Một số vấn đề về không gian sobolev

Lời cảm tạ

Thời gian thắm thoát thoi đưa, chớp mắt mà em đã
hoàn thành bốn năm đại học. Nhớ ngày nào, đầu khóa học,
ba cịn đưa đến trường gặp thầy cô mới, bạn bè mới với
bao bỡ ngỡ lo lắng. Vậy mà cuối cùng em cũng trải qua
bốn năm học. Bốn năm học tập với biết bao khó khăn, vất
vả, có những lúc vấp ngã em tưởng như mình khơng thể
vượt qua. Nhưng mong muốn được làm luận văn khi tốt
nghiệp đã thúc đẩy em phấn đấu nhiều trong học tập. Cuối
cùng với kết quả đạt được trong các năm đầu, em được bộ
môn phân công làm luận văn dưới sự hướng dẫn của thầy
Phạm Gia Khánh. Được làm luận văn là một niềm vui,
niềm vinh dự lớn đối với em. Nhưng bên cạnh đó cũng có
khơng ít nỗi lo và gặp nhiều khó khăn, nào là khan hiếm
tài liệu, thời gian hạn hẹp, mà kiến thức thì mới và tương
đối khó… Nhưng với kiến thức mà em được thầy cô bộ
môn trang bị trong các năm qua cùng với sự hướng dẫn
nhiệt tình của thầy Phạm Gia Khánh cũng như sự động
viên giúp đỡ của gia đình, bạn bè, cuối cùng cuốn luận văn
cũng được hoàn thành. Em xin gửi lời cảm ơn chân thành
nhất đến thầy hướng dẫn, các thầy cơ khác trong bộ mơn,
cùng gia đình và bạn bè.
Cần Thơ, tháng 5 năm
2009

-1-


PHẦN MỞ ĐẦU


1. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Như đã biết, việc nghiên cứu quá trình động trong tự nhiên cũng như trong
xã hội thường dẫn đến việc khảo sát một hay nhiều phương trình đạo hàm riêng
bằng việc định lượng hóa các đặc trưng của đối tượng nghiên cứu bằng các đại
lượng toán học. Nhưng ta cũng dễ nhận thấy rằng các quy luật tự nhiên thường
dẫn đến các hệ thức phi tuyến giữa các tham biến nên cần phải xét phương trình vi
phân phi tuyến. Tuy nhiên, khi đó xuất hiện những khó khăn tốn học thực sự. Bởi
vậy, khi xây dựng mơ hình tốn học chúng ta buộc phải bớt tính chính xác và bỏ
qua những phần thêm phi tuyến bé hoặc chuyển sang tuyến tính hóa trong một lân
cận của nghiệm đã cho bằng cách đưa bài tốn về bài tốn tuyến tính. Vẫn chưa
đủ, để giải bài tốn này ta lại có những sự thay đổi nhất định đối với giả thiết của
bài toán tương ứng nghiệm của nó cũng có những thay đổi nhất định. Khi đó, việc
tìm nghiệm cổ điển của bài tốn mới vẫn cịn rất phức tạp, vì thế, đầu tiên người ta
xây dựng nghiệm suy rộng của nó, sau đó thiết lập độ trơn của chúng và chứng
minh nó là nghiệm cổ điển của bài tốn. Nói như vậy để thấy rằng, khơng gian
nghiệm của bài tốn được giải đã có nhiều thay đổi so với khơng gian nghiệm của
bài tốn thực tế ban đầu. Vì vậy, việc chọn các khơng gian hàm cho nghiệm của
các bài tốn có một vai trị quan trọng để đảm bảo tính đặt đúng của bài tốn. Một
khơng gian phiếm hàm tuyến tính được sử dụng rộng rãi trong lý thuyết phương
trình đạo hàm riêng là khơng gian Sobolev.
Có phần u thích tốn học ứng dụng và được sự hướng dẫn gợi ý của thầy
Phạm Gia Khánh để hồn thành luận văn tốt nghiệp khóa học cũng như bước đầu
làm quen với “Phương trình đạo hàm riêng hiện đại” em đã quyết định chọn đề tài
“Một số vấn đề về khơng gian Sobolev”.
2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
Mục đích nghiên cứu nhằm nắm được các định nghĩa, định lí, tính chất liên
quan đến khơng gian Sobolev. Đặc biệt quan trọng và cũng là mục tiêu chính đó là
xây dựng hệ thống ví dụ minh họa và giải các bài tập có liên quan đến nó. Qua đó,

-2-

giúp củng cố các kiến thức đã được học trong suốt 4 năm đại học như: giải tích 1,
2, khơng gian tơpơ, độ đo và tích phân Lebesgue, giải tích hàm…
3. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
Quá trình làm luận văn đã sử dụng kết hợp nhiều phương pháp nghiên cứu,
nhưng chủ yếu là phương pháp tổng kết kinh nghiệm.
Cụ thể, kết hợp phương pháp tổng hợp, so sánh, phân tích, nhận xét trong
q trình nghiên cứu lí thuyết. Đầu tiên, sau khi tìm được nguồn tài liệu tham khảo
thì tổng hợp các kiến thức trong đó với các kiến thức sẵn có. Sau đó, tiến hành so
sánh, phân tích chúng, chọn ra những kiến thức trọng tâm, đáng ghi nhớ, từ đó đưa
ra những nhận xét riêng. Cuối cùng, tổng hợp, trình bày lại theo ý hiểu một cách rõ
ràng.
Phương pháp tổng hợp, phân tích, so sánh, đánh giá cũng được kết hợp sử
dụng trong giải và sắp xếp các bài tập. Sau khi tổng hợp các bài tập từ các nguồn
tư liệu khác nhau, sẽ tiến hành phân tích, so sánh, chọn lọc các bài tập hay phù hợp
với nội dung lí thuyết sắp xếp chúng theo một trình tự hợp lí. Cuối cùng, tiến hành
phân tích, đánh giá để giải một cách chi tiết, trình bày một cách rõ rang.
4. NỘI DUNG LUẬN VĂN
Nội dung của luận văn gồm 2 chương.
Chương 1. Gồm 4

§, trong đó §1. Khơng gian

Lp ,

§2. Biến đổi Fourier,

§3. Hàm suy rộng, §4. Khơng gian Sobolev. Ở đây, chỉ tập trung giới thiệu một
số định nghĩa, định lí, tính chất và các ví dụ có liên quan mà không quan tâm đến

việc chứng minh các định lí, tính chất đó.
Chương 2. Giải chi tiết và sắp xếp một cách tương đối hợp lí các bài tập có
liên quan đến phần lí thuyết đã giới thiệu ở chương 1.

