -v+k2π  u = v+k2π ⇔  ⇔ u = ± v + k2π  u = -v+k2π. tanu=tanv. ⇔. u = v+kπ. cotu=cogv. ⇔. u = v+kπ. π + kπ ) 2 (u;v ≠ kπ ). (u;v ≠. ( u; v là các biểu thức chứa ẩn và k ∈ Z ). II. Các phương trình lượng giác cơ bản: 1. Daïng 1:. sinx = m ; cosx = m ; tanx = m ; cotx = m 7. ( ∀m ∈ R ).

<span class='text_page_counter'>(8)</span> Chuyên đề LTĐH. Thầy toán: 0968 64 65 97. * Gpt : sinx = m (1) • •. Neáu m > 1 thì pt(1) voâ nghieäm Neáu m ≤ 1 thì ta ñaët m = sin α vaø ta coù  x = α +k2π (1) ⇔ sinx=sinα ⇔   x = (π -α )+k2π. * Gpt : cosx = m (2). Neáu m > 1 thì pt(2) voâ nghieäm • Neáu m ≤ 1 thì ta ñaët m = cos β vaø ta coù  x = β +k2π (2) ⇔ cosx=cosβ ⇔   x = − β +k2π * Gpt: tanx = m (3) ( pt luoân coù nghieäm ∀m ∈ R ) •. •. Ñaët m = tan γ thì (3) ⇔ tanx = tanγ ⇔ x = γ +kπ. * Gpt: cotx = m (4) •. ( pt luoân coù nghieäm ∀m ∈ R ). Ñaët m = cot δ thì (4) ⇔ cotx = cotδ ⇔ x = δ +kπ. Các trường hợp đặc biệt: sin x = −1 ⇔ sinx = 0. ⇔. sin x = 1. ⇔. cosx = −1 ⇔ cosx = 0. ⇔. cos x = 1. ⇔. y. π x = − + k 2π 2 x = kπ π x = + k 2π 2 x = π + k 2π π x = + kπ 2 x = k 2π. Bài tập rèn luyện 1) cos10 x + 2 cos 2 4 x + 6 cos 3 x.cos x = cos x + 8cos x.cos 3 3 x 8. B. C. x. A. O. D. ( x = k 2π ). +. −.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> Chuyên đề LTĐH. Thầy toán: 0968 64 65 97. 1) cos 3 x.cos 3 x + s in3x.sin 3 x =. 2 4. (x=±. π + kπ ) 6 2π + k 2π ) (x=± 3. 3 2 + 3 s in2x tan x + sin x x 3 = 4 cos 2 tan x − sin x 2 3 cos 2 x = 3 + s in4x π 2 cos  x + ÷ 4  s in3x + cos 3 x = 3cos x + sin x 1 + 2sin 2 x Daïng 2: a sin 2 x + b sin x + c = 0. (x=. 2) 2 tan x + cot x = 3) 4) 5) 2.. π + kπ ) 8. (x=±. π + kπ ) 12. (x=−. a cos2 x + b cos x + c = 0. π + kπ ) 4. ( a ≠ 0). a tan 2 x + b tan x + c = 0 a cot 2 x + b cot x + c = 0. Caùch giaûi:. Ñaët aån phuï : t = sinx ( t = cosx; t = tanx; t = cotx) Ta được phương trình : at 2 + bt + c = 0 (1) Giaûi phöông trình (1) tìm t, roài suy ra x Chú ý : Phải đặt điều kiện thích hợp cho ẩn phụ (nếu có). Bài tập rèn luyện  s in3x + cos 3 x  + sin x ÷ = cos 2 x + 3 1) 5   1 + 2sin 2 x . (x=±. 2 4 cos5 x sin x − 4sin 5 x cos x = sin 2 4 x. (x=. 3). 4). cos 2 x + 3cot 2 x + s in4x =2 cot 2 x − cos 2 x. ( 2sin x + 3 2 ) cos x − 2 cos. 3. Daïng 3:. 1 + sin 2 x. 2. kπ π kπ ,x = + ) 4 8 2. (x=− x −1. (x=. =1. a cos x + b sin x = c (1). ( a;b ≠ 0) 9. π + k 2π ) 3. π 7π + kπ , x = + kπ ) 12 12. π + k 2π ) 4.