-3-


PHẦN NỘI DUNG

CHƯƠNG 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
§1. Khơng gian

Lp

1.1 Khơng gian L p
Cho ( Ω, S , µ ) là một khơng gian độ đo, trong đó Ω là một tập con mở của
không gian Euclide n chiều Rn, S là σ -đại số trên tập đo được Lebesgue và µ là
độ đo Lebesgue. Cho 1 ≤ p ≤ ∞ , ta định nghĩa không gian L p như sau
Với 1 ≤ p < ∞ , ta định nghĩa
L p = { f : f là hàm đo được và

∫ f ( x)
Ω

p

dµ ( x ) < ∞ }

và
f

p

p
=  ∫ f ( x ) dµ ( x ) 
 Ω


( 1/ p )

p
=  ∫ f dµ 



( 1/ p )

Với p = ∞ , ta định nghĩa
L∞ = { f : f là hàm đo được và f ( x ) ≤ k hầu khắp nơi , k > 0 }

và
f

Chú ý. Nói

∞

= inf { K > 0 : f ( x ) ≤ K hầu khắp nơi}

f ( x) ≤ k

hầu khắp nơi tương đương với nói rằng

µ ({ x : f ( x ) > K } ) = 0 .

Nếu f , g là hai hàm đo được thỏa f ( x ) = g ( x ) hầu khắp nơi thì f và g
được xem là giống nhau. Do đó, f

p

= 0 khi và chỉ khi f ( x ) = 0 hầu khắp nơi,

với 1 ≤ p ≤ ∞ .
Cho 1 ≤ p ≤ ∞ , chỉ số q thỏa

1 1
+ = 1 được gọi là số mũ liên hợp của p.
p q

Ta thấy, p = 1 thì q = ∞ . Ngược lại, p = ∞ thì q = 1 .

-4-


1.2 Một số định lí và bất đẳng thức
1.2.1 Bổ đề
Cho a, b là hai số thực không âm, p, q là cặp số mũ liên hợp. Khi đó,
ab ≤

a p bq
+
.
p
q

1.2.2 Bất đẳng thức Hoder. Nếu f ∈ L p và g ∈ Lq thì
fg ∈ L1 và fg 1 ≤ f

p

g

q

p
q
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi ∃ A, B ∈ R+ sao cho A f ( x ) = B g ( x ) .

1.2.3 Bất đẳng thức Minkowski. Nếu f , g ∈ L p thì
f +g

p

≤ f

p

+ g

p

, với 1 ≤ p ≤ ∞ .

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi ∃ A, B ∈ R+, A 2 + B 2 ≠ 0 sao cho Af = Bg .
1.2.4 Định lí. L p là khơng gian Banach.
1.2.5 Định lí. L p là khơng gian phản xạ, với 1 < p < ∞ .
1.3 Tích chập
Cho f , g ∈ L1 ( Ω ) , tích chập của f và g được định nghĩa là
f ∗ g ( x ) = ∫ f ( x − y ) g ( y ) dy
Ω

1.4 Giá của hàm
1.4.1 Định nghĩa. Cho f là một hàm liên tục trên Rn. Giá của f , kí hiệu là
supp f , là bao đóng của tập { x : f ( x ) ≠ 0} .
Kí hiệu C c (Rn) là kí hiệu tập tất cả các hàm liên tục với giá compact.
C c (Rn) thường được viết là D (Rn).

1.4.2 Ví dụ
•

Cho f : R → R được xác định
e −1/ x , x > 0
f ( x) = 
0
,x ≤0
2

Khi đó, f ∈ C ∞ .

-5-


•

Cho f : Rn → R được xác định
e ( − a 2 /( a 2 − x )) , x < a
2
f ( x) = 
, với x = x12 + ... + xn2
,x ≥a
0
2

Khi đó, f ( x ) ∈ D (Rn) và supp ( f ) ⊆ B(0, a ) = { x : x ≤ a} .
•

Cho ε > 0 và định nghĩa φε ( x ) = ε − nφ ( x / ε ) , với φ ∈ L1 (Rn), φ 1 = 1 và
φ ( x ) ≥ 0 khi đó φε

∫

Rn

•

1

= 1 . Thật vậy,

φε ( x )dx = ∫ n ε − nφ ( x / ε ) dx = ∫ n φ ( y ) dy = 1 , với y = x / ε .
R
R

−1
Cho ε > 0 và định nghĩa φε ( x ) = Cε − nφ ( x / ε ) , với C = ∫R φ ( x ) dx và φ :
n

Rn → R được cho bởi hàm
e ( −1/(1− x )) , x < 1
φ ( x) = 
, x ≥1
0
2

Khi đó, φε ( x ) ∈ D (Rn) và supp ( φε ) = B(0, )

Đ2. Bin i Fourier
2.1 Kớ hiu
n

ã

x = ( x1 , x2 ,..., xn ) ∈ (Rn), x.ξ = ∑ x j ξ j , với x, ξ ∈ (Rn).

•

dm( x ) =

•

τ y f ( x ) = f ( x − y ) , với y thay đổi trên Rn, f λ ( x ) =

j =1

τy f
•

1

1

( 2π ) n / 2

= f 1;

Đa

fλ

1

chỉ

1

số

1

f ( x / λ) , λ > 0 ,
λn

= f 1.

f , g ∈ L1 (Rn),

Cho

f ∗g 1 ≤ f
•

dx1 dx 2 ...dx n đo được Lebesgue trên Rn.

tích

chập

f ∗ g ( x ) = ∫ n f ( x − y ) g ( y ) dy ,
R

g 1.

α = ( α 1 , α 2 ,..., α n ) , a j ∈ N,

ξ α = ξ1α1 ξ 2α 2 ...ξ nα n với ∂ j =

n

α = ∑aj .

j =1

∂
α
α α
, và D α = ∂ 1 1 ∂ 2 2 ...∂ n n .
∂x j

-6-

Cho

ξ ∈ Rn,


•

Cho f ∈ L1 (Rn), biến đổi Fourier của f được định nghĩa là
fˆ ( ξ ) = ∫ n f ( x ) e − iξx dm( x ) .
R

Với mỗi ξ ∈ Rn, x → e −iξx là một hàm đặc trưng trong Rn.
2.2 Tính chất cơ bản
•

f ∈ L1 (Rn), fˆ

•

f ∈ L1 (Rn), fˆ ∈ C 0 ( Rn).

•

f , g ∈ L1 (Rn), ( f ∗ g ) ^ ( ξ ) = fˆ ( ξ ) gˆ ( ξ ) .

•

(τ f )^ ( ξ ) = e

•

Nếu f ∈ L1 (Rn) và ∂ j f ∈ L1 ( Rn) thì ( ∂ j f ) ^ ( ξ ) = iξ j fˆ ( ξ ) .

∞

− iξy

y

≤ f 1.