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> Chuyên đề LTĐH. Thầy toán: 0968 64 65 97 (Phương trình bậc nhất đối với cosx và sinx). Caùch giaûi:. Chia hai veá cuûa phöông trình cho a 2 + b 2 thì pt a b c (1) ⇔ cos x + sin x = a2 + b2 a2 + b2 a2 + b2. •. •. Ñaët. a a2 + b2. = cosα vaø. b a2 + b 2. = sin α với α ∈ [ 0;2π ) thì :. (2) ⇔ cosx.cosα + sinx.sinα = ⇔ cos(x-α ) =. c. c a2 + b 2 (3). a2 + b 2 Pt (3) coù daïng 1. Giaûi pt (3) tìm x.. Chuù yù :. Pt acosx + bsinx = c coù nghieäm ⇔ a2 + b2 ≥ c2. Bài tập rèn luyện. (. ). 4 2 4 2 2) 3 cos x + 3 sin x = sin x + 4 cos x + cos x + 4sin x. ). 3) 4 sin 6 x + cos 6 x +. 3 3 s in4x = 1 2. 1 3 + = 8sin x sin x cos x 3x x π  5) 2sin cos − 2sin  x + ÷ = 3 ( cos 2 x − cos x ) + 1 2 2 3  4). d. Daïng 4:. π kπ 7π kπ + ;x = + ) 24 6 72 6 2π + k 2π ; x = k 2π ) (x= 3 π kπ π kπ ;x = − + (x= + ) 4 2 12 2 π π kπ ( x = + kπ ; x = − + ) 6 12 2 π 7π + kπ ) ( x = + kπ ; x = 4 12 (x=. 1) 3sin 4 x − 3 cos12 x = 1 + 4sin 3 4 x. (. (2). a sin 2 x + b sin x.cos x + c cos2 x = 0 10. (a;c ≠ 0). (1).

<span class='text_page_counter'>(11)</span> Chuyên đề LTĐH. Thầy toán: 0968 64 65 97 (Phương trình đẳng cấp bậc hai đối với sin và cos). Caùch giaûi 1: 1 − cos 2 x 1 + cos 2 x vaø cos2 x = 2 2 1 và công thức nhân đôi : sin x.cos x = sin 2 x thay vào (1) ta sẽ biến đổi pt (1) về dạng 3 2 2 Aùp dụng công thức hạ bậc : sin x =. Cách giải 2: ( Quy về pt theo tang hoặc cotang ) Chia hai vế của pt (1) cho cos2 x ta được pt: a tan 2 x + b tan x + c = 0 Đây là pt dạng 2 đã biết cách giải.. Chú ý: Trước khi chia phải kiểm tra xem x =. π + kπ coù phaûi laø nghieäm cuûa (1) khoâng? 2. Ví duï : Giaûi phöông trình: 3 sin 2 x + (1 − 3 ) sin x. cos x − cos 2 x + 1 − 3 = 0. Nói thêm: Phương trình dạng đẳng cấp bậc ba: a sin 3 x + b sin 2 x cos x + c sin x cos 2 x + d cos3 x = 0 hoặc các đẳng cấp cao hơn sẽ thực hiện theo cách giải 2.. d. Daïng 5:. Caùch giaûi :. a(cos x + sin x ) + b sin x.cos x + c = 0. (1). π Đặt t = cos x + sin x = 2 cos( x − ) với - 2 ≤ t ≤ 2 4 t2 − 1 2 Do (cos x + sin x ) = 1 + 2sin x.cos x ⇒ sinx.cosx= 2 • Thay vào (1) ta được phương trình : t2 − 1 at + b + c = 0 (2) 2 •. •. Chuù yù :. Giaûi (2) tìm t . Choïn t thoûa ñieàu kieän roài giaûi pt:. π 2 cos( x − ) = t tìm x. 4. a(cos x − sin x ) + b sin x.cos x + c = 0. Ta giải tương tự cho pt có dạng : 11.