(

)

iξ x
fˆ ( ξ ) , e 0 f ( x ) ^ ( ξ ) = τ ξ 0 fˆ ( ξ ) và fˆλ ( ξ ) = fˆ ( λξ ) .

Nếu f ∈ L1 (Rn) và D α f ∈ L1 (Rn), ∀ α ≤ k , thì ( D α f ) ^ ( ξ ) = ( iξ ) α fˆ ( ξ ).
•

1
Nếu f ∈ L1 (Rn) và x j f ( x ) ∈ L (Rn) thì fˆ khả vi đến ξ j và

∂ j fˆ ( ξ ) = ( − ix j f ( x ) ) ^ ( ξ )

Nếu f ∈ L1 (Rn), x α f ∈ L1 (Rn) và D α fˆ tồn tại, thì

(

)

α
D α fˆ ( ξ ) = ( − ix ) f ( x ) ^ ( ξ )

2.3 Ví dụ
•

(Gauss) φ ( x ) = e

•

(Poisson) φ ( x ) = C n /  1 + x

2

− x /2

; φˆ( ξ ) = e − ξ

(


2

)

2

/2

( n +1) / 2

 n

; x =  ∑ x 2j 
 j =i 

 , với C n


1/ 2

.
làm cho

φ 1 = 1 thì

φˆ( ξ ) = e − ξ .
•

•

(Fejer) K ( x ) = C n ∏ j =1
n

sin 2 x j / 2

(x

j

/ 2)

2

(

)

n
; Kˆ ( ξ ) = ∏1 1 − ξ j .

(de la Vallie Pousin) (cho n = 1 ) Vλ ( x ) = 2 K 2λ ( x ) − K λ ( x ) . Khi đó,

-7-


1
, ξ ≤λ


ξ

Vˆλ ( ξ ) = 2 − , λ ≤ ξ ≤ 2λ .
λ

0
, 2λ ≤ ξ


2.4 Định lí đảo của biến đổi Fourier
iξx
Nếu f ∈ L1 (Rn) và fˆ ∈ L1 (Rn) thì f ( x ) = ∫R fˆ ( ξ ) e dm( ξ ) hầu khắp nơi.
n

2.5 Định lí Plancherel
Nếu f ∈ L1 ∩ L2 (Rn) thì fˆ ∈ L2 (Rn), fˆ

= f

2

2

và ánh xạ

F : L1 ∩ L2

(Rn) → L2 (Rn) được cho bởi Ff = fˆ được thác triển thành một đẳng cự L2 (Rn) →
L2 (Rn).

2.6 Không gian Schwartz S
Không gian Schwartz S là không gian của các hàm tiêu chuẩn mà bất biến
đối với các phép toán biến đổi, phép nhân cân bằng, mở rộng, nhân bởi hàm đặc
trưng, tích ánh xạ, phép tính tích phân và phép biến đổi Fourier. Không gian
Schwartz S được mô tả

(

)

α
β
S = { φ ∈ C ∞ (Rn): supn x D φ ( x ) < ∞, ∀α , β }
x∈R

Ở đây α , β là đa chỉ số.
Một vài chú ý
•

Chú ý D ⊂ S nên S trù mật trong L p (Rn), 1 ≤ p ≤ ∞ . Một hàm
φ ( x ) = e −δ x , δ > 0 thuộc S nhưng khơng thuộc D.
2

•

Cho một đa thức P và φ ∈ S , P( x )φ ( x ) ∈ S và P( D )φ ∈ S .

•

φ ∈ S khi và chỉ khi với mọi số nguyên k ≥ 0 và với mọi đa chỉ số β ta

(

có 1 + x
•

) D φ ( x) giới nội.

2 k

β

φ → φˆ là song ánh từ S vào S . Khi đó, ta có các kết quả

(

)

i. D α φˆ( ξ ) = ( − ix ) α φ ( x ) ^ ( ξ ) .
ii. ( D β φ ) ^ ( ξ ) =( iξ ) β φˆ( ξ ) .

-8-


2.7 Hàm suy rộng điều hịa
2.7.1 Định nghĩa.

Khơng gian tơpơ đối ngẫu S ' của không gian

Schwartz S được gọi là khơng gian của những hàm suy rộng điều hịa.

2.7.2 Ví dụ
•

Cho f ∈ L p (Rn), 1 ≤ p ≤ ∞ , định nghĩa T f : S → C được xác định bởi
T f ( φ ) = f , φ = ∫ n f ( x )φ ( x ) dx
R

Khi đó, T f ( φ ) f
ã

p



p'

do ú T f l liờn tc.

Nu à M (Rn) (Không gian của các độ đo giới nội thơng thường, đối
ngẫu của C 0 (Rn)), xét
Tµ ( φ ) = ∫ n φ ( x ) dµ ( x )
R

Khi ú Tà S ' .
ã

Cho f l một hàm đo được trên Rn sao cho với mọi số ngun khơng âm

(

k ta có 1 + x

)

2 −k

f ∈ L p (Rn), với 1 ≤ p ≤ ∞ . Khi đó,
T f ( φ ) = ∫ n f ( x )φ ( x ) dx
R

xác định một hàm trong S ' , do
T f (φ ) ≤

∫

R

(1 + x )

2 −k

n

(

f ( x) 1 + x

)

2 −k

φ ( x ) dx

nên hàm đã cho là hàm điều hũa.
ã

(

2
Nu à l mt o thụng thng trờn Rn sao cho 1 + x

)

−k

µ ∈ M (Rn),

theo cách xác định ở trên Tµ ∈ S ' . Độ đo đã cho được gọi là độ đo điều
hịa.
2.7.3 Định lí. Một hàm tuyến tính L trên S là một hàm điều hòa nếu và chỉ
nếu tồn tại một hằng số C > 0 và số nguyên l, m sao cho

-9-


L( φ ) ≤ C

∑ ρ (φ ), ∀φ ∈ S .

α ,β

α ≤l , β ≤ m

2.7.4 Toán tử trong S ′ . Cho T ∈ S’.
•

Phép tịnh tiến. Nếu h∈ Rn, định nghĩa (τ hT )( φ ) = T (τ − hφ ) , ∀φ ∈ S thì
τ hT ∈ S ' .

•

Phép nhân với một phần tử của S. Cho φ ∈ S , định nghĩa

(φT )(ψ ) = T (φψ ) . Khi đó,

φT ∈ S ' . Nếu P là một đa thức trên Rn, PT

được định nghĩa giống như trên cũng là một hàm điều hịa.

( )

•

~
~
Phép phản xạ. T ( φ ) = T φ . Khi đó, T~ ∈ S .

•

Phép tính vi phân. Cho một đa chỉ số α , định nghĩa

(

)

D α T ( φ ) = ( − 1) T D α φ , ∀φ ∈ S
α

(Công thức trên cho ta một phép tính tích phân). Do đó, D α T ∈ S ' .
•

Tích chập. Cho ψ ∈ S

định nghĩa ψ ∗ T ( φ ) = T (ψ ∗ φ ) ∧ . Khi đó,

ψ ∗T ∈ S' .
•

Lúc đó, ta xét hàm F ( x ) = T (τ xψ ) . Khi đó F ∈ C ∞ (Rn) và

∫ F ( x )φ ( x ) dx = ∫ T (τ ψ )φ ( x ) dx = T ( ∫ (τ ψ )φ ( x ) dx ) = T (ψ ∗ φ ).
Rn

Rn

x

Rn

x

Điều này chỉ ra rằng, tích chập với một phần tử của S là một quá trình trơn. Với
mọi hàm điều hịa T, thì φ ∗ T ∈ C ∞ .
•

()

Biến đổi Fourier. Định nghĩa Tˆ ( φ ) = T φˆ , ∀φ ∈ S . Khi đó, Tˆ ∈ S ' .

Kết hợp phép biến đổi Fourier và phép vi tích phân, ta có
i. Dα Tˆ = ( − i ) α ( xα T )

∧

ii. ( Dα T ) = ( i ) α ξ α Tˆ
∧

2.7.5 Ví dụ. Cho T = δ thỏa T ( φ ) = δ ( φ ) = φ ( 0 ) . Khi đó
• τ xδ (φ ) = φ ( x )
•

∂ j δ ( φ ) = −φ ' (0)

- 10 -


•

δˆ = 1, δˆ( φ ) = φˆ( 0 )

•

φ ∗ δ ( x) =φ ( x)

•

∂ j φ = φ ∗ ∂ j δ , φ ∈ S , vi phân là một trường hợp đặc biệt của tích chập.

§3. Hàm suy rộng
3.1 Khơng gian các hàm chuẩn D( Ω )
3.1.1 Định nghĩa. Một hàm tiêu chuẩn φ ( x ) = φ ( x1 , x2 ,..., x n ) trên Ω ⊆ Rn là
một hàm khả vi vơ hạn trên Ω và triệt tiêu ở bên ngồi miền giới hạn, miền giới
hạn có thể phụ thuộc vào hàm tiêu chuẩn. Không gian tất cả các hàm tiêu chuẩn
trên Ω được kí hiệu là D( Ω ) .
3.1.2 Ví dụ.
•

Cho φ : R → R được xác định bởi
2
e1/ ( x −1) , x < 1
φ ( x) = 
, x ≥1
0

Dễ dàng kiểm tra φ là một hàm vô hạn khả vi, trừ trường hợp x = ±1 . Vì φ
là hàm chẵn, ta chỉ cần kiểm tra tính khả vi tại x = 1 .
Ta có,
lim− e x

1
−1

2

x→1

=0

Suy ra φ liên tục tại x = 1
Hơn nữa,
1

1

lim− ( x −1) e
x→1
2

m

x 2 −1

=0

Do đó, tất cả đạo hàm của φ bằng 0 tại x = 1
•

Một hàm tiêu chuẩn đối xứng cầu φ trên Rn được cho bởi
e1/ ( x
φ ( x) = 
0

2

−1

Trong đó, x là khoảng cách từ tâm đến x.

- 11 -

), x < 1
, x ≥1


3.1.4 Một số tính chất
•

Nếu φ1 , φ 2 ∈ D( Ω ) thì c1φ1 + c2φ 2 ∈ D( Ω ) với mọi số thực c1 và c2 .

•

Nếu φ thuộc D( Ω ) và a khả vi vô hạn trên Ω thì a.φ cũng thuộc D( Ω )
.

•

Nếu φ thuộc D( Ω ) thì mọi đạo hàm riêng của φ cũng thuộc D( Ω ) .

•

Cho hàm φ như trong ví dụ hàm tiêu chuẩn đối xứng cầu, khi đó

 x − x0 
φ
 cũng là một hàm tiêu chuẩn trên Rn triệt tiêu ngồi hình cầu
 ε 

tâm x0 bán kính ε .
•

Cho

φ ( x1 , x 2 ,..., x m ) ∈ D (Rm)

và

ψ ( x m +1 ,..., x n ) ∈ D (Rn-m).

Nếu

(φ .ψ )( x1 , x 2 ,..., x n ) = φ ( x1 , x 2 ,..., x m ) .ψ ( xm+1 ,..., x n ) thì φ.ψ ∈ D (Rn).
3.2 Định nghĩa về dãy rỗng
Chúng ta nói một dãy {φ m } ⊂ D( Ω ) là một dãy rỗng trong D( Ω ) nếu
φ m → 0 , trong D( Ω ) tồn tại một tập con compact cố định K ⊂ Ω sao cho supp

(φ m ) ⊆ K với tất cả m,

φ m và tất cả đạo hàm của nó đều hội tụ đều đến 0 trên K.

3.3 Định nghĩa về hàm suy rộng
Một hàm tuyến tính T trên D( Ω ) được gọi là một hàm suy rộng trên Ω
nếu Tφ m → 0 với mọi dãy rỗng {φ m } trong Ω . Khơng gian các hàm suy rộng được

kí hiệu là D' ( Ω ) .
3.4 Định lí. Cho f là một hàm khả tích địa phương trên một tập con
mở Ω ⊂ Rn. Định nghĩa
T f ( φ ) = ∫ f ( x )φ ( x ) dx
Ω

Khi đó, T f thuộc D' ( Ω ) .
Nhận xét. Cho f ∈ L p ( Ω ) , p ≥ 1 . Khi đó, T f ∈ D' ( Ω ) .
Ví dụ
• Hàm suy rộng Dirac.
Cho x ∈ Rn, định nghĩa
- 12 -


δ x ( φ ) = φ ( x ) , φ ∈ D (Rn)

Dễ dàng chứng minh rằng δ x ∈ D' (Rn).
Trường hợp δ = δ 0 được gọi là hàm suy rộng Dirac.
•

Cho T được định nghĩa bởi
Tn ( φ ) = φ n ( 0 ) , φ ∈ D (R), n=1,2,...

Khi đó, Tn ∈ D' (R).
Trường hợp n = 1 , T1 được gọi là hàm suy rộng lưỡng cực.
Nhận xét. δ không được sinh ra bởi bất cứ hàm khả tích địa phương nào.
Thật vậy, nếu tồn tại một hàm khả tích địa phương f sao cho δ = T f , khi đó
δ ( φε ) = ∫ n f ( x )φε ( x ) dx = ∫

Bε ( 0 )

R

f ( x )φε ( x ) dx ≤ ∫

Bε ( 0 )

f ( x ) dx

với φε ∈ D( Ω ) sao cho supp ( φε ) ⊂ Bε ( 0 ) , 0 ≤ φε ≤ 1 , φε ≡ 1 trên Bε / 2 ( 0 ) . Do đó,
δ ( φε ) → 0 khi ε → 0 .