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> Chuyên đề LTĐH. Thầy toán: 0968 64 65 97. 4. Các phương pháp giải phương trình lượng giác thường sử dụng : a. Phöông phaùp 1: Biến đổi pt đã cho về một trong các dạng pt lượng giác cơ bản đã biết. Ví duï 1: (B-2012) Ví du 2ï: Giaûi phöông trình: 3 =0 2 3 cos 3x = 2 s in2x 1 3= cos x. 4 4 1) sin x + cos x + sin 2 x −. 2) sin 3x 3) t an x -. b. Phöông phaùp 2:. Biến đổi pt đã cho về dạng tích số. Cơ sở của phương pháp là dựa vào các định lý sau đây:  A=0 A.B = 0 ⇔   B=0. hoặc. A.B.C = 0.  A=0 ⇔  B=0  C=0. Ví du 1ï : (A-2012) Ví du 2 : (D-2012) Ví du 3 : Giaûi caùc phöông trình : a. sin 2 x + sin 2 2 x + sin2 3 x = 2 b. 2sin3 x + cos 2 x − cos x = 0. c. Phöông phaùp 3:. Biến đổi pt về dạng có thể đặt ẩn số phụ Moät soá daáu hieäu nhaän bieát : • Phương trình chứa cùng một một hàm số lượng giác ( cùng cung khác lũy thừa) Ví duï : Giaûi caùc phöông trình : a. cos 3x + cos 2 x − cos x − 1 = 0 b. 4 cos 3 x − cos 2 x − 4 cos x + 1 = 0 Phương trình có chứa (cos x ± sin x ) và sinx.cosx 3 1 + sin3 x + cos3 x = sin 2x Ví duï : Giaûi phöông trình : 2 •. BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài 1: Giải các phương trình lượng giác sau 12.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> Chuyên đề LTĐH 1 1 æ 7p ö + = 4 sin ç - x÷ ÷ ÷ ç æ 3p ö è4 ø 1) sin x ÷ sin ç x ÷ ç è 2ø 2) 2 sin x ( 1 + cos 2x ) + sin 2x = 1 + 2 cos x 3) sin 3 x -. 3 cos 3 x = sin x cos2 x -. Thầy toán: 0968 64 65 97. 3 sin 2 x cos x. Bài 2: Giải các phương trình lượng giác sau 2 2 1) ( 1 + sin x ) cos x + ( 1 + cos x ) sin x = 1 + s in2x 2) 2 sin 2 2x + sin 7x - 1 = sin x 2 xö æ x ÷ ç 3) çsin + cos ÷ + 3 cos x = 2 è 2 2ø Bài 3: Giải các phương trình lượng giác sau 2 ( cos6 x + sin 6 x ) - sin x cos x 1) =0 2 - 2 sin x xö æ 1 + t an x t an ÷ 2) cot x + sin x ç ç ÷= 4 è 2ø 3) cos 3x + cos 2x - cos x - 1 = 0 Bài 4: Giải các phương trình lượng giác sau 1) cos2 3x cos 2x - cos2 x = 0 2) 1 + sin x + cos x + s in2x+ cos2x= 0 pö æ pö 3 æ 4 4 3x - ÷ cos ç x- ÷ =0 3) cos x + sin x + sin ç ç ç ÷ ÷ è 4ø è 4ø 2 Bài 5: Giải các phương trình lượng giác sau cos 2x 1 + sin 2 x - s in2x 1) cot x - 1 = 1 + t an x 2 2 2) 5 sin x - 2 = 3 ( 1 - sin x ) t an x 3) ( 2cosx - 1) ( 2 sin x + cos x ) = s in2x - sin x. ------------------------------------Hết----------------------------------. 13.

<span class='text_page_counter'>(14)</span>