Mặt khác, δ ( φε ) = 1 , với mọi φε . Vì vậy, δ ( φε ) → 0 khi ε → 0 là mâu
thuẫn.
3.5 Tính chất của hàm suy rộng
Nhắc lại. Cho α = ( α 1 , α 2 ,..., α n ) , trong đó α i , i = 1,2,..., n , là các số nguyên
dương, khi đó α được gọi là một đa chỉ số.
Kí hiệu một số phép tốn liên quan đến đa chỉ số α
n

•

α = ∑α i

•

α != ∏i =1α i !

•

x α = ∏i =1 xiα i , x ∈ Rn

i =1

n

n

Cho hai đa chỉ số α = ( α 1 , α 2 ,..., α n ) , β = ( β1 , β 2 ,..., β n ) . Khi đó, α ≤ β khi
và chỉ khi α i ≤ β i , với mọi i = 1, 2, …, n .
α là một đa chỉ số, ta định nghĩa phép toán vi phân D α là
α

∂
D = α1
.
∂x1 ...∂x nα n
α

- 13 -


Tính chất 1. Cho T ∈ D' ( Ω ) , với Ω là tập mở con của Rn, và đa chỉ số α .
Khi đó,

(

)

D α T ( φ ) = ( − 1) T D α φ , φ ∈ D( Ω ) .

α

Tính chất 2. Cho T ∈ D' ( Ω ) , Ω ⊆ Rn là tập mở và ψ ∈ C ∞ ( Ω ) . Khi đó,

(ψT )(φ ) = T (ψφ ) ,

φ ∈ D( Ω ) .

Tính chất 3. Cho T ∈ D' ( Ω ) , Ω ⊂ R là một tập con mở, ψ ∈ D( Ω ) , và một
đa chỉ số α , ta có cơng thức Leibniz
D α (ψT ) =

α!

D βψD α
∑
β α β !( α − β )!
≤

−β

T.

Ví dụ. Cho H : R → R là hàm Heaviside được cho bởi
 1, x ≥ 0
H ( x) = 
 0, x < 0

Ta có
∞

T ' H ( φ ) = −TH ( φ ') = − ∫ φ ' ( x )dx = φ ( 0 ) = δ ( φ )
0

Khi đó, T ' H = δ .
Nhận xét. Từ ví dụ trên, rõ ràng T ' f ≠ T f ' .
3.6 Tích chập của hàm suy rộng
Cho hàm u bất kì trên Rn và x ∈ Rn, kí hiệu

(τ x u )( y ) = u ( y − x) và u∨ ( y ) = u ( − y ) .
Suy ra

(τ x u ) ∨ = τ − x  u  và τ xτ y
∨

 

= τ x+ y .

Với T ∈ D' (Rn), φ ∈ D (Rn), và x ∈ Rn, định nghĩa

(τ xT )(φ ) = T (τ − xφ )
Dễ thấy τ x T ∈ D' (Rn).
3.6.1 Định nghĩa. Cho T ∈ D' (Rn), và φ ∈ D (Rn), T ∗ φ : Rn → Rn được cho
bởi

- 14 -


( T ∗ φ )( x ) = T τ x φ  , với mọi

∨





x ∈ Rn.

3.6.2 Định nghĩa. Cho T , S ∈ D' (Rn) Ta định nghĩa hàm suy rộng T ∗ S trên
D (Rn) là

( T ∗ S )(φ ) =  T ∗  S ∗ φ  ( 0) , φ ∈ D (Rn).
∨







Định nghĩa 3.6.2 tương đương với điều kiện

( T ∗ S ) ∗ φ = T ∗ ( S ∗ φ ) , với mọi φ ∈ D (Rn).

§4. Khơng gian Sobolev
4.1 Không gian Sobolev
Cho Ω là một tập mở con của Rn có biên là ∂Ω . Ta bắt đầu với định nghĩa.
4.1.1 Định nghĩa.

Cho số nguyên m>0 và 1 ≤ p ≤ ∞ . Không gian

Sobolev được định nghĩa

{

}

W m, p (Ω) = u ∈ Lp (Ω) Dα u ∈ Lp (Ω), α ≤ m

p
W m , p là tập hợp tất cả các hàm thuộc L (Ω) có đạo hàm suy rộng đến m

cũng thuộc L p (Ω) .
Ta có D(Ω) , khơng gian của tất cả các hàm khả vi vô hạn với giá compact
trong Ω , thì trù mật trong L p (Ω) , với 1 ≤ p < ∞ . Nếu φ ∈ D (Ω) thì D α φ ∈ D(Ω) ,
với mọi đa chỉ số α . Như vậy,
D(Ω) ⊂ W m , p (Ω) ⊂ L p (Ω) , với 1 ≤ p ≤ ∞ .
W m , p (Ω) là một không gian véctơ.

Trên W m , p (Ω) ta trang bị một chuẩn .

m , p ,Ω

, như sau

Với 1 ≤ p < ∞ , ta định nghĩa
.

m , p ,Ω


=  ∑ Dα u
0≤ α ≤ m

Với p = ∞ , ta định nghĩa

- 15 -

1/ p



p
L (Ω)

p

.


u

m ,∞ ,Ω

= max D α u
0≤ α ≤ m

L∞ ( Ω )

.

Trường hợp đặc biệt p = 2 , ta kí hiệu W m , 2 (Ω) = H m (Ω) , cho u ∈ H m (Ω) ,
khi đó
u

m ,Ω

= u

m , 2 ,Ω

Với m = 0 , ta có W 0, p (Ω) = L p (Ω) , chuẩn trên L p của hàm u ∈ L p (Ω) được
kí hiệu là u

L p (Ω )

.

Khơng gian H m (Ω) có một phép tốn nhân trong tự nhiên được định nghĩa
(u , v ) m , Ω =

D α uD α v , với u , v ∈ H
∑
∫
α
≤m

Ω

Phép toán nhân trong này sinh ra .

m ,Ω

m

( Ω)

.

Trong trường hợp Ω = Rn, H m ( Rn) có một sự mơ tả khác qua biến đổi
Fourier.
Cho u ∈ L1 ( Rn),
uˆ (ξ ) = ∫ n e −2πxξ f ( x) dx
R

là sự biến đổi Fourier của u.
Chú ý. L1 ( Rn) ∩ L2 ( Rn) thì trù mật trong L2 ( Rn), những hàm trong
L2 ( Rn) có sự biến đổi Fourier thích hợp, định lí Plancherel khẳng định rằng
u

L2 ( R n )

= uˆ

L2 ( R n )

.

Cho u ∈ H m (Rn), theo định nghĩa ta có Dα u ∈ L2 ( Rn), với mọi
α ≤ m , như vậy ( D α u ˆ) được xác định tốt. Hơn nữa, Ta có ( D α u )^ = (2πi ) α ξ α uˆ .

Do đó, ξ α uˆ ∈ L2 ( Rn), với mọi α ≤ m .
Ngược lại, nếu u ∈ L2 ( Rn) sao cho ξ α uˆ ∈ L2 ( Rn), với mọi α ≤ m ,
thì Dα u ∈ L2 ( Rn), với mọi α ≤ m . Vì thế u ∈ H m ( Rn).
4.1.2 Bổ đề. Tồn tại hằng số M 1 > 0 và M 2 > 0 chỉ phụ thuộc m và n sao
cho với mọi ξ ∈ Rn,

- 16 -


2

M 1 (1 + ξ ) m ≤

ξα
∑
α

2

2

≤ M 2 (1 + ξ ) m

≤m

Từ bổ đề, chúng ta có định nghĩa của H m ( Rn).
4.1.3 Định nghĩa

(


2
n
H m ( Rn) = u ∈ L ( R ) 1 + ξ


)

2 m/2

uˆ (ξ ) ∈ L2 ( R n )


Kết hợp với chuẩn
u

2

2
m

n

H (R )

= ∫ n (1 + ξ ) m uˆ (ξ ) .
R
2

Từ định nghĩa trên cho phép chúng ta định nghĩa H s ( Rn), với mọi s ≥ 0 .
4.1.4 Định nghĩa. Cho s ≥ 0 , định nghĩa

(


2
n
H s ( Rn) = u ∈ L ( R ) 1 + ξ


)

2 s/2

uˆ (ξ ) ∈ L2 ( R n ) .


Kết hợp với chuẩn
u

2

2
H s ( Rn )

= ∫ n (1 + ξ ) s uˆ (ξ ) .
R
2

4.1.5 Định lí. Với mọi p, 1 ≤ p ≤ ∞ , W m, p (Ω) là một khơng gian Banach.
* Xét khơng gian tích: ( L p ( Ω ) )
 n+1
Với chuẩn u =  ∑ ui
 i =1

n +1

1/ p



Lp ( Ω )

p

= L p ( Ω ) × ... × L p ( Ω ) , ((n + 1) lần)

, với u = (u1 ,..., u n +1 ) ∈ ( L p ( Ω ) )


m, p
Khi đó, ánh xạ u ∈ W (Ω) →  u ,



∂u
∂u
,...,
∂x1

∂x n


 ∈ L p ( Ω )


(

)

n +1

n +1

là một phép

đẳng cự. Ta có một số tính chất
•

W m , p (Ω) là không gian phản xạ, với 1 ≤ p < ∞ .

•

W m , p (Ω) là khơng gian tách được, với 1 ≤ p < ∞ .

•

H m (Ω) là không gian Hilbert tách được, với 1 ≤ p < ∞ .

4.1.6 Định nghĩa.

m, p
Cho 1 ≤ p < ∞ , đặt W0 (Ω) bằng bao đóng của D(Ω)

trong W m , p (Ω) .
W0m , p (Ω) là một khơng gian con đóng của W m , p (Ω) .

- 17 -


m, p
Phần tử của W0 (Ω) gần giống trong không gian định chuẩn W m , p (Ω)

bằng những hàm thuộc C ∞ ( Ω ) có giá compact trên Ω .
W0m , p (Ω) là không gian con thực sự của W m , p (Ω) , trừ trường hợp Ω = Rn.
1, p
4.1.7 Định lí. Cho 1 ≤ p < ∞ , khi đó W 1, p ( Rn) = W0 ( Rn).

4.1.8 Định lí. Cho 1 ≤ p < ∞ , với mọi số nguyên m ≥ 0 thì
W m , p ( Rn) = W0m , p ( Rn).
m

Trường hợp đặc biệt H m (Rn)= H (Rn).
0

Ta có thể nói rằng L p ( Ω ) là một tập gồm các lớp hàm. Như vậy, khi nói “u
là một hàm liên tục trong L p ( Ω ) ” nghĩa là ta đang nói tới một lớp hàm mà có đại
diện là hàm u liên tục.
Kết quả sau đặc trưng cho W 1, p ( Ω ) khi Ω = I ⊂ R là một khoảng mở.
4.1.9 Định lí. Cho I ⊂ R là một khoảng mở, nếu u ∈ W 1, p ( I ) thì u là hàm

liên tục tuyệt đối.
4.1.10 Chú ý. Cho I ⊂ R là một khoảng mở giới nội, ví dụ I = (0,1) . Khi
đó, nếu u ∈ W 1, p ( I ) thì ta có thể viết
u ( x ) = u ( 0) + ∫ u ' ( t )dt
x

0

Như vậy,
1/ p

x
p
u (0) ≤ u ( x ) + ∫ u ' ( t )dt ≤ u ( x ) +  ∫ u ' ( t ) dt 
0
0


x

x

1/ q

≤ u ( x ) + u ' Lp ( I ) x

1/ q

Lấy tích phân trên ( 0,1) , ta được
u (0) ≤ ∫ u ( x ) dx + u '

1

0

1

∫x

L (I) 0
p

1/ q

[

dx ≤ c1 u

Lp ( I )

trong đó c1 khơng phụ thuộc u. Cũng như vậy ta có

[

]

+ u ' Lp ( I ) ≤ c1 u 1, p ,I

]

u ( x) ≤ u (0) + u ' 0, p ,I ≤ c2 u 1, p ,I + u ' 0, p ,I ≤ c3 u 1, p ,I

Trong đó, c 2 và c3 độc lập với u.
4.1.11 Chú ý. Không gian lớn hơn chứa không gian của những hàm trơn
hơn.

- 18 -


{

}

1, p
Lấy B(0,1) = u ∈ W ( I ) : u 1, p ,I ≤ 1 là hình cầu đơn vị trong W 1, p ( I ) . Khi

đó, ánh xạ i : W 1, p ( I ) → C ( I ) liên tục. Do đó, B(0,1)=i(B(0,1)) là một tập giới nội
đều trong C (I ) .
Mặt khác, cho x, y ∈ I , ta có
u ( x ) − u ( y ) ≤ u ' Lp ( I ) x − y

1/ q

≤ u 1, p ,I x − y

1/ q

()

suy ra B(0,1) liên tục đều trong C I , từ định lí Ascoli-Arzela suy ra B(0,1) là tập

()

compact tương đối trong C I . Hay nói cách khác, i : W 1, p ( I ) → C ( I ) là một tốn
tử compact.
Trên khơng gian W m , p (Ω) , ta định nghĩa nửa chuẩn
u m , p ,Ω


=  ∑ Dα u
 a ≤m




p
L ( Ω) 


1/ p

p

được xem là đạo hàm cao nhất của không gian định chuẩn L p .
4.1.12 Bổ đề (Bất đẳng thức Poincare). Cho Ω là một tập mở giới nội
trong Rn. Khi đó, tồn tại một số nguyên dương C = C ( Ω, p ) sao cho
u

Lp ( Ω )

≤ C u 1, p ,Ω , u ∈ W01, p (Ω) .

u → C u 1, p ,Ω định nghĩa một chuẩn trên W01, p (Ω) tương đương với chuẩn
.

1, p ,Ω

. Từ u 1, p ,Ω = 0 theo bất đẳng thức Poincare suy ra u = 0 . Do đó, nó là một

chuẩn.
Ta có,
p

u 1, p ,Ω =

Dα u
∑
α

p
Lp ( Ω )

=1

+u

p

p

Lp ( Ω )

p

và
p

u 1, p ,Ω =

Dα u
∑
α
=1

p
Lp ( Ω )

p

≤ u 1, p ,Ω .

Từ hai bất đẳng thức trên, ta có
p

u 1, p ,Ω ≤ u

p
1, p , Ω

p

≤ u 1, p ,Ω + C u 1, p ,Ω = (1 + C ) u 1, p ,Ω

p

≤ (1 + C )1 / p u 1, p ,Ω .

- 19 -


4.1.13 Ví dụ. Bất đẳng thức Poincare khơng đúng với miền khơng giới nội.
Ví dụ, nếu lấy Ω = Rn và φ ∈ D (Rn), xác định bởi
1, x ≤ 1
φ ( x) = 
, 0 ≤φ ≤1
0, x ≥ 2

Đặt φ k ( x ) = φ ( x / k ) , thì
φk

Trong khi φ k

1, p , R n

Lp ( R n )


=  ∑ Dα φk
 α =1


1/ p



Lp ( R n ) 

p

→ 0 , khi k → ∞ .

≥ µ ( B (0, k )) → ∞ , khi k → ∞ .

4.2 Không gian đối ngẫu của không gian Sobolev
Ở phần này ta xét không gian sobolev của số nguyên âm cũng như phân số.
4.2.1 Định nghĩa.

Cho 1 ≤ p < ∞ , q là số mũ liên hợp của p. Không gian

đối ngẫu của không gian W0m , p (Ω) , với m là số nguyên lớn hơn 1, được kí hiệu là
W − m , q (Ω) .
m
Như vậy, H −m ( Ω ) là không gian đối ngẫu của H ( Ω ) .
0

4.2.2 Định lí. Cho F ∈ W −1,q ( Ω ) , khi đó, tồn tại f 0 , f1 ,..., f n ∈ Lq ( Ω ) sao cho
n

F ( v) = ∫ f 0 ( v) + ∑ ∫ fi
Ω

i =1

Ω

∂v
, v ∈ W01, p ( Ω ) (2.1)
∂xi

Và
F

−1, q ,Ω

= max f i
0≤i ≤ n

Lq ( Ω )

.

Khi Ω là tập giới nội, ta có thể giả sử rằng f 0 = 0 .
1, p
Giả sử định lí trên là đúng. Vì D( Ω ) trù mật trong W0 ( Ω ) , hàm tuyến tính

thì xác định duy nhất nên nó cố định trong D( Ω ) .
Cho φ ∈ D( Ω ) , (2.1) được viết lại như sau
n

F ( φ ) = ∫ f 0φ + ∑ ∫
Ω

i =1

Ω

n
∂f
∂φ
fi
= ∫ f 0φ −∑ ∫ i φ
Ω
Ω
∂xi
∂xi
i =1

- 20 -


n

Như vậy, F có thể được xác định với hàm suy rộng f 0 − ∑ ∫Ω
i =1

∂f i
. Một hàm
∂xi

trên W 1, p ( Ω ) thì được xác định với một hàm suy rộng, là đạo hàm suy rộng của
1, p

một phần tử trong Lq ( Ω ) . Do đó, khơng gian đối ngẫu của W0 ( Ω ) được kí hiệu là

W −1,q ( Ω ) .

Định lí trên cũng đúng với khơng gian đối ngẫu của W 1, p ( Ω ) (trừ trường
hợp ta không giả sử f 0 = 0 ngay cả khi Ω giới nội), nhưng sự xác định với hàm
suy rộng thì khơng thể. Thật vậy, khơng gian đối ngẫu của W 1, p ( Ω ) cũng bao gồm
sự mở rộng của hàm suy rộng trên W 1, p ( Ω ) , nhưng sự mở rộng này không duy
nhất.
Cho m > n / p , khi đó

( )

W m, p ( Ω ) ⊂ C Ω

Do đó, giá trị của điểm được định nghĩa tốt.
Nếu x0 ∈ Ω , φ ∈ D( Ω ) , thì
δ x0 ( φ ) = φ ( x 0 )

và
δ x0 ( φ ) = φ ( x 0 ) ≤ φ

L∞ ( Ω )

≤Cφ

m , p ,Ω

.

Cho không gian định chuẩn W m , p ( Ω ) , δ x liên tục trên D( Ω ) và tính liên
0

tục được thác triển đến W

m, p
0

( Ω ) . Suy ra δ x

0

∈ W − m,q ( Ω ) , với m > n / p .

Với mọi miền xác định Ω , hàm suy rộng Dirac thuộc không gian Sobolev
của một số âm đủ lớn nào đó.
Bây giờ, ta định nghĩa khơng gian Sobolev cho một số thực s bất kì.
Định nghĩa. Cho 1 ≤ p < ∞ , thì


u( x ) − u( y )
(
)
W s , p ( Ω ) = u ∈ L p ( Ω ) :
∈
L
Ω
×
Ω
.

p
s+n / p
x− y



Cho s = m + σ , m ≥ 0, 0 < σ < 1 ,

{

}

W s , p ( Ω ) = u ∈ W m, p ( Ω ) : Dα u ∈ W σ , p ( Ω ) , ∀ α = m .

- 21 -


W0s , p ( Ω ) là bao đóng của D( Ω ) trong W s , p ( Ω ) và W0− s ,q ( Ω ) là đối ngẫu của
W0s , p ( Ω ) .

Khi Ω = Rn và s ≥ 0 ,

(

)

2 s/2

H s (Rn)={ u ∈ L2 (Rn) : 1 + ξ

uˆ ( ξ ) ∈ L2 (Rn)}

và
u

H s ( Rn )

(

=  ∫ n 1 + ξ
 R

)

2 s

2
uˆ ( ξ ) dξ 


1/ 2

Không gian đối ngẫu của H s (Rn) là H − s (Rn), khi s>0.
4.2.3 Định lí. Cho s > 0 , khi đó

(

H − s (Rn) = { u ∈ S ' (Rn): 1 + ξ

)

2 −s / 2

uˆ ( ξ ) ∈ L2 (Rn)}

4.2.4 Chú ý. Nếu δ là hàm suy rộng Dirac thì
δˆ ≡ 1

Do đó,

()

δˆ( φ ) = δ φˆ = φ/ˆ( 0) = ∫ n φ ( x )dx
R

Và

(

δ ∈ H − s (Rn) ⇔ 1 + ξ

)

2 −s / 2

∈ L2 (Rn).

Điều này đúng cho s > n / 2 , vì tích phân
s > n/2.

Trường hợp đặc biệt, δ ∈ H − s (R), s > 1 / 2 .

- 22 -

∞

r n−1

∫ (1 + r )
0

2 s

dr chỉ hữu hạn khi


CHƯƠNG 2

BÀI TẬP
Bài 1
a. Chứng minh rằng nếu f , g là hàm liên tục có giá là tập compact thì supp

( f ∗ g ) ⊆ supp ( f ) + supp ( g ) .
Giải
a. Gọi A, B lần lượt là giá của f và g. Giả sử
x ∉ A + B = { y + z : y ∈ A, z ∈ B}

Xét
f ∗ g ( x ) = ∫ f ( x − y ) g ( y ) dy.

Dễ thấy tích phân khác khơng chỉ khi y ∈ B và x − y ∈ A . Nhưng nếu
x ∉ A + B thì cả y và x-y lần lượt không thuộc vào B và A. Vì vậy,

x ∉ A + B ⇒ f ∗ g ( x) = 0

Vì cả A và B đều là compact nên A+B là compact. Vì vậy,
supp ( f ∗ g ) ⊆ supp ( f ) + supp ( g ) .
Bài 2. Cho f ∈ L p (1 ≤ p ≤ ∞ ) . Chứng minh rằng
f

p

{ ∫ fgdµ : g ∈ L , g

= sup

q

q

}

≤1 .

Giải
Trường hợp 1. 1 < p < ∞ . Theo bất đẳng thức Holder ta có

∫ fgdµ ≤

f

p

g

q

Do đó, vế phải ln lớn hơn hoặc bằng vế trái. Trường hợp đẳng thức xảy ra, giả
sử f

p

> 0. ( f

đó, g ∈ Lq và g

p

= 0 đẳng thức hiển nhiên đúng). Đặt g = f

q

= 1 . Hơn nữa,

∫ fgdµ =

f

1− p
p

∫

- 23 -

p

f dµ = f

p

1− p
p

f

p −1

sgn f . Khi


Trường hợp 2. p = 1 . Khi đó,
f

bất đẳng thức xảy ra. Giả sử

∫ fgdµ

1

∫ fgdµ

≤ f

1

g

∞

. Như vậy một chiều của

≠ 0 . Đặt g = sgn f . Khi đó,

g

∞

= 1 và

= f 1.

Trường hợp 3. p = ∞ . Một chiều của bất đẳng thức hiển nhiên đúng như
trước. Giả sử

f

≠ 0 . Cho 0 < α < f

∞

. Chọn một tập đo được A sao cho

∞

0 < µ ( A) < ∞ và f ( x ) > α , ∀x ∈ A . Định nghĩa g =

(

)

1
sgn f .χ A trong đó, χ A
µ ( A)

là kí hiệu hàm đặc trưng của A. Khi đó, g ∈ L1 và g 1 = 1 . Khi đó,
1

∫ fgdµ = µ ( A) ∫

f dµ > α

A

Do đó, phần trên là đúng cho mỗi α ( 0 < α < f

∞

).

Bài 3. Cho hàm f ∈ L1loc ( a; b ) , ta nói hàm g ∈ L1loc ( a; b ) là đạo hàm suy rộng
của f nếu

∫

b

a

Kí hiệu g = f ' ; g =

fϕ ' dx = − ∫ gϕdx với mọi ϕ ∈ Cc∞ ( a; b )
a
b

df
. Hãy chứng minh các tính chất sau của đạo hàm suy
dx

rộng
a. Đạo hàm suy rộng là duy nhất hầu khắp nơi
b. ( f1 + f 2 ) ' = f1 '+ f 2 '
c. ( cf ) ' = cf ' .
Giải
∞
a. Với mọi ϕ ∈ Cc ( a; b ) , giả sử có g1 , g 2 thỏa

∫

b

a

b

fϕ ' dx = − ∫ g1ϕdx và
a

∫

b

a

Suy ra

∫ (g
b

a

1

− g 2 )ϕdx = 0 , ∀ϕ .

- 24 -

b

fϕ ' dx = − ∫ g 2ϕdx

a


Do đó, g1 = g 2 hầu khắp nơi. Hay đạo hàm suy rộng là duy nhất hầu khắp
nơi.
b. Với mọi ϕ ∈ Cc∞ ( a; b ) , ta có

∫ (f
b

a

1

+ f 2 )ϕ ' dx = ∫ f1ϕ ' dx + ∫ f 2ϕ ' dx = − ∫ f1 ' ϕdx − ∫ f 2 'ϕdx = − ∫ ( f1 '+ f 2 ')ϕdx
b

b

b

b

b

a

a

a

a

a

Mà

∫ (f
b

+ f 2 )ϕ ' dx = − ∫ ( f1 + f 2 ) ' ϕdx
b

1

a

a

Suy ra
− ∫ ( f1 + f 2 ) ' ϕdx = − ∫ ( f1 '+ f 2 ')ϕdx
b

b

a

a

Vậy ( f1 + f 2 ) ' = f1 '+ f 2 ' .

∞
c. Với mọi ϕ ∈ Cc ( a; b ) , ta có

∫ ( cf ) ϕ ' dx = c ∫
b

b

a

a

fϕ ' dx = −c ∫ f 'ϕdx = − ∫ ( cf ')ϕdx
b

b

a

a

Mà

∫ ( cf )ϕ ' dx = −∫ ( cf ) 'ϕdx
b

b

a

a

Suy ra
− ∫ ( cf ) 'ϕdx = − ∫ ( cf ')ϕdx
b

b

a

a

Vậy ( cf ) ' = cf ' .
Bài 4. Giả sử θ ( x ) là hàm Heaviside
1, x ≥ 0
θ ( x) = 
0, x < 0

và các hàm suy rộng

1
và δ ( x ) được định nghĩa: với mọi hàm thử ϕ ( x ) ∈ D (R)
x

1
ϕ ( x)
, ϕ ( x ) = lim ∫
dx và δ ( x ) , ϕ ( x ) = ϕ ( 0 )
x
>

ε
ε
→
0
+
x
x

Hãy chứng minh các đẳng thức sau
a.

d
θ ( x) = δ ( x)
dx

c.

d
x = sgn x , trong đó sgn x = θ ( x ) − θ ( − x )
dx

b.

- 25 -

d
1
ln x =
dx
x